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线性规划化为标准型
线性规划化为标准型线性规划是一种数学优化方法，用于在给定约束条件下寻找最优解。
在实际应用中，线性规划问题往往需要转化为标准型，以便使用现有的优化算法进行求解。
本文将介绍线性规划如何转化为标准型，并给出详细的步骤和示例。
首先，让我们来看一个简单的线性规划问题：Maximize 3x + 5y。
Subject to:2x + y ≤ 20。
-4x + 5y ≥ 10。
x, y ≥ 0。
这是一个典型的线性规划问题，我们需要将其转化为标准型。
标准型的线性规划问题具有以下形式：Maximize c^T x。
Subject to:Ax = b。
x ≥ 0。
其中，c是一个n维向量，x是一个n维变量向量，A是一个m×n的矩阵，b 是一个m维向量。
转化为标准型的关键在于将所有的约束条件转化为等式，并引入松弛变量。
对于小于等于形式的约束条件，我们引入一个松弛变量，对于大于等于形式的约束条件，我们引入一个人工变量。
同时，我们将目标函数转化为标准的形式。
在上面的例子中，我们可以将第一个约束条件转化为等式，并引入一个松弛变量：2x + y + s1 = 20。
其中，s1 ≥ 0。
将第二个约束条件转化为等式，并引入一个人工变量：-4x + 5y s2 = 10。
其中，s2 ≥ 0。
然后，我们将目标函数转化为标准的形式：Maximize 3x + 5y + 0s1 + 0s2。
现在，我们的线性规划问题已经转化为标准型，具体形式如下：Maximize c^T x。
Subject to:Ax = b。
x ≥ 0。
其中，。
c = [3, 5, 0, 0]x = [x, y, s1, s2]A = [[2, 1, 1, 0],。
[-4, 5, 0, -1]]b = [20, 10]通过上面的转化过程，我们成功将原始的线性规划问题转化为标准型。
现在，我们可以使用标准的线性规划算法对其进行求解，得到最优解x，y，s1，s2。
这样，我们就可以得到原始线性规划问题的最优解了。
运筹学课后习题答案
第一章 线性规划1、由图可得：最优解为2、用图解法求解线性规划： Min z=2x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+-01058244212121x x x x x x解：由图可得：最优解x=1.6,y=6.4Max z=5x 1+6x 2⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-0,23222212121x x x x x x解：由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= +∞Maxz = 2x 1 +x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x由图可得：最大值⎪⎩⎪⎨⎧==+35121x x x ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧==2321x xmax Z = 8.1212125.max 23284164120,1,2maxZ .jZ x x x x x x x j =+⎧+≤⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥=⎩如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为26将线性规划模型化成标准形式：Min z=x 1-2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-=++-≥+-≤++无约束321321321321,0,052327x x x x x x x x x x x x解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中x 3’≥0,x 3’’≥0Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0,0,0'',0',0,05232'''7'''5433213215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x7将线性规划模型化为标准形式Min Z =x 1+2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-=--≥++-≤++无约束，321321321321,00632442392-x x x x x x x x x x x x解：令Z ’ = -z ，引进松弛变量x 4≥0,引进剩余变量x 5≥0,得到一下等价的标准形式。
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习题解答
1.2将线性规划问题化为标准形式
st.
解：令
则所求规划的标准形式为：
st.
1.4用单纯形法求解线性规划问题：
st.
解：将其化为标准形式为：
st.
设是线性规划问题的最优解。
若目标函数中用代替后，问题的最优解变为。
求证：。
证明：、在目标函数的系数变化之前之后都是问题的可行解，故有，即
（1）
同理即（2）
（1）+（2）
即
某饲养场饲养动物出售，设每头动物每天至少需要700克蛋白质、30克
矿物质、100毫克维
生素。
现有五种饲料可供选用，各种饲料每kg营养成分含量及单价如表
所示：
饲料蛋白质(g) 矿物质(g) 维生素(mg) 价格(元/kg)
1 3 1 0．5 0．2
2 2 0．5 1．0 0．7
3 1 0．2 0．2 0．4
4 6 2 2 0．3
5 18 0．5 0．8 0．8
要求确定既满足动物生长的营养需要，又使费用最省的选用饲料的方案。
（仅建模型）
解：设分别代表5种饲料的采购数，则模型为：
st.。
《运筹学》习题集
第一章线性规划1．1将下述线性规划问题化成标准形式1)min z＝－3x1＋4x2－2x3＋5 x4－x2＋2x3－x4＝－24xst. x1＋x2－x3＋2 x4 ≤14－2x1＋3x2＋x3－x4 ≥ 2x1，x2，x3≥0，x4无约束2)min z ＝2x1－2x2＋3x3＋x2＋x3＝4－xst. －2x1＋x2－x3≤6x1≤0 ，x2≥0，x3无约束1．2用图解法求解LP问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
1)min z＝2x1＋3x24x1＋6x2≥6st2x1＋2x2≥4x1，x2≥02)max z＝3x1＋2x22x1＋x2≤2st3x1＋4x2≥12x1，x2≥03)max z＝3x1＋5x26x1＋10x2≤120st5≤x1≤103≤x2≤84)max z＝5x1＋6x22x1－x2≥2st－2x1＋3x2≤2x1，x2≥01．3找出下述LP问题所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解（1）min z＝5x1－2x2＋3x3＋2x4x1＋2x2＋3x3＋4x4＝7st2x1＋2x2＋x3 ＋2x4＝3x1，x2，x3，x4≥01．4 分别用图解法与单纯形法求解下列LP 问题，并对照指出最优解所对应的顶点。
1) maxz ＝10x 1＋5x 23x 1＋4x 2≤9 st 5x 1＋2x 2≤8 x 1，x 2≥02) maxz ＝2x 1＋x 2 3x 1＋5x 2≤15 st 6x 1＋2x 2≤24x 1，x 2≥01．5 分别用大M 法与两阶段法求解下列LP 问题。
1) minz ＝2x 1＋3x 2＋x 3 x 1＋4x 2＋2x 3≥8 st 3x 1＋2x 2 ≥6x 1，x 2 ，x 3≥02) max z ＝4x 1＋5x 2＋ x 3. 3x 1＋2x 2＋ x 3≥18St. 2x 1＋ x 2 ≤4x 1＋ x 2－ x 3＝53) maxz ＝ 5x 1＋3x 2 +6x 3 x 1＋2x 2 －x 3 ≤ 18 st 2x 1＋x 2 －3 x 3 ≤ 16 x 1＋x 2 －x 3＝10 x 1，x 2 ，x 3≥01231231231231234)m ax 101512539561515.25,,0z x x x x x x x x x st x x x x x x =++++≤⎧⎪-++≤⎪⎨++≥⎪⎪≥⎩1．61.7某班有男生30人，女生20人，周日去植树。
运筹学教程（第二版）（胡运权）课后答案（清华大学出版社）
运筹学教程（第⼆版）（胡运权）课后答案（清华⼤学出版社）运筹学教程（第⼆版）习题解答第⼀章习题解答运筹学教程1.1 ⽤图解法求解下列线性规划问题。
并指出问题具有惟⼀最优解、⽆穷多最优解、⽆界解还是⽆可⾏解。
1 2x , x ≥ 0 ? ≤ 2 2 1 ? .? 2 x 1 - x 2 ≥ 2st- 2 x + 3x (4) max Z = 5 x 1 + 6 x 2≤ 82 5 ≤ x ? 1 ? 5 ≤ x ≤ 10 .?max Z = x 1 + x 26 x 1 + 10 x 2 ≤ 120st ?(3) 1 2 x , x ≥ 0 ? 2 1 ? ? ? 4 x 1 + 6 x 2 ≥ 6st .?2 x + 2 x ≥ 4 (1) min Z = 2 x 1 +3 x 21 2 ? ≥ 12 2 1 ? x , x ≥ 0 .? ?2 x 1 + x 2 ≤ 2st ?3x + 4 x (2) max Z = 3x 1 + 2 x 2x , x ≥ 0 1 2该问题⽆解≥ 12 2 1 ? ? 2 x 1 + x 2 ≤ 2st .?3 x +4 x ( 2 ) max Z = 3 x 1 + 2 x 2第⼀章习题解答3 2 1x = 1, x = 1, Z = 3是⼀个最优解⽆穷多最优解，1 2x , x ≥ 0 ? 2 1 ? ? ? 4 x 1 + 6 x 2 ≥ 6st .?2 x + 2 x ≥ 4 (1) min Z = 2 x 1 +3 x 2该问题有⽆界解1 2x , x ≥ 0 ? ≤ 2 2 1 ? .? 2 x 1 - x 2 ≥ 2st- 2 x + 3x (4) max Z = 5x 1 + 6 x 2第⼀章习题解答唯⼀最优解， x 1 = 10, x 2 = 6, Z = 16 ≤ 82 5 ≤ x ?1 ? 5 ≤ x ≤ 10 .?max Z = x 1 + x 26 x 1 + 10 x 2 ≤ 120st ?(3)第⼀章习题解答运筹学教程1.2 将下述线性规划问题化成标准形式。
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习题解答1.2将线性规划问题化为标准形式st.⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-+-=++-+-=0,0624322min 21321321321x x x x x x x x x x x z解：令,'11x x -='"3'33,z z x x x -=-= 则所求规划的标准形式为：st.⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥≥≥≥=++-+=+-++⋅+⋅-+-+=0,0,0,0,0,062403322max 54"3'32'15"3'32'14"3'32'154"3'32'1'x x x x x x x x x x x x x x x x x x M x x x x z1.4用单纯形法求解线性规划问题：st.⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤++=0,0825943510max 21212121x x x x x x x x z解：将其化为标准形式为：st.⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥≥=++=+++=0,0,0,08259532max 432142132121x x x x x x x x x x x x z用单纯形法求解的过程见下表故所求惟一最优解为：.2117max ,2,121===z x x10.1 设0X 是线性规划问题0,,max ≥==X b AX CX z 的最优解。
若目标函数中用*C 代替C 后，问题的最优解变为*X 。
求证：0))((0≥--**X X C C 。
证明：0X 、*X 在目标函数的系数变化之前之后都是问题的可行解，故有*≥CX CX 0，即0)(,0)(00≥--≥-**X X C X X C （1）同理,0X C X C ***≥ 即 0)(0≥-**X X C （2）（1）+（2）0)()(00≥---***X X C X X C 即 .0))((0≥--**X X C C13.1某饲养场饲养动物出售，设每头动物每天至少需要700克蛋白质、30克矿物质、100毫克维生素。
线性规划化为标准型
线性规划化为标准型线性规划是运筹学中的一种重要方法，用于在给定约束条件下寻找最优解。
而将线性规划问题转化为标准型是解决线性规划问题的第一步，本文将介绍线性规划如何转化为标准型。
首先，让我们来了解一下线性规划的基本形式。
线性规划问题通常包括一个目标函数和一组约束条件。
目标函数是需要最大化或最小化的线性函数，约束条件则是一组线性不等式或等式。
一般来说，线性规划问题可以表示为：Maximize (or Minimize) Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn。
Subject to:a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1。
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ b2。
...am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ bm。
xi ≥ 0，i = 1,2,...,n。
其中，c1,c2,...,cn为目标函数的系数，aij为约束条件的系数，bi为约束条件的右端常数，xi为决策变量。
接下来，我们将介绍如何将一般形式的线性规划问题转化为标准型。
标准型的线性规划问题具有以下形式：Maximize Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn。
Subject to:a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1。
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2。
...am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm。
xi ≥ 0，i = 1,2,...,n。
为了将一般形式的线性规划问题转化为标准型，我们需要进行如下步骤：1. 将不等式约束转化为等式约束。
对于每个不等式约束ai1x1 + ai2x2 + ... + ainxn ≤ bi，我们引入一个新的非负松弛变量si，使得不等式约束转化为等式约束，ai1x1 + ai2x2 + ... + ainxn + si = bi，si ≥ 0。
将以下线性规划问题转化为标准形式...
第二章 线性规划（LP ） §2.1 线性规划数学模型的建立LP 问题提出：苏联：康德洛维奇 1939 一、线性规划数学模型的三要素：1.决策变量(decision variable)：决策问题待定的量值。
用字母（例如X1,X2,···,Xn ）来表示可控制的因素。
每一组决策变量的实际值就表示一个具体方案。
2.目标函数（objective function ）：MaxZ=CX 或 MinZ=CX ；(衡量决策优劣的准则) 特点：（1）单一目标；（2）关于决策变量的线性函数。
（定义：课本P20）3.约束条件(constraint conditions)：s.t. (subject to) 受制于约束；AX ≤(≥，=)b 特点：若干关于决策变量的线性函数。
二、LP 数学模型的一般形式（1）繁写形式目标函数：Max （Min ）z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn 约束条件：a 11 x1 + a 12 x2 + … + a 1n xn ≤ （ =, ≥ ）b1 a 21 x1 + a 22 x2 + … + a 2n xn ≤ （ =, ≥ ）b2 s.t. …… …… a m1 x1 + a m2 x2 + … + a mn xn ≤ （ =, ≥ ）bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0 （2）向量形式目标函数：Max （Min ） z = CX≤(≥，=)bXj ≥ 0 (j=1,2, …,n)其中，C=(c1 , c2 , … , cn )(价值向量) X= (x1 , x2 , … , xn )T(决策变量向量) b=(b1 , b2 , … , bm )T (限定向量)pj= (a 1j ， a 2j … a mj ) T (约束条件系数列向量) 注：矩阵相乘条件：左列=右行 (3)矩阵形式★目标函数：Max （Min ） z = CX 约束条件：∑=nj jjx p1AX ≤（=, ≥）bX≥0其中，C=(c1 , c2 , … , cn )(价值向量)X= (x1 , x2 , … , xn )T(决策变量向量)b=(b1 , b2 , … , bm )T (限定向量、资源向量)a11 a12 (1)a21 a22 … a2n (系数矩阵)A= ……a m1 a m2 … a mn三、建模的一般步骤前提假设：假设模型中有n个决策变量，m个约束条件。
运筹学教程(第三版)习题答案(第一章)
page 13 14 March 2012
b 3/2 1
c x1 0 1 0
d x2 1 0 0
0 x3 5/14
0 x4 -3/4
-2/14 10/35 -5/14d+2/14c 3/14d-10/14c
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运筹学教程
第一章习题解答
之间时最优解为图中的A点 当c/d在3/10到5/2之间时最优解为图中的 点 ； 当 在 到 之间时最优解为图中的 c/d大于 且c大于等于 时最优解为图中的 点；当c/d 大于5/2且 大于等于 时最优解为图中的B点 大于等于0时最优解为图中的 大于 小于3/10且 d大于 时最优解为图中的 点 ； 当 c/d大于 大于0时最优解为图中的 小于 且 大于 时最优解为图中的C点 大于 5/2且c小于等于 时或当 小于 小于等于0时或当 小于3/10且d小于 时最优解 小于0时最优解 且 小于等于 时或当c/d小于 且 小于 为图中的原点。 为图中的原点。
page 7 14 March 2012
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运筹学教程
第一章习题解答
对下述线性规划问题找出所有基解， 1.3 对下述线性规划问题找出所有基解，指出哪 些是基可行解，并确定最优解。 些是基可行解，并确定最优解。
max Z = 3 x1 + x 2 + 2 x 3 12 x1 + 3 x 2 + 6 x 3 + 3 x 4 = 9 8 x + x − 4 x + 2 x = 10 1 2 3 5 st 3 x1 − x 6 = 0 x j ≥ 0（ j = 1, L , 6） ,
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b 3/2 1
c x1 0 1 0
d x2 1 0 0
0 x3 5/14
0 x4 -3/4
-2/14 10/35 -5/14d+2/14c 3/14d-10/14c
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第一章习题解答
之间时最优解为图中的A点 当c/d在3/10到5/2之间时最优解为图中的 点 ； 当 在 到 之间时最优解为图中的 c/d大于 且c大于等于 时最优解为图中的 点；当c/d 大于5/2且 大于等于 时最优解为图中的B点 大于等于0时最优解为图中的 大于 小于3/10且 d大于 时最优解为图中的 点 ； 当 c/d大于 大于0时最优解为图中的 小于 且 大于 时最优解为图中的C点 大于 5/2且c小于等于 时或当 小于 小于等于0时或当 小于3/10且d小于 时最优解 小于0时最优解 且 小于等于 时或当c/d小于 且 小于 为图中的原点。 为图中的原点。
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第一章习题解答
对下述线性规划问题找出所有基解， 1.3 对下述线性规划问题找出所有基解，指出哪 些是基可行解，并确定最优解。 些是基可行解，并确定最优解。
max Z = 3 x1 + x 2 + 2 x 3 12 x1 + 3 x 2 + 6 x 3 + 3 x 4 = 9 8 x + x − 4 x + 2 x = 10 1 2 3 5 st 3 x1 − x 6 = 0 x j ≥ 0（ j = 1, L , 6） ,
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《运筹学教程》第二章习题答案
《运筹学教程》第二章习题答案1、（1）解：引入松弛变量x4≥0,x5≥0,化不等式为等式为：minz=2X1 +3X2+4X3s.t. X1+3X2+2X3+X4=74X1+2X2+X5=9X1,X2,X4,X5≥0化自由变量为非负，令X3=X3′-X3〞，X3′，X3〞≥0 ：minz=2X1 +3X2+4X3′-4X3〞s.t. X1+3X2+2 X3′-2 X3〞+X4=74X1+2X2+X5=9X1,X2, X3′，X3〞，X4,X5 ≥0(2)解：引入松弛变量x5≥0,剩余变量X6≥0，化不等式为等式为：maxz=X1 -5X2+4X3- X4s.t. X1+2X3+X5=7X2-2X4-X6=9X1,X2，X4,X5 ，X6≥0化自由变量为非负，令X3=X3′-X3〞，X3′，X3〞≥0 ：maxz=X1 -5X2+4X3′-4X3〞- X4s.t. X1+2 X3′-2 X3〞+X5=7X2-2X4-X6=9X1,X2, X3′，X3〞，X4,X5 , X6≥0化极大的目标函数为极小的目标函数：minz=-X1+5X2-4X3′+4X3〞+X4s.t. X1+2 X3′-2 X3〞+X5=7X2-2X4-X6=9X1,X2, X3′，X3〞，X4,X5 , X6≥02、(1)是不等式表示下图阴影区域，过阴影部分任意两点的直线仍在该区域内。
(2)不是不等式表示下图阴影区域，过阴影部分且通过曲线上部的直线上的点不完全在该区域内。
(3)不是 不等式表示下图阴影区域，过阴影部分且通过圆内部的直线上的点不完全在该区域内。
3、在以下问题中，指出一组基础变量，求出所有基础可行解以及最优解。
（1）123123123123m ax 2..2644,,0z x x x s t x x x x x x x x x =+-⎫⎪++≤⎪⎬+-≤⎪⎪≥⎭解：将上式化成标准形式，如下：1231234123512345m in 2..2644,,,,0p x x x s t x x x x x x x x x x x x x =--+⎫⎪+++=⎪⎬+-+=⎪⎪≥⎭从上式中可以得出系数矩阵为[]12345112101411A P P P P P ⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦， 取基础变量为45,x x ，令非基变量123,,x x x =0，解方程组123412352644x x x x x x x x +++=+-+=得基础可行解(1)(0,0,0,6,4)T x =同理得基础解：(2)(0,6,0,0,20)T x =-，(3)(0,0,3,0,7)T x =，(4)(0,0,4,24,0)T x =-，(5)(0,1,0,5,0)Tx =，(6)1420(0,,,0,0)99Tx =，(7)(6,0,0,0,2)T x =-，(8)(4,0,0,2,0)Tx=，(9)202(,,0,0,0)33Tx =-，(10)142(,0,,0,0)33Tx =。
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湖南省衡阳县2018-2019学年高一上学期期末质量检测数学试题）（解析版）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.已知集合A={x|x<1}，B={x|3x<1}，则()A. A∩B={x|x<0}B. A∪B=RC. A∪B={x|x>1}D. A∩B=⌀【答案】A【解析】解：∵集合A={x|x<1}，B={x|3x<1}={x|x<0}，∴A∩B={x|x<0}，故A正确，D错误；A∪B={x|x<1}，故B和C都错误．故选：A．先分别求出集合A和B，再求出A∩B和A∪B，由此能求出结果．本题考查交集和并集求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用．2.下列四组函数，表示同一函数的是()A. f(x)=x2，g(x)=xB. f(x)=x，g(x)=x2xC. f(x)=x2−4，g(x)=x−2⋅x+2D. f(x)=x，g(x)=3x3【答案】D【解析】解：A.f(x)=x2=|x|，g(x)=x，所以两个函数的对应法则不一致，所以A不是同一函数．B.f(x)的定义域为R，而g(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，所以定义域不同，所以B 不是同一函数．C.由x2−4≥0，解得x≥2或x≤−2，由x+2≥0x−2≥0，解得x≥2，两个函数的定义域不一致，所以C不是同一函数．D.f(x)的定义域为R，而g(x)的定义域为R，且g(x)=3x3=x，所以定义域和对应法则相同，所以D是同一函数．故选：D．分别判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．3.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递増的函数为()A. y=1xB. y=lnxC. y=x3D. y=x2【答案】C【解析】解：由于y=1x在区间(0,+∞)上单调递减，故排除A；由于y=lnx不是奇函数，故排除B；由于y=x3既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递増，故它满足条件；由于y=x2是偶函数，不是奇函数，故排除D，故选：C．由题意利用函数的奇偶性和单调性，得出结论．本题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题．4.如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是()A. 如图是棱台B. 如图是圆台C. 如图是棱锥D. 如图不是棱柱【答案】C【解析】解：对于学习A，不是由棱锥截来的，所以A不是棱台，故A错误；对于学习B，上、下两个面不平行，所以不是圆台；对于学习C，是棱锥．对于学习D，前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以D是棱柱．故选：C．利用几何体的结构特征进行分析判断．本题考查几何体的结构特征，解题时要认真审题，注意熟练掌握几何体的基本概念和性质．5.函数y=loga(x+2)+1的图象过定点()A. (1,2)B. (2,1)C. (−2,1)D. (−1,1)【答案】D【解析】解：由函数图象的平移公式，我们可得：将函数y=logax(a>0,a≠1)的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，即可得到函数y=loga(x+2)+1(a>0,a≠1)的图象．又∵函数y=logax(a>0,a≠1)的图象恒过(1,0)点，由平移向量公式，易得函数y=loga(x+2)+1(a>0,a≠1)的图象恒过(−1,1)点，故选：D．由对数函数恒过定点(1,0)，再根据函数平移变换的公式，结合平移向量公式即可得到到正确结论．本题考查对数函数的单调性与特殊点，记住结论：函数y=loga(x+m)+n(a>0,a≠1)的图象恒过(1−m,n)点6.经过点(−1,0)，且与直线x+2y−3=0垂直的直线方程是()A. 2x−y+2=0B. 2x+y+2=0C. 2x−y−2=0D. x−2y+1=0【答案】A【解析】解：∵直线x+2y−3=0的斜率为−12，∴与之垂直的直线斜率为2，∴所求直线方程为y−0=2(x+1)，化为一般式可得2x−y+2=0故选：A．由垂直关系可得直线的斜率，进而可得点斜式方程，化为一般式即可．第2页，共9页本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．7.在四面体P−ABC的四个面中，是直角三角形的面至多有()个．A. 0个B. 1个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】解：如图，PA⊥底面ABC，△ABC是∠ABC为直角的直角三角形，则四面体P−ABC的四个面中，是直角三角形的面最多，有4个．故选：D．由题意画出图形得答案．本题考查棱锥的结构特征，正确画出图形是关键，是中档题．8.直线x−3y+1=0的倾斜角为()A. π3B. π6C. 2π3D. 5π6【答案】B【解析】解：直线x−3y+1=0的斜率为k=33，设倾斜角为α，可得tanα=33，由0≤α<π，且α≠π2，可得α=π6，故选：B．求出直线的斜率，由直线的倾斜角与斜率的关系，计算即可得到所求值．本题考查直线的斜率和倾斜角的关系，考查运算能力，属于基础题．9.函数f(x)=ln(x2+1)的图象大致是()A. B.C. D.【答案】A【解析】解：∵x2+1≥1，又y=lnx在(0,+∞)单调递增，∴y=ln(x2+1)≥ln1=0，∴函数的图象应在x轴的上方，又f(0)=ln(0+1)=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A符合．故选：A．∵x2+1≥1，又y=lnx在(0,+∞)单调递增，∴y=ln(x2+1)≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，在令x取特殊值，选出答案．对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．10.已知函数f(x)是R上的奇函数，且满足f(x+2)=−f(x)，当x∈(0,1]时，f(x)=2x−1，则方程f(x)=log7|x−2|解的个数是()A. 8B. 7C. 6D. 5【答案】B【解析】解：函数f(x)是R上的奇函数，f(0)=0，由f(x+2)=−f(x)，可得f(x+4)=f(x)，∴f(x)的周期T=4．作出在同一坐标系中画y=2x−1和y=log7|x−2|图象，从图象不难看出，其交点个数7个，故选：B．根据函数f(x)是R上的奇函数，f(0)=0，且满足f(x+2)=−f(x)，求解f(x)的周期T=4，当x∈(0,1]时，f(x)=2x−1，作出图象，f(x)=log7|x−2|解的个数，即为2x−1=log7|x−2|图象的交点个数.数形结合可得答案．本题考查了指数和对数的图象画法和交点个数问题.属于基础题．二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11.已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,2)，则这个函数解析式为______．【答案】y=x12(x≥0)【解析】解：设f(x)=xα，∵幂函数y=f(x)的图象过点(2,2)，∴2α=2∴α=12．这个函数解析式为y=x12(x≥0)．故答案为：y=x12(x≥0)．根据幂函数的概念设f(x)=xα，将点的坐标代入即可求得α值，从而求得函数解析式．本题主要考查了待定系数法求幂函数解析式、指数方程的解法等知识，属于基础题．12.已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线AB1与DD1所成的角是______，【答案】45∘第4页，共9页【解析】解：∵BB1//DD1，∴∠BB1A是直线AB1与DD1所成的角，∵AB⊥BB1，AB=BB1，∴∠AB1B=45∘，∴直线AB1与DD1所成的角是45∘．故答案为：45∘．由BB1//DD1，得∠BB1A是直线AB1与DD1所成的角，由此能求出直线AB1与DD1所成的角．本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.已知△ABC的三个顶点A(1,3)，B(3,1)，C(−1,0)，则△ABC的面积为______．【答案】5【解析】解：由A(1,3)，B(3,1)，设AB的直线方程为y=kx+b，则1=3k+b3=k+b，解得：k=−1，b=4．AB的直线方程为x+y−4=0．C(−1,0)到直线AB的距离h=|−1−4|2=52．AB的距离d=(3−1)2+(3−1)2=22．则△ABC的面积S=12×52×22=5．故答案为：5．根据A(1,3)，B(3,1)，求出AB的直线方程，和AB的距离，利用点到直线的距离就是AB为底的高，即可得△ABC的面积．本题此解法用了点与直线的性质，两点之间的距离公式.属于基础题．14.已知一个正方形的所有项点在一个球面上，若这个正方体的表面积为24，则这个球的表面积为______，【答案】12π【解析】解：设正方体的棱长为a，球的半径为R，则正方体的表面积为6a2=24，得a=2，所以，2R=3a=23，则R=3，因此，这个球的表面积为4πR2=12π．故答案为：12π．先由正方体的表面积计算出正方体的棱长a，然后利用2R=3a求出球体的半径R，最后利用球体的表面积公式可得出答案．本题考查球体的表面积的计算，解本题的关键在于弄清楚正方体的外接球的半径为棱长之间的关系，考查了计算能力，属于中等题．15.已知函数f(x)=2x−1，若x∈[2,6]，则该函数的最大值为______．【答案】2【解析】解：画出函数f(x)的图象，如图示：，∴函数f(x)在[2,6]递减，∴函数f(x)最大值=f(2)=2，故答案为：2．先求出函数的图象，得到函数的单调性，从而求出函数的最大值．本题考查了函数的单调性问题，考查了函数的最值问题，是一道基础题．三、解答题（本大题共6小题，共50.0分）16.计算下列各式的值(1)(827)−13−(π−1)0+214(2)log327+lg25−lg4．【答案】解：(1)原式=(23)3×(−13)−1+(32)2=32−1+32=2．(2)原式=log3332+lg25×4=32−1=12．【解析】(1)利用指数运算法则即可得出；(2)利用对数的运算法则即可得出．本题考查了指数与对数运算法则，属于基础题．17.已知直线l1：x+2y+1=0，l2：−2x+y+2=0，它们相交于点A．(1)判断直线l1和l2是否垂直？请给出理由；(2)求过点A且与直线l3：3x+y+4=0平行的直线方程．【答案】解：(1)直线l1的斜率k1=−12，直线l2的斜率k2=2，∵k1k2=−12×2=−1∴l1⊥l2(2)由方程组−2x+y+2=0x+2y+1=0解得点A坐标为(35,−45)，直线l3的斜率为−3，所求直线方程为：y−(−45)=−3(x−35)化为一般式得：3x+y−1=0．【解析】(1)先求出两直线的斜率，发现斜率之积等于−1，故可得两直线垂直．(2)先求出交点A的坐标，再根据斜率等于直线l3的斜率，点斜式写出直线的方程，并化为一般式．本题考查判断两直线垂直的方法，当两直线平行时，它们的斜率间的关系；用点斜式求直线方程．18.已知函数f(x)=x2−2|x|−3．(1)作出函数f(x)的大致图象，并根据图象写出函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在[−2,4]上的最大值与最小值．【答案】解：(1)f(x)=x2−2|x|−3=x2+2x−3,x<0x2−2x−3,x≥0．图象如图：第6页，共9页由图象知函数的单调减区间是(−∞,−1]，(0,1]．单调增区间是(−1,0]，(1,+∞)；(2)结合图象可知最小值为f(1)=f(−1)=−4，最大值为f(4)=5．【解析】(1)写出分段函数解析式，结合二次函数的图象作图，由图象得函数的单调区间；(2)直接由图象得到函数f(x)在[−2,4]上的最大值与最小值．本题考查了分段函数的图象，考查了由图象判断函数的单调性，并由函数单调性求函数的最值，是基础题．19.直线l过点(−1,0)，圆C的圆心为C(2,0)．(Ⅰ)若圆C的半径为2，直线l截圆C所得的弦长也为2，求直线l的方程；(Ⅱ)若直线l的斜率为1，且直线l与圆C相切；若圆C的方程．【答案】解：(Ⅰ)设直线l的方程为y=k(x+1)，则∵圆C的半径为2，直线l截圆C所得的弦长为2，∴圆心到直线l的距离为3，即|3k|k2+1=3，解得k=±22，即直线l的方程为y═±22(x+1)；(Ⅱ)∵直线l的斜率为1，∴直线l的方程为y=x+1，∵直线l与圆C相切，∴r=31+1=322，∴圆C的方程为(x−2)2+y2=92．【解析】(Ⅰ)设直线l的方程为y=k(x+1)，根据圆C的半径为2，直线l截圆C所得的弦长为2，利用点到直线的距离公式，建立方程，即可求直线l的方程；(Ⅱ)根据直线l与圆C相切，利用点到直线的距离公式，可得圆C的半径r，从而可得圆C的方程．本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查圆的性质，属于中档题．20.四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥面ABCD垂足为点A，PA=AB=4，点M是PD的中点(1)求证：PB//平面ACM(2)求证：BD⊥平面PAC：(3)求四面体A−MBC的体积．∵点O，M分别是BD，PD的中点，∴MO//PB．又PB⊄面ACM，MO⊂面ACM，∴PB//面ACM…(3分)(2)∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD，∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又∵PA∩AC=A，∴BD⊥面PAC…(6分)(3)∵VA−MBC=VM−ABC=13⋅S△ABC⋅h，且h=12PA，∴VA−MBC=13⋅(12⋅AB⋅AD)⋅(12⋅PA)=23…(9分)【解析】(1)连接AC，BD，记AC与BD的交点为O，连接MO.证明MO//PB，然后证明PB//面ACM．(2)证明PA⊥BD，AC⊥BD，然后证明BD⊥面PAC．(3)通过VA−MBC=VM−ABC=13⋅S△ABC⋅h，然后求解即可．本题考查直线与平面垂直以及直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的他就的求法，考查计算能力．21.已知f(x)是定义在[−1,1]上的奇函数，且f(1)=1，若a，b∈[−1,1]，a+b≠0时，有f(a)+f(b)a+b>0成立．(1)判断f(x)在[−1,1]上的单调性(2)解不等式f(log2(x+2))≤f(12)(3)若f(x)≤m2−2am+11对所有的a∈[−1,1]恒成立，求实数m的取值范围．【答案】解：(1)f(x)在[−1,1]上单调递增…(1分)任取x1，x2∈[−1,1]，且x1<x2，则−x2∈[−1,1]．∵f(x)为奇函数，∴f(x1)−f(x2)=f(x1)+f(−x2)=f(x1)+f(−x2)x1+(−x2)⋅(x1−x2).由已知得f(x1)+f(−x2)x1+(−x2)>0，又x1−x2<0，∴f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在[−1,1]上单调递增…(3分)(2)不等式f(log2(x+2))≤f(12)，由(1)可得：−1≤log2(x+2)≤1log2(x+2)≤12，解得12−2≤x≤0，不等式的解集为：{x|12−2≤x≤0}…(5分)(3)∵f(1)=1，且f(x)在[−1,1]上单调递增，∴在[−1,1]上，f(x)≤1．问题转化为m2−2am+1≥1，即m2−2am≥0，对a∈[−1,1]成立…(6分)第8页，共9页设g(a)=−2m⋅a+m2，①若m=0，则g(a)=0≥0，对a∈[−1,1]恒成立②若m≠0，则g(a)为关于a的一次函数，若g(a)≥0对a∈[−1,1]恒成立，必须有g(−1)≥0，且g(1)≥0，即m2−2m≥0m2+2m≥0，结合相应各函数图象，得m≤−2或m≥2…(8分)综上所述，实数m的取值范围是(−∞,−2]∪{0}∪[2,+∞)…(9分)【解析】(1)利用函数的单调性的定义以及函数的奇偶性，判断证明即可．(2)利用函数的单调性以及函数的定义域，列出不等式组，求解即可．(3))通过f(1)=1，且f(x)在[−1,1]上单调递增，问题转化为m2−2am+1≥1，即m2−2am≥0，对a∈[−1,1]成立，设g(a)=−2m⋅a+m2，通过①若m=0，②若m≠0，若g(a)≥0对a∈[−1,1]恒成立，列出不等式组求解即可．本题考查函数恒成立体积的应用，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力．。