下载文档原格式
相似三角形证明技巧在三角形的几何学中，相似三角形是指具有相同形状但可能不同尺寸的三角形。
相似三角形之间存在着一些重要的性质和关系，通过使用这些性质和关系，我们可以进行相似三角形的证明。
下面整理了一些常用的相似三角形证明技巧：1.边比例法：当两个三角形的各边之间的比例相等时，可以得出它们是相似三角形的结论。
例如，如果两个三角形的对应边之比相等，则可以证明这两个三角形是相似的。
2.角度比例法：当两个三角形的对应角度相等或成比例时，可以证明这两个三角形是相似的。
例如，如果两个三角形的相对内角相等，则可以得出它们是相似的结论。
3.等角法：当两个三角形的一些角度等于另一个三角形的角度时，可以得出它们是相似的结论。
通过将一个三角形的两个角度相等于另一个三角形的两个角度，可以证明这两个三角形是相似的。
4.三边法：当两个三角形的三边之比相等时，可以得出它们是相似的结论。
如果两个三角形的三边长度比例相等，可以通过这个比例关系证明它们是相似的。
5.正弦定理和余弦定理：正弦定理和余弦定理是解决相似三角形问题中常用的两个重要几何定理。
通过使用这两个定理，可以推导出两个三角形之间的边比例关系，从而证明它们是相似的。
6.高度比例法：当两个三角形的高度比例相等时，可以得出它们是相似的结论。
通过使用这个高度比例关系，可以证明两个三角形是相似的。
7.垂直角的性质：当两个三角形的顶点角相等时，可以得出它们是相似的结论。
通过使用这个垂直角的性质，可以证明两个三角形是相似的。
8.平行线法：当两个三角形的相应边平行时，可以得出它们是相似的结论。
通过使用平行线的性质，可以证明这两个三角形是相似的。
以上是一些常用的相似三角形证明技巧，需要根据具体情况选择合适的技巧来进行证明。
在实际应用中，常常需要结合多个技巧进行证明，同时还需要注意使用一些基本的几何推理技巧，如平移、旋转、对称等，来辅助进行证明。
相似三角形六大证明技巧一、AA（角角）相似准则这是最常用的相似三角形证明方法。
如果两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形相似。
这是因为两个三角形如果两个角相等，那么第三个角也必然相等，从而保证了两个三角形的形状相同。
二、SAS（边角边）相似准则如果两个三角形的两边分别成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似。
这是因为两边成比例且夹角相等，可以保证两个三角形的形状相同。
三、SSS（边边边）相似准则如果两个三角形的三边分别成比例，那么这两个三角形相似。
这是因为三边成比例，可以保证两个三角形的形状相同。
四、HL（斜边和直角边）相似准则这个准则适用于直角三角形。
如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别成比例，那么这两个三角形相似。
这是因为斜边和直角边成比例，可以保证两个直角三角形的形状相同。
五、等比三角形如果两个三角形的对应边成等比，那么这两个三角形相似。
这是因为等比关系可以保证两个三角形的形状相同。
六、共线相似如果两个三角形有一条边共线，且这条边上的两个点分别与另一个三角形的两个点对应，那么这两个三角形相似。
这是因为共线关系可以保证两个三角形的形状相同。
相似三角形六大证明技巧一、AA（角角）相似准则这是最常用的相似三角形证明方法。
如果两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形相似。
这是因为两个三角形如果两个角相等，那么第三个角也必然相等，从而保证了两个三角形的形状相同。
二、SAS（边角边）相似准则如果两个三角形的两边分别成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似。
这是因为两边成比例且夹角相等，可以保证两个三角形的形状相同。
三、SSS（边边边）相似准则如果两个三角形的三边分别成比例，那么这两个三角形相似。
这是因为三边成比例，可以保证两个三角形的形状相同。
四、HL（斜边和直角边）相似准则这个准则适用于直角三角形。
如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别成比例，那么这两个三角形相似。
这是因为斜边和直角边成比例，可以保证两个直角三角形的形状相同。
(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；（双A型）②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
相似三角形证明技巧窍门(汇总整编)相似三角形证明技巧窍门(汇总整编)相似三角形是几何学中的一个重要概念，通过相似三角形的性质可以帮助我们解决很多几何问题。
本文将总结整理各种相似三角形的证明技巧，以便读者在解题时能够灵活运用。
一、相似三角形的定义相似三角形指的是具有相同形状但不同大小的两个三角形。
两个三角形相似的条件是它们对应角相等，并且对应边的比例相等。
二、边长比例证明技巧当我们需要证明两个三角形相似时，可以从边长的比例入手。
以下是几种常见的边长比例证明技巧：1. 直接证明：如果我们可以直接计算出两个三角形各边的比例，且它们相等，则可以直接得出两个三角形相似。
例：已知三角形ABC和DEF，且AB/DE = BC/EF = AC/DF，我们可以直接得出三角形ABC和DEF相似。
2. 两边成比例证明：当两个三角形的两边对应成比例，并且它们夹角相等时，可以得出两个三角形相似。
例：已知三角形ABC和DEF，且AB/DE = BC/EF，∠B = ∠E，我们可以得出三角形ABC和DEF相似。
3. 三边成比例证明：当两个三角形的三边对应成比例时，可以得出两个三角形相似。
例：已知三角形ABC和DEF，且AB/DE = BC/EF = AC/DF，我们可以得出三角形ABC和DEF相似。
三、角度证明技巧除了边长的比例证明技巧外，角度的证明也是判断相似三角形的重要手段。
以下是几种常见的角度证明技巧：1. 角度对应证明：当两个三角形的对应角相等时，可以得出两个三角形相似。
例：已知三角形ABC和DEF，∠A = ∠D，∠B = ∠E，我们可以得出三角形ABC和DEF相似。
2. 角度和内角和证明：当两个三角形的内角和相等时，可以得出两个三角形相似。
例：已知三角形ABC和DEF，∠A + ∠B + ∠C = ∠D + ∠E + ∠F，我们可以得出三角形ABC和DEF相似。
3. 夹角和内角和证明：当两个三角形的夹角和相等时，可以得出两个三角形相似。
回顾相似三角形的判定方法总结: 相似三角形6大证明技巧相似三角形证明方法之反A型与反X型1. 2. 3. 4. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似三边成比例的两个三角形相似.(SSS两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.(SAS)两角分别相等的两个三角形相似.(AA)斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL)5.模型一：反A型：如图，已知△ ABC, / ADE = / C,若连CD、BE,进而能证明△ ACD ABE(SAS) 试一试写出具体证明过程模型二：反X型：如图，已知角/ BAO= / CDO，若连AD, BC,进而能证明△ AODBOC.试一试写出具体证明过程D B应用练习:1.已知△ ABC 中，/ AEF= / ACB，求证：(1) AE AB AF AC (2)/ BEO= / CFO ,/ EBO= / FCO ( 3)/ OEF= / OBC，/ OFE= / OCB2.已知在MBC中，/ABC=90°,AB=3,BC=4.点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB(如图1)或线段AB的延长线(如图2)于点P.⑴当点P在线段AB上时,求证：MPQ S /△ABC ;⑵当/△^QB为等腰三角形时，求AP的长。
模型三：射影定理相似三角形证明方法之射影定理与类射影如图已知^ ABC，/ ACB=90° , CH 丄AB 于H，求证：A C2AH AB , BC2 BH BA ,, 2HC HA HB ,试一试写出具体证明过程模型四：类射影BD AB如图，已知AB 2AC AD ，求证：亍 乔，试一试写出具体证明过程BC AC应用练习:J 451.如图，在 △ ABC 中，AD 丄BC 于D ，DE 丄AB 于E ，DF 丄AC 于F 。
求证：—AP AS2.如图，在 △ ABC 中，AD BC 于 D , DE AB 于 E , DF/ AEF= / C模型五：一线三等角如图，已知/ B=/ C= / EDF ，则△ BDECFD (AA )，试 一试写出具体证明过程应用练习：1.如图，△ ABC 和/ DEF 两个全等的等腰直角三角形， / BACK EDF=90, △ DEF 的顶点E 与^ABC 的斜边BC 的中点重合.将△ DEF 绕点E 旋转，旋转过程中， 线段DE 与线段AB 相交于点P ,线段EF 与射线CA 相交于点Q .(1) 如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP=AQ 时，求证：△ BPE^ZCQE (2) (2)如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证： 并求当BP=a CQ=9a/2时，P 、Q 两点间的距离(用含2.^ABC 中，AB=AC , D 为BC 的中点，以 D 为顶点作/(1) 如图(1)当射线DN 经过点A 时，DM 交AC 边于点E ,不添加辅 助线，写出图中所有与/△ADE 相似的三角形.(2) 如图(2)，将/ MDN 绕点D 沿逆时针方向旋转，DM ，DN 分别交 线段AC ，AB 于E ，F 点(点E 与点A 不重合)，不添加辅助线，写出图 中所有的相似三角形，并证明你的结论.(3) 在图(2 )中，若 AB=AC=10，BC=12，当 Z\DEF 的面积等于 /ABC 的面积的4时，求线段EF 的长.3.如图，点仔在线段《上，点D 、F 在M 同侧，"=« =妙，他丄砒，AD = SC(1)求证：胆"D+CA(2 )若37, CE"，点P 为线段丄&上的动点，连接DP ,作M3尸，交 直线占E相似三角形证明方法之一线三等角△ BP0A CEQa 的代数式表示)AC 于F ，连EF ，求证:于点Q。
初中相似三角形几何证明技巧相似三角形是初中几何中的重要知识点，它们在计算和证明中都有着广泛的应用。
下面将介绍一些常见的相似三角形几何证明技巧。
一、基本比例法基本比例法是证明两个三角形相似时最常用的方法之一、根据相似三角形的定义，如果两个三角形的对应角度相等，并且对应边的比例相等，那么这两个三角形就是相似的。
具体的应用步骤如下：1.首先，观察两个待证明相似的三角形，看看它们有没有已知的相等角或者已知的比例关系。
2.如果找到了已知的相等角或者比例关系，就利用比例法来证明它们相似。
3.如果找不到已知的相等角或者比例关系，就要通过辅助线的方式来寻找这样的关系。
例如，在证明两个三角形相似时，如果能找到一个已知的相等角，可以直接利用对应边的比例关系来证明它们相似。
二、全等三角形法全等三角形法是证明相似三角形时的另一种常用方法。
根据全等三角形的性质，如果两个三角形的三个顶角分别相等，那么这两个三角形就是全等的，从而它们也是相似的。
具体的应用步骤如下：1.首先，观察两个待证明相似的三角形，看看它们有没有已知的全等三角形或者已知的相等角。
2.如果找到了已知的全等三角形，就可以直接利用全等三角形的性质来证明相似性。
3.如果找不到已知的全等三角形，就要通过辅助线的方式来构造出全等三角形。
三、角平分线法角平分线法是一种常用的求解相似三角形的方法。
根据角平分线的性质，在一个三角形中，角的平分线把对边分成两个比例相等的线段。
具体的应用步骤如下：1.首先，观察两个待证明相似的三角形，看看它们有没有共有的角的平分线。
2.如果找到了共有的角的平分线，可以利用平分线的性质来形成比例关系，从而证明它们相似。
3.如果找不到共有的角的平分线，就要通过辅助线的方式来构造出共有的角的平分线。
四、辅助线法辅助线法是证明相似三角形时常用的辅助手段。
通过在图形中加入新的辅助线，可以改变原有的几何形状，从而发现一些隐藏的相等角、比例关系等。
具体的应用步骤如下：1.首先，观察两个待证明相似的三角形，思考需要找到哪些已知的相等角、全等三角形或者比例关系。
相似三角形六大证明技巧在数学中，相似三角形的研究是非常重要的，因为这可以帮助我们解决各种有关比例和比较的问题。
在证明相似三角形的过程中，存在许多有效的技巧和方法来简化问题并加深我们对其性质的理解。
以下是六大证明技巧，可用于证明相似三角形。
1.AA相似性定理：AA相似性定理是最常见的相似三角形证明技巧之一、该定理指出，如果两个三角形中的两个角度相等，则两个三角形相似。
这可以用于简化相似三角形的证明，特别是当两个三角形之一已知边长或角度的情况下，通过证明两个角度相等，即可得出它们相似的结论。
2.SAS相似性定理：SAS相似性定理是另一种常用的相似三角形证明技巧。
该定理指出，如果两个三角形中的两个边的比值相等，并且这两条边夹角的比值也相等，则两个三角形相似。
这可以用于证明两个三角形相似的证明，特别是当两个三角形已知有一个相等的边和夹角的情况下。
3.SSS相似性定理：SSS相似性定理是证明相似三角形的另一种方法。
该定理指出，如果两个三角形的三条边的比值相等，则两个三角形相似。
这可以用于证明两个三角形相似的证明，特别是当两个三角形已知边长的情况下。
4.比较边与角：当两个三角形中的两个角度已知且相等时，可以比较它们的边。
通过确定它们的边比值并与已知比值进行比较，可以确定它们是否相似。
这个方法通常需要使用三角函数和三角恒等式来解决。
5.直角三角形的特殊性质：在直角三角形中，如果两个直角三角形的一个角是相等的，并且另一个角是互补的，则两个三角形一定相似。
这是因为两个直角三角形的另一个角度相等，而直角定理保证了两个三角形的边的比值相等。
6.利用平行线：当直线与两条平行线相交时，可以使用平行线的性质来证明相似三角形。
具体而言，如果两个平行线通过一个第三个线段形成一个相似三角形，则可以通过证明这两个平行线的其他线段与第三个线段的比值相等来证明这两个平行线的其他线段与第三个线段的比值相等。
除了上述六大证明技巧之外，还有一些其他技巧可以用于证明相似三角形，如三角形的重心和垂心的性质，重心和垂心在相似三角形的边和角之间有特殊的关系。
相似三角形的数学技巧与方法相似三角形是数学中的重要概念，它们在几何学、代数学以及实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍相似三角形的定义、性质，以及解决相似三角形问题的技巧和方法。
1. 相似三角形的定义与性质相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的两个或多个三角形。
它们的对应角度相等，对应边长之比也相等。
根据这个定义，我们可以得出一些重要的性质：1.1 AA相似定理（角-角-相似定理）：如果两个三角形的两个角分别对应相等，则这两个三角形相似。
1.2 SAS相似定理（边-角-边相似定理）：如果两个三角形的两个边分别成比例，并且夹角也相等，则这两个三角形相似。
1.3 SSS相似定理（边-边-边相似定理）：如果两个三角形的三边分别成比例，则这两个三角形相似。
通过这些相似三角形的定理，我们可以快速判断两个三角形是否相似，为后续的计算和解题提供便利。
2. 相似三角形的解题技巧与方法在解决相似三角形的问题时，我们可以运用一些常用的技巧和方法，下面将介绍其中的几种。
2.1 比例关系的运用在相似三角形中，对应边长之比相等是一个关键。
因此，我们常常可以通过设置未知数和建立等式来解题。
比如，已知两个三角形相似，可以设对应边的长度分别为x和y，则可以列出等式：x/y = a/b （a和b为已知边长）利用这个等式，我们可以求解未知数x和y的值，进而得到相似三角形中其他未知量的值。
2.2 辅助线的引入在一些相似三角形问题中，我们可以通过引入辅助线来简化问题或构造比例关系。
常见的辅助线有中线、高线、角平分线等。
例如，当我们需要证明两个三角形相似时，可以从某个角出发引入角平分线，将大三角形分割成多个小三角形，从而利用相似三角形的性质推导出结论。
2.3 海伦公式的应用当已知三角形的边长关系但角度未知时，可以考虑使用海伦公式来求解。
海伦公式是求解三角形面积的常用公式，它可以通过三角形的边长计算出面积。
在相似三角形中，由于边长之比相等，可以将已知三角形与未知三角形的边长带入海伦公式，从而解出未知三角形的面积或其他参数。
初中数学相似三角形六大证明技巧初中数学中，相似三角形是一个非常重要的概念。
在学习相似三角形时，我们需要掌握一些证明技巧，以便能够正确地证明相似三角形的性质。
下面是六大证明技巧：1.直角三角形的性质：直角三角形是相似三角形中应用最多的一种情况。
当我们需要证明两个三角形相似且其中一个是直角三角形时，可以使用直角三角形的性质，比如勾股定理、余弦定理等，来进行证明。
2.AAA相似定理：如果两个三角形的三个角分别相等，那么它们是相似的。
可以通过将两个三角形的角度逐一对应，并通过角度相等来得到相似性。
3.SSS相似定理：如果两个三角形的三条边分别成比例，那么它们是相似的。
可以通过将两个三角形的边逐一对应，并通过边的比例来得到相似性。
4.SAS相似定理：如果两个三角形的一个角相等，且两个角分别对应的两边成比例，那么它们是相似的。
可以通过将两个三角形的角和边逐一对应，以及利用边的比例来得到相似性。
5.高度比例定理：如果两个三角形的一个角相等，且两个角分别对应的高分别成比例，那么它们是相似的。
我们可以通过证明两个三角形的高比例相等来得到相似性。
6.视角相等定理：如果两个三角形的一个角相等，且两个角分别对应的一对角的视角相等，那么它们是相似的。
我们可以通过证明两个三角形的视角相等来得到相似性。
在进行相似三角形的证明时，我们可以根据题目给出的条件选择合适的证明技巧。
通过灵活运用以上的六大证明技巧，我们可以较为简洁地完成相似三角形的证明。
同时，大量的练习也是提高证明技巧的重要方法，只有不断地练习才能够真正地掌握相似三角形的证明方法。
通过练习，我们还能够发现一些相似三角形的性质和规律，进一步提升对相似三角形的理解和运用能力。
相似三角形证明技巧姓名：____________一、相似、全等的关系全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础． 二、相似三角形(1)三角形相似的条件：① ；② ；③ . 三、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角 两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似找一个直角斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角 两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例 判定定理1或判定定理4 找顶角对应相等 判定定理1找底角对应相等 判定定理1找底和腰对应成比例 判定定理3e)相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3五、确定证明的切入点。
几何证明题的证明方法主要有三个方面。
第一，从“已知”入手，通过推理论证，得出“求证”；第二，从“求证”入手，通过分析，不断寻求“证据”的支撑，一直追溯回到“已知”；第三，从“已知”及“求证”两方面入手，通过分析找到中间“桥梁”，使之成为清晰的思维过程。
六、证明题常用方法归纳： （一）、总体思路:“等积”变“比例”，“比例”找“相似” （二）、证比例式和等积式的方法：对线段比例式或等积式的证明：常用“三点定形法”、等线段替换法、中间比过渡法、面积法等．若比例式或等积式所涉及的线段在同一直线上时，应将线段比“转移”(必要时需添辅助线)，使其分别构成两个相似三角形来证明．a)已知一对等角b)己知两边对应成比例 c)己知一个直角d)有等腰关系可用口诀： 遇等积，改等比，横看竖看找关系； 三点定形用相似，三点共线取平截； 平行线，转比例，等线等比来代替； 两端各自找联系，可用射影和园幂．1、“三点定形法”：通过“横找”“竖看”寻找三角形，由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似三角形(1)三角形相似的条件：① ；② ；③ . 二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角 两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角 两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例 判定定理2 找顶角对应相等 判定定理1找底角对应相等 判定定理1找底和腰对应成比例 判定定理3e)相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证: BAAC AF AE（判断“横定”还是“竖定”？ ）a)已知一对等b)己知两边对应成比c)己知一个直d)有等腰关例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？说明理由。
分析方法：1）先将积式______________2）______________（“横定”还是“竖定”？）例3、已知：如图，△ABC中，∠ACB=900，AB的垂直平分线交AB于D，交BC延长线于F。
求证：CD2=DE·DF。
分析方法：1）先将积式______________2）______________（“横定”还是“竖定”？）五、过渡法（或叫代换法）1、等量过渡法（等线段代换法）例1：如图3，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E．求证：DE2＝BE·CE．分析：2、等比过渡法（等比代换法）例2：如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于点F．求证：AB DF AC AF．3、等积过渡法（等积代换法）例3：如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，G是DC延长线上一点，过B作BE⊥AG，垂足为E，交CD于点F．求证：CD2＝DF·DG．小结：证明等积式思路口诀：“遇等积，化比例：横找竖找定相似；不相似，不用急：等线等比来代替。
”同类练习：1．如图，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ADE=∠C求证：（1）△ADE∽△ACB; (2)AD·AB=AE·AC.（1题图）2．如图，△ABC中，点DE在边BC上，且△ADE是等边三角形，∠BAC=120°求证：（1）△ADB∽△CEA;（2）DE²=BD·CE;(3)AB·AC=AD·BC.3．如图，平行四边形ABCD中，E为BA延长线上一点，∠D=∠ECA.求证：AD·EC=AC·EB.5．如图，E是平行四边形的边DA延长线上一点，EC交AB于点G,交BD于点F,求证：FC²=FG·EF.6．如图，E是正方形ABCD边BC延长线上一点，连接AE交CD于F,过F作FM∥BE交DE于M.求证：FM=CF.7．如图，△ABC中，AB=AC,点D为BC边中点，CE∥AB,BE分别交AD、AC于点F、G，连接FC.求证：（1）BF=CF.(2)BF²=FG·FE.8．如图，∠ABC=90°,AD=DB,DE⊥AB,求证：DC²=DE·DF.9．如图，四边形ABCD中，AB∥CD,AB⊥BC,AC⊥BD。
AD= BD，过E作EF∥AB交AD于F.是说明：（1）AF=BE;(2)AF²=AE·EC.10．△ABC 中,∠BAC=90°,AD ⊥BC,E 为AC 中点。
求证：AB:AC=DF:AF 。
11．已知，CE 是RT △ABC 斜边AB 上的高，在EC 延长线上任取一点P,连接AP,作BG ⊥AP,垂足为G ，交CE 于点D.试证：CE ²=ED ·EP.六、证比例式和等积式的方法：可用口诀： 遇等积，改等比，横看竖看找关系； 三点定形用相似，三点共线取平截； 平行线，转比例，等线等比来代替； 两端各自找联系，可用射影和园幂．例1 如图5在△ABC 中，AD 、BE 分别是BC 、AC 边上的高，DF ⊥AB 于F ，交AC 的延长线于H ，交BE 于G ，求证：(1)FG / F A ＝FB / FH (2)FD 是FG 与FH的比例中项．例2 如图6，□ABCD 中，E 是BC 上的一点，AE 交BD 于点F ，已知BE ：EC ＝3：1， S △FBE ＝18，求：(1)BF ：FD (2)S △FDA例3 如图7在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，M 是AD 的中点，CM 的延长线交AB 于N ．求：AN ：AB 的值；例4 如图8在矩形ABCD 中，E 是CD 的中点，BE ⊥AC 交AC 于F ，过F 作FG ∥AB 交AE 于G ．求证：AG 2＝AF ×FC图5 A E F B DG C H C A D BE F 图6 B E A C DMNCE D例5 如图在△ABC 中，D 是BC 边的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，交AB 于点E ，EC 交AD 于点F ．(1)求证：△ABC ∽△FCD ；(2)若S △FCD ＝5，BC ＝10，求DE 的长．例6 如图10过△ABC 的顶点C 任作一直线与边AB 及中线AD 分别交于点F 和E ．过点D 作DM ∥FC 交AB 于点M ．(1)若S △AEF ：S 四边形MDEF ＝2：3，求AE ：ED ； (2)求证：AE ×FB ＝2AF ×ED例7 己知如图11在正方形ABCD 的边长为1，P 是CD 边的中点，Q 在线段BC 上，当BQ 为何值时，△ADP 与△QCP 相似？例8 己知如图12在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝900，AB ＝7，AD ＝2，BC ＝3．试在边AB 上确定点P 的位置，使得以P 、A 、D 为顶点的三角形与以P 、B 、C 为顶点的三角形相似．例9．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，CF ∥BA ，BF 交AD 于P 点，交AC 于E 点。
求证：BP 2=PE ·PF 。
A EB DM C F 图 C E D A F M BP A D B QC 图11图12 A D B CP 1 P 2 P 3例10．如图，已知：在△ABC中，∠BAC=900，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于F。
求证：。
八、相似三角形中的辅助线在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。
主要的辅助线有以下几种：（一）、作平行线例1. 如图，∆A B C的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE延长线与BC延长线相交于F，求证：BFCFBDCE=BDA CFE例2. 如图，△ABC中，AB<AC，在AB、AC上分别截取BD=CE，DE，BC的延长线相交于点F，证明：AB·DF=AC·EF。
例3、如图4—5，B为AC的中点，E为BD的中点，则AF：AE=___________.例4、如图4-7，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，E为AB延长线上一点，OE交BC于F，若AB=a，BC=b，BE=c，求BF的长．例5、△ABC 中，在AC 上截取AD ，在CB 延长线上截取BE ，使AD=BE ，求证：DF •AC=BC •FE例6：如图△ABC 中，AD 为中线，CF 为任一直线，CF 交AD 于E ，交AB 于F ，求证：AE ：ED=2AF ：FB 。
（二）、作延长线例7. 如图，Rt ∆ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，E 为CD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，FG ⊥AB 于G ，求证：FG 2=CF •BF例8．如图4-1，已知平行四边ABCD 中，E 是AB 的中点，，连E 、F 交AC 于G ．求AG ：AC 的值．（三）、作中线例10： 已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ．求证： BC 2＝2CD ·AC ．中考综合题型1.已知：如图，在ABC ∆中，BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ⋅=2．AD AF 31=2.如图，矩形ABCD 中，3AD =厘米，AB a =厘米（3a >）．动点M N ，同时从B 点出发，分别沿B A →，B C →运动，速度是1厘米／秒．过M 作直线垂直于AB ，分别交AN ，CD 于P Q ，．当点N 到达终点C 时，点M 也随之停止运动．设运动时间为t 秒．（1）若4a =厘米，1t =秒，则PM =______厘米；（2）若5a =厘米，求时间t ，使PNB PAD △∽△，并求出它们的相似比；3．如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题： （1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由；（2）设△BPQ 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式；4. 如图（10）所示：等边△ABC 中，线段AD 为其内角角平分线，过D 点的直线B 1C 1⊥AC 于C 1交AB 的延长线于B 1.⑴请你探究：AC CDAB DB=，1111AC C D AB DB =是否都成立？ ⑵请你继续探究：若△ABC 为任意三角形，线段AD 为其内角角平分线，请问AC CDAB DB=一定成立吗？并证明你的判断.D Q C PNB M AD Q C PNB MAGFE DA5. 如图12，在平面直角坐标系中，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，四边形ABCO 为矩形，AB =16，点D 与点A 关于y 轴对称，AB:BC=4:3，点E 、F 分别是线段AD 、AC 上的动点（点E 不与点A 、D 重合），且∠CEF =∠ACB .（1）求AC 的长和点D 的坐标； （2）说明∠AEF 与∠DCE 相似；6. 如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝1，BC ＝21，以点C 为圆心，CB 为半径的弧交CA 于点D ；以点A 为圆心，AD 为半径的弧交AB 于点E ． （1）求AE 的长度；（2）分别以点A 、E 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点F （F 与C 在AB 两侧），连接AF 、EF ，设EF 交弧DE 所在的圆于点G ，连接AG ，试猜想∠EAG 的大小，并说明理由．7. 如图（1），△ABC 与△EFD 为等腰直角三角形，AC 与DE 重合，AB =EF =9，∠BAC ＝∠DEF ＝90°，固定△ABC ，将△EFD 绕点A 顺时针旋转，当DF 边与AB 边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE 、DF （或它们的延长线）分别交BC （或它的延长线）于G 、H 点，如图（2）. （1）问：始终与△AGC 相似的三角形有 及 ；（2）设CG ＝x ，BH ＝y ，求y 关于x 的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）；9. （1）如图1，在∠ABC 中，点D ，E ，Q 分别在AB ，AC ，BC 上，且DE ∠BC ，AQ 交DE 于点P ．求证：QCPEBQ DP．BB A AC OE D D E CO F图1 图2 FEA BDC（2） 如图，在∠ABC 中，∠BAC =90°，正方形DEFG 的四个顶点在∠ABC 的边上，连接AG ，AF 分别交DE 于M ，N 两点．∠如图2，若AB=AC=1，直接写出MN 的长； 10．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AC 边上一点．且满足AD ＝AB ，∠ADE ＝∠C ．（1）求证：∠AED =∠ADC ，∠DEC =∠B ；（2）求证：AB 2＝AE •AC ．12． 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6．P 是AB 边上的一个动点(异于A 、B 两点)，过点P分别作AC 、BC 边的垂线，垂足为M 、N ．设AP=x ． (1)在△ABC 中，AB= ；(2)当x= 时，矩形PMCN 的周长是14；(3)是否存在x 的值，使得△PAM 的面积、△PBN 的面积与矩形PMCN 的面积同时相等?请说出你的判断，并加以说明．14．如图1，在Rt △ABC 中，，于点，点是边上一点，连接交于， OE ⊥BO 交边于点． （1）求证：；（3）当为边中点，时，请直接写出的值．16．如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME ＝∠A ＝∠B ＝α， 且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对； 90BAC ∠=°AD BC ⊥D O AC BO AD F BC E ABF COE △∽△O AC AC n AB =OF OE A BM FG（2）连结FG ，如果α＝45°，AB ＝42，AF ＝3，求FG 的长．19．正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直，（1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△；（2）设BM x =，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；； （3）当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△，求x 的值． ．20．如图，ABC △中，D E 、分别是边BC AB 、的中点，AD CE 、相交于G ．求证：13GE GD CE AD ==．．15．已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD ∥BC ，P 为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB 上，且满足ABADPC PQ =（如图8所示）．（1）当AD=2，且点Q 与点B 重合时（如图9所示），求线段PC 的长； （2）在图8中，联结AP ．当32AD =，且点Q 在线段AB 上时，设点B Q 、之间的距离为x ，APQ PBCS y S =△△，其中APQ S △表示△APQ 的面积，PBC S △表示PBC △的面积，求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量的取值范围；B CDGE A（第21题）17.如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(80)-，，直线BC 经过点(86)B -，，(06)C ，，将四边形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转α度得到四边形OA B C '''，此时直线OA '、直线B C ''分别与直线BC 相交于点P 、Q ．（1）四边形OABC 的形状是 当90α=°时，BPBQ的值是 ； （2）①如图2，当四边形OA B C '''的顶点B '落在y 轴正半轴时，求BPBQ的值； ②如图3，当四边形OA B C '''的顶点B '落在直线BC 上时，求OPB '△的面积．18.如图，在矩形ABCD 中，AB=3,AD=1,点P 在线段AB 上运动，设AP=x ，现将纸片折叠，使点D 与点P 重合，得折痕EF （点E 、F 为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原。
