2019高考数学二轮复习 大题专项练习(七)参数方程理

高考数学二轮复习考点知识讲解与练习第71讲 参数方程考点知识：1.了解参数方程，了解参数的意义；2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．知识梳理1．曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x ，y )都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧x ＝f (t )， y ＝g (t )并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．2．参数方程与普通方程的互化通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎨⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．3．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹 普通方程 参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0)⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)圆 x 2＋y 2＝r 2 ⎩⎨⎧ x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝ 1(a ＞b ＞0)⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)1．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围．2．直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)参数方程⎩⎨⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )中的x ，y 都是参数t 的函数．( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的数量．( )(3)方程⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( )(4)已知椭圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为 3.( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)× 解析 (4)当t ＝π3时，点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2cos π3，4sin π3，即M (1,23)，∴OM 的斜率k＝2 3.2．曲线⎩⎨⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上 答案 B解析 由⎩⎨⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ得⎩⎨⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2.所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上．3．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值是________．答案 3解析 直线l 的普通方程为x －y －a ＝0，椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，所以椭圆C 的右顶点坐标为(3,0)，若直线l 过点(3,0)，则3－a ＝0，所以a ＝3.4．(2019·北京卷)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋3t ，y ＝2＋4t (t 为参数)，则点(1,0)到直线l 的距离是( )A.15 B ．25 C ．45 D ．65 答案 D解析 由题意可知直线l 的普通方程为4x －3y ＋2＝0，则点(1,0)到直线l 的距离d ＝|4×1－3×0＋2|42＋(－3)2＝65.故选D. 5．已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，若l 与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则直线l 的斜率为________． 答案 ±1515解析 由⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，得y ＝x tan α，设k ＝tan α，得直线的方程为y ＝kx ，由x 2＋y 2－4x ＋3＝0，得(x －2)2＋y 2＝1，圆心为(2,0)，半径为1， ∴圆心到直线y ＝kx 的距离为12－|AB |24＝12＝|2k |k 2＋1，得k ＝±1515. 6．(2019·天津卷)设直线ax －y ＋2＝0和圆⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)相切，则实数a ＝________. 答案 34解析 圆的参数方程消去θ，得(x －2)2＋(y －1)2＝4. ∴圆心(2,1)，半径r ＝2. 又直线ax －y ＋2＝0与圆相切． ∴d ＝|2a －1＋2|a 2＋1＝2，解得a ＝34.考点一 参数方程与普通方程的互化1．下列参数方程与方程y 2＝x 表示同一曲线的是( ) A.⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t2B ．⎩⎨⎧x ＝sin 2t ，y ＝sin tC.⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝|t | D ．⎩⎨⎧x ＝1－cos 2t 1＋cos 2t ，y ＝tan t答案 D解析 对于A ，消去t 后所得方程为x 2＝y ，不符合y 2＝x ；对于B ，消去t 后所得方程为y 2＝x ，但要求0≤x ≤1，也不符合y 2＝x ；对于C ，消去t 得方程为y 2＝|x |，且要求y ≥0，x ∈R ，也不符合y 2＝x ；对于D ，x ＝1－cos 2t 1＋cos 2t ＝2sin 2t 2cos 2t＝tan 2t ＝y 2，符合y 2＝x .故选D.2．把下列参数方程化为普通方程． (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t (t 为参数)；(2)⎩⎨⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ(θ为参数，θ∈[0,2π))．解 (1)由已知得t ＝2x －2，代入y ＝5＋32t 中得y ＝5＋32(2x －2)． 即它的普通方程为3x －y ＋5－3＝0.(2)因为sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以x 2＋y ＝1，即y ＝1－x 2. 又因为|sin θ|≤1，所以其普通方程为y ＝1－x 2(|x |≤1)． 3．将下列参数方程化成普通方程． (1)⎩⎨⎧x ＝t 2－1，y ＝t 2＋1(t 为参数)；(2)⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π. 解 (1)消去参数t ，得y ＝x ＋2，由于t 2≥0，所以普通方程为y ＝x ＋2(x ≥－1)，表示一条射线．(2)消去参数θ，得x 2＋y 2＝1，由于θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，所以x ∈[－1,0]，y ∈[0,1]，所以普通方程为x 2＋y 2＝1(－1≤x ≤0,0≤y ≤1)，表示圆的四分之一．感悟升华 1.化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法．另外，消参时要注意参数的范围． 2．普通方程化为参数方程时，先分清普通方程所表示的曲线类型，结合常见曲线的参数方程直接写出． 考点二 参数方程的应用【例1】 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ (θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t(t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . 解 (1)a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0. 曲线C 的标准方程是x 29＋y 2＝1，联立方程⎩⎨⎧x ＋4y －3＝0，x29＋y 2＝1，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425.则C 与l 交点坐标是(3,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－2125，2425.(2)直线l 的普通方程是x ＋4y －4－a ＝0. 设曲线C 上点P (3cos θ，sin θ)．则P 到l 距离d ＝|3cos θ＋4sin θ－4－a |17＝|5sin (θ＋φ)－4－a |17，其中tan φ＝34.又点C 到直线l 距离的最大值为17， 所以|5sin(θ＋φ)－4－a |的最大值为17. 若a ≥0，则－5－4－a ＝－17，∴a ＝8. 若a <0，则5－4－a ＝17，∴a ＝－16. 综上，实数a 的值为a ＝－16或a ＝8.【例2】(2021·河南省八市重点高中联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos α，y ＝2＋5sin α(α为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρ2＝4ρcos θ－3.(1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)若曲线C 1与C 2交于A ，B 两点，A ，B 的中点为M ，点P (0，－1)，求|PM |·|AB |的值． 解 (1)曲线C 1的普通方程为x 2＋(y －2)2＝5.由ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，得曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＋3＝0. (2)将两圆的方程x 2＋(y －2)2＝5与x 2＋y 2－4x ＋3＝0作差，得直线AB 的方程为x －y －1＝0.点P (0，－1)在直线AB 上，设直线AB 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝－1＋22t (t 为参数)，代入x 2＋y 2－4x ＋3＝0化简得t 2－32t ＋4＝0，显然Δ>0，所以t 1＋t 2＝32，t 1t 2＝4. 因为点M 对应的参数为t 1＋t 22＝322，所以|PM |·|AB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22·|t 1－t 2| ＝322×(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝322×18－4×4＝3. 感悟升华 1.在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解．2．过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t为参数)，t 的几何意义是P 0P →的数量，即|t |表示P 0到P 的距离，t 有正负之分．对于形如⎩⎨⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．【训练1】(2021·南昌摸底测试)在直角坐标系中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝cos 2θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝－5＋22t (t 为参数)．(1)求曲线C 和直线l 的普通方程；(2)设P ，Q 分别是直线l 和曲线C 上的动点，求|PQ |的最小值． 解 (1)因为y ＝cos 2θ＝2cos 2θ－1，x ＝cos θ， 所以曲线C ：y ＝2x 2－1(－1≤x ≤1)， 由⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝22t －5得y ＝22x －5，所以直线l 的普通方程为y ＝22x －5.(2)作直线l ′：y ＝22x ＋b 与曲线C 相切，则|PQ |的最小值为直线l 与直线l ′的距离．将l ′与C 的方程联立，消去y ，可得2x 2－22x －(b ＋1)＝0， 则Δ＝8＋8(b ＋1)＝0，解得b ＝－2，故直线l ′：y ＝22x －2， 从而直线l 与直线l ′的距离为|－2－(－5)|(22)2＋1＝1，即|PQ |的最小值为1⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当切点Q 的横坐标为 22时取到最小值.考点三 参数方程与极坐标方程的综合应用【例3】(2022·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos kt ，y ＝sin kt(t为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为4ρcos θ－16ρsin θ＋3＝0. (1)当k ＝1时，C 1是什么曲线？(2)当k ＝4时，求C 1与C 2的公共点的直角坐标． 解 (1)当k ＝1时，C 1：⎩⎨⎧x ＝cos t ，y ＝sin t ，消去参数t 得x 2＋y 2＝1，故曲线C 1是以坐标原点为圆心，1为半径的圆． (2)当k ＝4时，C 1：⎩⎨⎧x ＝cos 4t ，y ＝sin 4t ，消去参数t 得C 1的直角坐标方程为x ＋y ＝1.C 2的直角坐标方程为4x －16y ＋3＝0.由⎩⎨⎧x ＋y ＝1，4x －16y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝14.故C 1与C 2的公共点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，14.感悟升华 1.涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程． 2．数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．【训练2】(2022·全国Ⅱ卷)已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：⎩⎨⎧x ＝4cos 2θ，y ＝4sin 2θ(θ为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t，y ＝t －1t(t 为参数)．(1)将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程． 解 (1)C 1的普通方程为x ＋y ＝4(0≤x ≤4)． 由C 2的参数方程得x 2＝t 2＋1t2＋2，y 2＝t 2＋1t2－2，所以x 2－y 2＝4.故C 2的普通方程为x 2－y 2＝4.(2)由⎩⎨⎧x ＋y ＝4，x 2－y 2＝4得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝32，所以点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32.设所求圆的圆心的直角坐标为(x 0,0)， 由题意得x 20＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－522＋94，解得x 0＝1710. 因此，所求圆的极坐标方程为ρ＝175cos θ.1．(2022·安庆三模)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos α，y ＝3sin α(其中α为参数)，以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＋4cos θ＝0. (1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程； (2)设点A ，B 分别是曲线C 1，C 2上两动点，且∠AOB ＝π2，求△AOB 面积的最大值． 解 (1)曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos α，y ＝3sin α(其中α为参数)，转换为普通方程为(x －3)2＋y 2＝9.曲线C 2的极坐标方程为ρ＋4cos θ＝0，转换为直角坐标方程为x 2＋y 2＋4x ＝0.(2)由(1)得，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝6cos θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝－4cos θ，设A (ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2，所以S △ABC ＝12×|ρ1||ρ2|sin π2＝12×6cos θ×4sin θ＝6sin 2θ≤6，当θ＝π4时，△AOB 面积取得最大值6.2．(2021·贵阳质检)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝kt(t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋m ，y ＝mk(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k变化时，P 的轨迹为曲线C . (1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．解 (1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)； 消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k(x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎨⎧y ＝k (x －2)，y ＝1k (x ＋2)，消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)，所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)． (2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ) ＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)，联立⎩⎨⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)． 故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5， 所以交点M 的极径为 5.3．(2021·河南名校联盟联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，点P 是曲线C 1上的动点，点Q 在OP 延长线上，且|PQ |＝3|OP |.(1)求点Q 的轨迹C 2的参数方程；(2)以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，射线θ＝π3与曲线C 1，C 2的交点(与原点不重合)分别为A ，B ，求|AB |.解 (1)设P (x P ，y P )，Q (x ，y )，点Q 在OP 延长线上，且|PQ |＝3|OP |， ∴(x ，y )＝OQ →＝4OP →＝(4x P,4y P )， ∴x P ＝x 4，y P ＝y4.∵P 在曲线C 1上，∴⎩⎨⎧x P ＝cos α，y P ＝1＋sin α(α为参数)，∴⎩⎨⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α(α为参数)即为点Q 的轨迹C 2的参数方程．(2)曲线C 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)可化为x 2＋(y －1)2＝1.点Q 的轨迹C 2的参数方程⎩⎨⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α(α为参数)可化为x 2＋(y －4)2＝16.射线θ＝π3的直角坐标方程为y ＝3x (x >0)． 分别与曲线C 1，C 2联立，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32，⎩⎨⎧x ＝23，y ＝6，∴|AB |＝⎝⎛⎭⎪⎫23－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6－322＝3 3.4．(2022·安庆二模)在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C 的极坐标方程为ρ－4sin θ＝0，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝1＋32t (t 为参数)．(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，M (0,1)，且|MA |>|MB |，求1|MA |－1|MB |的值．解 (1)由直线l 的参数方程消去参数t ，得直线l 的普通方程为y ＝3x ＋1， 将ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入ρ－4sin θ＝0， 得曲线C 的普通方程为x 2＋y 2－4y ＝0.(2)设A ，B 对应的参数为t 1，t 2，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝1＋32t 代入x 2＋y 2－4y ＝0，得t 2－3t －3＝0，所以t 1t 2＝－3，t 1＋t 2＝ 3.由于直线l 过M (0,1)，且|MA |>|MB |， 所以t 1>0，t 2<0.于是|MA |＝|t 1|＝t 1，|MB |＝|t 2|＝－t 2. 故1|MA |－1|MB |＝1t 1＋1t 2＝t 1＋t 2t 1t 2＝－33. 5．(2021·昆明诊断)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋t cos α，y ＝2＋t sin α(其中t 为参数， α∈[0，π))，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)若点P (x ，y )在直线l 上，且x ＋yx －y ＋4＝2，求sin α的值；(2)若α＝π4，求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值． 解 (1)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋t cos α，y ＝2＋t sin α(其中t 为参数，α∈[0，π))，则P (－2＋t cos α，2＋t sin α)，所以x ＋y x －y ＋4＝t sin α＋t cos αt cos α－t sin α＝2，整理得3sin α＝cos α，因为sin 2α＋cos 2α＝1，α∈[0，π)，所以sin α＝1010. (2)曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ.整理得ρ2＝2ρsin θ，转换为直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1.直线l 的参数方程转换为普通方程为x －y ＋4＝0， 所以圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|0－1＋4|2＝322，所以曲线C 上的点到直线l 的最大距离为322＋1.6．(2021·赤峰联考)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t ，y ＝－t(t为参数)，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝123＋sin 2θ.(1)若a ＝－2，求曲线C 与l 的交点坐标；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为45°的直线，交l 于点A ，且|PA |的最大值为10，求a 的值．解 (1)曲线C 的极坐标方程为ρ2＝123＋sin 2θ，整理得3ρ2＋ρ2sin 2θ＝12，转换为直角坐标方程为x 24＋y 23＝1.当a ＝－2时，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋2t ，y ＝－t (t 为参数)，转换为直角坐标方程为x ＋2y ＋2＝0.联立⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1，x ＋2y ＋2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝0，或⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－32，所以交点坐标为(－2,0)和⎝⎛⎭⎪⎫1，－32.(2)l 的直角坐标方程为x ＋2y －a ＝0，故曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到直线的距离d ＝|2cos θ＋23sin θ－a |5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4sin⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6－a5，则|PA|＝dsin 45°＝2d＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪4sin⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6－a5，当a≥0时，|PA|的最大值为2|－4－a|5＝10，解得a＝1.当a<0时，|PA|的最大值为2|4－a|5＝10，解得a＝－1.故a＝1或－1.。

七极坐标与参数方程（A ）在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴） 中,圆C 的方程为p =2： sin 0 .（1）求圆C 的圆心到直线I 的距离； （2） 设圆C 与直线I 交于点A,B,若点P 的坐标为（3, •）,求|PA|+|PB|.2. （2018 •乐山二模）已知圆C 的极坐标方程为p =2cos 0 ,直线I 的参数方程为 1苗 x = - + —t 2 21 1 J2 n y = — + —t ———I 2 2 （t 为参数），点A 的极坐标为（2 /! ）,设直线l 与圆C 交于点P,Q 两点.（1）写出圆C 的直角坐标方程； （2） 求 |AP| • |AQ| 的值.3. （2018 •上饶三模）已知直线I 过点P （1,0）,且倾斜角为a ,以坐标原点为极点,x 轴的正半 轴为极轴建立坐标系，圆C 的极坐标方程为p =4cos 0 .（1）求圆C 的直角坐标方程及直线 I 的参数方程；1 1⑵ 若直线I 与圆C 交于A,B 两点，求的最大值和最小值4. （2018 •洛阳一模）在极坐标系中，已知圆C 的圆心C （・，；），半径r= •.（1）求圆C 的极坐标方程；—fx = 2 + teas a r ⑵若％€ [0,；）,直线I 的参数方程为 厂八：（t 为参数）,直线I 交圆C 于A,B 两点, 求弦长|AB|的取值范围 1.（2018 •抚州质检）在直角坐标系 xOy 中,直线I的参数方程为 为参数）,1. 解:⑴ 因为C: p =2 sin 0 ,所以C: p 2=2 p sin 0 ,所以C:x2+y2-2 •. y=0,即圆C的标准方程为x2+(y- . )2=5.直线l的普通方程为x+y- • -3=0.|0 + 75-^-3| 3^2所以，圆C的圆心到直线I的距离为d= ；= .宀(y-Q"⑵联立ly二-咒+护+王r x =j t r x =^2,解得；；=•「「或「1所以|PA|+|PB|= ：•....+F - 一；'~~=3 ..2. 解:⑴ 圆C的极坐标方程为p =2cos 0即p 2=2p cos 0 ,即(x-1) 2+y2=1,表示以C(1,0)为圆心、半径等于1的圆•1晶x = - +—t T2 21 I 1 1——y =—+—t⑵因为点A的直角坐标为C),所以点A在直线I 2 2 (t为参数)上.把直线的参数方程代入曲线C的方程可得1-虧｝t2+ t- =0.I 1由韦达定理可得11 • t2=- <0,根据参数的几何意义可得|AP| • |AQ|=|t 1 • t2|=.I因此|AP| • |AQ|的值为.2 2 23. 解:⑴ 由p =4cos 0 ,得p =4 p cos 0 ,即x +y =4x,所以圆C的直角坐标方程为(x-2) 2+y2=4,直线l过点P(1,0),且倾斜角为a ,pc = 1 + icosa t所以直线l的参数方程为；丁…"(t为参数).pc = 1 4- tcosa,⑵将代入(x-2) 2+y2=4,得t -2tcos a -3=0, △ =(2cos a ) +12>0,设A,B两点对应的参数分别为t i,t 2,1 1 \AB\l f i~ ^1 + t2)2- + 3则「!|+ ；；= ；「；•：： =「= =因为cos a€ [-1,1],1 1 4 普所以；'^r,，;的最大值为，最小值为：.n4. 解:(1)因为C(. J)的直角坐标为(1,1),所以圆C的直角坐标方程为(x-1) 2+(y-1) 2=3.化为极坐标方程是p 2-2 p (cos 0 +sin 0 )-1=0.pt = 2 + lcasa t(2)将..丁- ■?■ :代入圆C的直角坐标方程(x-1) 2+(y-1) 2=3,2 2得(1+tcos a ) +(1+tsin a ) =3,即12+2t(cos a +sin a )-仁0.所以11+t 2=-2(cos a +sin a ),t 1 • t 2=-1.所以|AB|=|t 1-t 2|=」■ ''' - - ' -'=2,亠’w .n n因为a€ [0,；),所以 2 a € [0,),所以2 w |AB|<2 •.即弦长|AB|的取值范围是[2 •• ,2 ••).。

2019高考数学专项精练-参数方程[时间：35分钟分值：80分]基础热身1、参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin t ＋1，y ＝2sin t －1(t 为参数)的普通方程为________、2、在直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θθ∈[0，π]，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2在极坐标系中的方程为ρ＝bsin θ－cos θ.假设曲线C 1与C 2有两个不同的交点，那么实数b 的取值范围是________、3、曲线C 的极坐标方程是ρ＝2sin θ，设直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35t ＋2，y ＝45t(t为参数)、设直线l 与x 轴的交点是M ，而N 为曲线C 上一动点，那么|MN |的最大值是________、4、直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t sin40°－5，y ＝－t cos40°＋2(t 为参数)的倾斜角为________、 能力提升5、设直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)，直线l 2的方程为y ＝3x ＋4，那么l 1与l 2的距离为________、6、[2017·济南模拟]曲线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2＋1t 2，y ＝t ＋1t(t 是参数，t ≠0)，它的普通方程是________、7、设极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合、曲线C 1的极坐标方程是：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝m ，曲线C 2参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，假设两曲线有公共点，那么实数m 的取值范围是________、8、[2017·南京模拟]直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆ρ＝2cos θ相切，那么此直线的倾斜角α＝________.9、a ，b ，c 成等差数列，那么直线ax －by ＋c ＝0被曲线⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋3sin θ(θ为参数)截得线段的长度的最大值为________、10、曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(参数θ∈[0,2π))，那么该曲线上的点与定点A (－1，－1)的距离的最小值是________、11、[2017·湖南卷]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)、在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，那么C 1与C 2的交点个数为________、12、(13分)曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)、 (1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)假设C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t(t 为参数)距离的最小值、难点突破13、(12分)[2017·福建卷]在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)、(1)在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值、课时作业(六十五)【基础热身】1、y ＝2x －3(0≤x ≤2)[解析]消去参数sin t ，得y ＝2x －3.因为sin t ∈[－1,1]，所以x ∈[0,2]，所以普通方程为y ＝2x －3(0≤x ≤2)、2、1≤b <2[解析]曲线C 1为半圆x 2＋y 2＝1(0≤y ≤1)，曲线C 2的直角坐标方程为x －y ＋b ＝0.结合图形知，当直线与半圆相切时，2＝1，即b ＝2(b ＝－2舍去)，当直线经过点(－1,0)时，直线与半圆有两个交点，此时b ＝1.故当1≤b <2时，曲线C 1与C 2有两个不同的交点、3.5＋1[解析]曲线C 的直角坐标方程为：x 2＋y 2－2y ＝0，直线的普通方程为y ＝－43(x －2)，令y ＝0得x ＝2，即M 点的坐标为(2,0)、又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(0,1)，半径r ＝1，那么|MC |＝5，|MN |≤|MC |＋r ＝5＋1.4、130°[解析]将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t sin40°－5，y ＝－t cos40°＋2(t 为参数)化为普通方程，得y －2x ＋5＝－cos40°sin40°，即y －2＝－sin50°cos50°(x ＋5)，所以y ＝－tan50°(x ＋5)＋2，即y ＝tan130°(x ＋5)＋2，所以直线的倾斜角为130°.【能力提升】 5.3105[解析]由题知直线l 1的普通方程为3x －y －2＝0，故l 1与l 2的距离为|4＋2|10＝3105.6、y 2＝x ＋2(x ≥2)[解析]因为y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2＝t 2＋1t 2＋2＝x ＋2，而x ＝t 2＋1t 2≥2t 2·1t 2＝2.7、[－1,3][解析]将两曲线方程化为直角坐标方程，得C 1：x －3y －2m ＝0，C 2：(x －2)2＋y 2＝4.因为两曲线有公共点，所以|2－2m |2≤2，即－1≤m ≤3， 故m ∈[－1,3]、 8.π6或5π6[解析]直线与圆的普通方程分别是y ＝tan α·(x ＋1)，(x －1)2＋y 2＝1，由直线与圆相切，得|2tan α|1＋tan 2α＝1，所以tan 2α＝13.因为α∈[0，π)，那么α＝π6或5π6. 9、4[解析]因为a ，b ，c 成等差数列，所以a －2b ＋c ＝0，即直线ax －by ＋c ＝0恒过定点P (1,2)，曲线⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋3sin θ的普通方程是椭圆x 24＋y －223＝1，因此点P (1,2)是椭圆的一个焦点，所以直线ax －by ＋c ＝0被曲线⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋3sin θ(θ为参数)截得线段的长度的最大值为4.10.5－1[解析]将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ化为普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，它表示圆，圆心为C (1,0)，半径为r ＝1，所以|CA |＝－1－12＋－12＝5，那么圆上的点与定点A (－1，－1)的距离的最小值是|CA |－r ＝5－1.11、2[解析]曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α，化为普通方程：x 24＋y 23＝1①，曲线C 2的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，化为普通方程：x －y ＋1＝0②. 联立①，②得7x 2＋8x －8＝0，此时Δ＝82－4×7×(－8)>0.故C 1与C 2的交点个数为2. 12、[解答](1)C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C 2：x 264＋y 29＝1.C 1为圆心是(－4,3)，半径是1的圆；C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆、(2)当t ＝π2时，P (－4,4)，又Q (8cos θ，3sin θ)，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ. C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|＝5⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ＋α－135其中cos α＝45，sin α＝35. 从而d 的最小值为855. 【难点突破】13、[解答](1)把极坐标系下的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标，得P (0,4)、因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上、 (2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)， 从而点Q 到直线l 的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42 ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋2 2.由此得，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2。

2019极坐标与参数方程、不等式专题(理)1.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x t ty t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为． （1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）求C 上的点到l 距离的最小值．2.在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P .（1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程.2cos sin 110ρθθ+=3. 如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧，曲线2M 是弧 ，曲线3M 是弧. （1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标.4.已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明： （1）222111a b c a b c++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++．5.已知()|||2|().f x x a x x x a =-+--（1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围.6.设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=.（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-.。

7.坐标系与参数方程1.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：Error!(α为参数)，在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos ＝－1.22(θ＋π4)(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)过点M (－1,0)且与直线l 平行的直线l 1交C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积.解　(1)曲线C 化为普通方程为＋y 2＝1，x 23由ρcos ＝－1，得ρcos θ－ρsin θ＝－2，22(θ＋π4)所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(2)直线l 1的参数方程为Error!(t 为参数)，代入＋y 2＝1化简得，2t 2－t －2＝0，x 232设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝－1，所以|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝1.2.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线C 1：Error!(t 是参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 2：ρ＝8sin θ.(1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)判断直线C 1与曲线C 2的位置关系，若相交，求出弦长.解　(1)由C 1：Error!(t 是参数)消去t 得x ＋y －3＝0，所以直线C 1的普通方程为x ＋y －3＝0.把ρ＝8sin θ的两边同时乘ρ，得ρ2＝8ρsin θ，因为x 2＋y 2＝ρ2，y ＝ρsin θ，所以x 2＋y 2＝8y ，即x 2＋(y －4)2＝16，所以曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －4)2＝16.(2)由(1)知，曲线C 2：x 2＋(y －4)2＝16是圆心坐标为(0,4)，半径为4的圆，所以圆心(0,4)到直线x ＋y －3＝0的距离d ＝＝<4，|0＋4－3|222所以直线C 1与曲线C 2相交，其弦长为2＝.42－(22)2623.(2018·河北省武邑中学期中)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为Error!(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ，曲线C 3的极坐标方程为θ＝(ρ>0).π6(1)求曲线C 1的极坐标方程和C 3的直角坐标方程；(2)设C 3分别交C 1，C 2于点P ，Q ，求△C 1PQ 的面积.解　(1)曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，所以C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ.曲线C 3的直角坐标方程为y ＝x (x >0).33(2)依题意，设点P ，Q 的坐标分别为，，(ρ1，π6)(ρ2，π6)将θ＝代入ρ＝4cos θ，得ρ1＝2，π63将θ＝代入ρ＝2sin θ，得ρ2＝1，π6所以＝＝2－1，依题意得，点C 1到曲线θ＝的距离为d ＝sin ＝1，|PQ ||ρ1－ρ2|3π6|OC 1|π6所以S △C 1PQ ＝·d ＝＝－.12|PQ |12(23－1)3124.已知曲线C 1的参数方程是Error!(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝4sin θ.(1)求曲线C 1与C 2交点的平面直角坐标；(2)A ，B 两点分别在曲线C 1与C 2上，当|AB |最大时，求△AOB 的面积(O 为坐标原点).解　(1)由Error!得Error!所以(x ＋2)2＋y 2＝4，又由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，得x 2＋y 2＝4y ，把两式作差得，y ＝－x ，代入x 2＋y 2＝4y 得交点坐标为(0,0)，(－2,2).(2)如图，由平面几何知识可知，当A ，C 1，C 2，B 依次排列且共线时，|AB |最大，此时|AB |＝2＋4，O 到AB 的距离为，2212222∴△OAB的面积为S＝(2＋4)·＝2＋2.。

专题能力训练22坐标系与参数方程(选修4—4)能力突破训练1.在直角坐标系xOy中,已知曲线C的参数方程是(α为参数),若以O为极点,x轴的非负半轴为极轴,则曲线C的极坐标方程可写为.2.已知曲线C的参数方程为(t为参数),C在点(1,1)处的切线为l,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l的极坐标方程为.3.已知两曲线参数方程分别为C1:(0≤θ<π)和C2:(t∈R),它们的交点坐标为.4.若直线(t为参数)与圆(φ为参数)相切,则此直线的倾斜角α=.5.以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线的极坐标方程为θ=(ρ∈R),它与曲线(α为参数)相交于两点A和B,则|AB|=.6.若直线l:(t为参数)与圆C:ρ=2cos θ相切,则k=.7.已知圆C1的参数方程为(φ为参数),以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的极坐标方程为ρ=2cos.(1)圆C1的参数方程化为普通方程为,圆C2的极坐标方程化为直角坐标方程为;(2)圆C1,C2的公共弦长为.8.在极坐标系中,点到直线ρsin-=1的距离是.思维提升训练9.已知曲线C1的参数方程是(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2,则C1与C2交点的直角坐标为.10.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为-(t为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,圆C的方程为ρ=2sin θ.(1)圆C的直角坐标方程为;(2)设圆C与直线l交于点A,B,若点P的坐标为(2,),则|PA|+|PB|=.11.已知曲线C的极坐标方程是ρ=1,以极点为原点,极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为(t为参数).(1)直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程分别为;(2)设曲线C经过伸缩变换得到曲线C',设曲线C'上任意一点为M(x,y),则x+2y的最小值为.12.已知圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ,直线l的参数方程为(t为参数),点A的极坐标为,设直线l与圆C交于点P,Q.(1)圆C的直角坐标方程为;(2)|AP|·|AQ|=.##专题能力训练22坐标系与参数方程(选修4—4)能力突破训练1.ρ=2sin θ解析依题意知,曲线C:x2+(y-1)2=1,即x2+y2-2y=0,所以(ρcos θ)2+(ρsin θ)2-2ρsin θ=0.化简得ρ=2sin θ.2.ρsin解析∵曲线C的参数方程为(t为参数),∴其普通方程为x2+y2=2.又∵点(1,1)在曲线C上,∴切线l的斜率k=-1.故l的方程为x+y-2=0,化为极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=2,即ρsin3解析消去参数θ得曲线方程C1为+y2=1(0≤y≤1),表示椭圆的一部分.消去参数t得曲线方程C2为y2=x,表示抛物线,可得两曲线有一个交点,联立两方程,解得故交点坐标为4或解析由题意得直线y=x tan α,圆:(x-4)2+y2=4.如图,sin α=,∴α=或5解析∵极坐标方程θ=(ρ∈R)对应的平面直角坐标方程为y=x,曲线(α为参数)的平面直角坐标方程为(x-1)2+(y-2)2=4,圆心(1,2),r=2,∴圆心到直线y=x的距离d=,|AB|=2-=2-6.-7.(1)x2+y2=1-=1(2)解析(1)由得x2+y2=1.又∵ρ=2cos=cos θ-sin θ,∴ρ2=ρcos θ-sin θ.∴x2+y2-x+y=0,即-=1.(2)由圆心距d=-=1<2,得两圆相交.由-得A(1,0),B--∴|AB|=8.1解析ρsin-=-=1,因为在极坐标系中ρcos θ=x,ρsin θ=y,所以直线可化为x-y+2=0.同理点可化为(,1),所以点到直线距离为d=-=1.思维提升训练9.(,1)解析由曲线C1的参数方程得y=x(x≥0),①曲线C2的极坐标方程为ρ=2,可得方程x2+y2=4,②由①②联立解得故C1与C2交点的直角坐标为(,1).10.(1)x2+(y-)2=3(2)2解析(1)由ρ=2sin θ,得x2+(y-)2=3,故圆C的直角坐标方程为x2+(y-)2=3.(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得-=3,即t2-2t+1=0.由于Δ>0,故可设t1,t2是上述方程的两实根.所以t1+t2=2故由上式及t的几何意义,得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=211.(1)y=x-2,x2+y2=1(2)-解析(1)由题意得直线l的普通方程为y-2=(x-1),圆C的直角坐标方程为x2+y2=1.(2)易得曲线C':+y2=1.令则x+2y=3cos θ+2sin θ=sin(θ+φ)其中,故x+2y的最小值为-12.(1)(x-1)2+y2=1(2)解析(1)由ρ=2cos θ,得ρ2=2ρcos θ.∵ρ2=x2+y2,ρcos θ=x,∴x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1.∴圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1.(2)由点A的极坐标,得点A的直角坐标为将代入(x-1)2+y2=1,消去x,y整理得t2--t-=0.设t1,t2为方程t2--t-=0的两个根,则t1t2=-,所以|AP|·|AQ|=|t1t2|=。

大题专项练习(七) 参数方程1．[2019·揭阳三中月考]在直角坐标系xOy 中，半圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ(φ为参数，0≤φ≤π)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ＋3cos θ)＝53，射线OM ：θ＝π3与半圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．2．[2019·全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ (θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)． (1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．3．[2019·黑龙江哈尔滨三中第三次模拟]已知圆锥曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22cos α，y ＝6sin α (α为参数)和定点A (0，6)，F 1，F 2是此圆锥曲线的左，右焦点．(1)以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF 2的极坐标方程；(2)经过点F 1且与直线AF 2垂直的直线交此圆锥曲线于M ，N 两点，求||MF 1|－|NF 1||的值．家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。

我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。

我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。

4．[2019·甘肃天水第四次模拟]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧n x ＝3－22t y ＝1＋22t (t 为参数)，以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6. (1)求直线l 的极坐标方程；(2)若直线θ＝π3(ρ>0)与直线l 交于点P ，与曲线C 交于点Q (Q 与原点O 不重合)，求|OQ ||OP |的值．5．[2019·广东惠阳模拟]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3cos θy ＝sin θ(θ为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设点P 在曲线C 上，求点P 到l 距离的最小值．“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。

专题能力训练22 坐标系与参数方程能力突破训练1.在直角坐标系xOy中,已知曲线C的参数方程是(α为参数),若以O为极点,x轴的非负半轴为极轴,则曲线C的极坐标方程可写为.2.已知曲线C的参数方程为(t为参数),C在点(1,1)处的切线为l,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l的极坐标方程为.3.已知两曲线参数方程分别为C1:(0≤θ<π)和C2:(t∈R),它们的交点坐标为.4.若直线(t为参数)与圆(φ为参数)相切,则此直线的倾斜角α=.5.以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线的极坐标方程为θ=(ρ∈R),它与曲线(α为参数)相交于两点A和B,则|AB|=.6.若直线l:(t为参数)与圆C:ρ=2cos θ相切,则k=.7.已知圆C1的参数方程为(φ为参数),以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的极坐标方程为ρ=2cos.(1)圆C1的参数方程化为普通方程为,圆C2的极坐标方程化为直角坐标方程为;(2)圆C1,C2的公共弦长为.8.在极坐标系中,点到直线ρsin=1的距离是.思维提升训练9.已知曲线C1的参数方程是(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2,则C1与C2交点的直角坐标为.10.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,圆C的方程为ρ=2sin θ.(1)圆C的直角坐标方程为;(2)设圆C与直线l交于点A,B,若点P的坐标为(2,),则|PA|+|PB|=.11.已知曲线C的极坐标方程是ρ=1,以极点为原点,极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为(t为参数).(1)直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程分别为;(2)设曲线C经过伸缩变换得到曲线C',设曲线C'上任意一点为M(x,y),则x+2y的最小值为.12.已知圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ,直线l的参数方程为(t为参数),点A的极坐标为,设直线l与圆C交于点P,Q.(1)圆C的直角坐标方程为;(2)|AP|·|AQ|=.##专题能力训练22坐标系与参数方程(选修4—4)能力突破训练1.ρ=2sin θ解析依题意知,曲线C:x2+(y-1)2=1,即x2+y2-2y=0,所以(ρcos θ)2+(ρsin θ)2-2ρsin θ=0.化简得ρ=2sin θ.2.ρsin解析∵曲线C的参数方程为(t为参数),∴其普通方程为x2+y2=2.又∵点(1,1)在曲线C上,∴切线l的斜率k=-1.故l的方程为x+y-2=0,化为极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=2,即ρsin3解析消去参数θ得曲线方程C1为+y2=1(0≤y≤1),表示椭圆的一部分.消去参数t 得曲线方程C2为y2=x,表示抛物线,可得两曲线有一个交点,联立两方程,解得故交点坐标为4解析由题意得直线y=x tan α,圆:(x-4)2+y2=4.如图,sin α=,∴α=5解析∵极坐标方程θ=(ρ∈R)对应的平面直角坐标方程为y=x,曲线(α为参数)的平面直角坐标方程为(x-1)2+(y-2)2=4,圆心(1,2),r=2, ∴圆心到直线y=x的距离d=,|AB|=2=26.-7.(1)x2+y2=1=1(2)解析 (1)由得x2+y2=1.又∵ρ=2cos=cos θ-sin θ,∴ρ2=ρcos θ-sin θ.∴x2+y2-x+y=0,即=1.(2)由圆心距d==1<2,得两圆相交.由得A(1,0),B∴|AB|=8.1解析ρsin==1,因为在极坐标系中ρcos θ=x,ρsin θ=y,所以直线可化为x-y+2=0.同理点可化为(,1),所以点到直线距离为d==1.思维提升训练9.(,1)解析由曲线C1的参数方程得y=x(x≥0),①曲线C2的极坐标方程为ρ=2,可得方程x2+y2=4, ②由①②联立解得故C1与C2交点的直角坐标为(,1).。

高考数学二轮复习7大专题、62个高频考点七大专题专题一函数与不等式以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点。

函数的性质：着重掌握函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性。

这些性质通常会综合起来一起考查，并且有时会考查具体函数的这些性质，有时会考查抽象函数的这些性质。

一元二次函数：一元二次函数是贯穿中学阶段的一大函数，初中阶段主要对它的一些基础性质进行了了解，高中阶段更多的是将它与导数进行衔接，根据抛物线的开口方向、与x轴的交点位置，进而讨论与定义域在x轴上的摆放顺序，这样可以判断导数的正负，最终达到求出单调区间、极值及最值的目的。

不等式：这一类问题常常出现在恒成立，或存在性问题中，其实质是求函数的最值。

当然关于不等式的解法、均值不等式，这些不等式的基础知识点需掌握，还有一类较难的综合性问题为不等式与数列的结合问题，掌握几种不等式的放缩技巧是非常必要的。

专题二：数列以等差、等比数列为载体，考查等差、等比数列的通项公式、求和公式、通项公式和求和公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前n项和的几种常用方法。

这些知识点需要掌握。

专题三：三角函数，平面向量，解三角形三角函数是每年必考的知识点，难度较小。

选择、填空、解答题中都有涉及。

有时候考查三角函数的公式之间的互相转化，进而求单调区间或值域；有时候考查三角函数与解三角形，向量的综合性问题，当然正弦、余弦定理是很好的工具。

向量可以很好得实现数与形的转化，是一个很重要的知识衔接点，它还可以和数学的一大难点解析几何整合。

专题四：立体几何立体几何中，三视图是每年必考点，主要出现在选择，填空题中。

大题中的立体几何主要考查建立空间直角坐标系，通过向量这一手段求空间距离、线面角、二面角等。

另外，需要掌握棱锥、棱柱的性质。

在棱锥中，着重掌握三棱锥、四棱锥；棱柱中，应该掌握三棱柱、长方体。

空间直线与平面的位置关系应以证明垂直为重点，当然常考查的方法为间接证明。

专题五：解析几何直线与圆锥曲线的位置关系，动点轨迹的探讨，求定值、定点、最值这些为近年来考的热点问题。

2015高考理科数学《参数方程》练习题一、选择题1．若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－3t (t 为参数)，则直线的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：由直线的参数方程知，斜率k ＝y －2x －1＝－3t 3t ＝－33＝tan θ，θ为直线的倾斜角，所以该直线的倾斜角为150°.答案：D2．参数方程为⎩⎨⎧x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(0≤t ≤5)的曲线为( )A ．线段B ．双曲线的一支C ．圆弧D ．射线解析：化为普通方程为x ＝3(y ＋1)＋2， 即x －3y －5＝0，由于x ＝3t 2＋2∈[2,77]， 故曲线为线段．故选A. 答案：A3．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23cos θ，y ＝32sin θ(θ为参数)中两焦点间的距离是( )A. 6B.3 C ．2 6D ．23解析：曲线化为普通方程为x 212＋y 218＝1，∴c ＝6，故焦距为2 6.答案：C4．若直线2x －y －3＋c ＝0与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数)相切，则实数c 等于( )A ．2或－8B ．6或－4C ．－2或8D ．4或－6解析：将曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数)化为普通方程为x 2＋y 2＝5，由直线2x －y－3＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝5相切，可知|－3＋c |5＝5，解得c ＝－2或8.答案：C5．已知曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)和直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t ＋b(t 为参数，b 为实数)，若曲线C 上恰有3个点到直线l 的距离等于1，则b ＝( )A. 2 B ．－2 C ．0D ．±2解析：将曲线C 和直线l 的参数方程分别化为普通方程为x 2＋y 2＝4和y ＝x ＋b ，依题意，若要使圆上有3个点到直线l 的距离为1，只要满足圆心到直线的距离为1即可，得到|b |2＝1，解得b ＝± 2.答案：D6．已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎨⎧x ＝4t 2，y ＝4t(t 为参数)上，则|PF |＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：将抛物线的参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，则焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1，又P (3，m )在抛物线上，由抛物线的定义知|PF |＝3－(－1)＝4.答案：D 二、填空题7．(2014年深圳模拟)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t(t 为参数)上与点A (－2,3)的距离等于2的点的坐标是________．解析：由题意知(－2t )2＋(2t )2＝(2)2，所以t 2＝12，t ＝±22，代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t(t 为参数)，得所求点的坐标为(－3,4)或(－1,2)．答案：(－3,4)或(－1,2)8．(2014年东莞模拟)若直线l ：y ＝kx 与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(参数θ∈R )有唯一的公共点，则实数k ＝________.解析：曲线C 化为普通方程为(x －2)2＋y 2＝1，圆心坐标为(2,0)，半径r ＝1.由已知l 与圆相切，则r ＝|2k |1＋k2＝1⇒k ＝±33. 答案：±339.如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________． 解析：利用直角坐标方程和参数方程的转化关系求解参数方程．将x 2＋y 2－x ＝0配方，得⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，所以圆的直径为1，设P (x ，y )，则x ＝|OP |cos θ＝1×cos θ×cos θ＝cos 2θ，y ＝|OP |sin θ＝1×cos θ×sin θ＝sin θcos θ，即圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos 2θy ＝sin θcos θ，(θ为参数)．答案：⎩⎨⎧x ＝cos 2θy ＝sin θcos θ，(θ为参数)．三、解答题10．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝sin α，y ＝cos 2α，α∈[0,2π)，曲线D 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－ 2.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程； (2)曲线C 与曲线D 有无公共点？试说明理由．解析：(1)由⎩⎨⎧x ＝sin α，y ＝cos 2α，α∈[0,2π)得x 2＋y ＝1，x ∈[－1,1]．(2)由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－2得曲线D 的普通方程为x ＋y ＋2＝0.⎩⎨⎧x ＋y ＋2＝0，x 2＋y ＝1得x 2－x －3＝0.解得x ＝1±132∉[－1,1]，故曲线C 与曲线D 无公共点． 11．已知动点P 、Q 都在曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0<α<2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．x 解析：(1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)， 因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0<α<2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ＝ x 2＋y 2＝2＋2cos α(0<α<2π)．当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．12．(能力提升)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4. (1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程． 解析：(1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2， 圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.解⎩⎨⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ得ρ＝2，θ＝±π3， 故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)解法一 由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1，y ＝t ，－3≤t ≤ 3.(或参数方程写成⎩⎨⎧x ＝1，y ＝y ，－ 3 ≤ y ≤3)解法二 将x ＝1代入⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ.于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1，y ＝tan θ，－π3 ≤ θ ≤π3. ======*以上是由明师教育编辑整理====== 希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、生命对某些人来说是美丽的，这些人的一生都为某个目标而奋斗。

2020年高考数学二轮复习70分解答题专项特训-专题7坐标系与参数方程1.已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22t ，y ＝22t ＋42(t 为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. (1)判断直线l 与曲线C 的位置关系；(2)设M 为曲线C 上任意一点，求x ＋y 的取值范围.解(1)由⎩⎨⎧x ＝22t ，y ＝22t ＋42，消去t ，得直线l 的普通方程为y ＝x ＋4 2. 由ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4， 得ρ＝2cos θcos π4－2sin θsin π4＝2cos θ－2sin θ.∴ρ2＝2ρcos θ－2ρsin θ， 即x 2－2x ＋y 2＋2y ＝0. 化为标准方程得⎝⎛⎭⎫x －222＋⎝⎛⎭⎫y ＋222＝1. ∴圆心坐标为⎝⎛⎭⎫22，－22，半径为1. ∵圆心到直线l ：x －y ＋42＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪22＋22＋422＝5>1，∴直线l 与曲线C 相离.(2)由M (x ，y )为曲线C 上任意一点，可设⎩⎨⎧x ＝22＋cos α，y ＝－22＋sin α(α为参数，0≤α<2π)，则x ＋y ＝sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4， ∵0≤α<2π， ∴π4≤α＋π4<9π4， ∴－2≤2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤2， ∴x ＋y 的取值范围是[－2，2].2.(2019·辽南协作体模拟)在平面直角坐标系中，直线l 过原点且倾斜角为π4；曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33cos α，y ＝sin α(α为参数)；曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋13cos α，y ＝2＋13sin α(α为参数).(1)求直线l 的极坐标方程，曲线C 1和曲线C 2的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 1和曲线C 2在第一象限的交点分别为M ，N ，求M ，N 之间的距离. 解 (1)直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )；曲线C 1 的普通方程为x 213＋y 2＝1；曲线C 2的普通方程为(x －3)2＋(y －2)2＝13. (2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝11＋2cos 2θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋4sin θ， ∴|ON |＝6cos π4＋4sin π4＝52，|OM |＝11＋2×⎝⎛⎭⎫222＝22， 可得|MN |＝|ON |－|OM |＝52－22＝922. 3.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P (m,2)，其参数方程为⎩⎨⎧x ＝m ＋t ，y ＝2－t(t 为参数，m∈R )，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋8cos θ－ρ＝0.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若已知曲线C 1和曲线C 2交于A ，B 两点，且|P A |＝2|PB |，求实数m 的值.解 (1)C 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝m ＋t ，y ＝2－t(t 为参数，m ∈R )，消参得普通方程为x ＋y －m －2＝0.C 2的极坐标方程化为ρ(2cos 2θ－1)＋8cos θ－ρ＝0，两边同乘ρ得2ρ2cos 2θ＋8ρcos θ－2ρ2＝0，即y 2＝4x .即C 2的直角坐标方程为y 2＝4x .(2)将曲线C 1的参数方程标准化为⎩⎨⎧x ＝m －22t ，y ＝2＋22t (t 为参数，m ∈R )，代入曲线C 2：y 2＝4x ，得12t 2＋42t ＋4－4m ＝0， 由Δ＝(42)2－4×12×(4－4m )>0，得m >－3，设A ，B 对应的参数为t 1，t 2，由题意得|t 1|＝2|t 2|，即t 1＝2t 2或t 1＝－2t 2，当t 1＝2t 2时，⎩⎨⎧t 1＝2t 2，t 1＋t 2＝－82，t 1·t 2＝2(4－4m )，解得m ＝－239，满足m >－3；当t 1＝－2t 2时，⎩⎨⎧t 1＝－2t 2，t 1＋t 2＝－82，t 1·t 2＝2(4－4m )解得m ＝33，满足m >－3. 综上，m ＝－239或33.4.(2019·昆明质检)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋3cos α，y ＝3sin α(α为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos β，y ＝t sin β(t 为参数，0≤β<π)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 的极坐标方程；(2)已知直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|OA |－|OB |＝2，求β. 解 (1)由曲线C 的参数方程可得普通方程为(x －2)2＋y 2＝3，即x 2＋y 2－4x ＋1＝0，所以曲线C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＋1＝0.(2)由直线l 的参数方程可得直线的极坐标方程为θ＝β(ρ∈R,0≤β<π)， 因为直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点， 所以设A (ρ1，β)，B (ρ2，β)，联立⎩⎨⎧ρ2－4ρcos θ＋1＝0，θ＝β，可得ρ2－4ρcos β＋1＝0，因为Δ＝16cos 2β－4>0，即cos 2β>14，所以|OA |－|OB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2 ＝16cos 2β－4＝2， 解得cos β＝±22， 又0≤β<π， 所以β＝π4或3π4.5.(2019·保山模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.⊙O 的极坐标方程为ρ＝2，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α(t 为参数)，直线l 与⊙O 交于A ，B 两个不同的点. (1)求倾斜角α的取值范围；(2)求线段AB 中点P 的轨迹的参数方程. 解 (1)直线l 的倾斜角为α，当α＝π2时，直线l (即y 轴)与⊙O 交于A ，B 两个不同的点，符合题目要求；当α≠π2时，记k ＝tan α，直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α化为普通方程为kx －y －2＝0，圆心O 到直线l 的距离d ＝21＋k 2. 因为直线l 与⊙O 交于不同的两点， 所以21＋k 2<2， 解得k >1或k <－1.当k <－1时，直线l 的倾斜角α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π2，3π4；当k >1时，α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，π2，综上，直线l 的倾斜角α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，3π4.(2)⊙O 的极坐标方程为ρ＝2，其直角坐标方程为x 2＋y 2＝2，因直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α(t 为参数)，代入x 2＋y 2＝2中得，t 2－4t sin α＋2＝0， 故可设A (t 1cos α，－2＋t 1sin α)， B (t 2cos α，－2＋t 2sin α)，注意到t 1 ，t 2为方程的根，故t 1＋t 2＝4sin α， 点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫t 1＋t 22cos α，－2＋t 1＋t 22sin α，即(sin 2α，－1－cos 2α)， 所以点P 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝sin 2α，y ＝－1－cos 2α(α为参数).。

七　极坐标与参数方程(B)1.(2018·顺德区一模)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为(α为参数),曲{x =cos α,y =sin α线C 1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C 2.{x '=2x ,y '=y (1)求C 2的极坐标方程;(2)在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标中,射线θ=与C 1的异于极点的交点为A,π6与C 2的异于极点的交点为B,求|AB|.2.(2018·日照二模)在直角坐标系xOy 中,直线l 的方程为x-y-2=0.在以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线Γ:ρcos 2θ=ρ-2cos θ.(1)求曲线Γ的直角坐标方程;(2)若点P 的坐标为(-2,-4),直线l 和曲线Γ相交于M,N 两点,证明:|MN|2=|PM|·|PN|.3.(2018·六安高三模拟)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1过点P(a,1),其参数方程为(t 为参数,a ∈R),以O 为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极{x =a +22t,y =1+22t 坐标方程为ρcos 2θ+ 4cos θ-ρ=0.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程;(2)若已知曲线C 1和曲线C 2交于A,B 两点,且|PA|=2|PB|,求实数a 的值.4.(2018·思明区校级模拟)在以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线C 1的极坐标方程为ρ=2,正三角形ABC 的顶点都在C 1上,且A,B,C 依逆时针次序排列,点A 的坐标为(2,0).(1)求点B,C 的直角坐标;(2)设P 是圆C 2:x 2+(y+)2=1上的任意一点,求|PB|2+|PC|2的取值 范围.31.解:(1)曲线C 1的参数方程为(α为参数),{x =cos α,y =sin α转化为直角坐标方程为x 2+y 2=1,曲线C 1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C 2.{x '=2x ,y '=y 即+y ′2=1,x '24故C 2的直角坐标方程为+y 2=1.x 24转化为极坐标方程为+ρ2sin 2θ=1.ρ2cos 2θ4(2)曲线C 1的参数方程为(α为参数),转化为极坐标方程为ρ1=1,{x =cos α,y =sin α由题意得到A(1,),π6将B(ρ2,)代入坐标方程+ρ2sin 2θ=1.π6ρ2cos 2θ4得到ρ2=,477则|AB|=|ρ1-ρ2|=-1.4772.(1)解:因为Γ:ρcos 2θ=ρ-2cos θ,所以ρ-ρcos 2θ=2cos θ,所以ρsin 2θ=2cos θ,所以曲线Γ的直角坐标方程为y 2=2x.(2)证明:因为直线l 的方程为x-y-2=0,所以定点P(-2,-4)在直线l 上,所以直线l 的参数方程为(t 为参数).{x =-2+22t,y =-4+22t 将曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程联立,得t 2-10t+40=0(*)2因为Δ=(-10)2-4×1×40=40>0,2所以直线l 和曲线Γ相交,设交点M,N 所对应参数分别为t 1,t 2,t 1+t 2=10,t 1t 2=40,2则|PM|=|t 1|,|PN|=|t 2|,|MN|=|t 1-t 2|,故|MN|2=|t 1-t 2|2=+-2t 1t 2t 21t 22=(t 1+t 2)2-4t 1t 2=(10)2-4×1×40=40,2又|PM|·|PN|=|t 1|·|t 2|=|t 1t 2|=40,所以|MN|2=|PM|·|PN|.3.解:(1)C 1的参数方程(t 为参数,a ∈R){x =a +22t,y =1+22t 消参得普通方程为x-y-a+1=0,C 2的极坐标方程为ρcos 2θ+4cos θ-ρ=0两边同乘ρ得ρ2cos 2θ+4ρcos θ- ρ2=0即y 2=4x.(2)将曲线C 1的参数方程(t 为参数,a ∈R)代入曲线C 2:y 2=4x 得t 2-t+1-4a=0,{x =a +22t,y =1+22t122由Δ=(-)2-4××(1-4a)>0,得a>0,212设A,B 对应的参数分别为t 1,t 2,由题意得|t 1|=2|t 2|,即t 1=2t 2或t 1=-2t 2,当t 1=2t 2时,解得a=,{t 1=2t 2,t 1+t 2=22,t 1t 2=2(1-4a),136当t 1=-2t 2时,解得a=,{t 1=-2t 2,t 1+t 2=22,t 1t 2=2(1-4a),94综上,a=或.136944.解:(1)因为曲线C 1的极坐标方程为ρ=2,所以曲线C 1的直角坐标方程为x 2+y 2=4,因为正三角形ABC 的顶点都在C 1上,且A,B,C 依逆时针次序排列,点A 的坐标为(2,0),所以B 点的坐标为(2cos 120°,2sin 120°),即B(-1,),3C 点的坐标为(2cos 240°,2sin 240°),即C(-1,-).3(2)因为圆C 2:x 2+(y+)2=1,3所以圆C 2的参数方程0≤α<2π,{x =cos α,y =-3+sin α,设点P(cos α,-+sin α),0≤α<2π,3所以|PB|2+|PC|2=(cos α+1)2+(sin α-2)2+(cos α+1)2+sin 2α=16+4cos α-4sin33α=16+8cos(α+),π3所以|PB|2+|PC|2的取值范围是[8,24].。

高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求）1．设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=（）A．{3} B．{2，3} C．{﹣1，3} D．{0，1，2}2．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i3．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．C．﹣D．4．执行如图的程序框图，若输入的a=209，b=76，则输出的a 是（）A．19 B．3 C．57 D．765．设a=log3π，b=logπ3，c=cos3，则（）A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c6．函数y=4sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）部分图象如图，其中点A（，0），B（，0），则（）A．ω=，φ=﹣ B．ω=1，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=1，φ=﹣7．设实数x，y满足约束条件，则z=的取值范围是（）A．[，1] B．[，] C．[，] D．[，]8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．9．一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分，已知甲球队已赛4场，积4分，在这4场比赛中，甲球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有（）A．7种B．13种C．18种D．19种10．在△ABC中，AB=2BC，以A，B为焦点，经过C的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则（）A．﹣=1 B．﹣=2C．﹣=1 D．﹣=211．已知函数f（x）=﹣，g（x）=xcosx﹣sinx，当x∈[﹣3π，3π]时，方程f（x）=g（x）根的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．212．已知圆C：x2+y2=1，点M（t，2），若C上存在两点A，B满足=，则t的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣3，3] C．[﹣，] D．[﹣5，5]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知||=，||=2，若（+）⊥，则与的夹角是．14．设S n是数列{a n}的前n项和，a n=4S n﹣3，则S4= ．15．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=2，则该三棱锥的外接球的表面积为．16．曲线+=1与两坐标轴所围成图形的面积是．三、解答题（本大题共70分，其中17-21题为必考题，22-24题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2（a2﹣b2）=2accosB+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=，求tanC．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别是棱PC，AB的中点，且MN⊥CD．（Ⅰ）求证：AD⊥CD；（Ⅱ）若AB=AD，求直线MN与平面PBD所成角的正弦值．19．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表：支持不支持合计中型企业80 40 120小型企业240 200 440合计320 240 560（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元，记9家企业所获奖金总数为X万元，求X的分布列和期望．附：K2=P（K2≥k0）0.050 0.025 0.010k0 3.841 5.024 6.63520．已知抛物线E：x2=4y，m、n是过点A（a，﹣1）且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D．（Ⅰ）求m的斜率k的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．21．设函数f（x）=x++alnx，g（x）=x++（﹣x）lnx，其中a∈R．（Ⅰ）证明：g（x）=g（），并求g（x）的最大值；（Ⅱ）记f（x）的最小值为h（a），证明：函数y=h（a）有两个互为相反数的零点．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB为圆O的直径，PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，延长BA，PC相交于点D．（Ⅰ）证明：AC∥OP；（Ⅱ）若CD=2，PB=3，求AB．【选修4-4：极坐标与参数方程】23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．【选修4-5：不等式选讲】24．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求）1．设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=（）A．{3} B．{2，3} C．{﹣1，3} D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．解答：解：由B中不等式变形得：x（x﹣2）＞0，解得：x＜0或x＞2，即B={x|x＜0或x＞2}，∵A={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：∵=，又复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=2﹣i．故选：B．点评：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．C．﹣D．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由通项公式和求和公式可得a1和d的方程组，解方程组可得．}的公差为d，解答：解：设等差数列{an∵a7=8，前7项和S7=42，∴a1+6d=8，7a1+d=42，解得a1=4，d=故选：D点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．4．执行如图的程序框图，若输入的a=209，b=76，则输出的a 是（）A．19 B．3 C．57 D．76考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，c 的值，当b=0时满足条件b=0，退出循环，输出a的值为19．解答：解：模拟执行程序框图，可得a=209，b=76c=57a=76，b=57，不满足条件b=0，c=19，a=57，b=19不满足条件b=0，c=0，a=19，b=0满足条件b=0，退出循环，输出a的值为19．故选：A．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模，本题属于基础知识的考查．5．设a=log3π，b=logπ3，c=cos3，则（）A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数函数与指数函数、三角函数的单调性即可得出．解答：解：∵a=log3π＞1，0＜b=logπ3＜1，c=cos3＜0，∴a＞b＞c．故选：D．点评：本题考查了对数函数与指数函数、三角函数的单调性，属于基础题．6．函数y=4sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）部分图象如图，其中点A（，0），B（，0），则（）A．ω=，φ=﹣ B．ω=1，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=1，φ=﹣考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：结合图象，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．解答：解：由函数的图象可得==﹣，∴ω=．再根据五点法作图可得•+φ=0，求得φ=﹣，故选：C．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．7．设实数x，y满足约束条件，则z=的取值范围是（）A．[，1] B．[，] C．[，] D．[，]考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：z=的几何意义为区域内的点到定点D（﹣1，0）的斜率，由图象知AD的斜率最大，BD的斜率最小，由，解得，即A（，），此时z==，由，解得，即B（），此时z==，故z=的取值范围是[，]，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及直线斜率公式是解决本题的关键．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；作图题；空间位置关系与距离．分析：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体．解答：解：该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，如右图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，其面积S=×1×2=1，高为1；故其体积V1=1×1=1；三棱锥的底面是等腰直角三角形，其面积S=×1×2=1，高为1；故其体积V2=×1×1=；故该几何体的体积V=V1+V2=；故选：A．点评：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．9．一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分，已知甲球队已赛4场，积4分，在这4场比赛中，甲球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有（）A．7种B．13种C．18种D．19种考点：计数原理的应用．专题：应用题；排列组合．分析：由题意4=1+1+2+0=2+2+0+0=1+1+1+1，即可得出结论．解答：解：由题意4=1+1+2+0=2+2+0+0=1+1+1+1，所以球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有++1=19种，故选：D．点评：本题考查计数原理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．10．在△ABC中，AB=2BC，以A，B为焦点，经过C的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则（）A．﹣=1 B．﹣=2C．﹣=1 D．﹣=2考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：以AB所在直线为x轴，其中点为原点，建立坐标系，再通过椭圆及双曲线的基本概念即可得到答案．解答：解：以AB所在直线为x轴，其中点为原点，建立坐标系，则A（﹣1，0），B（1，0），C（1+cosθ，sinθ），所以AC==，对于椭圆而言，2c=2，2a=AC+BC=+1，所以==；对于双曲线而言，2c=2，2a=AC﹣BC=﹣1，所以==；故﹣=﹣=1，故选：A．点评：本题考查椭圆、双曲线的概念，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题．11．已知函数f（x）=﹣，g（x）=xcosx﹣sinx，当x∈[﹣3π，3π]时，方程f（x）=g（x）根的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．2考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：先对两个函数分析可知，函数f（x）与g（x）都是奇函数，且f（x）是反比例函数，g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，且g（0）=0，g（π）=﹣π；g（2π）=2π；g（3π）=﹣3π；从而作出函数的图象，由图象求方程的根的个数即可．解答：解：由题意知，函数f（x）=﹣在[﹣3π，3π]是奇函数且是反比例函数，g（x）=xcosx﹣sinx在[﹣3π，3π]是奇函数；g′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx；故g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，且g（0）=0，g（π）=﹣π；g（2π）=2π；g（3π）=﹣3π；故作函数f（x）与g（x）在[﹣3π，3π]上的图象如下，结合图象可知，有6个交点；故选：B．点评：本题考查了导数的综合应用及函数的图象的性质应用，同时考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于中档题．12．已知圆C：x2+y2=1，点M（t，2），若C上存在两点A，B满足=，则t的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣3，3] C．[﹣，] D．[﹣5，5]考点：椭圆的简单性质．专题：平面向量及应用．分析：通过确定A是MB的中点，利用圆x2+y2=1的直径是2，可得MA≤2，即点M到原点距离小于等于3，从而可得结论．解答：解：如图，连结OM交圆于点D．∵=，∴A是MB的中点，∵圆x2+y2=1的直径是2，∴MA=AB≤2，又∵MD≤MA，OD=1，∴OM≤3，即点M到原点距离小于等于3，∴t2+4≤9，∴≤t≤，故选：C．点评：本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知||=，||=2，若（+）⊥，则与的夹角是150°．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据已知条件即可得到，所以根据进行数量积的运算即可得到3，所以求出cos＜＞=，从而便求出与的夹角．解答：解：∵；∴=；∴；∴与的夹角为150°．故答案为：150°．点评：考查两非零向量垂直的充要条件，以及数量积的计算公式，向量夹角的范围．14．设S n是数列{a n}的前n项和，a n=4S n﹣3，则S4= ．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：a n=4S n﹣3，当n=1时，a1=4a1﹣3，解得a1．当n≥2时，S n﹣S n﹣1=4S n﹣3，化为，利用等比数列的通项公式即可得出．解答：解：∵a n=4S n﹣3，∴当n=1时，a1=4a1﹣3，解得a1=1．当n≥2时，S n﹣S n﹣1=4S n﹣3，化为，∴数列是等比数列，首项为，公比为﹣，∴=．令n=4，则S4=+=．故答案为：．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=2，则该三棱锥的外接球的表面积为20π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x，则r2=22+x2=12+（3﹣x）2，求出x，可得r，即可求出该三棱锥的外接球的表面积．解答：解：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x，则r2=22+x2=12+（3﹣x）2，所以x=1，所以该三棱锥的外接球的表面积为4πr2=20π．故答案为：20π．点评：本题考查求三棱锥的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键．16．曲线+=1与两坐标轴所围成图形的面积是．考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：首先由题意，画出图象，然后利用定积分表示面积解答：解：曲线+=1，即y=（1﹣）2即图象与两坐标轴围成的图形如图阴影部分其面积为（1﹣）2dx=（1﹣2+x）dx=（+x）|=；故答案为：点评：本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积；关键是正确利用定积分表示面积，然后计算．三、解答题（本大题共70分，其中17-21题为必考题，22-24题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2（a2﹣b2）=2accosB+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=，求tanC．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值；解三角形．分析：（Ⅰ）由余弦定理可得2accosB=a2+c2﹣b2，代入已知等式整理得cosA=﹣，即可求得A．（Ⅱ）由已知可求∠DAC=，由正弦定理有=，又BD=3CD，可得3sinB=2sinC，由B=﹣C化简即可得解．解答：解：（Ⅰ）因为2accosB=a2+c2﹣b2，所以2（a2﹣b2）=a2+c2﹣b2+bc．…（2分）整理得a2=b2+c2+bc，所以cosA=﹣，即A=．…（4分）（Ⅱ）因为∠DAB=，所以AD=BD•sinB，∠DAC=．…（6分）在△ACD中，有=，又因为BD=3CD，所以3sinB=2sinC，…（9分）由B=﹣C得cosC﹣sinC=2sinC，…（11分）整理得tanC=．…（12分）点评：本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数关系式，三角函数恒等变换的应用，综合性较强，属于基本知识的考查．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别是棱PC，AB的中点，且MN⊥CD．（Ⅰ）求证：AD⊥CD；（Ⅱ）若AB=AD，求直线MN与平面PBD所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：（Ⅰ）取PD边中点E，连接AE，EM，根据MN⊥CD 容易得到CD⊥AE，而根据已知条件可以说明PO⊥平面ABCD，从而得到CD⊥PO，这样CD就垂直于平面PAD内两条相交直线，由线面垂直的判定定理从而得到AD⊥CD；（Ⅱ）取BC中点F，连接OF，由（Ⅰ）便可知道OA，OF，OP三条直线两两垂直，从而可分别以这三条直线为x，y，z轴，可设AB=2，这样即可求得图形中一些点的坐标．从而求出向量的坐标，这时候设平面PBD的法向量为，根据即可求出的坐标，若设MN和平面PBD所成角为θ，从而根据sinθ=即可求得答案．解答：解：（Ⅰ）证明：如图，取PD中点E，连AE，EM，则EM∥AN，且EM=AN；∴四边形ANME是平行四边形，MN∥AE；∵MN⊥CD，∴AE⊥CD，即CD⊥AE；取AD中点O，连PO，△PAD是等边三角形，则PO⊥AD；又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD；∴PO⊥平面ABCD，PO⊥CD，即CD⊥PO；故CD⊥平面PAD，AD⊂平面PAD；∴CD⊥AD，即AD⊥CD；（Ⅱ）由AB=AD，AD⊥CD，得▱ABCD是正方形；取BC边的中点F，连接OF，则分别以OA，OF，OP所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系；设AB=2，则A（1，0，0），B（1，2，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，），E（﹣，0，）；=（2，2，0），=（1，0，）；设平面PBD的法向量，则：；∴；∴，取z=1，∴；==（，0，﹣）；设直线MN与平面PBD所成的角为θ，则：sinθ=|cos＜，＞|==．点评：考查面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用向量解决直线和平面所成角的问题，能求空间点的坐标，注意线面角和直线和平面法向量所成角的关系，以及向量夹角余弦的坐标公式．19．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表：支持不支持合计中型企业80 40 120小型企业240 200 440合计320 240 560（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元，记9家企业所获奖金总数为X万元，求X的分布列和期望．附：K2=P（K2≥k0）0.050 0.025 0.010k0 3.841 5.024 6.635考点：独立性检验的应用．专题：应用题；概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意知根据表中所给的数据，利用公式可求K2的值，从临界值表中可以知道K2＞5.024，根据临界值表中所给的概率得到与本题所得的数据对应的概率是0.025，得到结论；（Ⅱ）按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．X 的可能取值为90，130，170，210，求出相应的概率，即可求出X的分布列和期望．解答：解：（Ⅰ）K2=≈5.657，因为5.657＞5.024，所以能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知“支持”的企业中，中小企业家数之比为1：3，按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．设9家获得奖励的企业中，中小企业分别为m家和n家，则（m，n）可能为（0，9），（1，8），（2，7），（3，6）．与之对应，X的可能取值为90，130，170，210．…（6分）P（X=90）=，P（X=130）=，P（X=170）=，P（X=210）=，…（10分）分布列表如下：X 90 130 170 210P期望EX=90×+130×+170×+210×=180．…（12分）点评：本题考查独立性检验的应用，考查X的分布列和期望，考查学生的计算能力，属于中档题．20．已知抛物线E：x2=4y，m、n是过点A（a，﹣1）且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D．（Ⅰ）求m的斜率k的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设直线m：y+1=k（x﹣a），n：y+1=﹣k（x﹣a），代入抛物线方程，运用判别式等于0和大于0，解不等式即可得到k的范围；（Ⅱ）假设存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2，设B（x0，y0），C（x1，y1），D（x2，y2），代入直线方程，由条件结合二次方程的韦达定理，再由判别式为0，即可判断．解答：解：（Ⅰ）设直线m：y+1=k（x﹣a），n：y+1=﹣k（x ﹣a），分别代入x2=4y，得x2﹣4kx+4ka+4=0（1），x2+4kx﹣4ka+4=0（2），由△1=0得k2﹣ka﹣1=0，＞0得k2+ka﹣1＞0，由△2故有2k2﹣2＞0，得k2＞1，即k＜﹣1，或k＞1．（Ⅱ）假设存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2，设B（x0，y0），C（x1，y1），D（x2，y2），则（y1+1）（y2+1）=λ（y0+1）2．将y1+1=﹣k（x1﹣a），y2+1=﹣k（x2﹣a），y0+1=k（x0﹣a）代入上式，得（x1﹣a）（x2﹣a）=λ（x0﹣a）2，即x1x2﹣a（x1+x2）+a2=λ（x0﹣a）2．由（2）得x1+x2=﹣4k，x1x2=﹣4ka+4，由（1）得x0=2k，代入上式，得4+a2=λ（4k2﹣4ka+a2）．又△1=0得k2﹣ka﹣1=0，即4k2﹣4ka=4，因此4+a2=λ（4+a2），λ=1．故存在常数λ=1，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线和抛物线方程联立，运用判别式和韦达定理，考查运算化简的能力，属于中档题．21．设函数f（x）=x++alnx，g（x）=x++（﹣x）lnx，其中a∈R．（Ⅰ）证明：g（x）=g（），并求g（x）的最大值；（Ⅱ）记f（x）的最小值为h（a），证明：函数y=h（a）有两个互为相反数的零点．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）利用已知函数g（x）的解析式，分别计算g（），g（x），可得两者相等；再利用g′（x）求得最大值；（Ⅱ）利用f′（x）可得f（x）的最小值h（a）=t++（﹣t）lnt=g（t），由（Ⅰ）可知g（）＜0，g（1）＞0，利用函数零点的判定定理即得结论．解答：解：（Ⅰ）∵g（）=+x+（x﹣）ln=x++（﹣x）lnx，∴g（x）=g（），则g′（x）=﹣（1+）lnx，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．所以g（x）的最大值为g（1）==2．（Ⅱ）∵f（x）=x++alnx，∴f′（x）=1﹣+=．令f′（x）=0，即x2+ax﹣1=0，则△=a2+4＞0，不妨取t=＞0，由此得：t2+at﹣1=0或写为：a=﹣t．当x∈（0，t）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（t，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．从而f（x）的最小值为f（t）=t++alnt=t++（﹣t）lnt，即h（a）=t++（﹣t）lnt=g（t）（或h（a）=+aln）．由（Ⅰ）可知g（）=g（e2）=﹣e2＜0，g（1）=2＞0，分别存在唯一的c∈（0，1）和d∈（1，+∞），使得g（c）=g （d）=0，且cd=1，因为a=﹣t（t＞0）是t的减函数，所以y=h（a）有两个零点a1=﹣d和a2=﹣c，又﹣d+﹣c=﹣（c+d）=0，所以y=h（a）有两个零点且互为相反数．点评：本题考查利用导数判断函数的单调性及零点判定定理，考查转化与化归思想、运算求解能力、数据处理能力和推理论证能力．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB为圆O的直径，PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，延长BA，PC相交于点D．（Ⅰ）证明：AC∥OP；（Ⅱ）若CD=2，PB=3，求AB．考点：与圆有关的比例线段；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：选作题；立体几何．分析：（Ⅰ）利用切割线定理，可得PB=PC，且PO平分∠BPC，可得PO⊥BC，又AC⊥BC，可得AC∥OP；（Ⅱ）由切割线定理得DC2=DA•DB，即可求出AB．解答：（Ⅰ）证明：因PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，所以PB=PC，且PO平分∠BPC，所以PO⊥BC，又AC⊥BC，即AC∥OP．…（4分）（Ⅱ）解：由PB=PC得PD=PB+CD=5，在Rt△PBD中，可得BD=4．则由切割线定理得DC2=DA•DB，得DA=1，因此AB=3．…（10分）点评：本题考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用切割线定理是关键．【选修4-4：极坐标与参数方程】23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（I）把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的性质即可得出a；（II）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=2cos（θ+），利用三角函数的单调性即可得出．解答：解：（Ⅰ）曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），变形ρ2=2ρacos θ，化为x2+y2=2ax，即（x﹣a）2+y2=a2．∴曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；由l：ρcos（θ﹣）=，展开为，∴l的直角坐标方程为x+y﹣3=0．由直线l与圆C相切可得=a，解得a=1．（Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=3cosθ﹣sinθ=2cos（θ+），当θ=﹣时，|OA|+|OB|取得最大值2．点评：本题考查了把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程、直线与圆相切的性质、极坐标方程的应用、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】24．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．考点：绝对值不等式的解法；基本不等式．专题：计算题；分类讨论；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）运用零点分区间，讨论x的范围，去绝对值，由一次函数的单调性可得最大值；（Ⅱ）由a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2），运用重要不等式，可得最大值．解答：解：（Ⅰ）当x≤﹣1时，f（x）=3+x≤2；当﹣1＜x＜1时，f（x）=﹣1﹣3x＜2；当x≥1时，f（x）=﹣x﹣3≤﹣4．故当x=﹣1时，f（x）取得最大值m=2．（Ⅱ）a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2）≥2ab+2bc=2（ab+bc），当且仅当a=b=c=时，等号成立．此时，ab+bc取得最大值=1．点评：本题考查绝对值不等式的解法和运用，主要考查分类讨论的思想方法和重要不等式的解法，属于中档题．。

坐标系与参数方程一、选择题1. 在极坐标中，由三条曲线0,,cos sin 13πθθρθθ===围成的图形的面积是A B C D2. 设),(y x P 是曲线C ：θθθ(sin cos 2⎩⎨⎧=+-=y x 为参数，πθ20<≤）上任意一点，则x y的取值范围是 （ ） A .]3,3[- B .),3[]3,(+∞--∞YC .]33,33[-D .),33[]33,(+∞--∞Y 3. 直线0323=-+y x 与圆θθsin 23cos 21+=+=y x （θ为参数）的位置关系是 ( ) A ． 相离 B ．相切C ． 相交但不过圆心D ． 相交且过圆心4. 在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为（ ）A ．cos 2ρθ=B ．sin 2ρθ=C ．4sin()3πρθ=+D ．4sin()3πρθ=-5. 极坐标方程cos 20ρθ=表示的曲线为（ ）A ．极点B ．极轴C ．一条直线D ．两条相交直线6. 直线12()2x tt y t=+⎧⎨=+⎩为参数被圆229x y +=截得的弦长为（ ）A ．125 BC D 7. 曲线25()12x tt y t =-+⎧⎨=-⎩为参数与坐标轴的交点是（ ） A ．21(0,)(,0)52、 B ．11(0,)(,0)52、C ．(0,4)(8,0)-、D ．5(0,)(8,0)9、8. 把方程1xy =化为以参数的参数方程是（ ）A ．1212x t y t -⎧=⎪⎨⎪=⎩B ．sin 1sin x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩C ．cos 1cos x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩D ．tan 1tan x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩ 9. 极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆10. 化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ）A ．201y y +==2x 或 B ．1x = C ．201y +==2x 或x D ．1y =二、填空题11.若直线sin()4πρθ+=31x ky +=垂直，则常数k = ．12. 若直线340x y m ++=与圆1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数）没有公共点，则实数m 的取值范围是 ；13. 已知直线:40l x y -+=与圆{12cos 12sin :x y C θθ=+=+，则C 上各点到的距离的最小值为_______．14. 极坐标方程分别为cos ρθ=与sin ρθ=的两个圆的圆心距为_____________。