(部编版)2020学年高中数学第一章1.1变化率与导数1.1.11.1.2导数的概念优化练习新人教A版选修28

1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念明目标、知重点1．了解导数概念的实际背景． 2．会求函数在某一点附近的平均变化率． 3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．1．函数的变化率0函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.[情境导学]某市2013年5月30日最高气温是33.4℃，而此前的两天5月29日和5月28日最高气温分别是24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温“陡增”14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市2013年4月28日最高气温3.5℃和5月28日最高气温18.6℃进行比较，可以发现二者温差为15.1℃，甚至超过了14.8℃，而人们却不会发出上述感慨，这是什么原因呢？显然原因是前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”，那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？ 探究点一 平均变化率的概念 思考1 气球膨胀率很多人都吹过气球．回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？答 气球的半径r (单位：dm)与体积V (单位：L)之间的函数关系是r (V )＝ 33V4π，(1)当空气容量V 从0增加到1 L 时，气球半径增加了r (1)－r (0)≈0.62 (dm)，气球的平均膨胀率为r (1)－r (0)1－0≈0.62(dm/L)．(2)当空气容量V 从1 L 增加到2 L 时，气球半径增加了r (2)－r (1)≈0.16 (dm)， 气球的平均膨胀率为r (2)－r (1)2－1≈0.16(dm/L)．可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 结论 当空气容量从V 1增加到V 2时，气球的平均膨胀率是r (V 2)－r (V 1)V 2－V 1.思考2 高台跳水人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)存在函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10.计算运动员在时间段①0≤t ≤0.5，②1≤t ≤2内的平均速度v ，并思考平均速度有什么作用？ 答 ①在0≤t ≤0.5这段时间里，v ＝h (0.5)－h (0)0.5－0＝4.05(m/s)；②在1≤t ≤2这段时间里，v ＝h (2)－h (1)2－1＝－8.2(m/s)．由以上计算体会到平均速度可以描述运动员在某段时间内运动的快慢．思考3 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？思考1和思考2中的平均变化率分别表示什么？答 如果上述两个思考中的函数关系用y ＝f (x )表示，那么思考中的变化率可用式子f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示，我们把这个式子称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率，平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢．思考1中的平均变化率表示在空气容量从V 1增加到V 2时，气球半径的平均增长率．思考2中的平均变化率表示在时间从t 1增加到t 2时，高度h的平均增长率．思考4 平均变化率也可以用式子Δy Δx 表示，其中Δy 、Δx 的意义是什么？ΔyΔx 有什么几何意义？答 Δx 表示x2－x 1是相对于x 1的一个“增量”；Δy 表示f (x 2)－f (x 1)．Δx 、Δy 的值可正可负，Δy 也可以为零，但Δx 不能为零．观察图象可看出，ΔyΔx 表示曲线y ＝f (x )上两点(x 1，f (x 1))、(x 2，f (x 2))连线的斜率．小结 平均变化率为Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，其几何意义是：函数y ＝f (x )的图象上两点(x 1，f (x 1))、(x 2，f (x 2))连线的斜率．例1 已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.(1)求当x 1＝4，x 2＝5时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx ；(2)求当x 1＝4，x 2＝4.1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx ；(3)若设x 2＝x 1＋Δx .分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义． 解 f (x )＝2x 2＋3x －5， ∴Δy ＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)＝2(x 1＋Δx )2＋3(x 1＋Δx )－5－(2x 21＋3x 1－5) ＝2[(Δx )2＋2x 1Δx ]＋3Δx ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx ＝2(Δx )2＋19Δx .Δy Δx ＝2(Δx )2＋19Δx Δx ＝2Δx ＋19. (1)当x 1＝4，x 2＝5时，Δx ＝1，Δy ＝2(Δx )2＋19Δx ＝2＋19＝21，Δy Δx ＝21.(2)当x 1＝4，x 2＝4.1时Δx ＝0.1， Δy ＝2(Δx )2＋19Δx ＝0.02＋1.9＝1.92. ΔyΔx＝2Δx ＋19＝19.2. (3)在(1)题中Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (5)－f (4)5－4，它表示抛物线上点P 0(4,39)与点P 1(5,60)连线的斜率． 在(2)题中，Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (4.1)－f (4)4.1－4，它表示抛物线上点P 0(4,39)与点P 2(4.1,40.92)连线的斜率． 反思与感悟 求平均变化率的主要步骤： (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.跟踪训练1 (1)计算函数h (x )＝－4.9x 2＋6.5x ＋10从x ＝1到x ＝1＋Δx 的平均变化率，其中Δx 的值为①2；②1；③0.1；④0.01.(2)思考：当|Δx |越来越小时，函数h (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？解 (1)∵Δy ＝h (1＋Δx )－h (1) ＝－4.9(Δx )2－3.3Δx ， ∴ΔyΔx＝－4.9Δx －3.3. ①当Δx ＝2时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－13.1；②当Δx ＝1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－8.2；③当Δx ＝0.1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－3.79；④当Δx ＝0.01时，ΔyΔx＝－4.9Δx －3.3＝－3.349.(2)当|Δx |越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.探究点二 函数在某点处的导数思考1 物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？答 不能，如高台跳水运动员相对于水面的高度h 与起跳时间t 的函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，易知h (6549)＝h (0)，v ＝h (6549)－h (0)6549－0＝0，而运动员依然是运动状态．思考2 观察跟踪训练1，当Δx ＝0.000 01时，ΔyΔx ＝？这个平均速度能描述物体的运动状态吗？答ΔyΔx＝－4.9Δx －3.3＝－3.300 049，说明当时间间隔非常小的时候平均速度约等于一个常数，这个常数就是x ＝1这一时刻的速度．思考 3 什么叫做瞬时速度？它与平均速度的区别与联系是什么？平均变化率与瞬时变化率的关系如何？答 可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态．如求t ＝2时的瞬时速度，可考察在t ＝2附近的一个间隔Δt ，当Δt 趋近于0时，平均速度v 趋近于lim Δt →0h (2＋Δt )－h (2)Δt，这就是物体在t ＝2时的瞬时速度．类似可以得出平均变化率与瞬时变化率的关系，我们把函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 ΔyΔx 叫做函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数． 思考4 导数或瞬时变化率反映函数变化的什么特征？答 导数或瞬时变化率可以反映函数在一点处变化的快慢程度． 小结 1.函数的瞬时变化率：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是 lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 Δy Δx . 2．函数在某点处的导数：我们称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即 f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 ΔyΔx . 例2 利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数． 解 由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数f ′(2)＝ lim Δx →0f (2＋Δx )－f (2)Δx，而f (2＋Δx )－f (2)＝－(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )－(－22＋3×2)＝－(Δx )2－Δx ，于是f ′(2)＝lim Δx →0 －(Δx )2－ΔxΔx ＝lim Δx →0 (－Δx －1)＝－1. 反思与感悟 求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx. 跟踪训练2 求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数． 解 Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1)＝3(Δx )2＋4Δx ，∵Δy Δx ＝3(Δx )2＋4Δx Δx ＝3Δx ＋4， ∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(3Δx ＋4)＝4. 例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第x h 时，原油的温度(单位：℃)为y ＝f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)．计算第2 h 和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解 在第2 h 和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率就是f ′(2)和f ′(6)． 根据导数的定义，Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝(2＋Δx )2－7(2＋Δx )＋15－(22－7×2＋15)Δx＝4Δx ＋(Δx )2－7Δx Δx＝Δx －3，所以，f ′(2)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 (Δx －3)＝－3. 同理可得，f ′(6)＝5.在第2 h 和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为－3与5.它说明在第2 h 附近，原油温度大约以3 ℃/h 的速率下降；在第6 h 附近，原油温度大约以5 ℃/h 的速率上升． 反思与感悟 (1)本题中，f ′(x 0)反映了原油温度在时刻x 0附近的变化情况． (2)函数的平均变化率和瞬时变化率的关系：平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，当Δx 趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x 0处的瞬时变化率，即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解．另外，它们都是用来刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化得越快．跟踪训练3 高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)之间的关系式为h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，求运动员在t ＝6598 s 时的瞬时速度，并解释此时的运动状况．解 令t 0＝6598，Δt 为增量．则h (t 0＋Δt )－h (t 0)Δt＝－4.9×⎝ ⎛⎭⎪⎫6598＋Δt 2＋6.5×⎝ ⎛⎭⎪⎫6598＋Δt ＋10＋4.9×⎝ ⎛⎭⎪⎫65982－6.5×6598－10Δt＝－4.9Δt ⎝ ⎛⎭⎪⎫6549＋Δt ＋6.5ΔtΔt＝－4.9⎝⎛⎭⎪⎫6549＋Δt ＋6.5，∴lim Δt →0h (t 0＋Δt )－h (t 0)Δt ＝lim Δt →0[－4.9⎝ ⎛⎭⎪⎫6549＋Δt ＋6.5]＝0，即运动员在t 0＝6598 s 时的瞬时速度为0 m/s.说明此时运动员处于跳水运动中离水面最高的点处．1．如果质点M 按规律s ＝3＋t 2运动，则在一小段时间[2，2.1]中相应的平均速度是( )． A ．4 B ．4.1 C ．0.41 D ．3 答案 B解析 v ＝(3＋2.12)－(3＋22)0.1＝4.1.2．函数f (x )在x 0处可导，则lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0)h( )A ．与x 0、h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0、h 均无关 答案 B3．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy Δx 等于( )A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2答案 C解析 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－1 ＝2(Δx )2＋4Δx ，∴Δy Δx ＝2Δx ＋4.4．已知函数f (x )＝1x，则f ′(1)＝________.答案 －12解析 f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0 11＋Δx－1Δx ＝lim Δx →0－11＋Δx (1＋1＋Δx )＝－12.[呈重点、现规律]利用导数定义求导数三步曲：(1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx. 简记为一差，二比，三趋近．特别提醒 ①取极限前，要注意化简ΔyΔx ，保证使Δx →0时分母不为0.②函数在x 0处的导数f ′(x 0)只与x 0有关，与Δx 无关． ③导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛.一、基础过关1．函数y ＝x 2－2x ＋1在x ＝－2附近的平均变化率为( ) A ．－6 B ．Δx －6 C ．－2 D ．Δx －2答案 B解析 设y ＝f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，Δy ＝f (－2＋Δx )－f (－2)＝(－2＋Δx －1)2－(－2－1)2＝(－3＋Δx )2－9＝(Δx )2－6Δx ， 所以ΔyΔx＝Δx －6，所以函数y ＝x 2－2x ＋1在x ＝－2附近的平均变化率为Δx －6. 2．函数y ＝1在[2,2＋Δx ]上的平均变化率是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．Δx 答案 A 解析Δy Δx ＝1－1Δx＝0. 3．如果某物体的运动方程为s ＝2(1－t 2)(s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2 s 末的瞬时速度为( )． A ．－4.8 m/s B ．－0.88 m/s C ．0.88 m/s D ．4.8 m/s答案 A解析 物体运动在1.2 s 末的瞬时速度即为s 在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得． 4．一质点按规律s (t )＝2t 3运动，则t ＝1时的瞬时速度为( ) A ．4 B ．6 C ．24 D ．48 答案 B解析 ∵s ′(1)＝lim t →1s (t )－s (1)t －1＝lim t →1 2t 3－2t －1＝lim t →12(t 2＋t ＋1)＝6. 5．已知函数y ＝2＋1x，当x 由1变到2时，函数的增量Δy ＝________.答案 －12解析 Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12－(2＋1)＝－12. 6.甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，治污效果较好的是( ) A ．甲 B ．乙 C ．相同 D ．不确定答案 B解析 在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)，但是，在t 0－Δt 处，W 1(t 0－Δt )<W 2(t 0－Δt )，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 1(t 0)－W 1(t 0－Δt )Δt <⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 2(t 0)－W 2(t 0－Δt )Δt ，所以，在相同时间Δt 内，甲厂比乙厂的平均治污率小．所以乙厂治污效果较好． 7．利用定义求函数y ＝－2x 2＋5在x ＝2处的瞬时变化率．解 因为在x ＝2附近，Δy ＝－2(2＋Δx )2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx －2(Δx )2，所以函数在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率为Δy Δx ＝－8Δx －2(Δx )2Δx ＝－8－2Δx .故函数y ＝－2x 2＋5在x ＝2处的瞬时变化率为lim Δx →0(－8－2Δx )＝－8.二、能力提升8．过曲线y ＝x 2＋1上两点P (1,2)和Q (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线，当Δx ＝0.1时，割线的斜率k ＝______，当Δx ＝0.001时，割线的斜率k ＝________. 答案 2.1 2.001解析 ∵Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1) ＝2Δx ＋(Δx )2，∴Δy Δx ＝2＋Δx ，∴割线斜率为2＋Δx ，当Δx ＝0.1时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.1＝2.1. 当Δx ＝0.001时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.001＝2.001.9．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是________． 答案 3解析 v 初＝s ′|t ＝0＝li m Δt →0 s (0＋Δt )－s (0)Δt＝li m Δt →0(3－Δt )＝3. 10．求y ＝x 在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率． 解 因为Δy ＝x 0＋Δx －x 0，所以y ＝x 在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为Δy Δx ＝x 0＋Δx －x 0Δx ＝1x 0＋Δx ＋x 0.11．求函数y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数． 解 Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3) ＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ， ∴Δy Δx ＝2(Δx )2＋16ΔxΔx ＝2Δx ＋16. ∴y ′|x ＝3＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(2Δx ＋16)＝16.教育是最好的老师，小学初中高中资料汇集专注专业学习坚持不懈勇攀高峰- 11 - 12．若函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值．解 ∵f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋c －a －c＝a (Δx )2＋2a Δx . ∴f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0 a (Δx )2＋2a Δx Δx＝lim Δx →0(a Δx ＋2a )＝2，即2a ＝2，∴a ＝1. 三、探究与拓展13．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，求满足f ′(x )＋2＝g ′(x )的x 的值． 解 由导数的定义知，f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx＝2x ， g ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－x 3Δx＝3x 2. ∵f ′(x )＋2＝g ′(x )，∴2x ＋2＝3x 2.即3x 2－2x －2＝0，解得x ＝1－73或x ＝1＋73.。

....1.1 变化率与导数1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念学习目标：1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点)3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点)4.理解函数的平均变化率，瞬时变化率及导数的概念．(易混点)[自 主 预 习·探 新 知]1．函数的平均变化率(1)函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为Δy Δx＝fx 2－f x 1x 2－x 1，其中Δx ＝x 2－x 1是相对于x 1的一个“增量”，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)是相对于f (x 1)的一个“增量”．(2)平均变化率的几何意义设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率Δy Δx＝f x 2－f x 1x 2－x 1＝f x 1＋Δx －f x 1Δx为割线AB 的斜率，如图1­1­1所示．图1­1­1思考：Δx ，Δy 的值一定是正值吗？平均变化率是否一定为正值？[提示] Δx ，Δy 可正可负，Δy 也可以为零，但Δx 不能为零．平均变化率ΔyΔx 可正、可负、可为零．2．瞬时速度与瞬时变化率(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．(2)函数f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是函数f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率在Δx →0时的极限即lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx.3．导数的概念函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数就是函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率，f ′(x 0)或y ′| x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx.[基础自测]1．思考辨析....(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数值与Δx 值的正、负无关．( ) (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x 1，x 2]上变化快慢的物理量．( ) (3)在导数的定义中，Δx ，Δy 都不可能为零．( )提示：(1)由导数的定义知，函数在x ＝x 0处的导数只与x 0有关，故正确． (2)瞬时变化率是刻画某一时刻变化快慢的物理量，故错误． (3)在导数的定义中，Δy 可以为零，故错误． [答案] (1)√ (2)× (3)×2．函数y ＝f (x )，自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数的改变量Δy 为( )【导学号：31062000】A ．f (x 0＋Δx )B ．f (x 0)＋ΔxC ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)D [Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，故选D.]3．若一质点按规律s ＝8＋t 2运动，则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度是( )A ．4B ．4.1C ．0.41D ．－1.1B [v ＝Δs Δt＝s－s 2.1－2＝2.12－220.1＝4.1，故选B.]4．函数f (x )＝x 2在x ＝1处的瞬时变化率是________． [解析] ∵f (x )＝x 2.∴在x ＝1处的瞬时变化率是 lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0f ＋Δx －fΔx＝lim Δx →0＋Δx 2－12Δx＝lim Δx →0(2＋Δx )＝2.[答案] 25．函数f (x )＝2在x ＝6处的导数等于________． [解析] f ′(6)＝lim Δx →0f＋Δx －fΔx ＝lim Δx →02－2Δx＝0.[答案] 0[合 作 探 究·攻 重 难]已知函数f (x )(1)从0.1到0.2的平均变化率； (2)在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率.【导学号：31062001】[解] (1)因为f (x )＝3x 2＋5，所以从0.1到0.2的平均变化率为 3×0.22＋5－3×0.12－50.2－0.1＝0.9.(2)f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝3(x 0＋Δx )2＋5－(3x 20＋5) ＝3x 20＋6x 0Δx ＋3(Δx )2＋5－3x 20－5＝6x 0Δx ＋3(Δx )2. 函数f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为6x 0Δx ＋Δx2Δx ＝6x 0＋3Δx .[规律方法] 1.求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量Δx ＝x 2－x 1； 第二步，求函数值的增量Δy ＝f x 2－f x 1；第三步，求平均变化率Δy Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 12.求平均变化率的一个关注点求点x 0附近的平均变化率，可用f x 0＋Δx －f x 0Δx的形式.[跟踪训练]1．如图1­1­2，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率等于( )图1­1­2A ．1B ．－1C ．2D ．－2B [平均变化率为1－33－1＝－1.故选B.]2．已知函数y ＝f (x )＝2x 2的图象上点P (1,2)及邻近点Q (1＋Δx,2＋Δy )，则Δy Δx的值为( )【导学号：31062002】A ．4B ．4xC ．4＋2Δx 2D ．4＋2ΔxD [Δy Δx＝＋Δx 2－2×12Δx＝4＋2Δx .故选D.][探究问题]1．物体的路程s 与时间t 的关系是s (t )＝5t 2，如何计算物体在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度？ 提示：Δs ＝5(1＋Δt )2－5＝10Δt ＋5(Δt )2，v ＝ΔsΔt＝10＋5Δt . 2．当Δt 趋近于0时，探究1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？提示：当Δt 趋近于0时，ΔsΔt趋近于10，这时的平均速度即为当t ＝1时的瞬时速度．某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 2＋t ＋1表示，求物体在t＝1 s 时的瞬时速度．[思路探究] 计算物体在[1，1＋Δt ]内的平均速度Δs Δt ――→令Δt →0计算lim Δt →0ΔsΔt―→得t ＝1 s 时的瞬时速度[解] ∵Δs Δt ＝s＋Δt －sΔt＝＋Δt2＋＋Δt ＋1－2＋1＋Δt＝3＋Δt ，∴lim Δt →0ΔsΔt＝lim Δt →0(3＋Δt )＝3.∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为3. 即物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为3 m/s.母题探究：1.(变结论)在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度． [解] 求物体的初速度，即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵Δs Δt ＝s ＋Δt －sΔt＝＋Δt2＋＋Δt ＋1－1Δt＝1＋Δt ，∴lim Δt →0(1＋Δt )＝1.∴物体在t ＝0时的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1 m/s.2．(变结论)在本例条件不变的前提下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s. [解] 设物体在t 0时刻的瞬时速度为9 m/s.又Δs Δt ＝s t 0＋Δt －s t 0Δt＝(2t 0＋1)＋Δt .lim Δt →0ΔsΔt＝lim Δt →0(2t 0＋1＋Δt )＝2t 0＋1. 则2t 0＋1＝9， ∴t 0＝4.则物体在4 s 时的瞬时速度为9 m/s.[规律方法] 求运动物体瞬时速度的三个步骤求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s t 0＋Δt －s t 0求平均速度v ＝Δs Δt求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，\f(Δs,Δt )无限趋近于常数v ，即为瞬时速度.(1)设函数y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，且lim Δx →000Δx＝1，则f ′(x 0)等于( )A ．1B ．－1C ．－13D ．13(2)求函数f (x )＝x －1x在x ＝1处的导数．[思路探究] (1)类比f ′(x 0)＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx求解．(2)先求Δy ―→再求Δy Δx ―→计算lim Δx →0ΔyΔx(1)C [∵lim Δx →0f x 0－3Δx －f x 0Δx＝lim Δx →0⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x 0－3Δx －f x 0－3Δx －＝－3f ′(x 0)＝1，∴f ′(x 0)＝－13，故选C.](2)∵Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－11 ＝Δx ＋1－11＋Δx ＝Δx ＋Δx1＋Δx， ∴Δy Δx ＝Δx ＋Δx 1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx ， ∴f ′(1)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11＋Δx ＝2.[规律方法] 求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的三个步骤简称：一差、二比、三极限． [跟踪训练]3．已知f ′(1)＝－2，则lim Δx →0f－2Δx －fΔx＝________.【导学号：31062003】[解析] ∵f ′(1)＝－2， ∴lim Δx →0f－2Δx －fΔx＝lim Δx →0f－2Δx －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2Δx＝－2lim Δx →0f－2Δx －f －2Δx＝－2f ′(1)＝－2×(－2)＝4.[答案] 44．求函数y ＝3x 2在x ＝1处的导数．[解] ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝3(1＋Δx )2－3＝6Δx ＋3(Δx )2，∴Δy Δx ＝6＋3Δx ，∴f ′(1)＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0(6＋3Δx )＝6.[当 堂 达 标·固 双 基]1．一物体的运动方程是s ＝3＋2t ，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是( )A ．0.4B ．2C ．0.3D ．0.2B [v ＝s－s 2.1－2＝4.2－40.1＝2.]2．物体自由落体的运动方程为s (t )＝12gt 2，g ＝9.8 m/s 2，若v ＝lim Δt →0＝s 1＋Δt －s 1Δt＝9.8 m/s ，那么下列说法中正确的是( )【导学号：31062004】A ．9.8 m/s 是物体从0 s 到1 s 这段时间内的速率B ．9.8 m/s 是1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的速率C ．9.8 m/s 是物体在t ＝1 s 这一时刻的速率D ．9.8 m/s 是物体从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的平均速率 C [结合平均变化率与瞬时变化率可知选项C 正确．] 3．函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数为________． [解析] ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝1＋Δx －1，∴f ′(1)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →011＋Δx ＋1＝12.[答案] 124．设f (x )在x 0处可导，若lim Δx →0f x 0＋3Δx －f x 0Δx＝A ，则f ′(x 0)＝________.[解析] lim Δx →0f x 0＋3Δx －f x 0Δx＝3lim 3Δx →0f x 0＋3Δx －f x 03Δx＝3f ′(x 0)＝A .故f ′(x 0)＝13A .[答案] A35．在曲线y ＝f (x )＝x 2＋3上取一点P (1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy )，求：(1)Δy Δx；(2)f ′(1).【导学号：31062005】[解] (1)Δy Δx ＝f＋Δx －fΔx＝＋Δx2＋3－2＋Δx＝2＋Δx .(2)f ′(1)＝lim Δx →0f＋Δx －fΔx＝lim Δx →0(2＋Δx )＝2.。

1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念明目标、知重点1．了解导数概念的实际背景． 2．会求函数在某一点附近的平均变化率． 3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．1．函数的变化率0函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.[情境导学]某市2013年5月30日最高气温是33.4℃，而此前的两天5月29日和5月28日最高气温分别是24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温“陡增”14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市2013年4月28日最高气温3.5℃和5月28日最高气温18.6℃进行比较，可以发现二者温差为15.1℃，甚至超过了14.8℃，而人们却不会发出上述感慨，这是什么原因呢？显然原因是前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”，那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？ 探究点一 平均变化率的概念 思考1 气球膨胀率很多人都吹过气球．回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？答 气球的半径r (单位：dm)与体积V (单位：L)之间的函数关系是r (V )＝ 33V4π，(1)当空气容量V 从0增加到1 L 时，气球半径增加了r (1)－r (0)≈0.62 (dm)，气球的平均膨胀率为r (1)－r (0)1－0≈0.62(dm/L)．(2)当空气容量V 从1 L 增加到2 L 时，气球半径增加了r (2)－r (1)≈0.16 (dm)， 气球的平均膨胀率为r (2)－r (1)2－1≈0.16(dm/L)．可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 结论 当空气容量从V 1增加到V 2时，气球的平均膨胀率是r (V 2)－r (V 1)V 2－V 1.思考2 高台跳水人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)存在函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10.计算运动员在时间段①0≤t ≤0.5，②1≤t ≤2内的平均速度v ，并思考平均速度有什么作用？ 答 ①在0≤t ≤0.5这段时间里，v ＝h (0.5)－h (0)0.5－0＝4.05(m/s)；②在1≤t ≤2这段时间里，v ＝h (2)－h (1)2－1＝－8.2(m/s)．由以上计算体会到平均速度可以描述运动员在某段时间内运动的快慢．思考3 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？思考1和思考2中的平均变化率分别表示什么？答 如果上述两个思考中的函数关系用y ＝f (x )表示，那么思考中的变化率可用式子f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示，我们把这个式子称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率，平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢．思考1中的平均变化率表示在空气容量从V 1增加到V 2时，气球半径的平均增长率．思考2中的平均变化率表示在时间从t 1增加到t 2时，高度h的平均增长率．思考4 平均变化率也可以用式子Δy Δx 表示，其中Δy 、Δx 的意义是什么？ΔyΔx 有什么几何意义？答 Δx 表示x2－x 1是相对于x 1的一个“增量”；Δy 表示f (x 2)－f (x 1)．Δx 、Δy 的值可正可负，Δy 也可以为零，但Δx 不能为零．观察图象可看出，ΔyΔx 表示曲线y ＝f (x )上两点(x 1，f (x 1))、(x 2，f (x 2))连线的斜率．小结 平均变化率为Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，其几何意义是：函数y ＝f (x )的图象上两点(x 1，f (x 1))、(x 2，f (x 2))连线的斜率．例1 已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.(1)求当x 1＝4，x 2＝5时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx ；(2)求当x 1＝4，x 2＝4.1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx ；(3)若设x 2＝x 1＋Δx .分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义． 解 f (x )＝2x 2＋3x －5， ∴Δy ＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)＝2(x 1＋Δx )2＋3(x 1＋Δx )－5－(2x 21＋3x 1－5) ＝2[(Δx )2＋2x 1Δx ]＋3Δx ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx ＝2(Δx )2＋19Δx .Δy Δx ＝2(Δx )2＋19Δx Δx ＝2Δx ＋19. (1)当x 1＝4，x 2＝5时，Δx ＝1，Δy ＝2(Δx )2＋19Δx ＝2＋19＝21，Δy Δx ＝21.(2)当x 1＝4，x 2＝4.1时Δx ＝0.1， Δy ＝2(Δx )2＋19Δx ＝0.02＋1.9＝1.92. ΔyΔx＝2Δx ＋19＝19.2. (3)在(1)题中Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (5)－f (4)5－4，它表示抛物线上点P 0(4,39)与点P 1(5,60)连线的斜率． 在(2)题中，Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (4.1)－f (4)4.1－4，它表示抛物线上点P 0(4,39)与点P 2(4.1,40.92)连线的斜率． 反思与感悟 求平均变化率的主要步骤： (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.跟踪训练1 (1)计算函数h (x )＝－4.9x 2＋6.5x ＋10从x ＝1到x ＝1＋Δx 的平均变化率，其中Δx 的值为①2；②1；③0.1；④0.01.(2)思考：当|Δx |越来越小时，函数h (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？解 (1)∵Δy ＝h (1＋Δx )－h (1) ＝－4.9(Δx )2－3.3Δx ， ∴ΔyΔx＝－4.9Δx －3.3. ①当Δx ＝2时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－13.1；②当Δx ＝1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－8.2；③当Δx ＝0.1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－3.79；④当Δx ＝0.01时，ΔyΔx＝－4.9Δx －3.3＝－3.349.(2)当|Δx |越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.探究点二 函数在某点处的导数思考1 物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？答 不能，如高台跳水运动员相对于水面的高度h 与起跳时间t 的函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，易知h (6549)＝h (0)，v ＝h (6549)－h (0)6549－0＝0，而运动员依然是运动状态．思考2 观察跟踪训练1，当Δx ＝0.000 01时，ΔyΔx ＝？这个平均速度能描述物体的运动状态吗？答ΔyΔx＝－4.9Δx －3.3＝－3.300 049，说明当时间间隔非常小的时候平均速度约等于一个常数，这个常数就是x ＝1这一时刻的速度．思考 3 什么叫做瞬时速度？它与平均速度的区别与联系是什么？平均变化率与瞬时变化率的关系如何？答 可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态．如求t ＝2时的瞬时速度，可考察在t ＝2附近的一个间隔Δt ，当Δt 趋近于0时，平均速度v 趋近于lim Δt →0h (2＋Δt )－h (2)Δt，这就是物体在t ＝2时的瞬时速度．类似可以得出平均变化率与瞬时变化率的关系，我们把函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 ΔyΔx 叫做函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数． 思考4 导数或瞬时变化率反映函数变化的什么特征？答 导数或瞬时变化率可以反映函数在一点处变化的快慢程度． 小结 1.函数的瞬时变化率：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是 lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 Δy Δx . 2．函数在某点处的导数：我们称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即 f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 ΔyΔx . 例2 利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数． 解 由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数f ′(2)＝ lim Δx →0f (2＋Δx )－f (2)Δx，而f (2＋Δx )－f (2)＝－(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )－(－22＋3×2)＝－(Δx )2－Δx ，于是f ′(2)＝lim Δx →0 －(Δx )2－ΔxΔx ＝lim Δx →0 (－Δx －1)＝－1. 反思与感悟 求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx. 跟踪训练2 求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数． 解 Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1)＝3(Δx )2＋4Δx ，∵Δy Δx ＝3(Δx )2＋4Δx Δx ＝3Δx ＋4， ∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(3Δx ＋4)＝4. 例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第x h 时，原油的温度(单位：℃)为y ＝f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)．计算第2 h 和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解 在第2 h 和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率就是f ′(2)和f ′(6)． 根据导数的定义，Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝(2＋Δx )2－7(2＋Δx )＋15－(22－7×2＋15)Δx＝4Δx ＋(Δx )2－7Δx Δx＝Δx －3，所以，f ′(2)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 (Δx －3)＝－3. 同理可得，f ′(6)＝5.在第2 h 和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为－3与5.它说明在第2 h 附近，原油温度大约以3 ℃/h 的速率下降；在第6 h 附近，原油温度大约以5 ℃/h 的速率上升． 反思与感悟 (1)本题中，f ′(x 0)反映了原油温度在时刻x 0附近的变化情况． (2)函数的平均变化率和瞬时变化率的关系：平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，当Δx 趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x 0处的瞬时变化率，即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解．另外，它们都是用来刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化得越快．跟踪训练3 高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)之间的关系式为h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，求运动员在t ＝6598 s 时的瞬时速度，并解释此时的运动状况．解 令t 0＝6598，Δt 为增量．则h (t 0＋Δt )－h (t 0)Δt＝－4.9×⎝ ⎛⎭⎪⎫6598＋Δt 2＋6.5×⎝ ⎛⎭⎪⎫6598＋Δt ＋10＋4.9×⎝ ⎛⎭⎪⎫65982－6.5×6598－10Δt＝－4.9Δt ⎝ ⎛⎭⎪⎫6549＋Δt ＋6.5ΔtΔt＝－4.9⎝⎛⎭⎪⎫6549＋Δt ＋6.5，∴lim Δt →0h (t 0＋Δt )－h (t 0)Δt ＝lim Δt →0[－4.9⎝ ⎛⎭⎪⎫6549＋Δt ＋6.5]＝0，即运动员在t 0＝6598 s 时的瞬时速度为0 m/s.说明此时运动员处于跳水运动中离水面最高的点处．1．如果质点M 按规律s ＝3＋t 2运动，则在一小段时间[2，2.1]中相应的平均速度是( )． A ．4 B ．4.1 C ．0.41 D ．3 答案 B解析 v ＝(3＋2.12)－(3＋22)0.1＝4.1.2．函数f (x )在x 0处可导，则lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0)h( )A ．与x 0、h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0、h 均无关 答案 B3．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy Δx 等于( )A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2答案 C解析 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－1 ＝2(Δx )2＋4Δx ，∴Δy Δx ＝2Δx ＋4.4．已知函数f (x )＝1x，则f ′(1)＝________.答案 －12解析 f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0 11＋Δx－1Δx ＝lim Δx →0－11＋Δx (1＋1＋Δx )＝－12.[呈重点、现规律]利用导数定义求导数三步曲：(1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx. 简记为一差，二比，三趋近．特别提醒 ①取极限前，要注意化简ΔyΔx ，保证使Δx →0时分母不为0.②函数在x 0处的导数f ′(x 0)只与x 0有关，与Δx 无关． ③导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛.一、基础过关1．函数y ＝x 2－2x ＋1在x ＝－2附近的平均变化率为( ) A ．－6 B ．Δx －6 C ．－2 D ．Δx －2答案 B解析 设y ＝f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，Δy ＝f (－2＋Δx )－f (－2)＝(－2＋Δx －1)2－(－2－1)2＝(－3＋Δx )2－9＝(Δx )2－6Δx ， 所以ΔyΔx＝Δx －6，所以函数y ＝x 2－2x ＋1在x ＝－2附近的平均变化率为Δx －6. 2．函数y ＝1在[2,2＋Δx ]上的平均变化率是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．Δx 答案 A 解析Δy Δx ＝1－1Δx＝0. 3．如果某物体的运动方程为s ＝2(1－t 2)(s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2 s 末的瞬时速度为( )． A ．－4.8 m/s B ．－0.88 m/s C ．0.88 m/s D ．4.8 m/s答案 A解析 物体运动在1.2 s 末的瞬时速度即为s 在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得． 4．一质点按规律s (t )＝2t 3运动，则t ＝1时的瞬时速度为( ) A ．4 B ．6 C ．24 D ．48 答案 B解析 ∵s ′(1)＝lim t →1s (t )－s (1)t －1＝lim t →1 2t 3－2t －1＝lim t →12(t 2＋t ＋1)＝6. 5．已知函数y ＝2＋1x，当x 由1变到2时，函数的增量Δy ＝________.答案 －12解析 Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12－(2＋1)＝－12. 6.甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，治污效果较好的是( ) A ．甲 B ．乙 C ．相同 D ．不确定答案 B解析 在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)，但是，在t 0－Δt 处，W 1(t 0－Δt )<W 2(t 0－Δt )， 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 1(t 0)－W 1(t 0－Δt )Δt <⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 2(t 0)－W 2(t 0－Δt )Δt ，所以，在相同时间Δt 内，甲厂比乙厂的平均治污率小．所以乙厂治污效果较好． 7．利用定义求函数y ＝－2x 2＋5在x ＝2处的瞬时变化率．解 因为在x ＝2附近，Δy ＝－2(2＋Δx )2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx －2(Δx )2，所以函数在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率为Δy Δx ＝－8Δx －2(Δx )2Δx ＝－8－2Δx .故函数y ＝－2x 2＋5在x ＝2处的瞬时变化率为lim Δx →0(－8－2Δx )＝－8.二、能力提升8．过曲线y ＝x 2＋1上两点P (1,2)和Q (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线，当Δx ＝0.1时，割线的斜率k ＝______，当Δx ＝0.001时，割线的斜率k ＝________.答案 2.1 2.001解析 ∵Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1) ＝2Δx ＋(Δx )2，∴Δy Δx ＝2＋Δx ，∴割线斜率为2＋Δx ，当Δx ＝0.1时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.1＝2.1. 当Δx ＝0.001时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.001＝2.001.9．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是________． 答案 3解析 v 初＝s ′|t ＝0＝li m Δt →0 s (0＋Δt )－s (0)Δt＝li m Δt →0(3－Δt )＝3. 10．求y ＝x 在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率． 解 因为Δy ＝x 0＋Δx －x 0，所以y ＝x 在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为Δy Δx ＝x 0＋Δx －x 0Δx ＝1x 0＋Δx ＋x 0.11．求函数y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数． 解 Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3) ＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ， ∴Δy Δx ＝2(Δx )2＋16ΔxΔx ＝2Δx ＋16. ∴y ′|x ＝3＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(2Δx ＋16)＝16. 12．若函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值． 解 ∵f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋c －a －c ＝a (Δx )2＋2a Δx .∴f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0 a (Δx )2＋2a ΔxΔx＝lim Δx →0 (a Δx ＋2a )＝2，即2a ＝2，∴a ＝1. 三、探究与拓展13．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，求满足f ′(x )＋2＝g ′(x )的x 的值． 解 由导数的定义知，f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x ， g ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－x 3Δx＝3x 2.∵f′(x)＋2＝g′(x)，∴2x＋2＝3x2.即3x2－2x－2＝0，解得x＝1－73或x＝1＋73.。

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1。

1.1 变化率问题 1。

1.2 导数的概念[学习目标]1．了解导数概念的实际背景．2．会求函数在某一点附近的平均变化率．3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．[知识链接]很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程,可以发现，随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？答气球的半径r（单位：dm)与体积V（单位:L)之间的函数关系是r（V)＝错误!，(1)当V从0增加到1 L时，气球半径增加了r（1）－r(0)≈0.62 (dm），气球的平均膨胀率为错误!≈0.62(dm/L)．(2)当V从1 L增加到2 L时,气球半径增加了r(2)－r（1）≈0.16 (dm),气球的平均膨胀率为r 2－r 12－1≈0.16(dm/L)．可以看出,随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了．[预习导引］1．函数的变化率定义实例平均变化率函数y＝f（x）从x1到x2的平均变化率为错误!，简记作：错误!①平均速度；②曲线割线的斜率瞬时变化率函数y＝f(x）在x＝x0处的瞬时变化率是函数f（x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即错误!错误!＝错误!错误!.①瞬时速度：物体在某一时刻的速度;②切线斜率2.0函数y＝f(x）在x＝x0处的瞬时变化率错误!错误!＝错误!错误!称为函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′(x0）或y′｜x＝x0，即f′（x0)＝错误!错误!＝错误!错误!。

1．1.1 变化率问题 1．1.2 导数的概念学习目标 1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．知识点一 函数的平均变化率假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系．A 是出发点，H 是山顶．爬山路线用函数y ＝f (x )表示．自变量x 表示某旅游者的水平位置，函数值y ＝f (x )表示此时旅游者所在的高度．设点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)．思考1 若旅游者从点A 爬到点B ，自变量x 和函数值y 的改变量分别是多少？ 答案 自变量x 的改变量为x 2－x 1，记作Δx ，函数值的改变量为y 2－y 1，记作Δy . 思考2 怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？答案 对山路AB 来说，用Δy Δx ＝y 2－y 1x 2－x 1可近似地刻画其陡峭程度．梳理 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 (1)定义式：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.(2)实质：函数值的增量与自变量的增量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．(4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )的图象上两点，则平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示割线P 1P 2的斜率． 知识点二 瞬时速度思考1 物体的路程s 与时间t 的关系是s (t )＝5t 2.试求物体在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度． 答案 Δs ＝5(1＋Δt )2－5＝10Δt ＋5(Δt )2，v ＝ΔsΔt＝10＋5Δt . 思考2 当Δt 趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？ 答案 当Δt 趋近于0时，ΔsΔt趋近于10，这时的平均速度即为当t ＝1时的瞬时速度． 梳理 瞬时速度(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．(2)一般地，设物体的运动规律是s ＝s (t )，则物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .如果Δt 无限趋近于0时，Δs Δt 无限趋近于某个常数v ，我们就说当Δt 趋近于0时，ΔsΔt的极限是v ，这时v 就是物体在时刻t ＝t 0时的瞬时速度，即瞬时速度v ＝lim Δt →0 ΔsΔt ＝ lim Δt →0s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt.知识点三 函数在某点处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或0|x x y'=，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.1．在平均变化率中，函数值的增量为正值．( × )2．瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x 1，x 2]上变化快慢的物理量．( × ) 3．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数值与Δx 的正、负无关．( √ )类型一 函数的平均变化率 命题角度1 求函数的平均变化率例1 求函数y ＝f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 都为13，哪一点附近的平均变化率最大？考点 变化问题与变化率 题点 变化率大小的比较 解 在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx＝6＋Δx .当Δx ＝13时，k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1<k 2<k 3，所以在x ＝3附近的平均变化率最大． 反思与感悟 求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.跟踪训练1 (1)已知函数y ＝f (x )＝x 2＋2x －5的图象上的一点A (－1，－6)及邻近一点B (－1＋Δx ，－6＋Δy )，则ΔyΔx＝________. (2)如图所示是函数y ＝f (x )的图象，则函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________；函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________．考点 平均变化率 题点 函数的平均变化率 答案 (1)Δx (2)12 34解析 (1)Δy Δx ＝f (－1＋Δx )－f (－1)Δx＝(－1＋Δx )2＋2(－1＋Δx )－5－(－6)Δx ＝Δx .(2)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为f (1)－f (－1)1－(－1)＝2－12＝12. 由函数f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34.命题角度2 平均变化率的几何意义例2 过曲线y ＝f (x )＝x 2－x 上的两点P (1,0)和Q (1＋Δx ，Δy )作曲线的割线，已知割线PQ 的斜率为2，求Δx 的值．考点 平均变化率 题点 平均变化率的应用解 割线PQ 的斜率即为函数f (x )从1到1＋Δx 的平均变化率ΔyΔx .∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2－(1＋Δx )－(12－1)＝Δx ＋(Δx )2， ∴割线PQ 的斜率k ＝ΔyΔx＝1＋Δx .又∵割线PQ 的斜率为2，∴1＋Δx ＝2，∴Δx ＝1.反思与感悟 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率的实质是函数y ＝f (x )图象上两点P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))连线P 1P 2的斜率，即12p p k ＝Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1. 跟踪训练2 甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图所示，则在[0，t 0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v 甲，v 乙的关系是( )A ．v 甲>v 乙B ．v 甲<v 乙C ．v 甲＝v 乙D ．大小关系不确定 考点 平均变化率 题点 平均变化率的应用 答案 B解析 设直线AC ，BC 的斜率分别为k AC ，k BC ，由平均变化率的几何意义知，s 1(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 甲＝k AC ，s 2(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 乙＝k BC .因为k AC <k BC ，所以v 甲<v 乙．类型二 求瞬时速度例3 某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 2＋t ＋1表示，求物体在t ＝1 s 时的瞬时速度． 考点 求瞬时速度题点 用极限思想求瞬时速度 解 ∵Δs Δt ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt＝(1＋Δt )2＋(1＋Δt )＋1－(12＋1＋1)Δt＝3＋Δt ，∴lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (3＋Δt )＝3. ∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为3. 即物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为3 m/s. 引申探究1．若例3中的条件不变，试求物体的初速度． 解 求物体的初速度，即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵Δs Δt ＝s (0＋Δt )－s (0)Δt＝(0＋Δt )2＋(0＋Δt )＋1－1Δt＝1＋Δt ，∴lim Δt →0(1＋Δt )＝1.∴物体在t ＝0时的瞬时变化率为1， 即物体的初速度为1 m/s.2．若例3中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s. 解 设物体在t 0时刻的瞬时速度为9 m/s. 又Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt＝(2t 0＋1)＋Δt . lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (2t 0＋1＋Δt )＝2t 0＋1. 则2t 0＋1＝9，∴t 0＝4.则物体在4 s 时的瞬时速度为9 m/s.反思与感悟 (1)不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解答本类题的常见错误． (2)求运动物体瞬时速度的三个步骤①求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)； ②求平均速度v ＝ΔsΔt； ③求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，Δs Δt无限趋近于的常数v 即为瞬时速度，即v ＝lim Δt →0 ΔsΔt . 跟踪训练3 一质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值． 考点 求瞬时速度题点 瞬时速度在实际问题中的应用解 质点M 在t ＝2时的瞬时速度即为函数在t ＝2处的瞬时变化率． ∵质点M 在t ＝2附近的平均变化率为Δs Δt ＝s (2＋Δt )－s (2)Δt ＝a (2＋Δt )2－4a Δt ＝4a ＋a Δt ， ∴lim Δt →0 Δs Δt ＝4a ＝8，即a ＝2. 类型三 导数定义的应用例4 (1)若函数f (x )可导，则lim Δx →0 f (1－Δx )－f (1)2Δx等于( )A ．－2f ′(1) B.12f ′(1) C ．－12f ′(1)D ．f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12 考点 导数的概念题点 导数的概念的简单应用 答案 C解析 lim Δx →0f (1－Δx )－f (1)2Δx＝－12lim Δx →0 f [1＋(－Δx )]－f (1)－Δx ＝－12f ′(1)．(2)求函数y ＝x －1x在x ＝1处的导数．考点 导数的概念题点 导数的概念的简单应用解 因为Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－11 ＝Δx ＋Δx1＋Δx，所以Δy Δx ＝Δx ＋Δx1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx .lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11＋Δx ＝2， 所以f ′(1)＝2，即函数y ＝x －1x在x ＝1处的导数为2.反思与感悟 (1)用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 ①求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； ②求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；③求极限lim Δx →0 ΔyΔx . (2)瞬时变化率的变形形式 lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx＝lim Δx →0 f (x 0＋n Δx )－f (x 0)n Δx＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0－Δx )2Δx＝f ′(x 0)．跟踪训练4 已知f(x)＝3x2，f′(x0)＝6，求x0. 考点导数定义的应用题点导数定义在函数中的应用解∵f′(x0)＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→03(x0＋Δx)2－3x20Δx＝limΔx→0(6x0＋3Δx)＝6x0，又f′(x0)＝6，∴6x0＝6，即x0＝1.1．设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为( ) A．2.1 B．1.1 C．2 D．0考点平均变化率题点函数的平均变化率答案 A解析ΔyΔx＝f(1.1)－f(1)1.1－1＝0.210.1＝2.1.2．物体运动方程为s(t)＝3t2(位移单位：m，时间单位：s)，若v＝limΔt→0s(3＋Δt)－s(3)Δt＝18 m/s，则下列说法中正确的是( )A．18 m/s是物体从开始到3 s这段时间内的平均速度B．18 m/s是物体从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的速度C．18 m/s是物体在3 s这一时刻的瞬时速度D．18 m/s是物体从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的平均速度考点导数的概念题点导数概念的理解答案 C3．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a等于( ) A．2 B．－2 C．－3 D．3考点导数定义的应用题点导数定义在函数中的应用答案 D解析因为f′(1)＝limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝limΔx→0a(1＋Δx)＋3－(a＋3)Δx＝a.因为f ′(1)＝3，所以a ＝3.4．如图，函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]这几个区间上，平均变化率最大的一个区间是________．考点 平均变化率 题点 平均变化率的应用 答案 [x 3，x 4]解析 由平均变化率的定义可知，函数y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]上平均变化率分别为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，f (x 3)－f (x 2)x 3－x 2，f (x 4)－f (x 3)x 4－x 3，结合图象可以发现函数y ＝f (x )的平均变化率最大的一个区间是[x 3，x 4]．5．一物体的运动方程为s (t )＝7t 2－13t ＋8，则t 0＝________时该物体的瞬时速度为1. 考点 求瞬时速度题点 瞬时速度在实际问题中的应用 答案 1 解析 lim Δt →0s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt＝lim Δt →0 7(t 0＋Δt )2－13(t 0＋Δt )＋8－(7t 20－13t 0＋8)Δt ＝lim Δt →0 (14t 0－13＋7Δt ) ＝14t 0－13＝1，得t 0＝1.理解平均变化率要注意以下几点： (1)平均变化率f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示点(x 1，f (x 1))与点(x 2，f (x 2))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”．(2)为求点x 0附近的平均变化率，上述表达式常写为f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx的形式．(3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势．自变量的改变量Δx 取值越小，越能准确体现函数的变化情况．利用导数定义求导数：(1)取极限前，要注意化简ΔyΔx ，保证使Δx →0时分母不为0.(2)函数在x 0处的导数f ′(x 0)只与x 0有关，与Δx 无关． (3)导数可以描述事物的瞬时变化率，应用非常广泛．一、选择题1．已知函数y ＝2＋1x，当x 由1变到2时，函数的增量Δy 等于( )A.12 B ．－12 C ．1 D ．－1 考点 函数自变量、因变量的增量 题点 函数因变量的增量 答案 B解析 Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12－(2＋1)＝－12.2．函数f (x )＝5x －3在区间[a ，b ]上的平均变化率为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 考点 平均变化率 题点 函数的平均变化率 答案 C解析 平均变化率为f (b )－f (a )b －a ＝5(b －a )b －a＝5.3．一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，若该质点在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度是( ) A ．－3 B ．3 C ．6 D ．－6 考点 求瞬时速度题点 用极限思想求瞬时速度 答案 D解析 由平均速度和瞬时速度的关系可知，质点在t ＝1时的瞬时速度为s ′＝lim Δt →0(－3Δt －6)＝－6. 4．已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在函数y ＝f (x )的图象上，若函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率为3，则下面叙述正确的是( )A ．曲线y ＝f (x )的割线AB 的倾斜角为π6B ．曲线y ＝f (x )的割线AB 的倾斜角为π3C ．曲线y ＝f (x )的割线AB 的斜率为－ 3D ．曲线y ＝f (x )的割线AB 的斜率为－33考点 平均变化率题点 平均变化率的应用答案 B解析 函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率就是割线AB 的斜率，所以k AB ＝3，割线AB 的倾斜角为π3，故选B. 5．若可导函数f (x )的图象过原点，且满足lim Δx →0 f (Δx )Δx＝－1，则f ′(0)等于( ) A ．－2 B ．2C ．－1D ．1考点 导数的概念题点 导数的概念的简单应用答案 C解析 ∵f (x )图象过原点，∴f (0)＝0，∴f ′(0)＝lim Δx →0 f (0＋Δx )－f (0)Δx ＝lim Δx →0 f (Δx )Δx ＝－1，故选C.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x 2＋1，0≤x <3，2＋3(x －3)2，x ≥3，则函数f (x )在x ＝1处的导数为() A ．2 B ．3 C ．4 D ．6考点 导数定义的应用题点 导数定义在函数中的应用答案 D解析 f (1)＝4，f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0 3(1＋Δx )2＋1－4Δx＝lim Δx →0 (6＋3Δx )＝6.7．已知函数f (x )＝2x ，且f ′(m )＝－12，则m 的值等于( )A ．±2B ．2C ．－2D ．－4考点 导数定义的应用题点 导数定义在函数中的应用答案 A解析 f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝－2x 2，于是有－2m2＝－12，m2＝4，解得m＝±2.二、填空题8.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为________________．考点平均变化率题点平均变化率的应用答案v1<v2<v3解析v1＝k OA，v2＝k AB，v3＝k BC，由图象知，k OA<k AB<k BC.9．若函数y＝f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率为2，则t＝________.考点平均变化率题点平均变化率的应用答案 5解析函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是ΔyΔx＝f(t)－f(－2)t－(－2)＝t2－t－(－2)2－2t＋2＝2，即t2－t－6＝2t＋4，t2－3t－10＝0，解得t＝5或t＝－2(舍去)．所以，当函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2时，t的值是5.10．对于函数y＝f(x)＝1x2，其导数值等于函数值的点是________．考点导数定义的应用题点导数定义在函数中的应用答案⎝⎛⎭⎪⎫－2，14解析f′(x0)＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→01(x0＋Δx)2－1x20Δx＝－2x30.由题意知，f ′(x 0)＝f (x 0)，即－2x 30＝1x 20， 解得x 0＝－2，从而y 0＝14. 11．若f ′(x 0)＝2，则lim Δx →0f (x 0)－f (x 0＋Δx )2Δx ＝________. 考点 导数的概念题点 导数的概念的简单应用答案 －1解析 lim Δx →0 f (x 0)－f (x 0＋Δx )2Δx＝－12lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝－12f ′(x 0)＝－1. 三、解答题12．若函数y ＝f (x )＝－x 2＋x 在[2,2＋Δx ](Δx >0)上的平均变化率不大于－1，求Δx 的取值范围． 考点 平均变化率题点 平均变化率的应用解 ∵函数f (x )在[2,2＋Δx ]上的平均变化率为Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝－(2＋Δx )2＋(2＋Δx )－(－4＋2)Δx＝－3－Δx ，∴由－3－Δx ≤－1，得Δx ≥－2.又∵Δx >0，∴Δx 的取值范围是(0，＋∞)．13．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，求适合f ′(x 0)＋2＝g ′(x 0)的x 0的值．考点 导数定义的应用题点 导数定义在函数中的应用解 由导数的定义知，f ′(x 0)＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2－x 20Δx＝2x 0， g ′(x 0)＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )3－x 30Δx＝3x 20. 因为f ′(x 0)＋2＝g ′(x 0)，所以2x 0＋2＝3x 20，即3x 20－2x 0－2＝0.解得x0＝1－7或x0＝1＋7.四、探究与拓展14.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝3x，y＝0，x＝t(t>0)围成的△OAB的面积为S(t)，则S(t)在t ＝2时的瞬时变化率是________．考点导数定义的应用题点导数定义在实际问题中的应用答案2 3解析x＝t时，y＝3t，B(t，3t)，则AB＝3t，∴S(t)＝12·OA·AB＝12t·3t＝32t2，∴S′(2)＝limΔt→0S(2＋Δt)－S(2)Δt＝limΔt→032(2＋Δt)2－23Δt＝2 3.15．若一物体运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s)s＝f(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧29＋3(t－3)2，0≤t<3，3t2＋2，t≥3.求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；(2)物体的初速度v0；(3)物体在t＝1时的瞬时速度．考点求瞬时速度题点用极限思想求瞬时速度解(1)因为物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，所以物体在t∈[3,5]内的平均速度为ΔsΔt＝482＝24 m/s.(2)求物体的初速度v 0，即求物体在t ＝0时的瞬时速度．因为物体在t ＝0附近位移的平均变化率为Δs Δt ＝f (0＋Δt )－f (0)Δt＝29＋3[(0＋Δt )－3]2－29－3(0－3)2Δt＝3Δt －18，所以物体在t ＝0处位移的瞬时变化率为lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0(3Δt －18)＝－18， 即物体的初速度v 0＝－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为物体在t ＝1处位移的瞬时变化率， 因为物体在t ＝1附近位移的平均变化率为Δs Δt ＝f (1＋Δt )－f (1)Δt＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3(1－3)2Δt＝3Δt －12， 所以物体在t ＝1处位移的瞬时变化率为lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0(3Δt －12)＝－12， 即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.。

§1.1.1 变化率问题§1.1.2 导数的概念[限时50分钟，满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1．质点运动规律s＝2t2＋5，则在时间(2，2＋Δt)中，相应的平均速度等于A．8＋2Δt B．8＋2Δt＋4ΔtC．4＋Δt D．8＋Δt解析Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝2(2＋Δt)2＋5－(2×22＋5)＝2(Δt)2＋8Δt.∴ΔsΔt＝2（Δt）2＋8ΔtΔt＝8＋2Δt.答案 A2．函数y＝x2－2x在x＝2附近的平均变化率是A．2 B．Δx C．Δx＋2 D．1 解析Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝(2＋Δx)2－2(2＋Δx)－(4－4)＝(Δx)2＋2Δx，∴ΔyΔx＝（Δx）2＋2ΔxΔx＝Δx＋2.答案 C3．设函数y＝f(x)可导，则f（1＋3Δx）－f（1）Δx等于A．f′(1) B．3f′(1)C.13f′(1) D．以上都不对解析f（1＋3Δx）－f（1）Δx＝3 f（1＋3Δx）－f（1）3Δx＝3f′(1)．答案 B4．一个物体的运动方程为s＝(2t＋1)2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么该物体在1秒末的瞬时速度是A．10米/秒B．8米/秒C ．12米/秒D ．6米/秒解析 ∵s ＝4t 2＋4t ＋1，Δs ＝[4(1＋Δt )2＋4(1＋Δt )＋1]－(4×12＋4×1＋1) ＝4(Δt )2＋12Δt ，Δs Δt ＝4（Δt ）2＋12Δt Δt ＝4Δt ＋12， ∴v ＝Δs Δt＝(4Δt ＋12)＝12(米/秒)．答案 C5．如果函数y ＝f (x )＝x 在点x ＝x 0处的瞬时变化率是33，那么x 0的值是 A.34 B.12 C ．1D ．3解析 函数f (x )＝x 在x ＝x 0处的瞬时变化率，f ′(x 0)＝x 0＋Δx －x 0Δx＝ΔxΔx （x 0＋Δx ＋x 0）＝12x 0＝33， ∴x 0＝34.答案 A6．某物体做直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋16t(t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它的瞬时速度为0米/秒的时刻为A ．8秒末B ．6秒末C ．4秒末D ．2秒末解析 设当t ＝t 0时该物体瞬时速度为0米/秒， ∵ΔsΔt ＝（t 0＋Δt ）2＋16t 0＋Δt －⎝ ⎛⎭⎪⎫t 20＋16t 0Δt ＝2t 0＋Δt －16（t 0＋Δt ）t 0，∴Δs Δt ＝2t 0－16t 20，由2t 0－16t 20＝0得t 0＝2.答案 D二、填空题(每小题5分，共15分)7．函数y ＝－3x 2＋6在区间[1，1＋Δx ]内的平均变化率是________． 解析 Δy Δx ＝[－3（1＋Δx ）2＋6]－（－3×12＋6）Δx＝－6Δx －3（Δx ）2Δx ＝－6－3Δx .答案 －6－3Δx8．一质点的运动方程为s ＝1t，则t ＝3时的瞬时速度为________．解析 由导数定义及导数的物理意义知s ′＝1t ＋Δt －1tΔt＝－Δt（t ＋Δt ）·t ·Δt＝－1t 2＋t ·Δt ＝－1t2，∴s ′ |t ＝3＝－19，即t ＝3时的瞬时速度为－19.答案 －199．已知曲线y ＝1x －1上两点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋Δx ，－12＋Δy ，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率为________．解析 Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋Δx －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝12＋Δx －12＝2－（2＋Δx ）2（2＋Δx ）＝－Δx2（2＋Δx ）. ∴Δy Δx ＝－Δx2（2＋Δx ）Δx ＝－12（2＋Δx ）， 即k ＝Δy Δx ＝－12（2＋Δx ）.∴当Δx ＝1时，k ＝－12×（2＋1）＝－16.答案 －16三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2.(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度； (3)求t ＝0到t ＝2的平均速度． 解析 (1)v 0＝s （Δt ）－s （0）Δt＝3Δt －（Δt ）2Δt＝(3－Δt )＝3.(2)v 2＝s （2＋Δt ）－s （2）Δt＝(－Δt －1)＝－1.(3)v －＝s （2）－s （0）2＝6－4－02＝1.11．(12分)已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，求适合f ′(x 0)＋2＝g ′(x 0)的x 0值． 解析 由导数的定义知，f ′(x 0)＝ΔfΔx ＝（x 0＋Δx ）2－x 2Δx ＝2x 0，g ′(x 0)＝Δg Δx＝（x 0＋Δx ）3－x 30Δx＝3x 20.因为f ′(x 0)＋2＝g ′(x 0)，所以2x 0＋2＝3x 20，即3x 20－2x 0－2＝0， 解得x 0＝1－73或x 0＝1＋73.12．(13分)节日期间燃放烟花是中国的传统习惯之一，制造时通常希望它在达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h (m)与时间t (s)之间的关系式为h (t )＝－4.9t 2＋14.7t ＋18，求烟花在t ＝2 s 时的瞬时速度，并解释烟花升空后的运动状况．解析 因为Δh Δt ＝h （t ＋Δt ）－h （t ）Δt ＝－9.8t －4.9Δt ＋14.7，所以h ′(t )＝ΔhΔt＝(－9.8t －4.9Δt ＋14.7)＝－9.8t ＋14.7， 所以h ′(2)＝－4.9，即在t ＝2 s 时烟花正以4.9 m/s 的速度下降．由h ′(t )＝0得t ＝1.5，所以在t ＝1.5 s 附近，烟花运动的瞬时速度几乎为0，此时达到最高点并爆裂，在1.5 s 之前，导数大于0且递减，所以烟花以越来越小的速度上升，在1.5 s 之后，导数小于0且绝对值越来越大，所以烟花以越来越大的速度下降，直至落地．。

1．1.1～1.1.2 变化率问题 导数的概念平均变化率假设下图是一座山的剖面示意图，建立如图所示的平面直角坐标系．A 是出发点，H 是山顶．爬山路线用函数y ＝f (x )表示．自变量x 表示某旅游者的水平位置，函数值y ＝f (x )表示此时旅游者所在的高度．设点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)．问题1：若旅游者从点A 爬到点B ，且这段山路是平直的，自变量x 和函数值y 的改变量Δx ，Δy 分别是多少？提示：自变量x 的改变量为Δx ＝x 2－x 1，函数值的改变量为Δy ＝y 2－y 1. 问题2：能否根据Δy 的大小判断山路的陡峭程度？ 提示：不能．问题3：怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？ 提示：对山坡AB 来说，Δy Δx ＝y 2－y 1x 2－x 1可以近似地刻画．问题4：能用ΔyΔx刻画山路陡峭程度的原因是什么？提示：因ΔyΔx 表示A ，B 两点所在直线的斜率k ，显然，“线段”所在直线的斜率越大，山路越陡．这就是说，竖直位移与水平位移之比ΔyΔx越大，山路越陡；反之，山路越缓．问题5：从A 到B 与从A 到C ，两者ΔyΔx 相同吗？提示：不相同．1．函数的平均变化率对于函数y ＝f (x )，给定自变量的两个值x 1和x 2，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)，我们把式子f x 2－f x 1x 2－x 1称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率．习惯上用Δx 表示x 2－x 1，即Δx ＝x 2－x 1，可把Δx 看作是相对于x 1 的一个“增量”，可用x 1＋Δx 代替x 2；类似地，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)．于是，平均变化率可表示为ΔyΔx.2．平均变化率的几何意义设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率Δy Δx＝f x 2－f x 1x 2－x 1＝f x 1＋Δx －f x 1Δx为割线AB 的斜率，如右图所示．对Δx ，Δy 的理解(1)Δx ，Δy 是一个整体符号，而不是Δ与x ，y 相乘．(2)x 1，x 2是定义域内不同的两点，因此Δx ≠0，但Δx 可正也可负；Δy ＝f (x 2)－f (x 1)是Δx ＝x 2－x 1相应的改变量，Δy 的值可正、可负，也可为零，因此平均变化率可正、可负，也可为零.导数的概念一质点的运动方程为s ＝8－3t 2，其中s 表示位移，t 表示时间． 问题1：试求质点在这段时间内的平均速度． 提示：Δs Δt ＝8－31＋Δt 2－8＋3×12Δt＝－6－3Δt .问题2：当Δt 趋近于0时，问题1中的平均速度趋近于何值？如何理解这一速度？ 提示：当Δt 趋近于0时，ΔsΔt趋近于－6.这时的平均速度即为t ＝1时的瞬时速度． 1．瞬时速度(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度：若物体运动的路程与时间的关系式是s ＝f (t )，当Δt 趋近于0时，函数f (t )在t 0到t 0＋Δt 之间的平均变化率f t 0＋Δt －f t 0Δt趋近于常数，我们就把这个常数叫做物体在t 0时刻的瞬时速度．2．导数的定义一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是li m Δx →0ΔyΔx＝li m Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x＝x 0，即f ′(x 0)＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 f x 0＋Δx －fx 0Δx.导数概念的解读(1)导数是一个局部概念，它只与函数y ＝f (x )在x ＝x 0处及其附近的函数值有关，与Δx 无关．(2)f ′(x 0)是一个常数，即当Δx →0时，存在一个常数与f x 0＋Δx －f x 0Δx无限接近．如果当Δx →0时，li m Δx →0 ΔyΔx不存在，则称函数f (x )在x ＝x 0处不可导．求函数的平均变化率(1)已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43D ．0.44(2)已知函数f (x )＝x ＋1x，分别计算f (x )在自变量x 从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．(1)选B Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝f (2.1)－f (2)＝2.12－22＝0.41. (2)自变量x 从1变到2时，函数f (x )的平均变化率为f 2－f 12－1＝2＋12－1＋11＝12； 自变量x 从3变到5时，函数f (x )的平均变化率为f5－f 35－3＝5＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋132＝1415.因为12＜1415，所以函数f (x )＝x ＋1x 在自变量x 从3变到5时函数值变化得较快．求函数平均变化率的步骤(1)求自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1； (2)求函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (3)求平均变化率Δy Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1.分别计算下面三个图象表示的函数h (t )在区间上的平均变化率．解：对于图①，Δh ＝h (3)－h (0)＝10－0＝10， ∴Δh Δt ＝103－0＝103，即平均变化率为103.同理可以算得图②、图③中函数h (t )在区间上的平均变化率均为103.求函数在某点处的导数(1)设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b(2)求函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数． (1)选C f ′(x 0)＝li m Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx＝li m Δx →0(a ＋b ·Δx )＝a . (2)由导数的定义知，函数在x ＝1处的导数f ′(1)＝li m Δx →0f 1＋Δx －f 1Δx，而f 1＋Δx －f 1Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1，又li m Δx →0 11＋Δx ＋1＝12，所以f ′(1)＝12.利用定义求导数的三步曲由导数的定义知，求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx＝fx 0＋Δx －f x 0Δx；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝li m Δx →0 ΔyΔx . 简认为：一差，二比，三趋近．求函数y ＝4x2 在x ＝2处的导数．解：∵Δy ＝4Δx ＋22－422 ＝4Δx ＋22－1＝－Δx 2＋4Δx Δx ＋22，∴Δy Δx ＝－Δx ＋4Δx ＋22.∴f ′(2)＝li m Δx →0 Δy Δx ＝－li m Δx →0 Δx ＋4Δx ＋22＝－1.瞬时速度的应用若一物体的运动方程为s ＝⎩⎪⎨⎪⎧29＋3t －32，0≤t ＜3，3t 2＋2，t ≥3，(路程单位：m ，时间单位：s)．求：(1)物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度； (2)物体在t ＝1 s 时的瞬时速度．(1)因为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48，Δt ＝2，所以物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)．(2)因为Δs ＝29＋32－29－3×(1－3)2＝3(Δt )2－12Δt ，所以Δs Δt＝3Δt2－12ΔtΔt＝3Δt －12，则物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为s ′(1)＝li m Δt →0 ΔsΔt ＝li m Δt →0 (3Δt －12)＝－12(m/s)．求瞬时速度的步骤(1)求位移增量，Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)；(2)求平均速度，v －＝ΔsΔt； (3)取极限，li m Δx →0 Δs Δt ＝li m Δt →0 s t 0＋Δt －st 0Δt ；(4)若极限存在，则t 0时刻的瞬时速度为v ＝lim Δt →0ΔsΔt.一质点按规律s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若该质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．解：因为Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝a (2＋Δt )2＋1－a ·22－1＝4a Δt ＋a (Δt )2，所以ΔsΔt＝4a ＋a Δt ，故在t ＝2 s 时，瞬时速度为s ′(2)＝li m Δt →0 Δs Δt＝4a (m/s)． 由题意知，4a ＝8，所以a ＝2.1.对导数的概念理解不透彻已知f (x )在x ＝x 0处的导数为4，则li m Δx →0 f x 0＋2Δx －f x 0Δx＝________.li m Δx →0f x 0＋2Δx －f x 0Δx＝li m Δx →0⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x 0＋2Δx －f x 02Δx ×2＝2li m Δx →0f x 0＋2Δx －f x 02Δx＝2f ′(x 0)＝2×4＝8. 81．本题分子中x 的增量是2Δx ，即(x 0＋2Δx )－x 0＝2Δx ，而分母为Δx ，两者不是等量的，如果忽视该点，则易得出结论为4的错误答案．2．在导数的概念中，增量的形式是多种多样的，但无论是哪种形式，分子中自变量的增量与分母中的增量必须保持一致，常见的形式还有：li m Δx →0f x 0－Δx －f x 0Δx＝－li m Δx →0f x 0－Δx －f x 0－Δx＝－f ′(x 0)．已知f ′(1)＝－2，则li m Δx →0 f 1－2Δx －f 1Δx＝________.解析：li m Δx →0f 1－2Δx －f 1Δx＝(－2)×li m Δx →0f 1－2Δx －f 1－2Δx＝(－2)×(－2)＝4. 答案：41．如果函数y ＝ax ＋b 在区间上的平均变化率为3，则a 的值为( ) A ．－3 B ．2 C ．3D ．－2解析：选C 根据平均变化率的定义， 可知Δy Δx＝2a ＋b －a ＋b2－1＝a ＝3.2．若f (x )在x ＝x 0处存在导数，则li m h →0 f x 0＋h －f x 0h( )A ．与x 0，h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．以上答案都不对解析：选B 由导数的定义知，函数在x ＝x 0处的导数只与x 0有关．3．已知函数y ＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及其邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy Δx 等于________．解析：Δy Δx＝21＋Δx 2－1－1Δx＝4＋2Δx .答案：4＋2Δx4．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2(t ≥0)，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么该物体在3秒末的瞬时速度是________．解析：∵Δs Δt＝s3＋Δt －s 3Δt＝Δt ＋5，li m Δt →0 (Δt ＋5)＝5， ∴该物体在3秒末的瞬时速度是5米/秒． 答案：5米/秒5．求y ＝x 2＋1x＋5在x ＝2处的导数．解：∵Δy ＝(2＋Δx )2＋12＋Δx ＋5－⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋12＋5＝4Δx ＋(Δx )2－Δx22＋Δx，∴Δy Δx ＝4＋Δx －14＋2Δx， ∴f ′(2)＝li m Δx →0 Δy Δx＝li m Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋Δx －14＋2Δx ＝4＋0－14＋2×0＝154.一、选择题1．在平均变化率的定义中，自变量的增量Δx 满足( ) A ．Δx ＜0 B ．Δx ＞0 C ．Δx ＝0 D ．Δx ≠0解析：选D 根据定义知Δx 可正、可负，但不能为0. 2．设f (x )＝1x，则f ′(a )等于( )A ．－1a B.2aC ．－1a2 D.1a2解析：选C ∵fa ＋Δx －f a Δx ＝1a ＋Δx －1a Δx＝－Δxa Δx a ＋Δx ＝－1aa ＋Δx ，∴f ′(a )＝li m Δx →0－1aa ＋Δx ＝－1a2.3．函数y ＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( )A ．k 1＞k 2B ．k 1＜k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定解析：选D k 1＝f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝x 0＋Δx 2－x 2Δx＝2x 0＋Δx ；k 2＝f x 0－f x 0－Δx Δx ＝x 20－x 0－Δx 2Δx＝2x 0－Δx .因为Δx 可正也可负，所以k 1与k 2的大小关系不确定．4．一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，若该质点在时间段内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度是( )A ．－3B ．3C ．6D ．－6解析：选D 当Δt 趋于0时，式子－3Δt －6趋于－6. 5．设函数在x ＝1处存在导数，则li m Δx →0 f 1＋Δx －f 13Δx等于( )A ．f ′(1) B．3f ′(1) C.13f ′(1) D．f ′(3) 解析：选C li m Δx →0 f 1＋Δx －f 13Δx＝13li m Δx →0 f 1＋Δx －f 1Δx ＝13f ′(1)．二、填空题6．在雨季潮汛期间，某水文观测员观察千岛湖水位的变化，在24 h 内发现水位从102.7 m 上涨到105.1 m ，则水位涨幅的平均变化率是________m/h.解析：水位涨幅的平均变化率为105.1－102.724＝0.1(m/h)．答案：0.17．已知曲线y ＝1x －1上两点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋Δx ，－12＋Δy ，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率为________．解析：∵Δx ＝1,2＋Δx ＝3，∴Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝13－12＝－16， ∴k AB ＝Δy Δx ＝－16.答案：－168．将半径为R 的球加热，若半径从R ＝1到R ＝m 时球的体积膨胀率(体积的变化量与半径的变化量之比)为28π3，则m 的值为________．解析：∵ΔV ＝4π3m 3－4π3×13＝4π3(m 3－1)，∴ΔV ΔR ＝4π3m 3－1m －1＝28π3， 即m 2＋m ＋1＝7，解得m ＝2或m ＝－3(舍去)． 答案：2 三、解答题9．已知函数f (x )＝13－8x ＋2x 2，且f ′(x 0)＝4，求x 0的值． 解：∵f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx＝li m Δx →0 [13－8x 0＋Δx ＋2x 0＋Δx2]－13－8x 0＋2x 2Δx＝li m Δx →0 －8Δx ＋22x 0Δx ＋2Δx2Δx＝li m Δx →0 (－8＋22x 0＋2Δx ) ＝－8＋22x 0， ∴－8＋22x 0＝4， ∴x 0＝3 2.10．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2(位移：m ；时间：s)． (1)求此物体的初速度．(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度． (3)求t ＝0到t ＝2时的平均速度． 解：(1)初速度v 0＝li m Δt →0 s Δt －s 0Δt＝li m Δt →0 3Δt －Δt 2Δt＝li m Δt →0(3－Δt )＝3(m/s)， 即物体的初速度为3 m/s. (2)v ＝li m Δt →0s 2＋Δt －s 2Δt＝li m Δt →0 32＋Δt －2＋Δt2－3×2－4Δt＝li mΔt →0－Δt 2－ΔtΔt＝li mΔt→0(－Δt－1)＝－1(m/s)，即此物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度相反．(3)v＝s2－s02－0＝6－4－02＝1(m/s)，即t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s.11。

湖北省松滋市高中数学第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.1.1 变化率问题1.1.2 导数的概念导学案新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（湖北省松滋市高中数学第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.1.1 变化率问题1.1.2 导数的概念导学案新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1。

1。

1 变化率问题 1。

1。

2 导数的概念【学习目标】1。

通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景。

2。

会求函数在某一点附近的平均变化率.3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数.重点难点重点：求函数在某点附近的平均变化率.难点：会求函数在某点处的导数。

易混点:准确理解平均变化率和瞬时变化率.【使用说明与学法指导】1。

课前用20分钟预习课本P2-6内容。

并完成书本上练习题及导学案上的问题导学.2。

独立思考，认真限时完成，规范书写。

课上小组合作探究,答疑解惑。

【问题导学】1．函数的变化率2．函数f（x)在x=x0处的导数函数y= f(x) 在x=x0处的称为函数y= f （x)在x=x 0处的导数，记作 ，即【合作探究】探究一 平均变化率的求法求2()21y f x x ==+在区间[]00,x x x +∆上的平均变化率，并求当011,2x x =∆=时平均变化率的值.解：探究二 函数变化率的应用已知正弦函数y=sinx ，求该函数在x=0和x=2π附近的平均变化率，比较平均变化率的大小,并说明其含义。