2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质1.已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,有下列四个命题:①若α∥β,则l⊥m;②若α⊥β,则l∥m;③若l∥m,则α⊥β;④若l⊥m,则α⊥β,其中,正确命题的序号是( C )(A)①② (B)③④ (C)①③ (D)②④解析:当l⊥α,α∥β时,l⊥β,又m⊂β,所以l⊥m,故①正确;当α⊥β,l⊥α时,l∥β或l⊂β,又m⊂β,则l与m可能相交、平行、异面,故②不正确;因为l∥m,l⊥α,所以m⊥α,又m⊂β,所以α⊥β,故③正确;④显然不正确.2.已知a,b为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,下列四个命题:①a∥b,a∥α⇒b∥α;②a⊥b,a⊥α⇒b∥α;③a∥α,β∥α⇒a∥β;④a⊥α,β⊥α⇒a∥β.其中不正确的有( D )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个解析:①中b⊂α有可能成立,所以①不正确;②中b⊂α有可能成立,故②不正确;③中a⊂β有可能成立,故③不正确;④中a⊂β有可能成立,故④不正确.综上①②③④均不正确,故选D.3.已知直线m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β=m,要使n⊥β,则应增加的条件是( C )(A)n⊂α,且m∥n (B)n∥α(C)n⊂α且n⊥m (D)n⊥α解析:由面面垂直的性质定理可知选C.4.若平面α⊥平面β,平面β⊥平面γ,则( D )(A)α∥γ(B)α⊥γ(C)α与γ相交但不垂直(D)以上都有可能解析:α⊥β,β⊥γ,则α∥γ或α⊥γ或α与γ相交但不垂直.故选D.5.已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是( D )(A)若α,β垂直于同一平面,则α与β平行(B)若m,n平行于同一平面,则m与n平行(C)若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线(D)若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面解析:若α,β垂直于同一个平面γ,则α,β可以都过γ的同一条垂线,即α,β可以相交,故A 错;若m,n平行于同一个平面,则m与n可能平行,也可能相交,还可能异面,故B错;若α,β不平行,则α,β相交,设α∩β=l,在α内存在直线a,使a∥l,则a∥β,故C错;从原命题的逆否命题进行判断,若m与n垂直于同一个平面,由线面垂直的性质定理知m∥n,故D正确.6.如图,PA⊥矩形ABCD,下列结论中不正确的是( A )(A)PD⊥BD (B)PD⊥CD(C)PB⊥BC (D)PA⊥BD解析:因为PA⊥矩形ABCD,所以PA⊥BD,若PD⊥BD,则BD⊥平面PAD,又BA⊥平面PAD,则过平面外一点有两条直线与平面垂直,不成立,故A不正确;因为PA⊥矩形ABCD,所以PA⊥CD,AD⊥CD,所以CD⊥平面PAD,所以PD⊥CD,同理可证PB⊥BC.故选A.7.设αlβ是直二面角,直线a⊂平面α,直线b⊂平面β,a,b与直线l都不垂直,那么( C )(A)a与b可能垂直,但不可能平行(B)a与b可能垂直,也可能平行(C)a与b不可能垂直,但可能平行(D)a与b不可能垂直,也不可能平行解析:当a∥l,b∥l时,a∥b.若a⊥b,可在a上任取点A,过点A在α内作l的垂线c,如图,则c⊥β,所以c⊥b.因为a∩c=A,所以b⊥α,所以b⊥l,这与已知矛盾.所以a与b不可能垂直.8.如图所示,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB与平面α,β所成的角分别为45°和30°,过点A,B分别作两平面交线的垂线,垂足分别为A′,B′,则AB∶A′B′等于( A )(A)2∶1 (B)3∶1(C)3∶2 (D)4∶3解析:如图,连接AB′,A′B.由已知,得AA′⊥β,∠ABA′=30°,BB′⊥α,∠BAB′=45°.设AB=a,则BA′=a,BB′=a,在Rt△BB′A′中,A′B′==a,所以AB∶A′B′=2∶1.故选A.9.设α,β是两个不同的平面,l是一条直线,给出四个命题:①若l⊥α,α⊥β,则l⊂β;②若l∥α,α∥β,则l⊂β;③若l⊥α,α∥β,则l⊥β;④若l∥α,α⊥β,则l⊥β.则正确命题的个数为.解析:①错,可能有l∥β;②错,可能有l∥β;③正确;④错,也可能有l∥β,或l⊂β或l与β相交.答案:110.如图,四面体P ABC中,PA=PB=13,平面PAB⊥平面ABC,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,则PC= .解析:取AB的中点E,连接PE,EC.因为∠ACB=90°,AC=8,BC=6,所以AB=10,所以CE=5.因为PA=PB=13,E是AB的中点,所以PE⊥AB,PE=12.因为平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,所以PE⊥平面ABC.因为CE⊂平面ABC,所以PE⊥CE.在Rt△PEC中,PC==13.答案:1311.设m,n为空间的两条直线,α,β为空间的两个平面,给出下列命题:①若m∥α,m∥β,则α∥β;②若m⊥α,m⊥β,则α∥β;③若m∥α,n∥α,则m∥n;④若m⊥α,n⊥α,则m∥n.上述命题中,其中假命题的序号是.解析:①若m∥α,m∥β,则α与β相交或平行都可能,故①不正确;②若m⊥α,m⊥β,则α∥β,故②正确;③若m∥α,n∥α,则m与n相交、平行或异面,故③不正确;④若m⊥α,n⊥α,由线面垂直的性质定理知m∥n,故④正确.答案:①③12.如图所示,三棱锥P ABC的底面在平面α上,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,P,A,B是定点,则动点C运动形成的图形是 .解析:因为平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,AC⊂平面PAC,平面PAC∩平面PBC=PC.所以AC⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC,所以AC⊥BC,所以∠ACB=90°.所以动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆(除去A,B两点).答案:以AB为直径的圆(除去A,B两点)13.如图,四棱锥P ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD.(1)证明:平面PBD⊥平面PAC;(2)设AP=1,AD=,∠CBA=60°,求A到平面PBC的距离.(1)证明:因为四棱锥P ABCD中,底面ABCD为菱形,所以BD⊥AC,因为PA⊥平面ABCD,所以BD⊥PA,因为AC∩PA=A,所以BD⊥平面PAC,因为BD⊂平面PBD,所以平面PBD⊥平面PAC.(2)解:因为AP=1,AD=,∠CBA=60°,所以AC=,S△ABC=×()2=,因为PC=PB==2,所以S△PBC=××=,设A到平面PBC的距离为h,因为=,所以×h×=××1,解得h=.所以A到平面PBC的距离为.14.如图,在三棱锥V ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC,且AC=BC=,O,M分别为AB,VA的中点.(1)求证:VB∥平面MOC;(2)求证:平面MOC⊥平面VAB;(3)求三棱锥V ABC的体积.(1)证明:因为O,M分别为AB,VA的中点,所以OM∥VB.又因为VB⊄平面MOC,所以VB∥平面MOC.(2)证明:因为AC=BC,O为AB的中点,所以OC⊥AB.又因为平面VAB⊥平面ABC,且OC⊂平面ABC,所以OC⊥平面VAB.所以平面MOC⊥平面VAB.(3)解:在等腰直角三角形ACB中,AC=BC=,所以AB=2,OC=1,所以S△VAB=,又因为OC⊥平面VAB,所以=OC·S△VAB=.又因为三棱锥V ABC的体积与三棱锥C VAB的体积相等,所以三棱锥V ABC的体积为. 15.如图,在四棱锥A BCDE中,平面ABC⊥平面BCDE,∠CDE=∠BED=90°,AB=CD=2,DE=BE=1,AC=.(1)证明:AC⊥平面BCDE;(2)求直线AE与平面ABC所成的角的正切值.(1)证明:如图,连接BD,在直角梯形BCDE中,由DE=BE=1,CD=2,得BD=BC=.由AC=,AB=2,得AB2=AC2+BC2,即AC⊥BC.又平面ABC⊥平面BCDE,平面ABC∩平面BCDE=BC,AC⊂平面ABC,所以AC⊥平面BCDE.(2)解:在直角梯形BCDE中,由BD=BC=,DC=2,得BD⊥BC,又平面ABC⊥平面BCDE,BD⊂平面BCDE.所以BD⊥平面ABC.作EF∥BD,与CB延长线交于点F,连接AF,则EF⊥平面ABC.所以∠EAF是直线AE与平面ABC所成的角.在Rt△BEF中,由EB=1,∠EBF=45°,得EF=,BF=.在Rt△ACF中,由AC=,CF=,得AF=.在Rt△AEF中,由EF=,AF=,得tan∠EAF=.所以直线AE与平面ABC所成的角的正切值是.16.如图所示,平面四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,BD⊥CD,将其沿对角线BD折成四面体A BCD,使平面ABD⊥平面BCD,则下列说法中不正确的是( D )(A)平面ACD⊥平面ABD (B)AB⊥CD(C)平面ABC⊥平面ACD (D)AB∥平面ABC解析:因为BD⊥CD,平面ABD⊥平面BCD,所以CD⊥平面ABD,因为CD⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面ABD,故A正确;因为平面四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,所以AB⊥AD,又CD⊥平面ABD,所以AB⊥CD,故B正确;因为AB⊥AD,AB⊥CD,所以AB⊥平面ACD,又因为AB⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面ACD,故C正确;因为AB⊂平面ABC,所以AB∥平面ABC不成立,故D错误.故选D.17.如图所示,PA垂直于☉O所在的平面,AB是☉O的直径,C是☉O上的一点,E,F分别是点A在PB,PC上的射影,给出下列结论:①AF⊥PB,②EF⊥PB,③AF⊥BC,④AE⊥BC,其中正确的个数是( C )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:因为AB是☉O的直径,所以AC⊥BC.因为PA垂直于☉O所在的平面,所以PA⊥BC,所以BC⊥平面PAC,所以BC⊥AF,所以③正确.又AF⊥PC,所以AF⊥平面PBC,所以AF⊥PB,所以①正确.又AE⊥PB,所以PB⊥平面AEF,所以EF⊥PB,所以②正确.若AE⊥BC,则由AE⊥PB,得AE⊥平面PBC,此时E,F重合,与已知矛盾,所以④错误.故选C.18.已知直二面角αlβ,点A∈α,AC⊥l,点C为垂足,B∈β,BD⊥l,点D为垂足.若AB=2,AC=BD=1,则CD的长为.解析:如图,连接BC.因为二面角αlβ为直二面角,AC⊂α,且AC⊥l,α∩β=l,所以AC⊥β.又BC⊂β,所以AC⊥BC,所以BC2=AB2-AC2=3.又BD⊥CD,所以CD==.答案:19.如图,边长为2a的正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于点G.已知△A′ED是△AED 绕DE旋转过程中的一个图形,现给出下列结论,其中正确的结论有(填上所有正确结论的序号).①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上;②三棱锥A′FED的体积有最大值;③恒有平面A′GF⊥平面BCED;④异面直线A′E与BD不可能互相垂直.解析:在正三角形ABC中,AF为中线,DE为中位线,所以AF⊥BC,DE∥BC,所以DE⊥A′G,DE⊥GF,又A′G∩GF=G,所以DE⊥平面A′GF.又DE⊂平面BCED,所以平面A′GF⊥平面BCED,故③正确.过A′作A′H⊥AF,垂足为点H,则A′H⊂平面A′GF,又平面A′GF⊥平面BCED,平面A′GF∩平面BCED=AF,所以A′H⊥平面ABC,故①正确.三棱锥A′FED的底面△FED的面积是定值,高是点A′到平面FED的距离.易证当A′G⊥平面FED时距离(即高)最大,三棱锥A′FED的体积最大,故②正确.易知BD∥EF,所以∠A′EF是异面直线A′E与BD所成的角.因为正三角形ABC的边长为2a,所以A′E=a,EF=a.而0<A′F<AF,所以A′F的长度的取值范围是(0,a),当A′F=a时,A′E2+EF2=A′F2,则∠A′EF=90°,此时直线A′E与BD互相垂直,故④错误.答案:①②③20.如图,在四棱锥P ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形,侧面PAD为等边三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证:AD⊥PB;(2)若E为BC的中点,能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF⊥平面ABCD?并证明你的结论.(1)证明:设G为AD的中点,连接PG,BG.因为△PAD为等边三角形,所以PG⊥AD.在菱形ABCD中,∠DAB=60°,G为AD的中点,所以BG⊥AD.又BG∩PG=G,所以AD⊥平面PGB.因为PB⊂平面PGB,所以AD⊥PB.(2)解:当F为PC的中点时,满足平面DEF⊥平面ABCD.证明:取PC的中点F,连接DE,EF,DF.则EF∥PB,所以可得EF∥平面PGB.在菱形ABCD中,GB∥DE,所以可得DE∥平面PGB.而EF⊂平面DEF,DE⊂平面DEF,EF∩DE=E,所以平面DEF∥平面PGB.由(1)得PG⊥平面ABCD,而PG⊂平面PGB,所以平面PGB⊥平面ABCD,所以平面DEF⊥平面ABCD.。
