高考文科数学总复习专题复习第1讲集合及其基本运算

第一章集合第一节集合的含义、表示及基本关系练习一组1．已知A＝{1，2}，B＝|x x A，则集合A 与B的关系为________．解析：由集合B＝|x x A知，B＝{1，2}．答案：A＝B2．若2,x x，则实数a的取值范围|a a R是________．解析：由题意知，2x a有解，故0a．答案：a3．已知集合A＝2y y x x x R，集合B|21,＝|28x x，则集合A与B的关系是________．解析：y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2≥－2，∴A＝{y|y≥－2}，∴B A．答案：B A4．已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1，0，1}和N＝2|0x x x关系的韦恩(Venn)图是________．解析：由N=2|0x x x，得N={-1，0}，则N M ．答案：②5知集合A＝|5x x，集合B＝|x x a，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．解析：命题“x∈A”是命题“x∈B” 的充分不必要条件，∴A B，∴a<5．答案：a<56．已知m∈A，n∈B，且集合A＝{x|x＝2a，a∈Z}，B＝{x|x＝2a＋1，a∈Z}，又C＝{x|x＝4a＋1，a∈Z}，判断m＋n属于哪一个集合？解：∵m∈A，∴设m＝2a1，a1∈Z，又∵n∈B，∴设n＝2a2＋1，a2∈Z，∴m＋n＝2(a1＋a2)＋1，而a1＋a2∈Z，∴m＋n∈B．练习二组1．设a，b都是非零实数，y＝a|a|＋b|b|＋ab|ab|可能取的值组成的集合是________．解析：分四种情况：(1)a>0且b>0；(2)a>0且b<0；(3)a<0且b>0；(4)a<0且b<0，讨论得y＝3或y＝－1．答案：{3，－1}2．已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，m2}．若B⊆A，则实数m＝________．解析：∵B⊆A，显然m2≠－1且m2≠3，故m2＝2m－1，即(m－1)2＝0，∴m＝1．答案：13．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0，2，5}，Q＝{1，2，6}，则P＋Q中元素的个数是________个．解析：依次分别取a＝0，2，5；b＝1，2，6，并分别求和，注意到集合元素的互异性，∴P＋Q＝{1，2，6，3，4，8，7，11}．答案：84．已知集合M＝{x|x2＝1}，集合N＝{x|ax ＝1}，若N M，那么a的值是________．解析：M＝{x|x＝1或x＝－1}，N M，所以N＝∅时，a＝0；当a≠0时，x＝1a＝1或－1，∴a＝1或－1．答案：0，1，－15．满足{1}A⊆{1，2，3}的集合A的个数是________个．解析：A中一定有元素1，所以A有{1，2}，{1，3}，{1，2，3}．答案：36．已知集合A＝{x|x＝a＋16，a∈Z}，B＝{x|x＝b2－13，b∈Z}，C＝{x|x＝c2＋16，c∈Z}，则A、B、C之间的关系是________．解析：用列举法寻找规律．答案：A B＝C7．集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x<a}，则“A⊆B”是“a>5”的________．解析：结合数轴若A⊆B⇔a≥4，故“A⊆B”是“a>5”的必要但不充分条件．答案：必要不充分条件8．设集合M＝{m|m＝2n，n∈N，且m<500}，则M中所有元素的和为________．解析：∵2n<500，∴n＝0，1，2，3，4，5，6，7，8．∴M中所有元素的和S＝1＋2＋22＋…＋28＝511．答案：5119．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k 是A的一个“孤立元”．给定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．解析：依题可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案：610．已知A＝{x，xy，lg(xy)}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，试求x，y的值．解：由lg(xy)知，xy>0，故x≠0，xy≠0，于是由A＝B得lg(xy)＝0，xy＝1．从而y＝－1．11．已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，(1)若B⊆A，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；(2)若A⊆B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；(3)若A＝B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m 的取值范围．解：由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x |－2≤x ≤5}，(1)∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则m ＋1>2m －1，即m <2，此时满足B ⊆A ． ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，2m －1≤5.解得2≤m ≤3． 由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]．(2)若A ⊆B ，则依题意应有⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －1>m －6，m －6≤－2，2m －1≥5.解得⎩⎪⎨⎪⎧ m >－5，m ≤4，m ≥3.故3≤m ≤4，∴m 的取值范围是[3，4]．(3)若A ＝B ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧ m －6＝－2，2m －1＝5，解得m ∈∅．，即不存在m 值使得A ＝B ．12．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0}．(1)若A 是B 的真子集，求a 的取值范围；(2)若B 是A 的子集，求a 的取值范围；(3)若A ＝B ，求a 的取值范围．解：由x 2－3x ＋2≤0，即(x －1)(x －2)≤0，得1≤x ≤2，故A ＝{x |1≤x ≤2}，而集合B ＝{x |(x －1)(x －a )≤0}，(1)若A 是B 的真子集，即AB ，则此时B＝{x|1≤x≤ a}，故a>2．(2)若B是A的子集，即B⊆A，由数轴可知1≤a≤2．(3)若A=B，则必有a=2第二节集合的基本运算练习一组1．设U＝R，A＝|0x x，B＝|1x x，则A∩∁U B ＝____．解析：∁U B＝{x|x≤1}，∴A∩∁U B＝{x|0<x≤1}．答案：{x|0<x≤1}2．设集合A＝{4，5，7，9}，B＝{3，4，7，8，9}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素共有________个．解析：A∩B＝{4，7，9}，A∪B＝{3，4，5，7，8，9}，∁U(A∩B)＝{3，5，8}．答案：33．已知集合M＝{0，1，2}，N＝|2,x x a a M，则集合M∩N＝________．解析：由题意知，N＝{0，2，4}，故M∩N ＝{0，2}．答案：{0，2}4．设A，B是非空集合，定义AⓐB＝{x|x ∈A∪B且x∉A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤2}，B ＝{y|y≥0}，则AⓐB＝________．解析：A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝[0，2]，所以AⓐB＝(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)5．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设两项运动都喜欢的人数为x，画出韦恩图得到方程15-x+x+10-x+8=30x=3，∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12(人)．答案：126．已知集合A＝{x|x>1}，集合B＝{x|m≤x≤m＋3}．(1)当m＝－1时，求A∩B，A∪B；(2)若B⊆A，求m的取值范围．解：(1)当1m时，B＝{x|－1≤x≤2}，∴A∩B＝{x|1<x≤2}，A∪B＝{x|x≥－1}．(2)若B⊆A，则1m，即m的取值范围为(1，＋∞)练习二1．若集合M＝{x∈R|－3<x<1}，N＝{x∈Z|－1≤x≤2}，则M∩N＝________．解析：因为集合N＝{－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－1，0}．答案：{－1，0}2．已知全集U＝{－1，0，1，2}，集合A ＝{－1，2}，B＝{0，2}，则(∁U A)∩B＝________．解析：∁U A＝{0，1}，故(∁U A)∩B＝{0}．答案：{0}3．若全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x2－3x≤0}，则M∩(∁U N)＝________．解析：根据已知得M∩(∁U N)＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<0或x>3}＝{x|－2≤x<0}．答案：{x|－2≤x<0}4．集合A＝{3，log2a}，B＝{a，b}，若A∩B ＝{2}，则A∪B＝________．解析：由A∩B＝{2}得log2a＝2，∴a＝4，从而b＝2，∴A∪B＝{2，3，4}．答案：{2，3，4}5．已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁A)∪(∁U B)中有n个元素．若A∩B非空，则UA∩B的元素个数为________．解析：U＝A∪B中有m个元素，∵(∁U A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B)中有n个元素，∴A∩B中有m－n个元素．答案：m－n6．设U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n是3的倍数}，则∁U(A∪B)＝________．解析：U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A ＝{1，3，5，7}，B＝{3，6}，∴A∪B＝{1，3，5，6，7}，得∁U(A∪B)＝{2，4，8}．答案：{2，4，8}7．定义A⊗B＝{z|z＝xy＋xy，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0，2}，B＝{1，2}，C＝{1}，则集合(A⊗B)⊗C的所有元素之和为________．解析：由题意可求(A⊗B)中所含的元素有0，4，5，则(A⊗B)⊗C中所含的元素有0，8，10，故所有元素之和为18．答案：188．若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y ＋4＝0}{(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，x －2y ＋4＝0.⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.点(0，2)在y ＝3x ＋b 上，∴b ＝2．9．设全集I ＝{2，3，a 2＋2a －3}，A ＝{2，|a ＋1|}，∁I A ＝{5}，M ＝{x |x ＝log 2|a |}，则集合M 的所有子集是________．解析：∵A ∪(∁I A )＝I ，∴{2，3，a 2＋2a －3}＝{2，5，|a ＋1|}，∴|a ＋1|＝3，且a 2＋2a －3＝5，解得a ＝－4或a ＝2，∴M ＝{log 22，log 2|－4|}＝{1，2}．答案：∅，{1}，{2}，{1，2}10．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}．(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围．解：由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，故集合A＝{1，2}．(1)∵A∩B＝{2}，∴2∈B，代入B中的方程，得a2＋4a＋3＝0⇒a＝－1或a＝－3；当a ＝－1时，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2，2}，满足条件；当a＝－3时，B＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，满足条件；综上，a的值为－1或－3．(2)对于集合B，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)．∵A∪B＝A，∴B⊆A，①当Δ<0，即a<－3时，B＝∅满足条件；②当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}满足条件；③当Δ>0，即a>－3时，B＝A＝{1，2}才能满足条件，则由根与系数的关系得矛盾．综上，a的取值范围是a≤－3．11．已知函数f(x)＝6x＋1－1的定义域为集合A，函数g(x)＝lg(－x2＋2x＋m)的定义域为集合B．(1)当m＝3时，求A∩(∁R B)；(2)若A∩B＝{x|－1<x<4}，求实数m的值．解：A＝{x|－1<x≤5}．(1)当m＝3时，B＝{x|－1<x<3}，则∁R B＝{x|x≤－1或x≥3}，∴A∩(∁R B)＝{x|3≤x≤5}．(2)∵A＝{x|－1<x≤5}，A∩B＝{x|－1<x<4}，∴有－42＋2×4＋m＝0，解得m＝8，此时B＝{x|－2<x<4}，符合题意．12．已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}．(1)若A＝∅，求实数a的取值范围；(2)若A是单元素集，求a的值及集合A；(3)求集合M＝{a∈R|A≠∅}．解：(1)A是空集，即方程ax2－3x＋2＝0无解．若a≠0，要方程ax2－3x＋2＝0无解，则综上可知，若A＝∅，则a的取值范围应(2)当a＝0时，方程ax2－3x＋2＝0只有要使方程有实数根，。

1．集合的概念了解集合的含义、体会元素与集合的属于关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，了解全集与空集的含义．2．集合的基本运算理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集，能使用韦恩图表达集合间的基本关系及运算．3．命题及其关系理解命题的概念．了解“若p，则q”形式的命题及其否命题、逆命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．4．简单的逻辑联结词了解“或”“且”“非”的含义．5．全称量词与存在量词理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．2014～2018年全国卷Ⅰ的考查情况年份2014 2015 2016 2017 2018考查内容第1题集合的交集运算第1题交集运算、元素的个数第1题集合的交集运算第1题集合的运算(交集、并集)第1题集合的运算(交集)分值5分5分5分5分5分2.2014～2018年全国卷Ⅱ的考查情况年份201420152016 2017 2018考查内容第1题集合的运算(交集)第1题集合的运算(并集)第24题第(2)问证明不等式的充要性第1题集合的运算(交集)第1题集合的运算(并集)第2题集合的运算(交集)分值5分5分10分5分5分5分2014年至2018年全国卷Ⅰ和卷Ⅱ直接考查本单元内容的试题共11道，2015年全国卷Ⅱ考查了2道题占15分(其中24题主要是考查不等式的证明)，其他各年考查本单元的试题都为1道，占5分．高考对集合这一考点的考查主要以选择题出现，涉及的知识包括集合的概念，集合与集合的关系及集合的运算，重点是集合的运算．一般都是作为全卷第1小题，且都是基础题，难度不大，属于高考中的“送分题”．常用逻辑用语包含命题与量词，基本逻辑联结词以及充分条件、必要条件、充要条件与命题的四种形式，其中量词是新课标新增内容，2013年高考通过一道小题考查了全称命题、特称命题及复合命题真假的判定．充要条件这一内容，在全国卷高考中直接考查的试题不多，只有2015年全国卷Ⅱ在选考内容中，结合不等式的证明进行了考查．本单元是高中数学的基本内容之一，集合论是现代数学的基础，集合语言简洁、准确，是数学中不可缺少的基本语言．常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是描述、判断、推理的工具，它可以帮助我们准确地表达数学内容、正确地理解数学概念、合理论证数学结论．对集合这一内容的复习，要重视对集合概念的认识与理解，特别要重视对描述法表示集合的理解，掌握集合与集合之间的关系、集合的运算，要求具备数形结合的思想，会借助V enn图、数轴等工具解决集合之间的关系及集合的运算等问题．高考直接考查常用逻辑用语的试题虽然不多，但常用逻辑用语常和函数、不等式及立体几何中直线、平面的位置关系等知识结合，因此复习时仍要非常重视．在复习时，要以小题、基础题为主，要求掌握p∧q，p∨q，﹁p命题真假的判断，全称命题与特称命题真假的判断及否定，四种命题及其关系，充分条件和必要条件的判断等，同时要注意与其他知识的联系．本单元问题的解答蕴涵了丰富的数学思想方法，如数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想和函数与方程的思想等，在复习中应注意总结领会．第1讲集合的概念与运算1．了解集合的含义、体会元素与集合的属于关系，了解空集、全集的意义．2．理解集合之间的包含与相等关系，能识别给定集合的子集．3．理解交集、并集、补集的概念，会求两个简单集合的交集与并集，会求给定子集的补集．知识梳理1．集合的含义与表示(1)一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．集合中的元素具有确定性、互异性和无序性三个特征．(2)如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A，如果a不是集合A 的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.(3)常见数集的记法集合符号自然数集N正整数集N*或N＋整数集Z有理数集Q实数集R(4)常用的集合表示法有：列举法、描述法和图示法.2．集合间的基本关系(1)如果集合A中任何一个元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的子集，记作：A⊆B(或B⊇A).(2)如果集合A⊆B，但存在x∈B，且x∉A，则称集合A是集合B的真子集，记作：A B(或B A).(3)若A⊆B且B⊆A，则集合A与集合B中的元素是一样的，则称集合A与集合B相等．3．集合的基本运算(1)交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}.(2)并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}.(3)补集：集合A是集合U的子集，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U 中子集A的补集，记作∁U A，即∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}.1．空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.2．若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，非空子集有2n－1个，真子集有2n－1个．3．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.热身练习1．已知集合A＝{x|x<2}，a＝3，则下列关系正确的是(D)A．a⊆A B．a∉AC．{a}∈A D．{a}⊆A由于3<2，所以a∈A，即{a}⊆A. 2．(2018·达州模拟)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则(D)A．A∩B＝∅B．∁A B＝BC．A B D．B AA＝{1,2,3}，B＝{2,3}，所以B⊆A，1∈A但1∉B，所以B A.3．(2017·天津卷)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{1,2,3,4}，则(A∪B)∩C＝(B)A．{2}B．{1,2,4}C．{1,2,4,6}D．{1,2,3,4,6}＝(－1,0)，C正确；A∪(∁B)＝(－1，＋∞)，D错误．因为A∪B＝{1,2,6}∪{2,4}＝{1,2,4,6}，所以(A∪B)∩C＝{1,2,4,6}∩{1,2,3,4}＝{1,2,4}．4．(2018·石家庄二模)设集合A＝{x|－1<x≤2}，B＝{x|x<0}，则下列结论正确的是(C) A．A∪B＝{x|x<0}B．(∁R A)∩B＝{x|x<－1}C．A∩B＝{x|－1<x<0}D．A∪(∁RB)＝{x|x≥0}因为A＝{x|－1<x≤2}＝(－1,2]，B＝{x|x<0}＝(－∞，0)，所以A∪B＝(－∞，2]，A错误；(∁RA)∩B＝(－∞，－1]，B错误；A∩BR5．(2018·湖南长郡中学联考)集合{y∈N|y＝－x2＋6，x∈N}的真子集的个数是(C)A．3B．4C．7D．8由{y∈N|y＝－x2＋6，x∈N}知，y≥0，所以－x2＋6≥0，又x∈N，所以x＝0,1,2.所以集合为{2,5,6}，其真子集的个数为23－1＝7.(2)设 a ，b ∈R ，集合⎨a ，a ，1⎬＝{a 2，a ＋b,0}，则 a 2019＋b 2019＝__________.n集合的基本概念(1)(经典真题)已知集合 A ＝{x|x ＝3n ＋2，∈N }，B ＝{6,8,10,12,14}，则集合 A ∩B 中元素的个数为A ．5B ．4C ．3D ．2⎧ b ⎫ ⎩⎭(2)考虑集合{a ， ，1}中哪一个元素为 0 入手，利用集合中的元素的确定性和互异性进行(1)求解本题，关键是理解集合 A 的意义，将集合 A 进行化简，可以采用特殊化的方法．A ＝{x|x ＝3n ＋2，n ∈N }＝{2,5,8,11,14，…}，所以 A 与 B 的共同元素只有 8,14 两个，故选 D.ba分析．若 a ＝0，则b无意义，所以 a ≠0，a所以b ＝0，从而 b ＝0，所以{a ，b，1}＝{a,0,1}．a a由{a,0,1}＝{a 2，a,0}，得 a 2＝1，即 a ＝1 或 a ＝－1.又根据集合中元素的互异性 a ＝1 应舍去，所以 a ＝－1.故 a 2019＋b 2019＝(－1)2019＝－1.(1)D(2)－1(1)用描述法表示集合，首先要搞清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，分清是数集、点集还是其他类型的集合．(2)解决含有参数的集合问题时，要注意集合中元素的特征，并注意用互异性进行检验．(3)分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．1．(1)若集合 A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则 a 等于(A) A ．4 B ．2C ．0D ．0 或 2(2)已知集合 A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若 3∈A ，则 m 的值为 －3.2(1)当 a ＝0 时，方程化为 1＝0，无解，集合 A 为空集，不符合题意；当 a ≠0 时，由 Δ＝a 2－4a ＝0，解得 a ＝4.(2)因为 3∈A ，所以 m ＋2＝3 或 2m 2＋m ＝3，若 m ＋2＝3，解得 m ＝1，此时 A ＝{3,3}与集合中元素的互异性矛盾，所以 m ＝1，不符合题意；若2m 2＋m ＝3，解得 m ＝1(舍去)或 m ＝－3. 故所求 m 的值为－3.2检验知 m ＝－3满足题意．22集合间的基本关系已知集合 A ＝{x|x 2－3x －10≤0}，若集合B ＝{x|p ＋1≤x ≤2p －1}，且 B A ，则实数 p 的取值范围为________．欲求实数p的取值范围，只需找出关于p 的不等式，可由已知条件，结合数轴找到．由x2－3x－10≤0，解得－2≤x≤5，所以A＝{x|－2≤x≤5}．B A，则有①当B≠时，利用数轴可知：⎧⎪p＋1≤2p－1，⎨－2≤p＋1，解得2≤p≤3.⎪⎩2p－1≤5，②当B＝时，有p＋1>2p－1，即p<2.综合①②得实数p的取值范围是(－∞，3]．(－∞，3]解决有关集合的包含关系的问题时，要注意：(1)所给集合若能化简，则先化简；(2)充分利用数轴、韦恩图等辅助解题；(3)注意空集的特殊性，一般地，若B⊆A，则应分B＝∅与B≠∅两种情况进行讨论．2．已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，若集合B＝{x|p－6≤x≤2p－1}，且A∩B＝A，则实数p的取值范围为[3,4].由例2知，A＝{x|－2≤x≤5}．A∩B＝A，所以A B，画出示意图(如下图)，⎧⎪2p－1>p－6，所以⎨p－6≤－2，⎪⎩2p－1≥5，⎧p>－5，解得⎨p≤4，⎩p≥3.所以3≤p≤4.故p的取值范围为[3,4]．A ．A ∩B ＝⎨x|x <2⎬ B ．A ∩B ＝∅ C ．A ∪B ＝⎨x|x <2⎬ D ．A ∪B ＝R集合的基本运算(1)(2017· 全国卷Ⅰ)已知集合 A ＝{x|x<2}，B ＝{x|3－2x>0}，则()⎧ 3⎫ ⎩⎭⎧ 3⎫ ⎩⎭(2)(2018· 宝鸡二模)已知全集 U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合 M ＝{2,3,5}，N ＝{4,5}，则集合{1,6}可以表示为( )A ．M ∩NB ．M ∪NC. ∁U (M ∪N ) D ．∁U (M ∩N )因为B＝{x|3－2x>0}＝⎧⎨x|x<⎫⎬，A＝{x|x<2}，所以A∩B＝⎧⎨x|x<⎫⎬，A∪B＝{x|x<2}．所以(M∪N)＝{1,6}，故选C.(1)首先化简集合A，B，再利用数轴得到A∩B和A∪B.3⎩2⎭3⎩2⎭(2)画出韦恩图，如图，U(1)A(2)C进行集合的运算时，要注意：①明确集合中元素的意义；②注意将所给集合化简，使之明确化；③注意数形结合，利用韦恩图、数轴等辅助解题．- 21 -/23(2)(2018· 广州一模)设集合 A ＝{x| <0}，B ＝{x|x ≤－3}，则集合{x|x ≥1}＝(D)3．(1)(2018·天津卷)设集合 A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，C ＝{x ∈R|－1≤x<2}，则(A ∪B)∩C ＝(C)A ．{－1,1}B ．{0,1}C ．{－1,0,1}D ．{2,3,4}x ＋3x －1A ．A ∩B B ．A ∪BC ．(∁R A)∪(∁R B)D ．(∁R A)∩(∁R B)(1)因为 A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，所以 A ∪B ＝{－1,0,1,2,3,4}．又 C ＝{x ∈R|－1≤x<2}，所以(A ∪B)∩C ＝{－1,0,1}，故选 C.- 22 - / 23所以∁ A ＝{x|x ≥1，或 x ≤－3}，∁ B ＝{x|x >－3}．易知(∁ A)∩(∁ B)＝{x|x ≥1}，故选 D.x ＋3(2)因为 A ＝{x| <0}＝{x|－3<x<1}，B ＝{x|x ≤－3}，x －1 R R R R1．研究集合的有关问题，首先要理解集合的概念，其次要注意集合中元素的三个特征：确定性、无序性和互异性，尤其要注意集合中元素的互异性，当集合中的元素含有参数时， 要根据互异性进行检验．2．处理集合问题时，首先要理解用描述法表示的集合的意义，关键是抓住集合的代表元 素．首先看“{ | }”的左边元素的代表形式，然后看右边元素满足的性质，这是认清集合元 素的关键．例如，{y|y ＝f(x)}是数集，表示函数 y ＝f(x)的值域；{x|y ＝f(x)}是数集，表示函数 y ＝f(x)的定义域；{(x ，y)|y ＝f(x)}是点集，表示函数 y ＝f(x)图象上的点构成的集合．3．注意空集∅的特殊性，在解题时，若未能指明集合非空时，要考虑空集的可能性，如 A B ，则有 A ＝∅或 A ≠∅两种可能，解题时常常遗漏对空集的讨论，这一点应引起重视．4．研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具 辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续 的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．解题时，首先要把集合进行 化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、 直观化，这实质是数形结合思想在集合中的具体应用．5．处理含参数的集合的包含关系及集合的运算时，端点值的取舍也是一个难点和重点， 其解决办法是对端点值进行单独考虑．- 23 - / 23。

专题01 集合【知识精讲】一、集合的基本概念 1．元素与集合的关系：a A a A∈⎧⎨∉⎩属于，记为不属于，记为.2．集合中元素的特征：即一个集合一旦3．集合的分类：有限集与无限集，特别地，我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记作∅.4．常用数集及其记法：注意：实数集R 不能表示为{x |x 为所有实数}或{R }，因为“{ }”包含“所有”“全体”的含义.5．集合的表示方法：自然语言、列举法、描述法、图示法. 二、集合间的基本关系或集合A ∅⊆，必记结论：（1）若集合A 中含有n 个元素，则有2n 个子集，有21n −个非空子集，有21n −个真子集，有22n −个非空真子集．（2）子集关系的传递性，即,A B B C A C ⊆⊆⇒⊆. 注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解. 三、集合的基本运算 1．集合的基本运算{|B x x =|{B x x ={|UA x =2．集合运算的相关结论B A ⊆ B B ⊆ A A A = ∅=∅B A ⊇B B ⊇A A =A ∅=()UU A A =UU =∅ UU ∅=()U A A =∅()U A A U =3．必记结论(.)UUU A B A B A A B B A B A B ⊆⇔=⇔=⇔⊇=⇔∅【题型精讲】题型一 集合的基本概念【例1-1】设集合{}22,2,1A a a a =−+−，若4A ∈，则a 的值为（ ）．A ．1−，2B ．3−C ．1−，3−，2D ．3−，2【答案】D 【解析】 【分析】由集合中元素确定性得到：1a =−，2a =或3a =−，通过检验，排除掉1a =−. 【详解】由集合中元素的确定性知224a a −+=或14a −=．当224a a −+=时，1a =−或2a =；当14a −=时，3a =−．当1a =−时，{}2,4,2A =不满足集合中元素的互异性，故1a =−舍去； 当2a =时，{}2,4,1A =−满足集合中元素的互异性，故2a =满足要求； 当3a =−时，{}2,14,4A =满足集合中元素的互异性，故3a =−满足要求． 综上，2a =或3a =−． 故选：D ．【例1-2】（多选题）设集合{}22,,Z M a a x y x y ==−∈，则下列是集合M 中的元素的有（ ） A ．4n ，Z n ∈ B ．41n +，Z n ∈ C ．42n +，Z n ∈ D ．43n +，Z n ∈【答案】ABD 【解析】 【分析】分别对x ，y 取整数，1x n =+，1y n =−可判断A ；由21x n =+，2y n =可判断B ；令()()42n x y x y +=+−，通过验证不成立可判断C ；由22x n =+，21y n =+可判断D ，进而可得正确选项. 【详解】对于A ：因为()()22411n n n =+−−，Z n ∈，1Z n +∈，1Z n −∈，所以4n M ，故选项A正确；对于B ：因为()()2241212n n n +=+−，Z n ∈，21Z n +∈，2Z n ∈，所以41n M ，故选项B 正确；对于C ：若()42Z n n M +∈∈，则存在x ，Z y ∈使得2242x y n ，则()()42n x y x y +=+−，易知x y +和x y −同奇或同偶，若x y +和x y −都是奇数，则()()x y x y +−为奇数，而42n +是偶数，矛盾；若x y +和x y −都是偶数，则()()x y x y +−能被4整除，而42n +不能被4整除，矛盾，所以42nM ，故选项C 不正确；对于D ：()()22432221n n n +=+−+，22Z n +∈，21Z n +∈，所以43n M ，故选项D正确； 故选：ABD.【例1-3】集合*83A x NN x ⎧⎫=∈∈⎨⎬−⎩⎭，用列举法可以表示为A =_________． 【答案】{1,2}、{2,1} 【解析】【分析】根据集合元素属性特征进行求解即可. 【详解】 因为83N x*∈−，所以31,2,4,8−=x ，可得2,1,1,5=−−x ，因为x N ∈，所以1,2x =，集合{1,2}A =．故答案为：{1,2}【练习1-1】已知集合 {}20,,32A m m m =−+，且 2A ∈，则实数m 的值为（ ）A ．3B ．2C ．0或3D ．0或2或3【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得2m =或2322m m −+=，求出方程的根，再代入集合中检验即可； 【详解】解：因为{}20,,32A m m m =−+，且2A ∈，所以2m =或2322m m −+=，解得2m =或0m =或3m =，当2m =时2320m m −+=，即集合A 不满足集合元素的互异性，故2m ≠，当0m =时集合A 不满足集合元素的互异性，故0m ≠，当3m =时{}0,3,2A =满足条件； 故选：A【练习1-2】已知集合{}220A x x x a =−+>，且1A ∉，则实数a 的所有取值构成的集合是________． 【答案】(],1−∞ 【解析】 【分析】根据集合与元素见的关系直接列不等式，进而得解. 【详解】由1A ∉，得21210a −⨯+≤， 解得1a ≤，故答案为：(],1−∞.【练习1-3】已知,x y 均为非零实数，则代数式xy x yx y xy++的值所组成的集合的元素个数是______． 【答案】2 【解析】 【分析】 分析题意知代数式xy x yx y xy++的值与,x y 的符号有关，按其符号的不同分3种情况讨论，分别求出代数式的值，即可得解. 【详解】根据题意分2种情况讨论： 当,x y 全部为负数时，xy 为正数，则1111xyx y x y xy++=−−+=−； 当,x y 全部为正数时，xy 为正数，则1113xy x y x y xy++=++=； 当,x y 一正一负时，xy 为负数，则1111xy x y x y xy++=−−=−； 综上可知，xy x yx y xy++的值为1−或3，即代数式的值所组成的集合的元素个数是2 故答案为：2题型二 集合的基本关系【例2-1】若集合1|(21),9A x x k k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，41|,99B x x k k Z ⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭，则集合,A B 之间的关系为（ ） A ．A B B ．B A C ．A B = D ．A B ≠【答案】C 【解析】【分析】根据子集的定义证得A B ⊆和B A ⊆，即可得出结论. 【详解】设任意1x A ∈，则1111(21),9x k k Z =+∈，当12,k n n Z =∈时1141(41)999x n n =+=+， 所以1x B ∈；当121,k n n Z =−∈时，1141(41)999x n n =−=−，所以1x B ∈．所以A B ⊆又设任意2x B ∈，则2222414(41),999x k k k Z =±=±∈ 因为22412(2)1k k +=+，22412(21)1k k −=−+， 且22k 表示所有的偶数，221k −表示所有的奇数．所以2241k k Z ±∈()与21()n n Z +∈都表示所有的奇数．所以2x A ∈． 所以B A ⊆故A B =． 故选：C.【例2-2】已知集合{}2230A x x x =−−=，{}20B x ax =−=，且B A ⊆，则实数a 的值为___________. 【答案】2a =−或23a =或0 【解析】 【分析】先求得集合A ，分情况讨论，0,a B ==∅满足题意；当0a ≠时，{}220B x ax a ⎧⎫=−==⎨⎬⎩⎭，因为B A ⊆，故得到21a =−或23a =，解出即可.【详解】解：已知集合{}{}22301,3A x x x =−−==−，{}20B x ax =−=，当0,a B ==∅，满足B A ⊆；当0a ≠时，{}220B x ax a ⎧⎫=−==⎨⎬⎩⎭，因为B A ⊆，故得到21a =−或23a=，解得2a =−或23a =；故答案为：2a =−或23a =或0.【例2-3】已知{}(){}22240,2110A xx x B x x a x a =+==+++−=∣∣. (1)若A 是B 的子集，求实数a 的值； (2)若B 是A 的子集，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)1a =； (2)1a −或1a =. 【解析】 【分析】（1）由题得{}4,0B A ==−，解2Δ0402(1)401a a >⎧⎪−+=−+⎨⎪−⨯=−⎩即得解；（2）由题得B A ⊆，再对集合B 分三种情况讨论得解. (1)解：由题得{}4,0A =−.若A 是B 的子集，则{}4,0B A ==−，所以2Δ0402(1),1401a a a >⎧⎪−+=−+∴=⎨⎪−⨯=−⎩.(2)解：若B 是A 的子集，则B A ⊆.①若B 为空集，则()22Δ4(1)41880a a a =+−−=+<，解得1a <−； ②若B 为单元素集合，则()22Δ4(1)41880a a a =+−−=+=，解得1a =−. 将1a =−代入方程()222110x a x a +++−=，得20x =，即{}0,0x B ==，符合要求； ③若B 为双元素集合，{}4,0B A ==−，则1a =. 综上所述，1a −或1a =.【练习2-1】设集合18045,Z 2k M x x k ⎧⎫==⋅︒+︒∈⎨⎬⎩⎭，18045,Z 4kN x x k ⎧⎫==⋅︒+︒∈⎨⎬⎩⎭，则两集合间的关系是（ ） A ．MNB ．M NC ．N MD ．M N ⋂=∅【答案】B 【解析】 【分析】变形(){}2145,Z M x x k k ==+⨯︒∈，(){}145,Z N x x k k =+⨯︒∈，分析比较即可得解. 【详解】由题意可(){}18045,Z 2145,Z 2kM x x k x x k k ⎧⎫==⋅︒+︒∈==+⨯︒∈⎨⎬⎩⎭即M 为45︒的奇数倍构成的集合，又(){}18045,Z 145,Z 4kN x x k x x k k ⎧⎫==⋅︒+︒∈==+⨯︒∈⎨⎬⎩⎭，即N 为45︒的整数倍构成的集合，M N ∴⊆，即M N 故选：B【练习2-2】已知集合{|4A x x =≥或}5x <−，{}|13B x a x a =+≤≤+，若B A ⊆，则实数a 的取值范围_________．【答案】{|8a a <−或}3a ≥ 【解析】 【分析】根据B A ⊆，利用数轴，列出不等式组，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示，或要使B A ⊆，只需35a +<−或14a +≥，解得8a <−或3a ≥． 所以实数a 的取值范围{|8a a <−或}3a ≥. 故答案为：{|8a a <−或}3a ≥【练习2-3】满足{}1A ⊆ {1，2，3}的所有集合A 是___________． 【答案】{1}或{1，2}或{1，3} 【解析】 【分析】由题意可得集合A 中至少有一个元素1，且为集合{1，2，3}的真子集，从而可求出集合A 【详解】因为{}1A ⊆ {1，2，3}，所以集合A 中至少有一个元素1，且为集合{1，2，3}的真子集， 所以集合A 是{1}或{1，2}或{1，3}， 故答案为：{1}或{1，2}或{1，3}题型三 集合的基本运算【例3-1】已知集合{}21A x x =−≤≤，集合{}2log 1B x x =<，则A B =（ ） A ．∅ B ．(0,1] C ．[2,1]− D ．(0,2)【答案】B 【解析】 【分析】先求解集合B ，再利用交集运算即可. 【详解】解：由题得集合{|02}B x x =<<，所以{|01}A B x x =<≤. 故选：B ．【例3-2】已知U=R 是实数集，21M x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，{N x y ==，则()N M =R （ ）A ．(),0∞−B ．(),1−∞C ．(]0,1D ．()0,1【答案】D【解析】【分析】 先求得集合M 、N ，再运用集合的交集、补集运算求得答案.【详解】解：∵{}221002x M x x x x x x ⎧⎫⎧⎫−=>=<=<<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，{{}1N x y x x ===≥， ∴(){}{}{}10201R N M x x x x x x ⋂=<⋂<<=<<，故选：D.【例3-3】已知集合{2}A xa x a =<<∣，{4B x x =≤−或}3x ≥. (1)当2a =时，求()R A B ⋃；(2)若R A B ⊆，求a 的取值范围.【答案】(1){44}xx −<<∣ (2)3,2⎛⎤−∞ ⎥⎝⎦ 【解析】【分析】（1）由补集和并集的定义可运算求得结果；（2）分别在A =∅和A ≠∅两种情况下，根据交集为空集可构造不等式求得结果.(1) 由题意得{}24A x x =<<，{4B x x =≤−或}3x ≥， {}R 43B x x ∴=−<<，故(){}R 44A B x x ⋃=−<<.(2)当0a ≤时，A =∅，符合题意，当0a >时，由23a ≤，得302<≤a ， 故a 的取值范围为3,2⎛⎤−∞ ⎥⎝⎦．【练习3-1】已知集合{}1,0,1,2A =−，集合{}lg 0B x x =>，则() AB =R （ ） A ．{}1,0,1−B ．{}1,0−C ．{}0,1D ．(],1−∞ 【答案】A【解析】【分析】解不等式后由补集与交集的概念运算【详解】 因为集合{}{}lg 01B x x x x =>=>，所以{}1R B x x =≤，又集合{}1,0,1,2A =−，所以(){} 1,0,1A B =−R ，故选：A 【练习3-2】设全集为R ，{|1A x x =<−或}4x >，{}123B x a x a =−≤≤+.(1)若1a =，求A B ，()R A B .(2)已知A B =∅，求实数a 的取值范围.【答案】(1){}45A B xx ⋂=<≤∣，(){}R 15A B x x ⋃=−≤≤∣； (2)12a ≤. 【解析】【分析】（1）当1a =时求出集合B ，再进行交集，补集，并集运算即可求解；（2）讨论B =∅和B ≠∅两种情况，列不等式解不等式即可求解.(1)因为1a =，所以{}05B x x =≤≤∣，{}R |14A x x =−≤≤，所以{}45A B xx ⋂=<≤∣，(){}R 15A B x x ⋃=−≤≤∣. (2)因为A B =∅，当B =∅时，满足A B =∅，所以123a a −>+，得23a <−；当B ≠∅时，因为A B =∅，所以23111234a a a a +≥−⎧⎪−≥−⎨⎪+≤⎩，解得2132a −≤≤， 综上实数a 的取值范围为：12a ≤. 题型四 Venn 图及其应用【例4-1】如图，三个圆的内部区域分别代表集合A ，B ，C ，全集为I ，则图中阴影部分的区域表示（ ）A ．ABC ⋂⋂B ．()I AC B ⋂⋂ C ．()I A B C ⋂⋂D ．()I B C A ⋂⋂【答案】B【解析】【分析】找到每一个选项对应的区域即得解.【详解】解：如图所示，A. A B C ⋂⋂对应的是区域1；B. ()I A C B ⋂⋂对应的是区域2；C. ()I A B C ⋂⋂对应的是区域3；D. ()I B C A ⋂⋂对应的是区域4.故选：B【例4-2】已知全集R U =，集合{}|2,1x A y y x ==>，{}|24B x x =−<<，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．[2,2]−B ．(2,2)−C ．(2,2]−D ．[2,2)−【答案】C【解析】【分析】求出集合A ，阴影部分表示为：()U B A ⋂，再分析求解即可.【详解】因为{}|2,1x A y y x ==>，所以()2,A =+∞，又{}|24B x x =−<<，全集R U =， 所以图中阴影部分表示的集合为()(2,2]U B A =−．故选：C.【练习4-1】已知M ，N 为R 的两个不相等的非空子集，若M N M ⋂=，则（ ）A ．M N =RB ．M N ⋃=R RC ．N M ⋃=R RD ．M N ⋃=R R R【答案】C【解析】【分析】依题意可得M N ，结合韦恩图即可判断；【详解】解：依题意M N M ⋂=，所以M N ，则集合M ，N 与R 的关系如下图所示：所以N M ⋃=R R ；故选：C【练习4-2】已知全集U =R ，集合{}290A x x =−>，122x B x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}3x x <B ．{}13x x −<<C ．{}1x x >−D ．{}11x x −<≤【答案】B【解析】【分析】根据不等式的解法和指数函数的性质，分别求得集合,A B ，结合题意和集合的运算法则，即可求解.【详解】由不等式290−>x ，解得33x −<<，即集合{}33A x x =−<<， 又由122x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，解得1x ≤−，即集合{}1B x x =≤−，则{}|1U B x x =>−， 又因为图中阴影部分表示的集合为()U A B ∩，所以(){}|13U AB x x =−<<.故选：B.题型五 集合中的创新型问题【例5-1】定义集合,A B 的一种运算：2{|,,}A B x x a b a A b B ⊗==−∈∈，若{}1,0A =−，{}1,2B =，则A B ⊗中的元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】 根据集合的新定义确定集合中的元素.【详解】因为2{|,,}A B x x a b a A b B ⊗==−∈∈，{}1,0A =−，{}1,2B =，所以{0,1,2}A B ⊗=−−，故集合A B ⊗中的元素个数为3，故选：C.【例5-2】（多选题）设P 是一个数集，且至少含有两个元素.若对任意的a b P ∈，，都有a ab a b ab P b+−∈，，，（除数0b ≠），则称P 是一个数域.则关于数域的理解正确的是（ ）A ．有理数集Q 是一个数域B ．整数集是数域C ．若有理数集Q M ⊆，则数集M 必为数域D ．数域必为无限集【答案】AD【解析】【分析】根据数域的定义逐项进行分析即可求解.【详解】对于A ，若Q a b ∈，，则()Q Q Q Q 0aa b a b ab b b+∈−∈∈∈≠，，，，所以有理数集Q 是一个数域，故A 正确；对于B ，因为1Z Z,∈∈，2所以1Z 2∉，所以整数集不是数域，故B 不正确；对于C,令数集}{Q 2M =，则1,M M ∈但1M ，故C 不正确；对于D ，根据定义，如果()0a b b ≠，在数域中，那么,2,,a b a b a kb +++（k 为整数），都在数域中，故数域必为无限集，故D 正确.故选：AD.【例5-3】已知有限集合{}123,,,,n A a a a a =⋅⋅⋅，定义集合{}1,,i j B a a i j n i j *=+≤<≤∈N 中的元素的个数为集合A 的“容量”，记为()L A ．若集合{}13A x x *=∈≤≤N ，则()L A =______；若集合{}1A x x n *=∈≤≤N ，且()4041L A =，则正整数n 的值是______． 【答案】 3 2022【解析】【分析】化简A ，可得()L A ；根据“容量”定义可得{}1A x x n *=∈≤≤N 的()4041L A =，解方程即可.【详解】{}{}131,2,3A x x *=∈≤≤=N ，则集合{}3,4,5B =，所以()3L A =．若集合{}1A x x n *=∈≤≤N ， 则集合(){}{}3,4,,13,4,,21B n n n =⋅⋅⋅−+=⋅⋅⋅−，故()212234041L A n n =−−=−=，解得2022n =．故答案为：3；2022【练习5-1】设集合{}3,4,5P =，{}6,7Q =，定义(){},|,P Q a b a P b Q ⊗=∈∈，则P Q ⊗中元素的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】D【解析】【分析】用列举法表示出集合，即可得到结论.【详解】因为集合{}3,4,5P =，{}6,7Q =，定义(){},|,P Q a b a P b Q ⊗=∈∈,所以(){}()()()()()(){},|,3,6,3,7,4,6,4,7,5,6,5,7P Q a b a P b Q ⊗=∈∈=.一共6个元素.故选：D【练习5-2】若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合1,2A ，{}22,0B x ax a ==≥，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a 的取值集合为_____. 【答案】10,,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭ 【解析】【分析】分“鲸吞”或“蚕食”两种情况分类讨论求出a 值，即可求解【详解】当0a =时，B =∅，此时满足B A ⊆，当0a >时，B ⎧⎪=⎨⎪⎩，此时,A B 集合只能是“蚕食”关系，所以当,A B 集合有公共元素1=−时，解得2a =，当,A B 2=时，解得12a =， 故a 的取值集合为10,,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 故答案为：10,,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭。

第1讲集合及其运算1．集合与元素(1)01确定性、02互异性、03无序性.(2)04属于或05不属于两种，用符号06∈或07∉表示．(3)08列举法、09描述法、10图示法.(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号11N12N*(或N＋)13Z14Q15R表示关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素16相同17A⊆B且18B⊆A⇔A＝B子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素19A⊆B或B⊇A真子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素20A B或B A空集空集是21任何集合的子集，是22任何非空集合的真子集∅⊆A∅B(B≠∅)3．集合的基本运算并集交集补集图形符号A∪B＝23{x|x∈A或x∈B}A∩B＝24{x|x∈A且x∈B}∁U A＝25{x|x∈U且x∉A}1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.2．A∪∅＝A，A∪A＝A，A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)．3．A∩∅＝∅，A∩A＝A，A∩B⊆A，A∩B⊆B．4．A∩B＝A∪B⇔A＝B．5．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔(∁U A)⊇(∁U B)⇔A∩(∁U B)＝∅.6．A∩(∁U A)＝∅；A∪(∁U A)＝U；∁U(∁U A)＝A．7．(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)，(∁U A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B)．8．如图所示，用集合A，B表示图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分所表示的集合分别是A∩B，A∩(∁U B)，B∩(∁U A)，∁U(A∪B)．9．card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．1．(2021·湖北武汉月考)若集合P ＝{x ∈N |x ≤2021}，a ＝22，则( )A ．a ∈PB ．{a }∈PC ．{a }⊆PD ．a ∉P答案 D解析 依题意，因为a ＝22不是自然数，而集合P 是不大于2021的自然数构成的集合，所以a ∉P ，只有D 项正确．故选D ．2．(2020·新高考卷Ⅰ)设集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2<x <4}，则A ∪B ＝( ) A ．{x |2<x ≤3} B ．{x |2≤x ≤3} C ．{x |1≤x <4} D ．{x |1<x <4}答案 C解析 A ∪B ＝[1,3]∪(2,4)＝[1,4)．故选C ．3．设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2}，B ＝{(x ，y )|y ＝x 2}，则A ∩B ＝( ) A ．{(1,1)} B ．{(－2,4)} C ．{(1,1)，(－2,4)} D ．∅答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝x2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝4，所以A ∩B ＝{(1,1)，(－2,4)}．4．已知集合A ，B 均为全集U ＝{1,2,3,4}的子集，且∁U (A ∪B )＝{4}，A ∩(∁U B )＝{3}，则B ＝( )A ．{1,2}B ．{1,2,4}C ．{2,4}D ．∅ 答案 A解析 结合Venn 图(如图)可知B ＝{1,2}．故选A ．5．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 D解析 因为A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}，A ⊆C ⊆B ，则集合C 可以为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个．6．已知集合A ＝{－1,2}，B ＝{x |ax ＝1}，若B ⊆A ，则由实数a 的所有可能的取值组成的集合为( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，12B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，12C ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0，1，12D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，0，12答案 D解析 若B 为空集，则方程ax ＝1无解，解得a ＝0；若B 不为空集，则a ≠0，由ax ＝1解得x ＝1a ，所以1a ＝－1或1a ＝2，解得a ＝－1或a ＝12，则由实数a 的所有可能的取值组成的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，0，12.故选D ．考向一 集合的基本概念例1 (1)设集合M ＝{x |x ≥23}，a ＝11，则下列关系中正确的是( ) A ．a ∈M B ．a ∉M C ．{a }∈M D ．{a }∉M答案 B解析 符号“∈”“∉”仅表示元素与集合之间的关系，不能用来表示集合与集合之间的关系，故C ，D 错误．∵a ＝11<23，∴a ∉M .故选B ．(2)已知a ，b ∈R ，若⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a ＋b 为( )A ．1B ．0C ．－1D ．±1答案 C解析 由已知得a ≠0，则ba ＝0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去．因此a ＝－1，故a ＋b ＝－1，故选C ．(3)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( ) A ．9 B ．8 C ．5 D ．4答案 A解析 ∵x 2＋y 2≤3，∴x 2≤3.∵x ∈Z ，∴x ＝－1,0,1.当x ＝－1时，y ＝－1,0,1；当x ＝0时，y ＝－1,0,1；当x ＝1时，y ＝－1,0,1，综上，A 中元素共有9个，故选A ．解决集合概念问题的注意事项(1)解本例(1)时要注意，符号“∈”“∉”仅表示元素与集合之间的关系，不能用来表示集合与集合之间的关系．a ∈M 与a ∉M 取决于a 是否是集合M 中的元素．(2)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件．解本例(3)时要注意，集合A 是坐标满足x 2＋y 2≤3的整数点构成的集合．(3)本例(2)中参数的确定，往往要对集合中的元素进行分类讨论，构造方程组求解．同时注意对元素互异性的检验．1．已知集合A ＝{x |x ＝3k －1，k ∈Z }，则下列表示正确的是( )A ．－1∉AB ．－11∈AC ．3k 2－1∈AD ．－34∉A答案 C解析 当k ＝0时，x ＝－1，所以－1∈A ，所以A 错误；令－11＝3k －1，得k ＝－103∉Z ，所以－11∉A ，所以B 错误；令－34＝3k －1，得k ＝－11，所以－34∈A ，所以D 错误；因为k ∈Z ，所以k 2∈Z ，则3k 2－1∈A ，所以C 正确．2．(2020·海口市高考调研考试)设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{3,4,5,6,7}，集合M ＝{x |x ∈B 且x ∉A }，则M ＝( )A ．{1,2}B ．{3,4}C ．{5,6,7}D ．{3,4,5,6,7} 答案 C解析 因为集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{3,4,5,6,7}，集合M ＝{x |x ∈B 且x ∉A }，所以集合M ＝{5,6,7}．故选C ．3．设集合A ＝{x |(x －a )2<1}，且2∈A,3∉A ，则实数a 的取值范围为________. 答案 (1,2]解析 A ＝{x |(x －a )2<1}＝{x ||x －a |<1}＝{x |a －1<x <a ＋1}．因为2∈A,3∉A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1<2，a ＋1>2，a ＋1≤3，解得1<a ≤2.故实数a 的取值范围是(1,2]． 考向二 集合间的基本关系例2 (1)(2020·山东省莱西一中、高密一中、枣庄三中模拟)集合{x |2x ＝x 2，x ∈R }的非空真子集的个数为( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 C解析 画出函数y ＝2x 和y ＝x 2的图象，根据图象知集合{x |2x ＝x 2，x ∈R }有3个元素，故集合{x |2x ＝x 2，x ∈R }的非空真子集的个数为23－2＝6.故选C ．(2)已知集合A ＝{x |(x ＋1)(x －6)≤0}，B ＝{x |m －1≤x ≤2m ＋1}．若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________.答案 m <－2或0≤m ≤52解析 A ＝{x |－1≤x ≤6}，若B ⊆A ，则当B ＝∅时，有m －1>2m ＋1，即m <－2时，符合题意．当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤2m＋1，m －1≥－1，2m ＋1≤6，解得0≤m ≤52.综上，实数m 的取值范围是m <－2或0≤m ≤52.(1)当集合中元素个数是有限个时，其子集、真子集个数为确定的．当元素个数为n 时，集合有2n 个子集，有(2n －1)个真子集，有(2n －1)个非空子集，有(2n －2)个非空真子集．(2)已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．①若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性；②若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到．4．(2021·海南省海南中学高三月考)设集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x ＝k 2×180°＋45°，k∈Z ，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x ＝k 4×180°＋45°，k∈Z ，那么( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅答案 B解析 由题意可得M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x ＝k 2×180°＋45°，k∈Z ＝{x |x ＝(2k ＋1)·45°，k ∈Z }，即45°的奇数倍构成的集合，又N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x ＝k 4×180°＋45°，k∈Z ＝{x |x ＝(k ＋1)·45°，k∈Z }，即45°的整数倍构成的集合，所以M ⊆N .故选B ．5．设A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}， (1)若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为________； (2)若A ⊆B ，则实数a 的取值范围为________. 答案 (1)a ≤－1或a ＝1 (2)a ＝1 解析 由题意，得A ＝{－4,0}．(1)∵B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{－4}或B ＝{0}或B ＝{－4，0}．当B ＝∅时，x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0无解，即Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝8a ＋8<0，解得a <－1.当B ＝{－4}或B ＝{0}时，x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0有两个相等的实数根，则Δ＝8a ＋8＝0，∴a ＝－1，此时B ＝{0}，符合条件．当B ＝{－4,0}时，－4和0是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根， 则错误!解得a ＝1.综上所述，a ≤－1或a ＝1.(2)∵A ⊆B ，∴B ＝{－4,0}．由(1)知a ＝1. 多角度探究突破考向三 集合的基本运算 角度1 集合间的交、并、补运算例3 (1)(2020·德州二模)若全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,3,4}，N ＝{2,3,4}，则集合(∁U M )∪(∁U N )等于( )A ．{5,6}B ．{1,5,6}C ．{2,5,6}D ．{1,2,5,6}答案 D解析 因为U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,3,4}，N ＝{2,3,4}，所以∁U M ＝{2,5,6}，∁U N ＝{1,5,6}，所以(∁U M )∪(∁U N )＝{1,2,5,6}，故选D ．(2)(2020·烟台一模)已知集合M ＝{x |y ＝ln (x ＋1)}，N ＝{y |y ＝e x }，则M ∩N ＝( ) A ．(－1,0) B ．(－1，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．R答案 C解析 ∵M ＝{x |y ＝ln (x ＋1)}＝{x |x ＋1＞0}＝{x |x >－1}＝(－1，＋∞)，N ＝{y |y ＝e x }＝{y |y ＞0}＝(0，＋∞)，∴M ∩N ＝(0，＋∞)．(3)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6≤0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x ＋1x －4>0，那么集合A ∩(∁U B )＝()A ．{x |－2≤x <4}B ．{x |x ≤3或x ≥4}C．{x|－2≤x<－1} D．{x|－1≤x≤3}答案 D解析依题意A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x>4}，故∁U B＝{x|－1≤x≤4}，故A∩(∁U B)＝{x|－1≤x≤3}．故选D．(1)集合基本运算的求解策略①当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算；②当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．(2)集合的交、并、补运算口诀交集元素仔细找，属于A且属于B；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集U 是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集．6．2020·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{x||x|<3，x∈Z}，B＝{x||x|>1，x∈Z}，则A∩B＝()A．∅B．{－3，－2,2,3}C．{－2,0,2} D．{－2,2}答案 D解析因为A＝{x||x|＜3，x∈Z}＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x||x|＞1，x∈Z}＝{x|x＞1或x＜－1，x∈Z}，所以A∩B＝{－2,2}．故选D．7. 已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为()A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤2或x≥4}C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤2}答案 D解析依题意，得A＝{x|x<－1或x>4}，因此∁R A＝{x|－1≤x≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁R A)∩B＝{x|－1≤x≤2}．故选D．8．(2021·新高考八省联考)已知M，N均为R的子集，且∁R M⊆N，则M∪(∁R N)＝()A．∅B．MC．N D．R答案 B解析解法一：∵∁R M⊆N，∴M⊇∁R N，据此可得M∪(∁R N)＝M.故选B．解法二：如图所示，设矩形区域ABCD表示全集R，矩形区域ABHE表示集合M，则矩形区域CDEH表示集合∁R M，矩形区域CDFG表示集合N，满足∁R M⊆N，结合图形可得M∪(∁R N)＝M.故选B．角度2利用集合运算求参数例4(1)(2020·辽宁省辽南协作校一模)已知集合M＝{0，x2}，N＝{1,2}，若M∩N＝{2}，则M∪N＝()A．{0，x2,1,2} B．{2,0,1,2}C．{0,1,2} D．{0,1，－2，2，2}答案 C解析集合M＝{0，x2}，N＝{1,2}，M∩N＝{2}，则2∈M，所以M＝{0,2}，则M∪N＝{0,1,2}．故选C．(2)设集合A＝{x|x(4－x)≥3}，B＝{x|x>a}，若A∩B＝A，则a的取值范围是()A．a≤1 B．a<1C．a≤3 D．a<3答案 B解析由x(4－x)≥3，解得1≤x≤3，即集合A＝{x|1≤x≤3}．因A∩B＝A，则A⊆B，而B＝{x|x>a}，所以a<1.故选B．将两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条件时，应注意子集与真子集的区别，此类问题多与不等式(组)的解集相关．确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易产生增解或漏解．本例(2)易忽视a≠1，而误选A．9．已知集合A＝{x∈N|(x－3)(x－6)≤0}，B＝{3,6，m}，若A∪B＝A，则实数m的值为________.答案4或5解析由已知，得A＝{x∈N|3≤x≤6}＝{3,4,5,6}，因为A∪B＝A，所以B⊆A．又B＝{3,6，m}，所以m＝4或5.10．已知集合P＝{y|y2－y－2>0}，Q＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若P∪Q＝R，P∩Q＝(2,3]，则a＋b＝________.答案－5解析P＝{y|y2－y－2>0}＝{y|y>2或y<－1}，∵P∪Q＝R，P∩Q＝(2,3]，∴Q＝{x|－1≤x≤3}，∴－1,3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，由根与系数的关系得，－a＝－1＋3＝2，b ＝－3，∴a＋b＝－5.集合的新定义问题1．(2020·青岛模拟)设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|1<2x<4}，Q＝{y|y＝2＋sin x，x∈R}，那么P－Q＝()A．{x|0<x≤1} B．{x|0≤x<2}C．{x|1≤x<2} D．{x|0<x<1}答案 D解析因为P＝{x|20<2x<22}＝{x|0<x<2}，Q＝{y|y＝2＋sin x，x∈R}＝{y|1≤y≤3}，根据P－Q的定义可得P－Q＝{x|0<x<1}．2．已知非空集合A，B满足以下两个条件：(1)A∪B＝{1,2,3,4}，A∩B＝∅；(2)A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素．则有序集合对(A，B)的个数为()A．1 B．2C．4 D．6答案 B解析若集合A中只有1个元素，则集合B中有3个元素，则1∉A，3∉B，即3∈A,1∈B，此时有1对；同理，若集合B只有1个元素，则集合A中有3个元素，有1对；若集合A中有2个元素，则集合B中有2个元素，2∉A，2∉B，不满足条件．所以满足条件的有序集合对(A，B)的个数为1＋1＝2，故选B．答题启示解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．对点训练1．如图所示的Venn图中，A，B是两个非空集合，定义集合A⊗B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|y＝2x－x2}，B＝{y|y＝3x，x>0}，则A⊗B为()A．{x|0<x<2} B．{x|1<x≤2}C．{x|0≤x≤1或x≥2} D．{x|0≤x≤1或x>2}答案 D解析∵A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y>1}，∴A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|1<x≤2}，∴A ⊗B ＝∁A ∪B (A ∩B )＝{x |0≤x ≤1或x >2}．2．集合A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a n }(其中n ≥2)，如果A 中的元素满足a 1a 2…a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，就称A 为“复活集”，给出下列结论：①集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1＋52，－1－52是“复活集”； ②若a 1，a 2∈R ，且{a 1，a 2}是“复活集”，则a 1a 2>4； ③若a 1，a 2∈N *，则{a 1，a 2}不可能是“复活集”． 其中正确的结论是________.(填序号) 答案 ①③ 解析 ①－1＋52×－1－52＝－1＋52＋－1－52＝－1，故①正确；②不妨设a 1＋a 2＝a 1a 2＝t ，则由根与系数的关系知a 1，a 2是一元二次方程x 2－tx ＋t ＝0的两个根，由Δ＝(－t )2－4t >0，可得t <0或t >4，故②错误；③不妨设a 1<a 2<a 3<…<a n ，由a 1a 2…a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n <na n ，得a 1a 2…a n －1<n ，当n ＝2时，有a 1<2，又a 1∈N *，∴a 1＝1，于是由a 1＋a 2＝a 1a 2得1＋a 2＝a 2，无正整数解，即当a 1，a 2∈N *时，{a 1，a 2}不可能是“复活集”，故③正确．一、单项选择题1．下列各组集合中表示同一集合的是( ) A ．M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)} B ．M ＝{2,3}，N ＝{3,2}C ．M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，N ＝{y |x ＋y ＝1}D ．M ＝{2,3}，N ＝{(2,3)} 答案 B解析 由集合元素的无序性，易知{2,3}＝{3,2}．故选B ．2．(2020·全国卷Ⅱ)已知集合U＝{－2，－1,0,1,2,3}，A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，则∁U(A∪B)＝()A．{－2,3} B．{－2,2,3}C．{－2，－1,0,3} D．{－2，－1,0,2,3}答案 A解析由题意，可得A∪B＝{－1,0,1,2}，则∁U(A∪B)＝{－2,3}．故选A．3．(2020·海南省海南中学高三月考)若S是由“我和我的祖国”中的所有字组成的集合，则S的非空真子集个数是()A．62 B．32C．64 D．30答案 D解析因为“我和我的祖国”中的所有字组成的集合S一共有5个元素，所以S 的非空真子集的个数是25－2＝30个．故选D．4．已知集合A＝{x|x2－4x<5}，B＝{x|x<2}，则下列判断正确的是()A．－1.2∈A B．15∉BC．B⊆A D．A⊆B答案 C解析由x2－4x－5<0得－1<x<5，所以－1.2∉A，A错误；由x<2得0≤x<4，所以15∈B，B错误；因为A＝{x|－1<x<5}，B＝{x|0≤x<4}，所以B⊆A，C正确，D 错误．故选C．5．已知实数集R，集合A＝{x|log2x<1}，B＝{x∈Z|x2＋4≤5x}，则(∁R A)∩B＝()A．[2,4] B．{2,3,4}C．{1,2,3,4} D．[1,4]答案 B解析由log2x<1得0<x<2，则A＝{x|0<x<2}．∴∁R A ＝{x |x ≤0或x ≥2}，由x 2－5x ＋4≤0得1≤x ≤4，则B ＝{1,2,3,4}，∴(∁R A )∩B ＝{2,3,4}．故选B ．6．(2020·江西九校联考)已知m ，n ∈R ，集合A ＝{2，log 7m }，集合B ＝{m ，n }，若A ∩B ＝{1}，则m ＋n ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8答案 D解析 由A ∩B ＝{1}得log 7m ＝1，所以m ＝7，n ＝1，则m ＋n ＝8.故选D ． 7．(2020·全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，且A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，则a ＝( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4答案 B解析 ∵A ＝{x |x 2－4≤0}＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x≤－a 2，A ∩B＝{x |－2≤x ≤1}，∴－a2＝1，解得a ＝－2.故选B ．8．(2020·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6答案 C解析 由题意，得A ∩B 中的元素满足⎩⎪⎨⎪⎧y≥x，x ＋y ＝8，且x ，y ∈N *，由x ＋y ＝8≥2x ，得x ≤4，所以A ∩B 中的元素有(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，共4个．故选C ．9．设集合P ＝{(x ，y )|y ＝k }，Q ＝{(x ，y )|y ＝2x }，已知P ∩Q ＝∅，那么k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0]D ．(1，＋∞)答案 C解析 由题意知y ＝k 与y ＝2x 的图象无交点，又y ＝2x >0，所以k ≤0.故选C ． 10．定义集合的商集运算为A B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x ＝m n ，m∈A，n∈B ，已知集合A ＝{2,4,6}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x ＝k 2－1，k∈A ，则集合B A ∪B 中的元素个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 答案 B 解析由题意知，B ＝{0,1,2}，B A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0，12，14，16，1，13，则B A ∪B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0，12，14，16，1，13，2，共有7个元素．故选B ．二、多项选择题11．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|y ＝x ＋1x －2，B ＝{x |x >a }，则下列选项可能成立的是( ) A ．A ⊆B B ．B ⊆A C ．A ∪(∁R B )＝R D ．A ⊆∁R B答案 ABC 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －2≠0，得A ＝[－1,2)∪(2，＋∞)，B ＝(a ，＋∞)，∁R B ＝(－∞，a ]，选项A ，B ，C 都有可能成立，对于选项D ，不可能有A ⊆∁R B ．12．(2021·广东省湛江区域联考)若集合A 具有以下性质：①集合中至少有两个元素；②若{x ，y }⊆A ，则xy ，x ＋y ∈A ，且当x ≠0时，yx ∈A ，则称集合A 是“紧密集合”．以下说法正确的是( )A ．整数集是“紧密集合”B ．实数集是“紧密集合”C ．“紧密集合”可以是有限集D ．若集合A 是“紧密集合”，且x ，y ∈A ，则x －y ∈A 答案 BC解析 若x ＝2，y ＝1，而12∉Z ，故整数集不是“紧密集合”，A 错误；根据“紧密集合”的性质，实数集是“紧密集合”，B 正确；集合{－1,0,1}是“紧密集合”，故“紧密集合”可以是有限集，C 正确；集合A ＝{－1,0,1}是“紧密集合”，当x ＝1，y ＝－1时，x －y ＝2∉A ，D 错误．三、填空题13．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2x ，y －1x ，1，B ＝{x 2，x ＋y,0}，若A ＝B ，则x ＋y ＝________.答案 2解析 显然y ＝1，即A ＝{2x,0,1}，B ＝{x 2，x ＋1,0}．若x ＋1＝1，则x ＝0，集合A 中元素不满足互异性，舍去．∴x 2＝1，且2x ＝x ＋1，∴x ＝1，故x ＋y ＝2.14．设全集为R ，集合A ＝{x |x 2－9<0}，B ＝{x |－1<x ≤5}，则A ∩(∁R B )＝________.答案 {x |－3<x ≤－1}解析 由题意，知A ＝{x |x 2－9<0}＝{x |－3<x <3}，因为B ＝{x |－1<x ≤5}，所以∁R B ＝{x |x ≤－1或x >5}．所以A ∩(∁R B )＝{x |－3<x <3}∩{x |x ≤－1或x >5}＝{x |－3<x ≤－1}．15．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－ax ＋3a －5＝0}，若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围为________.答案 [2,10)解析 由题意，可得A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ． (1)当B ＝∅时，方程x 2－ax ＋3a －5＝0无解，则Δ＝a 2－4(3a －5)<0，解得2<a <10，此时满足题意．(2)当B ≠∅时，若B ⊆A ，则B ＝{1}或{2}或{1,2}．①当B ＝{1}时，1－a ＋3a －5＝0，得a ＝2，此时B ＝{x |x 2－2x ＋1＝0}＝{1}，满足题意；②当B ＝{2}时，4－2a ＋3a －5＝0，得a ＝1，此时B ＝{x |x 2－x －2＝0}＝{－1,2}，不满足题意，即a ≠1；③当B ＝{1,2}时，根据根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝a ，1×2＝3a －5，此时无解．综上，实数a 的取值范围为[2,10)．16．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店(1)第一天售出但第二天未售出的商品有________种； (2)这三天售出的商品最少有________种． 答案 (1)16 (2)29解析 (1)如图1所示，第一天售出但第二天未售出的商品有19－3＝16(种)．(2)如图2所示，这三天售出的商品最少有19＋13－3＝29(种)． 四、解答题17．已知集合P ＝{x |a ＋1≤x ≤2a ＋1}，Q ＝{x |x 2－3x ≤10}． (1)若a ＝3，求(∁R P )∩Q ；(2)若P ∪Q ＝Q ，求实数a 的取值范围． 解 (1)因为a ＝3，所以P ＝{x |4≤x ≤7}， ∁R P ＝{x |x <4或x >7}．又Q ＝{x |x 2－3x －10≤0}＝{x |－2≤x ≤5}，所以(∁R P )∩Q ＝{x |x <4或x >7}∩{x |－2≤x ≤5}＝{x |－2≤x ＜4}．(2)当P ≠∅时，由P ∪Q ＝Q 得P ⊆Q ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥－2，2a ＋1≤5，2a ＋1≥a＋1，解得0≤a ≤2；当P ＝∅，即2a ＋1<a ＋1时，有P ⊆Q ，得a <0. 综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]．。

第1讲集合及其运算1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R[注意]N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.2．集合间的基本关系表示关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A B(或B A)集合相等集合A，B中元素相同A＝B3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝{x|x∈A或x∈B}A∩B＝{x|x∈A且x∈B}∁U A＝{x|x∈U且x∉A}4.集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A.常用结论(1)对于有限集合A，其元素个数为n，则集合A的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.(2)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B.(3)∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．()(2)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.()(3){x|x≤1}＝{t|t≤1}．()(4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．()(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×二、易错纠偏常见误区|(1)忽视集合中元素的互异性致误；(2)忽视空集的情况致误；(3)忽视区间端点值致误．1．已知集合A＝{1，3，m}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝________．解析：因为B⊆A，所以m＝3或m＝m，即m＝3或m＝0或m＝1，根据集合元素的互异性可知，m≠1，所以m＝0或3.答案：0或32．已知集合M＝{x|x－2＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a 的值是________．解析：易得M＝{2}．因为M∩N＝N，所以N⊆M，所以N＝∅或N＝M，所以a＝0或a＝12.答案：0或1 23．已知集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∩B＝________，A∪B＝________，(∁R A)∪B＝________．解析：由已知得A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2＜x＜4}，所以A∩B＝{x|2＜x＜3}，A∪B＝{x|1＜x＜4}，(∁R A)∪B＝{x|x≤1或x＞2}．答案：(2，3)(1，4)(－∞，1]∪(2，＋∞)集合的概念(自主练透)1．设集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|－x∈A，1－x∉A}，则集合B中元素的个数为()A．1B．2C．3 D．4解析：选A．若x∈B，则－x∈A，故x只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B时，1－0＝1∈A ；当－1∈B 时，1－(－1)＝2∈A ； 当－2∈B 时，1－(－2)＝3∈A ； 当－3∈B 时，1－(－3)＝4∉A ，所以B ＝{－3}，故集合B 中元素的个数为1.2．已知集合A ＝{x |x ∈Z ，且32－x ∈Z }，则集合A 中的元素个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C ．因为32－x∈Z ，所以2－x 的取值有－3，－1，1，3，又因为x ∈Z ，所以x 的值分别为5，3，1，－1，故集合A 中的元素个数为4.3．已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 解析：由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，则m ＝1或m ＝－32.当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，符合题意，故m ＝－32. 答案：－32 4．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________．解析：因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，ba ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba ＝－1，所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.答案：2解决集合概念问题的3个关键点(1)确定构成集合的元素； (2)确定元素的限制条件；(3)根据元素特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．[提醒] 含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性．集合的基本关系(典例迁移)(1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则( ) A ．B ⊆A B ．A ＝B C ．ABD ．BA(2)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(3)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．【解析】 (1)由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，所以A ＝{1，2}．由题意知B ＝{1，2，3，4}，比较A ，B 中的元素可知AB ，故选C ．(2)因为A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3，4}，A ⊆C ⊆B ，则集合C 可以为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，共4个．(3)因为B ⊆A ，所以①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2. ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为m ≤3. 【答案】 (1)C (2)D (3)(－∞，3] 【迁移探究1】 (变条件)本例(3)中，若B A ，求m 的取值范围？解：因为BA ，①若B ＝∅，成立，此时m ＜2.②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，且边界点不能同时取得，解得2≤m ≤3.综合①②，m 的取值范围为(－∞，3]．【迁移探究2】 (变条件)本例(3)中，若A ⊆B ，求m 的取值范围． 解：若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤－2，2m －1≥5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－3，m ≥3.所以m 的取值范围为∅.【迁移探究3】 (变条件)若将本例(3)中的集合A 改为A ＝{x |x <－2或x >5}，试求m 的取值范围．解：因为B ⊆A ，所以①当B ＝∅时，2m －1<m ＋1，即m <2，符合题意． ②当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1<－2，解得⎩⎨⎧m ≥2，m >4或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m <－12.即m >4.综上可知，实数m 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．[提醒] 题目中若有条件B ⊆A ，则应分B ＝∅和B ≠∅两种情况进行分类讨论．1．设集合M ＝{x |x 2－x >0}，N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1x <1，则()A ．MNB ．N MC ．M ＝ND ．M ∪N ＝R解析：选C ．集合M ＝{x |x 2－x >0}＝{x |x >1或x <0}，N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1x <1＝{x |x >1或x <0}，所以M ＝N .故答案为C ．2．设M 为非空的数集，M ⊆{1，2，3}，且M 中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M 共有( )A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个解析：选A ．由题意知，M ＝{1}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，共6个．3．若集合A ＝{1，2}，B ＝{x |x 2＋mx ＋1＝0，x ∈R }，且B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．解析：①若B ＝∅，则Δ＝m 2－4＜0， 解得－2＜m ＜2，符合题意； ②若1∈B ，则12＋m ＋1＝0，解得m ＝－2，此时B ＝{1}，符合题意； ③若2∈B ，则22＋2m ＋1＝0，解得m ＝－52，此时B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，12，不合题意． 综上所述，实数m 的取值范围为[－2，2)． 答案：[－2，2)集合的基本运算(多维探究) 角度一 集合的运算(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－3x －4<0}，B ＝{－4，1，3，5}，则A ∩B ＝( )A ．{－4，1}B ．{1，5}C ．{3，5}D ．{1，3}(2)(2021·东北三校第一次联考)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－2x －3＜0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1x ＞1，则∁U (A ∪B )＝ ( ) A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B ．(－∞，－1]∪[3，＋∞) C ．[3，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)(3)(2020·高考全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6【解析】 (1)方法一：由x 2－3x －4<0，得－1<x <4，即集合A ＝{x |－1<x <4}，又集合B ＝{－4，1，3，5}，所以A ∩B ＝{1，3}，故选D ．方法二：因为(－4)2－3×(－4)－4>0，所以－4∉A ，故排除A ；又12－3×1－4<0，所以1∈A ，则1∈(A ∩B )，故排除C ；又32－3×3－4<0，所以3∈A ，则3∈(A ∩B )，故排除B ．故选D ．方法三：观察集合A与集合B，发现3∈A，故3∈(A∩B)，所以排除选项A 和B，又52－3×5－4>0，所以5∉A，5∉(A∩B)，排除C．故选D．(2)由已知，得A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|0＜x＜1}，所以A∪B＝{x|－1＜x ＜3}，所以∁U(A∪B)＝{x|x≤－1或x≥3}，故选B．(3)由题意得，A∩B＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}，所以A∩B中元素的个数为4，选C．【答案】(1)D(2)B(3)C集合运算的常用方法(1)若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解．(2)若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．角度二利用集合的运算求参数(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝()A．－4 B．－2C．2 D．4(2)(2021·福州市适应性考试)已知集合A＝{(x，y)|2x＋y＝0}，B＝{(x，y)|x ＋my＋1＝0}．若A∩B＝∅，则实数m＝()A．－2 B．－1 2C．12D．2【解析】(1)方法一：易知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x≤－a2}，因为A∩B＝{x|－2≤x≤1}，所以－a2＝1，解得a＝－2.故选B．方法二：由题意得A＝{x|－2≤x≤2}．若a＝－4，则B＝{x|x≤2}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤2}，不满足题意，排除A；若a＝－2，则B ＝{x |x ≤1}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，满足题意；若a ＝2，则B ＝{x |x ≤－1}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}，不满足题意，排除C ；若a ＝4，则B ＝{x |x ≤－2}，又A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |x ＝－2}，不满足题意．故选B ．(2)因为A ∩B ＝∅，所以直线2x ＋y ＝0与直线x ＋my ＋1＝0平行，所以m ＝12，故选C ．【答案】 (1)B (2)C利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法(1)对于与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到； (2)若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．[提醒] 在求出参数后，注意对结果的验证(满足互异性)．1．(2021·河北九校第二次联考)已知集合A ＝{x |x 2－x －2＜0，x ∈Z }，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }，则A ∪B ＝( )A ．{1}B ．{0，1，2}C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，2，4D ．{0，1，2，4}解析：选B ．A ＝{x |－1＜x ＜2，x ∈Z }＝{0，1}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }＝{1，2}，所以A ∪B ＝{0，1，2}，故选B ．2．(2021·四省八校第二次质量检测)若全集U ＝R ，集合A ＝(－∞，－1)∪(4，＋∞)，B ＝{x ||x |≤2}，则如图阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |－2≤x ＜4}B ．{x |x ≤2或x ≥4}C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤2}解析：选D．∁U A＝{x|－1≤x≤4}，B＝{x|－2≤x≤2}，则所求阴影部分所表示的集合为C，则C＝(∁U A)∩B＝{x|－1≤x≤2}．3．(2021·广东省七校联考)设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}，若A∩B＝{1}，则B＝()A．{1，－3} B．{1，0}C．{1，3} D．{1，5}解析：选C．由题意可得1－4＋m＝0，解得m＝3，所以B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1，3}，故选C．核心素养系列1数学抽象——集合的新定义问题以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象．若集合A具有以下性质：(1)0∈A，1∈A；(2)若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，1x∈A.则称集合A是“好集”．给出下列说法：①集合B＝{－1，0，1}是“好集”；②有理数集Q是“好集”③设集合A 是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A.其中，正确说法的个数是() A．0B．1C．2 D．3【解析】①集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”，因为－1∈B，1∈B，所以－1－1＝－2∈B，这与－2∉B矛盾．②有理数集Q是“好集”，因为0∈Q，1∈Q，对任意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0时，1x∈Q，所以有理数集Q是“好集”．③因为集合A是“好集”，则0∈A，由性质(2)知，若y∈A，则0－y∈A，知－y∈A，因此x－(－y)＝x＋y∈A，所以③正确．故正确的说法是②③.故选C．【答案】 C解决集合的新定义问题的两个切入点(1)正确理解新定义．这类问题不是简单的考查集合的概念或性质问题，而是以集合为载体的有关新定义问题．常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等；(2)合理利用集合性质．运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，但关键之处还是合理利用集合的运算与性质．1．如果集合A满足若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”．已知集合A＝{2x，0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝________．解析：由题意可知－2x＝x2＋x，所以x＝0或x＝－3.而当x＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x＝－3时，A＝{－6，0，6}，所以A∩B＝{0，6}．答案：{0，6}2．设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A ＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，则A⊗B＝________．解析：由已知A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，又因为新定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，结合数轴得A⊗B＝{0}∪[2，＋∞)．答案：{0}∪[2，＋∞)。

2020年高考文科数学一轮总复习：集合及其运算第1讲 集合及其运算1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法＋数集，不包含0.2．集合间的基本关系A B (或BA )A ∪B ＝{x |x ∈A 或A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈常用知识拓展1．子集的传递性：A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C .2．并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.3．交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.4．补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．()(2)若a在集合A中，则可用符号表示为a⊆A.()(3)若A B，则A⊆B且A≠B.()(4)N*N Z.()(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×(教材习题改编)已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则()A．A⊆B B．C⊆BC．D⊆C D．A⊆D答案：B(2018·高考天津卷)设全集为R，集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁R B)＝()A．{x|0<x≤1}B．{x|0<x<1}C．{x|1≤x<2} D．{x|0<x<2}解析：选B.因为B＝{x|x≥1}，所以∁R B＝{x|x<1}，因为A＝{x|0<x<2}，所以A∩(∁R B)＝{x|0<x<1}，故选B.(教材习题改编)若全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则∁U(A∩B)＝________．解析：A∩B＝{2，3}，所以∁U(A∩B)＝{1，4，5}．答案：{1，4，5}设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝________．解析：因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m ＝0，m＝3，方程为x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1，3}．答案：{1，3}集合的概念(师生共研)(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4(2)已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．【解析】 (1)根据集合A 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x 2＋y 2＝3中有9个整点，即为集合A 的元素个数，故选A.(2)因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3. 当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3， 此时集合A 中有重复元素3， 所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3，符合题意．所以m ＝－32.【答案】 (1)A (2)－32与集合中元素有关问题的求解策略1．已知集合A ＝{x |x ∈Z ，且32－x∈Z }，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选C.因为32－x∈Z ，所以2－x 的取值有－3，－1，1，3，又因为x ∈Z ，所以x 的值分别为5，3，1，－1，故集合A 中的元素个数为4. 2．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选C.因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba ＝－1，所以a＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.3．设集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x |－x ∈A ，1－x ∉A }，则集合B 中元素的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A.若x ∈B ，则－x ∈A ，故x 只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B 时，1－0＝1∈A ；当－1∈B 时，1－(－1)＝2∈A ； 当－2∈B 时，1－(－2)＝3∈A ； 当－3∈B 时，1－(－3)＝4∉A ，所以B ＝{－3}，故集合B 中元素的个数为1.集合间的基本关系(师生共研)(1)设A ，B 是全集I ＝{1，2，3，4}的子集，A ＝{1，3}，则满足A ⊆B 的B 的个数是( )A ．5B ．4C ．3D ．2(2)已知集合A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－m <x <m }，若B ⊆A ，则m 的取值范围为________． 【解析】 (1)由题意知B 可以为{1，3}，{1，2，3}，{1，3，4}，{1，2，3，4}，故满足A ⊆B 的B 的个数是4.(2)当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A . 当m >0时，因为A ＝{x |－1<x <3}． 当B ⊆A 时，在数轴上标出两集合，如图，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m <m .所以0<m ≤1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]． 【答案】 (1)B (2)(－∞，1][提醒] 题目中若有条件B ⊆A ，则应分B ＝∅和B ≠∅两种情况进行讨论．1．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈N *}，则集合A 的真子集的个数为( ) A ．7 B ．8 C ．15D ．16解析：选A.法一：A ＝{x |－1≤x ≤3，x ∈N *}＝{1，2，3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共7个．法二：因为集合A 中有3个元素，所以其真子集的个数为23－1＝7(个)． 2．设集合A ＝{y |y ＝ x 2－1}，B ＝{x |y ＝x 2－1}，则下列结论中正确的是( )A ．A ＝B B ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．A ∩B ＝{x |x ≥1}解析：选D.由题意，可知y ＝x 2－1的值域为[0，＋∞)，所以集合A ＝[0，＋∞)，y ＝x 2－1的定义域需要满足x 2－1≥0，解得x ≥1或x ≤－1，所以集合B ＝(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故A ∩B ＝{x |x ≥1}．故选D.3．(2019·郑州第一次质量测试)设集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ＝A ，则a 的取值范围是( )A ．{a |a ≤2}B ．{a |a ≤1}C ．{a |a ≥1}D ．{a |a ≥2}解析：选D.由A ∩B ＝A ，可得A ⊆B ，又A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，所以a ≥2.故选D.集合的基本运算(多维探究)角度一 集合间的交、并、补运算(1)(2018·高考天津卷)设集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{－1，0，2，3}，C ＝{x ∈R |－1≤x <2}，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{－1，1}B ．{0，1}C ．{－1，0，1}D ．{2，3，4}(2)(2019·益阳、湘潭调研)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝{x |(x －2)(x ＋1)≥0}，则A ∩∁U B ＝( )A ．(0，2)B ．[2，4]C ．(－∞，－1)D ．(－∞，4]【解析】 (1)由题意得A ∪B ＝{－1，0，1，2，3，4}，又C ＝{x ∈R |－1≤x <2}，所以(A ∪B )∩C ＝{－1，0，1}．故选C.(2)集合A ＝{x |log 2x ≤2}＝{x |0<x ≤4}，B ＝{x |(x －2)(x ＋1)≥0}＝{x |x ≤－1或x ≥2}，则∁U B ＝{x |－1<x <2}，所以A ∩∁U B ＝{x |0<x <2}＝(0，2)．故选A.【答案】 (1)C (2)A角度二 已知集合的运算结果求参数的值(范围)(2019·合肥第二次教学质量检测)已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R |12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞) B.⎣⎡⎦⎤12，1 C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)【解析】 因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥12a －1≥12a ，解得a ≥1，故选A.【答案】 A(1)集合基本运算的求解策略①当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn 图运算；②当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验； ③根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解． (2)集合的交、并、补运算口诀交集元素仔细找，属于A 且属于B ；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集U 是大范围，去掉U 中A 元素，剩余元素成补集．1．(2019·惠州一调)已知集合U ＝{－1，0，1}，A ＝{x |x ＝m 2，m ∈U }，则∁U A ＝( ) A ．{0，1} B ．{－1，0，1} C ．∅D ．{－1}解析：选D.因为A ＝{x |x ＝m 2，m ∈U }＝{0，1}， 所以∁U A ＝{－1}，故选D.2．(2019·洛阳第一次统一考试)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x －4>0}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |－2≤x <4}B ．{x |x ≤2或x ≥4}C ．{x |－2≤x ≤－1}D ．{x |－1≤x ≤2}解析：选D.依题意得A ＝{x |x <－1或x >4}，因此∁R A ＝{x |－1≤x ≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁R A )∩B ＝{x |－1≤x ≤2}，选D.数学抽象——集合的新定义问题以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象．定义集合的商集运算为A B ＝{x |x ＝mn，m ∈A ，n ∈B }．已知集合A ＝{2，4，6}，B＝{x |x ＝k 2－1，k ∈A }，则集合BA∪B 中的元素个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9【解析】 由题意知，B ＝{0，1，2}，B A ＝{0，12，14，16，1，13}，则B A ∪B ＝{0，12，14，16，1，13，2}，共有7个元素，故选B. 【答案】 B解决集合创新型问题的方法(1)要分析新定义的特点和本质，认清新定义对集合元素的要求，结合题目要求进行转化，并将其运用到具体的解题过程中．(2)要充分应用集合的有关性质及一些特殊方法(如特值法、排除法、数形结合法等)，将新定义问题转化到已学的知识中进行求解．1．如果集合A 满足若x ∈A ，则－x ∈A ，那么就称集合A 为“对称集合”．已知集合A ＝{2x ，0，x 2＋x }，且A 是对称集合，集合B 是自然数集，则A ∩B ＝________．解析：由题意可知－2x ＝x 2＋x ， 所以x ＝0或x ＝－3.而当x ＝0时不符合元素的互异性，所以舍去． 当x ＝－3时，A ＝{－6，0，6}， 所以A ∩B ＝{0，6}． 答案：{0，6}2．设A ，B 是非空集合，定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }．已知集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ⊗B ＝________．解析：由已知A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥0}， 又由新定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }， 结合数轴得A ⊗B ＝{0}∪[2，＋∞)． 答案：{0}∪[2，＋∞), [基础题组练]1．(2019·河北衡水中学模拟)已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{y |y ＝2x －1，x ∈A }，则A ∩B ＝( )A ．{1，3}B ．{1，2}C ．{2，3}D ．{1，2，3}解析：选A.法一：因为y ＝2x －1，x ∈{1，2，3}，所以B ＝{1，3，5}，又A ＝{1，2，3}，所以A ∩B ＝{1，3}．故选A.法二：若2∈B ，则2＝2x －1，x ＝32，32∉A ，故排除B ，C ，D ，选A.2．已知集合A ＝{x ∈R |x －1x ＝0}，则满足A ∪B ＝{－1，0，1}的集合B 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．9解析：选C.解方程x －1x ＝0，得x ＝1或x ＝－1，所以A ＝{1，－1}，又A ∪B ＝{－1，0，1}，所以B ＝{0}或{0，1}或{0，－1}或{0，1，－1}，集合B 共有4个．3．已知集合A ＝{x |(x ＋4)(x ＋5)≤0}，B ＝{x |y ＝ln(x ＋2)}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．(－∞，－4) B ．[－5，＋∞) C ．[－5，－4]D ．(－5，－4)解析：选C.由题意得A ＝{x |－5≤x ≤－4}，B ＝{x |x ＋2>0}＝{x |x >－2}，所以∁R B ＝{x |x ≤－2}，A ∩(∁R B )＝{x |－5≤x ≤－4}．故选C.4．已知集合A ＝{x |x ≤2}，B ＝{y |(y ＋7)(3－y )>0}，C ＝{y |y ＝x －3}，则(A ∩B )∪C ＝( )A ．(－7，2]B ．[0，2]C ．(－7，2]∪[3，＋∞)D ．(－7，＋∞)解析：选D.因为A ＝{x |x ≤2}，B ＝{y |(y ＋7)(3－y )>0}＝{y |－7<y <3}，所以A ∩B ＝(－7，2]．又C ＝{y |y ＝x －3}＝{y |y ≥0}，所以(A ∩B )∪C ＝(－7，＋∞)，故选D.5．已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )＝________． 解析：由于A ∪B ＝{x |x ≤0或x ≥1}，结合数轴，∁U (A ∪B )＝{x |0<x <1}． 答案：{x |0<x <1}6．设集合I ＝{x |－3<x <3，x ∈Z }，A ＝{1，2}，B ＝{－2，－1，2}，则A ∩(∁I B )＝________． 解析：因为集合I ＝{x |－3<x <3，x ∈Z }＝{－2，－1，0，1，2}，A ＝{1，2}，B ＝{－2，－1，2}，所以∁I B ＝{0，1}，则A ∩(∁I B )＝{1}．答案：{1}7．已知集合A ＝{1，2，3，4}，集合B ＝{x |x ≤a ，a ∈R }，A ∪B ＝(－∞，5]，则a 的值是________．解析：因为集合A ＝{1，2，3，4}，集合B ＝{x |x ≤a ，a ∈R }，A ∪B ＝(－∞，5]，所以a ＝5.答案：58．已知集合A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |m ≤x ＜1＋3m }． (1)当m ＝1时，求A ∪B ；(2)当B ⊆∁R A ，求实数m 的取值范围． 解：(1)因为m ＝1时，B ＝{x |1≤x ＜4}， 所以A ∪B ＝{x |－1<x <4}． (2)∁R A ＝{x |x ≤－1或x >3}．当B ＝∅时，即m ≥1＋3m 时得m ≤－12，满足B ⊆∁R A ，当B ≠∅时，要使B ⊆∁R A 成立，则⎩⎪⎨⎪⎧m <1＋3m ，1＋3m ≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧m <1＋3m ，m >3，解得m >3. 综上可知，实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪(3，＋∞)． [综合题组练]1．(2019·安徽淮北模拟)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x ＋2a ≥0}，N ＝{x |log 2(x －1)<1}，若集合M ∩(∁U N )＝{x |x ＝1或x ≥3}，那么a 的取值为( )A ．a ＝12B ．a ≤12C ．a ＝－12D ．a ≥12解析：选C.因为log 2(x －1)<1，所以x －1>0且x －1<2，即1<x <3，则N ＝{x |1<x <3}，因为U ＝R ，所以∁U N ＝{x |x ≤1或x ≥3}，又因为M ＝{x |x ＋2a ≥0}＝{x |x ≥－2a }，M ∩(∁U N )＝{x |x ＝1或x ≥3}，所以－2a ＝1，得a ＝－12.故选C.2．(创新型)如图所示的Venn 图中，A ，B 是非空集合，定义集合A ⊗B 为阴影部分表示的集合．若x ，y ∈R ，A ＝{x |2x －x 2≥0}，B ＝{y |y ＝3x ，x >0}，则A ⊗B ＝( )A ．{x |0<x <2}B ．{x |1<x ≤2}C ．{x |x ≤1或x ≥2}D ．{x |0≤x ≤1或x >2}解析：选D.因为A ＝{x |2x －x 2≥0}＝[0，2]，B ＝{y |y ＝3x ，x >0}＝(1，＋∞)，所以A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝(1，2]，由题图知A ⊗B ＝[0，1]∪(2，＋∞)，故选D.3．设集合A ＝{x |x 2－bx ＋6＝0}，则满足A ⊆{1，2，3，6}的集合A 可能为________． 解析：由A ⊆{1，2，3，6}知，A 是集合{1，2，3，6}的子集．当A 是空集时，x 2－bx ＋6＝0无解，此时b ∈(－26，26)，显然符合题意；当A 中仅有一个元素，即b ＝±26时，可得x 2－bx ＋6＝0的根是x ＝±6，不符合题意，舍去；当A 中有两个元素时，集合{1，2，3，6}的子集A ＝{2，3}，A ＝{1，6}都符合题意，此时b ＝5或b ＝7.综上可得，集合A 可能为{2，3}或{1，6}或∅.答案：{2，3}或{1，6}或∅4．已知集合A ＝{x |4≤2x ≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________． 解析：集合A ＝{x |4≤2x ≤16}＝{x |22≤2x ≤24}＝{x |2≤x ≤4}＝[2，4]， 因为A ⊆B ，所以a ≤2，b ≥4， 所以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]2020年高考文科数学一轮总复习第11 页共11 页。