【二轮推荐】三维设计2013年高考数学(理)二轮复习 专题一 山东详解答案 阶段一(理)专题二 第一节

2013年山东高考数学理试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）复数z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为( ) A. 2+i B.2-i C. 5+i D.5-i 【答案】D【解析】由(z-3)(2-i)=5，得55(2)5(2)3332352(2)(2)5i i z i i i i i ++=+=+=+=++=+--+，所以5z i =-，选D.（2）设集合A={0,1,2},则集合B={x-y |x ∈A, y ∈A }中元素的个数是( )A. 1B. 3C. 5D.9【答案】C【解析】因为,x y A ∈,所以2,1,0,1,2x y -=--，即{2,1,0,1,2}B =--,有5个元素，选C.（3）已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时, f(x) =x 2+1x,则f(-1)= ( ) （A ）-2 （B ）0 （C ）1 （D ）2 【答案】A【解析】因为函数为奇函数，所以(1)(1)(11)2f f -=-=-+=-，选A.（4）已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直,体积为94,底面积是边长为 3的正三角形，若P为底面A 1B 1C 1的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为 ( )（A ）512π （B ）3π （C ） 4π （D ） 6π 【答案】B【解析】取正三角形ABC 的中心，连结OP ,则PAO ∠是PA 与平面ABC 所成的角。

因为底面边长为3，所以33322AD =⨯=,2231332AO AD ==⨯=.三棱柱的体积为21139(3)224AA ⨯⨯=,解得13AA =，即13OP AA ==,所以tan 3OPPAO OA ∠==，即3PAO π∠=，选B.（5）将函数y=sin （2x +ϕ）的图像沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图像，则ϕ的一个可能取值为（A ）34π （B ） 4π （C ）0 （D ） 4π- 【答案】B【解析】将函数y=sin （2x +ϕ）的图像沿x 轴向左平移8π个单位，得到函数sin[2()]sin(2)84y x xππϕϕ=++=++，因为此时函数为偶函数，所以,42k k Zππϕπ+=+∈，即,4k k Zπϕπ=+∈，所以选B.（6）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组：2x y20x2y103x y80--≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（A）2 （B）1 （C）13-（D）12-【答案】 C【解析】作出可行域如图，由图象可知当M位于点D处时，OM的斜率最小。

【二轮推荐】三维设计2013年高考数学(理)二轮复习专题二三角函数与平面向量三角函数与平面向量主要包括三部分内容——三角函数、平面向量、解三角形，复习这三部分内容应牢牢把握三个点：“角”、“关系”与“运算”，这三个点串成了该部分知识复习的主线．线索一“角”，是三角函数复习线索的中心，该部分知识的复习要围绕“角”这个中心，抓住四个基本点：三角函数的定义、同角三角函数的基本关系与诱导公式、三角函数的图像与性质、三角恒等变换．(1)任意角的三角函数的定义揭示了三角函数值与坐标之间的关系，要明确三角函数各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．三角函数定义是推导同角三角函数关系的基础；(2)同角三角函数的基本关系和诱导公式是求解三角函数值、对三角函数式进行化简求值的基础，注意角的范围对三角函数值符号的影响，诱导公式要准确记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，化简时要遵循“负变正，钝变锐”的原则，把角化归到锐角范围内进行研究；(3)三角函数的图像与性质是三角函数的重点，准确把握三角函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、最值等是解决图像问题的关键，如处理三角函数图像平移问题可借助对应两个函数图像的关键点确定平移的单位和方向；根据函数图像写解析式时，要遵循“定最值求A，定周期求ω，定最值点求φ”的基本思路；(4)角的变化是三角恒等变换的关键，熟练记忆和角、差角、倍角的三角函数公式，这是三角函数化简求值的基础，三角函数综合问题的求解都需要先利用这些公式把三角函数解析式化成“一角一函数”的形式，进而研究三角函数的图像与性质，这些公式是联系三角函数各个部分的纽带．线索二三角形中的“边角关系”，这是解三角形问题的核心，主要涉及正弦定理、余弦定理及解三角形的实际应用问题．(1)正弦定理、余弦定理是实现三角形中边角互化的依据，应注意定理的灵活变形，如a ＝2Rsin A ，sin A ＝a2R (其中2R 为三角形外接圆的直径)，a2＋b2－c2＝2abcos C 等，灵活根据条件求解三角形中的边与角；(2)三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“内角和等于π”和诱导公式可得到sin(A ＋B)＝sin C ，sin A ＋B 2＝cos C2等；利用“大边对大角”可以排除解三角形中的增解问题等；(3)测量问题是解三角形在实际应用中的主要内容，解决问题的关键是把要测量的问题归入到相应的三角形中，然后利用正、余弦定理求解相应的边角．线索三平面向量的“基本运算”，这是平面向量中的重点，主要包括线性运算、数量积运算以及坐标运算．(1)正确理解平面向量的基本概念和基本定理是实施平面向量基本运算的基础，如利用相反向量可把向量的减法转化为向量的加法；(2)平面向量的线性运算主要包括加减运算和数乘运算，正确把握三角形法则和多边形法则，准确理解数与向量乘法的定义，这是解决向量共线问题的基础，如“a ∥b ”的必要不充分条件是“存在实数t ，使得b ＝ta ”，因为若a ＝0，b ≠0，虽然有a ∥b ，但实数t 不存在； (3)数量积是平面向量中的一种重要运算，坐标运算是平面向量的核心知识，涉及夹角、距离等的基本运算，是历年高考命题的重点，要准确记忆相关公式；(4)平面向量多作为解决问题的工具或者通过运算作为条件出现，常与三角函数、解三角形以及平面解析几何等问题相结合，在复习中要重视向量在解决此类问题时的应用．第一节三角函数的图像与性质1．巧记六组诱导公式对于“k π2±α，k ∈Z 的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限．3．识破三角函数的两种常见变换(1)y ＝sin x ――――――――→向左 φ>0 或向右 φ<0平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ) ――――――――→横坐标变为原来的1 ω倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ) ―――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)．(2)y ＝sin x ―――――――→横坐标变为原来的1ω倍纵坐标不变y ＝sin ωx――――――――→向左 φ>0 或向右 φ<0 平移|φω|个单位y ＝sin(ωx ＋φ) ―――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)．[考情分析] 高考对本部分内容的考查，一般主要是小题，即利用三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的关系进行求值、变形，或是利用三角函数的图像及其性质进行求值、参数、值域、单调区间及图像判断等，而大题常常在综合性问题中涉及三角函数的定义、图像、诱导公式及同角三角函数关系的应用等．[例1] 已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.π4 B.3π4 C.5π4D.7π4[思路点拨] 由三角函数定义求出tan θ值，再由θ的范围，即可求得θ的值． [解析] tan θ＝cos 34πsin 34π＝－cos π4sin π4＝－1， 又sin 3π4>0，cos 3π4<0，所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝7π4.[答案] D[类题通法]1．用三角函数定义求三角函数值有时反而更简单；2．同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用，应注意正确选择公式、注意公式的应用条件． [冲关集训]1．(2012·辽宁高考)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22C.22D ．1 解析：选A 由sin α－cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝2，α∈(0，π)，解得α＝3π4，所以tan α＝tan 3π4＝－1.2．已知α∈(－π，0)，tan(3π＋α)＝a 1log 3a(a>0，且a ≠1)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α的值为( ) A.1010 B ．－1010C.31010D ．－31010解析：选B 由题意可知tan(3π＋α)＝13，所以tan α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α. ∵α∈(－π，0)，∴sin α＝－1010. [考情分析] 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)图像的平移和伸缩变换以及根据图像确定A 、ω、φ问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中低档，主要考查识图、用图能力，同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力．[例2] (2012·陕西高考)函数f(x)＝Asin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f ⎝⎛⎭⎫α2＝2，求α的值．[思路点拨] (1)利用最值求出A 的值．再利用函数图像相邻两条对称轴之间的距离求出周期，从而得出ω＝2，进而得解；(2)结合已知条件得出关于角α的某一个三角函数值，再根据α的范围易求得α的值．[解] (1)∵函数f(x)的最大值为3， ∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π.∴ω＝2.∴函数f(x)的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1.(2)∵f ⎝⎛⎭⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＋1＝2，∴sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝12. ∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3.∴α－π6＝π6，∴α＝π3.[类题通法]1．确定函数y ＝Asin(ωx ＋φ)＋B 解析式的方法(1)给出y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像，求解析式，常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图像的升降找准第一个零点的位置． (2)给出y ＝Asin(ωx ＋φ)＋B 的图像求解析式，参数A ，B ， A ＝最大值－最小值2，B ＝最大值＋最小值2；2．函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像变换的技巧及注意事项(1)函数图像的平移变换规则是“左加右减”．(2)在变换过程中务必分清先相位变换，还是先周期变换．(3)变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向． [冲关集训]3．(2012·济南一模)将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的图像上各点横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位，所得函数图像的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π6C ．x ＝πD ．x ＝π2解析：选D y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3―――――――――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3――――――→向左平移π6个单位y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π3，即y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4.因为当x ＝π2时，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π2－π4＝1，所以对称轴可以是x ＝π2. 4．(2012·天津高考)将函数f(x)＝sin ωx(其中ω>0)的图像向右平移π4个单位长度，所得图像经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，则ω的最小值是( )A.13 B ．1 C.53D ．2 解析：选D 将函数f(x)＝sin ωx 的图像向右平移π4个单位长度，得到的图像对应的函数解析式为f(x)＝sin ω(x －π4)＝sin(ωx －ωπ4)．又因为函数图像过点(3π4，0)，所以sin(3ωπ4－ωπ4)＝sin ωπ2＝0，所以ωπ2＝k π，即ω＝2k(k ∈Z)，因为ω>0，所以ω的最小值为2. 5．(2012·衡水模拟)若函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图像如图所示，M ，N 分别是这段图像的最高点与最低点，且OM ·ON＝0，则A ·ω＝( ) A.π6 B.7π12 C.7π6 D.7π3解析：选C 由题中图像知T 4＝π3－π12，所以T ＝π，所以ω＝2.则M ⎝⎛⎭⎫π12，A ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－A ， 由OM ·ON＝0，得7π2122＝A2，所以A ＝7π12，所以A ·ω＝7π6. [考情分析] 三角函数的周期性、单调性、最值等是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度属中低档；常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数方程、转化化归等思想方法． [例3] (2012·北京高考)已知函数f(x)＝ sin x －cos x sin 2xsin x .(1)求f(x)的定义域及最小正周期； (2)求f(x)的单调递增区间．[思路点拨] 先化简函数解析式，再求函数的性质． [解] (1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z)， 故f(x)的定义域为{x ∈R|x ≠k π，k ∈Z}． 因为f(x)＝ sin x －cos x sin 2xsin x＝2cos x(sin x －cos x) ＝sin 2x －cos 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－1， 所以f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为 ⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z)．由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，x ≠k π(k ∈Z)，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，x ≠k π(k ∈Z)．所以f(x)的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π－π8，k π和⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋3π8(k ∈Z)．[类题通法]函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝Asin(ωx ＋φ)＋B 的形式；第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝Asin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题． [冲关集训]6．(2012·石家庄模拟)下列函数中，周期为π且在⎣⎡⎦⎤0，π2上是减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4C ．y ＝sin 2xD ．y ＝cos 2x解析：选D 因为y ＝cos 2x 的周期T ＝2π2＝π，而2x ∈[0，π]，所以y ＝cos 2x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上为减函数．7．(2012·山东高考)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析：选A 当0≤x ≤9时，－π3≤πx 6－π3≤7π6，－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3≤1，所以函数的最大值为2，最小值为－3，其和为2－ 3.8．(2012·广州调研)已知函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2(x ∈R)，给出下面四个命题：①函数f(x)的最小正周期为π；②函数f(x)是偶函数；③函数f(x)的图像关于直线x ＝π4对称；④函数f(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2＝－cos 2x ，则其最小正周期为π，故①正确；易知函数f(x)是偶函数，②正确；由f(x)＝－cos 2x 的图像可知，函数f(x)的图像关于直线x＝π4不对称，③错误；由f(x)的图像易知函数f(x)在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，故④正确． 9．设函数f(x)＝sin ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，x ∈R. (1)若ω＝12，求f(x)的最大值及相应的x 的集合；(2)若x ＝π8是f(x)的一个零点，且0<ω<10，求f(x)的单调递增区间．解：(1)f(x)＝sin ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2＝sin ωx －cos ωx ，当ω＝12时，f(x)＝sin x 2－cos x 2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4， 又－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4≤1，所以f(x)的最大值为2，此时，x 2－π4＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝3π2＋4k π，k ∈Z ，相应的x 的集合为{x|x ＝3π2＋4k π，k ∈Z}．(2)法一：因为f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4， 所以，x ＝π8是f(x)的一个零点⇔f ⎝⎛⎭⎫π8＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωπ8－π4＝0， 即ωπ8－π4＝k π，k ∈Z ，整理，得ω＝8k ＋2，k ∈Z ， 又0<ω<10，所以0<8k ＋2<10，－14<k<1，而k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝2，f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π，k ∈Z ，所以f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8＋k π，3π8＋k π，k ∈Z.法二：x ＝π8是f(x)的一个零点⇔f ⎝⎛⎭⎫π8＝sin ωπ8－cos ωπ8＝0， 即tan ωπ8＝1.所以ωπ8＝k π＋π4，k ∈Z ，整理得ω＝8k ＋2，k ∈Z又0<ω<10，所以0<8k ＋2<10，－14<k<1，而k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝2，f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 以下同法一．“观看”数学思想在三角函数中的精彩应用许多三角函数问题，如能灵活运用相应的数学思想(数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想、分类讨论思想、整体思想)，往往能使一些抽象的、复杂的三角问题迅速、准确地找到解题思路，从而得到便捷的解法．[典例] 已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图像如图所示．(1)求函数的解析式；(2)设0<x<π，且方程f(x)＝m 有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围以及这两个根的和．[思路点拨] 利用转化思想把方程问题化为函数问题，再利用数形结合法求解．[解] (1)由图像知A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，则T ＝π，所以ω＝2，又图像过点⎝⎛⎭⎫π6，2，所以2×π6＋φ＝π2.即φ＝π6.所以所求的函数的解析式为f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.(2)在同一坐标系中画出y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6和y ＝m(m ∈R)的图像，如图所示，由图可知，当－2<m<1或1<m<2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，故m 的取值范围为－2<m<1或1<m<2. 当－2<m<1时，两根之和为4π3； 当1<m<2时，两根之和为π3.[名师支招]本题将方程的根的问题转化成两个函数图像交点的个数问题，把代数问题转化成几何问题求解，从函数图像上可以清楚地看出当－2<m<1或1<m<2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，利用图像的对称性便可求出两根之和． [高考预测]函数f(x)＝sin πx ＋cos πx ＋|sin πx －cos πx|对任意的x ∈R 都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x2－x1|的最小值为________． 解析：依题意得，当sin πx －cos πx ≥0，即sin πx ≥cos πx 时，f(x)＝2sin πx ；当sin πx －cos πx<0，即sin πx<cos πx 时，f(x)＝2cos πx.令f(x1)、f(x2)分别是函数f(x)的最小值与最大值，结合函数y ＝f(x)的图像可知，|x2－x1|的最小值是34.答案：34[配套课时作业]1．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12解析：选A 记α＝∠POQ ，由三角函数的定义可知，Q 点的坐标(x ，y)满足x ＝cos α＝cos23π＝－12，y ＝sin α＝sin 23π＝32.2．(2012·江西高考)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( ) A.15 B.14 C.13 D.12解析：选D 法一：∵tan θ＋1tan θ＝1＋tan2 θtan θ＝4，∴4tan θ＝1＋tan2 θ， ∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝2sin θcos θsin2 θ＋cos2 θ＝2tan θ1＋tan2θ＝2tan θ4tan θ＝12.法二：∵tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2sin 2θ∴4＝2sin 2θ，故sin 2θ＝12.3．若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( ) A.23 B.32C ．2D ．3解析：选B 由于函数f(x)＝sin ωx 的图像经过坐标原点，根据已知并结合函数图像，可知π3为这个函数的四分之一周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32. 4．(2012·福州质检)将函数f(x)＝sin 2x(x ∈R)的图像向右平移π4个单位后，所得到的图像对应的函数的一个单调递增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－π4，0 B .⎝⎛⎭⎫0，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π 解析：选 B 将函数f(x)＝sin 2x(x ∈R)的图像向右平移π4个单位后得到函数g(x)＝sin2⎝⎛⎭⎫x －π4＝－cos 2x 的图像，则函数g(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，而满足条件的只有B.5．(2012·山西考前适应性训练)已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)(0<ω<5,0≤φ≤π2)的图像经过点⎝⎛⎭⎪⎫0，32，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝－1，则ω＝( ) A.113 B ．4 C.133 D.143解析：选D 依题意得，f(0)＝sin φ＝32，又0≤φ≤π2，因此φ＝π3.由f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫ω×π4＋π3＝－1得ω×π4＋π3＝2k π－π2，ω＝8k －103，k ∈Z ；又0<ω<5，于是有0<8k －103<5，512<k<2524，k ∈Z ，因此k ＝1，ω＝143.6．已知函数f(x)＝sin x ＋3cos x ．设a ＝f ⎝⎛⎭⎫π7，b ＝f ⎝⎛⎭⎫π6，c ＝f ⎝⎛⎭⎫π3，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a<b<cB ．c<a<bC ．b<a<cD ．b<c<a解析：选B 法一：f(x)＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，因为函数f(x)在[0，π6]上单调递增，所以f ⎝⎛⎭⎫π7<f ⎝⎛⎭⎫π6，而c ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin 2π3＝2sin π3＝f(0)<f ⎝⎛⎭⎫π7，所以c<a<b.法二：f(x)＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，显然f(x)的最小正周期T ＝2π，一个对称轴为x ＝π6.因为⎪⎪⎪⎪π6－π6<⎪⎪⎪⎪π7－π6<⎪⎪⎪⎪π3－π6，所以f ⎝⎛⎭⎫π3<f ⎝⎛⎭⎫π7<f ⎝⎛⎭⎫π6，即c<a<b.7．(2011·江西高考)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________. 解析：r ＝x2＋y2＝16＋y2， 且sin θ＝－255，所以sin θ＝y r ＝y 16＋y2＝－255，所以θ为第四象限角，解得y ＝－8.答案：－88．函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，那么ω等于________．解析：∵f(x)在⎣⎡⎦⎤0，π4上为增函数，且f(x)的最大值是3<2，∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝3，即sin π4ω＝32， ∴π4ω＝π3，∴ω＝43. 答案：439．函数f(x)＝2cos2x ＋sin 2x －1，给出下列四个命题：①函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8上是减函数； ②直线x ＝π8是函数图像的一条对称轴；③函数f(x)的图像可由函数y ＝2sin 2x 的图像向左平移π4个单位长度而得到；④若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f(x)的值域是[]－1，2.其中所有正确命题的序号是________．解析：∵f(x)＝2cos2x ＋sin 2x －1＝cos 2x ＋sin 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，令2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得：k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z)，即f(x)的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)．∴命题①正确．又∵x ＝π8时，2x ＋π4＝π2，∴x ＝π8是函数图像的一条对称轴，∴命题②正确．又∵f(x)可由y ＝2sin 2x 的图像向左平移π8个单位长度而得到，∴命题③错误．又∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，∴2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈[－1， 2 ]， 即f(x)∈[－1， 2 ]，∴命题④正确． 答案：①②④10．(2012·天津高考)已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2cos2x －1，x ∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值．解：(1)f(x)＝sin 2x ·cos π3＋cos 2x ·sin π3＋sin 2x ·cos π3－cos 2x ·sin π3＋cos 2x ＝sin2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.所以，f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)法一：因为f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π8上是增函数，在区间[π8，π4]上是减函数，又f ⎝⎛⎭⎫－π4＝－1，f ⎝⎛⎭⎫π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫π4＝1，故函数f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值为2，最小值为－1.法二：由(1)知f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，因为－π4≤x ≤π4，则－π2≤2x ≤π2，则－π4≤2x ＋π4≤3π4.所以－22≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤1，即－1≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤ 2. 所以f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值为2，最小值为－1.11．已知定义在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，3π2上的函数y ＝f(x)图像关于直线x ＝π4对称，当x ≥π4时，f(x)＝－sin x.(1)作出y ＝f(x)的图像； (2)求y ＝f(x)的解析式．解：(1)y ＝f(x)的图像如图所示．(2)任取x ∈⎣⎡⎦⎤－π，π4， 则π2－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π2，因函数y ＝f(x)图像关于直线x ＝π4对称，则f(x)＝f ⎝⎛⎭⎫π2－x ，又当x ≥π4时，f(x)＝－sin x ，则f(x)＝f ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－cos x ， 即f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π，π4，－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π2.12.已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R)的图像的一部分如右图所示． (1)求函数f(x)的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－23时，求函数y ＝f(x)＋f(x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值．解：(1)由图像知A ＝2，T ＝8， ∵T ＝2πω＝8，∴ω＝π4.又图像经过点(－1,0)，∴2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋φ＝0.又∵|φ|<π2，∴φ＝π4.∴f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4.(2)y ＝f(x)＋f(x ＋2) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4＋2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π2＋π4＝22sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π2＝22cos π4x ，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－23， ∴－3π2≤π4x ≤－π6.∴当π4x ＝－π6，即x ＝－23时，y ＝f(x)＋f(x ＋2)取得最大值6；当π4x ＝－π，即x ＝－4时，y ＝f(x)＋f(x ＋2)取得最小值为－2 2.第二节三角变换与解三角形1．“死记”两组三角公式(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ①sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. ②cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. ③tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式 ①sin 2α＝2sin αcos α.②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.③tan 2α＝2tan α1－tan2α.2．“熟记”两个定理 (1)正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R(2R 为△ABC 外接圆的直径)． 变形：a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，c ＝2Rsin C ； sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R；a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C.(2)余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A ，b2＝a2＋c2－2accos B ， c2＝a2＋b2－2abcos C.推论：cos A ＝b2＋c2－a22bc ，cos B ＝a2＋c2－b22ac ，cos C ＝a2＋b2－c22ab.变形：b2＋c2－a2＝2bccos A ，a2＋c2－b2＝2accos B ， a2＋b2－c2＝2abcos C.[考情分析] 三角恒等变换是三角运算的核心和灵魂，特别是和与差的三角函数公式与三角恒等变换的灵活运用．高考对该内容的考查，一般多以选择题、填空题的形式考查三角变换在求值、化简等方面的简单应用，解答题往往与向量交汇命题．[例1] (2011·广东高考)已知函数f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6，x ∈R. (1)求f(0)的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f(3β＋2π)＝65，求sin(α＋β)的值．[思路点拨] (1)可以直接代入求值．(2)首先要化简条件得sin α，cos β，然后用和角公式sin(α＋β)计算．[解] (1)f(0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1. (2)由f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，即2sin α＝1013，所以sin α＝513.由f(3β＋2π)＝65，得2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π2＝65， 即2cos β＝65，所以cos β＝35.∵α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴cos α＝1－sin2α＝1213，sin β＝1－cos2β＝45.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝513×35＋1213×45＝6365. [类题通法]三角函数恒等变换的基本策略(1)常值代换．特别是“1”的代换，如1＝cos2θ＋sin2θ＝tan 45°等． (2)项的分拆与角的配凑．如分拆项：sin2x ＋2cos2x ＝(sin2x ＋cos2x)＋cos2x ＝1＋cos2x ；配凑角：α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2等．(3)降次与升次，即半角公式降次与倍角公式升次．(4)化弦(切)法．将三角函数利用同角三角函数的基本关系化成弦(切)．(5)引入辅助角．asin θ＋bcos θ＝a2＋b2sin(θ＋φ)，这里辅助角φ所在的象限由a ，b 的符号确定，φ的值由tan φ＝ba确定．[冲关集训]1．(2012·深圳调研)已知直线l ：xtan α－y －3tan β＝0的斜率为2，在y 轴上的截距为1，则tan(α＋β)＝( ) A ．－73B.73C.57D ．1 解析：选D 依题意得，tan α＝2，－3tan β＝1，即tan β＝－13，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2－131＋23＝1.2．(2012·哈师大附中模拟)设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝( ) A.2525 B.255C.2525或255D.55或525解析：选A 依题意得sin α＝1－cos2α＝255，cos(α＋β)＝±1－sin2 α＋β ＝±45；又α，β均为锐角，因此0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)，注意到45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×55＋35×255＝2525.3．(2012·德州模拟)已知函数f(x)＝2cos2x2－3sin x.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；(2)若α为第二象限角，且f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，求cos 2α1＋cos 2α－sin 2α的值．解：(1)∵f(x)＝2cos2x2－3sin x＝1＋cos x －3sin x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， ∴周期T ＝2π，f(x)的值域为[－1,3]．(2)∵f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，∴1＋2cos α＝13，即cos α＝－13.∵α为第二象限角，∴sin α＝223.∴cos 2α1＋cos 2α－sin 2α＝cos2α－sin2α2cos2α－2sin αcos α ＝cos α＋sin α2cos α＝－13＋223－23＝1－222.[考情分析] 正弦定理和余弦定理是解斜三角形的工具，而解斜三角形是高考的一个热点问题．高考对该内容的考查可以是选择题或填空题，直接利用正弦定理和余弦定理的公式去求解三角形问题，多属于中档题；也可以是解答题，多是交汇性问题，常常是与三角函数或平面向量结合．[例2] (2012·新课标全国卷)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，acos C ＋3asin C －b －c ＝0. (1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为 3，求b ，c.[思路点拨] (1)由题设以及正弦定理得到关于A 的三角函数值，进而求得A 的值．(2)由面积公式以及余弦定理得到b 与c 的方程组，进而求得b 与c 的值． [解] (1)由acos C ＋3asin C －b －c ＝0得 sin Acos C ＋3sin Asin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin Asin C －cos Asin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12.又0＜A ＜π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bcsin A ＝3，故bc ＝4.而a2＝b2＋c2－2bccos A ，故b2＋c2＝8. 解得b ＝c ＝2. [类题通法] 解三角形的一般方法(1)已知两角和一边，如已知A ，B 和c ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，由正弦定理求a ，b.(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a ，b 和C ，应先用余弦定理求c ，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A ＋B ＋C ＝π求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a ，b 和A ，应先用正弦定理求B ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c ，要注意解可能有多种情况． (4)已知三边a ，b ，c ，可应用余弦定理求A ，B ，C. [冲关集训]4．(2012·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A.725 B ．－725 C ．±725D.2425解析：选A 由C ＝2B 得sin C ＝sin 2B ＝2sin Bcos B ，由正弦定理及8b ＝5c 得cos B ＝sin C2sin B ＝c 2b ＝45，所以cos C ＝cos 2B ＝2cos2 B －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725. 5．(2012·北京高考)在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，∠A ＝π3，则∠C 的大小为________．解析：由正弦定理可知sin ∠B ＝bsin ∠A a ＝3sinπ33＝12，所以∠B ＝π6或5π6(舍去)，所以∠C ＝π－∠A －∠B ＝π－π3－π6＝π2.答案：π26．(2012·江西高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知3cos(B －C)－1＝6cos Bcos C. (1)求cos A ；(2)若a ＝3，△ABC 的面积为22，求b ，c. 解：(1)由3cos(B －C)－1＝6cos Bcos C ， 得3(cos Bcos C －sin Bsin C)＝－1， 即cos(B ＋C)＝－13，从而cos A ＝－cos(B ＋C)＝13.(2)由于0<A<π，cos A ＝13，所以sin A ＝223.又S △ABC ＝22，即12bcsin A ＝22，解得bc ＝6.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A ，得b2＋c2＝13.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧bc ＝6，b2＋c2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝2.[考情分析] 由于正、余弦定理是解斜三角形的工具，而解斜三角形应用问题中的测量问题、航海问题等常常是高考的热点，其主要要求是：会利用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决一些测量和几何计算有关的实际问题．[例3] 某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值； (3)是否存在v ，使得小艇以v 海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v 的取值范围；若不存在，请说明理由．[思路点拨] 第(1)步设相遇时小艇航行的距离为S ，利用余弦定理把S 表示为关于t 的函数，利用二次函数求解S 的最小值，并求解此时的速度；第(2)步利用余弦定理表示出v ，t 的关系式，并利用函数知识求解；第(3)步把问题转化为二次函数根的分布问题． [解] (1)设相遇时小艇航行距离为S 海里，则 S ＝900t2＋400－2·30t ·20·cos 90°－30° ＝900t2－600t ＋400＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132＋300， 故当t ＝13时，Smin ＝103，v ＝303，即小艇以每小时303海里的速度航行，相遇时距离最小．(2)若轮船与小艇在B 处相遇，由题意可得：(vt)2＝202＋(30t)2－2·20·(30t)·cos(90°－30°)， 化简得v2＝400t2－600t＋900＝400⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －342＋675， 由于0<t ≤12，即1t ≥2，所以当1t ＝2时，v 取得最小值1013，即小艇航行速度的最小值为1013海里/小时．(3)由(2)知v2＝400t2－600t ＋900，令1t＝μ(μ>0)，于是有400μ2－600μ＋900－v2＝0，小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇等价于上述方程有两个不等正根，所以⎩⎪⎨⎪⎧600 2－1 600 900－v2 >0，900－v2>0，解得：153<v<30，所以v 的取值范围为(153，30)． [类题通法]应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．[冲关集训]7.如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是________米．解析：在△BCD 中，CD ＝10，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°，BC sin 45°＝CD sin 30°，BC ＝CDsin 45°sin 30°＝10 2.在Rt △ABC 中，tan 60°＝ABBC，AB ＝BCtan 60°＝10 6.答案：10 68．(2012·郑州模拟)郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC 、△ABD ，经测量AD ＝BD ＝7米，BC ＝5米，AC ＝8米，∠C ＝∠D.(1)求AB 的长度；(2)若环境标志的底座每平方米造价为5 000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低(请说明理由)，最低造价为多少？(2＝1.414，3＝1.732) 解：(1)在△ABC 中，由余弦定理得 cos C ＝AC2＋BC2－AB22AC ·BC ＝82＋52－AB22×8×5，①在△ABD 中，由余弦定理得cos D ＝AD2＋BD2－AB22AD ·BD ＝72＋72－AB22×7×7，②由∠C ＝∠D 得cos C ＝cos D ，③解得AB ＝7，所以AB 的长度为7米． (2)小李的设计使建造费用最低． 理由如下：易知S △ABD ＝12AD ·BDsin D ，S △ABC ＝12AC ·BCsin C ，因为AD ·BD>AC ·BC ，且∠C ＝∠D ，所以S △ABD>S △ABC.故选择△ABC 的形状建造环境标志费用较低．因为AD ＝BD ＝AB ＝7，所以△ABD 是等边三角形，∠D ＝∠C ＝60°. 故S △ABC ＝12AC ·BCsin C ＝103，所以所求的最低造价为5 000×103＝50 0003≈86 600元．透视三角函数的求值、求角问题许多考生对三角函数恒等变换中的求值、求角问题一筹莫展，其原因在于：①未能牢记三角公式；②不知如何根据三角函数的形式选择合适的求值、求角的方法．三角函数的求值、求角问题包括：(1)“给角求值”，即在不查表的前提下，通过三角恒等变换求三角函数式的值； (2)“给值求值”，即给出一些三角函数值，求与之有关的其他三角函数式的值； (3)“给值求角”，即给出三角函数值，求符合条件的角．[典例] (2011·天津高考)已知函数f(x)＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，若f ⎝⎛⎭⎫α2＝2cos 2α，求α的大小． [思路点拨] (1)根据正切函数的有关概念和性质求解；(2)根据三角函数的有关公式进行变换、化简求值．[解] (1)由三角函数的定义得2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，即x ≠π8＋k π2，k ∈Z.∴f(x)的定义域为{x|x ≠π8＋k π2，k ∈Z}，f(x)的最小正周期为π2.(2)由f ⎝⎛⎭⎫α2＝2cos 2α，得tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2cos 2α，即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2(cos2α－sin2α)， 整理得：sin α＋cos αsin α－cos α＝2(sin α＋cos α)(sin α－cos α)．∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，∴sin α＋cos α≠0.∴(sin α－cos α)2＝12.∴sin 2α＝12.由α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，得2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴2α＝π6，α＝π12.[名师支招]利用三角恒等变换求值与求角，其实质是对两角和与差以及二倍角的正弦、余弦、正切公式的应用．求解此类问题，不仅对公式的正用、逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉，同时要善于拆角、拼角，注意角的范围．总之，“变”是三角恒等变换的主题，在三角恒等变换中，角的变换、名称的变换、次数的变换、表达形式的变换等比比皆是，在训练中，强化“变”的意识是关键，但要注意其中的不变，即公式不变、方法不变，最好能够将习题进行归类，并进行分析比较，寻找解题规律，这样才能以不变应万变． [高考预测]已知向量OA ＝(cos α，sin α)(α∈[－π，0])，向量m ＝(2,1)，n ＝(0，－5)，且m ⊥(OA－n)．(1)求向量OA ；(2)若cos(β－π)＝210，0<β<π，求cos(2α－β)． 解：(1)∵OA＝(cos α，sin α)， ∴OA－n ＝(cos α，sin α＋5)，∵m ⊥(OA －n)，∴m ·(OA－n)＝0，即2cos α＋(sin α＋5)＝0，① 又sin2α＋cos2α＝1，② 由①②联立方程解得cos α＝－255，sin α＝－55，∴OA＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－255，－55.(2)∵cos(β－π)＝210，∴cos β＝－210， 又∵0<β<π，∴sin β＝7210，且π2<β<π.又∵sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝45， cos 2α＝2cos2α－1＝2×45－1＝35，∴cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－210＋45×7210＝25250＝22.[配套课时作业]1．(2012·威海模拟)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，cos α＝－55，则tan 2α＝( )A.43 B ．－43 C ．－2D ．2解析：选B 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，cos α＝－55，所以sin α＝－1－cos2α＝－255.所以tan α＝2.则tan 2α＝2tan α1－tan2α＝－43.2．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( )A.22 B.33C. 2D. 3解析：选D 由二倍角公式可得sin2α＋1－2sin2α＝14，sin2α＝34，又因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin α＝32.即α＝π3，所以tan α＝tan π3＝ 3. 3．设sin α＝35⎝⎛⎭⎫π2<α<π，tan(π－β)＝12，则tan(α－2β)＝( )A ．－247B ．－724C.247D.724解析：选D ∵sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－45，∴tan α＝－34.又∵tan(π－β)＝12，∴tan β＝－12，∴tan 2β＝2tan β1－tan2β＝－43，∴tan(α－2β)＝tan α－tan 2β1＋tan αtan 2β＝－34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－431＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43 ＝724. 4．(2012·重庆高考)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32 B ．－12C.12D.32解析：选C 原式＝sin 30°＋17° －sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°cos 17°＝12.5．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2<α<0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3等于( ) A ．－45B ．－35C.35D.45解析：选D 由sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2<α<0，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝32sin α＋32cos α＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－435.所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45. 6．(2012·湖北高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若三边的长为连续的三个正整数，且A>B>C ，3b ＝20acos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( ) A ．4∶3∶2 B ．5∶6∶7 C ．5∶4∶3 D ．6∶5∶4解析：选D 由题意可得a>b>c ，且为连续正整数，设c ＝n ，b ＝n ＋1，a ＝n ＋2(n>1，且n ∈N*)，则由余弦定理可得3(n ＋1)＝20(n ＋2)· n ＋1 2＋n2－ n ＋2 22n n ＋1 ，化简得7n2－13n－60＝0，n ∈N*，解得n ＝4，由正弦定理可得sin A ∶sin B ∶si n C ＝a ∶b ∶c ＝6∶5∶4. 7．(2012·北京高考)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.解析：代入余弦定理公式得：b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，解得b ＝4. 答案：48．(2012·烟台模拟)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且cos2α＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝12，则tan α＝________. 解析：因为cos2α＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝12，即cos2α＋cos 2α＝12，所以cos2α＋2cos2α－1＝12.整理得3cos2α＝32，所以cos α＝22(因α为锐角，所以取正)．。

2013年山东卷高考理数真题（解析版）理 科 数 学注意事项：1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所胡题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5.考试结束后，将试题卷与答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为( ) A. 2+I B.2-I C. 5+I D.5-i【答案】D【解析】由(z-3)(2-i)=5，得55(2)5(2)3332352(2)(2)5i i z i i i i i ++=+=+=+=++=+--+，所以5z i =-，选D.2.设集合A={0,1,2},则集合B={x-y |x ∈A, y ∈A }中元素的个数是( ) A. 1B. 3C. 5D.9【答案】C【解析】因为,x y A ∈,所以2,1,0,1,2x y -=--，即{2,1,0,1,2}B =--,有5个元素，选C.3.已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时, f(x) =x 2+1x,则f(-1)= ( ) A. -2 B. 0 C. 1 D. 2【答案】A【解析】因为函数为奇函数，所以(1)(1)(11)2f f -=-=-+=-，选A.4.已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直,体积为94,底面积是边长为 3的正三角形，若P 为底面A 1B 1C 1的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为 ( ) A. 512πB.3πC. 4πD. 6π【答案】B【解析】取正三角形ABC 的中心，连结OP ,则PAO ∠是PA 与平面ABC 所成的角。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

共4页，满分150分。

考试用时150分钟.考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。

注意事项：1. 答题前，考试务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类在答题卡和试卷规定的位置上。

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明\证明过程或演算步骤.参考公式:如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P(A)+P(B)；如果事件A ，B 独立，那么P （AB ）=P(A)*P(B)第Ⅰ卷 （共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、复数z 满足i i z (5)2)(3(=--为虚数单位），则z 的共轭复数-z 为（ ）（A ）2+i （B ）2-i （C ）5+i （D ）5-i2、已知集合}2,1,0{=A ，则集合},|{A y A x y x B ∈∈-=中元素的个数是（ ）（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）93、已知函数)(x f 为奇函数，且当0>x 时，xx x f 1)(2+=，则)1(-f =（ ） （A ）-2 （B ）0 （C ）1 （D ）2 4、已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱与底面垂直，体积为49，底面是边长为3的正三角形，若P 为底面111C B A 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为（ ）（A ）125π （B ）3π （C ）4π （D ）6π 5、若函数)2sin()(ϕ+=x x f 的图像沿x 轴向左平移8π个单位，得到一个偶函数的图像，则ϕ的一个可能取值为（ ）（A ）43π （B ）4π （C ）0 （D ）4π- 6、在平面直角坐标系x O y 中，M 为不等式组220210380x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，所表示的区域上一动点，则直线O M 斜率的最小值为()2A ()1B ()13C - ()12D -7、给定两个命题，、q p 若p ⌝是q 的必要而不充分条件，则p 是q ⌝的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件8、函数x x x y sin cos +=的图象大致为 x y πO x y πO x y πO xy y = f (x )πO(A) (B) (C) (D)9、过点（3，1）作圆1)1(22=+-y x 作圆的两条切线切点为A ，B ，则直线AB 的方程（A ）032=-+y x （B ）032=--y x（C ）034=--y x （D ）034=-+y x10、用0,1， ，9十个数字可以组成有重复数字的三位数的个数为（A ）243 （B ）252 （C ）261 （D ）27911、抛物线)0(21:21>=p x p y C 的焦点与双曲线13:222=-y x C 的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M ，若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则=p63 （B ）83 （C ）332 （D ）334 12、设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ，则当zxy 取最大值时，z y x 212-+的最大值为（A ）0 （B ）1 （C ）49 （D ）3二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13、执行右面的程序框图，若输入的ε值为0.25，则输出的n 的值为______________14、在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得121x x +--≥成立的概率为______________.15、已知向量−→−AB 与−→−AC 的夹角1200，且|−→−AB |=3，|−→−AC |=2，若−→−−→−−→−+=AC AB AP λ，且−→−−→−⊥BC AP ，则实数λ的值为____________.16、 定义“正对数”: 0,01ln ,ln ,1x x x x +<<⎧=⎨≥⎩现有四个命题：①若0,0,a b >>()l n l n ;b a b a ++=②若0,0,a b >>()l n l n l n ;a b a b +++=+③若0,0,a b >>l n l n l n ;a a b b +++⎛⎫≥- ⎪⎝⎭④若0,0,a b >>()l n l n l n +l n 2;a b a b ++++≤+其中真命题有____________.（写出所有真命题的编号）三、解答题：本大题共6小题，共74分。

☆绝密级 试卷类型A2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理 科 数 学 试 题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

共6页，满分150分。

考试用时150分钟.考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。

【注意事项】：1. 答题前，考试务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类在答题卡和试卷规定的位置上。

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明\证明过程或演算步骤.【参考公式】如果事件A ，B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)；如果事件A ，B 独立，那么P(AB)=P(A)*P(B)第I 卷 选择题（共60分）一、 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．若复数z 满足(z -3)(2-i )=5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( )A ．2+iB ．2-iC ．5+iD ．5-i 2．已知集合A={0,1,2}，则集合B={x-y |x ∈A, y ∈A }中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．93．已知函数f (x )为函数设且x ＞0时， f (x )= x 2+x1，则f(-1)=( )A ．-2B ．0C ．1D ．24．已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为49，底面是边长为3的正三角形，若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为 ( )A ．125π.B ．3πC ．4πD ．6π5．将函数y=sin(2x +Φ)的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则Φ的一个可能取值为( )A ．43πB ．4πC ．.0D ．-4π得分 评卷人学校 班级 姓名 准考证号6．面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组220210380x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．31- D ．21-7．给定两个命题p,q.若﹃p 是q 的必要而不充分条件，则p 是﹃q 的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8．函数y=xcosx+sinx 的图象大致为( )9．过点(3,1)作圆(x-1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．032=-+y xB ．032=--y xC ．034=--y xD ．034=-+y x10．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A ．243B ．252C ．261D ．27911．抛物线C 1：221x py =(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：1322=-y x 的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M 。

2013年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）（2013•山东）复数z满足（z﹣3）（2﹣i）=5（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）A ．2+i B．2﹣i C．5+i D．5﹣i考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则求得z，即可求得z的共轭复数．解答：解：∵（z﹣3）（2﹣i）=5，∴z﹣3==2+i∴z=5+i，∴=5﹣i．故选D．点评：本题考查复数的基本概念与基本运算，求得复数z是关键，属于基础题．2．（5分）（2013•山东）已知集合A={0，1，2}，则集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（）A ．1B．3C．5D．9考点：集合中元素个数的最值．专题：计算题．分析：依题意，可求得集合B={﹣2，﹣1，0，1，2}，从而可得答案．解答：解：∵A={0，1，2}，B={x﹣y|x∈A，y∈A}，∴当x=0，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为0，﹣1，﹣2；当x=1，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为1，0，﹣1；当x=2，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为2，1，0；∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5个．故选C．点评：本题考查集合中元素个数的最值，理解题意是关键，考查分析运算能力，属于中档题．3．（5分）（2013•山东）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A ．﹣2B．0C．1D．2考点：函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：利用奇函数的性质，f（﹣1）=﹣f（1），即可求得答案．解答：解：∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=x2+，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，故选A．点评：本题考查奇函数的性质，考查函数的求值，属于基础题．4．（5分）（2013•山东）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（）A ．B．C．D．考点：直线与平面所成的角．专题：空间角．分析：利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，即为∠APA1为PA与平面ABC所成角．利用三棱锥的体积计算公式可得AA1，再利用正三角形的性质可得A1P，在Rt△AA1P中，利用tan∠APA1=即可得出．解答：解：如图所示，∵AA1⊥底面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面ABC所成角．∵==．∴V 三棱柱ABC﹣A1B1C1==，解得．又P为底面正三角形A1B1C1的中心，∴==1，在Rt△AA1P中，，∴．故选B．点评：熟练掌握三棱柱的性质、体积计算公式、正三角形的性质、线面角的定义是解题的关键．5．（5分）（2013•山东）函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（）A ．B．C．0D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案．解答：解：令y=f（x）=sin（2x+φ），则f（x+）=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ），∵f（x+）为偶函数，∴+φ=kπ+，∴φ=kπ+，k∈Z，∴当k=0时，φ=．故φ的一个可能的值为．故选B．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查三角函数的奇偶性，属于中档题．6．（5分）（2013•山东）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（）A ．2B．1C．D．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点（0，0）构成的直线的斜率的最小值即可．解答：解：不等式组表示的区域如图，当M取得点A（3，﹣1）时，z直线OM斜率取得最小，最小值为k==﹣．故选C．点评：本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与原点的斜率．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．7．（5分）（2013•山东）给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（）A ．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C ．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：规律型．分析：根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为q是¬p的充分不必要条件，进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案．解答：解：∵¬p是q的必要而不充分条件，∴q是¬p的充分不必要条件，即q⇒¬p，但¬p不能⇒q，其逆否命题为p⇒¬q，但¬q不能⇒p，则p是¬q的充分不必要条件．故选A．点本题考查的知识点是充要条件的判断，其中将已知利用互为逆否命题真假性相同，转化为q是¬p的充评：分不必要条件，是解答的关键．8．（5分）（2013•山东）函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）A ．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求．解答：解：因为函数y=xcosx+sinx为奇函数，所以排除选项B，由当x=时，，当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．由此可排除选项A和选项C．故正确的选项为D．故选D．点评：本题考查了函数的图象，考查了函数的性质，考查了函数的值，是基础题．9．（5分）（2013•山东）过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（）A ．2x+y﹣3=0B．2x﹣y﹣3=0C．4x﹣y﹣3=0D．4x+y﹣3=0考点：圆的切线方程；直线的一般式方程．专题：计算题；直线与圆．分析：由题意判断出切点（1，1）代入选项排除B、D，推出令一个切点判断切线斜率，得到选项即可．解答：解：因为过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，所以圆的一条切线方程为y=1，切点之一为（1，1），显然B、D选项不过（1，1），B、D不满足题意；另一个切点的坐标在（1，﹣1）的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足．故选A．点评：本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程求法，可以直接解答，本题的解答是间接法，值得同学学习．10．（5分）（2013•山东）用0，1，2，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（）A ．243B．252C．261D．279考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：求出所有三位数的个数，减去没有重复数字的三位数个数即可．解答：解：用0，1，2，…，9十个数字，所有三位数个数为：900，其中没有重复数字的三位数百位数从非0的9个数字中选取一位，十位数从余下的9个数字中选一个，个位数再从余下的8个中选一个，所以共有：9×9×8=648，所以可以组成有重复数字的三位数的个数为：900﹣648=252．故选B．点评：本题考查排列组合以及简单计数原理的应用，利用间接法求解是解题的关键，考查计算能力．11．（5分）（2013•山东）抛物线C1：的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（）A ．B．C．D．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；双曲线的简单性质．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值．解答：解：由，得x2=2py（p＞0），所以抛物线的焦点坐标为F（）．由，得，．所以双曲线的右焦点为（2，0）．则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为，即①．设该直线交抛物线于M（），则C1在点M处的切线的斜率为．由题意可知，得，代入M点得M（）把M点代入①得：．解得p=．故选D．点评：本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题．12．（5分）（2013•山东）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．则当取得最大值时，的最大值为（）A ．0B．1C．D．3考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题；不等式的解法及应用．分析：依题意，当取得最大值时x=2y，代入所求关系式f（y）=+﹣，利用配方法即可求得其最大值．解答：解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z均为正实数，∴==≤=1（当且仅当x=2y时取“=”），∴=1，此时，x=2y．∴z=x2﹣3xy+4y2=（2y）2﹣3×2y×y+4y2=2y2，∴+﹣=+﹣=﹣+1≤1．∴的最大值为1．故选B．点评：本题考查基本不等式，由取得最大值时得到x=2y是关键，考查配方法求最值，属于中档题．二、填空题13．（4分）（2013•山东）执行右面的程序框图，若输入的ɛ值为0.25，则输出的n值为 3 ．考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出n 的值．解答：解：循环前，F0=1，F1=2，n=1，第一次循环，F0=1，F1=3，n=2，第二次循环，F0=2，F1=4，n=3，此时，满足条件，退出循环，输出n=3，故答案为：3．点评：本题主要考查了直到循环结构，根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题．14．（4分）（2013•山东）在区间[﹣3，3]上随机取一个数x使得|x+1|﹣|x﹣2|≥1的概率为．考点：几何概型；绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用；概率与统计．分析：本题利用几何概型求概率．先解绝对值不等式，再利用解得的区间长度与区间[﹣3，3]的长度求比值即得．解答：解：利用几何概型，其测度为线段的长度．由不等式|x+1|﹣|x﹣2|≥1 可得①，或②，③．解①可得x∈∅，解②可得1≤x＜2，解③可得x≥2．故原不等式的解集为{x|x≥1}，∴|在区间[﹣3，3]上随机取一个数x使得|x+1|﹣|x﹣2|≥1的概率为P==．故答案为：点评：本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．15．（4分）（2013•山东）已知向量与的夹角为120°，且，．若，且，则实数λ=．考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模．专题：计算题；压轴题；平面向量及应用．分析：利用，，表示向量，通过数量积为0，求出λ的值即可．解答：解：由题意可知：，因为，所以，所以===﹣12λ+7=0解得λ=．故答案为：．点评：本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直，考查转化数学与计算能力．16．（4分）（2013•山东）定义“正数对”：ln+x=，现有四个命题：①若a＞0，b＞0，则ln+（a b）=bln+a；②若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=ln+a+ln+b；③若a＞0，b＞0，则；④若a＞0，b＞0，则ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+2．其中的真命题有①③④（写出所有真命题的序号）考点：命题的真假判断与应用．专题：综合题；压轴题；新定义．分析：由题意，根据所给的定义及对数的运算性质对四个命题进行判断，由于在不同的定义域中函数的解析式不一样，故需要对a，b分类讨论，判断出每个命题的真假解答：解：对于①，由定义，当a≥1时，a b≥1，故ln+（a b）=ln（a b）=blna，又bln+a=blna，故有ln+（a b）=bln+a；当a＜1时，a b＜1，故ln+（a b）=0，又a＜1时bln+a=0，所以此时亦有ln+（a b）=bln+a．由上判断知①正确；对于②，此命题不成立，可令a=2，b=，则ab=，由定义ln+（ab）=0，ln+a+ln+b=ln2，所以ln+（ab）≠ln+a+ln+b；由此知②错误；对于③，当a≥b＞0时，≥1，此时≥0，当a≥b≥1时，ln+a﹣ln+b=lna﹣lnb=，此时命题成立；当a＞1＞b时，ln+a﹣ln+b=lna，此时，故命题成立；同理可验证当1＞a≥b＞0时，成立；当＜1时，同理可验证是正确的，故③正确；对于④，可分a≤1，b≤1与两者中仅有一个小于等于1、两者都大于1三类讨论，依据定义判断出④是正确的故答案为①③④点评：本题考查新定义及对数的运算性质，理解定义所给的运算规则是解题的关键，本题考查了分类讨论的思想，逻辑判断的能力，综合性较强，探究性强．易因为理解不清定义及忘记分类讨论的方法解题导致无法入手致错三、解答题17．（12分）（2013•山东）设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，．（1）求a，c的值；（2）求sin（A﹣B）的值．考点：余弦定理；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）利用余弦定理列出关于新，将b与cosB的值代入，利用完全平方公式变形，求出acb的值，与a+c的值联立即可求出a与c的值即可；（2）先由cosB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，再由a，b及sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值，进而求出cosA的值，所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．解答：解：（1）∵a+c=6①，b=2，cosB=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣ac=36﹣ac=4，整理得：ac=9②，联立①②解得：a=c=3；（2）∵cosB=，B为三角形的内角，∴sinB==，∵b=2，a=3，sinB=，∴由正弦定理得：sinA===，∵a=c，即A=C，∴A为锐角，∴cosA==，则sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=×﹣×=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（12分）（2013•山东）如图所示，在三棱锥P﹣ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．（1）求证：AB∥GH；（2）求二面角D﹣GH﹣E的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的性质．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由给出的D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，利用三角形中位线知识及平行公理得到DC 平行于EF，再利用线面平行的判定和性质得到DC平行于GH，从而得到AB∥GH；（2）由题意可知BA、BQ、BP两两相互垂直，以B为坐标原点建立空间直角坐标系，设出BA、BQ、BP 的长度，标出点的坐标，求出一些向量的坐标，利用二面角的两个面的法向量所成的角的余弦值求解二面角D﹣GH﹣E的余弦值．（1）证明：如图，解答：∵C，D为AQ，BQ的中点，∴CD∥AB，又E，F分别AP，BP的中点，∴EF∥AB，则EF∥CD．又EF⊂平面EFQ，∴CD∥平面EFQ．又CD⊂平面PCD，且平面PCD∩平面EFQ=GH，∴CD∥GH．又AB∥CD，∴AB∥GH；（2）由AQ=2BD，D为AQ的中点可得，三角形ABQ为直角三角形，以B为坐标原点，分别以BA、BQ、BP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设AB=BP=BQ=2，则D（1，1，0），C（0，1，0），E（1，0，1），F（0，0，1），因为H为三角形PBQ的重心，所以H（0，，）．则，，．设平面GCD的一个法向量为由，得，取z1=1，得y1=2．所以．设平面EFG的一个法向量为由，得，取z2=2，得y2=1．所以．所以=．则二面角D﹣GH﹣E的余弦值等于．点评：本题考查了直线与平面平行的性质，考查了二面角的平面角及其求法，考查了学生的空间想象能力和思维能力，考查了计算能力，解答此题的关键是正确求出H点的坐标，是中档题．19．（12分）（2013•山东）甲乙两支排球队进行比赛，先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是，其余每局比赛甲队获胜的概率都是．设各局比赛结果相互独立．（1）分别求甲队3：0，3：1，3：2胜利的概率；（2）若比赛结果3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分，对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）甲队获胜有三种情形，①3：0，②3：1，③3：2，其每种情形的最后一局肯定是甲队胜，分别求出相应的概率，最后根据互斥事件的概率公式求出甲队获得这次比赛胜利的概率；（2）X的取值可能为0，1，2，3，然后利用相互独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式解之即可．解答：解：（1）甲队获胜有三种情形，其每种情形的最后一局肯定是甲队胜①3：0，概率为P1=（）3=；②3：1，概率为P2=C（）2×（1﹣）×=；③3：2，概率为P3=C（）2×（1﹣）2×=∴甲队3：0，3：1，3：2胜利的概率：．（2）乙队得分X，则X的取值可能为0，1，2，3．由（1）知P（X=0）=P1+P2=；P（X=1）=P3=；P（X=2）=C（1﹣）2×（）2×=；P（X=3）=（1﹣）3+C（1﹣）2×（）×=；则X的分布列为X3210 PE（X）=3×+2×+1×+0×=．点评：本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量的期望与分布列，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．20．（12分）（2013•山东）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为T n且（λ为常数）．令c n=b2n（n∈N※）求数列{c n}的前n项和R n．考点：等差数列的通项公式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）设出等差数列的首项和公差，由已知条件列关于首项和公差的方程组，解出首项和公差后可得数列{a n}的通项公式；（2）把{a n}的通项公式代入，求出当n≥2时的通项公式，然后由c n=b2n得数列{c n}的通项公式，最后利用错位相减法求其前n项和．解答：解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a2n=2a n+1，取n=1，得a2=2a1+1，即a1﹣d+1=0①再由S4=4S2，得，即d=2a1②联立①、②得a1=1，d=2．所以a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）把a n=2n﹣1代入，得，则．所以b1=T1=λ﹣1，当n≥2时，=．所以，．R n=c1+c2+…+c n=③④③﹣④得：=所以；所以数列{c n}的前n项和．点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了数列的求和，训练了错位相减法，考查了学生的计算能力，属中档题．21．（13分）（2013•山东）设函数．（1）求f（x）的单调区间及最大值；（2）讨论关于x的方程|lnx|=f（x）根的个数．考点：利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．专题：压轴题；导数的综合应用．分析：（1）利用导数的运算法则求出f′（x），分别解出f′（x）＞0与f′（x）＜0即可得出单调区间及极值与最值；（2）分类讨论：①当0＜x≤1时，令u（x）=﹣lnx﹣﹣c，②当x≥1时，令v（x）=lnx﹣．利用导数分别求出c的取值范围，即可得出结论．解答：解：（1）∵=，解f′（x）＞0，得；解f′（x）＜0，得．∴函数f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为．故f（x）在x=取得最大值，且．（2）函数y=|lnx|，当x＞0时的值域为[0，+∞）．如图所示：①当0＜x≤1时，令u（x）=﹣lnx﹣﹣c，c==g（x），则=．令h（x）=e2x+x﹣2x2，则h′（x）=2e2x+1﹣4x＞0，∴h（x）在x∈（0，1]单调递增，∴1=h（0）＜h（x）≤h（1）=e2﹣1．∴g′（x）＜0，∴g（x）在x∈（0，1]单调递减．∴c．②当x≥1时，令v（x）=lnx﹣，得到c=lnx﹣=m（x），则=＞0，故m（x）在[1，+∞）上单调递增，∴c≥m（1）=．综上①②可知：当时，方程|lnx|=f（x）无实数根；当时，方程|lnx|=f（x）有一个实数根；当时，方程|lnx|=f（x）有两个实数根．点评：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值最值、数形结合的思想方法、分类讨论的思想方法等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力及其化归思想方法．22．（13分）（2013•山东）椭圆C：的左右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．（1）求椭圆C的方程；（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明为定值，并求出这个定值．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）把﹣c代入椭圆方程得，解得，由已知过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，可得．再利用，及a2=b2+c2即可得出；（2）设|PF1|=t，|PF2|=n，由角平分线的性质可得，利用椭圆的定义可得t+n=2a=4，消去t得到，化为，再根据a﹣c＜n＜a+c，即可得到m的取值范围；（3）设P（x0，y0），不妨设y0＞0，由椭圆方程，取，利用导数即可得到切线的斜率，再利用斜率计算公式即可得到k1，k2，代入即可证明结论．解答：解：（1）把﹣c代入椭圆方程得，解得，∵过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，∴．又，联立得解得，∴椭圆C的方程为．（2）如图所示，设|PF1|=t，|PF2|=n，由角平分线的性质可得，又t+n=2a=4，消去t得到，化为，∵a﹣c＜n＜a+c，即，也即，解得．∴m的取值范围；．（3）证明：设P（x0，y0），不妨设y0＞0，由椭圆方程，取，则=，∴k==．∵，，∴=，∴==﹣8为定值．点评：本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、角平分线的性质、利用导数的几何意义研究切线、斜率计算公式等基础知识，考查了推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数，其中a为实数，若z的实部为2，则z的虚部为A．-i B．i C．-1 D．12．已知向量a=(2，1)，b=(x，-2)，若a∥b，则a+b=A．(-2，-1) B．(2，1) C．(3，-1) D．(-3，1)3．下列说法中不正确的个数是①命题“ x∈R，≤0”的否定是“ ∈R，>0”；②若“p q”为假命题，则p、q均为假命题；③“三个数a，b，c成等比数列”是“b= ”的既不充分也不必要条件A．O B．1 C．2 D．34．函数f(x)=2x-sinx的零点个数为A．1 B．2 C．3 D．45．一个几何体的三视图如下左图所示，则此几何体的体积是A.112 B．80 C．72 D．646．已知全集U=Z，Z为整数集，如上右图程序框图所示，集合A={x|框图中输出的x值}，B={y|框图中输出的y值}；当x=-1时，(CuA) B=A．{-3，-1，5} B．{-3，-1，5，7} C．{-3，-1，7} D．{-3，-1，7，9}7．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有A．12种B．18种C．24种D．48种8．如右图，矩形OABC内的阴影部分由曲线f(x)=sinx(x∈(0， ))及直线x=a(a∈(0， ))与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则a的值为A．B．C． D．9．如右图，一单位正方体形积木，平放于桌面上，并且在其上方放置若干个小正方体形积木摆成塔形，其中上面正方体中下底面的四个顶点是下面相邻正方体中上底面各边的中点，如果所有正方体暴露在外面部分的面积之和超过8．8，则正方体的个数至少是A．6 8．7 C．8 D． 1010．已知直线l：y=ax+1-a(a∈R)．若存在实数a使得一条曲线与直线l有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于|a|，则称此曲线为直线l的“绝对曲线”．下面给出四条曲线方程：①y=-2 |x-1|；②y= ；③(x-1)2+(y-1)2=1；④x2+3y2=4；则其中直线l的“绝对曲线”有A．①④B．②③C．②④D．②③④二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清．模棱两可均不得分．(一)必考题：(11-14题)11．若tan = ，∈(0， )，则sin(2 + )= ．12．点P(x，y)在不等式组表示的平面区域内，若点P(x，y)到直线y=kx-1(k>0)的最大距离为2 ，则k= ．13．已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点P(2，0)的直线交抛物线于A(x1，y1)和B(x2，y2)两点．则：(I) y1 y2= ；(Ⅱ)三角形ABF面积的最小值是．14．挪威数学家阿贝尔，曾经根据阶梯形图形的两种不同分割(如下图)，利用它们的面积关系发现了一个重要的恒等式一阿贝尔公式：a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=a1(b1-b2)+L2(b2-b3)+L3(b3-b4)+…+Ln-1(bn-1-bn)+Lnbn则其中：(I)L3= ；(Ⅱ)Ln= ．(二)选考题：请考生在第15、16两题中任选一题作答．如果全选，则按第15题作答结果计分. 15．(几何证明选讲)如右图，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上的一点，过P作⊙O的切线，切点为C，PC=2 ，若∠CAP=30°，则⊙O的直径AB= ．16．(坐标系与参数方程)在直角坐标平面内，以坐标原点0为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为(4 ， )，曲线C的参数方程为 ( 为参数)，则点M到曲线C上的点的距离的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知向量 =( sin2x+2，cosx)， =(1，2cosx)，设函数f(x)= • ．(I)求f(x)的最小正周期与单调递增区间；(Ⅱ)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a= ，f(A)=4，求b+c的最大值．18．(本小题满分12分)数列{an}是公比为的等比数列，且1-a2是a1与1+a3的等比中项，前n项和为Sn；数列{bn}是等差数列，b1=8，其前n项和Tn满足Tn=n •bn+1( 为常数，且≠1)．(I)求数列{an}的通项公式及的值；(Ⅱ)比较+ + +…+ 与了 Sn的大小．19．(本小题满分12分)如图，矩形A1A2A′2A′1，满足B、C在A1A2上，B1、C1在A′1A′2上，且BB1∥CC1∥A1A′1，A1B=CA2=2，BC=2 ，A1A′1= ，沿BB1、CC1将矩形A1A2A′2A′1折起成为一个直三棱柱，使A1与A2、A′1与A′2重合后分别记为D、D1，在直三棱柱DBC-D1B1C1中，点M、N分别为D1B和B1C1的中点．(I)证明：MN∥平面DD1C1C；(Ⅱ)若二面角D1-MN-C为直二面角，求的值．20．(本小题满分12分)2013年2月20日，针对房价过高，国务院常务会议确定五条措施(简称“国五条”)．为此，记者对某城市的工薪阶层关于“国五条”态度进行了调查，随机抽取了60人，作出了他们的月收入的频率分布直方图(如图)，同时得到了他们的月收入情况与“国五条”赞成人数统计表(如下表)：月收入(百元) 赞成人数[15,25) 8[25,35) 7[35,45) 10[45,55) 6[55,65) 2[65,75) 1(I)试根据频率分布直方图估计这60人的平均月收入；(Ⅱ)若从月收入(单位：百元)在[15，25)，[25，35)的被调查者中各随机选取3人进行追踪调查，记选中的6人中不赞成“国五条”的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．21．(本小题满分13分)在矩形ABCD中，|AB|=2 ，|AD|=2，E、F、G、H分别为矩形四条边的中点，以HF、GE所在直线分别为x，y轴建立直角坐标系(如图所示)．若R、R′分别在线段0F、CF上，且 = = .(Ⅰ)求证：直线ER与GR′的交点P在椭圆： + =1上；(Ⅱ)若M、N为椭圆上的两点，且直线GM与直线GN的斜率之积为，求证：直线MN过定点；并求△GMN面积的最大值．22．(本小题满分14分)已知函数f(x)=lnx，g(x)=k• .(I)求函数F(x)= f(x)- g(x)的单调区间；(Ⅱ)当x>1时，函数f(x)> g(x)恒成立，求实数k的取值范围；(Ⅲ)设正实数a1，a2，a3，…，an满足a1+a2+a3+…+an=1，求证：ln(1+ )+ln(1+ )+…+ln(1+ )> ．2013年七市联考数学试题(理工类)（B卷）参考答案一、选择题： CABAB DCBAD二、填空题：11. 12. 13.（Ⅰ）（Ⅱ）14.（Ⅰ）（Ⅱ）15. 16.（注：填空题中有两个空的，第一个空2分，第二个空3分）三、解答题17.解：（Ⅰ）……………3分∴的最小正周期……………4分由得∴的单调递增区间为……………6分（Ⅱ）由得，∵∴∴ , ……………8分法一：又，∴当时，最大为……………12分法二：即；当且仅当时等号成立。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为( D )A. 2+iB.2-iC. 5+iD.5-i（2）设集合A={0,1,2},则集合B={x-y |x∈A, y∈A }中元素的个数是( C )A. 1B. 3C. 5D.9（3）已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时, f(x) =x2+1x,则f(-1)= ( A )（A）-2 （B）0 （C）1 （D）2（4）已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为94,底面积是边长为三角形，若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为( B )（A）512π（B）3π（C）4π（D）6π（5）将函数y=sin（2x +ϕ）的图像沿x轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图像，则ϕ的一个可能取值为 B（A）34π（B）4π（C）0 （D）4π-（6）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组：2x y20 x2y10 3x y80 --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为 C（A）2 （B）1 （C）13-（D）12-（7）给定两个命题p、q，若﹁p是q的必要而不充分条件，则p是﹁q的 B（A ）充分而不必条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（8）函数y=xcosx + sinx 的图象大致为 D（A ） （B ） (C) (D) （9）过点（3，1）作圆（x-1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为 A（A ）2x+y-3=0 （B ）2x-y-3=0 （C ）4x-y-3=0 （D ）4x+y-3=0（10）用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 B（A ）243 （B ）252 （C ）261 （D ）279（11）抛物线C1：y= 12p x2(p ＞0)的焦点与双曲线C2： 2213x y -=的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M 处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=D（12）设正实数x,y,z 满足x2-3xy+4y2-z=0.则当xy z 取得最大值时，212x y z +-的最大值为 B（A ）0 （B ）1（C ） 94（D ）3二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 （13）执行右面的程序框图，若输入的ε的值为0.25，则输入的n 的值为 3(14)在区间[-3,3]上随机取一个数x ，使得 |x+1 |- |x-2 |≥1成立的概率为 13（15）已知向量AB 与AC 的夹角为120，且||3,||2,AB AC ==若,AP AB AC λ=+且AP BC⊥,则实数λ的值为7 12（16）定义“正对数”：0,01lnln,1xxx x+<<⎧=⎨≥⎩，现有四个命题：①若0,0a b>>，则ln()lnba b a++=②若0,0a b>>，则ln()ln lnab a b+++=+③若0,0a b>>，则ln()ln lnaa bb+++≥-④若0,0a b>>，则ln()ln ln ln2a b a b++++≤++其中的真命题有：①③④（写出所有真命题的编号）三、解答题：本大题共6小题，共74分.（17）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB= 7 9.（Ⅰ）求a，c的值；（Ⅱ）求sin（A-B）的值.解答：（1）由cosB= 79与余弦定理得，221449a c ac+-=，又a+c=6，解得3a c==（2）又a=3,b=2，sin B=与正弦定理可得，sin A=,1cos3A=，所以sin（A-B）（18）（本小题满分12分）如图所示，在三棱锥P-ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 理 科 数 学参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()+()P A B P A P B += 如果事件A 、B 独立，那么()()()=∙P AB P A P B 。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、复数z 满组(3)(2)5--=z i （z 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为(A) 2+i (B) 2-i (C) 5+i (D) 5-i2、已知集合{}0,1,2=A ，则集合{},=-∈∈B x y x A y A 中元素的个数是(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 93、已知函数()f x 为奇函数，且当0>x 时，21(),=+f x x x则(1)-=f (A) -2 (B) 0 (C) 1 (D) 2 4、已知三棱柱111-ABC A B C 的侧棱与底面垂直，体积为94，的正三角形，若P 为底面111A B C 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为 (A)512π (B) 3π (C) 4π (D) 6π 5、将函数sin(2)ϕ=+y x 的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为 (A)34π (B) 4π (C) 0 (D) 4π- 6、在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组220210,380，--≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩x y x y x y 所表示的区域上一动点，则直线OM的斜率的最小值为(A) 2 (B) 1 (C) 13- (D) 12- 7、给定两个命题,.p q若⌝p 是q 的必要不充分条件，则p 是⌝q 的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件8、函数cos sin =+y x x x 的图象大致为(A)(B) (C) (D)9、过点(3,1)作圆22(1)1-+=x y 的两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 的方程为(A) 230+-=x y (B) 230--=x y (C) 430--=x y (D) 430+-=x y 10、用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(A) 243 (B) 252 (C) 261 (D) 27911、抛物线211:(0)2=>C y x p p 的焦点与双曲线222:13-=x C y 的右焦点的连线交1C 于第一象限的点.M若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则=p(A)(B)(C)(D)12、设正实数,,x y z 满足22340.-+-=x xy y z 则当xy z取得最大值时，212+-的最大值为(A) 0 (B) 1 (C) 94(D) 3第Ⅱ卷（共90二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学 答案（1）答案D. 解：由题得i 25)i 2(5i 253z +=+=-=-，所以i 5z +=所以i 5z -=。

该题计算简单，熟练后口算即得答案，但应注意让求的是共轭复数，第一个题要稳住，不要看错呦(*^__^*) 嘻嘻……。

（2）答案C.解：对应x=y 时，元素为0；对应1-0、2-1时，元素为1；对应0-1、1-2时，元素为-1；对应2-0时，元素为2；对应0-2时，元素为-2.共5个.该题要看清B 的元素是y x -的结果，稍加列举便可得到答案。

（3）答案A.解：由题得2)1(f )1(f -==--。

关于该类题可以考察周期函数（比较复杂），但是本题目实在是太简单了！尼玛，这不是送分，是直接拿分砸你，我次奥，$_$。

（4）答案B.解：该题只需小算立刻得出结果。

由题三角形面积为433（利用公式2a 43S =，可以在平时就把这个玩意背下来的，很多有用的公式在之前都可以背的，亲）则P P '长为3S /49=，在这里就可以直接选答案B 了，( ⊙o ⊙ )纳尼？，在一个直角三角形（边长比为1:3:2）中，与3对应的角就是3π。

那如果P A ''对应的不是1的边而是3的边呢？请看底面正三角形边长为3，而P P '又怎能超过之，所以...你懂得。

其实13a 2132P A =⋅⋅=''。

选择、填空你也敢浪费时间，有这功夫还不如借揪头发乘机瞅瞅考场妹子。

soga.(5)答案B.解：原函数平移后变为)4x 2sin())8x (2sin(y ϕ+π+=ϕ+π+=，所以Z k ,k 24∈π+π=ϕ+π，即Z k ,k 4∈π+π=ϕ，答案立刻被鲁出。

其实这种题亦可以出的稍微复杂一些的，出题的老湿主算很照顾你们了。

本老歪屌湿是不会有这么好肚量的(∩_∩)。

（6）答案C.解：当你拿到这个题时怎么破？①画图，②联立求点，③三找到最小值的点代入求解。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数z 满足(3)(2)5z i --=(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为 (A) 2i + (B) 2i - (C)5i + (D)5i - 2． 已知集合A ={0,1,2}，则集合B ={},x y x A y A -∈∈中元素的个数是 (A) 1 (B) 3 (C)5 (D)93．已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，21()f x x x=+，则(1)f -= (A) 2- (B) 0 (C) 1 (D) 2 4．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，体积为94.若P 为底面111A B C 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为(A) 512π (B) 3π (C)4π (D)6π 5．将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为(A)34π (B) 4π(C)0 (D) 4π- 6．在平面直角坐标系xoy 中，M 为不等式组220,210,380,x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为（A ）2 （B ）1 （C ）13-（D ）12- 7．给定两个命题p ，q .若p ⌝是q 的必要而不充分条件，则p 是q ⌝的（A ）充分而不必要条件 （B ） 必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ） 既不充分也不必要条件 8．函数cos sin y x x x =+的图象大致为9．过点(3,1)作圆22(1)1x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为 （A ）230x y +-= （B ）230x y --= （C ）430x y --= （D ）430x y +-= 10．用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 （A ）243 （B ） 252 （C ） 261 （D ）27911．已知抛物线1C ：212y x p =(0)p >的焦点与双曲线2C ：2213x y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M 。