第9讲 相似三角形1

初三上数学培优专题讲义九AB 相似三角形提高训练一.相似三角形中的几个基本图形：两个三角形相似，一般说来必须具备下列六种图形之一：二、典例分析：考点（一）-------有关三角形的内接矩形或正方形的计算问题例题1、已知：如图，正方形DEFG 内接于△ABC ，AM ⊥BC 于M 交DG 于N ，BC=18，AM=12。

求正方形边长.变式：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，试比较图中正方形CDEF 和正方形PQRS 的面积的大小考点（二）------ 两个三角形相似的判定 例题2.如图，四边形ABCD 是平行四边形，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F.(1)ΔABE 与ΔADF 相似吗？说明理由.(2)ΔAEF 与ΔABC 相似吗？说说你的理由.变式：如图,⊿ABC 是等边三角形,点D,E 分别在BC,AC 上,且BD=CE,AD 与BE 相交于点F.(1)试说明⊿ABD≌⊿BCE。

(2)⊿AEF 与⊿ABE 相似吗?说说你的理由。

(3)BD 2=AD·DF 吗?请说明理由。

考点（三）------相似三角形中的面积问题EF AFFC FD +例题3. 如图，在□ABCD 中，E 为CD 中点，AE 与BD 相交于点O ，S △DOE ＝12cm 2，求S △AOD 、 S △AOB ．变式：（2011•丹东，16，3分）已知：如图，DE 是△ABC 的中位线，点P 是DE 的中点，CP 的延长线交AB 于点Q ，求S △DPQ ：S △ABC ．考点（四）------作平行线构造相似三角形例题4.如图，E 是ABC ∆中线AD 上的一点，CE 交AB 于F ，已知AE ：ED=1：2，求AF ：BF 的值。

变式：如图，已知△ABC 中，AE:EB=1:4,BD:DC=2:1，AD 与CE 相交于F.求： 的值.考点（5）------利用相似三角形测高例5. 某测量工作人员眼睛A 与标杆顶端F 、电视塔顶端E 在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.5米，标杆为3米，且BC=1米，CD=6米，求电视塔的高ED 。

数学相似三角形的知识点归纳数学相似三角形的知识点归纳数学是人们认识自然、认识社会的重要工具。

它是一门古老而崭新的科学，是整个科学技术的基础。

随着社会的发展、时代的变化，以及信息技术的发展，数学在社会各个方面的应用越来越广泛，作用越来越重要。

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数学相似三角形的知识点归纳篇1本章有以下几个主要内容：一、比例线段1、线段比，2、成比例线段，3、比例中项————黄金分割，4、比例的性质：基本性质；合比性质；等比性质（1）线段比：用同一长度单位度量两条线段a，b，把他们长度的比叫做这两条线段的比。

（2）比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果线段a，b的比等于线段c，d的比，那么，这四条线段叫做成比例线段。

简称比例线段。

（3）比例中项：如果a：b=b：c，那么b叫做a，c的比例中项（4）黄金分割：把一条线段分成两条线段，如果较长线段是全线段和较短线段的比例中项，那么这种分割叫做黄金分割。

这个点叫做黄金分割点。

顶角是36度的等腰三角形叫做黄金三角形宽和长的比等于黄金数的矩形叫做黄金矩形。

（5）比例的性质基本性质：内项积等于外项积。

（比例=====等积）。

主要作用：计算。

合比性质，主要作用：比例的互相转化。

等比性质，在使用时注意成立的条件。

二、相似三角形的判定平行线等分线段——————平行线分线段成比例————————平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所截线段对应成比例——————（预备定理）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所截三角形与原三角形相似——————相似三角形的判定：类比于全等三角形的判定。

三、相似三角形的性质1、定义：相似三角形对应角相等对应边成比例。

2、相似三角形对应线段（对应角平分线、对应中线、对应高等）的比等于相似比3、相似三角形周长的比等于相似比4、相似三角形面积的比等于相似比的平方四、图形的位似变换1、几何变换：平移，旋转，轴对称，相似变换2、相似变换：把一个图形变成另一个图形，并保持形状不变的几何变换叫做相似变换。

相似三角形的判定口诀
两角对应相等，两个三角形相似。

两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。

三边对应成比例，两个三角形相似。

三边对应平行，两个三角形相似。

斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。

1.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

(简叙为：两角对应相等，两个三角形相似。

)
2.如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。

)
3.如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。

(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。

)
4.两三角形三边对应平行，则两三角形相似。

(简叙为：三边对应平行，两个三角形相似。

)
5.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

(简叙为：斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。

)
6.如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似(相似比为1：1)。

(简叙为：全等三角形相似)。

相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。

2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。

注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。

⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。

⑶我们可以这样理解相似形:两个图形相似,其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的.⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例一一全等形.3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形,那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。

注意：X两个相似的女边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1.知识点二:比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。

a、b的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比是8 :b=m：na _ m（或厂T）2、比的前项，比的后项:两条线段的比a： b中。

a叫做比的前项，b叫做比的后项。

说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。

3、比例：两个比相等的式子叫做比例,如厂7Λ _ C4、比例外项:在比例厂7 （或a：b=c： d）中a、d叫做比例外项。

« _ C5、比例内项:在比例厂7（或8：b=C： d）中b、C叫做比例内项。

α _ c6、第四比例项：在比例丁万（或a： b二c：d）中，d叫a、b、C的第四比例项。

d _b7、比例中项:如果比例中两个比例内项相等，即比例为厂万（或a：b=b:C时，我们把b叫做a和d的比例中项。

8、比例线段：对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即-=-（或a： b=c： d）,那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

（注总:在求线段比时，线段单位b d 要统一,单位不统一应先化成同一单位）（2）比例性质1.基本性质：— = — <=> Cld = beb d（两外项的积等于两内项积）a Cb dFd GC （把比的前项、后项交换）2.反比性质:3•更比性质（交换比例的内项或外项）：-=^（交换内项）C a（交换外项）b d b a侗时交换内外项）C a4.合比性质：?=匚=P =仝L（分子加（减）分母，分母不变）b d b d■注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项.后项之间b _ a _ d _ C发生同样和差变化比例仍成立.⅛∣:- = -^ " C .b d a_b _c_d.a + b c + d5•等比性质：（分子分母分别相加，比值不变•）a Ce m Zt f G …a+ c + e + ・・• + 〃】a如果—=—=—= ・・・ =—（b + d + / +・-• + n ≠ 0）,那么---------------------- =—.b Clf n/? + 〃 + /+ ・• + 〃/?注意：⑴此性质的证明运用r “设£法”，这种方法是有关比例汁算,变形中一种常用方法.（2）应用等比性质时.要考虑到分母是否为零・（3）可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数,再利用等比性质也成立. 知识点三:黄金分割Λ C RCD定义：在线段AB上,点C把线段/1B分成两条线段AC和BC （AC> BC）,如果—=—•即AC⅛A AB AC BxBC,那么称线段AB彼点C黄金分割,点C叫做线段SB的黄金分割点,SC与AB的比叫做黄金√5-1比。

相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。

2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。

3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。

知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1比：选用同一长度单位量得两条线段。

a、b 的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a：b＝m：n（或n mb a =）（2）比例性质1.基本性质:bc ad dcb a =⇔=（两外项的积等于两内项积）2.反比性质：cd a b d c b a =⇒=(把比的前项、后项交换)3.更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项同时交换内外项4.合比性质：dd c b b a d c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变FE D CB A 知识点三：黄金分割1）定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果ACBCAB AC =，即AC 2=AB×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。

其中AB AC 215-=≈0.618AB 。

知识点四：平行线分线段成比例定理1．平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.用符号语言表示：AD∥BE∥CF,,,AB DE BC EF AB DEBC EF AC DF AC DF∴===.2．平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一直线上所截得的线段相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等.用符号语言表示：AD BE CF AB BC DE DF ⎫⇒=⎬=⎭.重心定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心.重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍.知识点五：相似三角形1、相似三角形1）定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。

相似三角形一、比例线段1、定义：对于四条线段a 、b 、c 、d,如果其中两条线段的长度的比与另外两条线段长度的比 ，即 ，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

2、比例线段的基本性质：d c b a = db c a = bc ad =cb b a = ac b =2 其中b 为比例中项 合比性质：d d c b b a d c b a ±=±∴= 等比性质：ba dbc a n fd b me c a n mf e d c b a =++=++++++∴=== 3、黄金分割：一条线段AB,点P 是线段AB 上的一个点，如果满足：AB AP AP PB =，那么称线段AB 被P 点黄金分割，点P 为线段AB 的黄金分割点，AP 与AB 的比值约为0.618，这个比值称为黄金比。

例1、判断下列线段是否是成比例线段：（1）a = 2 cm, b = 12 cm, c = 8 cm, d = 3 cm;（1）a = 7, b = 3, c = 21, d = 9.例2、若a : 3 = b : 7,则（a + 3b ）: 2b = .例3、已知三条线段a = 1cm, b = 2cm, c = 3cm,若线段d 与a 、b 、c 成比例，请求出线段d 的长度。

例4、已知53===e f d c b a ，且032≠+-e d b ，求ed b f c a 3232+-+-的值。

例5、等腰三角形ABC ∆中，AB=AC ，︒=∠72ABC ，ABC ∠的角平分线BD 交AC 于D ，且D 是线段AC 的黄金分割点，若AB=8cm ，求AD 的长。

二、相似图形的性质1、定义：我们把具有 的图形称为相似图形。

2、相似多边形的性质：对应边成比例，对应角相等。

3、判定两个多边形是否相似：对应边成比例，对应角相等。

三、相似三角形1、定义：对应 相等，且对应 成比例的三角形，叫做相似三角形。

一、比和比例一般来说，两个数或两个同类的量a与b相除，叫做a与b的比，记作:a b（或表示为ab ）；如果::a b c d=（或a cb d=），那么就说a、b、c、d成比例．二、比例的性质（1）基本性质：如果a cb d=，那么ad bc=；相似三角形知识结构模块一：比例线段知识精讲2 / 34如果a cb d =，那么b d ac =，a b cd =，c d a b=． （2） 合比性质： 如果a cb d =，那么a bc db d++=； 如果a cb d =，那么a bc db d--=． （3） 等比性质： 如果a c kb d ==，那么ac a c k bd b d+===+．三、比例线段的概念对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果::a b c d =（或表示为a cb d=），那么a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段． 四、黄金分割如果点P 把线段AB 分割成AP 和PB （AP PB >）两段（如下图），其中AP 是AB 和PB 的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点P 称为线段AB 的黄金分割点．其中，510.6182AP AB -=≈，称为黄金分割数，简称黄金数．五、三角形一边的平行线性质定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例． 如图，已知ABC ∆，直线l // BC ，且与AB 、AC 所在直线交于点D 和点E ，那么AD AEDB EC=．APBlAB CDEAB C DEAB CDE ll六、三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上， 如果DE // BC ，那么DE AD AE BC AB AC==． 七、三角形的重心定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心．性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍． 八、三角形一边的平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．九、三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．如图，在ABC ∆中，直线l 与AB 、AC 所在直线交于点D 和点E ，如果ADAEDB EC=，那么l //BC ．ABCD EA BCDEAB CDEABCD E4 / 34十、平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例． 如图，直线1l //2l //3l ，直线m 与直线n 被直线1l 、2l 、3l所截，那么DF EGFB GC=．十一、平行线等分线段定理两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上 截得的线段也相等．【例1】 如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 和BC 上．下列所给的四个条件中，不一定能得到DE // AC 的条件是（ ） A ．BE BCBD BA =B ．CE ADBE BD =C ．BD DEBA AC=D ．BC CEAB AD=【难度】★ 【答案】C ．例题解析A BCDEF BC D E F G【解析】如图，作DF DE =，则DF DE AC AC =，∴BD DEBA AC=不能判定DE // AC ，故选C ． 【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选．【例2】 在比例尺为1 : 40000的一张地图上，量得A 、B 两地的距离是37 cm ，那么A 、B两地的实际距离是______km ．【难度】★ 【答案】14.8．【解析】设A 、B 两地的实际距离是x km ，则51371040000x -⨯=，解得：14.8x =． 【总结】本题考查了比例尺的有关计算，注意单位的换算．【例3】 如图，已知1l //2l //3l ，DE = 4，DF = 6，那么下列结论正确的是（ ）A ．BC : EF = 1 : 1B ．BC : AB = 1 : 2 C ．AD : EF = 2 : 3 D ．BE : CF = 2 : 3 【难度】★ 【答案】B ．【解析】::1:2BC AB EF DE ==，故B 正确． 【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用．【例4】 如果线段a = 4 cm ，b = 9 cm ，那么它们的比例中项是______cm ． 【难度】★ 【答案】6．【解析】设它们的比例中项是x cm ，则由题意得249x =⨯，解得：6x =． 【总结】本题考查了比例中项的概念及计算．6 / 34BC DE FGA【例5】 四边形ABCD 是平行四边形，点E 在边BA 的延长线上，CE 交边AD 于点F ，交对角线BD 于点G ．求证：CG 是EG 与FG 的比例中项． 【难度】★ 【答案】详见解析．【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴CG BG FG GD =，EG BGCG GD=， ∴CG EGFG CG=， ∴CG 是EG 与FG 的比例中项． 【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用．【例6】 已知线段AB = 10，P 是线段AB 的黄金分割点（AP > PB ），则AP =______． 【难度】★ 【答案】555．【解析】由题意得51AP AB -=555AP =． 【总结】本题考查了黄金分割的有关计算．【例7】 已知23a c eb d f ===，18ac e =--，0bd f ++≠，求b d f ++的值． 【难度】★★ 【答案】27．【解析】∵23a c eb d f ===，0b d f ++≠，∴23a c e b d f ++=++， ∵18a c e =--，∴18a c e ++=，∴27b d f ++=．【总结】本题考查了等比性质的应用．【例8】 如果直角三角形的斜边长为18，那么这个三角形的重心到直角顶点的距离为______．【难度】★★ 【答案】6．【解析】如图，易得192CD AB ==，∴263CG CD ==． 【总结】本题考查了重心的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．【例9】 如图，已知AD // EF // BC ，AE = 3BE ，AD = 2，EF = 5，那么BC =______．【难度】★★ 【答案】6．【解析】作AN ∥DC 分别交EF 、BC 于点M 、N ，由题意得2NC MF AD ===，EM AEBN AB=， 即334BN =，∴4BN =，∴6AB =． 【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用．【例10】 如图，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边AB 、BC 上，EF 与对角线BD 交于点G ，如果BE = 5，BF = 3，那么FG : EF 的比值是_______．【难度】★★A BCDEF M NA BCDEFGH【答案】38．【解析】作GH AB⊥于点H，易得GH BH=，∵GH EHBF EB=，535GH GH-=，解得：158GH=，∴38 FG BHEF BE==．【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用，注意比和比值的区别．【例11】如图，BD是ABC∆的角平分线，点E、F分别在BC、AB上，且DE // AB，DEF A∠=∠．（1）求证：BE = AF；（2）设BD与EF交于点M，联结AE，交BD于点N，求证：BN MD BD ND=．【难度】★★【答案】详见解析．【解析】（1）∵DE // AB，DEF A∠=∠，∴AD∥EF，∴四边形AFED是平行四边形，∴AF DE=，ABD EDB∠=∠，∵BD是ABC∆的角平分线，∴ABD EBD∠=∠，∴EDB EBD∠=∠，∴BE DE=，∴BE AF=；（2）∵DE // AB，∴BN AB ND ED=，∵AD∥EF，∴BD ABMD AF=，MAFB E CDN8/ 34ABCDEFM∵ED AF =，∴BD AB MD ED =，∴BN BDND MD=， ∴BN MD BD ND ⋅=⋅．【总结】本题考查了平行四边形的判定及平行线分线段成比例定理．【例12】 如图，在直角梯形ABCD 中，AD // BC ，90DAB ABC ∠=∠=︒，E 为CD 的中点，联结AE 并延长交BC 的延长线于F ； （1）联结BE ，求证：BE = EF ．（2）联结BD 交AE 于M ，当AD = 1，AB =2，AM = EM 时，求CD 的长． 【难度】★★【答案】（1）详见解析；（2）5CD =．【解析】（1）∵AD // BC ，DE EC =，易得ADE ∆≌FCE ∆， ∴E 为AF 的中点，∵90DAB ABC ∠=∠=︒， ∴BE EF =；（2）∵AM EM =，∴13AM MF =，∴13AD BF =， ∵1AD CF ==，∴3BF =，2BC =，∵2AB =，∴()225DC BC AD AB -+．【总结】本题考查了直角三角形的性质、平行线分线段成比例定理及勾股定理等．10 / 34一、 相似三角形的定义如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．如图，DE 是ABC ∆的中位线，那么在ADE ∆与ABC ∆中， A A ∠=∠， ADE B ∠=∠，AED C ∠=∠；12AD DE AE AB BC AC ===．由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似．用符号来表示，记作ADE ∆∽ABC ∆，其中点A 与点A 、点D 与点B 、点E 与点C 分别是对应顶点；符号“∽”读作“相似于”．用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“∆”后相应的位置上．根据相似三角形的定义，可以得出：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）．（2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． 二、 相似三角形的预备定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．模块二：相似三角形DABCE知识精讲AB C A 1B 1C 1如图，已知直线l 与ABC ∆的两边AB、AC 所在直线分别交于点D 和点E ， 则ADE ∆∽ABC ∆．三、 相似三角形判定定理1如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两角对应相等，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果1A A ∠=∠、1B B ∠=∠，那么ABC ∆∽111A B C ∆．常见模型如下：ABCDEAB C DEAB CDE12 / 34AB C AB CABC A 1B 1C 1四、 相似三角形判定定理2如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似． 如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，1A A ∠=∠，1111AB ACA B AC =，那么ABC ∆∽111A B C ∆．五、 相似三角形判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． 可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果111111AB BC CAA B B C C A ==，那么ABC ∆∽111A B C ∆．六、 直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似． 如图，在Rt ABC ∆和111Rt A B C ∆中，如果190C C ∠=∠=︒，1111AB BCA B B C =， 那么ABC ∆∽111A B C ∆．七、 相似三角形性质定理相似三角形性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都 等于相似比．相似三角形性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比． 相似三角形性质定理3：相似三角形的面积的比等于相似比的平方．例题解析ABCA 1B 1C 114/ 34AB CDEF【例13】在下列44⨯的正方形网格图中，每个小正方形的边长都是1，三角形的顶点都在格点上，那么与图1中ABC∆相似的三角形所在的网格图是（）A．B．C．D．【难度】★【答案】B．【解析】由图易得ABC∆为直角三角形，且:1:2BC AB=，故选B．【总结】本题考查了相似三角形的判定．【例14】已知ABC∆∽DEF∆，且相似比为3 : 4，2ABCS∆=cm2，则DEFS∆=______ cm2．【难度】★【答案】329．【解析】由题意得234ABCDEFSS∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴329DEFS∆=cm2．【总结】本题考查了相似三角形的性质．【例15】如图，已知点D是ABC∆中的边BC上的一点，BAD C∠=∠，ABC∠的平分线交边AC于点E，交AD于F，那么下列结论中错误的是（）A．BAC∆∽BDA∆B．BFA∆∽BEC∆图1ABCDABCD EF C ．BDF ∆∽BEC ∆ D ．BDF ∆∽BAE ∆【难度】★ 【答案】C ．【解析】∵BAD C ∠=∠，ABD CBA ∠=∠，∴BAC ∆∽BDA ∆； ∵BAD C ∠=∠，ABF CBF ∠=∠，∴BFA ∆∽BEC ∆；∵BAE BDF ∠=∠，ABF CBF ∠=∠，∴BDF ∆∽BAE ∆；故C 错误．【总结】本题考查了相似三角形的判定．【例16】 如图，已知点D 在ABC ∆的边AB 上，且ACD B ∠=∠，:1:3ACD DBC S S ∆∆=．求AC AB的值． 【难度】★【答案】12．【解析】∵ACD B ∠=∠，CAD BAC ∠=∠，∴CAD BAC ∆∆，∴22::CAD BAC S S AC AB ∆∆=，∵:1:3ACD DBC S S ∆∆=，∴:1:4CAD BAC S S ∆∆=，∴12AC AB =． 【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质．【例17】 如图，已知点E 、F 分别在矩形ABCD 的边BC 和CD 上，EF AE ⊥，BE = 3 cm ，AB = 6 cm ，矩形ABCD 的周长为28 cm ，求CF 的长．【难度】★16 / 34ABCDEAMG【答案】52CF =cm ． 【解析】∵AB = 6 cm ，矩形ABCD 的周长为28 cm ， ∴8BC =cm ，∴5EC =cm ，∵EF AE ⊥， 易证ABE ∆∽ECF ∆，∴AB BE EC CF =，即635CF =，解得：52CF =cm ． 【总结】本题考查了一线三等角基本模型的运用．【例18】 如图，已知点D 、E 分别在ABC ∆边AB 、AC 上，DE // BC ，BD = 2AD ，那么:DEB EBC S S ∆∆等于（ ）A ．1 : 2B ．1 : 3C ．1 : 4D ．2 : 3【难度】★★ 【答案】B ．【解析】∵BD = 2AD ，∴2BDE ADE S S ∆=，∵DE // BC ，∴9ABC ADE S S ∆∆=，∴6EBC ADE S S ∆∆=，∴:DEB EBC S S ∆∆1:3=．【总结】本题考查了相似三角形的性质及同底等高模型的综合运用．【例19】 如图，ABC ∆中，如果AB = AC ，AD ⊥BC 于点D ，M 为AC 中点，AD 与BM 交于点G ，那么:GDM GAB S S ∆∆的值为_______．【难度】★★ABCDEF【答案】14． 【解析】∵AB = AC ，AD ⊥BC ， ∴BAD CAD ∠=∠，BD DC =， ∵M 为AC 中点，∴DM AM =，∴BAD MDA ∠=∠， ∴GDM ∆∽GAB ∆，∵点G 为ABC ∆的重心，∴214GDM GAB S GD S GA ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭． 【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质，同时考查了重心的性质．【例20】 如图，已知ABC ∆中，AB = AC ，CD 是边AB 上的高，且CD = 2，AD = 1，四边形BDEF 是正方形．CEF ∆和BDC ∆相似吗？试证明你的结论．【难度】★★【答案】相似，详见解析．【解析】由题意，可得：5AC AB =∴51BD DE EF ===，∴35CE =∴51BD DC -=355151CE EF --==-，∴BD CEDC EF=，∵BDC CEF∠=∠，∴CEF∆∽BDC∆．【总结】本题考查了相似三角形的判定．【例21】已知：如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且BAC BDC DAE∠=∠=∠．（1）求证：ABE∆∽ACD∆；（2）求证：BC AD DE AC=．【难度】★★【答案】详见解析．【解析】（1）∵BAC BDC DAE∠=∠=∠，∴BAE CAD∠=∠，∵BEA EDA DAE∠=∠+∠，CDA EDA BDC∠=∠+∠，∴BEA CDA∠=∠，∴ABE∆∽ACD∆；（2）由（1）知AB AEAC AD=，∴AB ACAE AD=，又∵BAC EAD∠=∠，∴ABC∆∽AED∆，∴BC ACED AD=，∴BC AD DE AC=．【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质的综合运用．EDCBA18/ 34ABCD EFGHA BCD EF 【例22】 如图，已知：四边形ABCD 是平行四边形，点E 在边BA 的延长线上，CE 交AD于点F ，ECA D ∠=∠． （1）求证：ECA ∆∽ECB ∆； （2）若DF = AF ，求AC : BC 的值． 【难度】★★【答案】（1）详见解析；（22． 【解析】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴B D ∠=∠，∵ECA D ∠=∠，∴ECA B ∠=∠， 又∵E E ∠=∠， ∴ECA ∆∽ECB ∆； （2）∵DF AF =，易证DC AE AB ==，∴2EB EA =，由（1）得AC EC EA BC EB EC ==，即2EC EAEA EC=，∴2EC EA =， ∴22AC EA BC EC ==． 【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质的应用．【例23】 如图，BD 是平行四边形ABCD 的对角线，若45DBC ∠=︒，DE BC ⊥于E ，BF CD ⊥于F ，DE 与BF 相交于H ，BF 与AD 的延长线相交于G ．求证：（1）CD = BH ； （2）AB 是AG 和HE 的比例中项． 【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】（1）∵45DBC ∠=︒，DE BC ⊥， ∴ED EB =，∵BF CD ⊥，∴EBH CDE ∠=∠，∴EDC ∆≌EBH ∆，20 / 34∴CD BH =；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴C A ∠=∠，∴BHE A ∠=∠，∵EBH BGA ∠=∠，∴EBH ∆∽BGA ∆，∴AG ABHB HE=， ∵HB CD AB ==，∴AG ABAB HE=，∴AB 是AG 和HE 的比例中项． 【总结】本题考查了全等及相似三角形的判定．【例24】 如图，已知等腰ABC ∆中，AB = AC ，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ．（1）求证：CAD ECB ∠=∠；（2）点F 是AC 的中点，联结DF ，求证：2BD FC BE =．【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】（1）∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ， ∴BAD ECB ∠=∠， ∵AB = AC ，∴BAD CAD ∠=∠， ∴CAD ECB ∠=∠； （2）由题意得12ED BC BD ==，∴DBE DEB ∠=∠， ∵点F 是AC 的中点，∴12DF AC FC ==，∴DCF FDC ∠=∠， ∵DBE DCF ∠=∠，∴CDF ∆∽BED ∆， ∴CD FC BE BD =，∵CD BD =，∴BD FCBE BD=， ∴2BD FC BE =．CBADEFABC D E F G【总结】本题考查了直角三角形的性质及相似三角形的判定．【例25】 如图，已知在梯形ABCD 中，AD // BC ，90A ∠=︒，AB = AD ．点E 在边AB 上，且DE CD ⊥，DF 平分EDC ∠，交BC 于点F ，联结CE 、EF ． （1）求证：DE = DC ；（2）如果2BE BF BC =，求证：BEF CEF ∠=∠． 【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】（1）作CH AD ⊥的延长线于点H ， ∵AD // BC ，90A ∠=︒，AB = AD ，∴CH AD =，∵DE CD ⊥，∴ADE HCD ∠=∠， ∴ADE ∆≌HCD ∆，∴DE DC =；（2）∵2BE BF BC =，B B ∠=∠，∴BEF ∆∽BCE ∆，∴BEF BCE ∠=∠， ∵DF 平分EDC ∠，DE DC =，∴DEF ∆≌DCF ∆，∴DEF DCF ∠=∠，∵DEC DCE ∠=∠，∴CEF BCE ∠=∠，∴BEF CEF ∠=∠．【总结】本题考查了一线三直角模型及相似和全等三角形的综合应用．【例26】 已知：如图，在ABC ∆中，AB = AC ，点D 、E 分别是边AC 、AB 的中点，DF ⊥AC ，DF 与CE 相交于点F ，AF 的延长线与BD 相交于点G ．（1）求证：2AD DG BD =；（2）联结CG ，求证：ECB DCG ∠=∠． 【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】（1）∵AB = AC ，点D 、E 分别是边AC 、AB 的中点，A BCDEFH∴ACE∆≌ABD∆，∴ABD ACE∠=∠，∵DF⊥AC，∴FAD FCD∠=∠，∴ABD FAD∠=∠，∴DAG∆∽DBA∆，∴AD DG BD AD=，∴2AD DG BD=；（2）∵AD DC=，∴DC DG BD DC=，∵CDG BDC∠=∠，∴CDG∆∽BDC∆，∴DBC DCG∠=∠，∵ABC ACB∠=∠，∴ABD GCB∠=∠，∴ACE GCB∠=∠，∴ECB DCG∠=∠．【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质．ABCD EFG【例27】 如图，直角梯形ABCD 中，90B ∠=︒，AD // BC ，BC = 2AD ，点E 为边BC 的中点．（1）求证：四边形AECD 为平行四边形；（2）在CD 边上取一点F ，联结AF 、AC 、EF ，设AC 与EF 交于点G ，且EAF CAD ∠=∠．求证：AEC ∆∽ADF ∆；（3）在（2）的条件下，当45ECA ∠=︒时，求：FG : EG 的比值． 【难度】★★【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）45．【解析】（1）∵BC = 2AD ，点E 为边BC 的中点， ∴AD EC =，∵AD // BC ，∴四边形AECD 为平行四边形；（2）∵EAF CAD ∠=∠，∴EAC DAF ∠=∠， ∵四边形AECD 为平行四边形，∴AEC D ∠=∠， ∴AEC ∆∽ADF ∆；（3）∵45ECA ∠=︒，∴AB BC =，设1AD =，则1BE EC ==，2AB =，∴5AE =∵AEC ∆∽ADF ∆，∴AD DFAE EC=，解得5DF =，∴45FC ， ∴45FG FC EG AE ==．24 / 34【总结】本题考查了平行四边形的判定、勾股定理、相似三角形的判定及性质的综合运用，综合性较强，解题时注意进行分析．【例28】 如图，已知在ABC ∆中，P 是边BC 上的一个动点，PQ // AC ，PQ 与边AB 相交于点Q ，AB = AC = 10，BC = 16，BP = x ，APQ ∆的面积为y ． （1）求y 关于x 的函数解析式；（2）试探索：APQ ∆与ABP ∆能否相似？如果能相似，请求出x 的值，如果不能相似，请说明理由．【难度】★★★【答案】（1）()23301616y x x x =-<<；（2）能相似，394x =． 【解析】（1）作AH BC ⊥于点H ，ABCPQ H∵AB = AC = 10，BC = 16，∴6AH =，∴1482ABC S BC AH ∆=⋅⋅=，132ABP S BP AH x ∆=⋅⋅=， ∵PQ // AC ，∴BPQ ∆∽BCA ∆，∴22256BPQ BCAS BP x S BC ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴2316BPQ x S ∆=，∴23316APQ ABP BPQ S S S x x ∆∆∆=-=-，即()23301616y x x x =-<<； （2）能相似，此时394x =，详解如下： ∵BPQ ∆∽BCA ∆，∴BQ BP BA BC =，∴58BQ x =，∵AQP B ∠>∠，∴AQP APB ∠=∠，∴APQ ∆∽ABP ∆，∴AP PQ AB BP =，即5810xAP x =，解得：254AP =，∵AQ PQ AP BP =，即551088254x xx -=，解得：394x =， 综上，APQ ∆与ABP ∆能相似，此时394x =． 【总结】本题考查了相似三角形的性质及相似三角形的存在性问题．26 / 34ABCMN【习题1】 如果两个相似三角形的面积的比为4 : 9，那么它们对应的角平分线的比是______． 【难度】★ 【答案】2:3．【解析】相似三角形面积比等于相似比的平方． 【总结】本题考查了相似三角形的性质．【习题2】 如图，ABC ∆和AMN ∆都是等边三角形，点M 是ABC ∆的重心，那么AMNABCS S ∆∆的值为（ ） A ．23B ．13C ．14D ．49【难度】★★ 【答案】B ．【解析】∵点M 是ABC ∆的重心，设2AM =，则可得23AB =，∴AMN ABC S S ∆∆213AM AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故选B ． 【总结】本题考查了相似三角形及重心的性质的综合运用．【习题3】 如图，AB // DC ，DE = 2AE ，CF = 2BF ，且DC = 5，AB = 8，则EF =______． 【难度】★★随堂检测CDMABCDEF O P【答案】7．【解析】延长AD 、BC 交于点M ，∵AB // DC ，∴MD MCDA CB=， ∵DE = 2AE ，CF = 2BF ，∴MD MCDE CF=，∴EF // DC ， 过点D 作DH ∥CB ，易求7EF =．【总结】本题考查了本题考查了平行线分线段成比例定理的运用．【习题4】 已知，如图，D 、E 、F 分别是ABC ∆的边BC 、AB 、AC 的中点，AD 与EF 相交于点O ，线段CO 的延长线交AB 于点P ，求证：AB = 3AP ．【难度】★★【答案】详见解析．【解析】∵D 、E 、F 分别是ABC ∆的边BC 、AB 、AC 的中点， ∴EF ∥BC ，22BD CD OE OF ===，设PE k =，则14PE OE PB BC ==，∴4PB k =，3BE k =，∴3AE k =， ∴2AP k =，6AB k =，∴3AB AP =．【总结】本题考查了三角形一边平行线的性质定理及中位线性质定理的运用．【习题5】 如图，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ．（1）求证：CD DF BC BE =；（2）若M 、N 分别是AB 、AD 中点，且60B ∠=︒，求证：EM // FN ．ABCDEFMNG28 / 34ABCDEF【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴B D ∠=∠， ∵AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∴ABE ∆∽ADF ∆，∴AB BEAD DF=，∵AB CD =，AD BC =， ∴CD DF BC BE =；（2）延长EM 、DA 交于点G ，∵M 、N 分别是AB 、AD 中点，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∴EM BM =，FN ND =， ∵60B ∠=︒，∴BME ∆、DFN ∆为等边三角形， ∴60BEM DNF ∠=∠=︒，∵G BEM ∠=∠，∴G DNF ∠=∠，∴EM // FN ．【总结】本题考查了相似三角形的判定及直角三角形的有关性质．【习题6】 如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 是边BC 上一点，点E 、F 分别是线段AB 、AD 中点，联结CE 、CF 、EF ． （1）求证：CEF ∆≌AEF ∆；（2）联结DE ，当BD = 2CD 时，求证：DE = AF ．【难度】★★【答案】详见解析．【解析】（1）∵90ACB∠=︒，点E、F分别是线段AB、AD中点，∴12CF AD AF==，12CE AB AE==，∵EF EF=，∴CEF∆≌AEF∆；（2）∵点E、F分别是线段AB、AD中点，∴EF∥BD，12EF BD=，∵BD = 2CD，∴EF CD=，∴四边形CFED是平行四边形，∴DE CF=，∵CF AF=，∴DE AF=．【总结】本题考查了直角三角形的性质、三角形全等及平行四边形的判定和性质的综合运用．【习题7】已知正方形ABCD的对角线相交于点O，CAB∠的平分线分别交BD、BC于点E、F，作BH AF⊥，垂足为H ，BH的延长线分别交AC、CD于点G、P．（1）求证：AE = BG；（2）求证：GO AG CG AO=．【难度】★★【答案】详见解析．【解析】（1）∵ABCD为正方形，∴OA OB=，AC BD⊥，∵BH AF⊥，∴BGO BEH∠=∠，∵AEO BEH∠=∠，∴BGO AEO∠=∠，∴AEO∆≌BGO∆，∴AE BG=；（2）∵AF为CAB∠的平分线，∴OAE BAF∠=∠，∵CBP BAF∠=∠，∴OAE∆∽CBP∆，∴OE PCAO BC=，∵AB BC=，GO OE=，∴GO PCAO AB=，A BCD PGOFHE30 / 34ABCDE F∵PC ∥AB ，∴CG PCAG AB=， ∴GO CGAO AG=，∴GO AG CG AO =． 【总结】本题考查了正方形的性质及相似三角形的判定．【作业1】 若ABC ∆∽111A B C ∆（其中点A 和1A 、B 和1B 、C 和1C 分别对应），且AB = 4，11A B= 6，则ABC ∆的周长和111A B C ∆的周长之比是（ ）A ．9 : 4B ．4 : 9C ．2 : 3D ．3 : 2【难度】★ 【答案】C ．【解析】相似三角形的周长比等于相似比． 【总结】本题考查了相似三角形的性质．【作业2】 已知，如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 为AB 的中点，BE CD ⊥，垂足为点F ，BE 交AC 于点E ，CE = 1cm ，AE = 3 cm ． 求证：（1）ECB ∆∽BCA ∆；（2）求斜边AB 的长．课后作业【难度】★【答案】详见解析．【解析】（1）∵BE CD⊥，90ACB∠=︒，∴ACD CBE∠=∠，∵点D为AB的中点，∴CD AD=，∴ACD DAC∠=∠，∴CBE A∠=∠，∴ECB∆∽BCA∆；（2）由（1）得CB CECA CB=，解得：2CB =cm，∴2225AB AC BC=+=cm．【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质，注意观察母子形．【作业3】已知：如图，线段AB // CD，AC CD⊥，AC、BD相交于点P，E、F分别是线段BP和DP的中点．（1）求证：AE // CF；（2）如果AE和DC的延长线相交于点Q，M、N分别是线段AP和DQ的中点，求证：MN = CE．【难度】★★【答案】详见解析．【解析】（1）∵AB // CD，∴AP BP PC PD=，∵E、F分别是线段BP和DP的中点，A BCDEFPQNM32 / 34∴22AP PE PEPC PF PF==， ∴AE // CF ；（2）∵AC CD ⊥，E 、F 分别是线段BP 和DP 的中点，∴AE EP EB ==，∵EA EBEQ ED=，∴ED EQ =， ∵M 、N 分别是线段AP 和DQ 的中点，∴EM AC ⊥，EN DQ ⊥，∴四边形MNCE 是矩形，∴MN CE =．【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理和矩形的判定及性质．【作业4】 如图，已知在四边形ABCD 中，AD // BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，BD 平分ABC ∠，过点D 作DF // AB ，分别交AC 、BC 于点E 、F ． （1）求证：四边形ABFD 是菱形；（2）设AC AB ⊥，求证：AC OE AB EF =． 【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】（1）∵AD // BC ，DF // AB ，∴四边形ABFD 是平行四边形， ∵BD 平分ABC ∠，∴ABD DBC ∠=∠，∵ADB DBC ∠=∠， ∴ABD ADB ∠=∠，∴AB AD =，∴四边形ABFD 是菱形； （2）连接OF ，易证AOB ∆≌FOB ∆，∵AC AB ⊥，∴OF BC ⊥，∵DF // AB ，∴EF OC ⊥，∴CEF ∆∽FEO ∆，∴EF CEEO EF=， ∵CE EF AC AB =，即CE AC EF AB =，∴EF ACEO AB=，∴AC OE AB EF =． 【总结】本题考查了菱形的判定及相似三角形的判定及性质的综合运用．ABC DEFO【作业5】 已知：如图，四边形ABCD 是菱形，点E 在边CD 上，点F 在BC 的延长线上，CF = DE ，AE 的延长线与DF 相交于点G ． （1）求证：CDF DAE ∠=∠；（2）如果DE = CE ，求证：AE = 3EG ．【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AD DC =，ADE DCF ∠=∠，∵CF = DE ，∴ADE ∆≌DCF ∆，∴CDF DAE ∠=∠；（2）延长AG 、BF 交于点M ， ∵DE = CE ，易证ADE ∆≌MCE ∆，∴AE EM =，AD CM =， 设1DE =，则2AD DC CM ===，1CF FM ==，∴12MG MF AG AD ==，设MG k =，则2AG k =，1322AE AM k ==，∴12EG k =，∴3AE EG =．【总结】本题考查了全等三角形的判定及相似三角形的性质．【作业6】 已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 是边AD 的中点，联结BE ，过点A 作AF BE ⊥，分别交BE 、CD 于点H 、F ，联结BF ． （1）求证：BE = BF ；（2）联结BD ，交AF 于点O ，联结OE ．求证：AEB DEO ∠=∠． 【难度】★★ 【答案】详见解析．EDCG FABMAB CDEFHO【解析】（1）∵四边形ABCD 是正方形，AF BE ⊥， ∴AB AD =，DAF ABE ∠=∠，∴DAF ∆≌ABE ∆，∴AE DF =，∴点F 为DC 中点，∴CBF ∆≌ABE ∆，∴BE BF =；（2）∵DE DF =，EDO FDO ∠=∠，DO DO =， ∴EDO ∆≌FDO ∆，∴DEO DFO ∠=∠，由（1）得AEB DFO ∠=∠，∴AEB DEO ∠=∠．【总结】本题考查了全等三角形的判定及正方形的性质的综合运用．。

【文库独家】相似三角形知识点整理重点、难点分析：1、相似三角形的判定性质是本节的重点也是难点．2、利用相似三角形性质判定解决实际应用的问题是难点。

☆内容提要☆ 一、本章的两套定理第一套（比例的有关性质）：涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。

二、有关知识点：1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。

2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。

3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。

4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。

5.相似三角形的判定定理：从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。

6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

7.相似三角形的性质定理： (1)相似三角形的对应角相等。

(2)相似三角形的对应边成比例。

(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

(4)相似三角形的周长比等于相似比。

(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。

8. 相似三角形的传递性cda b = dbc a a c bd ==或 合比性质：ddc b b a ±=± ⇒=⇔=bc ad d c b a （比例基本定理） ban d b m c a n d b n m d c b a =++++++⇒≠+++=== :)0(等比性质如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2三、注意1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A ”型和“ 8 ”型。

相似三角形的性质定理（3种题型）【知识梳理】一、相似三角形性质定理1相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． 二、相似三角形性质定理2相似三角形周长的比等于相似比． 三、相似三角形性质定理3相似三角形的面积的比等于相似比的平方．【考点剖析】题型一：相似三角形性质定理1例1.已知ABC ∆∽111A B C ∆，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，1132AB A B =，BE 、B 1E 1分别是它们的对应中线，且6BE =．求B 1E 1的长． 【答案】4．【解析】解：111ABC A B C ∆∆∽，BE 、11B E 分别是对应中线，1111AB BEA B E B ∴=即11362E B =，114E B =【总结】本题考查相似三角形对应中线的比等于相似比．例2.已知ABC ∆∽111A B C ∆，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，12AC =，119A C =,1A ∠的平分线A 1D 1的长为6，求A ∠的平分线的长． 【答案】8．【解析】解：111ABC A B C ∆∆∽，AD 、11A D 分别是A ∠、1A ∠的平分线，1111AC AD A C A D ∴=即1296AD =，8AD ∴=即A ∠的平分线的长为8．【总结】本题考查相似三角形对应角平分线的比等于相似比． 例3.求证：相似三角形对应高的比等于相似比．【解析】已知：如图，111ABC A B C ∆∆∽，且相似比为k ，AD 、11A D 分别是BC 、11B C 的高．求证：11ADkA D =．证明：111ABC A B C ∆∆∽，1B B ∴∠=∠，11ABkA B =；又AD 、11A D 分别是BC 、11B C 的高，11190BDA B D A ∴∠=∠=，111ABD A B D ∴∆∆∽，1111AB ADk A B A D ∴==．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质． 例4.求证：相似三角形对应中线的比等于相似比．【解析】已知：如图，111ABC A B C ∆∆∽，且相似比为k ，AD 、11A D 分别是边BC 、11B C 的 中线．求证： 11ADk A D =．证明：111ABC A B C ∆∆∽，1B B ∴∠=∠，1111AB CBkA B C B ==；又AD 、11A D 分别是边BC 、11B C 的中线，12BD BC ∴=，111112B D B C =，∴11DB k D B =，1111AB BD A B B D ∴=，111ABD A B D ∴∆∆∽，1111AB ADkA B A D ∴==．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的运用．例5.求证：相似三角形对应角平分线的比等于相似比．【解析】已知：如图，111ABC A B C ∆∆∽，且相似比为k ，AD 、11A D 分别是BAC ∠、111B A C ∠ 的角平分线．求证：11ADk A D =．证明：111ABC A B C ∆∆∽，1B B ∴∠=∠，111BAC B A C ∠=∠，11ABkA B =；又AD 、11A D 分别是BAC ∠、111B A C ∠的角平分线，11111111,22BAD BAC B A D B A C ∴∠=∠∠=∠，111BAD B A D ∴∠=∠，111ABD A B D ∴∆∆∽，1111AB ADk A B A D ∴==．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质．例 6.如图，ABC ∆和111A B C ∆中，AD 和BE 是ABC ∆的高，11A D 和11B E 是111A B C ∆的高，且1C C ∠=∠，1111AD ABA D AB =． 求证：1111AD BEA DB E =【解析】AB C D EA 1E 1D 1 C 1B 1证明：1111AB ADA B A D =，又111ADB A D B ∠=∠，111ABD A B D ∴∆∆∽，111ABD A B D ∴∠=∠，又1C C ∠=∠，111ABC A B C ∴∆∆∽，又BE 、11B E 分别是ABC ∆、111A B C ∆的高，1111BE AB E B A B ∴=，1111BE ADE B A D ∴=．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的综合运用．例7.如图，D 是ABC ∆的边BC 上的点，BAD C ∠=∠，BE 是ABC ∆的角平分线，交AD 于点F ，1BD =，3CD =，求BF ：BE ．【解析】解：BE 是ABC ∆的角平分线，∴ABF EBC ∠=∠，又BAD C ∠=∠，ABF CBE ∴∆∆∽，AB BFCB BE ∴=，又BAD C ∠=∠，ABD ABC ∠=∠BAD BCA ∴∆∆∽，AB BD BC BA ∴=，14AB AB ∴=，2AB ∴=，12AB BC ∴=，1:2BF BE ∴=．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的综合运用．例8.如图，在ABC ∆中，矩形DEFG 的一边DE 在BC 边上，顶点G 、F 分别在AB 、AC 边上，AH 是BC 边上的高，AH 与GF 交于点K ．若32AH cm =，48BC cm =，矩形DEFG 的周长为76cm ，求矩形DEFG 的面积．【答案】2360cm ．AB C DEFABC D EFGH K【解析】解：设DG xcm =，()38FG x cm=−矩形DEFG ，//90GF BC GDB ∴∠=，，GF AGBC AB ∴=,又AH 是高，90AHB ∴∠=，GDB AHB ∴∠=∠//DG AH ∴,DG BG AH AB ∴=，1DG GFAH BC ∴+=,3813248x x −∴+=，20x ∴=，∴20DG cm =，18FG cm =，2360DEFG S cm ∴=矩形． 【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的周长面积等知识．例9.如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，AH 是ABC ∆的高，BC = 60厘米，AH = 40厘米，求正方形DEFG 的边长．【答案】24．【解析】设正方形EFGD 的边长为x ，//DG BC ，DG AD APBC AB AH ∴==．406040x x −∴=，24x ∴=，∴正方形EFGD 的边长为24．【总结】本题考查三角形内接正方形的相关知识，主要还是通过比例相等来列式建立关系． 例10.在锐角∆ABC 中，矩形DEFG 的顶点D 在AB 边上，顶点E 、F 在BC 边上，顶点G 在AC 边上，如果矩形DEFG 的长为6，宽为4，设底边BC 上的高为x ，∆ABC 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式．ABCDEF GH P【答案】23(4)4x y x x =>−．【解析】解：如图， 矩形DEFG ，//90GD BC DEC ∴∠=，，GD AD BC AB ∴=．又 AH 是高，90AHC ∴∠=． DEC AHC ∴∠=∠， //DE AH ∴，DE BDAH AB ∴=， 1DG DEBC AH ∴+=， 641BC x ∴+=，64xBC x ∴=−，又12ABC S y BC AH ∆==，∴()2344x y x x =>−．【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的面积等知识．题型二：相似三角形性质定理2例11.若ABC ∆∽DEF ∆，ABC ∆与DEF ∆的相似比为1:2，则ABC ∆与DEF ∆的周长比为( )（A ）1:4 （B ）1:2 （C ）2:1 （D ）1:2【答案】B【总结】相似三角形的周长比等于相似比．例12.已知ABC ∆∽111A B C ∆，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，它们的周长分别为48和60，且12AB =，1125B C =，求BC 和A 1B 1的长．【答案】112015BC A B ==，．【解析】解：111ABC A B C ∆∆∽，1111111ABC A B C C AB CBC A B C B ∆∆∴==；又111484605ABC A B C C C ∆∆==，∴1120,15BC A B ==．【总结】本题考查相似三角形的性质．例13.如果两个相似三角形的最长边分别为35厘米和14厘米，它们的周长相差60厘米，那么大三角形的周长是．【答案】100cm ．【解析】两三角形的相似比为5:2，则周长比为5:2，设大三角形周长为5acm ，小三 角形周长为2acm ，则5260a a −=，所以20a =，所以大三角形的周长为100cm ． 【总结】相似三角形的周长比等于相似比．例14.如图，在ABC ∆中，12AB =，10AC =，9BC =，AD 是BC 边上的高．将ABC ∆沿EF 折叠，使点A 与点D 重合，则DEF ∆的周长为．【答案】312．【解析】由折叠得EF 垂直平分AD ，AD 是BC 上的高，ABCD EF//EF BC ∴，AEF ABC ∴∆∆∽，12AEF ABC C C ∆∆∴=，9101231ABC C ∆=++=，312AEF C ∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质和判定．例15.如图，梯形ABCD 的周长为16厘米，上底3CD =厘米，下底7AB =厘米，分别延长AD 和BC 交于点P ，求PCD ∆的周长．【答案】152cm ．【解析】解：梯形ABCD ，//CD AB ∴，AEF ABC ∴∆∆∽，37PDC PAB C CD C AB ∆∆∴==，即327PDC PDC ABCD C C C CD ∆∆=+−梯形， 31667PDC PDC C C ∆∆∴=+−，152PDC C cm ∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质和判定．例16.如图，在ABC ∆中，=90C ∠︒，5AB =，3BC =，点P 在AC 上（与点A 、C 不重合），点Q 在BC 上，PQ //AB ．当PQC ∆的周长与四边形P ABQ 的周长相等时，求CP 的长．【答案】247．【解析】解：CPQ PABQC C ∆=四边形，ABCD PABCPQCP CQ PQ BQ PQ AP AB ∴++=+++， CP CQ BC CQ AC CP AB ∴+=−+−+， 5AB =，3BC =，90C ∠=，4AC ∴=，345CP CQ CQ CP ∴+=−+−+，6CP CQ ∴+=，//PQ AB ，CP CQCA CB ∴=，∴643CP CP −=，247CP =． 【总结】本题考查了三角形一边的平行线性质，主要考查了学生的推理能力．题型三：相似三角形性质定理3例17.（1）如果把一个三角形的三边的长扩大为原来的100倍，那么这个三角形的面积扩大为原来的倍；（2）如果一个三角形保持形状不变但面积扩大为原来的100倍，那么这个三角形的边长扩大为原来的倍．【答案】（1）10000；（2）10．【总结】相似三角形的面积比等于相似比的平方．例16.两个相似三角形的面积分别为5cm 2和16cm 2，则它们的对应角的平分线的比为（ ）（A ）25:256（B ）5:16（C ）5:4（D ）以上都不对．【答案】C【解析】相似三角形对应角平分线的比等于相似比，对应面积的比等于相似比的平方． 【总结】本题考查相似三角形的性质．例18.如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 和AC 上，DE //BC ，6DE =，9BC =，16ADE S ∆=．求ABC S ∆的值．【答案】36．ABCD E【解析】解：//DE BC ，ADE ABC ∴∆∆∽，226499ADE ABC S DE S BC ∆∆⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，36ADE S ∆∴=． 【总结】本题考查相似三角形的判定及性质．例19.如图，在ABC ∆中，D 是AB 上一点，若B ACD ∠=∠，4AD cm =，6AC cm =，28ACD S cm ∆=，求ABC ∆的面积．【答案】218cm ．【解析】解：B ACD ∠=∠，A A ∠=∠，ACD ABC ∴∆∆∽，222439ACD ABC S AD S AC ∆∆⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又28ACD S cm ∆=，218ABC S cm ∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的判定及性质．例20.如图，在ABC ∆中，点D 、E 在AB 、AC 上，DE //BC ，ADE ∆和四边形BCED 的面积相等，求AD :BD 的值．【答案】21+．ABCDABCD E【解析】解：//DE BC ，ADE ABC ∴∆∆∽，2ADE ABC S AD S AB ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，ADE BCEDS S ∆=四边形，12ADE ABC S S ∆∆∴=，12AD AB ∴=，12121AD DB ∴==+−．【总结】本题考查相似三角形的判定及性质．例21.如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥，BE AC ⊥，D 、E 分别为垂足．若60C ∠=︒，1CDE S ∆=，求四边形DEAB 的面积．【答案】3． 【解析】解：AD BC BE AC ⊥⊥，，90CDA BEC ∴∠=∠=．90CDA BEC ∴∠=∠=，CBE CAD ∴∆∆∽，CD CACE CB ∴=．90CDA BEC ∴∠=∠=，CBE CAD ∴∆∆∽，CD CACE CB ∴=，DCE ACB ∴∆∆∽，2DCE ACB S CD S CA ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，又60C ∠=， 30CBE CAD ∴∠=∠=，12CD CA =，14DCE ACB S S ∆∆∴=，13DCE BDEA S S ∆∴=四边形，1CDE S ∆=，3DEAB S ∴=四边形．【总结】本题考查相似三角形的性质及判定，直角三角形的性质等知识．例22.如图，Rt ABC ∆中，点D 是BC 延长线上一点，直线EF //BD 交AB 于点E ， 交AC 于点G ，交AD 于点F ，若13AEG EBCG S S ∆=四边形，求CFAD的值．A B CDEF【答案】21．【解析】解：//EF BD ，AEG AEC ∴∆∆∽，AE AFAB AD ∴=，2AEG ABC S AE S AB ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，13AEG EBCGS S ∆=四边形，14AEG ABC S S ∆∆∴=，12AE AF AB AD ∴==，Rt ABC ∆，90ACD ACB ∴∠=∠=，CF ∴是中线，12CF AD ∴=,12CF AD ∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质，直角三角形的性质，三角形一边的平行线等知识．【过关检测】一、单选题1．（2022秋·上海浦东新·九年级校考期中）两个相似三角形的对应角平分线的比为1:4，则它们的周长比为（ ） A ．1:4 B ．1:2C ．1:16D ．以上答案都不对【答案】A【分析】两个相似三角形的对应边的比，对应角平分线的比，对应中线的比，对应高线的比，周长的比都等于相似比．【详解】两个相似三角形的对应角平分线的比为1:4，∴两个相似三角形的相似比为1:4， ∴周长的比为1:4．ABCDEFG故选A ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟记相似三角形的性质并灵活运用．在ABC 的边，ABC 的面积是A ．4B ．8【答案】A【分析】过点A 作AH BC ⊥于H ，交GF 于M ，如图，先利用三角形面积公式计算出8AH =，设正方形DEFG 的边长为x ，则,,8GF x MH x AM x ===−，再证明AGF ABC ∽，则根据相似三角形的性质得方程，然后解关于x 的方程即可．【详解】解：如图，过点A 作AH BC ⊥于H ，交GF 于M ，∵ABC 的面积是32，8BC =， ∴2132BC AH ⋅=，∴8AH =，设正方形DEFG 的边长为x ，则,,8GF x MH x AM x ===−， ∵GF BC ∥，∴AGF ABC ∽， ∴GF AMBC AH = ， 888x x −∴= ，解得∶4x =，即这个正方形的边长是4． 故选：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及正方形的性质，添加合适的辅助线是解题的关键． 3．（2022秋·上海嘉定·九年级校考期中）已知两个相似三角形的相似比为49：，那么它们的面积比为（ ） A ．23： B ．818：C ．49：D ．1681：【答案】D【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得到答案．【详解】解：两个相似三角形的相似比为49：， ∴它们的面积比1618：故选D ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键． 九年级统考期中）已知ABC 的三边长分别为，DEF 的一边长，如果这两个三角形相似，那么DEF 的另两边长可能是（【答案】B【分析】根据三边对应成比例的三角形相似，即可求得．注意DEF 中为5cm 边长的对应边可能是6cm 或7.5cm 或9cm ，所以有三种情况．【详解】解：设DEF 的另两边为cm,cm x y ， 若DEF 中为5cm 边长的对应边为6cm ， 则：567.59x y==，解得：254x =，152y =； 若DEF 中为5cm 边长的对应边为7.5cm ，则：57.569x y ==，解得：4x =，6y =；若DEF 中为5cm 边长的对应边为9cm ， 则：5967.5x y ==，解得：103x =，256y =； 结合选项可得B 选项可选． 故选：B ．【点睛】此题考查了相似三角形的判定：三边对应成比例的三角形相似．解此题的关键要注意DEF 中为5cm 边长的对应边不确定，答案不唯一，要仔细分析，小心别漏解．九年级上海市华东模范中学校考期中）如图，在ABC 中，:ADEABCSS为（A ．3:5 【答案】C【分析】根据DE BC ∥可知ADEABC ，由:3:2AD DB =可知:3:5AD AB =,即相似比为3:5,再利用面积比是相似比的平方，即可判断求解． 【详解】解：∵DE BC ∥， ∴ADEABC ，∵:3:2AD DB =， ∴:3:5AD AB =，2239525ADE ABCSAD SAB ⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．用到的知识为：平行于三角形一边的直线与其他两边所截的三角形与原三角形相似，相似三角形对应边的比相等，都等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方．DEF 的最短边长为，那么DEF 的周长等于（126【答案】D【分析】由相似三角形的性质：周长的比等于相似比，求出相似比即可求得结果． 【详解】ABC DEF ∽，∴相似比为3193k ==，13ABC DEFC C∴=，33(356)42DEFABCCC ∴==⨯++=；故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是关键．是ABC 的重心，四边形与ABC 面积的比值是（【答案】B【分析】连接DE ，根据三角形中位线定理以及中线的性质可得1,2DE BC DE BC =∥，12ABDABCS S =，12BDEABDSS =，从而得到ADE ACB △△∽，进而得到221112,34AED ABCSD E E D S B G C G BD CE ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==，继而得到13DEGBDESS =，14ADEABCSS =，可得1116212DEGABCABCSS S =⨯=，再由ADEDEGAEGD S SS=+四边形，即可．【详解】解：如图，连接DE ，∵点G 是ABC 的重心，∴点D ，E 分别为,AC AB 的中点，∴1,2DE BC DE BC =∥，12ABDABCS S =，12BDEABDSS =，∴ADE ACB △△∽， ∴12DG EG DE BG CG BC ===， ∴221112,34AED ABCSD E E D S B G C G BD CE ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==， ∴13DEGBDES S =，14ADE ABCSS =，∴111326DEGABDABDS S S =⨯=， ∴1116212DEG ABCABCSS S =⨯=，∴1114123ADEDEGABCABCABCAEGD S SS S S S =+=+=四边形，即四边形AEGD 与ABC 面积的比值是13．故选：B【点睛】本题主要考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握三角形的重心，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理是解题的关键． 二、填空题8．（2022秋·上海长宁·九年级校考期中）已知ABC 与DEF 相似，且ABC 与DEF 的面积比为1:4，若DEF 的周长为16，那么ABC 的周长等于________．【答案】8【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方先求出ABC 与DEF 的相似比，然后根据相似三角形的周长的比等于相似比解答即可．【详解】解：∵相似三角形ABC 与DEF 面积的比为1:4， ∴它们的相似比为1:2，∴ABC 与DEF 的周长比为1:2， ∵DEF 的周长为16， ∴ABC 的周长等于8， 故答案为：8．【点睛】本题主要考查了相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比的性质，熟记性质是解题的关键．9．（2022秋·上海奉贤·九年级校联考期中）已知ABC ∽111A B C △，顶点A 、B 、C 分别与1A 、1B 、1C 对应，AB ：113A B =：4，BE 、11B E 分别是它们的对应角平分线，则BE ：11B E =______． 【答案】3：4【分析】根据相似三角形对应角平分线的比都等于相似比解答即可． 【详解】解：ABC ∽111A B C △，BE ∴：11B E AB =：113A B =：4，故答案为：3：4．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键．10．（2022秋·上海浦东新·九年级校考期中）如图，DE BC ∥，:2:3AE EC =，则:OE OB =________．【答案】2:5【分析】根据:2:3AE EC =可求出:2:5AE AC =，再根据三角形相似的性质即可求解． 【详解】解：∵:2:3AE EC =，∴25AE AC =，∵DE BC ∥，∴25DE AE BC AC ==，且DEO CBO △∽△， ∴25OE DE OB CB ==， 故答案为：2:5．【点睛】本题主要考查比例的性质，相似三角形的性质，理解平行线的性质，相似三角形的性质是解题的关键．11．（2022秋·上海松江·九年级校考期中）已知ABC 和DEF 相似，对应边AB 与DE 之比为3:4，如果DEF 的周长为24，那么ABC 的周长是___________．【答案】18【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比得:3:4ABCDEFCC=，又因为DEF 的周长是24，再建立方程即可．【详解】解：∵ABC 和DEF 相似，对应边AB 与DE 之比为3:4， ∴:3:4ABCDEFCC=，∵DEF 的周长是24， ∴:243:4ABCC=∴ABC 的周长是18， 故答案为：18．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的周长之比等于相似比． 12．（2023·上海长宁·统考一模）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，正方形EFGH 的边FG 在ABC 的边AB 上，顶点E 、H 分别在边AC 、BC 上，如果其面积为24，那么AF BG ⋅的值为______．【答案】24【分析】通过证明Rt Rt AFE HGB ∽，则AF BG EF HG ⨯=⨯，即可得到答案． 【详解】90C ∠=︒，正方形EFGH 的四个顶点在三角形的边上， 90A B ∴∠+∠=， 90B BHG ∠+∠=，Rt Rt AFE HGB ∴∽， =24AF BG EF HG ∴⨯=⨯．故答案为24．【点睛】本题主要涉及三角形相似的判定和相似三角形的性质应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．，如果ABC 三边长分别是DEF 的两边长为【分析】根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解．【详解】解：∵ABC DEF △△∽，∵ABC ，2，2，DEF 的两边长为1x∴21x ==，解得：x所以DEF ．．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，求出相似比是解题关键．14．（2022秋·上海宝山·九年级统考期中）已知111ABC A B C :△△，顶点A 、B 、C 分别与1A 、1B 、1C 对应，11:3:5AB A B =，E 、1E 分别是边AC 、11AC 的中点，如果1BE =，那么11B E 的长为________． 【答案】53/213【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比列比例式求解即可．【详解】解答：解：∵11111:35ABC A B C AB A B =∽，:，∴对应中线BE 、11B E 的比值为35:，∴11135B E =::， ∴1153B E =． 故答案为：53．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形对应中线的比等于相似比． 15．（2022秋·上海杨浦·九年级统考期中）如果两个相似三角形的面积比为3:4，那么它们对应高之比为__________．2 【分析】根据相似三角形的性质，两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，因为两个相似三角形的面积比为3:42；再结合两个相似三角形对应高的比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：两个相似三角形的面积比为3:4，∴2，∴2，2．【点睛】本题考查相似三角形的性质应用，熟练掌握形式三角形面积比等于相似比的平方，相似三角形对应高的比等于相似比是解决问题的关键． 16．（2023·上海·一模）如果ABC ∽DEF ，且ABC 的三边长分别为3、4、5， DEF 的最短边长为6，那么DEF 的周长等于________．【答案】24【分析】先设DEF 的周长等于c ，再根据相似三角形周长的比等于相似比即可求出c 的值．【详解】解；设DEF 的周长等于l ，∵ABC ∽DEF ，ABC 的三边长分别为3、4、5，DEF 的最短边长为6， ∴33546c ++=，解得24c = ．故答案为：24．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形周长的比等于相似比． 17．（2023·上海黄浦·统考一模）已知ABC 的三边长分别为2、3、4，DEF 与ABC 相似，且DEF 周长为54，那么DEF 的最短边的长是______．【答案】12 【分析】先计算出ABC 的周长，进而得出相似比为16∶，进而得出答案． 【详解】解：∵ABC 的三边长分别为2、3、4，∴ABC 的周长为：9∵DEF 与ABC 相似，且DEF 周长为54，∴ABC 与DEF 的周长比为95416=∶∶， ∴ABC 与DEF 的相似比为16∶， 设DEF 的最短边的长是x ，则：216x =∶∶，解得∶12x =．故答案为∶12．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．18．（2023·上海宝山·一模）已知一个三角形的三边之比为2:3:4，与它相似的另一个三角形ABC 的最小边长为4厘米，那么三角形ABC 的周长为 _____厘米．【答案】18【分析】相似三角形的对应边的比相等，因而与已知三角形相似的三角形的三边的比也是2:3:4，即可求得三角形的三边，从而求得周长．【详解】解：所求三角形的三边的比是2:3:4，设最短边是2x 厘米，则24=x ，解得2x =，因而另外两边的长是36x =厘米，48x =厘米．则三角形的周长是68418++=（厘米）．故答案为：18．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形对应边的比相等，由此得到所求三角形的三边的比也是2:3:4，是解题关键． 19．（2022·上海·九年级专题练习）两个相似三角形的面积之比是 9:25， 其中较大的三角形一边上的高是 5 厘米， 那 么另一个三角形对应边上的高为_________厘米．【答案】3【分析】把面积之比转换成相似比，在通过比例求出高 【详解】∵两个三角形面积比为9:25∴两个三角形相似比为3:5设：另一三角形对应边上的高为x∴355x =，解得x=3 故答案为：3【点睛】本题考查相似比和面积比的应用，掌握他们的区别是本题关键． 20．（2023·上海徐汇·统考一模）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，正方形DEFG 内接于ABC ，点G 、F 分别在边AC 、BC 上，点D 、E 在斜边AB 上，那么正方形DEFG 的边长是______．【答案】【分析】过点C 作C M A B ⊥于点M ，交GF 于点N ，首先由勾股定理得出AB 的长，由面积法即可求出CM 的长，可证得CGF CAB ∽，再根据相似三角形的性质，即可得出答案．【详解】解：如图：过点C 作C M A B ⊥于点M ，交GF 于点N ，Rt ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，AB ∴，1122ABC S AC BC AB CM =⋅=⋅△，∴AC BC CM AB ⋅∴===， ∵正方形DEFG 内接于ABC ，GF EF MN ∴==，GF AB ∥，CGF CAB ∴△∽△，CN GF CM AB ∴=，EF −=，解得：EF =，故答案为：．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识；正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 21．（2023·上海虹口·校联考二模）如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边BC AC 、上，ABE C ∠=∠，DE AB ∥，如果6AB =，9AC =，那么:BDE CDE S S △△的值是______．【答案】4:5【分析】根据已知证明ABE ACB ∽，得出4AE =，进而得出5EC =，根据DE AB ∥，根据平行线分线段成比例，得出45AE BD EC DC ==，即可求解． 【详解】解：∵BAE CAB ∠=∠，ABE C ∠=∠，∴ABE ACB ∽，∵6AB =，9AC =，∴AB AE AC AB =∴24AB AE AC ==，∴945EC AC AE =−=−=，∵DE AB ∥，∴45AE BD EC DC == ∴:BDE CDE S S △△=::4:5BD DC AE EC ==，故答案为：4:5．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．22．（2023·上海·一模）如果梯形的一条对角线把梯形分成的两个三角形相似，那么我们称该梯形为“优美梯形”．如果一个直角梯形是“优美梯形”，它的上底等于2，下底等于4，那么它的周长为______．【答案】8+8【分析】根据 “优美梯形”的定义，得到ABD BDC ∽△△，从而得到90CBD BAD ∠=∠=︒，AD AB BD BC BD CD ==，推出2BD AB CD =⋅，算出BD =再根据勾股定理，得到AD 、BC 的长，即可得到该直角梯形的周长．【详解】解：根据题意，作图如下，ABCD 为直角梯形，90BAD ADC ∴∠=∠=︒，90ABD ADB ∴∠+∠=︒，90ADB BDC ∠+∠=︒，ABD BDC ∴∠=∠，直角梯形ABCD 是“优美梯形”，ABD BDC ∴∽，90CBD BAD ∴∠=∠=︒，AD AB BD BC BD CD ==，2BD AB CD ∴=⋅，2AB =，4CD =，BD ∴，在Rt ABD 中，2AD ，在Rt BCD △中，BC =∴该梯形的周长2428AB BC CD DA =+++=++=+故答案为：8+【点睛】本题考查了直角梯形的性质，相似三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 23．（2022秋·上海奉贤·九年级校联考期中）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AC 与BD 相交于点O ，如果2ABC ACD S S =，那么COD S △：ABC S =______．【答案】1：3/13【分析】首先根据2ABC ACD S S =，可得AD ：1BC =：2；然后根据AOD ∴∽COB ，可得AO ：OC OD =：OB AD =：1BC =：2，进而可得AOD S：1BOC S =：4，AOD S ：1AOB S =：2，AOD S ：1OCD S =△：2，设AOD S k =，分别表达OCD S 和ABC S 进而可得结论．【详解】解：在梯形ABCD 中，//AD BC ，2ABC ACD S S =，AD ∴：1BC =：2；//AD BC ，AOD ∴∽COB ，AO ∴：OC OD =：OB AD =：1BC =：2，AOD S∴：1BOC S =：4，AOD S ：1AOB S =：2，AOD S ：1OCD S =△：2， 设AOD S k=，则4BOC S k =，2AOB OCD S S k ==， 6ABC AOB BOCS S S k ∴=+=， COD S ∴：2ABC S k =：61k =：3．故答案为：1：3．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质的应用，以及梯形的特征和应用，要熟练掌握．三、解答题24．（上海·九年级校考阶段练习）如图，已知梯形ABCD ，AB ∥DC ，△AOB 的面积等于9，△AOD 的面积等于6，AB ＝7，求CD 的长．【答案】143【详解】试题分析：由题意易得△COD ∽△AOB ，由此可得：CD DO AB BO =；由△AOB 的面积等于9，△AOD 的面积等于6，可得：23DO BO =，再结合AB=7即可求得CD 的长.试题解析：∵AB ∥DC ，∴△COD ∽△AOB ， ∴CD DO AB BO =，∵△AOB 的面积等于9，△AOD 的面积等于6， ∴23DO BO =， ∴23CD DO AB BO ==， 又∵AB ＝7， ∴273CD =， ∴CD ＝143.【答案】20平方厘米【分析】根据两个相似三角形的面积比等于对应边的比的平方，结合面积和即可求解．【详解】解：设两个三角形的面积分别为x ，y ，则有22365x y x y ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+=⎩，解得2045x y =⎧⎨=⎩；答：较小三角形面积为20平方厘米．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于对应边的比的平方．26．（2020秋·上海宝山·九年级统考阶段练习）如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，已知ABC ∆的边15BC =，高10AH =，求：正方形DEFG 的边长和面积．【答案】6，36【分析】由正方形的性质可得DG //BC ，不难证明ADG △∽ABC ，即DG AM BC AH =，设正方形的边长为x ，分别表示出对应边的长度并代入DG AM BC AH =求解，即可得出正方形的边长，即可得出正方形的面积． 【详解】设正方形的边长为x ，正方形DEFH ，AH ⊥BC ，∴DG=GF=MH=x ，DG //BC ，∴ADG=B ∠∠，AM=10－x ，在ADG △与ABC 中，ADG=BAC BAC B ∠=∠⎧⎨∠∠⎩，∴ADG △∽ABC ，∴DG AM BC AH =，∴101510x x −=， 解得：x=6，S=6×6=36．答：正方形的边长为6，面积为36．【点睛】本题主要考查正方形的性质以及相似三角形的判定与性质，设正方形的边长为x ，根据相似比等于高之比列方程求解是解题关键．27．（上海·九年级阶段练习）如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．【答案】48mm【分析】设正方形EF=EG=ID=x，根据正方形的性质，得到EF∥BC，△AEF∽△ABC，列出比例式EF AIBC AD=，代入计算即可．【详解】∵四边形EFHG是正方形，AD是高，∴ EF∥BC，四边形EGDI是矩形，∴ EG=ID，设正方形EF=EG=ID=x，∴△AEF∽△ABC，∴EF AI BC AD=，∵ BC＝120mm，高AD＝80mm，∴80 12080x x−=，解得x=48，故正方形的边长为48mm．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的性质是解题的关键．。

专题九相似三角形模型47 “A”字模型模型展示基础模型正“A字”型怎么用？1、找模型在三角形中遇到“平行”，则考虑正“A字”模型2、用模型“A字”模型用相似三角形结题结论分析结论:△ADE~△ABC证明:△DE△BC，△△ADE=△ABC，△AED=△ACB.△△ADE~△ABC，△ADAB =AEAC=DEBC模型拓展斜“A字”型（共角）满分技法在△ABC中，点D、E分别是AB、AC 上的点，若△ADE与△ABC相似，则分两种情况:△△ADE=△ABC，此时为正“A字”型;△△ADE=△ACB，此时为斜“A字”型，然后再结合已知条件求解.巧学巧记相似三角形的对应线段(高、中线、角平分线)的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.典例小试例1 如图，在上体育课时，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，且头部影子重合于点A，(点拔：影子平行，则DE△BC)已知甲、乙同学相距1米，甲身高1.8米，乙身高1.5米，(点拔：CD=1米，BC=1.8米，DE=1.5米)则甲的影长是( )A.4米B.5米C.6米D.7米考什么？相似三角形的判定与性质思路点拨根据题意得到DE与BC的位置关系，再直接使用结论即可求解.例2 如图，在△ABC中，△BAC=△CBD，（点拔：在三角形中，遇一组角相等，再找一组等角，利用相似解题）CD=2，AC=6，则BC的长为( )A.√3B.2√3C.3√3D.4√3考什么？相似三角形的判定与性质例3 如图，在ABCD(点拨：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD)中，点E 在边AD上，且AE=ED，连接BE并延长交CD的延长线于点F，则△FED与ABCD 的面积之比为( )A.1:2B.1:3C.1:4D.1:5考什么？平行四边形的性质，全等三角形的判定，相似三角形的判定思路点拨根据平行四边形的性质及AE=ED,可得到△AEB与△DEF的关系，再剥离出模型即可解题,自己快动手试一试吧!思路点拔根据平行四边形的性质及AE=ED，可得到△AEB与△DEF的关系，再剥离出模型即可解题，自己快动手试一试吧!实战实演1.如图，在△ABC中，△B=45°，过点A作AD△AB交BC于点D，过点D作DE△AD 交AC于点E，若AB=4，DE=2，则CD的长为（）A B . C . D . 2. 在△ABC 中，点D ,E 分别是AB ,AC 上的点，若△ADE 与△ABC 相似，AD =2，BD =4，AE =3，则CE 的长为（ ）A .1B .2或6C .6D .1或63. 如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线，若AC =2，AB =32CD ，则⊙O 的半径为（ ）A . 54B . 32C . 2D . 2 4. 如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，连接CD ,AD =9，BD =7，AC =12，△ABC 的角平分线AE 交CD 于点F .（1）求证：2=AC AB AD ；（2）若AF =8，求AE 的长。

《相似三角形》课件一、教学内容本节课的教学内容选自人教版小学数学五年级下册第107页至109页，相似三角形单元。

这部分内容主要包括相似三角形的定义、性质及判定。

学生将通过这部分内容的学习，掌握相似三角形的相关知识，并能够运用其解决实际问题。

二、教学目标1. 理解相似三角形的定义，掌握相似三角形的性质和判定方法。

2. 能够运用相似三角形解决实际问题，提高解决问题的能力。

3. 培养学生的观察能力、思考能力和动手实践能力。

三、教学难点与重点重点：相似三角形的定义、性质和判定方法。

难点：相似三角形在实际问题中的应用。

四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、多媒体课件。

学具：课本、练习本、尺子、三角板。

五、教学过程1. 实践情景引入：展示一幅画有相似三角形的图片，让学生观察并说出相似三角形的特点。

2. 知识讲解：（1）介绍相似三角形的定义：相似三角形是指有两个角相等，并且对应边成比例的两个三角形。

（2）讲解相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

（3）讲解相似三角形的判定方法：① 如果两个三角形的两个角相等，那么这两个三角形相似。

② 如果两个三角形的两边成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

3. 例题讲解：讲解一道相似三角形的例题，让学生跟随步骤一起解决，巩固所学知识。

4. 随堂练习：让学生独立完成课本上的练习题，检测学生对相似三角形的理解和掌握程度。

5. 小组讨论：让学生分组讨论相似三角形在实际问题中的应用，分享解题心得。

六、板书设计板书相似三角形的定义、性质和判定方法，方便学生课后复习。

七、作业设计1. 作业题目：（1）判断两个三角形是否相似，并说明理由。

（2）运用相似三角形解决实际问题。

2. 答案：（1）判断两个三角形是否相似，答案略。

（2）运用相似三角形解决实际问题，答案略。

八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课学生对相似三角形的学习情况如何，有哪些学生掌握得较好，有哪些学生还需要加强辅导。

相似三角形的判定一、知识点讲解判定定理1：如果一个三角形的两个角与另外一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

判定定理2：两边对应相等且夹角对应相等的两个三角形相似。

判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似。

理解：（1）当给出的条件上角为主时，应考虑“两角对应相等”；当给出的条件有边有角时，应考虑“两边对应成比例，夹角相等”；当给出的条件全是边时应考虑“三边对应成比例”。

（2）在利用判定定理2时，一是两边的夹角相等，如果不是夹角则不成立。

二、典例分析（一）运用判定定理判定三角形相似例1 在矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF ⊥AE 于点F 。

（1）求证：△ABE ∽△DFA ；（2）若AB=6，AD=12,AE=10,求DF 的长。

变式练习：1、如图，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则图中相似的三角形一共有（ ）A 、1对B 、2对C 、3对D 、4对2、具备下列各组条件的两个三角形中，不一定相似的是（ ）A 、有一个角是40°两个等腰三角形B 、两个等腰直角三角形C 、有一个角为100°的两个等腰三角形D 、两个等边三角形例2 已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠ACD ，AB=6,BC=4,AC=5,CD=217,求AD 的长。

变式练习：1、如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，下列条件中不能判定△ABC ∽△AED 的是（ ）A 、∠AED=∠B B 、∠ADE=∠C C 、AB AC AE AD = D 、AC AE AB AD = 2、已知，P 是正方形ABCD 的边BC 上的点，且BP=3PC ，M 是CD 的中点，求证：△ADM∽△MCP 。

例3 如图，小正方形的边长为1，则下列选项中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ） 变式练习：1、在△ABC 和△A ＇B ＇C ＇中，AB=3cm ，BC=6cm ，CA=5cm ，A ＇B ＇=3cm ，B ＇C ＇=2.5cm ，A ＇C ＇=1.5cm ，则下列说法中，错误的是（ ）A 、△ABC 与△A ＇B ＇C ＇相似 B 、AB 与A ＇B ＇是对应边 C 、相似比为2：1D 、AB 与A ＇C ＇是对应边2、网格图中每个方格都是边长为1的小正方形，若A 、B 、C 、D 、E 、F 都是格点，试证明：△ABC ∽△DEF 。

微专题 相似三角形的判定及基本模型 A X AX K ⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩相似三角形的相关概念相似三角形的判定相似三角形基本模型（字型）相似三角形基本模型（字型）相似三角形基本模型(型)相似三角形基本模型(母子型)相似三角形基本模型（旋转型）相似三角形基本模型(字型（一线三等角）)相似三角形常用辅助线基础知识点相似三角形的判定重难点题型（作平行线） 重难点题型题型1 相似三角形的判定【方法点拨】相似三角形的判定方法汇总：1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似。

1．（2020·陕西西安·高新一中初三一模）如图，点E 是平行四边形ABCD 中BC 的延长线上的一点，连接AE 交CD 于F ，交BD 于M ，则图中共有相似三角形(不含全等的三角形)( )对．A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD//BC ，AB//CD ，∴△ADM ∽△EBM ，△ADF ∽△ECF ，△DFM ∽△BAM ，△EFC ∽△EAB ，∵∠AFD=∠BAE ，∠DAE=∠E ，∴△ADF ∽△EBA ，∴图中共有相似三角形5对，故选：B ．2．（2020·湖南茶陵·初三期末）如图，在大小为44⨯的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）A ．甲和乙B ．乙和丙C ．甲和丙D ．乙和丁，23；丙中的三角形的三边分别是：2，3只有甲与丙中的三角形的三边成比例：2==C ． 3．（2020·河南罗山·初三期末）如图，在矩形ABCD 中，E 在AD 上，EF BE ⊥，交CD 于F ，连结BF ，则图中与ABE △一定相似的三角形是A ．EFB △ B ．DEFC ．CFBD ．EFB △和DEF【解析】根据矩形的性质可得∠A=∠D=90°，再由EF BE ⊥根据同角的余角相等可得∠AEB=∠DFE ，即可得到结果.∵矩形ABCD ∴∠A=∠D=90°∴∠DEF+∠DFE=90°∵EF BE ⊥∴∠AEB+∠DEF=90°∴∠AEB=∠DFE∵∠A=∠D=90°，∠AEB=∠DFE ∴ABE ∽DEF 故选B.4．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校初三期中） 如图，D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，要使△AED △与ABC 相似，不能添加的条件是( )A ．DE ∥BCB ．AD•AC=AB•AEC ．AD ：AC=AE ：AB D ．AD ：AB=DE ：BC【解析】A 、当DE ∥BC ，则△AED ∽ACB ，所以A 选项错误；B 、当AD•AC=AB•AE ，即AD ：AB=AE ：AC ，而∠A 公共，则△AED ∽ACB ，所以B 选项错误； C 、当AD ：AC=AE ：AB ，而∠A 公共，则△AED ∽△ABC ，所以C 选项D 、AD ：AB=DE ：BC ，而它们的夹角∠ADE 和∠ABC 不确定相等，则不能判断△AED 与△ABC 相似，所以D 选项正确．故选D ．5．（2020·广西蒙山县二中初三月考）能判定ABC 与A B C '''相似的条件是（ ）A ．AB AC A B A C ='''' B ．AB A B AC A C''=''，且A C '∠=∠ C ．AB BC A B A C =''''且B A '∠=∠ D ．AB AC A B A C =''''，且B B '∠=∠ 【解析】解：Ａ．AB AC A B A C =''''，Ｂ．AB A B AC A C ''=''，且A C '∠=∠， Ｄ．AB AC A B A C =''''，且B B '∠=∠，均不能判断ABC 与A B C '''相似，故错误； Ｃ．AB BC A B A C =''''且B A '∠=∠，能判定ABC 与A B C '''相似，本选项正确故选：C ． 6．（2020·合肥市第四十六中学月考）如图，点D 、E 分别在ABC ∆的AB 、AC 边上，增加下列哪些条件：①AED B ∠=∠；②AE DE AB BC=；③AD AE AC AB =，使ADE ∆与ACB ∆一定相似（ ）A ．①③B ．②③C ．①②D ．①②③【解析】①∵A A ∠=∠ ,AED B ∠=∠ADE ACB ∴,故正确；②虽然有对应边成比例，但是夹角并不一定相等，所以ADE ∆与ACB ∆不一定相似，故错误； ③∵A A ∠=∠，AD AE AC AB =ADE ACB ∴,故正确；所以正确的是：①③故选：A ．7．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）下列各组图形中，不一定相似的是（ ）A ．各有一个角是100°的两个等腰三角形B ．各有一个角是90°的两个等腰三角形C ．各有一个角是60°的两个等腰三角形D ．各有一个角是50°的两个等腰三角形【解析】A 、各有一个角是100°的两个等腰三角形，100°的角只能是顶角，夹顶角的两边成比例，所以一定相似；B 、两个等腰直角三角形，对应边的比相等，锐角都是45°，相等，所以一定相似；C 、各有一个角是60°的两个等腰三角形，是等边三角形，有两对对应角相等，所以一定相似；D 、各有一个角是50°的两个等腰三角形，可能是顶角为50°，也可能底角为50°，所以对应角不一定相等，所以不一定不相似；故选：D ．8．（2020·安徽初三月考）如图，在ABC 中，D 、E 分别是边AC 、AB 上的点，则下列命题中，属于假命题的是（ ）A ．若ADE ABC =∠∠，则ADE ABC △△∽B ．若AD AB AE AC=，则ADE ABC △△∽ C ．若AD AE CD BE =，则ADE ACB ∽ D ．若AD AB DE BC =，则ADE ABC △△∽ 【解析】解：A 、若ADE ABC =∠∠，∠A 为公共角，则ADE ABC △△∽，是真命题；B 、若AD AB AE AC=，∠A 为公共角，则ADE ABC △△∽，是真命题； C 、若AD AE CD BE =，则AD AE AC AB=，∠A 为公共角，则ADE ABC △△∽，是真命题； D 、若AD AB DE BC =，由于条件不够，不能证明ADE ABC △△∽，故D 是假命题；故选：D. 9．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）点D 在ABC 的边AB 上，且2AC AD AB =⋅，则ABC ACD ，理由是_______．【解析】依题意，画图如下：2AC AD AB =⋅，即AB AC AC AD=， 又A A ∠=∠，ABC ACD ~∴（有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），故答案为：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定方法是解题关键．。

1．相似三角形相似三角形的本质特征是“具有相同形状”，它们的大小不一定相等，这是和全等三角形的重要区别。

为加深学生对相似三角形概念的本质的认识，教学时可预先准备几对相似三角形，让学生观察或测量对应元素的关系，然后直观地得出：两个三角形形状相同，就是他们的对应角相等，对应边成比例。

定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。

另外，相似三角形具有传递性（性质）。

注：在证两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上。

思考问题：（1）所有等腰三角形都相似吗？所有等边三角形呢？为什么？（2）所有直角三角形都相似吗？所有等腰直角三角形呢？为什么？2．相似比的概念相似三角形对应边的比K，叫做相似比（或相似系数）。

注：①两个相似三角形的相似比具有顺序性。

②全等三角形的相似比为1，这也说明了全等三角形是相似三角形的特殊情形。

教材通过探讨的方法，根据题设中有平行线的条件，结合5．2节例6定理的结论，再根据三角形的定义，从而得出了这两个三角形相似的结论，这里要强调的是：（1）本定理的导出不仅让学生复习了相似三角形的定义，而且为后面的证明打下了基础，它的重要性是显而易见的。

（2）由本定理的题设所构成的三角形有三种可能，除教材中两种情况外还有如左图所示的情形，它可以看成 BC截△ADE 两边所得，其中BC//DE，本质上与右图是一致的。

（3）根据两个三角形相似写对应边的比例式时，每个比的前项是同一个三角形的三边，而比的后项是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错，作题时务必要认真仔细，如本定理的比例式，防止出现的错误，如出现错误，教师要及时予以纠正。

（4）根据两个三角形相似写对应边的比例式时，还应给学生强调，这两个三角形中相等的角所对的边就是对应边，对应边应写在对应位置。

相似三角形的判定与性质讲义一、比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.由DE∥BC可得：ACAEABADEAECADBDECAEDBAD===或或注：①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的．．．．三边．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例.②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.A此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等.注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。