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相似三角形证明技巧在三角形的几何学中，相似三角形是指具有相同形状但可能不同尺寸的三角形。
相似三角形之间存在着一些重要的性质和关系，通过使用这些性质和关系，我们可以进行相似三角形的证明。
下面整理了一些常用的相似三角形证明技巧：1.边比例法：当两个三角形的各边之间的比例相等时，可以得出它们是相似三角形的结论。
例如，如果两个三角形的对应边之比相等，则可以证明这两个三角形是相似的。
2.角度比例法：当两个三角形的对应角度相等或成比例时，可以证明这两个三角形是相似的。
例如，如果两个三角形的相对内角相等，则可以得出它们是相似的结论。
3.等角法：当两个三角形的一些角度等于另一个三角形的角度时，可以得出它们是相似的结论。
通过将一个三角形的两个角度相等于另一个三角形的两个角度，可以证明这两个三角形是相似的。
4.三边法：当两个三角形的三边之比相等时，可以得出它们是相似的结论。
如果两个三角形的三边长度比例相等，可以通过这个比例关系证明它们是相似的。
5.正弦定理和余弦定理：正弦定理和余弦定理是解决相似三角形问题中常用的两个重要几何定理。
通过使用这两个定理，可以推导出两个三角形之间的边比例关系，从而证明它们是相似的。
6.高度比例法：当两个三角形的高度比例相等时，可以得出它们是相似的结论。
通过使用这个高度比例关系，可以证明两个三角形是相似的。
7.垂直角的性质：当两个三角形的顶点角相等时，可以得出它们是相似的结论。
通过使用这个垂直角的性质，可以证明两个三角形是相似的。
8.平行线法：当两个三角形的相应边平行时，可以得出它们是相似的结论。
通过使用平行线的性质，可以证明这两个三角形是相似的。
以上是一些常用的相似三角形证明技巧，需要根据具体情况选择合适的技巧来进行证明。
在实际应用中，常常需要结合多个技巧进行证明，同时还需要注意使用一些基本的几何推理技巧，如平移、旋转、对称等，来辅助进行证明。
相似三角形六大证明技巧一、AA（角角）相似准则这是最常用的相似三角形证明方法。
如果两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形相似。
这是因为两个三角形如果两个角相等，那么第三个角也必然相等，从而保证了两个三角形的形状相同。
二、SAS（边角边）相似准则如果两个三角形的两边分别成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似。
这是因为两边成比例且夹角相等，可以保证两个三角形的形状相同。
三、SSS（边边边）相似准则如果两个三角形的三边分别成比例，那么这两个三角形相似。
这是因为三边成比例，可以保证两个三角形的形状相同。
四、HL（斜边和直角边）相似准则这个准则适用于直角三角形。
如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别成比例，那么这两个三角形相似。
这是因为斜边和直角边成比例，可以保证两个直角三角形的形状相同。
五、等比三角形如果两个三角形的对应边成等比，那么这两个三角形相似。
这是因为等比关系可以保证两个三角形的形状相同。
六、共线相似如果两个三角形有一条边共线，且这条边上的两个点分别与另一个三角形的两个点对应，那么这两个三角形相似。
这是因为共线关系可以保证两个三角形的形状相同。
相似三角形六大证明技巧一、AA（角角）相似准则这是最常用的相似三角形证明方法。
如果两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形相似。
这是因为两个三角形如果两个角相等，那么第三个角也必然相等，从而保证了两个三角形的形状相同。
二、SAS（边角边）相似准则如果两个三角形的两边分别成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似。
这是因为两边成比例且夹角相等，可以保证两个三角形的形状相同。
三、SSS（边边边）相似准则如果两个三角形的三边分别成比例，那么这两个三角形相似。
这是因为三边成比例，可以保证两个三角形的形状相同。
四、HL（斜边和直角边）相似准则这个准则适用于直角三角形。
如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别成比例，那么这两个三角形相似。
这是因为斜边和直角边成比例，可以保证两个直角三角形的形状相同。
回顾相似三角形的判定方法总结：1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS）3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS)4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA)5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL)模型一：反A型：如图，已知△ABC，∠ADE=∠C，若连CD、BE，进而能证明△ACD∽△ABE(SAS)试一试写出具体证明过程模型二：反X型：如图，已知角∠BAO=∠CDO，若连AD，BC，进而能证明△AOD∽△BOC.试一试写出具体证明过程应用练习：1.已知△ABC中，∠AEF=∠ACB，求证：（1）AE AB AF AC⋅=⋅（2）∠BEO=∠CFO，∠EBO=∠FCO（3）∠OEF=∠OBC，∠OFE=∠OCB2.已知在△ABC中,∠ABC =90∘,AB=3,BC=4.点Q是线段AC上的一个动点,过点Q作AC的垂线交线段AB(如图1)或线段AB的延长线(如图2)于点P.(1)当点P在线段AB上时,求证：△APQ∽△ABC；(2)当△PQB为等腰三角形时，求AP的长。
模型三：射影定理如图已知△ABC，∠ACB=90°，CH⊥AB于H，求证：2AC AH AB=⋅，2BC BH BA=⋅，，2HC HA HB=⋅，试一试写出具体证明过程相似三角形证明方法之射影定理与类射影相似三角形6大证明技巧相似三角形证明方法之反A型与反X型EDC BA模型四：类射影如图，已知2AB AC AD =⋅，求证：BD ABBC AC=，试一试写出具体证明过程 应用练习：1.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 。
求证：2.如图，在ABC △中，AD BC ⊥于D ，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，连EF ，求证：∠AEF =∠C模型五：一线三等角如图，已知∠B =∠C =∠EDF ，则△BDE ∽△CFD （AA ），试一试写出具体证明过程应用练习：1.如图，△ABC 和△DEF 两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF 的顶点E 与△ABC 的斜边BC 的中点重合．将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q ．（1） 如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP=AQ 时，求证：△BPE ≌△CQE ； （2） （2）如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：△BPE ∽△CEQ ；并求当BP=a ，CQ=9a/2 时，P 、Q 两点间的距离（用含a 的代数式表示）2.△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 的中点，以D 为顶点作∠MDN=∠B （1）如图（1）当射线DN 经过点A 时，DM 交AC 边于点E ，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE 相似的三角形．（2）如图（2），将∠MDN 绕点D 沿逆时针方向旋转，DM ，DN 分别交线段AC ，AB 于E ，F 点（点E 与点A 不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF 的面积等于△ABC 的面积的时，求线段EF 的长． 3.如图，点在线段上，点、在同侧，，，。
相似三角形证明技巧窍门(汇总整编)相似三角形证明技巧窍门(汇总整编)相似三角形是几何学中的一个重要概念，通过相似三角形的性质可以帮助我们解决很多几何问题。
本文将总结整理各种相似三角形的证明技巧，以便读者在解题时能够灵活运用。
一、相似三角形的定义相似三角形指的是具有相同形状但不同大小的两个三角形。
两个三角形相似的条件是它们对应角相等，并且对应边的比例相等。
二、边长比例证明技巧当我们需要证明两个三角形相似时，可以从边长的比例入手。
以下是几种常见的边长比例证明技巧：1. 直接证明：如果我们可以直接计算出两个三角形各边的比例，且它们相等，则可以直接得出两个三角形相似。
例：已知三角形ABC和DEF，且AB/DE = BC/EF = AC/DF，我们可以直接得出三角形ABC和DEF相似。
2. 两边成比例证明：当两个三角形的两边对应成比例，并且它们夹角相等时，可以得出两个三角形相似。
例：已知三角形ABC和DEF，且AB/DE = BC/EF，∠B = ∠E，我们可以得出三角形ABC和DEF相似。
3. 三边成比例证明：当两个三角形的三边对应成比例时，可以得出两个三角形相似。
例：已知三角形ABC和DEF，且AB/DE = BC/EF = AC/DF，我们可以得出三角形ABC和DEF相似。
三、角度证明技巧除了边长的比例证明技巧外，角度的证明也是判断相似三角形的重要手段。
以下是几种常见的角度证明技巧：1. 角度对应证明：当两个三角形的对应角相等时，可以得出两个三角形相似。
例：已知三角形ABC和DEF，∠A = ∠D，∠B = ∠E，我们可以得出三角形ABC和DEF相似。
2. 角度和内角和证明：当两个三角形的内角和相等时，可以得出两个三角形相似。
例：已知三角形ABC和DEF，∠A + ∠B + ∠C = ∠D + ∠E + ∠F，我们可以得出三角形ABC和DEF相似。
3. 夹角和内角和证明：当两个三角形的夹角和相等时，可以得出两个三角形相似。
回顾相似三角形的判定方法总结: 相似三角形6大证明技巧相似三角形证明方法之反A型与反X型1. 2. 3. 4. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似三边成比例的两个三角形相似.(SSS两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.(SAS)两角分别相等的两个三角形相似.(AA)斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL)5.模型一：反A型：如图，已知△ ABC, / ADE = / C,若连CD、BE,进而能证明△ ACD ABE(SAS) 试一试写出具体证明过程模型二：反X型：如图，已知角/ BAO= / CDO，若连AD, BC,进而能证明△ AODBOC.试一试写出具体证明过程D B应用练习:1.已知△ ABC 中，/ AEF= / ACB，求证：(1) AE AB AF AC (2)/ BEO= / CFO ,/ EBO= / FCO ( 3)/ OEF= / OBC，/ OFE= / OCB2.已知在MBC中，/ABC=90°,AB=3,BC=4.点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB(如图1)或线段AB的延长线(如图2)于点P.⑴当点P在线段AB上时,求证：MPQ S /△ABC ;⑵当/△^QB为等腰三角形时，求AP的长。
模型三：射影定理相似三角形证明方法之射影定理与类射影如图已知^ ABC，/ ACB=90° , CH 丄AB 于H，求证：A C2AH AB , BC2 BH BA ,, 2HC HA HB ,试一试写出具体证明过程模型四：类射影BD AB如图，已知AB 2AC AD ，求证：亍 乔，试一试写出具体证明过程BC AC应用练习:J 451.如图，在 △ ABC 中，AD 丄BC 于D ，DE 丄AB 于E ，DF 丄AC 于F 。
求证：—AP AS2.如图，在 △ ABC 中，AD BC 于 D , DE AB 于 E , DF/ AEF= / C模型五：一线三等角如图，已知/ B=/ C= / EDF ，则△ BDECFD (AA )，试 一试写出具体证明过程应用练习：1.如图，△ ABC 和/ DEF 两个全等的等腰直角三角形， / BACK EDF=90, △ DEF 的顶点E 与^ABC 的斜边BC 的中点重合.将△ DEF 绕点E 旋转，旋转过程中， 线段DE 与线段AB 相交于点P ,线段EF 与射线CA 相交于点Q .(1) 如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP=AQ 时，求证：△ BPE^ZCQE (2) (2)如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证： 并求当BP=a CQ=9a/2时，P 、Q 两点间的距离(用含2.^ABC 中，AB=AC , D 为BC 的中点，以 D 为顶点作/(1) 如图(1)当射线DN 经过点A 时，DM 交AC 边于点E ,不添加辅 助线，写出图中所有与/△ADE 相似的三角形.(2) 如图(2)，将/ MDN 绕点D 沿逆时针方向旋转，DM ，DN 分别交 线段AC ，AB 于E ，F 点(点E 与点A 不重合)，不添加辅助线，写出图 中所有的相似三角形，并证明你的结论.(3) 在图(2 )中，若 AB=AC=10，BC=12，当 Z\DEF 的面积等于 /ABC 的面积的4时，求线段EF 的长.3.如图，点仔在线段《上，点D 、F 在M 同侧，"=« =妙，他丄砒，AD = SC(1)求证：胆"D+CA(2 )若37, CE"，点P 为线段丄&上的动点，连接DP ,作M3尸，交 直线占E相似三角形证明方法之一线三等角△ BP0A CEQa 的代数式表示)AC 于F ，连EF ，求证:于点Q。
相似三角形六大证明技巧在数学中，相似三角形的研究是非常重要的，因为这可以帮助我们解决各种有关比例和比较的问题。
在证明相似三角形的过程中，存在许多有效的技巧和方法来简化问题并加深我们对其性质的理解。
以下是六大证明技巧，可用于证明相似三角形。
1.AA相似性定理：AA相似性定理是最常见的相似三角形证明技巧之一、该定理指出，如果两个三角形中的两个角度相等，则两个三角形相似。
这可以用于简化相似三角形的证明，特别是当两个三角形之一已知边长或角度的情况下，通过证明两个角度相等，即可得出它们相似的结论。
2.SAS相似性定理：SAS相似性定理是另一种常用的相似三角形证明技巧。
该定理指出，如果两个三角形中的两个边的比值相等，并且这两条边夹角的比值也相等，则两个三角形相似。
这可以用于证明两个三角形相似的证明，特别是当两个三角形已知有一个相等的边和夹角的情况下。
3.SSS相似性定理：SSS相似性定理是证明相似三角形的另一种方法。
该定理指出，如果两个三角形的三条边的比值相等，则两个三角形相似。
这可以用于证明两个三角形相似的证明，特别是当两个三角形已知边长的情况下。
4.比较边与角：当两个三角形中的两个角度已知且相等时，可以比较它们的边。
通过确定它们的边比值并与已知比值进行比较，可以确定它们是否相似。
这个方法通常需要使用三角函数和三角恒等式来解决。
5.直角三角形的特殊性质：在直角三角形中，如果两个直角三角形的一个角是相等的，并且另一个角是互补的，则两个三角形一定相似。
这是因为两个直角三角形的另一个角度相等，而直角定理保证了两个三角形的边的比值相等。
6.利用平行线：当直线与两条平行线相交时，可以使用平行线的性质来证明相似三角形。
具体而言，如果两个平行线通过一个第三个线段形成一个相似三角形，则可以通过证明这两个平行线的其他线段与第三个线段的比值相等来证明这两个平行线的其他线段与第三个线段的比值相等。
除了上述六大证明技巧之外，还有一些其他技巧可以用于证明相似三角形，如三角形的重心和垂心的性质，重心和垂心在相似三角形的边和角之间有特殊的关系。
初中数学相似三角形六大证明技巧初中数学中，相似三角形是一个非常重要的概念。
在学习相似三角形时，我们需要掌握一些证明技巧，以便能够正确地证明相似三角形的性质。
下面是六大证明技巧：1.直角三角形的性质：直角三角形是相似三角形中应用最多的一种情况。
当我们需要证明两个三角形相似且其中一个是直角三角形时，可以使用直角三角形的性质，比如勾股定理、余弦定理等，来进行证明。
2.AAA相似定理：如果两个三角形的三个角分别相等，那么它们是相似的。
可以通过将两个三角形的角度逐一对应，并通过角度相等来得到相似性。
3.SSS相似定理：如果两个三角形的三条边分别成比例，那么它们是相似的。
可以通过将两个三角形的边逐一对应，并通过边的比例来得到相似性。
4.SAS相似定理：如果两个三角形的一个角相等，且两个角分别对应的两边成比例，那么它们是相似的。
可以通过将两个三角形的角和边逐一对应，以及利用边的比例来得到相似性。
5.高度比例定理：如果两个三角形的一个角相等，且两个角分别对应的高分别成比例，那么它们是相似的。
我们可以通过证明两个三角形的高比例相等来得到相似性。
6.视角相等定理：如果两个三角形的一个角相等，且两个角分别对应的一对角的视角相等，那么它们是相似的。
我们可以通过证明两个三角形的视角相等来得到相似性。
在进行相似三角形的证明时，我们可以根据题目给出的条件选择合适的证明技巧。
通过灵活运用以上的六大证明技巧，我们可以较为简洁地完成相似三角形的证明。
同时，大量的练习也是提高证明技巧的重要方法，只有不断地练习才能够真正地掌握相似三角形的证明方法。
通过练习，我们还能够发现一些相似三角形的性质和规律，进一步提升对相似三角形的理解和运用能力。
根据相似三角形的证明的所有方法
相似三角形指的是具有相同形状但不同大小的三角形。
下面列
举了几种常见的证明方法：
1. AA相似定理（角-角相似定理）：如果两个三角形的两个角
分别相等，那么这两个三角形是相似的。
例如，若两个三角形的两
个角分别相等，并且另一个角也相等，那么这两个三角形是相似的。
2. SAS相似定理（边-角-边相似定理）：如果两个三角形的两
个边的比例相等，并且夹角也相等，那么这两个三角形是相似的。
例如，如果边的比例相等，并且夹角也相等，那么这两个三角形是
相似的。
3. SSS相似定理（边-边-边相似定理）：如果两个三角形的三
个边的比例相等，那么这两个三角形是相似的。
例如，如果三个边
的比例相等，那么这两个三角形是相似的。
4. 比例关系证明：根据两个相似三角形的边的比例关系（例如边长的比例、周长的比例、面积的比例等），可以证明它们之间的相似性。
要注意的是，证明相似三角形的方法可以根据具体情况的不同而有所变化，以上列出的方法只是一些常见的证明方法。
在证明过程中，需要合理运用相似三角形的定义和相似三角形的性质，以及根据所给信息找到合适的证明方法。
通过使用以上方法中的一种或多种，可以有效地证明两个三角形的相似性。
以上是根据相似三角形的证明的一些常见方法，希望对你有所帮助。
请注意：文档中所列举的方法只是一些常见的证明方法，并不包含所有的可能方法。
具体证明过程需要根据实际情况灵活运用。
证明技巧（分类）5.25一、证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
*9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
*10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。
11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。
*12.两圆的内（外）公切线的长相等。
13.等于同一线段的两条线段相等。
二、证明两个角相等1.两全等三角形的对应角相等。
2.同一三角形中等边对等角。
3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。
4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。
*6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
*7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
8.相似三角形的对应角相等。
*9.圆的内接四边形的外角等于内对角。
10.等于同一角的两个角相等。
三、证明两条直线互相垂直1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。
3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。
4.邻补角的平分线互相垂直。
5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。
6.两条直线相交成直角则两直线垂直。
7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
8.利用勾股定理的逆定理。
9.利用菱形的对角线互相垂直。
*10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。
相似三角形的六大证明技巧大全比例式的证明方法比例式是数学中常见的重要概念，其证明方法也是需要掌握的基本技能。
下面介绍几种比例式的证明方法。
1.相似三角形法若两个三角形相似，则它们对应边的比例相等。
因此，可以通过相似三角形的证明来得到比例式。
2.射影定理法射影定理指：在直角三角形中，直角边上的高的平方等于直角边与这个高的两个部分的乘积。
因此，可以通过射影定理来证明比例式。
3.平行线法若两条直线平行，则它们所截线段的比例相等。
因此，可以通过平行线的证明来得到比例式。
4.等角定理法等角定理指：在同一圆周角或同位角中，对应弧所对应的角相等。
因此，可以通过等角定理来证明比例式。
5.数学归纳法数学归纳法是数学中常见的证明方法，适用于证明一般情况下的比例式。
其基本思路是：证明当n=1时比例式成立，假设当n=k时比例式成立，证明当n=k+1时比例式也成立。
比例式的证明方法多种多样，需要根据具体情况选择合适的方法。
熟练掌握这些方法，可以更加轻松地解决各种数学问题。
通过前面的研究，我们知道，比例线段的证明离不开“平行线模型”（A型、X型、线束型），也离不开上述的6种“相似模型”。
但是，XXX认为，“模型”只是工具，怎样选择工具、怎样使用工具、怎样用好工具，取决于我们如何思考问题。
合理的思维方法能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。
在本模块中，我们将研究比例式的证明中经常用到的思维技巧，包括三点定型法、等线段代换、等比代换、等积代换、证等量先证等比、几何计算。
技巧一：三点定型法例1】在平行四边形ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F，求证：$\frac{DC}{CF}=\frac{AE}{AD}$。
例2】在直角三角形△ABC中，$\angle BAC=90^\circ$，M为BC的中点，DM垂直于BC交CA的延长线于D，交AB 于E。
求证：$AM^2=MD\cdot ME$。
例3】在直角三角形△ABC中，AD是斜边BC上的高，$\angle ABC$的平分线BE交AC于E，交AD于F。
回顾相似三角形的判定方法总结：1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS ）3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS)4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA)5. 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 模型一：反A 型：如图，已知△ABC ，∠ADE =∠C ，若连CD 、BE ，进而能证明△ACD ∽△ABE (SAS) 试一试写出具体证明过程模型二：反X 型：如图，已知角∠BAO =∠CDO ，若连AD ，BC ，进而能证明△AOD ∽△BOC . 试一试写出具体证明过程应用练习：1. 已知△ABC 中，∠AEF=∠ACB ，求证：（1）AE AB AF AC ⋅=⋅（2）∠BEO=∠CFO ，∠EBO=∠FCO （3）∠OEF=∠OBC ，∠OFE=∠OCB相似三角形6大证明技巧相似三角形证明方法之反A 型与反X 型OF EC BA EDCBAODCBA2.已知在 △ABC 中 ,∠ABC =90∘,AB =3,BC =4. 点 Q 是线段 AC 上的一个动点 , 过点 Q 作 AC 的垂线交线段 AB ( 如图 1) 或线段 AB 的延长线 ( 如图 2) 于点 P .(1)当点 P 在线段 AB 上时 , 求证： △APQ ∽ △ABC ； (2)当 △PQB 为等腰三角形时，求 AP 的长。
模型三：射影定理如图已知△ABC ，∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，求证：2AC AH AB =⋅，2BC BH BA =⋅，，2HC HA HB =⋅，试一试写出具体证明过程模型四：类射影如图，已知2AB AC AD =⋅，求证：BD ABBC AC=，试一试写出具体证明过程相似三角形证明方法之射影定理与类射影CABHA BCD应用练习：1.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 。
求证：2.如图，在ABC △中，AD BC ⊥于D ，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，连EF ，求证：∠AEF =∠CFEDCBA模型五：一线三等角如图，已知∠B =∠C =∠EDF ，则△BDE ∽△CFD （AA ），试一试写出具体证明过程图3图2图1EFFCBBC C BAD ED AED A应用练习：1.如图，△ABC 和△DEF 两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF 的顶点E 与△ABC 的斜边BC 的中点重合．将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q ．（1） 如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP=AQ 时，求证：△BPE ≌△CQE ； （2） （2）如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：△BPE ∽△CEQ ；并求当BP=a ，CQ=9a/2 时，P 、Q 两点间的距离（用含a 的代数式表示）相似三角形证明方法之一线三等角2.△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B （1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC 的面积的时，求线段EF的长．3.如图，点在线段上，点、在同侧，，，。
（1）求证：。
（2）若，，点为线段上的动点，连接，作，交直线于点。
①当点与、两点不重合时，求的值。
②当点从点运动到的中点时，求线段的中点所经过的路径（线段）长。
（直接写出结果，不必写出解答过程）通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A 型，X 型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型”. 但是“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题. 合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。
在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧. 技巧一：三点定型法 技巧二：等线段代换 技巧三：等比代换 技巧四：等积代换 技巧五：证等量先证等比 技巧六：几何计算横向与纵向观察所证线段比列式（如果是等积式，则将其化为等比式）的分子分母，三个字母即可确定三角形，从而证三角形相似即可。
1.如图，在Rt ABC △中，AD 是斜边BC 上的高，ABC ∠的平分线BE 交AC 于E ，交AD 于F ．求证：BF ABBE BC=．2.如图，平行四边形ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F ，求证：DC CF AE AD=．3.如图，ABC △中，90BAC ∠=︒，M 为BC 的中点，DM BC ⊥交CA 的延长线于D ，交AB 于E ．求证：2AM MD ME =⋅比例式的证明方法之三点定型 技巧一：三点定型ABCFDECBAE DMDBACFE若三点定型法无法确定哪两个三角形相似，则考虑用等量代换替代其中线段，然后再用三点定型法确定三角形证相似，常用的方法有：等线段代换，等比代换，等积代换 【例1】 如图，在△ABC ，AD 平分∠BAC ，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证：2FD FB FC =⋅证明:连接AF,是的平分线,,是AD 的垂直平分线,(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等),(等边对等角),,,,又, ,比例式的证明方法之等线段代换 ABCD EF【例2】 如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 在边BA 的延长线上，CE 交AD 于F ，ECA D ∠=∠．求证：AC BE CE AD ⋅=⋅．【例3】 如图，△ACB 为等腰直角三角形，AB=AC ，∠BAC=90°，∠DAE=45°，求证：2AB BE CD =⋅【例4】 如图，ABC △中，AB AC =，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF AB ∥，延长BP 交AC 于E ，交CF 于F ．求证：2BP PE PF =⋅．CBA D EFABCD EC BADP EF【例5】 如图，平行四边形ABCD 中，过B 作直线AC 、AD 于O ，E 、交CD 的延长线于F ，求证：2OB OE OF =⋅．【解题方法提示】要证OB 2=OF·OE ，即证=，接下来你有思路了吗？因为AB ∥CE ，由平行线分线段成比例定理，可得=；同理因为AF ∥BC ，可得=，由等式的传递性，问题即可得证.证明：∵AB ∥CE ， ∴=.∵AF ∥BC ， ∵=， ∴=，∴OB 2=OE·OF ．【例6】 如图，在ABC △中，已知90A ∠=︒时，AD BC ⊥于D ，E 为直角边AC 的中点，过D 、E 作直线交AB 的延长线于F ．求证：AB AF AC DF ⋅=⋅．比例式的证明方法之等比代换 EFCABD【例7】 如图，在ABC △中（AB ＞AC ）的边AB 上取一点D ，在边AC 上取一点E ，使AD AE =，直线DE 和BC 的延长线交于点P ．求证：BP CE CP BD ⋅=⋅例8.（1）如图1，在△ABC 中，点D 、E 、Q 分别在AB 、AC 、BC 上，且DE ∥BC ，AQ 交DE 于点P ，求证：BQ DP =PCPE； （2）如图，△ABC 中，∠BAC=90°，正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上，连接AG ，AF 分别交DE 于M ，N 两点． ①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN 的长； ②如图3，求证：MN 2=DM•EN ．E CDBAPP MNDABC【例8】 如图，ABC △中，BD 、CE 是高，EH BC ⊥于H 、交BD 于G 、交CA 的延长线于M ．求证：2HE HG MH =⋅．A BCDE HGM【例9】 如图，在ABC △中，90BAC ∠=︒，D 为AC 中点，AE BD ⊥，E 为垂足，求证：CBD ECD ∠=∠．CBADE【例10】 在Rt △ABC 中，AD ⊥BC ，P 为AD 中点，MN ⊥BC ，求证2MN AN NC =⋅11.如图，已知△ABC 中，AD ，BF 分别为BC ，AC 边上的高，过D 作AB 的垂线交AB 于E ，交BF 于G ，交AC 延长线于H 。
求证： DE 2=EG•EH比例式的证明方法之等积代换【例11】 已知，平行四边形ABCD 中，E 、F 分别在直线AD 、CD 上，EF //AC ，BE 、BF分别交AC 于M 、N .，求证：AM =CN.【例12】 已知如图AB =AC ，BD //AC ，AB //CE ，过A 点的直线分别交BD 、CE 于D 、E . 求证：AM =NC ，MN //DE .【例13】 如图，△ABC 为等腰直角三角形，点P 为AB 上任意一点，PF ⊥BC ，PE ⊥AC ，AF 交PE 于N ，BE 交PF 于M .，求证：PM =PN ，MN //AB .比例式的证明方法之证等量先证等比CBAP EFN MFMNEDCB A DCBAEM N【例14】 如图，正方形BFDE 内接于△ABC ，CE 与DF 交于点N ，AF 交ED 于点M ，CE与AF 交于点P . 求证：（1）MN //AC ；（2）EM =DN .【例15】 （※）设E 、F 分别为AC 、AB 的中点，D 为BC 上一点，P 在BF 上，DP //CF ，Q 在CE 上，DQ //BE ，PQ 交BE 于R ，交CF 于S ，求证：13RS PQ【例16】 （※）如图，梯形ABCD 的底边AB 上任取一点M ，过M 作MK //BD ，MN //AC ，分别交AD 、BC 于K 、N ，连KN ，分别交对角线AC 、BD 于P 、Q ，求证：KP =QN .P NM EFD AB C CBADP QSE FGRQNSPRKMO DC BA【例17】（2016年四月调考）如图，在△ABC中，AC＞AB，AD是角平分线，AE是中线，BF⊥AD于G，交AC于点M，EG的延长线交AB于点H.（1）求证：AH=BH，（2）若∠BAC=60°，求FGDG的值.H MFGED CBA【例18】（2016七一华源）如图：正方形ABCD中，点E、点F、点G分别在边BC、AB、CD上，∠1＝∠2＝∠3＝α. 求证：（1）EF＋EG＝AE（2）求证：CE＋CG＝AF 比例式的证明方法之几何计算比例式的证明方法之动点问题运动问题中经常涉及没有明确对应关系的相似三角形，此时分类讨论思想在动态问题中尤其重要，应充分考虑所有可能出现的情况避免遗漏。
