安徽省皖江联盟2020届高三上学期12月联考试题 数学(理) Word版含答案

安徽省皖江联盟2020届高三12月份联考试题数学(理科)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

第I 卷第1至第2页，第II 卷第2至第4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号。

2.答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答第II 卷时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，．在试题卷、草稿纸．．．．．．．．上答题无效。

．．．．．．4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。

已知公式：台体体积公式121(3V S S h =++其中S 1，S 2，h 分别表示台体的上底面积，下底面积，高。

第I 卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数z 满足(1－2i)z ＝4＋3i(i 为虚数单位)，则复数z 的模等于C. D.2.已知全集为R ，集合A ＝{－2，－1，0，1，2}，102x B xx -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则()U A B ð的元素个数为A.1B.2C.3D.43.已知函数f(x)在区间(a ，b)上可导，则“函数f(x)在区间(a ，b)上有最小值”是“存在x 0∈(a ，b)，满足f’(x 0)＝0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.2011年国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源于中国古代数学家祖冲之的圆周率。

公元263年，中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，计算到圆内接3072边形的面积，得到的圆周率是39271250。

安徽省皖江联盟2020届高三12月份联考试题化学本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。

第I卷第1至第4页，第II卷第4至第6页。

全卷满分100分，考试时间100分钟。

考生注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号。

2.答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答第II卷时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4.考试结束，务必将试题卷和答题卡－并上交。

可能用到的原子量：H1 C12 N14 O16 Si28 S32 Cl35.5 Fe56 Cu64第I卷(选择题共48分)－、选择题(本题共16小题，每小题3分，共48分。

在每小题列出的四个选项中，只有－项是最符合题目要求的。

)1.化学与生活密切相关。

下列说法错误的是A.纯碱可用于去除餐具的油污B.“火树银花”中的焰火实质上是金属元素的焰色反应C.碳酸钡可用于胃肠X射线造影检查D.煤经过气化、液化等化学变化过程，可以转化为清洁能源2.下列有关物质性质与用途的因果关系说法正确的是A.SO2具有氧化性，可用于漂白纸浆B.晶体硅熔点高、硬度大，可用于制光导纤维C.漂白粉具有还原性，可用于自来水的杀菌消毒D.生石灰能与水反应，可用作食品干燥剂3.N A代表阿伏加德罗常数的值。

下列说法正确的是A.标准状况下，11.2 L Cl2溶于水，溶液中Cl－，ClO－和HClO的微粒数之和为N AB.32.5 g FeCl3水解形成的Fe(OH)3胶体粒子数为0.2N AC.标准状况下，4.48 L氢气、一氧化碳的混合气体完全燃烧，消耗氧分子的数目为0.1N AD.密闭容器中2 mol NO与l molO2充分反应，产物的分子数为2N A4.下列离子方程式正确的是A.酸化NAlO3和NaI的混合溶液：I－＋IO3－＋6H＋＝I2＋3 H2OB.Ca(HCO3)2溶液与少量NaOH溶液反应：Ca2＋＋HCO3－＋OH－＝CaCO3↓＋H2OC.大理石与醋酸反应：CO32－＋2CH3COOH＝2CH3COO－＋H2O＋CO2↑D.向氯化钙溶液中通入少量CO2气体：Ca2＋＋CO2＋H2O＝CaCO3↓＋2H＋5.侯德榜是近代化学工业的奠基人之一，是世界制碱业的权威。

安徽省皖江联盟2020届高三12月份联考试题语文全卷满分150分，考试时间150分钟。

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

一、现代文阅读(36分)(一)论述类文本阅读(本题共3小题，9分)阅读下面的文字。

完成1～3题。

近年来，常听到对历史研究“碎片化”的批评。

这种批评应当说是有一定道理的，如果只研究历史碎片，缺乏宏观的视野与认识，就会只见树木不见森林。

记得早些年，一位漫画家画过一幅漫画，上面一位红学家正在细数曹雪芹有多少根白头发，似乎这就能解决红学上的大问题。

这幅漫画讽刺的是繁琐考证，用来讽刺“碎片化”的历史研究倒也合适。

的确，过于沉溺于“碎片化”的研究无益于历史研究的发展，无益于揭示历史发展的规律。

不过，历史研究又常常是从某些碎片开始的，这就犹如整体与局部的关系，没有局部也就无所谓整体。

人们研究历史常常会从局部开始，这符合认识规律。

从这个意义上说，尽管历史研究不应走向“碎片化”，但研究历史碎片不可避免，如何研究历史碎片确实值得深入思考。

选择的历史碎片应是经过漫长时间筛选而存留下来的吉光片羽，是历史研究的珍贵资料。

通过对这种历史碎片的研究、对个案的探讨，可以找到阐释历史的新角度。

比如长期关注我国中古时代佛教寺院经济的著名历史学家何兹全先生，就整理研究了向来不为世人所重的寺院账簿、僧尼私产记录这些可谓历史碎片中的碎片，揭示出我国中古时代遍布南北方的佛教寺院不单单是一个宗教组织，而且还是一个“社会实体”。

通过对这些历史碎片的研究，可以了解当时的寺院经济及封建关系，了解寺院经团与官府的关系，是研究魏晋社会形态问题的一个重要参考。

可见，一些历史碎片往往承载着丰富的历史信息，捕捉这些信息，认真研究它，就会推动相关研究的深入。

研究历史碎片虽然必须，但不能只作繁琐考据，只关注琐细的小问题，却忽略了对大问题的研究。

看待一个个的小碎片、小问题，需要从大处着眼。

安徽省江淮名校2020届高三12月联考数学（理科）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，，则等于（）A. B. C. D.2.复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知向量，，若，则（）A. B. C. -3 D. 34.已知函数，则是（）A. 奇函数，且在上是增函数B. 偶函数，且在上是增函数C. 奇函数，且在上是减函数D. 偶函数，且在上是减函数5.已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥侧面的4个三角形面积的最大值为（）A. B. C. D.6.已知等比数列的前项和为，且，则（）A. B. C. D.7.把函数的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移，得到函数的图象，则函数的一个单调递增区间为（）A. B. C. D.8.若实数，满足约束条件，则的最小值为（）A. B. C. D.9.如图，在矩形中的曲线是，的一部分，点，，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A. B. C. D.10.的斜边等于4，点在以为圆心，1为半径的圆上，则的取值范围是（）A. B. C. D.11.体积为的三棱锥的顶点都在球的球面上，平面，，，则球的表面积的最小值为（）A. B. C. D.12.设函数的导数为，且，，，则当时，（）A. 有极大值，无极小值B. 无极大值，有极小值C. 既有极大值又有极小值D. 既无极大值又无极小值第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知，，若是的充分不必要条件，则的取值范围为__________．14.已知函数在上恰有一个最大值点和最小值点，则的取值范围是__________．15.已知正数，满足，则的最大值为__________．16.在四边形中，，，，，则的最大值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图，在梯形中，，，，四边形是正方形，且，点在线段上.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）当平面时，求四棱锥的体积.18.如图，是的外角平分线，且.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，，求的长.19.已知数列的前项的和，是等差数列，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，求数列的前项和.20.在四棱锥中，侧面底面，，，，，. （Ⅰ）求与平面所成角的正弦值；（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.21.已知.（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若对任意都成立，求整数的最大值.22.已知，，其中.（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若恒成立，求的最大值.安徽省江淮名校2020届高三12月联考数学（理科）试题参考答案第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式得集合A，进而可得，求解函数定义域可得集合B，利用交集求解即可.【详解】因为集合，，所以，故选D.【点睛】本题主要考查了集合的补集及交集的运算，属于基础题.2.复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】由题意得，，则复数在复平面内对应的点位于第一象限，故选A.3.已知向量，，若，则（）A. B. C. -3 D. 3【答案】B【解析】【分析】利用两个向量平行的坐标表示列出方程求解即可.【详解】向量，若，则，解得.故选B.【点睛】本题主要考查了向量平行的坐标表示，属于基础题.4.已知函数，则是（）A. 奇函数，且在上是增函数B. 偶函数，且在上是增函数C. 奇函数，且在上是减函数D. 偶函数，且在上是减函数【答案】C【解析】【分析】先判断定义域是否关于原点对称，进而利用可得函数为奇函数，再由指数函数的单调性可判断函数的单调性.【详解】定义域为R，关于原点对称，，有，所以是奇函数，函数，显然是减函数.故选C.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的判断，属于基础题.5.已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥侧面的4个三角形面积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】还原几何体得四棱锥，其中面，分别计算各侧面的面积即可得解.【详解】还原三视图可得几何体如图所示，四棱锥，其中面，.中有，由，所以.所以.所以面积最大值是的面积，等于2.【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体，并计算几何体的侧面积，需要一定的空间想象力，属于中档题.6.已知等比数列的前项和为，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由等比数列的通项公式，利用基本量运算可得通项公式，进而可得前n项和，从而可得，令求解即可. 【详解】由，可得；由.两式作比可得：可得，，所以，，，所以.故选D.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及前n项公式，属于公式运用的题目，属于基础题.7.把函数的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移，得到函数的图象，则函数的一个单调递增区间为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角函数的图象变换可得函数，再由，，可解得单调增区间，即可得解.【详解】函数的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，可得的图象，再向左平移，得到函数的图象.由，，得，.当时，函数的一个单调递增区间，故选B.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数的单调性，注意三角函数的平移变换，平移是针对自变量“x”而言的，所以需要将x的系数提出，属于中档题.8.若实数，满足约束条件，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出不等式的可行域，的几何意义是可行域内的点与点连线的斜率的倒数，由斜率的最大值即可得解.【详解】作出不等式组构成的区域，的几何意义是可行域内的点与点连线的斜率的倒数，由图象知的斜率最大，由得，所以，此时.故选A.【点睛】常见的非线性目标函数问题，利用其几何意义求解：的几何意义为可行域内的点到直线的距离的倍的几何意义为可行域内的点到点的距离的平方。

2020届安徽省皖江联盟高三上学期12月联考试题（文）数学试题一、单选题1．复数z 满足()1243i z i -=+（i 为虚数单位），则复数z 的模等于（ ）A B C ．D ．【答案】B【解析】根据复数模的性质和求解直接解得结果即可. 【详解】4312i z i +===- 故选：B 【点睛】本题考查复数模长的求解，涉及到复数模的性质的应用，属于基础题 2．已知全集为R ，集合{}2,1,0,1,2A =--，102x B x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则()U A C B ⋂的元素个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】解分式不等式求得集合B ，根据交集和补集的定义求得集合()U A C B ⋂，进而得到元素个数. 【详解】{}10212x B x x x x -⎧⎫=<=-<<⎨⎬+⎩⎭Q {2U C B x x ∴=≤-或}1x ≥(){}2,1,2U A C B ∴=-I ，有3个元素故选：C 【点睛】本题考查集合元素个数的求解，涉及到分式不等式的求解、交集和补集的混合运算，属于基础题.3．已知函数()f x 在区间(),a b 上可导，则“函数()f x 在区间(),a b 上有最小值”是“存在()0,x a b ∈，满足()00f x '=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由开区间最小值点必为极小值点可知极小值点导数值为0，充分性成立；利用()3f x x =可验证出必要性不成立，由此得到结论.【详解】(),a b Q 为开区间 ∴最小值点一定是极小值点 ∴极小值点处的导数值为0∴充分性成立当()3f x x =，00x =时，()00f x '=，结合幂函数图象知()f x 无最小值，必要性不成立∴“函数()f x 在区间(),a b 上有最小值”是“存在()0,x a b ∈，满足()00f x '=”的充分不必要条件 故选：A 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，涉及到导数极值与最值的相关知识；关键是能够明确极值点处的导数值为0，但导数值为0的点未必是极值点.4．2011年国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源于中国古代数学家祖冲之的圆周率。

姓名 座位号(在此卷上答题无效)数 学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第2至第4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号。

2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰。

作图题可用铅笔在答题卡．．．规定位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．效．。

4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A 3x 2},B {lnx 0}x x =-≤≤=≥{，则AB =A.3,2,1,0,1}---{B.1,2}{C.3x 1}x -≤≤{D.1x 2}x ≤≤{ 2.已知复数134z i=+，则下列说法正确的是A.复数z 的实部为3B.复数z 的虚部为425i C.复数z 的共轭复数为342525i + D.复数z 的模为1 3.椭圆221916x y +=的一个焦点坐标为A.(5，0)B.(0，5) ，0) D.(04.已知m ＝1og 40.4，n ＝40.4，p ＝0.40.5，则A.m<n<pB.m<p<nC.p<m<nD.n<p<m5.曲线32()xy x x e =+在x ＝1处的切线方程为A.y ＝7ex －5eB.y ＝7ex ＋9eC.y ＝3ex ＋5eD.y ＝3ex －5e 6.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝11，S 15＝15，则a 2＝ A.18 B.16 C.14 D.127.要得到函数y sin3x 的图象，只需将函数y ＝sin3x ＋cos3x 的图象A.向右平移34π个单位长度 B.向右平移2π个单位长度 C.向左平移4π个单位长度 D.向左平移2π个单位长度8.若5个人按原来站的位置重新站成一排，恰有两人站在自己原来的位置上的概率为 A.12 B.14 C.16 D.189.定义在R 上的奇函数f(x)满足，当0x ≤时，()xxf x e e -=-，则不等式f(x 2－2x)－f(3)<0的解集为A.(－1，3)B.(－3，1)C.(,1)(3,)-∞-+∞ D. (,3)(1,)-∞-+∞10.过原点O 作直线l ：(2m ＋n)x ＋(m －n)y －2m ＋2n ＝0的垂线，垂足为P ，则P 到直线x －y ＋3＝0的距离的最大值为1 2 C.1 D.2 11.已知圆锥的母线长l 为4，侧面积为S ，体积为V ，则VS取得最大值时圆锥的侧面积为A. B. C. D.12.已知点A 是双曲线22221x y a b+=（a>0，b>0）的右顶点，若存在过点N(3a ，0)的直线与双曲线的渐近线交于一点M ，使得△AMN 是以点M 为直角顶点的直角三角形，则双曲线的离心率A. B. C. D. 第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。

2020届安徽省皖江名校联盟高三第一次联考理科数学附答案第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A 3x 2},B {lnx 0}x x =-≤≤=≥{，则AB =A.3,2,1,0,1}---{B.1,2}{C.3x 1}x -≤≤{D.1x 2}x ≤≤{ 2.已知复数134z i=+，则下列说法正确的是 A.复数z 的实部为3 B.复数z 的虚部为425i C.复数z 的共轭复数为342525i + D.复数z 的模为1 3.椭圆221916x y +=的一个焦点坐标为A.(5，0)B.(0，5) ，0) D.(04.已知m ＝1og 40.4，n ＝40.4，p ＝0.40.5，则A.m<n<pB.m<p<nC.p<m<nD.n<p<m 5.曲线32()xy x x e =+在x ＝1处的切线方程为A.y ＝7ex －5eB.y ＝7ex ＋9eC.y ＝3ex ＋5eD.y ＝3ex －5e 6.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝11，S 15＝15，则a 2＝ A.18 B.16 C.14 D.127.要得到函数y 的图象，只需将函数y ＝sin3x ＋cos3x 的图象A.向右平移34π个单位长度 B.向右平移2π个单位长度 C.向左平移4π个单位长度 D.向左平移2π个单位长度8.若5个人按原来站的位置重新站成一排，恰有两人站在自己原来的位置上的概率为 A.12 B.14 C.16 D.189.定义在R 上的奇函数f(x)满足，当0x ≤时，()xxf x e e -=-，则不等式f(x 2－2x)－f(3)<0的解集为A.(－1，3)B.(－3，1)C.(,1)(3,)-∞-+∞ D.(,3)(1,)-∞-+∞10.过原点O 作直线l ：(2m ＋n)x ＋(m －n)y －2m ＋2n ＝0的垂线，垂足为P ，则P 到直线x －y ＋3＝0的距离的最大值为1 2 C.1 D.2 11.已知圆锥的母线长l 为4，侧面积为S ，体积为V ，则VS取得最大值时圆锥的侧面积为A. B. C. D.12.已知点A 是双曲线22221x y a b+=（a>0，b>0）的右顶点，若存在过点N(3a ，0)的直线与双曲线的渐近线交于一点M ，使得△AMN 是以点M 为直角顶点的直角三角形，则双曲线的离心率A.存在最大值4 B.存在最大值3 C.存在最小值4 D.存在最小值3第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。

安徽省皖南八校2020届高三第二次（12月）联考数学理试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.为虚数单位，，若为实数，则实数A. -1B.C. 1D. 22.已知集合，，则A. B.C. D.3.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（图1），图2是由弦图变化得到，它由八个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼接而成.现随机的向图2中大正方形的内部去投掷一枚飞镖，若直角三角形的直角边长分别为5和12，则飞镖投中小正方形（阴影）区域的概率为A. B. C. D.4.已知为等差数列，若，则A. 18B. 24C. 30D. 325.如图，在中，，，，则的值为A. -4B. -3C. -2D. -86.已知函数，则不等式的解集是A.B.C.D.7.某几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点与点在三视图上的对应点分别为，，则在该几何体表面上，从点到点的路径中，最短路径的长度为A. B. C. D.8.若将函数的图像向左平移个单位，所得图像关于轴对称，则当最小时，函数图像的一个对称中心的坐标是A. B. C. D.9.已知一个三棱锥的六条棱的长分别为，且长为的棱与长为的棱所在直线是异面直线，则三棱锥的体积的最大值为（）A. B. C. D.10.已知为双曲线的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，为坐标原点.若，则的渐近线方程为A. B.C. D.11.已知函数若存在实数，，，且，使，则的取值范围是A. B. C. D.12.圆与直线相切，且圆心的坐标为，设点的坐标为，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数，满足条件则的最大值为__________．14.已知，且，则__________．15.记为数列的前项和，，记，则__________．16.已知函数满足，且，当时，，若曲线与直线有5个交点，则实数的取值范围是__________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在中，内角、、所对的边分别是、、，若.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）已知的面积为，，求边的长.18.如图，在三棱柱中，已知侧面，，，，点在棱上.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）试确定点的位置，使得二面角的余弦值为．19.某县大润发超市为了惠顾新老顾客，决定在2019年元旦来临之际举行“庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动.为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案，该超市面向该县某高中学生征集活动方案.该中学某班数学兴趣小组提供的方案获得了征用.方案如下：将一个的正方体各面均涂上红色，再把它分割成64个相同的小正方体.经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记它们的着色面数之和为，记抽奖中奖的礼金为.（Ⅰ）求；（Ⅱ）凡是元旦当天在超市购买物品的顾客，均可参加抽奖.记抽取的两个小正方体着色面数之和为6，设为一等奖，获得价值50元礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为5，设为二等奖，获得价值30元礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为4，设为三等奖，获得价值10元礼品，其他情况不获奖.求某顾客抽奖一次获得的礼金的分布列与数学期望.20.如图，已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，过原点的直线与椭圆相交于、两点，且.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设，，过点且斜率不为零的直线与椭圆相交于、两点，证明：.21.已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的最小值；（Ⅱ）讨论函数的零点个数.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）（Ⅰ）若，求曲线与直线的交点坐标；（Ⅱ）求直线所过定点的坐标，并求曲线上任一点到点的距离的最大值和最小值.23.已知函数.（Ⅰ）解不等式：；（Ⅱ）若函数的最小值为，且，求的最小值.安徽省皖南八校2020届高三第二次（12月）联考数学理试题参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.为虚数单位，，若为实数，则实数A. -1B.C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】由题意，根据复数的运算法则，求得，再根据复数的概念，即可求解.【详解】由题意，可得，有，故选C.【点睛】本题主要考查了复数的基本概念和复数的运算法则，其中解答中熟记复数的基本概念和复数的运算法则，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.已知集合，，则A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意，求得，进而根据补集的运算，即可得到答案.【详解】由题意，可得，，则，故选A.【点睛】本题主要考查了集合的补集的运算，其中解答中正确求解全集和熟记集合的补集的运算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（图1），图2是由弦图变化得到，它由八个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼接而成.现随机的向图2中大正方形的内部去投掷一枚飞镖，若直角三角形的直角边长分别为5和12，则飞镖投中小正方形（阴影）区域的概率为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先确定小正方形的面积在大正方形中占的比例，根据这个比例即可求出飞镖投中小正方形（阴影）区域的概率.【详解】直角三角形的直角边长分别为5和12，则小正方形的边长为，最大正方形的边长为，小正方形面积49，大正方形面积289，由几何概型公式得：，故选C.【点睛】本题主要考查了几何概型，属于中档题.4.已知为等差数列，若，则A. 18B. 24C. 30D. 32【答案】B【解析】【分析】数列为等差数列，由，可得，进而又由，代入即可求解.【详解】由题意，数列为等差数列，且，可得，则，故选B.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及其应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式，合理运算求解是解答的关键，体现了等差数列的基本量的运算问题，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 5.如图，在中，，，，则的值为A. -4B. -3C. -2D. -8【答案】D【解析】【分析】由题意把转化为、求解即可.【详解】因为，，，所以,故选D.【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算，向量在向量方向上的投影，属于中档题.6.已知函数，则不等式的解集是A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意，根据函数的解析式，求解函数是定义域上的单调递增函数，且为奇函数，把不等式转化为，进而借助一元二次不等式的解法，即可求解.【详解】由题意，函数，则，所以函数是定义域上的单调递增函数，又由，即函数定义域上的奇函数，又由不等式可转化为即，即，解得，即不等式的解集为，故选C.【点睛】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性的应用问题，其中解答中根据函数的解析式利用导数求得函数的单调性和奇偶性，把不等式转化为一元二次不等式是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7.某几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点与点在三视图上的对应点分别为，，则在该几何体表面上，从点到点的路径中，最短路径的长度为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据三视图可判断出P,Q点的位置，然后利用侧面展开图求PQ间距离，比较不同展开图得到的距离即可求解.【详解】由三视图可知该几何体为正四棱柱，底面边长为1，高为2，P,Q位置如图：沿EF展开，计算,沿FM展开，计算,因此点到点的路径中，最短路径的长度为.故选D.【点睛】本题主要考查了三视图，棱柱的侧面展开图，属于中档题.8.若将函数的图像向左平移个单位，所得图像关于轴对称，则当最小时，函数图像的一个对称中心的坐标是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意，根据函数的图象变换和三角函数的性质，求得，得出函数的解析式，由此可求解函数图象的一个对称中心的坐标，得到答案.【详解】由题意，将函数的图像向左平移个单位，可函数的解析式为，又由函数的图像关于轴对称，则，即，解得，当时，，此时函数，令，当时，，所以函数图象的一个对称中心的坐标是，故选D.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换和三角函数的图象与性质，确定的值是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题.9.已知一个三棱锥的六条棱的长分别为，且长为的棱与长为的棱所在直线是异面直线，则三棱锥的体积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图所示，三棱锥中，，则该三棱锥为满足题意的三棱锥，将△BCD看作底面，则当平面平面时，该三棱锥的体积有最大值，此时三棱锥的高，△BCD是等腰直角三角形，则，综上可得，三棱锥的体积的最大值为.本题选择A选项.点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，选择合适的底面是处理三棱锥体积问题的关键所在．10.已知为双曲线的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，为坐标原点.若，则的渐近线方程为A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可求得，再分别求得，根据勾股定理，求得和的关系，即可求得双曲线的渐近线方程.【详解】由过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，双曲线的渐近线方程为，则点到渐近线的距离为，即，则,又由，所以为等腰三角形，则为的中点，所以，在直角中，则，即，整理得，解得，又由，则，即，所以双曲线的渐近线方程为，故选A.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程和简单的几何性质，结合图象，根据勾股定理合理列出关于的关系式是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.11.已知函数若存在实数，，，且，使，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由函数的图象，设，且，由，得，进而得，利用二次函数的性质，即可求解.【详解】由函数，可得函数的图象如图所示，又由存在实数，，，且，设，且，则，即，解得，所以，当时，取得最小值，当时，取得最大值，所以的取值范围是，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的性质的综合应用，以及一元二次函数的图象与性质的应用，其中解答中作出函数的图象，化简得出，利用二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.12.圆与直线相切，且圆心的坐标为，设点的坐标为，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意点到直线的距离，可求得圆的方程，又由存在这样的点，当与圆相切时，转化为，由此列出不等式，求得，即可求解.【详解】由题意点到直线的距离为，可得圆的方程为.若存在这样的点，当与圆相切时，即可，可得，得，则.解得：.【点睛】本题主要考查了直线与圆的综合应用问题，其中解答中求得圆的方程，把存在这样的点，当与圆相切时，转化为，列出不等式，求得，进而求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数，满足条件则的最大值为__________．【答案】1【解析】【分析】作出可行域，根据线性规划知识求最优解即可.【详解】作出可行域如图：作出直线：，平移直线，当直线在y轴上的截距最小时，有最大值，如图平移过点时，.故填1.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，直线的截距，属于中档题.14.已知，且，则__________．【答案】【解析】【分析】由题意，根据三角函数的基本关系式，化简得，进而，代入即可求解.【详解】由题意有，得，由，，有，得，则.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中熟记三角函数的基本关系式，合理化简，求得，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15.记为数列的前项和，，记，则__________．【答案】【解析】【分析】由题意，根据数列的通项和的关系，求得，再由等比数列的定义，得出数列是以为首项，为公比的等比数列，求得通项公式为，利用等比数列的求和公式，即可求解.【详解】由题意有，得，当时有，两式做差得，故数列是以为首项，为公比的等比数列，可得数列的通项公式为，所以.【点睛】本题主要考查了等比数列中通项公式与关系，以及等比数列的定义和前项和公式的应用，其中解答中根据数列中通项公式与关系，以及等比数列的定义得出数列的通项公式，再利用等比数列的求和公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16.已知函数满足，且，当时，，若曲线与直线有5个交点，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】由题意，可得知是周期为2的偶函数，利用与的图像，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，可得，可得，所以是周期为的周期函数，又由，则函数的图象关于对称，由当时，，要使得与直线有5个交点，即与直线的图象由5个交点，作出函数与直线的图象，如图所示，则当时，，解得，当当时，，解得，所以实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把得函数与直线的交点，转化为与直线的图象的交点，分别作出函数与直线的图象，列出不等式组是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及转化思想的应用.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在中，内角、、所对的边分别是、、，若.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）已知的面积为，，求边的长.【答案】（I）；（II）.【解析】【分析】（Ⅰ）由正弦定理化简得，得到，即可求解的值；（Ⅱ）由的面积为，求得，再由余弦定理，即可求解.【详解】解：（Ⅰ）由正弦定理有，有，得，由，得，有，由，得.（Ⅱ）的面积为.又，，∴.由余弦定理得：.∴.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.18.如图，在三棱柱中，已知侧面，，，，点在棱上.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）试确定点的位置，使得二面角的余弦值为． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）点在的中点.【解析】试题分析：(Ⅰ)首先根据余弦定理计算,在中满足勾股定理，,然后根据题设所给的平面,得到,这样就证明了线面垂直的条件；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC 、BA 、BC 1两两垂直，以B 为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系，设，这样设点的坐标，求平面和平面的法向量，根据求，确定点E 的位置.试题解析：解：（Ⅰ）证明：∵BC=，CC 1=BB 1=2，∠BCC 1=，在△BCC 1中，由余弦定理，可求得C 1B=，∴C 1B 2+BC 2=，即C 1B⊥BC．又AB⊥侧面BCC 1B 1，故AB⊥BC 1，又CB∩AB=B，所以C 1B⊥平面ABC ；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，BC 、BA 、BC 1两两垂直，以B 为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系， 则B （0，0，0），A （0，2，0），C （，0，0），C 1（0，0，），B 1（﹣，0，），∴=（0，2，﹣），设，则=+λ=（0，0，﹣）+λ（﹣，0，）=（﹣λ，0，﹣+λ）设平面AC 1E 的一个法向量为=（x ，y ，z ），由，得，令z=，取=（，1，），又平面C1EC的一个法向量为=（0，1，0）所以cos＜，＞===，解得λ=．所以当λ=时，二面角A﹣C1E﹣C的余弦值为．考点：1.空间向量的应用；2.线面垂直的证明.【方法点睛】主要考察了空间向量的应用，属于基础题型，利用空间向量求立体几何中的常见问题的解决方法，（1）证明垂直时，证明线线垂直，即证明直线的方向向量的数量积等于0，证明线面垂直，即证明直线与平面内的两条相交直线的方向向量垂直，即数量积等于0，（2）求异面直线所成角，先求异面直线的方向向量，代入公式，（3）求线面角，先求直线的方向向量和平面的法向量，代入公式，（4）求二面角，先求两个平面的法向量，根据公式，根据二面角的大小确定二面角或.19.某县大润发超市为了惠顾新老顾客，决定在2019年元旦来临之际举行“庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动.为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案，该超市面向该县某高中学生征集活动方案.该中学某班数学兴趣小组提供的方案获得了征用.方案如下：将一个的正方体各面均涂上红色，再把它分割成64个相同的小正方体.经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记它们的着色面数之和为，记抽奖中奖的礼金为.（Ⅰ）求；（Ⅱ）凡是元旦当天在超市购买物品的顾客，均可参加抽奖.记抽取的两个小正方体着色面数之和为6，设为一等奖，获得价值50元礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为5，设为二等奖，获得价值30元礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为4，设为三等奖，获得价值10元礼品，其他情况不获奖.求某顾客抽奖一次获得的礼金的分布列与数学期望.【答案】（I）；（II）详见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由题意，可知64个小正方体中，三面着色的有8个，二面着色的有24个，一面着色的有24个，另外8个没有着色，利用古典概型的概率计算公式，即可求解.（Ⅱ）由题意，随机变量的所有可能取值为，的取值为50，30，10，0，分别求解相应的概率，得出随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解.【详解】解：（Ⅰ）64个小正方体中，三面着色的有8个，二面着色的有24个，一面着色的有24个，另外8个没有着色，∴.（Ⅱ）的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6，的取值为50，30，10，0，∴.【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可取值有那些，当随机变量取这些值时所对应的事件的概率有是多少，计算出概率值后，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望.其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.20.如图，已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，过原点的直线与椭圆相交于、两点，且.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设，，过点且斜率不为零的直线与椭圆相交于、两点，证明：.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）取椭圆的左焦点，连、，由椭圆的几何性质知，则，设椭圆方程代入点即可求解（Ⅱ）设点的坐标为，点的坐标为，直线的方程为：，联立方程组,消元得，写出的斜率，同理得直线的斜率，利用根与系数的关系化简即可得出结论.【详解】（Ⅰ）如图，取椭圆的左焦点，连、，由椭圆的几何性质知，则，得，将点代入椭圆的方程得：，解得：故椭圆的方程为：.（Ⅱ）设点的坐标为，点的坐标为由图可知直线的斜率存在，设直线的方程为：联立方程，消去得：，，.有直线的斜率为：.同理直线的斜率为：.由.由上得直线与的斜率互为相反数，可得.【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率，属于难题.21.已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的最小值；（Ⅱ）讨论函数的零点个数.【答案】（I）；（II）详见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）当时，，求得，得出函数的单调性，即可求解函数的极小值. （Ⅱ）当，方程的，则方程有两个不相等的实数根，记为，，得函数的减区间为，增区间为，求得函数的最小值，没有零点；当时，函数仅有一个零点为；当时，得函数的增区间为，减区间为，求得，由此时函数有两个零点，即可得到答案.【详解】解：（Ⅰ）当时，，令可得.故函数的增区间为，减区间为故当时，函数的最小值为.（Ⅱ）由∵，方程的，则方程有两个不相等的实数根，记为，，则，，有，故函数的减区间为，增区间为，有当时，，又函数单调递减，（1）当时，，此时，函数没有零点；（2）当时，函数仅有一个零点为；（3）当时，有，由，有令，有，故函数的增区间为，减区间为，由，可得不等式（当且仅当时取等号）成立故有当时，，则此时函数有两个零点.由上知时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点；当时函数没有零点.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及利用导数研究函数的零点问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(2)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）（Ⅰ）若，求曲线与直线的交点坐标；（Ⅱ）求直线所过定点的坐标，并求曲线上任一点到点的距离的最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）与；（Ⅱ），.【解析】【分析】（Ⅰ）求出曲线C和直线的普通方程,联立解方程组即可求出交点坐标（Ⅱ）直线所过定点的坐标为，曲线上任一点到P的距离利用两点间距离公式写出，利用三角函数值域的有界性求距离的最值即可. 【详解】（Ⅰ）曲线的普通方程为，当时，直线的普通方程为：联立，解得：或，曲线与的交点为与.（Ⅱ）当时，，，则直线过定点的坐标为，故曲线上任一点到点的距离为：由，故，【点睛】本题主要考查了由参数方程化普通方程，直线系的定点，两点间的距离，属于中档题.23.已知函数.（Ⅰ）解不等式：；（Ⅱ）若函数的最小值为，且，求的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1.【解析】【分析】（Ⅰ）去掉绝对值符号转化为分段函数求解即可（Ⅱ）求出分段函数的最小值，则，，，根据，利用均值不等式求最值即可.【详解】（Ⅰ）可得当时，，即，所以无解；当时，，得，可得；当时，，得，可得.∴不等式的解集为.（Ⅱ）根据函数可知当时，函数取得最小值，可知，∵，，，∴.当且仅当，即时，取“=”.∴的最小值为1.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解，分段函数，均值不等式，属于中档题.。

2020届安徽省皖江联盟高三上学期12月联考试题 数学（理）一、单选题1．复数z 满足()1243i z i -=+（i 为虚数单位），则复数z 的模等于（ ）A B C ．D ．【答案】B【解析】根据复数模的性质和求解直接解得结果即可. 【详解】4312i z i +===- 故选：B 【点睛】本题考查复数模长的求解，涉及到复数模的性质的应用，属于基础题. 2．已知全集为R ，集合{}2,1,0,1,2A =--，102x B x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则()U A C B ⋂的元素个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】解分式不等式求得集合B ，根据交集和补集的定义求得集合()U A C B ⋂，进而得到元素个数. 【详解】{}10212x B x x x x -⎧⎫=<=-<<⎨⎬+⎩⎭Q {2U C B x x ∴=≤-或}1x ≥(){}2,1,2U A C B ∴=-I ，有3个元素故选：C 【点睛】本题考查集合元素个数的求解，涉及到分式不等式的求解、交集和补集的混合运算，属于基础题.3．已知函数()f x 在区间(),a b 上可导，则“函数()f x 在区间(),a b 上有最小值”是“存在()0,x a b ∈，满足()00f x '=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由开区间最小值点必为极小值点可知极小值点导数值为0，充分性成立；利用()3f x x =可验证出必要性不成立，由此得到结论.【详解】(),a b Q 为开区间 ∴最小值点一定是极小值点 ∴极小值点处的导数值为0∴充分性成立当()3f x x =，00x =时，()00f x '=，结合幂函数图象知()f x 无最小值，必要性不成立∴“函数()f x 在区间(),a b 上有最小值”是“存在()0,x a b ∈，满足()00f x '=”的充分不必要条件 故选：A 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，涉及到导数极值与最值的相关知识；关键是能够明确极值点处的导数值为0，但导数值为0的点未必是极值点.4．2011年国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源于中国古代数学家祖冲之的圆周率。

数 学姓名：_________ 座位号：_________（在此卷上答题无效）本试卷共4页，22题.全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数1i z =+，则2z 共轭复数是（ ）A. 2B. 2iC. 2-D. 2i-2. 集合U =R ，集合(){}2log 1A x y x ==-，{}13B x x =+<，则{}41x x -<≤=（ ）A. ()U A B∩ð B. ()U A B ðC. ()U A B ⋂ð D. ()U A B⋂ð3. 函数21()1x f x x +=-，则下列函数中为奇函数的是（ ）A. (2)1f x +- B. (1)2f x +-C. (1)2f x ++ D. (2)1f x -+4. 已知向量()()1,1,1,1a b ==-，若()()a b a b λμ+⊥+ ，则（ ）A. 1λμ+=B. 1λμ+=-C. 1λμ= D. 1λμ=-5. 2022年11月29日神舟十五号载人飞船发射任务取得圆满成功，开启了我国空间站应用发展的新阶段.在太空站内有甲，乙、丙三名航天员，按照一定顺序依次出仓进行同一试验、每次只派一人、每人最多出的仓一次，且时间不超过10分钟.若第一次试验不成功，返仓后派下一人重复进行试验，若试验成功终止试验.已知甲，乙，丙10分钟内试验成功的概率分别为910，89，78，每人试检能否成功相互独立，则试验成功的概率为（ ）A.710B.119120C.359360D.7197206. 在ABC 中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（ ）A.B.C.D. 7. 已知数列{}n a 对任意*k ∈N 满足132k k a a k ++=+，则22023a a +=（ ）A. 3032B. 3035C. 3038D. 30418. 在ABC 中，6BC =，8AB AC +=，E ，F ，G 分别为三边BC ，CA ，AB 的中点，将AFG ，BEG ，CEF △分别沿FG ，EG ，EF 向上折起，使得A ，B ，C 重合，记为P ，则三棱锥P EFG -的外接球表面积的最小值为（ ）A.15π2B.17π2C.19π2D.21π2二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9. 已知数列{}n a 的前n 项和为29n S n n =-，则下列说法正确的是（ ）A. 18a =- B. 数列{}n a 是递增数列C. 数列{}n S 的最小项为9S 和10S D. 满足0nS <的最大正整数8n =10. 设0a >，0b >，满足21a b +=，则下列说法正确的是（ ）A. ab 的最大值是14B.12a b+的最小值是9C. 22a b +最小值是15D. 224a b +的最小值是111. 已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面圆的半径分别为1和3，母线AB 长为4，E 是母线AB 的中点，则（ ）的A. 圆台的侧面积为16πB. 圆台内切球的表面积为3πC.πD. 在圆台侧面上从C 到E的最短路径的长度为12 已知函数321()(,)3f x x x ax b a b =+++∈R ，则（ ）A. 0a >时，函数()f x 在R 上单调递增B. 3a =-时，若()f x 有3个零点，则实数b 的取值范围是59,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 若直线l 与曲线()y f x =有3个不同的交点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，且||||AB AC =，则1233x x x ++=D. 若()f x 存在极值点0x ，且()()01f x f x =，其中10x x ≠，则10230x x ++=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为29，30，38，25，37，40，42，32，那么这组数据的第75百分位数为______.14. 设向量a 和b满足||a b += ，||2a b -= ，则a b ⋅ 的值为__________.15. 已知函数1()12xf x =+，若不等式()e 1(ln ln )xf a f a x ≤--恒成立，则a 的最小值为__________.16. 若πcos5是关于x 的方程3210ax bx ++=（a ，b 都是整数）的一个实根，则a b +=__________.四、解答题：本大题共6小题，共70分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 函数π()sin()0,0,||2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）将函数()y f x =的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐的.标不变，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.18. 从2021年秋季学期起，安徽省启动实施高考综合改革，实行高考科目“312++”模式，“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分数计入高考成绩；“2”指考生从政治、地理、生物、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩.按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表：等级A B C D E 人数比例15%35%35%13%2%赋分区间[]86,100[]71,85[]56,70[]41,55[]30,40将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为2211Y Y T TY Y T T --=--，其中1Y ，2Y 分别表示原始分区间的最低分和最高分，1T ，2T 分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，Y 表示考生的原始分，T 表示考生的等级分，规定原始分为1Y 时，等级分为1T .某次生物考试的原始分最低分为45，最高分为94，呈连续整数分布，分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组，第五组[85,95)，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同.（1）根据频率分布直方图求a ，b 的值，并估计此次生物考试原始分的平均值；（2）按照等级分赋分规则，估计此次考试生物成绩A 等级的原始分区间；（3）用估计的结果近似代替原始分区间，若某学生生物成绩的原始分为83，试计算其等级分.19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的菱形，π3PAB DAB ∠=∠=，PA PB ⊥，点E 在线段PB 上，CD DE ⊥，平面PAB ⊥平面ABCD ．（1）求四面体E PAD -的体积；（2）求直线DE 与平面CDP 所成角的正弦值．20. 记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足()cos 22cos cos c b A a A B A B +=≤.（1）求A ；（2）若角A 的平分线交BC 于D 点，且1AD =，求ABC 面积的最小值.21. 已知数列{}n a 满足11a =，112n n n a a +++=.（1）证明：数列232n na ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设12111n n T a a a =+++ ，证明：74n T <对任意*N n ∈成立22. 设函数1()ln 1f x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭.（1）讨论函数()f x 的单调性.（2）设数列{}n a 满足11nn a n ⎛+⎫⎪⎝⎭=，证明：数列是单调递增数列，且e n a <，*n ∈N （其中e 为自然对数的底）..数 学姓名：_________ 座位号：_________（在此卷上答题无效）本试卷共4页，22题.全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数1i z =+，则2z 的共轭复数是（ ）A. 2 B. 2iC. 2- D. 2i-【答案】D 【解析】【分析】先利用复数的乘方运算化简，再利用共轭复数的定义求解.【详解】解：22(1i)2i z =+=，则共轭复数是2i -.故选：D2. 集合U =R ，集合(){}2log 1A x y x ==-，{}13B x x =+<，则{}41x x -<≤=（ ）A. ()U A B∩ð B. ()U A B ðC. ()U A B ⋂ð D. ()U A B⋂ð【答案】D 【解析】【分析】先求解出集合,A B ，再分别验证四个选项即可.【详解】集合{}1A x x =>，{}42B x x =-<<，{|4U x x B =≤-ð或2}x ≥，{}1U A x x =≤ð，{}|4A B x x =>- ，{}|12A B x x ⋂=<<，所以(){}|2U A B x x =≥ ð，故选项A 不正确；{}()|4U A B x x ⋃=≤-ð，故选项B 不正确；{()|1U A B x x ⋂=≤ð或}2x ≥，故选项C 不正确；(){}41UA B x x ⋂=-<≤ð，故选项D 正确；故选：D.3. 函数21()1x f x x +=-，则下列函数中为奇函数的是（ ）A. (2)1f x +- B. (1)2f x +-C. (1)2f x ++ D. (2)1f x -+【答案】B 【解析】【分析】由函数图象的平移变换结合奇函数定义可解.详解】213()211x f x x x +==+--关于点(1,2)对称，故将()f x 的图像向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，图像关于原点对称，（事实上3(1)22f x x+-=-=为奇函数），故选：B.4. 已知向量()()1,1,1,1a b ==-，若()()a b a b λμ+⊥+ ，则（ ）A. 1λμ+=B. 1λμ+=-C. 1λμ=D. 1λμ=-【答案】D 【解析】【分析】根据向量的坐标运算求出a b λ+ ，a b μ+，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．【详解】因为()()1,1,1,1a b ==- ，所以()1,1a b λλλ+=+- ，()1,1a b μμμ+=+-，由()()a b a b λμ+⊥+可得，()()0a b a b λμ+⋅+= ，【即()()()()11110λμλμ+++--=，整理得：1λμ=-．故选：D ．5. 2022年11月29日神舟十五号载人飞船发射任务取得圆满成功，开启了我国空间站应用发展的新阶段.在太空站内有甲，乙、丙三名航天员，按照一定顺序依次出仓进行同一试验、每次只派一人、每人最多出仓一次，且时间不超过10分钟.若第一次试验不成功，返仓后派下一人重复进行试验，若试验成功终止试验.已知甲，乙，丙10分钟内试验成功的概率分别为910，89，78，每人试检能否成功相互独立，则试验成功的概率为（ ）A.710B.119120C.359360D.719720【答案】D 【解析】【分析】法一：利用对立事件的概率求解；法二：设试验任务成功的事件M ，甲成功的事件1M ，甲不成功乙成功的事件2M ，甲乙都不成功丙成功的事件3M ，由事件1M ，2M ，3M 互斥求解.【详解】解：法一：试验任务不成功的的概率是987111111098720p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以成功概率是719720法二：不妨设按照甲乙丙顺序依次出仓进行试验，设试验任务成功的事件M ，甲成功的事件1M ，甲不成功乙成功的事件2M ，甲乙都不成功丙成立的事件3M ，()1910P M =，()2988110990P M ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭，()39877111098720P M ⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为事件1M ，2M ，3M 互斥，所以试验任务成功的概率()123987119()1090720720P M P M M M =++=++=.故选：D.6. 在ABC 中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（ ）A.B.C.D. 的【答案】C 【解析】【详解】试题分析：设,2,sin cos cos AD a AB CD a AC A ααββ=⇒===⇒====⇒cos()αβ=+=,故选C.考点：解三角形.7. 已知数列{}n a 对任意*k ∈N 满足132k k a a k ++=+，则22023a a +=（ ）A. 3032 B. 3035C. 3038D. 3041【答案】C 【解析】.【详解】因为132k k a a k ++=+，所以()1231235k k a a k k +++=++=+，两式相减得：23k k a a +-=，令1k =得125a a +=，所以2113(1)k a a k -=+-，所以21232k a a k -+=+，当1012k =时，220233*********a a +=⨯+=.故选：C.8. 在ABC 中，6BC =，8AB AC +=，E ，F ，G 分别为三边BC ，CA ，AB 的中点，将AFG ，BEG ，CEF △分别沿FG ，EG ，EF 向上折起，使得A ，B ，C 重合，记为P ，则三棱锥P EFG -的外接球表面积的最小值为（ ）A.15π2B.17π2C.19π2D.21π2【答案】B 【解析】【分析】设2AB m =，2AC n =，由题设4m n+=．将P EFG -放在棱长为x ，y ，z 长方体中，可得,,,,x y z m n 的关系式，三棱锥P EFG -的外接球就是长方体的外接球，利用基本不等式结合球的表面积公式求解.【详解】设2AB m =，2AC n =，由题设4m n+=.三棱锥P EFG -中，3FG PE ==，EF PG m ==，EG PF n ==，将P EFG -放在棱长为x ，y ，z 的长方体中，如图，则有2222222223x y y z m z x n ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，三棱锥P EFG -的外接球就是长方体的外接球，所以()2222221(2)92R x y z m n =++=++，由基本不等式222()82m n m n ++≥=，当且仅当2m n ==时等号成立，所以外接球表面积2117π4π(98)π22S R =≥+=.故选：B.【点睛】关键点睛：本题解决的难点是根据题意得到三棱锥P EFG -的特征，从而放置到相应的长方体中，由此得解.二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9. 已知数列{}n a 的前n 项和为29n S n n =-，则下列说法正确的是（ ）的A. 18a =- B. 数列{}n a 是递增数列C. 数列{}n S 的最小项为9S 和10S D. 满足0nS <的最大正整数8n =【答案】ABD 【解析】【分析】先根据29n S n n =-求出210n a n =-，即可判断选项A 、B ；再利用二次函数性质可判断选项C ；最后根据0nS <解不等式即可判断选项D.详解】 29n S n n=-∴当1n =时，121198a S ==-=-；当2n ≥时，()()()1229191210n n n a S S n n n n n -⎡⎤==-----=-⎣⎦-；12110a ⨯-=∴210n a n =-.120n n a a +-=>∴数列{}n a 是递增数列，故选项A 、B 正确；22981924n S n n n ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭*N n ∈∴当4n =或5n =时n S 最小，即数列{}n S 的最小项为4S 和5S ，故选项C 错误，令0nS <，得09n <<，*N n ∈，即满足0n S <的最大正整数8n =，故选项D 正确.故选：ABD10. 设0a >，0b >，满足21a b +=，则下列说法正确的是（ ）A. ab 的最大值是14B.12a b+的最小值是9C. 22a b +的最小值是15D. 224a b +的最小值是1【答案】BC 【解析】【分析】根据正实数a ，b 满足21a b +=，结合基本不等式和二次函数求最值即可判断.【详解】解：对于A ，正实数a ，b 满足21a b +=，所以2a b +≥，则1≥，即18ab ≤，【当且仅当2a b =，即11,24a b ==等号成立，所以ab 有最大值18，故A 错误；对于B ，()1212222559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当13a b ==时等号成立，则12a b+有最小值9，故B 正确；对于C ，正实数a ，b 满足21a b +=，则120a b =->，故102b <<，所以()2222222112541555a b b b b b b ⎛⎫+=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭，则当25b =时，22a b +有最小值15，故C 正确；对于D ，结合C 可知，()222222114124841842a b b b b b b ⎛⎫+=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭，则当14b =时，22a b +有最小值12，故D 错误.故选：BC.11. 已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面圆的半径分别为1和3，母线AB 长为4，E 是母线AB 的中点，则（ ）A. 圆台的侧面积为16πB. 圆台的内切球的表面积为3πC. πD. 在圆台侧面上从C 到E 的最短路径的长度为【答案】ACD 【解析】【分析】根据圆台、球、最短距离等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】轴截面梯形的上底为2，下底为6，高为，4=，设侧面展开图的扇环对应的圆心为O ，141,,633OA OB OB OB OB -===，2π3π6⨯=，所以侧面展开图是半圆环（如图），所以圆台的侧面积π(13)416πS =+⨯=，圆台的体积1(9ππ3π)π3V =++⨯=.，12π.在圆台侧面上从C 到E 的最短路径，在展开图中是线段CE ==.故选：ACD12. 已知函数321()(,)3f x x x ax b a b =+++∈R ，则（ ）A. 0a >时，函数()f x 在R 上单调递增B. 3a =-时，若()f x 有3个零点，则实数b 的取值范围是59,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 若直线l 与曲线()y f x =有3个不同的交点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，且||||AB AC =，则1233x x x ++=D. 若()f x 存在极值点0x ，且()()01f x f x =，其中10x x ≠，则10230x x ++=【答案】BD 【解析】【分析】根据函数求导后公式及结合a 的取值情况可对A 项判断；3a =-，求出()223f x x x =+-'再结合函数极大小值即可对B 项判断；求出函数的二阶导数，从而求出对称中心点()()1,1f --即可对C 项判断；根据函数存在极值点0x 再结合令102x x t +=，求出t ，即可对D 项判断.【详解】对于A ：求导22()2(1)1f x x x a x a '=++=++-，当(0,1)a ∈时，()0f x '=有2个不相等的实根1x ，2x ，在区间()12,x x 上()0f x '<，()f x 单调递减，故选项A 错误.对于B ：当3a =-时，令2()23(3)(1)0f x x x x x '=+-=+-=，得13x =-，21x =，若()f x 有3个零点，则极大值(3)90f b -=+>，极小值5(1)03f b =-<，实数b 的取值范围是59,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选项B 正确.对于C ：令二阶导数()220f x x ''=+=，得=1x -，则三次函数()f x 的对称中心是()()1,1f --.当直线l 与曲线()y f x =有3个不同的交点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，且||||AB AC =时，点A 一定是对称中心，所以123133x x x x ++==-，故选项C 错误.对于D ：若()f x 存在极值点0x ，则2()(1)10f x x a '=++-=，1a <，()2011x a +=-.令102+=x x t ，得102x t x =-，因为()()01f x f x =，于是()()002=-fx f t x ，所以()()()32320000001122233x x ax b t x t x a t x b +++=-+-+-+，化简得：()201303t t x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，因为10x x ≠，故030x t -≠，于是3=-，即10230x x ++=.故选项D 正确.故选：BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为29，30，38，25，37，40，42，32，那么这组数据的第75百分位数为______.【答案】39【解析】【分析】根据第75百分位数的定义计算可得答案.【详解】8场比赛的得分从小到大排列为：25，29，30，32，37，38，40，42，因为875%6⨯=，所以第75百分位数为3840392+=.故答案为：3914. 设向量a 和b 满足||a b += ，||2a b -= ，则a b ⋅ 的值为__________.【答案】2【解析】【分析】根据平面向量的模及数量积运算量即可解答.【详解】因为||a b += ||2a b -=所以22212a b b a +⋅+=，2224a a b b -⋅+=，所以2a b ×= .故答案为：215. 已知函数1()12x f x =+，若不等式()e 1(ln ln )xf a f a x ≤--恒成立，则a 的最小值为__________.【答案】1e【解析】【分析】根据函数()112x f x =+求出其单调性，且()()1111212x xf x f x -+-=+=++，从而可得()e ln x xf a f a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，再结合函数的单调性从而求解.【详解】由函数21x y =+在R 上单调递增，所以函数1()12xf x =+在R 上单调递减，且11()()11212x xf x f x -+-=+=++，所以()()()e1ln ln ln ln ln xx f a f a x x a f a ⎛⎫≤---= ⎪⎝⎭，0x >，由函数()f x 单调性可得e lnxx a a≥.所以ln e ln e xxa x x x x a a a≥=，构造函数()()e 0x g x x x =>，()()e e 1e x x xg x x x =+=+'，当0x >时，()0g x '>，()g x 在区间()0,+∞单调递增，所以lnln ln xx x a a≥=-，所以ln ln a x x ≥-恒成立，构造函数()()ln 0h x x x x =->，()111x h x x x-=-='，当01x <<，()0h x '>，()h x 在区间()0,1上单调递增；当1x >，()0h x '<，()h x 在区间()1,+∞上单调递减；所以当1x =时()h x 取得极大值也是最大值()1ln111h =-=-，因此ln 1a ≥-，所以1e a ≥，a 的最小值为1e.故答案为：1e .16. 若πcos 5是关于x 的方程3210ax bx ++=（a ，b 都是整数）的一个实根，则a b +=__________.【答案】0【解析】【分析】由22242π4π2ππππcos cos 12cos 122cos 18cos 8cos 1555555⎡⎤=-=-=--=-+-⎢⎥⎣⎦，转化为32ππ8cos 8cos 1055-+=，利用待定系数法法求解.【详解】因为22242π4π2ππππcos cos 12cos 122cos 18cos 8cos 1555555⎡⎤=-=-=--=-+-⎢⎥⎣⎦，所以422πππππππ8cos8cos cos 10,8cos cos 1cos 1cos 105555555⎛⎫⎛⎫-++=+-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以2ππ8coscos 11cos 1055⎡⎤⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎢⎥⎭⎝⎭⎣⎦，又πcos 105+≠，所以232ππππ8coscos 118cos 8cos 105555⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭，又因为3210ax bx ++=，所以8a =，8b =-，则0a b +=.故答案为：0四、解答题：本大题共6小题，共70分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 函数π()sin()0,0,||2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）将函数()y f x =的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.【答案】（1）π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）[2]【解析】【分析】（1）根据图象易得A 和周期，结合0π12f ⎛-⎫= ⎪⎝⎭可得结果；（2）根据平移和伸缩变换可得()g x ，进而由整体法即可求解函数的值域.【小问1详解】观察图象可得2A =，函数()f x 的周期11ππ2ππ1212T ω⎛⎫=--== ⎪⎝⎭，解得2ω=，即()2sin(2)f x x ϕ=+，由ππ2sin 0126f ϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得ππ6k ϕ-+=，即ππ6k ϕ=+，Z k ∈，而||2ϕπ<，则π6ϕ=，所以函数()y f x =的解析式是π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【小问2详解】将()f x 的图象向左平移π12个单位长度，可得到函数πππ2sin 22sin 21263y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，则π()2sin 43g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，当π04x ≤≤时，ππ4π4333x ≤+≤，则π2sin 423x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以()2g x ≤≤，因此()g x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[2].18. 从2021年秋季学期起，安徽省启动实施高考综合改革，实行高考科目“312++”模式，“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分数计入高考成绩；“2”指考生从政治、地理、生物、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩.按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表：等级A B C D E 人数比例15%35%35%13%2%赋分区间[]86,100[]71,85[]56,70[]41,55[]30,40将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为2211Y Y T T Y Y T T --=--，其中1Y ，2Y 分别表示原始分区间的最低分和最高分，1T ，2T 分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，Y 表示考生的原始分，T 表示考生的等级分，规定原始分为1Y 时，等级分为1T .某次生物考试的原始分最低分为45，最高分为94，呈连续整数分布，分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组，第五组[85,95)，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同.（1）根据频率分布直方图求a ，b 的值，并估计此次生物考试原始分的平均值；（2）按照等级分赋分规则，估计此次考试生物成绩A 等级的原始分区间；（3）用估计的结果近似代替原始分区间，若某学生生物成绩的原始分为83，试计算其等级分.【答案】（1）0.0050.025a b =⎧⎨=⎩，平均分为69.5分；（2）[]80,94；（3）89分.【解析】【分析】（1）由题设及直方图列方程组求参数，再根据直方图求平均值；（2）由区间占比和成绩A 等级占比分析出等级A 的原始分区间最低分所在区间，并求出最低分，即可得结果；（3）根据赋分转换公式求等级分即可.【小问1详解】由题意知：10100.310(0.0450.020)0.7a b a +=⎧⎨⨯++=⎩，解得0.0050.025a b =⎧⎨=⎩，故每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，所以生物原始分的平均值等于500.05600.25700.45800.2900.0569.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=分.【小问2详解】由频率分布直方图知，原始分成绩位于区间[85,95)的占比为5%，位于区间[75,85)的占比为20%，因为成绩A 等级占比为15%，所以等级A 的原始分区间最低分位于区间[75,85)，估计等级A 的原始分区间的最低分为15%5%85108020%--⨯=分，已知最高分为94，所以估计此次考试生物成绩A 等级的原始分区间为[]80,94.【小问3详解】由9483100838086TT --=--，解得89T =，该学生的等级分为89分.19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的菱形，π3PAB DAB ∠=∠=，PA PB ⊥，点E 在线段PB 上，CD DE ⊥，平面PAB ⊥平面ABCD ．（1）求四面体E PAD -的体积；（2）求直线DE 与平面CDP 所成角的正弦值．【答案】（1）43（2【解析】【分析】（1）取AB 的中点O ，连接,BD DO ，过点P 作DO 的平行线PG ，易证⊥DO AB ，根据面面垂直的性质可得DO ⊥平面PAB ，从而可得PG ⊥平面PAB ，以点P 为原点，建立空间直角坐标系，取PA 的中点F ，连接OF ，根据AB DC =求得C 点得坐标，根据CD DE ⊥，求出PE ，再根据锥体得体积公式即可得解；（2）利用向量法求解即可.【小问1详解】取AB 的中点O ，连接,BD DO ，过点P 作DO 的平行线PG ，在菱形ABCD 中，π,3DAB ABD ∠=∴ 为等边三角形，又底面ABCD 是边长为4的菱形，OD ∴=，且⊥DO AB ，又平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面,ABCD AB DO =⊂平面ABCD ，DO ∴⊥平面PAB ，又//,DO PG PG ∴⊥平面PAB ，又,PA PB ⊂平面,,PAB PA PG PB PG ∴⊥⊥，又PA PB ⊥，如图以点P原点，建立空间直角坐标系，π,2,3PAB DAB PA PB ∠=∠=∴== 取PA 的中点F ，连接OF，则1OF AF ==，(0,0,0),(2,0,0),(0,P A B O D ∴，(2,AB ∴=-，设(,,)C a b c，则(1,DC a b c =-- ，由AB DC =，得1,a b c =-==，即((2,C CD -=-，设PE d =，则(0,,0),(1,E d DE d ∴=---，,2(0,CD DE CD DE d d ⊥∴⋅=-+-=∴= ，为PE ∴=1142323E PAD D PAE V V --∴==⨯⨯=；【小问2详解】设平面CDP 的一个法向量为(,,)n x y z = ，由(2,PD CD ==-，得20,0,n CD x n PD x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩取1)n =- ，又1,DE ⎛=-- ⎝ ，∴直线DE 与平面CDP所成角的正弦值为：cos ,DE .20. 记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足()cos 22cos cos c b A a A B A B +=≤.（1）求A ；（2）若角A 的平分线交BC 于D 点，且1AD =，求ABC 面积的最小值.【答案】（1）3A π=（2【解析】【分析】（1）由已知结合正弦定理边化角即可求解;（2）表示出所求面积后运用基本不等式即可求解.【详解】（1）由已知和正弦定理可得：sin sin cos 22sin cos cos C B A A A B +=，所以sin sin 2cos sin cos 2sin(2)0C A B B A A B =-=->.又因为(0,)C π∈，2(0,)A B π-∈，所以C 2A B =-或者2C A B π+-=.当C 2A B =-时，2A B A B π++-=，3A π=；当2C A B π+-=时，2A B =与题设A B ≤不符.综上所述，3A π=.（2）ABC面积1sin 23S bc π==，由AD 是角平分线，6BAD CAD π∠=∠=，因为ABC ABD ADC S S S =+ ，得111sin sin sin 232626bc b c πππ=+，即b c +=≥，43bc ≥，当且仅当b c ==.所以面积43S =≥=故ABC.21. 已知数列{}n a 满足11a =，112n n n a a +++=.（1）证明：数列232n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设12111n n T a a a =+++ ，证明：74n T <对任意*N n ∈成立.【答案】（1）证明见解析，12(1)3n nn a ++-= （2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题中递推公式可求得1121223223n n n n a a ++⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，从而即可证明；（2）利用分组并项法可求当n 为奇数和偶数时n T 值的情况并适当应用放缩，从而求证.【小问1详解】证明：由已知112n n n a a +++=得1111222n n n n a a +++⨯=，因此1121232322n n n n a a ++⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，又1121362a -=-，所以数列232n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为16-，公比为12-的等比数列，因此12113622n n n a -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，所以12(1)3n n n a ++-=.【小问2详解】证明：由已知11a =，23a =，35a =，…，显然n T 单调递增，1212114734T T a a <=+=<.当2n >且n 是奇数时，()()111111111112222113333212122222121n n n n n n n n n n n n n n a a ++++++-++⎛⎫⎛⎫+=+=⨯<⨯=+ ⎪ ⎪+-⨯+-⎝⎭⎝⎭，所以34111121111111117371313444222222n n n n n n T a a a +++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++<+++++=+⨯-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦ .当2n >且n 是偶数时，则1n +是奇数，有174n n T T +<<，所以，对任意*N n ∈，1211174n n T a a a =+++< .22. 设函数1()ln 1f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）讨论函数()f x 的单调性.（2）设数列{}n a 满足11nn a n ⎛+⎫ ⎪⎝⎭=，证明：数列是单调递增数列，且e n a <，*n ∈N （其中e 为自然对数的底）.【答案】22. 在区间(,1)-∞-和(0,)+∞上都是单调递增 23. 证明见解析【解析】【分析】（1）求出定义域，先证出ln 1≤-x x ，得到1ln 1x x ≥-，故()0f x '>，求出单调性；（2）在（1）的基础上，得到11ln 1(1)ln 11n n n n ⎛⎫⎛⎫+<++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，故数列是单调递增数列，由（1）得到11ln 1n n⎛⎫+< ⎪⎝⎭，得到1ln ln 11n a n n ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，故e n a <.【小问1详解】函数()f x 的定义域是(,1)(0,)-∞-⋃+∞，先证明ln 1≤-x x ，设()ln 1g x x x =-+，则1()1g x x'=-，在()0,1x ∈上()0g x '>，()g x 单调递增，在(1,)+∞上()0g x '<，()g x 单调递减，()(1)0g x g ≤=，所以ln 1≤-x x .可得11ln 1x x≤-，得到1ln 1x x ≥-，等号当且仅当1x =时成立，所以111()ln 110111x f x x x x x ⎛⎫'=+-≥--= ⎪+++⎝⎭，注意111x+≠，所以()0f x '>恒成立.因此()f x 的定义域在区间(,1)-∞-，(0,)+∞上都是单调递增.【小问2详解】由题设11n n a n ⎛+⎫ ⎪⎝⎭=，11111n n a n ++⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，1ln ln 1n a n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，11ln (1)ln 11n a n n +⎛⎫=++ ⎪+⎝⎭，只需证明11ln 1(1)ln 11n n n n ⎛⎫⎛⎫+<++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，因为1()ln 1f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在(0,)+∞上单调递增，显然成立.下面证明11e n n a n ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，等价于证明1ln ln 11n a n n ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，也即证明11ln 1n n⎛⎫+< ⎪⎝⎭，由（1）过程可知ln(1)x x +≤，故原不等式得证.【点睛】导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到.。

安徽省皖江联盟2020届高三上学期12月联考地理试题本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。

第I卷第1至第5页，第II卷第5至第6页。

全卷满分100分，考试时间100分钟。

考生注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号。

2.答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答第II卷时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．上答题无效。

．．．．．．4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。

第I卷(选择题共50分)本卷共25小题，每小题2分，共50分。

在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

太阳辐射既影响室内外气温、住宅阴影形状，也影响室内供暖与制冷的能源消耗。

右图示意某日从日出到日落的4个时刻(见图中序号)某二层住宅(北半球)太阳阴影形状，该地北半球冬至日的正午太阳高度接近50°。

据此完成1～3题。

1.该日太阳升起的方向是A.正东B.正西C.东南D.东北2.图示4个时刻中，太阳高度最高的是A.①B.②C.③D.④3.该地可能位于A.南半球亚热带B.北半球热带C.南半球热带D.北半球亚热带冰川由高山向下滑行，刨蚀山谷，形成“U”型谷，沿海的“U”型谷被海水倒灌，形成两侧陡崖峭壁的峡湾。

位于挪威西南海岸的长204千米、深1308米的松娜峡湾是世界最长、最深的峡湾，其海面以上部分1400米，海面以下部分500米。

右图示意挪威松娜峡湾。

据此完成4～6题。

4.在松娜峡湾两侧的陡崖峭壁上能够欣赏到的壮观景象是A.岩层错位的断层B.飞流直下的瀑布C.热气沸腾的温泉D.岩壁掏空的悬崖5.冬季，松娜峡湾的大部分海面不结冰，其主要原因是A.北大西洋暖流影响B.海水盐度过高C.峡湾落差大，海水流速快D.植被茂密，蒸腾作用强6.松娜峡湾地区适宜发展的产业是A.耕作业、旅游业B.航运业、林果业C.畜牧业、耕作业D.航运业、旅游业低温冻害是指寒潮入侵导致连续多日气温下降，使粮食作物、经济林木等因温度过低而受到损害以致减产的农业气象灾害。

2020届安徽省皖江联盟高三上学期12月联考试题（文）数学试题一、单选题1．复数z 满足()1243i z i -=+（i 为虚数单位），则复数z 的模等于（ ）A B C ．D ．【答案】B【解析】根据复数模的性质和求解直接解得结果即可. 【详解】4312i z i +===- 故选：B 【点睛】本题考查复数模长的求解，涉及到复数模的性质的应用，属于基础题. 2．已知全集为R ，集合{}2,1,0,1,2A =--，102x B x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则()U A C B ⋂的元素个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】解分式不等式求得集合B ，根据交集和补集的定义求得集合()U A C B ⋂，进而得到元素个数. 【详解】{}10212x B x x x x -⎧⎫=<=-<<⎨⎬+⎩⎭{2U C B x x ∴=≤-或}1x ≥(){}2,1,2U AC B ∴=-，有3个元素故选：C 【点睛】本题考查集合元素个数的求解，涉及到分式不等式的求解、交集和补集的混合运算，属于基础题.3．已知函数()f x 在区间(),a b 上可导，则“函数()f x 在区间(),a b 上有最小值”是“存在()0,x a b ∈，满足()00f x '=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由开区间最小值点必为极小值点可知极小值点导数值为0，充分性成立；利用()3f x x =可验证出必要性不成立，由此得到结论.【详解】(),a b 为开区间 ∴最小值点一定是极小值点 ∴极小值点处的导数值为0∴充分性成立当()3f x x =，00x =时，()00f x '=，结合幂函数图象知()f x 无最小值，必要性不成立∴“函数()f x 在区间(),a b 上有最小值”是“存在()0,x a b ∈，满足()00f x '=”的充分不必要条件 故选：A 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，涉及到导数极值与最值的相关知识；关键是能够明确极值点处的导数值为0，但导数值为0的点未必是极值点.4．2011年国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源于中国古代数学家祖冲之的圆周率。

安徽省皖江联盟2020届高三化学上学期12月联考试题本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。

第I卷第1至第4页，第II卷第4至第6页。

全卷满分100分，考试时间100分钟。

考生注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号。

2.答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答第II卷时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．上答题无效。

．．．．．．4.考试结束，务必将试题卷和答题卡－并上交。

可能用到的原子量：H1 C12 N14 O16 Si28 S32 Cl35.5 Fe56 Cu64第I卷(选择题共48分)－、选择题(本题共16小题，每小题3分，共48分。

在每小题列出的四个选项中，只有－项是最符合题目要求的。

)1.化学与生活密切相关。

下列说法错误的是A.纯碱可用于去除餐具的油污B.“火树银花”中的焰火实质上是金属元素的焰色反应C.碳酸钡可用于胃肠X射线造影检查D.煤经过气化、液化等化学变化过程，可以转化为清洁能源2.下列有关物质性质与用途的因果关系说法正确的是A.SO2具有氧化性，可用于漂白纸浆B.晶体硅熔点高、硬度大，可用于制光导纤维C.漂白粉具有还原性，可用于自来水的杀菌消毒D.生石灰能与水反应，可用作食品干燥剂3.N A代表阿伏加德罗常数的值。

下列说法正确的是A.标准状况下，11.2 L Cl2溶于水，溶液中Cl－，ClO－和HClO的微粒数之和为N AB.32.5 g FeCl3水解形成的Fe(OH)3胶体粒子数为0.2N AC.标准状况下，4.48 L氢气、一氧化碳的混合气体完全燃烧，消耗氧分子的数目为0.1N AD.密闭容器中2 mol NO与l molO2充分反应，产物的分子数为2N A4.下列离子方程式正确的是A.酸化NAlO3和NaI的混合溶液：I－＋IO3－＋6H＋＝I2＋3 H2OB.Ca(HCO3)2溶液与少量NaOH溶液反应：Ca2＋＋HCO3－＋OH－＝CaCO3↓＋H2OC.大理石与醋酸反应：CO32－＋2CH3COOH＝2CH3COO－＋H2O＋CO2↑D.向氯化钙溶液中通入少量CO2气体：Ca2＋＋CO2＋H2O＝CaCO3↓＋2H＋5.侯德榜是近代化学工业的奠基人之一，是世界制碱业的权威。