二轮复习专题二_第1课时对应练习
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一讲三角函数的图象与性质课时作业文编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(2017届高考数学二轮复习第一部分专题篇专题二三角函数、平面向量第一讲三角函数的图象与性质课时作业文)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第一讲三角函数的图象与性质课时作业文1.(2016·西安质检)将函数f(x)=sin错误!的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,所得图象的一条对称轴方程可能是( )A.x=-π12B.x=错误!C.x=错误!D.x=错误!解析:将函数f(x)=sin错误!的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=sin错误!的图象,由错误!x+错误!=错误!+kπ,k∈Z,得x=错误!+2kπ,k∈Z,∴当k=0时,函数图象的对称轴为x=2π3.故应选D.答案:D2.(2016·贵阳监测)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)错误!的部分图象如图所示,如果x1,x2∈错误!,且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)=( )A.错误!B。
错误!C。
错误!D.1解析:由题图可知,错误!=错误!-错误!=错误!,则T=π,ω=2,又错误!=错误!,∴f(x)的图象过点错误!,即sin错误!=1,得φ=错误!,∴f(x)=sin错误!。
而x1+x2=-错误!+错误!=错误!,∴f(x1+x2)=f错误!=sin错误!=sin 错误!=错误!.答案:B3.(2016·高考山东卷)函数f(x)=(错误!sin x+cos x)·(错误!cos x-sin x)的最小正周期是()A。
专题二群文通练练前寄语“群文阅读”是最新修订的《高中语文课程标准》提出的一种新理念,它直接指向了新高中语文教材的编写,肯定会影响以后的高中语文教学。
目前的高三复习训练,尤其是二轮复习训练,完全可以把这一理念引进来,形成一种“群文阅读训练观”,即围绕一个主题形成一组同属一个内容主题和训练主题的群文阅读,既达到了训练考点考题的目的,又在内容主题上有所积累,能提高思想认识且对读写都有益处,这样,我们就实现了复习训练效益的立体化、综合化和最大化。
群文通练一凝望宇宙第一眼——“中国天眼”(实用类、论述类文本阅读)微导语2016年9月,“中国天眼”——500米口径球面射电望远镜正式落成启用。
这是我一、阅读下面的文字,完成文后题目。
都说南仁东20年做了一件事:国家重大科技基础设施,世界最大的500米口径球面射电望远镜(FAST),2016年9月25日落成启用,人称“中国天眼”。
他是这项大工程的发起者及奠基人,首席科学家兼总工程师,人称“中国天眼之父”。
而该工程核心团队的成员,大部分是他的学生。
那么,他们造出来的“中国天眼”,究竟是一只什么样的天眼?首先我们还得追溯到望远镜的发明历史。
我们知道天文望远镜,主要有光学望远镜和射电望远镜,此外还有红外、X射线、伽马射线等望远镜。
最初的天文望远镜是光学望远镜。
1609年,45岁的意大利科学家伽利略,在一根管子两端装了两个镜片,对着月亮一看,看到了环形山,从此有了现代天文学。
早年的电视,收不到信号,屏幕上密密麻麻的雪花闪烁。
这是电磁波信号,包括来自太空的射电辐射。
1933年,美国贝尔实验室的科学家卡尔·央斯基,研究长途通讯中的静电噪声时,发现银河中心持续的射电辐射,从此有了射电天文学。
格罗特·伯雷应聘贝尔实验室失败,1937年在芝加哥附近的自家后院,制造出第一台射电望远镜。
这两个小伙子,取得如此重大成果时,都只有二十多岁。
天文学家都想要很大很大的“锅盖”。
【二轮复习专题】种群、群落、生态系统和生态工程第1课时种群、群落真题回顾:1.一片草地上的所有灰喜鹊是一个灰喜鹊种群(2014·江苏,5A)()2.可以用标志重捕法调查老房屋中壁虎的种群密度(2014·江苏,5B)()3.若通过调控环境条件,使某动物的性成熟推迟,则出生率会更高(2013·浙江,4C)()4.若比较三种年龄结构(年龄组成)类型的种群,则稳定型的出生率最高(2013·浙江,4D)()5.若某动物的婚配制为一雌一雄,生殖期个体的雌雄比越接近1∶1,则出生率越高(2013·浙江,4B)()6.可采用样方法调查林地上植物的种群密度(2013·福建,3A)()7.样方法取样时应根据地段的形状确定取样方法(2012·海南,21D)()8.演替达到相对稳定的阶段后,群落内物种组成不再变化(2014·江苏,5C)()9.洪泽湖近岸区和湖心区不完全相同的生物分布,构成群落的水平结构(2014·江苏,5D)() 10.演替过程中群落的物种组成不断变化(2011·海南,24B)()11.草坪中的动物没有分层现象,而树林中的动物具有分层现象(2011·大纲全国,4D)()12.海岛旅游可能使岛上的群落演替按照不同于自然演替的速度进行(2011·安徽,6C)()13.环境条件分布不均匀是形成群落水平结构的原因之一(2010·大纲全国Ⅱ,3B)()14.某培养瓶中生活的两种绿藻,一种数量增加,另一种数量减少,属于种间竞争实例(2009·全国卷Ⅱ,5D)()考点构建[考点整合]一、种群的特征种群的数量特征包括、、、,是种群最基本的数量特征。
1.影响种群密度变化的因素的相互关系(1)⑦是直接决定种群密度变化的因素。
(2)预测种群密度变化的趁趋势,首先依据的应该是⑧的情况,其次是性别比例。
课时作业1 中华文明的起源与奠基——先秦时期(远古~公元前221年)一、选择题(每小题3分,共48分)1.[2022·兰州市一模]新石器时代,陶器纹饰的生活化特征突出,风格活泼愉快;青铜时代,以饕餮纹为代表的青铜纹饰凶猛庄严,凸显出神秘和威严。
这从侧面反映了( ) A.纹饰的用途发生根本转变B.统治权威的加强成为需求C.民众的审美观念发生变化D.古代手工业技术不断提高2.[2022·潍坊市5月高三模拟]据考古发现,中国一些古人类遗址在新石器时代早期,无论男性还是女性,他们的陪葬品都是农具;而在新石器时代晚期,男性的陪葬品依然是石锄、石镰等农具,女性的陪葬品则多为陶制的纺轮。
这种变化说明( ) A.生产发展影响劳动分工B.阶级分化日益明显C.文明之初性别分工形成D.集体劳作正在瓦解3.[2022·河南省六市二模]商代重视天象观测,殷墟卜辞就有不少关于天象的记录,其中常见的有雨、风、云、启(天晴)、易(多云阴天)、晦(阴沉欲雨),还有日月食,对恒星也有一定的认识。
该情况( )A.表现了人们崇拜自然的观念B.是服务于对王权的神化C.表明国家对农业生产的重视D.表明人们建立了天气观测系统4.[2022·梅州市二模]西周各诸侯国的统治区域有国与野之别,其居民分别称为国人、野人。
遇有“国危”“国迁”和“立君”等重大事项,国君会征询国人的意见;野人是被征服地区传统居民,其原有的社会组织得到保留但身份不同于奴隶。
材料反映出西周各诸侯国( )A.带有集体统治和部族色彩B.未真正实施宗法制分封制C.使西周政权趋于松散状态D.民本思想已成为社会主流5.[2022·南通市大联考]西周实行分封制,导致了周代普遍建立地方自治政权,各民族也逐渐融合,各诸侯国共尊一主。
这加强了人们天下共主、天下同源的观念,还把中心地带的文化扩散到了周边地区,保证了在不同地域生活的人们有着大致相同的文化。
中考数学第二轮复习资料—专题复习(一)、初中阶段主要的数学思想1.数形结合的思想把问题中的数量关系与形象直观的几何图形有机的结合起来,并充分利用这种结合寻找解题的思路,使问题得到解决的思想方法,在分析问题的过程中,注意把数和形结合起来考察,根据问题的具体情形,把图形性质的问题转化为数量关系的问题,或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,化难为易,获取简便易行的方法。
涉及实数与数轴上点的对应关系,公式、定理的几何背景问题,函数与方程的对应关系等。
一:【要点梳理】1.数形结合思想方法是初中数学中一种重要的思想方法.数是形的抽象概括,形是数的直观表现,用数形结合的思想解题可分两类:一是利用几何图形的直观表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等;二是运用数量关系来研究几何图形问题,常需要建立方程(组)或建立函数关系式等2.热点内容(1).利用数轴解不等式(组)(2).研究函数图象隐含的信息,判断函数解析式的系数之间的关系,确定函数解析式和解决与函数性质有关的问题.(3).研究与几何图形有关的数据,判断几何图形的形状、位置等问题.(4).运用几何图形的性质、图形的面积等关系,进行有关计算或构件方程(组),求得有关结论等问题.二:【例题与练习】1.选择:(1)某村办工厂今年前5个月生产某种产品的总量c(件)关于时间t(月)的图象如图所示,则该厂对这种产品来说()A.1月至3月每月生产总量逐月增加,4、5两月生产总量逐月减少B.1月至3月每月生产总量逐月增加,4、5两月生产总量与3月持平C.1月至3月每月生产总量逐月增加,4、5两月均停止生产D.1月至3月每月生产总量不变,4、5两月均停止生产(2)某人从A 地向B 地打长途电话6分钟,按通话时间收费,3分钟以内收费2.4元每加 1分钟加收 1元,则表示电话费y (元)与通话时间(分)之间的关系的图象如图所示,正确的是( )(3)丽水到杭州的班车首法时间为早上6时,末班车为傍晚18时,每隔2小时有一班车发出,且丽水到杭州需要4个小时.图中相遇的次数最多为( )A.4次B.5次C.6次.D.7次 2.填空:(1)已知关于X 的不等式2x-a>-3的解集如图所示,则a 的值等于 (2)如果不等式组8 4x-1x mx ⎧+⎪⎨⎪⎩的解集为x>3,则m 的取值范围是3.考虑2xy =的图象,当x=-2时,y= ;当x<-2时,y 的取值范围是 。
第一部分专题二第1讲A(2022·河北省衡水市高考二模)For those of you who have decided to study in colleges overseas, itʼs time to choose your major.Thereʼs no standard rule for how to decide on a major.__1__●Start with your interests.Brainstorming can be helpful.Make a list of everything youʼre passionate (热情的) about.__2__ Then, review your list and pick out a few things that could be related to different courses.●Think about your abilities.Next, make a list of your skills.__3__ Attending some academic programmes or off-campus activities and taking internships (实习) are good ways to both explore your interests and gain skills.●__4__You might not know exactly what you want to do professionally, but you may have a more general goal of doing work that helps people, for example.Additionally, you may also want to compare salaries for various careers to see what the future would be like if you had that career.●Get insight from professionals.You might have friends or family members who can share their experience of choosing a major.__5__ They will have consultants and resources that you can use to gain a better understanding of the options available to you.A.Itʼs important to remember that your major isnʼt a direct route to a future career.B.However, here are some ways to narrow it down.C.Consider your career outlook.D.Compare the two lists to see where they overlap.E.Knowing what really engages you is important when selecting a major.F.Your passions will help present your potential choices for subjects to study.G.Meanwhile, you could also turn to some training schools for overseas studies.【语篇解读】这是一篇应用文。
2019-2020年高考地理二轮复习第二部分世界地理第一单元世界地理概况(第1课时)陆地和海洋课时作业一、选择题读下图,回答1~3题。
1.人类历史上第一位太空使者——加加林说,从太空看地球是个蔚蓝色的美丽星球,它看上去更像“水球”。
这是因为世界上海陆面积之比约为( )A.1∶1 B.7∶3C.3∶1 D.3∶22.关于①大洲和最大的大洋的叙述正确的是( )A.①大洲分布在最大的大洋的东岸B.①大洲和最大的大洋不相邻C.①大洲和最大的大洋之间是北冰洋D.①大洲和③大洲之间是最大的大洋3.图中各大洲中只濒临两大洋的是( )A.①②③④B.③⑤⑥⑦C.②④⑥⑦D.②③④⑦解析:第1题,地球表面海洋约占71%,陆地约占29%。
第2题,最大的大洋是太平洋,它位于最大的大洲——亚洲与北美洲之间。
第3题,读图可知,亚洲、北美洲、南极洲均濒临三大洋。
欧洲、非洲、大洋洲、南美洲均濒临两大洋。
答案:1.B 2.D 3.C读南半球的海陆分布图,完成4~5题。
4.①②③所在的大洲分别是( )A.非洲、大洋洲和南美洲B.南美洲、非洲和大洋洲C.南美洲、大洋洲和非洲D.非洲、南美洲和大洋洲5.④⑤⑥三个大洋排序正确的是( )A.印度洋、大西洋和太平洋B.大西洋、印度洋和太平洋C.印度洋、太平洋和大西洋D.大西洋、太平洋和印度洋解析:根据南极洲周围的海陆分布和陆地轮廓特点等,可确定离南极大陆最近的大洲是南美洲,南美洲东部④是大西洋,②是非洲,其东部⑤是印度洋,③是澳大利亚大陆(大洋洲),其东部⑥是太平洋。
答案:4.B 5.B读沿23°26′纬线所作地形剖面图,回答6~7题。
6.图中大陆东、西两侧濒临的大洋分别是( )A.大西洋、太平洋B.太平洋、印度洋C.印度洋、大西洋D.太平洋、大西洋7.图中的高大山脉为( )A.落基山脉B.安第斯山脉C.大分水岭D.喜马拉雅山脉解析:正确解答该题的思路为:答案:6.A 7.B下图是为了了解地壳的平均厚度而绘出的各大陆面积和平均高度的关系图,读图完成8~9题。
【成才之路】2015届高考数学二轮复习 专题2 第1讲 三角函数的概念、图象与性质素能训练(文、理)一、选择题1.(2013·北京海淀期中)下列四个函数中,以π为最小正周期,且在区间(π2,π)上为减函数的是( )A .y =sin2xB .y =2|cos x |C .y =cos x2D .y =tan(-x )[答案] D[解析] 逐个判断,用排除法.y =cos x2的最小正周期为4π,故C 排除;函数y =sin2x在区间(π2,π)上不具有单调性,故A 排除;函数y =2|cos x |在区间(π2,π)上是增函数,故B 排除;D 正确.2.如果sin α=45,那么sin(α+π4)-22cos α等于( )A.225 B .-225C.425D .-425[答案] A[解析] sin(α+π4)-22cos α=sin αcos π4+cos αsin π4-22cos α=45×22=225.3.(文)(2014·唐山市二模)已知sin α+2cos α=3,则tan α=( ) A.22 B. 2 C .-22D .- 2[答案] A[解析] ∵sin α+2cos α=3, ∴sin 2α+22sin αcos α+2cos 2α=3,∴sin 2α+22sin αcos α+2cos 2αsin 2α+cos 2α=3, ∴tan 2α+22tan α+2tan 2α+1=3,∴2tan 2α-22tan α+1=0,∴tan α=22. (理)(2013·浙江理,6)已知α∈R ,sin α+2cos α=102,则tan2α=( ) A.43 B.34 C .-34D .-43[答案] C[解析] 本题考查三角函数同角间的基本关系. 将sin α+2cos α=102两边平方可得, sin 2α+4sin αcos α+4cos 2α=52,∴4sin αcos α+3cos 2α=32.将左边分子分母同除以cos 2α得,3+4tan α1+tan 2α=32,解得tan α=3或tan α=-13, ∴tan2α=2tan α1-tan 2α=-34. 4.(文)(2014·浙江理,4)为了得到函数y =sin3x +cos3x 的图像,可以将函数y =2sin3x 的图像( )A .向右平移π4个单位B .向左平移π4个单位C .向右平移π12个单位D .向左平移π12个单位[答案] D[解析] 本题考查三角函数图象变换.y =sin3x +cos3x =2sin(3x +π4),只需将函数y =2sin3x 的图象向左平移π12个单位,选D. (理)(2014·福建文,7)将函数y =sin x 的图象向左平移π2个单位,得到函数y =f (x )的图象,则下列说法正确的是( )A .y =f (x )是奇函数B .y =f (x )的周期为πC .y =f (x )的图象关于直线x =π2对称D .y =f (x )的图象关于点(-π2,0)对称 [答案] D[解析] 本题考查了正弦函数图象平移变换、余弦函数图象性质.平移后图象对应函数为y =sin(x +π2),即y =cos x ,则由y =cos x 图象性质知D 正确.5.(2014·新乡、许昌、平顶山调研)已知函数f (x )=cos x sin 2x ,下列结论中错误的是( )A .f (x )既是偶函数又是周期函数B .f (x )最大值是1C .f (x )的图像关于点(π2,0)对称D .f (x )的图像关于直线x =π对称 [答案] B[解析] f (-x )=cos(-x )sin 2(-x )=cos x sin 2x =f (x ),∴f (x )为偶函数.f (x +2π)=cos(x +2π)sin 2(x +2π)=cos x sin 2x ,∴2π是f (x )一个周期,故A 选项正确.f (x )=cos x sin 2x =-cos 3x +cos x ,令t =cos x 则t ∈[-1,1],g (t )=-t 3+t ,g ′(t )=-3t 2+1令g ′(t )=0,则t =±33,易知f (x )在区间[-1,-33)上单调递减,在(-33,33)上单调递增,在(33,1]上单调递减,g (-1)=0,g (33)=239, ∴g (t )max =239≠1,故B 项错误.6.(文)(2013·天津文,6)函数f (x )=sin(2x -π4)在区间[0,π2]上的最小值为( )A .-1B .-22C.22D .0[答案] B[解析] 本题考查正弦型函数的最值.令t =2x -π4,因为x ∈[0,π2],所以t ∈[-π4,3π4],f (x )=sin(2x -π4)变为y =sin t ,由正弦函数的图象可知,当t =-π4,即x =0时,f (x )取得最小值为-22.(理)用“五点法”画函数f (x )=A sin(ωx +φ)的简图时,若所得五个点的横坐标从小到大依次为x 1、x 2、x 3、x 4、x 5且x 1+x 5=3π2,则x 2+x 4( )A.π2 B .π C.3π2D .2π[答案] C[解析] 由函数f (x )=A sin(ωx +φ)的图象性质可知x 1、x 5关于x 3对称,x 2、x 4也关于x 3对称,∴x 2+x 4=x 1+x 5=3π2,故选C.二、填空题7.(2014·陕西文,13)设0<θ<π2,向量a =(sin2θ,cos θ),b =(1,-cos θ),若a ·b =0,则tan θ=________.[答案] 12[解析] 本题考查向量垂直、向量坐标运算等.∵a ·b =0,∴sin2θ-cos 2θ,即cos θ(2sin θ-cos θ)=0. 又0<θ<π2,∴cos θ≠0,∴2sin θ=cos θ,∴tan θ=12.8.(2013·宝鸡二模)函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,则f (x )=________.[答案]2sin(π8x +π4)[解析] 由题意得A =2,函数的周期为T =16, 又T =2πω⇒ω=π8,此时f (x )=2sin(π8x +φ),又f (2)=2,即sin(π8×2+φ)=sin(π4+φ)=1,解得π4+φ=2k π+π2⇒φ=2k π+π4,k ∈Z ,又|φ|<π2,所以φ=π4.所以函数的解析式为f (x )=2sin(π8x +π4).9.如果两个函数的图象平移后能够重合,那么称这两个函数为“互为生成”函数.给出下列四个函数:①f (x )=sin x +cos x; ②f (x )=2(sin x +cos x ); ③f (x )=sin x; ④f (x )=2sin x + 2.其中为“互为生成”函数的是________(填序号). [答案] ①④[解析] 首先化简题中的四个解析式可得:①f (x )=2sin(x +π4),②f (x )=2sin(x +π4),③f (x )=sin x ,④f (x )=2sin x +2,可知③f (x )=sin x 的图象要与其他的函数图象重合,单纯经过平移不能完成,必须经过伸缩变换才能实现,所以③f (x )=sin x 不能与其他函数成为“互为生成”函数,同理①f (x )=2sin(x +π4)的图象与②f (x )=2sin(x +π4)的图象也必须经过伸缩变换才能重合,而④f (x )=2sin x +2的图象向左平移π4个单位,再向下平移2个单位即可得到①f (x )=2sin(x +π4)的图象,所以①④为“互为生成”函数.三、解答题10.(文)(2013·北京文,15)已知函数f (x )=(2cos 2x -1)sin2x +12cos 4x .(1)求f (x )的最小正周期及最大值; (2)若α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2,π,且f (α)=22,求a 的值.[解析] (1)因为f (x )=(2cos 2x -1)sin2x +12cos4x=cos2x sin2x +12cos4x=12(sin4x +cos4x )=22sin(4x +π4) 所以f (x )的最小正周期为π2,最大值为22.(2)因为f (α)=22,所以sin(4α+π4)=1. 因为α∈(π2,π),所以4α+π4∈(9π4,17π4),所以4α+π4=5π2,故α=9π16.(理)(2014·甘肃三诊)已知f (x )=3sin ωx -2sin 2ωx2(ω>0)的最小正周期为3π.(1)当x ∈[π2,3π4]时,求函数f (x )的最小值;(2)在△ABC 中,若f (C )=1,且2sin 2B =cos B +cos(A -C ),求sin A 的值. [解析] ∵f (x )=3sin(ωx )-2·1-cos ωx2=3sin(ωx )+cos(ωx )-1=2sin(ωx +π6)-1,由2πω=3π得ω=23,∴f (x )=2sin(23x +π6)-1. (1)由π2≤x ≤3π4得π2≤23x +π6≤2π3,∴当sin(23x +π6)=32时,f (x )min =2×32-1=3-1.(2)由f (C )=2sin(23C +π6)-1及f (C )=1,得sin(23C +π6)=1,而π6≤23C +π6≤5π6, 所以23C +π6=π2,解得C =π2. 在Rt △ABC 中,∵A +B =π2,2sin 2B =cos B +cos(A -C ), ∴2cos 2A -sin A -sin A =0,∴sin 2A +sin A -1=0,解得sin A =-1±52.∵0<sin A <1,∴sin A =5-12.一、选择题11.若f (x )=2sin(ωx +φ)+m ,对任意实数t 都有f (π8+t )=f (π8-t ),且f (π8)=-3,则实数m 的值等于( )A .-1B .±5C .-5或-1D .5或1[答案] C[解析] 依题意得,函数f (x )的图象关于直线x =π8对称,于是x =π8时,函数f (x )取得最值,因此有±2+m =-3,∴m =-5或m =-1,选C.12.(2013·浙江文,6)函数f (x )=sin x cos x +32cos2x 的最小正周期和振幅分别是( )A .π,1B .π,2C .2π,1D .2π,2[答案] A[解析] 本题考查了辅助角公式、倍角公式和正弦型函数的性质.f (x )=12sin2x +32cos2x =sin(2x +π3),周期T =π,振幅为1,故选A. 13.函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的图象关于直线x =π3对称,它的最小正周期为π,则函数f (x )图象的一个对称中心是( )A .(π3,1)B .(π12,0)C .(5π12,0)D .(-π12,0)[答案] B[解析] 由题意知T =π,∴ω=2,由函数图象关于直线x =π3对称,得2×π3+φ=π2+k π(k ∈Z ),即φ=-π6+k π(k∈Z ).又|φ|<π2,∴φ=-π6,∴f (x )=A sin(2x -π6),令2x -π6=k π(k ∈Z ),则x =π12+k2π(k ∈Z ).∴一个对称中心为(π12,0),故选B.14.(2013·广东佛山二模)如图所示为函数f (x )=2sin(ωx +φ)(ω>0,0≤φ≤π)的部分图象,其中A 、B 两点之间的距离为5,那么f (-1)等于( )A .2 B. 3 C .- 3 D .-2[答案] A[解析] 设函数f (x )的最小正周期为T ,因为A ,B 两点之间的距离为5,所以T22+42=5,解得T =6.所以ω=2πT =π3.又图象过点(0,1),代入得2sin φ=1,所以φ=2k π+π6或φ=2k π+5π6(k ∈Z ).又0≤φ≤π,所以φ=π6或φ=5π6.故f (x )=2sin(π3x +π6)或f (x )=2sin(π3x +5π6).对于函数f (x )=2sin(π3x +π6),当x 略微大于0时,有f (x )>2sin π6=1,与图象不符,故舍去;综上,f (x )=2sin(π3x +5π6).故f (-1)=2sin(-π3+5π6)=2.故选A.二、填空题15.(2013·新课标Ⅱ文,16)函数y =cos(2x +φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后,与函数y =sin(2x +π3)的图象重合,则φ=________.[答案]5π6[解析] 本题考查三角函数的平移变换y =cos(2x +φ)的图象向右平移π2个单位得, y =cos[2(x -π2)+φ]=cos(2x -π+φ)=sin(2x -π+φ+π2)=sin(2x +φ-π2),而它与函数y =sin(2x +π3)的图象重合,令2x +φ-π2=2x +π3得,φ=5π6,符合题意.16.(2013·合肥第一次质检)定义一种运算:(a 1,a 2)⊗(a 3,a 4)=a 1a 4-a 2a 3,将函数f (x )=(3,2sin x )⊗(cos x ,cos2x )的图象向左平移n (n >0)个单位长度所得图象对应的函数为偶函数,则n 的最小值为________.[答案]5π12[解析] f (x )=3cos2x -2sin x cos x =3cos2x -sin2x =2cos(2x +π6),将f (x )的图象向左平移n 个单位长度对应的函数解析式为f (x )=2cos[2(x +n )+π6]=2cos(2x +2n +π6),要使它为偶函数,则需要2n +π6=k π(k ∈Z ),所以n =k π2-π12(k ∈Z ),因为n >0,所以当k =1时,n 有最小值5π12. 三、解答题17.(文)已知向量m =(sin 2x +1+cos2x 2,sin x ),n =(12cos2x -32sin2x,2sin x ),设函数f (x )=m ·n ,x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期;(2)若x ∈[0,π2],求函数f (x )的值域.[解析] (1)∵cos2x =2cos 2x -1,∴m =(sin 2x +1+cos2x 2,sin x )=(1,sin x ),f (x )=m ·n =12cos2x -32sin2x +2sin 2x =1-12cos2x -32sin2x =1-sin(2x +π6). ∴其最小正周期为T =2π2=π.(2)由(1)知f (x )=1-sin(2x +π6),∵x ∈[0,π2],∴2x +π6∈[π6,7π6],∴sin(2x +π6)∈[-12,1].∴函数f (x )的值域为[0,32].(理)(2014·中原名校第二次联考)已知函数f (x )=sin x ·cos(x -π6)+cos 2x -12.(1)求函数f (x )的最大值,并写出f (x )取最大值x 时的取值集合;(2)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若f (A )=12,b +c =3.求a 的最小值.[解析] (1)f (x )=sin x (32cos x +12sin x )+cos 2x -12=32sin x cos x +12cos 2x =12(32sin2x +12cos2x )+14=12sin(2x +π6)+14. ∴函数f (x )的最大值为34.当f (x )取最大值时sin(2x +π6)=1,∴2x +π6=2k π+π2(k ∈Z ),解得x =k π+π6,k ∈Z .故x 的取值集合为{x |x =k π+π6,k ∈Z }.(2)由题意f (A )=12sin(2A +π6)+14=12,化简得sin(2A +π6)=12.∵A ∈(0,π),∴2A +π6∈(π6,13π6),∴2A +π6=5π6,∴A =π3.在△ABC 中,根据余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bc cos π3=(b +c )2-3bc .由b +c =3,知bc ≤(b +c2)2=94,即a 2≥94. ∴当b =c =32时,a 取最小值32.。
第1讲 等差数列与等比数列一、选择题1.(2019·福州市质量检测)已知数列{a n }中,a 3=2,a 7=1.若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列,则a 9=( )A .12 B .54 C .45D .-45解析:选C .因为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列,a 3=2,a 7=1,所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的公差d =1a 7-1a 37-3=1-127-3=18,所以1a 9=1a 7+(9-7)×18=54,所以a 9=45,故选C .2.(一题多解)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 2=2,S 3=-6,则S 5=( ) A .18 B .10 C .-14D .-22解析:选D .法一:设等比数列{a n }的公比为q ,由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+a 1q =2a 1+a 1q +a 1q 2=-6,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-2q =-2,所以S 5=-2×[1-(-2)5]1-(-2)=-22,故选D .法二:设等比数列{a n }的公比为q ,易知q ≠1,令A =a 1q -1,则S n =Aq n-A ,⎩⎪⎨⎪⎧S 2=Aq 2-A =2S 3=Aq 3-A =-6,解得⎩⎪⎨⎪⎧A =23q =-2,所以S n =23[(-2)n -1],所以S 5=23×[(-2)5-1]=-22,故选D .3.已知数列{a n }是等比数列,数列{b n }是等差数列,若a 1·a 6·a 11=-33,b 1+b 6+b 11=7π,则tan b 3+b 91-a 4·a 8的值是 ( )A .- 3B .-1C .-33D . 3解析:选A .依题意得,a 36=(-3)3,3b 6=7π,所以a 6=-3,b 6=7π3,所以b 3+b 91-a 4·a 8=2b 61-a 26=-7π3,故tan b 3+b 91-a 4·a 8=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫-7π3=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫-2π-π3=-tan π3=-3,故选A .4.(一题多解)(2019·合肥市第一次质量检测)已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *),a 5+a 7-a 26=0,则S 11的值为( )A .11B .12C .20D .22解析:选D .通解:设等差数列{a n }的公差为d (d >0),则由(a 1+4d )+(a 1+6d )-(a 1+5d )2=0,得(a 1+5d )(a 1+5d -2)=0,所以a 1+5d =0或a 1+5d =2,又a 1>0,所以a 1+5d >0,则a 1+5d =2,则S 11=11a 1+11×102d =11(a 1+5d )=11×2=22,故选D . 优解:因为{a n }为正项等差数列,所以由等差数列的性质,并结合a 5+a 7-a 26=0,得2a 6-a 26=0,a 6=2,则S 11=11(a 1+a 11)2=11×2a 62=11a 6=22,故选D .5.(2019·郑州市第一次质量预测)已知数列{a n }为等比数列,首项a 1=4,数列{b n }满足b n =log 2a n ,且b 1+b 2+b 3=12,则a 4=( )A .4B .32C .108D .256解析:选D .设等比数列{a n }的公比为q ,由题意知q >0,又首项a 1=4,所以数列{a n }的通项公式为a n =4·qn -1,又b n =log 2a n ,所以b n =log 2(4·qn -1)=2+(n -1)log 2q ,所以{b n }为等差数列,则b 1+b 2+b 3=3b 2=12,所以b 2=4,由b 2=2+(2-1)log 2q =4,解得q =4,所以a 4=4×44-1=44=256.故选D .6.等差数列{a n }中,已知|a 6|=|a 11|,且公差d >0,则其前n 项和取最小值时n 的值为( ) A .6 B .7 C .8D .9解析:选C .由d >0可得等差数列{a n }是递增数列,又|a 6|=|a 11|,所以-a 6=a 11,即-a 1-5d =a 1+10d ,所以a 1=-15d 2,则a 8=-d 2<0,a 9=d2>0,所以前8项和为前n 项和的最小值,故选C .二、填空题7.(2019·贵阳市第一学期监测)已知数列{a n }中,a 1=3,a 2=7.当n ∈N *时,a n +2是乘积a n ·a n +1的个位数,则a 2 019=________.解析:a 1=3,a 2=7,a 1a 2=21,a 3=1,a 2a 3=7,a 4=7,a 3a 4=7,a 5=7,a 4a 5=49,a 6=9,a 5a 6=63,a 7=3,a 6a 7=27,a 8=7,a 7a 8=21,a 9=1,a 8a 9=7,所以数列{a n }是周期为6的数列,又2 019=6×336+3,所以a 2 019=a 3=1.答案:18.在数列{a n }中,n ∈N *,若a n +2-a n +1a n +1-a n=k (k 为常数),则称{a n }为“等差比数列”,下列是对“等差比数列”的判断:①k 不可能为0;②等差数列一定是“等差比数列”; ③等比数列一定是“等差比数列”; ④“等差比数列”中可以有无数项为0. 其中所有正确判断的序号是________.解析:由等差比数列的定义可知,k 不为0,所以①正确,当等差数列的公差为0,即等差数列为常数列时,等差数列不是等差比数列,所以②错误;当{a n }是等比数列,且公比q =1时,{a n }不是等差比数列,所以③错误;数列0,1,0,1,…是等差比数列,该数列中有无数多个0,所以④正确.答案:①④9.(2019·洛阳尖子生第二次联考)已知函数f (x )=e x-1e x +1,g (x )=f (x -1)+1,a n =g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n +g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n +g ⎝ ⎛⎭⎪⎫3n +…+g ⎝⎛⎭⎪⎫2n -1n (n ∈N *),则数列{a n}的通项公式为________.解析:因为f (x )=e x-1e x +1,所以f (-x )=e -x-1e -x +1=1-exe x +1=-f (x ),所以函数f (x )为奇函数.因为g (x )=f (x -1)+1,所以g (x )的图象关于点(1,1)对称,若x 1+x 2=2,则有g (x 1)+g (x 2)=2,所以a n =g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n +g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n +g ⎝ ⎛⎭⎪⎫3n +…+g ⎝⎛⎭⎪⎫2n -1n =2(n -1)+g (1)=2n -2+f (0)+1=2n -1,即a n =2n -1,故数列{a n }的通项公式为a n =2n -1.答案:a n =2n -1 三、解答题10.(2019·昆明市诊断测试)已知数列{a n }是等比数列,公比q <1,若a 2=2,a 1+a 2+a 3=7.(1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =log 2a n ,求数列{b n }的前n 项和. 解:(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q =2a 1+a 1q +a 1q 2=7,则⎩⎪⎨⎪⎧a 1=4q =12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1q =2(舍去). 所以a n =4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1=23-n.(2)因为b n =log 2a n =log 223-n=3-n ,所以数列{b n }是首项为2,公差为-1的等差数列.设数列{b n }的前n 项和为T n , 则T n =n (2+3-n )2=n (5-n )2.11.(2019·武汉调研)已知等差数列{a n }前三项的和为-9,前三项的积为-15. (1)求等差数列{a n }的通项公式;(2)若{a n }为递增数列,求数列{|a n |}的前n 项和S n .解:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,则依题意得a 2=-3,则a 1=-3-d ,a 3=-3+d , 所以(-3-d )(-3)(-3+d )=-15,得d 2=4,d =±2, 所以a n =-2n +1或a n =2n -7.(2)由题意得a n =2n -7,所以|a n |=⎩⎪⎨⎪⎧7-2n ,n ≤32n -7,n ≥4,①n ≤3时,S n =-(a 1+a 2+…+a n )=5+(7-2n )2n =6n -n 2;②n ≥4时,S n =-a 1-a 2-a 3+a 4+…+a n =-2(a 1+a 2+a 3)+(a 1+a 2+…+a n )=18-6n +n 2.综上,数列{|a n |}的前n 项和S n =⎩⎪⎨⎪⎧-n 2+6n ,n ≤3n 2-6n +18,n ≥4.12.(2019·长沙市统一模拟考试)已知数列{a n }的首项a 1=3,a 3=7,且对任意的n ∈N *,都有a n -2a n +1+a n +2=0,数列{b n }满足b n =a 2n -1,n ∈N *.(1)求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)求使b 1+b 2+…+b n >2 018成立的最小正整数n 的值. 解:(1)令n =1得,a 1-2a 2+a 3=0,解得a 2=5.又由a n -2a n +1+a n +2=0知,a n +2-a n +1=a n +1-a n =…=a 2-a 1=2, 故数列{a n }是首项a 1=3,公差d =2的等差数列, 于是a n =2n +1,b n =a 2n -1=2n +1.(2)由(1)知,b n =2n+1.于是b 1+b 2+…+b n =(21+22+ (2))+n =2(1-2n)1-2+n =2n +1+n -2.令f (n )=2n +1+n -2,易知f (n )是关于n 的单调递增函数,又f (9)=210+9-2=1 031,f (10)=211+10-2=2 056, 故使b 1+b 2+…+b n >2 018成立的最小正整数n 的值是10.第1讲 等差数列与等比数列[做真题]题型一 等差数列1.(2019·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4=0,a 5=5,则( ) A .a n =2n -5 B .a n =3n -10 C .S n =2n 2-8nD .S n =12n 2-2n解析:选A .法一:设等差数列{a n }的公差为d ,因为⎩⎪⎨⎪⎧S 4=0,a 5=5,所以⎩⎪⎨⎪⎧4a 1+4×32d =0,a 1+4d =5,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-3,d =2,所以a n =a 1+(n -1)d =-3+2(n -1)=2n -5,S n =na 1+n (n -1)2d =n 2-4n .故选A .法二:设等差数列{a n }的公差为d ,因为⎩⎪⎨⎪⎧S 4=0,a 5=5,所以⎩⎪⎨⎪⎧4a 1+4×32d =0,a 1+4d =5,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-3,d =2.选项A ,a 1=2×1-5=-3;选项B ,a 1=3×1-10=-7,排除B ; 选项C ,S 1=2-8=-6,排除C ; 选项D ,S 1=12-2=-32,排除D .故选A .2.(2018·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=( )A .-12B .-10C .10D .12解析:选B .设等差数列{a n }的公差为d ,因为3S 3=S 2+S 4,所以3(3a 1+3×22d )=2a 1+d+4a 1+4×32d ,解得d =-32a 1,因为a 1=2,所以d =-3,所以a 5=a 1+4d =2+4×(-3)=-10.故选B .3.(2017·高考全国卷Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1,公差不为0.若a 2,a 3,a 6成等比数列,则{a n }前6项的和为( )A .-24B .-3C .3D .8解析:选A .设等差数列{a n }的公差为d ,因为a 2,a 3,a 6成等比数列,所以a 2a 6=a 23,即(a 1+d )(a 1+5d )=(a 1+2d )2,又a 1=1,所以d 2+2d =0,又d ≠0,则d =-2,所以a 6=a 1+5d =-9,所以{a n }前6项的和S 6=1-92×6=-24,故选A .4.(2019·高考全国卷Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 1≠0,a 2=3a 1,则S 10S 5=________.解析:设等差数列{a n }的公差为d ,由a 2=3a 1,即a 1+d =3a 1,得d =2a 1, 所以S 10S 5=10a 1+10×92d 5a 1+5×42d =10a 1+10×92×2a 15a 1+5×42×2a 1=10025=4.答案:4题型二 等比数列1.(2019·高考全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15,且a 5=3a 3+4a 1,则a 3=( )A .16B .8C .4D .2解析:选C .设等比数列{a n }的公比为q ,由a 5=3a 3+4a 1得q 4=3q 2+4,得q 2=4,因为数列{a n }的各项均为正数,所以q =2,又a 1+a 2+a 3+a 4=a 1(1+q +q 2+q 3)=a 1(1+2+4+8)=15,所以a 1=1,所以a 3=a 1q 2=4.2.(2017·高考全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )A .1盏B .3盏C .5盏D .9盏解析:选B .每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列,记为{a n },则前7项的和S 7=381,公比q =2,依题意,得S 7=a 1(1-27)1-2=381,解得a 1=3,故选B .3.(2019·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1=13,a 24=a 6,则S 5=________.解析:通解:设等比数列{a n }的公比为q ,因为a 24=a 6,所以(a 1q 3)2=a 1q 5,所以a 1q =1,又a 1=13,所以q =3,所以S 5=a 1(1-q 5)1-q =13×(1-35)1-3=1213.优解:设等比数列{a n }的公比为q ,因为a 24=a 6,所以a 2a 6=a 6,所以a 2=1,又a 1=13,所以q =3,所以S 5=a 1(1-q 5)1-q =13×(1-35)1-3=1213.答案:12134.(2018·高考全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中,a 1=1,a 5=4a 3. (1)求{a n }的通项公式;(2)记S n 为{a n }的前n 项和.若S m =63,求m . 解:(1)设{a n }的公比为q ,由题设得a n =qn -1.由已知得q 4=4q 2,解得q =0(舍去),q =-2或q =2. 故a n =(-2)n -1或a n =2n -1.(2)若a n =(-2)n -1,则S n =1-(-2)n3.由S m =63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解. 若a n =2n -1,则S n =2n-1.由S m =63得2m=64,解得m =6. 综上,m =6.题型三 等差、等比数列的判定与证明(2019·高考全国卷Ⅱ)已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1,b 1=0,4a n +1=3a n -b n +4,4b n +1=3b n -a n -4.(1)证明:{a n +b n }是等比数列,{a n -b n }是等差数列; (2)求{a n }和{b n }的通项公式.解:(1)证明:由题设得4(a n +1+b n +1)=2(a n +b n ),即a n +1+b n +1=12(a n +b n ).又因为a 1+b 1=1,所以{a n +b n }是首项为1,公比为12的等比数列.由题设得4(a n +1-b n +1)=4(a n -b n )+8,即a n +1-b n +1=a n -b n +2. 又因为a 1-b 1=1,所以{a n -b n }是首项为1,公差为2的等差数列. (2)由(1)知,a n +b n =12n -1,a n -b n =2n -1.所以a n =12[(a n +b n )+(a n -b n )]=12n +n -12,b n =12[(a n +b n )-(a n -b n )]=12n -n +12.[明考情]等差数列、等比数列的判定及其通项公式在考查基本运算、基本概念的同时,也注重对函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想的考查;对等差数列、等比数列的性质考查主要是求解数列的等差中项、等比中项、通项公式和前n 项和的最大、最小值等问题,主要是中低档题.等差、等比数列的基本运算[典型例题](1)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=1,S 10S 5=3332,则数列{a n }的公比q 为( )A .4B .2C .12D .34(2)(2019·开封模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,等比数列{b n }的前n 项和为T n ,a 1=-1,b 1=1,a 2+b 2=3.①若a 3+b 3=7,求{b n }的通项公式; ②若T 3=13,求S n .【解】 (1)选C .因为S 10S 5=3332≠2,所以q ≠1.所以S 10S 5=a 1(1-q 10)1-q a 1(1-q 5)1-q=1+q 5,所以1+q 5=3332,所以q =12. (2)①设数列{a n }的公差为d ,数列{b n }的公比为q , 则a n =-1+(n -1)d ,b n =qn -1.由a 2+b 2=3,得d +q =4,(*)由a 3+b 3=7,得2d +q 2=8,(**) 联立(*)(**),解得q =2或q =0(舍去), 因此数列{b n }的通项公式为b n =2n -1.②因为T 3=1+q +q 2,所以1+q +q 2=13, 解得q =3或q =-4, 由a 2+b 2=3,得d =4-q , 所以d =1或d =8. 由S n =na 1+12n (n -1)d ,得S n =12n 2-32n 或S n =4n 2-5n .等差、等比数列问题的求解策略(1)抓住基本量,首项a 1、公差d 或公比q ;(2)熟悉一些结构特征,如前n 项和为S n =an 2+bn (a ,b 是常数)的形式的数列为等差数列,通项公式为a n =p ·qn -1(p ,q ≠0)的形式的数列为等比数列;(3)由于等比数列的通项公式、前n 项和公式中变量n 在指数位置,所以常采用两式相除(即比值的方式)进行相关计算.[对点训练]1.(一题多题)(2019·沈阳市质量监测(一))已知等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1=12,S 5=90,则等差数列{a n }的公差d =( )A .2B .32 C .3D .4解析:选C .法一:依题意,5×12+5×42d =90,解得d =3,故选C .法二:因为等差数列{a n }中,S 5=90,所以5a 3=90,即a 3=18,因为a 1=12,所以2d =a 3-a 1=18-12=6,所以d =3,故选C .2.(一题多题)(2019·福州市质量检测)等比数列{a n }的各项均为正实数,其前n 项和为S n .若a 3=4,a 2a 6=64,则S 5=( )A .32B .31C .64D .63解析:选B .通解:设首项为a 1,公比为q ,因为a n >0,所以q >0,由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1·q 2=4a 1q ·a 1q 5=64,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1q =2,所以S 5=31,故选B .优解:设首项为a 1,公比为q ,因为a n >0,所以q >0,由a 2a 6=a 24=64,a 3=4,得q =2,a 1=1,所以S 5=31,故选B .3.(2019·武昌区调研考试)设{a n }是公差不为零的等差数列,S n 为其前n 项和,已知S 1,S 2,S 4成等比数列,且a 3=5,则数列{a n }的通项公式为________.解析:设数列{a n }的公差为d (d ≠0),因为{a n }是等差数列,S 1,S 2,S 4成等比数列,所以(a 1+a 2)2=a 1(a 1+a 2+a 3+a 4),因为a 3=5,所以(5-2d +5-d )2=(5-2d )(5-2d +15),解得d =2或d =0(舍去),所以5=a 1+(3-1)×2,即a 1=1,所以a n =2n -1.答案:a n =2n -1等差(比)数列的性质[典型例题](1)(2019·贵州省适应性考试)等差数列{a n }中,a 2与a 4是方程x 2-4x +3=0的两个根,则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=( )A .6B .8C .10D .12(2)在等比数列{a n }中,a 3,a 15是方程x 2+6x +2=0的根,则a 2a 16a 9的值为( ) A .-2+22B .- 2C . 2D .-2或 2(3)(2019·长春质量检测)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若S 4≠0,且S 8=3S 4,S 12=λS 8,则λ=( )A .13B .12C .2D .3【解析】 (1)根据题意有a 2+a 4=4,在等差数列{a n }中,a 2+a 4=a 1+a 5=2a 3=4⇒a 3=2,所以a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=5a 3=10.故选C .(2)设等比数列{a n }的公比为q ,因为a 3,a 15是方程x 2+6x +2=0的根,所以a 3·a 15=a 29=2,a 3+a 15=-6,所以a 3<0,a 15<0,则a 9=-2,所以a 2a 16a 9=a 29a 9=a 9=-2,故选B .(3)因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和, 若S 4≠0,且S 8=3S 4,S 12=λS 8,所以由等差数列的性质得:S 4,S 8-S 4,S 12-S 8成等差数列,所以2(S 8-S 4)=S 4+(S 12-S 8), 所以2(3S 4-S 4)=S 4+(λ·3S 4-3S 4), 解得λ=2.【答案】 (1)C (2)B (3)C等差、等比数列性质问题的求解策略1.(一题多解)(2019·福建省质量检查)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 8-a 5=9,S 8-S 5=66,则a 33=( )A .82B .97C .100D .115解析:选C .通解:设等差数列{a n }的公差为d,则由⎩⎪⎨⎪⎧a 8-a 5=9,S 8-S 5=66,得⎩⎪⎨⎪⎧(a 1+7d )-(a 1+4d )=9,(8a 1+28d )-(5a 1+10d )=66,解得⎩⎪⎨⎪⎧d =3,a 1=4,所以a 33=a 1+32d =4+32×3=100,故选C . 优解:设等差数列{a n }的公差为d ,由a 8-a 5=9,得3d =9,即d =3.由S 8-S 5=66,得a 6+a 7+a 8=66,结合等差数列的性质知3a 7=66,即a 7=22,所以a 33=a 7+(33-7)×d =22+26×3=100,故选C .2.(一题多解)(2019·广东省七校联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 6+a 8=6,S 9-S 6=3,则S n 取得最大值时n 的值为( )A .5B .6C .7D .8解析:选D .法一:设{a n }的公差为d ,则由题意得,⎩⎪⎨⎪⎧a 1+5d +a 1+7d =6,a 1+6d +a 1+7d +a 1+8d =3,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=15,d =-2.所以a n =-2n +17,由于a 8>0,a 9<0,所以S n 取得最大值时n 的值是8,故选D . 法二:设{a n }的公差为d ,则由题意得,⎩⎪⎨⎪⎧a 1+5d +a 1+7d =6,a 1+6d +a 1+7d +a 1+8d =3,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=15,d =-2.则S n =15n +n (n -1)2×(-2)=-(n -8)2+64,所以当n =8时,S n 取得最大值,故选D .3.(一题多解)已知数列{a n }满足a n =⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12-λn +1(n <6),λn -5(n ≥6),若对于任意的n ∈N *都有a n >a n+1,则实数λ的取值范围是________.解析:法一:因为a n >a n +1,所以数列{a n}是递减数列,所以⎩⎪⎨⎪⎧12-λ<0,0<λ<1,λ<⎝ ⎛⎭⎪⎫12-λ×5+1,解得12<λ<712.所以实数λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12,712. 法二:因为a n >a n +1恒成立,所以0<λ<1.若0<λ≤12,则当n <6时,数列{a n }为递增数列或常数列,不满足对任意的n ∈N *都有a n >a n+1;若12<λ<1,则当n <6时,数列{a n }为递减数列,当n ≥6时,数列{a n }为递减数列,又对任意的n ∈N *都有a n >a n +1,所以a 6<a 5,即λ<⎝ ⎛⎭⎪⎫12-λ×5+1,解得λ<712,所以12<λ<712.综上,实数λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12,712.答案:⎝ ⎛⎭⎪⎫12,712等差(比)数列的判定与证明[典型例题](2019·广州市调研测试)设S n 为数列{a n }的前n 项和,已知a 3=7,a n =2a n -1+a 2-2(n ≥2).(1)证明:数列{a n +1}为等比数列;(2)求数列{a n }的通项公式,并判断n ,a n ,S n 是否成等差数列? 【解】 (1)证明:因为a 3=7,a 3=3a 2-2,所以a 2=3, 所以a n =2a n -1+1, 所以a 1=1,a n +1a n -1+1=2a n -1+2a n -1+1=2(n ≥2),所以数列{a n +1}是首项为a 1+1=2,公比为2的等比数列. (2)由(1)知,a n +1=2n, 所以a n =2n-1,所以S n =2(1-2n)1-2-n =2n +1-n -2,所以n +S n -2a n =n +(2n +1-n -2)-2(2n-1)=0,所以n +S n =2a n , 即n ,a n ,S n 成等差数列.判断(证明)等差(比)数列应注意的问题(1)判断或者证明数列为等差数列、等比数列最基本的方法是用定义判断或证明,其他方法最后都会回到定义,如证明等差数列可以证明通项公式是n 的一次函数,但最后还得使用定义才能说明其为等差数列.(2)证明数列{a n }为等比数列时,不能仅仅证明a n +1=qa n ,还要说明a 1≠0,才能递推得出数列中的各项均不为零,最后判定数列{a n }为等比数列.[对点训练]1.(2019·湖南省湘东六校联考)已知数列{a n }满足a n +1-3a n =3n(n ∈N *)且a 1=1. (1)设b n =a n3n -1,证明数列{b n }为等差数列;(2)设c n =n a n,求数列{c n }的前n 项和S n . 解:(1)证明:由已知得a n +1=3a n +3n,得b n +1=a n +13n=3a n +3n3n=a n3n -1+1=b n +1, 所以b n +1-b n =1,又a 1=1, 所以b 1=1,所以数列{b n }是首项为1,公差为1的等差数列. (2)由(1)知,b n =a n3n -1=n ,所以a n =n ·3n -1,c n =13n -1,所以S n =1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1-13n 1-13=32⎝ ⎛⎭⎪⎫1-13n =32-12·3n -1.2.设S n 为数列{a n }的前n 项和,对任意的n ∈N *,都有S n =2-a n ,数列{b n }满足b 1=2a 1,b n =b n -11+b n -1(n ≥2,n ∈N *).(1)求证:数列{a n }是等比数列,并求{a n }的通项公式;(2)判断数列{1b n}是等差数列还是等比数列,并求数列{b n }的通项公式.解:(1)当n =1时,a 1=S 1=2-a 1,解得a 1=1; 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=a n -1-a n , 即a n a n -1=12(n ≥2,n ∈N *). 所以数列{a n }是首项为1,公比为12的等比数列,故数列{a n }的通项公式为a n =⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1.(2)因为a 1=1, 所以b 1=2a 1=2. 因为b n =b n -11+b n -1,所以1b n =1b n -1+1,即1b n -1b n -1=1(n ≥2).所以数列{1b n }是首项为12,公差为1的等差数列.所以1b n =12+(n -1)·1=2n -12,故数列{b n }的通项公式为b n =22n -1.数列与新定义相交汇问题[典型例题]对任一实数序列A =(a 1,a 2,a 3,…),定义新序列ΔA =(a 2-a 1,a 3-a 2,a 4-a 3,…),它的第n 项为a n +1-a n .假定序列Δ(ΔA )的所有项都是1,且a 12=a 22=0,则a 2=________.【解析】 令b n =a n +1-a n ,依题意知数列{b n }为等差数列,且公差为1, 所以b n =b 1+(n -1)×1,a 1=a 1, a 2-a 1=b 1, a 3-a 2=b 2,…a n -a n -1=b n -1,累加得a n =a 1+b 1+…+b n -1=a 1+(n -1)b 1+(n -1)(n -2)2=(n -1)a 2-(n -2)a 1+(n -1)(n -2)2,分别令n =12,n =22,得⎩⎪⎨⎪⎧11a 2-10a 1+55=0,21a 2-20a 1+210=0, 解得a 1=2312,a 2=100.【答案】 100数列新定义型创新题的一般解题思路(1)阅读审清“新定义”.(2)结合常规的等差数列、等比数列的相关知识,化归、转化到“新定义”的相关知识. (3)利用“新定义”及常规的数列知识,求解证明相关结论.[对点训练]1.对于数列{a n },定义数列{a n +1-a n }为数列{a n }的“差数列”,若a 1=2,数列{a n }的“差数列”的通项公式为a n +1-a n =2n,则数列{a n }的前n 项和S n =( )A .2B .2nC .2n +1-2 D .2n -1-2解析:选C .因为a n +1-a n =2n,所以a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 2-a 1)+a 1=2n-1+2n -2+…+22+2+2=2-2n 1-2+2=2n -2+2=2n ,所以S n =2-2n +11-2=2n +1-2.2.(2019·福建五校第二次联考)在数列{a n }中,a 1=13,1a n +1=3a n (a n +3),n ∈N +,且b n=13+a n.记P n =b 1×b 2×…×b n ,S n =b 1+b 2+…+b n ,则3n +1P n +S n =________. 解析:因为1a n +1=3a n (a n +3)=1a n -1a n +3,所以b n =13+a n =1a n -1a n +1,所以S n =b 1+b 2+…+b n =⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1-1a 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2-1a 3+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n -1a n +1=1a 1-1a n +1.因为1a n +1=3a n (a n +3),所以b n =13+a n =a n 3a n +1,所以P n =b 1×b 2×…×b n =a 13a 2×a 23a 3×…×a n 3a n +1=a 13n a n +1.又a 1=13,故3n +1P n +S n =3a 1a n +1+1a 1-1a n +1=1a 1=3. 答案:3一、选择题1.(2019·福州市质量检测)已知数列{a n }中,a 3=2,a 7=1.若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列,则a 9=( )A .12 B .54 C .45D .-45解析:选C .因为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列,a 3=2,a 7=1,所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的公差d =1a 7-1a 37-3=1-127-3=18,所以1a 9=1a 7+(9-7)×18=54,所以a 9=45,故选C .2.(一题多解)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 2=2,S 3=-6,则S 5=( ) A .18 B .10 C .-14D .-22解析:选D .法一:设等比数列{a n }的公比为q ,由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+a 1q =2a 1+a 1q +a 1q 2=-6,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-2q =-2,所以S 5=-2×[1-(-2)5]1-(-2)=-22,故选D .法二:设等比数列{a n }的公比为q ,易知q ≠1,令A =a 1q -1,则S n =Aq n-A ,⎩⎪⎨⎪⎧S 2=Aq 2-A =2S 3=Aq 3-A =-6,解得⎩⎪⎨⎪⎧A =23q =-2,所以S n =23[(-2)n -1],所以S 5=23×[(-2)5-1]=-22,故选D .3.已知数列{a n }是等比数列,数列{b n }是等差数列,若a 1·a 6·a 11=-33,b 1+b 6+b 11=7π,则tan b 3+b 91-a 4·a 8的值是 ( )A .- 3B .-1C .-33D . 3解析:选A .依题意得,a 36=(-3)3,3b 6=7π,所以a 6=-3,b 6=7π3,所以b 3+b 91-a 4·a 8=2b 61-a 26=-7π3,故tan b 3+b 91-a 4·a 8=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫-7π3=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫-2π-π3=-tan π3=-3,故选A . 4.(一题多解)(2019·合肥市第一次质量检测)已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *),a 5+a 7-a 26=0,则S 11的值为( )A .11B .12C .20D .22解析:选D .通解:设等差数列{a n }的公差为d (d >0),则由(a 1+4d )+(a 1+6d )-(a 1+5d )2=0,得(a 1+5d )(a 1+5d -2)=0,所以a 1+5d =0或a 1+5d =2,又a 1>0,所以a 1+5d >0,则a 1+5d =2,则S 11=11a 1+11×102d =11(a 1+5d )=11×2=22,故选D . 优解:因为{a n }为正项等差数列,所以由等差数列的性质,并结合a 5+a 7-a 26=0,得2a 6-a 26=0,a 6=2,则S 11=11(a 1+a 11)2=11×2a 62=11a 6=22,故选D .5.(2019·郑州市第一次质量预测)已知数列{a n }为等比数列,首项a 1=4,数列{b n }满足b n =log 2a n ,且b 1+b 2+b 3=12,则a 4=( )A .4B .32C .108D .256解析:选D .设等比数列{a n }的公比为q ,由题意知q >0,又首项a 1=4,所以数列{a n }的通项公式为a n =4·qn -1,又b n =log 2a n ,所以b n =log 2(4·qn -1)=2+(n -1)log 2q ,所以{b n }为等差数列,则b 1+b 2+b 3=3b 2=12,所以b 2=4,由b 2=2+(2-1)log 2q =4,解得q =4,所以a 4=4×44-1=44=256.故选D .6.等差数列{a n }中,已知|a 6|=|a 11|,且公差d >0,则其前n 项和取最小值时n 的值为( ) A .6 B .7 C .8D .9解析:选C .由d >0可得等差数列{a n }是递增数列,又|a 6|=|a 11|,所以-a 6=a 11,即-a 1-5d =a 1+10d ,所以a 1=-15d 2,则a 8=-d 2<0,a 9=d2>0,所以前8项和为前n 项和的最小值,故选C .二、填空题7.(2019·贵阳市第一学期监测)已知数列{a n }中,a 1=3,a 2=7.当n ∈N *时,a n +2是乘积a n ·a n +1的个位数,则a 2 019=________.解析:a 1=3,a 2=7,a 1a 2=21,a 3=1,a 2a 3=7,a 4=7,a 3a 4=7,a 5=7,a 4a 5=49,a 6=9,a 5a 6=63,a 7=3,a 6a 7=27,a 8=7,a 7a 8=21,a 9=1,a 8a 9=7,所以数列{a n }是周期为6的数列,又2 019=6×336+3,所以a 2 019=a 3=1.答案:18.在数列{a n }中,n ∈N *,若a n +2-a n +1a n +1-a n=k (k 为常数),则称{a n }为“等差比数列”,下列是对“等差比数列”的判断:①k 不可能为0;②等差数列一定是“等差比数列”; ③等比数列一定是“等差比数列”; ④“等差比数列”中可以有无数项为0. 其中所有正确判断的序号是________.解析:由等差比数列的定义可知,k 不为0,所以①正确,当等差数列的公差为0,即等差数列为常数列时,等差数列不是等差比数列,所以②错误;当{a n }是等比数列,且公比q =1时,{a n }不是等差比数列,所以③错误;数列0,1,0,1,…是等差比数列,该数列中有无数多个0,所以④正确.答案:①④9.(2019·洛阳尖子生第二次联考)已知函数f (x )=e x-1e x +1,g (x )=f (x -1)+1,a n =g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n +g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n +g ⎝ ⎛⎭⎪⎫3n +…+g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n -1n (n ∈N *),则数列{a n}的通项公式为________.解析:因为f (x )=e x-1e x +1,所以f (-x )=e -x-1e -x +1=1-exe x +1=-f (x ),所以函数f (x )为奇函数.因为g (x )=f (x -1)+1,所以g (x )的图象关于点(1,1)对称,若x 1+x 2=2,则有g (x 1)+g (x 2)=2,所以a n =g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n +g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n +g ⎝ ⎛⎭⎪⎫3n +…+g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n -1n =2(n -1)+g (1)=2n -2+f (0)+1=2n -1,即a n =2n -1,故数列{a n }的通项公式为a n =2n -1.答案:a n =2n -1 三、解答题10.(2019·昆明市诊断测试)已知数列{a n }是等比数列,公比q <1,若a 2=2,a 1+a 2+a 3=7.(1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =log 2a n ,求数列{b n }的前n 项和.解:(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q =2a 1+a 1q +a 1q 2=7, 则⎩⎪⎨⎪⎧a 1=4q =12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1q =2(舍去). 所以a n =4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1=23-n.(2)因为b n =log 2a n =log 223-n=3-n ,所以数列{b n }是首项为2,公差为-1的等差数列.设数列{b n }的前n 项和为T n ,则T n =n (2+3-n )2=n (5-n )2.11.(2019·武汉调研)已知等差数列{a n }前三项的和为-9,前三项的积为-15. (1)求等差数列{a n }的通项公式;(2)若{a n }为递增数列,求数列{|a n |}的前n 项和S n .解:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,则依题意得a 2=-3,则a 1=-3-d ,a 3=-3+d , 所以(-3-d )(-3)(-3+d )=-15,得d 2=4,d =±2, 所以a n =-2n +1或a n =2n -7.(2)由题意得a n =2n -7,所以|a n |=⎩⎪⎨⎪⎧7-2n ,n ≤32n -7,n ≥4,①n ≤3时,S n =-(a 1+a 2+…+a n )=5+(7-2n )2n =6n -n 2;②n ≥4时,S n =-a 1-a 2-a 3+a 4+…+a n =-2(a 1+a 2+a 3)+(a 1+a 2+…+a n )=18-6n +n 2.综上,数列{|a n |}的前n 项和S n =⎩⎪⎨⎪⎧-n 2+6n ,n ≤3n 2-6n +18,n ≥4.12.(2019·长沙市统一模拟考试)已知数列{a n }的首项a 1=3,a 3=7,且对任意的n ∈N *,都有a n -2a n +1+a n +2=0,数列{b n }满足b n =a 2n -1,n ∈N *.(1)求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)求使b 1+b 2+…+b n >2 018成立的最小正整数n 的值. 解:(1)令n =1得,a 1-2a 2+a 3=0,解得a 2=5.又由a n -2a n +1+a n +2=0知,a n +2-a n +1=a n +1-a n =…=a 2-a 1=2, 故数列{a n }是首项a 1=3,公差d =2的等差数列, 于是a n =2n +1,b n =a 2n -1=2n +1.(2)由(1)知,b n =2n+1.于是b 1+b 2+…+b n =(21+22+ (2))+n =2(1-2n)1-2+n =2n +1+n -2.令f (n )=2n +1+n -2,易知f (n )是关于n 的单调递增函数,又f (9)=210+9-2=1 031,f (10)=211+10-2=2 056, 故使b 1+b 2+…+b n >2 018成立的最小正整数n 的值是10.第2讲 数列通项与求和[A 组 夯基保分专练]一、选择题1.(2019·广东省六校第一次联考)数列{a n }的前n 项和为S n =n 2+n +1,b n =(-1)na n (n ∈N *),则数列{b n }的前50项和为( )A .49B .50C .99D .100解析:选A .由题意得,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n ,当n =1时,a 1=S 1=3,所以数列{b n }的前50项和为-3+4-6+8-10+…+96-98+100=1+48=49,故选A .2.(一题多解)(2019·洛阳尖子生第二次联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,S n=2a n +1,则S n =( )A .2n -1B .⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -1C .⎝ ⎛⎭⎪⎫23n -1D .⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1解析:选B .法一:当n =1时,S 1=a 1=2a 2,则a 2=12.当n ≥2时,S n -1=2a n ,则S n -S n-1=a n =2a n +1-2a n ,所以a n +1a n =32,所以当n ≥2时,数列{a n }是公比为32的等比数列,所以a n =⎩⎨⎧1,n =112×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -2,n ≥2,所以S n=1+12+12×32+…+12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -2=1+12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -11-32=⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -1,当n =1时,此式也成立. 故选B .法二:当n =1时,S 1=a 1=2a 2,则a 2=12,所以S 2=1+12=32,结合选项可得只有B 满足,故选B .3.数列{a n }中,a 1=2,a 2=3,a n +1=a n -a n -1(n ≥2,n ∈N *),那么a 2 019=( ) A .1 B .-2 C .3D .-3解析:选A .因为a n +1=a n -a n -1(n ≥2),所以a n =a n -1-a n -2(n ≥3),所以a n +1=a n -a n -1=(a n -1-a n -2)-a n -1=-a n -2(n ≥3).所以a n +3=-a n (n ∈N *),所以a n +6=-a n +3=a n , 故{a n }是以6为周期的周期数列. 因为2 019=336×6+3,所以a 2 019=a 3=a 2-a 1=3-2=1.故选A .4.若数列{a n }满足a 1=1,且对于任意的n ∈N *都有a n +1=a n +n +1,则1a 1+1a 2+…+1a 2 017+1a 2 018等于( ) A .4 0352 017 B .2 0162 017 C .4 0362 019D .4 0352 018解析:选C .由a n +1=a n +n +1,得a n +1-a n =n +1, 则a 2-a 1=1+1,a 3-a 2=2+1, a 4-a 3=3+1,…,a n -a n -1=(n -1)+1,以上等式相加,得a n -a 1=1+2+3+…+(n -1)+n -1, 把a 1=1代入上式得,a n =1+2+3+…+(n -1)+n =n (n +1)2,1a n=2n (n +1)=2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +1,则1a 1+1a 2+…+1a 2 017+1a 2 018=2⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12+⎝ ⎛⎭⎪⎫12-13+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017-12 018⎦⎥⎤+⎝ ⎛⎭⎪⎫12 018-12 019=2⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12 019=4 0362 019.5.(2019·郑州市第一次质量预测)已知数列{a n }满足2a n +1+a n =3(n ≥1),且a 3=134,其前n 项和为S n ,则满足不等式|S n -n -6|<1123的最小整数n 是( )A .8B .9C .10D .11解析:选C .由2a n +1+a n =3,得2(a n +1-1)+(a n -1)=0,即a n +1-1a n -1=-12(*), 又a 3=134,所以a 3-1=94,代入(*)式,有a 2-1=-92,a 1-1=9,所以数列{a n -1}是首项为9,公比为-12的等比数列.所以|S n -n -6|=|(a 1-1)+(a 2-1)+…+(a n -1)-6|=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪9×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n 1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-12-6=⎪⎪⎪⎪⎪⎪-6×⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n <1123,又n ∈N *,所以n 的最小值为10.故选C . 6.(2019·江西省五校协作体试题)设S n 是数列{a n }的前n 项和,若a n +S n =2n,2bn =2a n+2-a n +1,则1b 1+12b 2+…+1100b 100=( )A .9798 B .9899 C .99100D .100101解析:选D .因为a n +S n =2n①,所以a n +1+S n +1=2n +1②,②-①得2a n +1-a n =2n,所以2a n +2-a n +1=2n +1,又2bn =2a n +2-a n +1=2n +1,所以b n =n +1,1nb n=1n (n +1)=1n -1n +1,则1b 1+12b 2+…+1100b 100=1-12+12-13+…+1100-1101=1-1101=100101,故选D . 二、填空题7.古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”意思是:“一女子善于织布,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这女子每天分别织布多少?”根据上述的已知条件,可求得该女子前3天所织布的总尺数为________.解析:设该女子第一天织布x 尺, 则x (25-1)2-1=5,解得x =531, 所以该女子前3天所织布的总尺数为531(23-1)2-1=3531.答案:35318.(一题多解)已知S n 是数列{a n }的前n 项和,且S n +1=S n +a n +3,a 4+a 5=23,则S 8=________.解析:法一:由S n +1=S n +a n +3得a n +1-a n =3,则数列{a n }是公差为3的等差数列,又a 4+a 5=23=2a 1+7d =2a 1+21,所以a 1=1,S 8=8a 1+8×72d =92.法二:由S n +1=S n +a n +3得a n +1-a n =3,则数列{a n }是公差为3的等差数列,S 8=8(a 1+a 8)2=8(a 4+a 5)2=92. 答案:929.(2019·蓉城名校第一次联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和,若a n +⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos n π2S n =2,则a 12=________.解析:当n =1,2,3,4,…时,⎪⎪⎪⎪⎪⎪cosn π2=0,1,0,1,…,所以a 1=a 3=a 5=a 7=…=2,a 2+S 2=a 4+S 4=a 6+S 6=a 8+S 8=…=a 12+S 12=…=2,S 2-S 1+S 2=S 4-S 3+S 4=S 6-S 5+S 6=S 8-S 7+S 8=…=2,所以2S 2=2+S 1⇒S 2=2;2S 4=2+S 3=4+S 2⇒S 4=2+12S 2=3,同理可得S 6=2+12S 4=2+32=72,S 8=2+12S 6=2+74=154,S 10=2+158=318,S 12=6316,又a 12+S 12=2,所以a 12=2-S 12=2-6316=-3116.答案:-3116三、解答题10.(2019·广州市综合检测(一))已知{a n }是等差数列,且lg a 1=0,lg a 4=1. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若a 1,a k ,a 6是等比数列{b n }的前3项,求k 的值及数列{a n +b n }的前n 项和. 解:(1)因为lg a 1=0,lg a 4=1, 所以a 1=1,a 4=10. 设等差数列{a n }的公差为d , 则d =a 4-a 14-1=3.所以a n =a 1+3(n -1)=3n -2. (2)由(1)知a 1=1,a 6=16,因为a 1,a k ,a 6是等比数列{b n }的前3项,所以a 2k =a 1a 6=16. 又a n =3n -2>0, 所以a k =4. 因为a k =3k -2, 所以3k -2=4,得k =2.所以等比数列{b n }的公比q =b 2b 1=a 2a 1=4.所以b n =4n -1.所以a n +b n =3n -2+4n -1.所以数列{a n +b n }的前n 项和为S n =n (3n -1)2+1-4n 1-4=32n 2-12n +13(4n -1). 11.(2019·江西八所重点中学联考)设数列{a n }满足a 1=1,a n +1=44-a n (n ∈N *).(1)求证:数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n -2是等差数列; (2)设b n =a 2na 2n -1-1,求数列{b n }的前n 项和T n . 解:(1)证明:因为a n +1=44-a n ,所以1a n +1-2-1a n -2=144-a n-2-1a n -2=4-a n 2a n -4-1a n -2=2-a n 2a n -4=-12. 又a 1=1,所以1a 1-2=-1, 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n -2是以-1为首项,-12为公差的等差数列.(2)由(1)知1a n -2=-1+(n -1)⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=-n +12,所以a n =2-2n +1=2n n +1,所以b n =a 2n a 2n -1-1=4n2n +12(2n -1)2n -1=4n2(2n -1)(2n +1)-1=1(2n -1)(2n +1)=12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1-12n +1,所以T n =b 1+b 2+b 3+…+b n =12⎝ ⎛⎭⎪⎫1-13+13-15+15-17+…+12n -1-12n +1 =12⎝⎛⎭⎪⎫1-12n +1=n2n +1, 所以数列{b n }的前n 项和T n =n2n +1. 12.(2019·福建省质量检查)数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =2a n -n . (1)求证数列{a n +1}是等比数列,并求a n ;(2)若数列{b n }为等差数列,且b 3=a 2,b 7=a 3,求数列{a n b n }的前n 项和. 解:(1)当n =1时,S 1=2a 1-1,所以a 1=1.因为S n =2a n -n ①,所以当n ≥2时,S n -1=2a n -1-(n -1)②, ①-②得a n =2a n -2a n -1-1,所以a n =2a n -1+1,所以a n +1a n -1+1=2a n -1+1+1a n -1+1=2a n -1+2a n -1+1=2.所以{a n +1}是首项为2,公比为2的等比数列. 所以a n +1=2·2n -1,所以a n =2n-1.(2)由(1)知,a 2=3,a 3=7,所以b 3=a 2=3,b 7=a 3=7. 设{b n }的公差为d ,则b 7=b 3+(7-3)·d ,所以d =1. 所以b n =b 3+(n -3)·d =n . 所以a n b n =n (2n -1)=n ·2n-n .设数列{n ·2n}的前n 项和为K n ,数列{n }的前n 项和为T n , 则K n =2+2×22+3×23+…+n ·2n③, 2K n =22+2×23+3×24+…+n ·2n +1④,③-④得,-K n =2+22+23+…+2n -n ·2n +1=2(1-2n)1-2-n ·2n +1=(1-n )·2n +1-2,所以K n =(n -1)·2n +1+2.又T n =1+2+3+…+n =n (n +1)2, 所以K n -T n =(n -1)·2n +1-n (n +1)2+2,所以数列{a n b n }的前n 项和为(n -1)·2n +1-n (n +1)2+2.[B 组 大题增分专练]1.(2019·江西七校第一次联考)数列{a n }满足a 1=1,a 2n +2=a n +1(n ∈N *). (1)求证:数列{a 2n }是等差数列,并求出{a n }的通项公式; (2)若b n =2a n +a n +1,求数列{b n }的前n 项和.解:(1)由a 2n +2=a n +1得a 2n +1-a 2n =2,且a 21=1, 所以数列{a 2n }是以1为首项,2为公差的等差数列, 所以a 2n =1+(n -1)×2=2n -1,又由已知易得a n >0,所以a n =2n -1(n ∈N *). (2)b n =2a n +a n +1=22n -1+2n +1=2n +1-2n -1,故数列{b n }的前n 项和T n =b 1+b 2+…+b n =(3-1)+(5-3)+…+(2n +1-2n -1)=2n +1-1.2.(2019·湖南省湘东六校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =S n -1+1(n ≥2,n。
(建议用时:45分钟)1.下列有关酶的叙述,正确的是()①是具有分泌功能的细胞产生的②有的从食物中获得,有的在体内转化而来③活细胞都能产生酶④酶对底物有严格的选择性⑤酶只能在细胞内发挥作用⑥低温、高温、过酸、过碱都会使酶永久失活⑦在新陈代谢和生殖发育中起调控作用⑧酶都是生物催化剂⑨酶的活性随温度上升而不断上升⑩酶制剂通常在低温下保存A.①④⑤⑦⑩B.③④⑧⑩C.②⑥⑦⑧⑨D.③④⑥⑧⑨⑩解析:选B。
酶是活细胞产生的具有催化功能的有机物,因此①错误,③正确;酶大多数为蛋白质,外源酶进入消化道后会被消化分解,因此,不能从食物中直接获得,②错误;酶具有专一性,④正确;酶在细胞内、外均能发挥作用,⑤错误;低温使酶的活性降低,高温、过酸、过碱、重金属才能使酶永久失活,⑥错误;酶只有催化作用,⑦错误,⑧正确;酶的活性在肯定范围内随温度的上升而上升,超过最适温度,随着温度的上升,酶的活性会快速降低,因此应低温保存酶,⑨错误,⑩正确。
2.酶是一种高效的生物催化剂,下列有关酶的叙述,正确的是()A.蛋白酶主要破坏肽键,将蛋白质分解成多肽B.DNA连接酶将脱氧核苷酸连接成DNA片段C.限制性核酸内切酶只用于基因工程中对目的基因的切割D.RNA聚合酶催化转录,在核糖核苷酸之间形成磷酸二酯键解析:选D。
蛋白酶破坏的是蛋白质的空间结构和某些肽键,从而将蛋白质水解成多肽和一些氨基酸;将脱氧核苷酸连接成DNA片段的是DNA聚合酶,DNA连接酶将DNA片段连接成DNA分子;限制性核酸内切酶广泛存在于原核生物中,用于对外源DNA分子进行切割,在基因工程中还可应用于对质粒的切割;RNA聚合酶催化核糖核苷酸之间形成磷酸二酯键,可将核糖核苷酸连接成RNA分子。
3.用蛋白酶去除大肠杆菌核糖体的蛋白质,处理后的核糖体仍可催化氨基酸的脱水缩合反应。
由此可推想核糖体中能催化该反应的物质是()A.蛋白酶B.RNA聚合酶C.RNA D.逆转录酶解析:选C。
第一部分 专题二 物质的量一、选择题1.(2015·广西柳州高中月考)同温同压下,甲容器中充满35Cl 2,乙容器中充满37Cl 2,下列叙述不正确的是( )A .若两种气体体积相等,则甲、乙两容器中气体密度之比为B .若两种气体体积相等,则甲、乙两容器中气体分子数之比为C .若两种气体质量相等,则甲、乙两容器中气体所含质子数之比为D .若两种气体体积相等,则甲、乙两容器中气体所含中子数之比为解析:同温同压下,若两种气体体积相等,则两种气体物质的量相等(气体分子数也相等),两种气体质量之比为,而ρ=m V ,m =Mn ,故甲、乙两容器中气体密度之比为,甲、乙两容器中气体所含中子数之比为(35--17)=,A 、D 项正确,B 项错误;同温同压下,若两种气体质量相等,则甲、乙两容器中气体物质的量之比为135137=,故甲、乙两容器中气体所含质子数之比为,C 项正确。
答案:B2.(2015·甘肃河西三校模拟)一定温度和压强下,用m g 的CH 4、CO 2、O 2、SO 2四种气体分别吹出四个体积大小不同的气球,下列说法中正确的是( )A .气球②中装的是O 2B .气球①和气球③中气体分子数相等C .气球①和气球④中气体物质的量之比为D .气球③和气球④中气体密度之比为解析:根据阿伏加德罗定律的推论:同温同压下,同质量的气体体积与其摩尔质量成反比。
四种气体的摩尔质量的大小关系为M (SO 2)>M (CO 2)>M (O 2)>M (CH 4),所以气球①、②、③、④中的气体分别为:SO 2、CO 2、O 2、CH 4,故A 项错误;同质量的气体,分子数之比等于其物质的量之比,也等于其摩尔质量的反比,气球①和气球③中气体分子数不相等,气球①和气球④中气体物质的量之比为,故B 、C 错误;同温同压下,气体的密度与其摩尔质量成正比,气球③和气球④中气体密度之比为,D 项正确。
专题二 ----力与物体的直线运动专题定位本专题解决的是物体(或带电体)在力的作用下的匀变速直线运动问题.高考对本专题考查的内容主要有:①匀变速直线运动的规律及运动图象问题;②行车安全问题;③物体在传送带(或平板车)上的运动问题;④带电粒子(或带电体)在电场、磁场中的匀变速直线运动问题;⑤电磁感应中的动力学分析.考查的主要方法和规律有:动力学方法、图象法、运动学的基本规律、临界问题的处理方法等.第1课时动力学观点在力学中的应用1.物体或带电粒子做匀变速直线运动的条件是:.2.匀变速直线运动的基本规律为速度公式:位移公式:速度和位移公式的推论为:中间时刻的瞬时速度为:任意相邻两个连续相等的时间内的位移之差是,即Δx==.3.速度—时间关系图线的斜率表示物体运动的,图线与时间轴所包围的面积表示物体运动的.匀变速直线运动的v-t图象是一条.4.位移—时间关系图线的斜率表示物体的速度,匀变速直线运动的x-t图象是一条.5.超重或失重时,物体的重力并未发生变化,只是物体对支持物的压力(或对悬挂物的拉力)发生了变化.物体发生超重或失重现象与物体的运动方向,只决定于物体的方向.当a有竖直向上的分量时,;当a有竖直向下的分量时,重;当a=g且竖直向下时,.题型1运动学图象问题例1某物体质量为1 kg,在水平拉力作用下沿粗糙水平地面做直线运动,其速度—时间图象如图1所示,根据图象可知() A.物体所受的拉力总是大于它所受的摩擦力B.物体在第3 s内所受的拉力大于1 N C.在0~3 s内,物体所受的拉力方向始终与摩擦力方向相反D.物体在第2 s内所受的拉力为零图1 图2(2013·6)甲、乙两物体在t=0时刻经过同一位置沿x轴运动,其v-t图象如图2所示,则()A.甲、乙在t=0到t=1 s之间沿同一方向运动B.乙在t=0到t=7 s之间的位移为零C.甲在t=0到t=4 s之间做往复运动D.甲、乙在t=6 s时的加速度方向相同题型2整体法与隔离法在连接体问题中的应用例2(2013·福建·21)质量为M、长为3L的杆水平放置,杆两端A、B系着长为3L的不可伸长且光滑的柔软轻绳,绳上套着一质量为m的小铁环.已知重力加速度为g,不计空气影响.(1)现让杆和环均静止悬挂在空中,如图3甲,求绳中拉力的大小;(2)若杆与环保持相对静止,在空中沿AB方向水平向右做匀加速直线运动,此时环恰好悬于A端的正下方,如图乙所示.①求此状态下杆的加速度大小a;②为保持这种状态需在杆上施加一个多大的外力,方向如何?图3 图4如图4所示,光滑水平桌面上放置一长木板,长木板上表面粗糙,上面放置一小铁块,现有一水平向右的恒力F作用于铁块上,以下判断正确的是()A.铁块与长木板都向右运动,且两者一定保持相对静止B.若水平恒力F足够大,铁块与长木板间有可能发生相对滑动C.若两者保持相对静止,运动一段时间后,拉力突然反向,铁块与长木板间有可能发生相对滑动D.若两者保持相对静止,运动一段时间后,拉力突然反向,铁块与长木板间仍将保持相对静止题型3运动学基本规律的应用例3(2013·大纲·24)一客运列车匀速行驶,其车轮在铁轨间的接缝处会产生周期性的撞击.坐在该客车中的某旅客测得从第1次到第16次撞击声之间的时间间隔为10.0 s.在相邻的平行车道上有一列货车,当该旅客经过货车车尾时,货车恰好从静止开始以恒定加速度沿客车行进方向运动.该旅客在此后的20.0 s内,看到恰好有30节货车车厢被他连续超过.已知每根铁轨的长度为25.0 m,每节货车车厢的长度为16.0 m,货车车厢间距忽略不计.求:(1)客车运行速度的大小;(2)货车运行加速度的大小.一物体以某一初速度在粗糙的水平面上做匀减速直线运动,最后停下来,若此物体在最初5 s内通过的路程与最后5 s通过的路程之比为9∶5,求此物体一共运动了多少时间?题型4应用动力学方法分析传送带问题例4 (16分)如图5所示,竖直固定的14光滑圆弧轨道AB 半径R =1.25 m ,BC 为水平传送带与a 、b 两驱动轮的切点,AB 与BC 水平相切于B 点(未连接,圆弧轨道不影响传送带运动).一质量为m =3 kg 的小滑块,从A 点由静止滑下,当传送带静止时,滑块恰好能滑到C 点.已知a 、b 两轮半径均为r =0.4 m 且两轮与传送带间不打滑,滑块与传送带间的动摩擦因数μ=0.1,取g =10 m/s 2.问:图5(1)BC 两点间的距离是多少?(2)当a 、b 顺时针匀速转动的角速度为ω0时,将滑块从A 点由静止释放,滑块恰好能由C 点水平飞出传送带.求ω0的大小以及这一过程中滑块与传送带间产生的内能.如图6甲所示,倾角为θ的足够长的传送带以恒定的速率v 0沿逆时针方向运行.t=0时,将质量m=1 kg的物体(可视为质点)轻放在传送带上,物体相对地面的v-t图象如图乙所示.设沿传送带向下为正方向,取重力加速度g=10 m/s2.则()图6A.传送带的速率v0=10 m/s B.传送带的倾角θ=30°C.物体与传送带之间的动摩擦因数μ=0.5 D.0~2.0 s摩擦力对物体做功W f=-24 J2.应用动力学方法分析平板车类问题审题示例如图7所示,质量M=4.0 kg的长木板B静止在光滑的水平地面上,在其右端放一质量m=1.0 kg的小滑块A(可视为质点).初始时刻,A、B分别以v0=2.0 m/s向左、向右运动,最后A恰好没有滑离B板.已知A、B之间的动摩擦因数μ=0.40,取g=10 m/s2.求:(1)A、B相对运动时的加速度a A和a B的大小与方向;(2)A相对地面速度为零时,B相对地面运动已发生的位移大小x;(3)木板B的长度l.图7 图8如图8所示,质量M=1 kg的木板静置于倾角θ=37°、足够长的固定光滑斜面底端.质量m=1 kg的小物块(可视为质点)以初速度v0=4 m/s从木板的下端冲上木板,同时在木板上端施加一个沿斜面向上的F=3.2 N的恒力.若小物块恰好不从木板的上端滑下,求木板的长度l为多少?(已知小物块与木板之间的动摩擦因数μ=0.8,重力加速度g=10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8)专题突破训练(限时:45分钟)一、单项选择题1.(2013·浙江·17)如图1甲所示,水平木板上有质量m=1.0 kg的物块,受到随时间t变化的水平拉力F的作用(如图乙),用力传感器测出相应时刻物块所受摩擦力F f的大小(如图丙).取重力加速度g=10 m/s2,下列判断正确的是()甲乙丙图1 A.5 s内拉力对物块做功为零B.4 s末物块所受合力大小为4.0 NC.物块与木板之间的动摩擦因数为0.4 D.6 s~9 s内物块的加速度大小为2.0 m/s22.如图2所示,一连同装备总重力为G的滑雪爱好者从滑雪坡道上由静止开始沿坡道ABC向下滑行,滑到B点时滑雪者通过改变滑雪板角度的方式来增大摩擦力的大小,使其到达底端C点速度刚好减为零.已知AB>BC,设两段运动过程摩擦力均为定值,下列分别为滑雪者位移、速度、加速度、摩擦力随时间变化的图象,其中正确的是()图 2 3.一个物体在多个共点力的作用下处于静止状态.若仅使其中的一个力保持方向不变、大小逐渐减小到零,然后又从零逐渐恢复到原来的大小,在这一过程中其余各力均不变,则能正确描述该过程中物体速度随时间变化的图象是()4.(2013·广东·13)某航母跑道长200 m,飞机在航母上滑行的最大加速度为6 m/s2,起飞需要的最低速度为50 m/s.那么,飞机在滑行前,需要借助弹射系统获得的最小初速度为()A.5 m/s B.10 m/s C.15 m/s D.20 m/s5.(2013·安徽·14)如图3所示,细线的一端系一质量为m的小球,另一端固定在倾角为θ的光滑斜面体顶端,细线与斜面平行.在斜面体以加速度a水平向右做匀加速直线运动的过程中,小球始终静止在斜面上,小球受到细线的拉力T和斜面的支持力F N分别为(重力加速度为g) ()A.T=m(g sin θ+a cos θ)F N=m(g cos θ-a sin θ) B.T=m(g cos θ+a sin θ)F N=m(g sin θ-a cos θ) C.T=m(a cos θ-g sin θ)F N=m(g cos θ+a sin θ) D.T=m(a sin θ-g cos θ)F N=m(g sin θ+a cos θ)图 3图4图5二、多项选择题6.(2013·新课标Ⅰ·19)如图4,直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位移—时间(x-t)图线,由图可知()A.在时刻t1,a车追上b车B.在时刻t2,a、b两车运动方向相反C.在t1到t2这段时间内,b车的速率先减少后增加D.在t1到t2这段时间内,b车的速率一直比a车的大7.如图5所示,一小球分别以不同的初速度,从光滑斜面的底端A点向上做直线运动,所能到达的最高点位置分别为a、b、c,它们距斜面底端A点的距离分别为x1、x2、x3,对应到达最高点的时间分别为t1、t2、t3,则下列关系正确的是()A. x1t1=x2t2=x3t3 B.x3t3<x2t2<x1t1 C.x1t21=x2t22=x3t23 D.x1t21>x2t22>x3t238.在水平冰面上,一辆质量为1×103kg的电动雪橇做匀速直线运动,关闭发动机后,雪橇滑行一段距离后停下来,其运动的v-t图象如图6所示,那么关于雪橇运动情况以下判断正确的是(重力加速度g=10 m/s2)() A.关闭发动机后,雪橇的加速度为-2 m/s2 B.雪橇停止前30 s内通过的位移是200 mC.雪橇与水平冰面间的动摩擦因数约为0.05 D.雪橇匀速运动过程中发动机的功率为5×103 W图 6图79. 如图7所示,工厂利用皮带传输机把货物从地面运送到高出水平地面的C 平台上,C 平台离地面的高度一定.运输机的皮带以一定的速度v 顺时针转动且不打滑.将货物轻轻地放在A 处,货物随皮带到达平台.货物在皮带上相对滑动时,会留下一定长度的痕迹.已知所有货物与皮带间的动摩擦因数均为μ.若皮带的倾角θ、运行速度v 和货物质量m 都可以改变,始终满足tan θ<μ.可以认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力,则( )A .当速度v 一定时,角θ越大,运送时间越长B .当倾角θ一定时,改变速度v ,运送时间不变C .当倾角θ和速度v 一定时,货物质量m 越大,皮带上留下的痕迹越长D .当倾角θ和速度v 一定时,货物质量m 越大,皮带上摩擦产生的热越多三、非选择题10.潜艇部队经常开展鱼雷攻击敌方舰艇演练.如图8所示,某次演练的简化模型为:敌舰沿直线MN 匀速航行,潜艇隐蔽在Q 点不动,Q 到MN 的距离QO =2 000 m .当敌舰到达距离O 点800 m 的A 点时,潜艇沿QO 方向发射一枚鱼雷,正好在O 点击中敌舰.敌舰因受鱼雷攻击,速度突然减为原来的12,且立刻沿原运动方向做匀加速运动逃逸.100 s 后潜艇沿QB 方向发射第二枚鱼雷,鱼雷在B 点再次击中敌舰.测得OB =1 500 m ,不考虑海水速度的影响,潜艇和敌舰可视为质点,鱼雷的速度大小恒为25 m/s.求:(1)敌舰第一次被击中前的速度;(2)鱼雷由Q 至B 经历的时间;(3)敌舰逃逸时的加速度大小(可用分式表示结果).图811.静止在水平面上的A、B两个物体通过一根拉直的轻绳相连,如图9所示,轻绳长L=1 m,承受的最大拉力为8 N,A的质量m1=2 kg,B的质量m2=8 kg,A、B与水平面间的动摩擦因数μ=0.2,现用一逐渐增大的水平力F作用在B上,使A、B向右运动,当F增大到某一值时,轻绳刚好被拉断(g=10 m/s2).(1)求绳刚被拉断时F的大小;(2)若绳刚被拉断时,A、B的速度为2 m/s,保持此时的F大小不变,当A的速度恰好减小为0时,A、B间的距离为多少?图912.质量M=9 kg、长L=1 m的木板在动摩擦因数μ1=0.1的水平地面上向右滑行,当速度v0=2 m/s时,在木板的右端轻放一质量m=1 kg的小物块,如图10所示.当小物块刚好滑到木板左端时,物块和木板达到共同速度.取g=10 m/s2,求:(1)从小物块放到木板上到它们达到共同速度所用的时间t;(2)小物块与木板间的动摩擦因数μ2.图10。