21.2二次根式的乘除1

二次根式的乘除1. 二次根式的乘法【知识与技能】a•=ab〔a≥b，b≥0〕,并利用它们进展计算和化简.理解b【过程与方法】a•=ab〔a≥0,b≥0〕并运用它进展计算.由具体数据发现规律，导出b【情感态度】a•=ab〔a≥0,b≥0〕，培养特殊到一般的探究精神，培养学生对事通过探究b物规律的观察发现能力，激发学生的学习兴趣.【教学重点】a•=ab〔a≥0,b≥0〕，及它的运用.b【教学难点】a•=ab〔a≥0,b≥0〕.发现规律，导出b一、情境导入，初步认识1.填空：参照上面的结果，用“＞〞、“＜〞或“=〞填空.2.利用计算器计算填空.a•=ab〔a≥0,b≥0〕.【教学说明】由学生通过具体数据，发现规律，导出b二、思考探究，获取新知〔学生活动〕让3、4个同学上台总结规律.教师点评：〔1〕被开方数都是正数；〔2〕两个二次根式的积等于这样一个二次根式，它的被开方数等于前两个二次根式的被开方数的积.一般地，对二次根式的乘法规定为a•=ab〔a≥0，b≥0〕.：b【教学说明】引导学生应用公式a•=ab〔a≥0,b≥0〕.b三、运用新知，深化理解1.直角三角形两条直角边的长分别为15cm和12cm,那么此直角三角形斜边长是〔〕23【教学说明】可由学生抢答完成，再由教师总结归纳.四、师生互动，课堂小结1.由学生小组讨论汇报通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.a•=ab〔a≥0,b≥0〕.b【教学说明】教师引发学习回忆知识点，让学生大胆发言，进展知识提炼和知识归纳.五、教学反思a•=ab〔a≥0,b≥0〕，这节课教师引导学生通过具体数据，发现规律，导出b并学会它的应用，培养学生由特殊到一般的探究精神，培养学生对于事物规律的观察、发现能力，激发学生的学习兴趣.2. 积的算术平方根【知识与技能】a•〔a≥0,b≥0〕；ab=ba•〔a≥0,b≥0〕.ab=b【过程与方法】a•〔a≥0,b≥0〕，并运用它解题和化简.利用逆向思维，得出ab=b【情感态度】a•〔a≥0,b≥0〕以训练逆向思维,通过严谨解题，增强学生让学生推导ab=b准确解题的能力.【教学重点】a•〔a≥0,b≥0〕及其运用.ab=b【教学难点】a•〔a≥0,b≥0〕的理解与应用.ab=b一、情境导入，初步认识a•=ab〔a≥0,b≥0〕.反过来，一般地，对二次根式的乘法规定为ba•〔a≥0,b≥0〕.ab=b【教学说明】引导让学生通过复习上节课学习的二次根式的规定，利用逆向思维，得出a•〔a≥0,b≥0〕.ab=b二、思考探究，获取新知例1化简：【教学说明】引导学生利用ab =b a •〔a ≥0,b ≥0〕直接化简即可. 例2判断以下各式是否正确，不正确的请改正:【教学说明】注意引导学生理解并掌握积的算术平方根应用的条件：a ≥0，b ≥0. 三、运用新知，深化理解1.化简：〔1〕20;〔2〕18;〔3〕24；〔4〕54.2.自由落体的公式为s=21gt 2〔g 为重力加速度，它的值为10m/s 2〕，假设物体下落的高度为120m ，那么下落的时间是 s.【教学说明】可由学生自主完成分组讨论，小组代表汇报，再由教师总结归纳. 四、师生互动，课堂小结1.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.2.教师总结归纳积的算术平方根等于各因式算术平方根的积，即ab =b a •〔a ≥0,b ≥0〕.【教学说明】教师引导学生回忆知识点，让学生大胆发言，进展知识提炼和知识归纳. 五、教学反思本课时教学以“自主探究——合作交流〞为主体形式，先给学生独立思考的时间，提供学生创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的时机，培养学生独立探究、合作学习的能力，训练逆向思维，通过严谨解题，增加学生准确解题的能力. 3. 二次根式的除法【知识与技能】b a b a =〔a ≥0,b ＞0〕和bab a =〔a ≥0,b ＞0〕，并运用它们进展计算. 2.利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进展计算和化简.3.理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式. 【过程与方法】1.先由具体数据，发现规律，导出b aba = (a ≥0,b ＞0〕，并用它进展计算. 2.再利用逆向思维，得出bab a =〔a ≥0,b ＞0〕，并运用它进展解题和化简. 3.理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式. 【情感态度】 通过探究b aba =〔a ≥0,b ＞0〕培养学生由特殊到一般的探究精神；让学生推导bab a =〔a ≥0,b ＞0〕以训练逆向思维，通过严谨解题，增强学生准确解题的能力. 【教学重点】b a b a =〔a ≥0,b ＞0〕，bab a =〔a ≥0,b ＞0〕及利用它们进展计算和化简. 2.最简二次根式的运用. 【教学难点】发现规律，归纳出二次根式的除法规定.最简二次根式的运用.一、情境导入，初步认识〔学生活动〕请同学们完成以下各题. 1.写出二次根式的乘法规定及逆向公式.2.填空：3.利用计算器计算填空：【教学说明】每组推荐一名学生上台阐述运算结果，最后教师点评. 二、思考探究，获取新知刚刚同学们都练习得很好，上台的同学也答复得十分准确，根据大家的练习和答复，我们可以得到：一般地，对二次根式的除法规定：b aba 〔a ≥0,b ＞0〕反过来,bab a =〔a ≥0,b ＞0〕 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目. 例1 计算：【教学说明】 直接利用b aba =〔a ≥0,b ＞0〕 例2化简：观察上面各小题的最后结果，发现这些二次根式有这些特点：〔1〕被开方数中不含分母；〔2〕被开方数中所含的因数〔或因式〕的幂的指数都小于2.【教学说明】利用二次根式的乘法、除法规定来化简，要求最后结果化成最简二次根式.三、运用新知，深化理解1.化简：3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=2.5cm,BC=6cm,求AB的长.【教学说明】第1题可由学生自主完成，第2题、3题教师可给予相应的指导.四、师生互动，课堂小结请假设干学生口述小结，教师再利用电子课件将小结放映在屏幕上.五、教学反思本课时教学突出学生主体性原那么，即通过探究学习，指导学生独立思考，通过具体数据得出规律，再让学生相互交流，或上台展示自己的发现，或表述个人的体验，从中获取成功的体验后，激发学生探究的激情.。

21．2 二次根式的乘除1=成立的条件是（ ）A ．x ≥1B ．x ≥-1C ．-1≤x ≤1D ．x ≥1或x ≤-1知识点：二次根式的乘法法则知识点的描述：两个二次根式相乘，把被开方式相乘。

但要注意成立的条件：a ≥0，b ≥0亦可，但也是有条件的：a ≥0，b ≥0 。

=成立的条件是x+1≥0，且x-1≥0。

因此x ≥1答：A1、如果3)3(-⋅=-⋅x x x x ，那么x 的取值范围是（ ）A 、x 0≥B 、3≥xC 、03≤≤xD 、x 为一切实数解：x ≥0，且 3-x ≥0，因此3≥x答：B2、．如果代数式2242+=--x x x ，x 的取值范围是( )A ．x ≥－4B ．x>2C ．x ≥－4且x ≠2D ．x>－4且x ≠2知识点：二次根式的除法法则a ≥0，b>0） 解：2)2()2(242-+•-=--x x x x x =2)2)(2(-+-x x x ，若要化简为2+x 需要条件2+x ≥0，且2-x ＞0.所以x>2答：B2. =，且x为偶数，求（1+x的值（）．A．4 B．3 C．6 D．9a≥0，b>0时才能成立．因此得到9-x≥0且x-6>0，即6<x≤9，又因为x为偶数，所以x=8．解：由题意得9060xx-≥⎧⎨->⎩，即96xx≤⎧⎨>⎩∴6<x≤9∵x为偶数∴x=8∴原式=（1+x=（1+x=（1+x∴当x=8时，原式的值．3,则满足条件的自然数n共有（）个(A)1 (B)2 (C)3 (D)4知识点：二次根式化简为整数的条件知识点的描述：只有当被开方数是某个整数的平方即完全平方数时，二次根式才可以才可以化简为整数。

12-n≥0，所以n为小于等于12的数，12-n是完全平方数，满足以上条件的自然数有：3；8；11；12 共四个。

答：D3.n 的最小值是（ ）A 、4；B 、5；C 、6；D 、7．24n 是完全平方数，24=4×6，所以n 最小为6答：C4、下列计算正确的是（ ）A 、563224=⨯B 、653525=⨯C 、363332=⨯D 、15153553=⨯知识点：二次根式的乘法步骤知识点的描述：两个二次根式相乘，根号外的因数和根号外的因数相乘，把被开方式相乘作a ≥0，b ≥0）解： 6832243224=⨯⨯=⨯； 62532553525=⨯⨯=⨯183363332=⨯=⨯答：D4、下列计算正确的是（ ）A 、2122423=⨯ B 、259)25()9(-⨯-=-⨯-)3(-=15)5(=-⨯ C 、632)3(3232=⨯-=- D 、5)1213)(1213(121322=-+=- 解： 244122423==⨯； 15259)25()9(=⨯=-⨯-63233232-=⨯-=- 答：D5=a b ,用含a ,b ,则下列表示正确的是( )(A)0.3ab . (B)3ab . (C)0.1ab 3. (D)0.1a 3b .知识点：二次根式的乘法公式的逆向运用知识点的描述：两个二次根式相乘，把被开方式相乘。

专题21.2二次根式的乘除【九大题型】【华东师大版】【题型1求字母的取值范围】 (1)【题型2二次根式乘除的运算】 (2)【题型3二次根式的符号化简】 (3)【题型4最简二次根式的判断】 (5)【题型5化为最简二次根式】 (6)【题型6已知最简二次根式求参数】 (7)【题型7分母有理化】 (8)【题型8比较二次根式的大小】 (9)【题型9分母有理化的应用】 (10)【例1】（2022=x的取值范围是x＞8．【分析】直接利用二次根式的性质进而得出关于x的不等式组求出答案．=∴≥0−8＞0，则x的取值范围是：x＞8．故答案为：x＞8．【变式1-1】（2022秋•犍为县校级月考）已知(−3)⋅(−−2)=3−⋅+2，使等式成立的x的取值范围是﹣2≤x≤3．【分析】根据二次根式的性质得出关于x的不等式组，进而求出答案．【解答】解：∵(−3)⋅(−−2)=3−⋅+2，∴3−≥0+2≥0，解得：﹣2≤x≤3．故答案为：﹣2≤x≤3．【变式1-2】（2022=x的取值范围是（）A．x＞0B．x≥0C．x＞2D．x≥2【分析】根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可．【解答】解：由题意得：−2≥0＞0，解得：x≥2，故选：D．【变式1-3】（2022•宝山区校级月考）已知实数x满足22−3=x•2−，则x的取值范围是0≤x≤2．【分析】依据二次根式被开方数大于等于0和2=a（a≥0）列不等式组求解即可．【解答】解：∵原式=(2−p2=x•2−，∴x≥0且2﹣x≥0．解得：0≤x≤2．故答案为：0≤x≤2．【题型2二次根式乘除的运算】【例2】（2022•长宁区期中）计算：（1）354；（2）12．【分析】（1）利用二次根式的乘法法则计算即可．（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可．【解答】解：（1）原式＝5×8×36=（2）原式＝2×15×=【变式2-1】（2022•长宁区期中）计算：83．【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简求出答案．【解答】解：原式＝2×＝9＝82．【变式2-2】（2022÷(⋅(−（x＞0）．【分析】根据二次根式的乘除法运算法则进行计算．【解答】解：∵x＞0，xy3≥0，∴y≥0，∴原式=−=−46=−94xy•（−56x B）=1582B．【变式2-3】（2022−÷b＜0）．【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．【解答】解：∵由二次根式的性质可得a＜0，b＜0，∴原式=2•（﹣b）B•（32a B）÷＝﹣3a2b÷＝﹣3a2b×（−＝a2b2×＝ab B．【题型3二次根式的符号化简】【例3】（2022•安达市校级月考）已知xy＞0，将式子x移到根号内的正确结果为（）A．B．−C．−D．−−【分析】根据被开方数大于等于0求出y＜0，再根据同号得正判断出x＜0，【解答】解：∵−2＞0，∴y＜0，∵xy＞0，∴x＜0，∴=−=−−．故选：D．【变式3-1】（2022•自贡期中）把二次根式）A B C．−D．−【分析】根据二次根式的性质先判断a的符号，然后再进行计算．【解答】解：由题意可知−13＞0，∴a＜0，∴=a=−故选：D．【变式3-2】（2022•张家港市校级期末）将（2﹣x（）A．−2B．2−C．﹣22−D．−−2【分析】根据二次根式的性质得出x﹣2的符号，进而化简二次根式得出即可．【解答】解：由题意可得：x﹣2＞0，则原式=−−2．故选：D．【变式3-3】（2022春•龙口市期中）把（a﹣b根号外的因式移到根号内结果为【分析】先根据二次根式成立的条件得到−1K＞0，则a﹣b＜0，所以原式变形为﹣（b﹣a−(−p2•法得到−⋅【解答】解：∵−1K＞0，∵a﹣b＜0，∴原式＝﹣（b﹣a=−(−p2•=−=−−．故答案为−−．【知识点2最简二次根式】我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．【例4】（2022、18、2−1、0.6中，最简二次根【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．、2−1是最简二次根式，、2−1．【变式4-1】（2022春•曲靖期末）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A．48B．14C D．4+4【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，即可解答．【解答】解：A、48=43，故A不符合题意；B、14是最简二次根式，故B符合题意；C=C不符合题意；D、4+4=2+1，故D不符合题意；故选：B．【变式4-2】（2022②2+1③④0.1是最简二次根式的是②③（填序号）．【分析】根据最简二次根式的被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，可得答案．【解答】解：②2+1③是最简二次根式，故答案为：②③．【变式4-3】（2022、12、30、+2，402，2+2中，是最简二次根式的共有3个．【分析】结合选项根据最简二次根式的概念求解即可．2、12、30、+2，402，2+2中，是最简二次根式的是30、+2，2+2，故答案为：3【例5】（2022春•安阳期末）下列二次根式化成最简二次根式后，被开方数与另外三个不同的是（）A．2B．58C．28D【分析】先把B、C、D化成最简二次根式，再找被开方数不同的项．【解答】解：∵2是最简二次根式，58=102，28=27，=∴化成最简二次根式后，被开方数相同的是A、B、D．故选：C．【变式5-1】（2022春•番禺区期末）把下列二次根式化成最简二次根式（1100（2）32（3【分析】（1）直接利用二次根式的除法运算法则性质化简得出答案；（2）直接利用二次根式的性质化简得出答案；（3）直接利用二次根式的除法运算法则性质化简得出答案．【解答】解：（1=（2）32=42；（3==【变式5-2】（2022秋•合浦县月考）把下列各式化成最简二次根式：（1（2）−【分析】本题需先将二次根式分母有理化，分子的被开方数中，能开方的也要移到根号外．【解答】解：（1）原式==275×53×33；（2）当b，c同为正数时，原式=−B2×2×=−当b，c同为负数时，原式=−B2×（−2）×=−当c＝0时，原式＝0．【变式5-3】（2022化成最简二次根式是±or1)．【分析】对被开方数的分母进行因式分解，然后约分；最后将二次根式的被开方数的分母有理化，化简求解．【解答】解：原式==①当y＞0时，上式=②当y＜0时，上式=−【题型6已知最简二次根式求参数】【例6】（2022春•浉河区校级期末）若二次根式5+3是最简二次根式，则最小的正整数a为2．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：若二次根式5+3是最简二次根式，则最小的正整数a为2，故答案为：2．【变式6-1】（2022春•武江区校级期末）若是最简二次根式，则a的值可能是（）A．﹣4B．32C．2D．8【分析】根据二次根式有意义的条件判断A选项；根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断B，C，D选项．【解答】解：A选项，二次根式的被开方数不能是负数，故该选项不符合题意；B2=C选项，2是最简二次根式，故该选项符合题意；D选项，8=22，故该选项不符合题意；故选：C．【变式6-2】（2022秋•崇川区校级期末）若2rK2和33K2r2都是最简二次根式，则m ＝1，n＝2．【分析】利用最简二次根式定义列出方程组，求出方程组的解即可得到m与n的值．【解答】解：∵若2rK2和33K2r2都是最简二次根式，∴+−2=13−2+2=1，解得：m＝1，n＝2，故答案为：1；2．【变式6-3】（2022春•宁都县期中）已知：最简二次根式4+与K23的被开方数相同，则a+b＝8．【分析】已知两个最简二次根式的被开方数相同，因此它们是同类二次根式，即：它们的根指数和被开方数相同，列出方程组求解即可．【解答】解：由题意，得：−=24+=23解得：=5=3，∴a+b＝8．【知识点3分母有理化】①分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式；②两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．【题型7分母有理化】【例7】（2022）A．4b B．2CD【解答】解：∵a＞0，ab＞0，即a＞0，b＞0；===【变式7-1】（2022•沂源县校级开学）分母有理化：=2；（2=3；（3=2．（1=【解答】解：（1==（2（3=【变式7-2】（2022春•海淀区校级期末）下列各式互为有理化因式的是（）A．+和−B．−和C．5−2和−5+2D．+和+【分析】根据有理化因式定义：如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式，结合各个选项中两个代数式特征作出判断即可．【解答】解：A.+•−=(+p(−p，因此+和−不是有理化因式，故选项A不符合题意；B．−•=−a，所以−和是有理化因式，因此选项B符合题意；C．（5−2）（−5+2）＝﹣（5−2）2，所以5−2和−5+2）不是有理化因式，因此选项C不符合题意；D．（x+y）•（x+y）＝（x+y）2，因此x+y和x+y不是有理化因式，所以选项D不符合题意；故选：B．【变式7-3】（2022【分析】根据二次根式的性质以及运算法则即可求出答案．【解答】解：原式======【题型8比较二次根式的大小】【例8】（2022春•海淀区校级期末）设a=22−3，b=1，则a、b大小关系是（）A．a＝b B．a＞b C．a＜b D．a＞﹣b【分析】本题考查二次根式，先求出b的值，再与a比较得出结果．【解答】解：∵a＝22−3==−（22+3）∴b=1故选：B．【变式8-1】（2022春•金乡县期中）已知a=b＝2+5，则a，b的关系是（）A．相等B．互为相反数C．互为倒数D．互为有理化因式【分析】求出a与b的值即可求出答案．=5+2，b＝2+5，【解答】解：∵a=故选：A．）【变式8-2】（2022B C DA【解答】解：将三个二次根式化成同分母分数比较：==故选：C．【变式8-3】（2022秋•雨城区校级期中）利用作商法比较大小【分析】根据作商比较法，看最后的比值与1的大小关系，从而可以解答本题．=1，【题型9分母有理化的应用】【例9】（2022春•大连月考）阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：（2+3）（2−3）＝1，（5+2）（5−2）＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法====7+43．像这样，通过分子、（1）4+7的有理化因式可以是4−分母有理化得2．（2）计算：+②已知：x =y =x 2+y 2的值．【分析】（1）找出各式的分母有理化因式即可；（2）①原式各项分母有理化，合并即可得到结果；②将x 与y 分母有理化后代入原式计算即可得到结果．【解答】解：（1）4+7的有理化因式可以是4−7，故答案为：4−7；（2）①原式=2−1+3−2+⋯+2000−1999=2000−1＝205−1；②∵x ==2−3，y ==2+3，∴x 2+y 2＝7﹣43+7+43=14．【变式9-1】（2022=3)=7+43；除此之外，还可以用先平方再开方的方法化简一些有特点的无理数，如要化简4+7−4−7，可以先设x =4+7−4−7，再两边平方得x 2＝（4+7−4−7）2＝4+7+4−7−2(4+7)(4−7)=2，又因为4+7＞4−7，故x ＞0，解得x =2，4+7−4−7=2，根据以上方法，+8+43−8−43的结果是（）A ．3﹣22B ．C ．42D ．3【分析】直接利用有理化因式以及二次根式的性质、完全平方公式分别化简得出答案．【解答】解：设x =8+43−8−43，两边平方得x 2=(8+43−8−43)2=8+43+8−43−2(8+43)(8−43)=8，∵8+43＞8−43，∴x ＞0，∴x ＝22，原式=22=6−22=+22＝3﹣22+22＝3．故选：D．【变式9-2】（2022•普定县模拟）阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例==−1；（1（2）关于x的方程3x−12=++⋯+的解是11．【分析】（1）根据材料进行分母有理化即可；（2）先分母有理化，再根据式子的规律即可求解．==2−1【解答】解：（1（2）3x−13x−12=3x−12=(3+1)(+(5+3)(5−3)+(7+7−5)+⋯+(3x−12=12（3−1+5−3+7−5+⋯+99−97），6x﹣1＝﹣1+99，6x＝311，x=【变式9-3】．（2022春•九龙坡区校级月考）材料一：有这样一类题目：将±2化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a且mm=，则将a±2将变成m2+n2±2n，即变成（m±n）2开方，从而使得±2化简．例如，5±26=3+2±26=（3）2+（2）2±22×3=（3±2）2，所以5±26= (3±2)2=3±2；=======3（三）．以上这种化简的步骤叫做分母有理化．====3−1（四）；请根据材料解答下列问题：（1）3−22−1；4+23+1．+⋯+（2【分析】（1）根据材料一和完全平方公式即可得出答案；（2）根据材料二将每一个式子分母有理化，并合并同类二次根式可得出答案．【解答】解：（1）∵3﹣22=2+1﹣22=（2−1）2，∴3−22=(2−1)2=2−1，∵4+23=3+1+23=（3+1）2，∴4+23=(3+1)2=3+1，故答案为：2−1，3+1；（2=(3+1)(3−1)+(5+3)(5−3)+•••2r1+2K1)(2r1−=3−1+5−3+7−5+•••+2+1−2−1＝﹣1+2+1．。

21.2二次根式的乘除（共四课时）第一课时：二次根式的乘法例1．计算（1）×（2）×（3）×（4）×分析：直接利用·＝（a≥0，b≥0）计算即可．例2 化简（1）（2）（3）（4）分析：利用=·（a≥0，b≥0）直接化简即可．三、比一比谁最强（每组一个代表展示）1.化简:（1）612⨯；（2）15432⨯；（3）aba216⋅.2.化简:（1）12149⨯；（2）289；（3）28y；（4）4364zxy.（5）3.一个矩形的长和宽分别是10cm和cm22，求这个矩形的面积.四、应用拓展例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： （1）（2）×=4××=4×=4=8课堂小结（1） ·＝=（a ≥0，b ≥0），=·（a ≥0，b ≥0）及其运用．求这个等边三角形的面积六、课后练习 1．计算:(1)57⨯； (2)2731⨯；(3)155⨯； (4)8423⨯. 2.化简： (1)3227yx ；(2)aba 1832⋅.3.等边三角形的边长是3，第二课时：二次根式的除法例1．计算： （1）（2）（3）（4）练习1．例2 化简．例3 计算 ．；1050(2) ； 232)1(()1075143÷6152112)4(÷()()2925210031;yx ()()()a283;27232;531练习把下列各式化简：课堂小结1．利用商的算术平方根的性质化简二次根式． 2．二次根式的除法常用方法． 3．化简二次根式的常见方法． 四、课堂知识反馈1．在横线上填写适当的数或式子使等式成立． ()()()()()()()()6234113105522481=-=⨯-=⨯=⨯a a2．把下列各式的分母有理化：()()()()xyyaa 42410532723283812-3．计算： ()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-÷÷-41223481929519173241－）（b a 22＋）（a40323）（第三课时：最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算．教学目标1、理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．2、通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．重点：最简二次根式的运用．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）1．计算（1，（2），（32．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h1 km，•那么它们的传播半径的比是_________．h2二、探索新知观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式．学生分组讨论，推荐3～4个人到黑板上板书．老师点评：不是．.例1．(1) ;例2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．三、巩固练习教材P11练习2、3四、应用拓展例3．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：==-1，==-，同理可得：=-，……从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（+++……）（+1）的值．五、归纳小结本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用．六、课后练习一、选择题A C1（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（ ）．A （y>0）B y>0）C yy>0） D ．以上都不对2．把（a-1中根号外的（a-1）移入根号内得（ ）．A ．． 3．在下列各式中，化简正确的是（ ）A =±12C 2D ．4-的结果是（ ）A ．-3B ．2C ．-3D ． 二、填空题1．（x ≥0）2．化简二次根式号后的结果是_________．三、综合提高题1．已知a 是否正确？若不正确，•请写出正确的解答过程：·1a（a-12．若x 、y 为实数，且y=12x +第四课时：二次根式的乘除（复习）梳理基本知识1、＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0），2、=（a≥0，b>0），反过来=（a≥0，b>03、计算（1）×（2）（4）二、应用拓展例1．已知，且x为偶数，求（1+x）的值．例2．探究过程：观察下列各式及其验证过程（1）2=验证：2=×====（2）3=验证：3=×====()1075143÷同理可得：4 5，……通过上述探究你能猜测出： a=_______（a>0）,并验证你的结论．三、归纳小结本节课你学到了什么四、课堂练习一、选择题1．计算的结果是（）．A． B． C． D．2．阅读下列运算过程：，数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简的结果是（）．A．2 B．6 C． D．二、填空题1．分母有理化:(1) =______;(2) =______;(3) =______.2．已知x=3，y=4，z=5，那么的最后结果是_______．三、综合提高题1．有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为：1，•现用直径为3cm的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？2．计算（1）·（-）÷（m>0，n>0）（2）-3÷（）×（a>0）3．一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？。

21.2 二次根式的乘除1.二次根式的乘法※教学目标※【知识与技能】￿1.掌握二次根式的乘法运算法则，会用它进行简单的二次根式的乘法运算.￿2.培养学生的合情推理能力.￿【过程与方法】1.在学生原有知识的基础上，经历知识产生的过程，探索新知识.￿2.体会用类比思想研究二次根式的乘法，体验研究数学问题的常用方法：由特殊到一般，由简单到复杂.【情感态度】教学中为学生创造大量的操作、思考和交流的机会，关注学生思考问题的过程，鼓励学生在探索规律的过程中从多个角度进行考虑，品尝成功的喜悦，激发学生应用数学的热情，培养学生主动探索，敢于实践，善于发现的科学精神以及合作精神，树立创新意识.【教学重点】￿会进行简单的二次根式乘法运算.￿【教学难点】二次根式乘法的应用.￿※教学过程※一、复习引入计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？；.二、探索新知￿二次根式的乘法￿1.参考上面的结果，用“>”“<”或“=”填空.￿2.根据上面的探究，下列式子是否也存在类似关系，猜想你的结论并用计算器验证.￿以上式子从运算角度看是什么运算？结果是什么？你能说出二次根式的乘法法则吗？字母表达式是怎样的？￿3.二次根式的乘法法则￿这就是说，两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根.￿注意：a、b必须都是非负数，上式才能成立.在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示正数.￿￿三、掌握新知【例1】计算：解：四、巩固练习￿1.下列各等式成立的是( )￿2.计算：￿￿答案：￿五、归纳小结￿本节课应掌握：及其运用.※课后作业※计算：2.积的算术平方根※教学目标※【知识与技能】￿1.掌握积的算术平方根的性质，会根据这一性质熟练地化简二次根式.￿2.培养学生的合情推理能力.￿【过程与方法】￿在学生原有知识的基础上，经历知识产生的过程，探索新知识.￿【情感态度】￿通过本节课的学习让学生认识到事物之间是相互联系，相互作用的.￿【教学重点】￿会利用积的算术平方根的性质化简二次根式.￿【教学难点】￿二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用.￿※教学过程※￿一、复习引入￿上节课学习了二次根式的乘法：反过来，可以得到积的算术平方根的性质.￿二、探索新知￿这就是说，积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积.￿【例1】化简，使被开方数不含完全平方的因数.￿分析：利用直接化简即可.￿解：注意：从上例可以看出，如果一个二次根式的被开方数中有的因数能开得尽方，可以利用积的算术平方根的性质，将这些因数开出来，从而将二次根式化简.￿三、巩固练习￿1.化简：2.计算：3.计算：￿答案：四、应用拓展￿1.化简：2.自由落体的公式为为重力加速度，它的值为,若物体下落的高度为720m,则下落的时间是.五、归纳小结￿本节课应掌握：及其应用.￿※课后作业※￿1.若的结果是.￿2.成立的条件是.￿￿3.已知a、b为实数，且满足的值.￿3.二次根式的除法※教学目标※【知识与技能】￿1.会进行简单二次根式的除法运算.￿2.能利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算.￿3.理解最简二次根式的概念，并能把一个非最简二次根式化为最简二次根式.￿【过程与方法】￿1.在学习了二次根式的乘法的基础上进行总结类比，得出除法的运算法则.￿2.引导学生从特殊到一般的方法以及类比的方法，解决数学问题.￿【情感态度】￿通过本节课的学习让学生认识到事物之间是相互联系、相互作用的.￿【教学重点】￿简单的二次根式的除法运算，利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简.￿【教学难点】￿将一个非最简二次根式化为最简二次根式.￿※教学过程※￿一、复习引入￿问题1：上一节课，我们采取什么方法来研究二次根式的乘法法则？￿问题2：是否也有二次根式的除法法则呢？￿问题3：两个二次根式相除，应该怎样进行呢？￿二、探索新知￿1.二次根式的除法￿（1）计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么规律？￿(2)总结二次根式除法法则￿注意：因为b在分母上，分母不能为零，所以b只能大于零.￿￿（3）和积的算术平方根类似，把这个式子反过来得到商的算术平方根：￿￿【例1】计算解：题（2）的另一解法:【例2】化使分母中不含二次根式，并且被开方数中不含分母.￿解：￿2.最简二次根式￿最简二次根式有如下两个特点：￿①被开方数不含分母；￿②被开方数中所有因式的幂的指数都小于2.￿【例3】化简：解：(2)分母有理化￿数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”.￿三、巩固练习￿1.化简：￿2.计算：￿答案：四、应用拓展￿1.化简：2.计算：￿3.阅读下列内容，并完成以下各题.￿数学上将这种把分母变成有理数（式）的过程称为“分母有理化”，其中分别称为有理化因式.￿的有理化因式是的有理化因式是.（2）进行分母有理化.￿五、归纳小结￿本节课要掌握：￿1.及其运用；￿￿2.最简二次根式的定义及应用.￿※课后作业※￿1.教材第9页练习第3题.￿2.教材习题21.2第3题.￿3.计算：。

二次根式的除法一、学习目标1.掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。

2.熟练进行二次根式的除法运算及化简。

二、学习重点重点：掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。

难点：进行二次根式的化简。

三、自主预习1. 计算：（ 1）9=______，9=_____（ 2）16=______，16=______ 16 16 36 36（3）4=______，4=________ 16162.根据上题计算结果，用“ >”、“<”或“ =”填空：9____ 9 16____ 164_____ 416 16 36 36 16 16综上所述，二次根式的除法法则：。

当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的，被开方数之商为。

计算下列各式：（ 1）12 （ 2） 3 13 2 8自学课本内容，完成下列问题：1.用式子表示商的算术平方根的性质：2. 化简：（ 1）3（2）64b2 64 9a2小结：化简二次根式达到的要求：（ 1）被开方数不含分母； （ 2）分母中不含有二次根式。

四、 合作探究“分母有理化”探究 1. 阅读下列运算过程：利用上述方法化简：1 33 3 ， 2 2 5 2 5 33355 5 5(1)2 =______ （ 2） 1 =______ (3)1 =(4)2 10 =6 3 2125探究 2. 阅读下列运算过程：1 12 23 3 5 15 22 22，5 555利用上述方法化简：52（ 1） 6（ 2）11 ( 3 2) 32 2探究 3 阅读下列运算过程：3 2( 32)( 32 )31利用上述方法化简：五、 巩固反馈1. 计算362（ 1） 2（ 2）2x 3（ 3） 1 1 （ 4） 9x（ 5） 112112488x 41664 y 2 3356 （ 2）3 22 2. 化简：（ 1）（ 3）354 327。