四川省乐山市高中2011届高三第二次诊断性考试数学(文)试题

2011年普通高等学校招生全国统一考试一、选择题(1)设集合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则U =（M N ）I ð （A ）{}12， （B ）{}23， （C ）{}2，4 （D ）{}1，4【答案】D【命题意图】本题主要考查集合交并补运算.【解析】{2,3},(){1,4}U M N M N =∴=ðQ I I(2)函数0)y x =≥的反函数为（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥ （C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥【答案】B【命题意图】本题主要考查反函数的求法. 【解析】由原函数反解得24y x =,又原函数的值域为0y ≥,所以函数0)y x =≥的反函数为2(0)4x y x =≥. (3)设向量,a b 满足||||1a b ==,12a b ⋅=-r r ,则2a b += （A（B（C（D【答案】B 【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积与长度的计算方法.【解析】2221|2|||44||14()432a b a a b b +=+⋅+=+⨯-+=r r r r r u r ,所以2a b +=r r (4)若变量x ，y 满足约束条件63-21x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则=23z x y +的最小值为（A ）17 （B ）14 （C ）5 （D ）3【答案】C【命题意图】本题主要考查简单的线性规划.【解析】作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线=23z x y +过直线x=1与x-3y=-2的交点（1，1）时取得最小值,所以最小值为5.(5)下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞【答案】A【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质.【解析】即寻找命题P ,使P a b ⇒>,且a b >推不出P ,逐项验证知可选A.(6)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =（A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5【答案】D【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用.【解析】解法一2(2)(1)(1)[(2)12][12]442422k k k k k k S S k k k +++--=+⨯+⨯-⨯+⨯=+=，解得5k =. 解法二: 221[1(1)2](12)4424k k k k S S a a k k k +++-=+=++⨯++⨯=+=，解得5k =.(7)设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9 【答案】C【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性与三角函数图像变换的关系.【解析】由题意将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3π是此函数周期的整数倍,得2()3k k Z ππω⨯=∈,解得6k ω=,又0ω>,令1k =,得min 6ω=.(8)已知直二面角l αβ--,点A α∈，AC l ⊥,C 为垂足,B β∈，BD l ⊥,D 为垂 足,若2,1AB AC BD ===，则CD =（A ） 2 （B（C （D ）1 【答案】C【命题意图】本题主要考查二面角的平面角及解三角形.【解析】因为l αβ--是直二面角, AC l ⊥,∴AC ⊥平面β,AC BC ∴⊥BC ∴=又BD l ⊥,CD ∴=(9) 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有(A) 12种 (B) 24种 (C) 30种 (D)36种【答案】B【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识，考察考生分析问题的能力.【解析】第一步选出2人选修课程甲有246C =种方法，第二步安排剩余两人从乙、丙中各选1门课程有22⨯种选法，根据分步计数原理，有6424⨯=种选法.(10) 设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()f x =2(1)x x -,则5()2f -= (A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12【答案】A【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法. 关键是把通过周期性和奇偶性把自变量52-转化到区间[0,1]上进行求值. 【解析】由()f x 是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得:5511111()(2)()()2(1)2222222f f f f -=-+=-=-=-⨯⨯-=-(11)设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C =(A)4 (B)【答案】C【命题意图】本题主要考查圆的方程与两点间的距离公式.【解析】由题意知圆心在直线y=x 上并且在第一象限,设圆心坐标为(,)(0)a a a >,则a =,即210170a a -+=,所以由两点间的距离公式可求出128C C ===.(12)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π【答案】D【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质.【解析】如图所示,由圆M 的面积为4π知球心O 到圆M 的距离OM =,在Rt OMN ∆中,30OMN ︒∠=, ∴12ON OM ==故圆N 的半径r ==,∴圆N 的面积为213S r ππ==.第Ⅱ卷注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。

版权所有：高考资源网(www.ks5u.c成都市2011届高中毕业班第二次诊断性检测数学（理工农医类）本试卷分选择题和非选择题两部分。

第Ⅰ卷（选择题）l 至2页，第Ⅱ卷（非选择题）3至l 页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5．考试结束后，只将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 )()()(B P A P B A P +=+ 24R S π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 )()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ， 334R V π= 那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率),,2.1,0()1()(n k p p C k P kn n k n n Λ=-=- 其中R 表示球的半径一、选择题：(1)已知i 为虚数单位，则复数2i i+= (A)1- (B)i - (C)i (D)1 解：22i i i i i+=-=-，选B (2)已知向量)1,3(=a ，),2(λ=，若//，则实数λ的值为(A)32 (B)32- (C)23 (D)23- 解：2//3203a b λλ⇔-=⇔=r r ，选A(3)在等比数列}{n a 中，若3753)3(-=⋅⋅a a a ，则=⋅82a a (A)3- (B)3 (C)9- (D)9解：33335755((a a a a a ⋅⋅=⇒=⇒=，22853a a a ⋅==，选B(4)若*N n ∈，则121.23232lim -+-∞→+-⨯n n n n n 的值为 (A)0 (B)32 (C)92(D)2 解：111212..2223223lim lim 232933n n n nn n n n n n---+-→∞→∞-⨯-==++，选C (5)在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ．若bc a c b 56222=-+，则)sin(C B +的值为(A)54-(B)54 (C)53- (D)53解：22222263cos 525b c a b c a bc A bc +-+-=⇒==，4sin()sin 5B C A +==，选B (6)设集合}14|),{(22=-=y x y x P ，}012|),{(=+-=y x y x Q ，记Q P A I =，则集合A 中元素的个数有(A)3个 (B)4个 (C)l 个 (D)2个解：由于直线210x y -+=与双曲线2214x y -=的渐近线12y x =平行，所以选C (7)某出租车公司计划用450万元购买A 型和B 型两款汽车投入营运，购买总量不超过50辆，其中购买A 型汽车需13万元／辆，购买B 型汽车需8万元／辆．假设公司第一年A 型汽车的纯利润为2万元／辆，B 型汽车的纯利润为1.5万元／辆，为使该公司第一年纯利润最大，则需安排购买(A)8辆A 型出租车，42辆B 型出租车 (B)9辆A 型出租车，41辆B 型出租车 (C)11辆A 型出租车，39辆B 型出租车 (D)10辆A 型出租车，40辆B 型出租车 解法一：A 时，成本为813428440⨯+⨯=万元，利润为8242 1.579⨯+⨯=万元 B 时，成本为913418445⨯+⨯=万元，利润为9241 1.579.5⨯+⨯=万元 C 时，成本为1113398455⨯+⨯=万元，利润为11239 1.580.5⨯+⨯=万元 D 时，成本为1013408450⨯+⨯=万元，利润为10240 1.580⨯+⨯=万元 而1113398455450⨯+⨯=>，选D解法二：设购买A 型出租车x 辆，购买B 型出租车y 辆，第一年纯利润为z ，则50138450**x y x y x N y N +≤⎧⎪+≤⎪⎨∈⎪⎪∈⎩，2 1.5z x y =+，作出可行域，由50138450x y x y +=⎧⎨+=⎩解得1040x y =⎧⎨=⎩，选D(8)过点)4,4(-P 作直线l 与圆25)1(:22=+-⋅y x C 交于A 、B 两点，若2||=PA ，则圆心C 到直线l 的距离等于(A)5 (B)4 (C)3 (D)2解法一：如图，22||5441PC =+=，||5BC =，2222||2||PC d BC d --=-，当5d =时，2222||220||PC d BC d --=≠=-，舍A 当4d =时，2222||23||PC d BC d --==-，成立，选B解法二：由2222||2||PC d BC d --=-得222222||4||4||PC d PC d BC d ---+=-，22||5PC d -=，224d =，4d =，选B(9)已知1010221052)2(x a x a x a a x x ++++=--Λ，则9210a a a a ++++Λ的值为(A)—33 (B) —32 (C) —31 (D) —30解：2555(2)(2)(1)x x x x --=-+，10x 的系数为505055(2)11C C -=，令1x =，则012910a a a a a +++++L32=-，所以012933a a a a ++++=-L ，选A(10)某校高三理科实验班有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校．若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考，那么这5名同学不同的报考方法种数共有(A)144种 (B)150种 (C)196种 (D)256种解，把学生分成两类：311，221，所以共有31122133521531332222150C C C C C C A A A A +=，选B (11)将函数x A y 2sin =的图象按向量(,)6a B π=-r 平移，得到函数)(x f y =的图象．若函数)(x f 在点))2(,2(ππf h 处的切线恰好经过坐标原点，则下列结论正确的是 (A)223π-=A B (B)232-=πA B (C)23π-=A B (D) 32-=πA B 解：(,)6sin 2()sin(2)3a B y A x y f x A x B ππ=-=−−−−→==++r ，'2cos(2)3k y A x π==+，切线方程为()2cos(2)()()22322y f A x A x πππππ-=⨯+-=--，令0x y ==得()22A f ππ-=，即322A A B π-=，所以322B Aπ-=，选A (12)如图，在半径为l 的球O 中．AB 、CD 是两条互相垂直的直径，半径⊥OP 平面ACBD ．点E 、F 分别为大圆上的劣弧»BP、»AC 的中点，给出下列结论： ①向量OE 在向量OB 方向上的投影恰为21； ②E 、F 两点的球面距离为32π； ③球面上到E 、F 两点等距离的点的轨迹是两个点；④若点M 为大圆上的劣弧»AD 的中点，则过点M 且与直线EF 、PC 成等角的直线只有三条，其中正确的是(A)②④ (B)①④ (C)② (D)②③解：建立如图所示的空间直角坐标系，则22(0,,)22E ，22(,,0)22F -，(0,1,0)B ，(0,0,1)P ，(1,0,0)C ①向量OE 在向量OB 方向上的投影为22，错；舍B ②2212cos cos cos co 45cos(9045)2223EOF EOB COB EOF π∠=∠∠=+=-⨯=-⇒∠=o o o ，对；③过点EF 的中点及球心O 的大圆上任意点到点E 、F 的距离都相等，错；舍D ④由于等角的值不是一定值，因此将直线EF 、PC 都平移到点M ，可知过点M 且与直线EF 、PC 成等角的直线有无数多条，错，舍A ； 选C第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在答题卡上．(13)设53cos sin =+αα，则=α2sin ______________________． 解：23916sin cos (sin cos )sin 252525x αααα+=⇒+=⇒=-，填1625- (14)在底面边长为2的正四棱锥ABCD P -中，若侧棱PA 与底面ABCD 所成的角大小为4π，则此正四棱锥的斜高长为______________________． 解：如图，2212222OA =+=，22222PA =+=，在正PAD ∆中，3232PE =⨯=，填3 (15)已知椭圆12:22=+y x C 的右焦点为F ，右准线l 与x 轴交于点B ，点A 在l 上，若ABO ∆(O 为坐标原点)的重心G 恰好在椭圆上，则=||AF ______________________．解：设(2,)A y ，则焦点(1,0)F ，重心022004(,)(,)3333y yG ++++=，因为重心G 恰好在椭圆上，所以224()3()1123y y +=⇒=±，即(2,1)A ±，所以||2AF =u u u r ，填2 (16)已知定义在),1[+∞上的函数348||,122()1(),2,22x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩．给出下列结论：①函数)(x f 的值域为]4,0[；②关于x 的方程*)()21()(N n x f n∈=有42+n 个不相等的实数根； ③当*)](2,2[1N n x n n ∈∈-时，函数)(x f 的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则2=S ；④存在]8,1[0∈x ，使得不等式6)(00>x f x 成立，其中你认为正确的所有结论的序号为______________________． 解：348||,122()1(),2,22x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩111348||,1221133()[48||]24||,24222222211133()()()[48||]12||,48224442421(),2222n nn n x x x x x f x x x x f x f f x x x f x ---⎧--≤≤⎪⎪⎪=--=--<≤⎪⎪⎪===--=--<≤⎨⎪⎪⎪⎪<≤⎪⎪⎩L ，其图象特征为：在每一段图象的纵坐标缩短到原来的一半，而横坐标伸长到原来的2倍，并且图象右移1322n -⨯个单位，从而①对；②显然当1n =时，()y f x =的图象与12y =的图象只有2个交点，而非2146⨯+=个，错； ③当*)](2,2[1N n x n n ∈∈-时，函数)(x f 的图象与x 轴围成的图形面积为11111414(22)222222n n n n n S ----=⨯-⨯=⨯⨯=，对；④00006()6()x f x f x x >⇔>，结合图象可知错 填①③三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)（本小题满分12分） 已知函数m x x x x f +-+=2cos )6cos(sin 2)(π．(I)求函数)(x f 的最小正周期； (Ⅱ)当]4,4[ππ-∈x 时，函数)(x f 的最小值为3-，求实数m 的值． 解：(I)m x x x x f +-+=2cos )6cos(sin 2)(πΘm x x x x +--=2cos )sin 21cos 23(sin 2 ……1分m x x x x +--=2cos sin cos sin 32m x x x +---=.2cos 2)2cos 1(2sin 23 …3分 m x m x x +--=+--=21)62sin(212cos 212sin 23π．)(x f ∴的最小正周期ππ==22T ……6分 (Ⅱ)当]4,4[ππ-∈x ，即44ππ≤≤-x 时，有222ππ≤≤-x ，36232πππ≤-≤-∴x ． ……8分 23)32sin(1π-≤-∴x ． ……10分得到)(.x f 的最小值为m +--211．由已知，有3211-=+--m ．23-=∴m ， (12)分(18)（本小题满分12分）如图，边长为1的正三角形SAB 所在平面与直角梯形ABCD 所在平面垂直，且CD AB //，AB BC ⊥，1=BC ，2=CD ，E 、F 分别是线段SD 、CD 的中点． (I)求证：平面//AEF 平面SBC ； (Ⅱ)求二面角F AC S --的大小． 解：（Ⅰ）F Θ分别是CD 的中点，121==∴CD FC ．又1=AB ，所以AB FC =． AB FC //Θ，……2分∴四边形ABCF 是平行四边形．1//BC AF ∴．E Θ是SD 的中点，SC EF //∴.……3分又F EF AF =I ，C SC BC =I ，∴平面//AEF 平面.SBC ……5分(Ⅱ)取AB 的中点O ，连接SO ，则在正SAB ∆中，AB SO ⊥，又Θ平面⊥SAB 平面ABCD ，=AB 平面I SAB 平面ABCD ，⊥∴SO 平面ABCD . …6分于是可建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -.则有)0,21,0(-A ，)0,21,1(C ，)23,0,0(S ，)0,21,1(-F ，)0,1,1(=AC ，)23,21,0(=AS ． …7分设平面SAC 的法向量为),,(z y x m =，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅02321000z y y x m AS m AC ． 取31,1,1=-==z y x ，得)311,1(,-=m ．……9分平面FAC 的法向量为)1,0,0(=n . …10分77311131,cos =++=>=<n m Θ …11分 而二面角F AC S ---的大小为钝角，∴二面角F AC S --的大小为77cosarc -π． …12分 (19)（本小题满分12分）某电视台拟举行“团队共享”冲关比赛，其规则如下：比赛共设有“常识关”和“创新关”两关，每个团队共两人，每人各冲一关，“常识关”中有2道不同必答题，“创新关”中有3道不同必答题；如果“常识关”中的2道题都答对，则冲“常识关”成功且该团队获得单项奖励900元，否则无奖励；如果“创新关”中的3道题至少有2道题答对，则冲“创新关”成功且该团队获得单项奖励1800元，否则无奖励．现某团队中甲冲击“常识关”，乙冲击“创新关”，已知甲回答“常识关”中每道题正确的概率都为32，乙回答“创新关”中每道题正确的概率都为21，且两关之间互不影响，每道题回答正确与否相互独立． (I)求此冲关团队在这5道必答题中只有2道回答正确且没有获得任何奖励的概率； (Ⅱ)记此冲关团队获得的奖励总金额为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望ξE ． 解：(I)记“此冲关团队在这5道必答题中只有2道回答正确且没有获得任何奖励”为事件E ，事件E 发生即“常识关”和“创新关”两关中都恰有一道题答正确． 61)21(213132)(21312=⨯⨯⨯⨯⨯=C C E P ． ……6分 (Ⅱ)随机变量ξ取值为：0、900、1800、2700．185])21(21)21][()32(1[)0(21332=⨯⨯+-==C P ξ； …．．7分 92])21(21)21[()32()900(21332=⨯⨯+==C P ξ； …8分185]21)21()21][(3231)31[()1800(2233122=⨯⨯+⨯⨯+==C C P ξ； ……9分92]21)21()21[()32()2700(22332=⨯⨯+==C P ξ． …10分ξ的分布13009227001851800929001850=⨯+⨯+⨯+⨯=ξF 。

2011年全国高考卷数学(文)（考试时间：90分钟，满分：100分）一、选择题（共7题，每题5分，满分35分）1. （5分）已知函数f(x)=x²2x+1，则f(x1)的值为？A. x²2xB. x²2x+1C. x²2x1D. x²3x+22. （5分）在等差数列{an}中，a1=1，a3=3，则a5的值为？A. 5B. 6C. 7D. 83. （5分）若复数z满足|z|=1，则z的共轭复数z的模为？A. 0B. 1C. 2D. 无法确定4. （5分）已知直线y=2x+1与圆(x1)²+(y2)²=4相交，则它们的交点坐标为？A. (0,1)和(2,5)B. (1,3)和(3,7)C. (1,1)和(1,3)D. (1,3)和(1,1)5. （5分）设平面直角坐标系中，点A(2,3)关于原点对称的点是？A. (2,3)B. (2,3)C. (2,3)D. (3,2)6. （5分）已知三角形ABC的三边长分别为3、4、5，则三角形ABC的面积S为？A. 6B. 8C. 10D. 127. （5分）函数y=2x在x=1处的导数值为？A. 2B. 4C. 6D. 8二、填空题（共3题，每题5分，满分15分）（题目及分值待补充）三、解答题（共3题，每题15分，满分45分）（题目及分值待补充）四、应用题（共1题，满分10分）（题目及分值待补充）五、证明题（共1题，满分15分）（题目及分值待补充）二、填空题（共3题，每题5分，满分15分）8. （5分）若函数f(x) = x² 4x + 3，则f(2)的值为______。

9. （5分）在直角坐标系中，点P(3, 4)关于x轴的对称点坐标为______。

10. （5分）已知等比数列的前三项分别为a, ar, ar²，若a=2，r=3，则第四项为______。

三、解答题（共3题，每题15分，满分45分）11. （15分）解方程组：\[\begin{cases}2x + 3y = 8 \\x y = 1\end{cases}\]12. （15分）已知函数g(x) = 3x 2，求g(g(x))。

2011年普通高等学校招生全国统一考试适应性训练数 学（文科）第Ⅰ卷 选择题（共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．已知集合1(),02x A y y x ⎧⎫==<⎨⎬⎩⎭，集合{}12B x y x ==，则A B ⋂=（ ） A ．[)1,+∞ B ．()1,+∞ C ．()0,+∞ D ．[)0,+∞2. 在用二分法求方程3210x x --=的一个近似解时，现在已经将一根锁定在（1，2）内，则下一步可断定该根所在的区间为（ ）A.（1.4，2）B.（1，1.4）C.(1,1.5)D.(1.5,2)3. 如图是容量为100的样本的频率分布直方图，则样本数据落在[)6,10内的频数为（ ）A.8B.32C.40D.无法确定4. 双曲线22221y abx -=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（ ）A.53B.43C.54D.745. 阅读右侧的算法流程图，输出的结果B 的（ ） A.7 B.15 C.31 D.636. 对定义域内的任意两个不相等实数1x ，2x ，下列满足0)]()()[(2121<--x f x f x x 的函数是（ ）A ．2)(x x f =B ．xx f 1)(=C ．x x f ln )(=D ．xx f 5.0)(=7. 一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为（ ）A.373m B.392m C.372m D.394m8. 已知函数m x x x f +-=3)(3在区间]0,3[-上的最大值与最小值的和为14-，则实数m 的值为（ ）A ．1B ．2C ．9-D ．8-9. 已知正棱锥S —ABC 的底面边长为4，高为3，在正棱锥内任取一点P ，使得21<-ABC P V ABC S V -的概率是（ ）A ．43 B ．87 C ．21 D ．4110.在△ABC 中，三内角A 、B 、C 所对应的边长分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，3b =，则△ABC 的外接圆半径为（ B ）A ．21B.1C.2D.4第Ⅱ卷 非选择题（共100分）二、填空题：本大题共7小题，考生作答5小题，每小题5分，满分25分．11.记n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S = . 12. 已知向量(1,2),(2,)a b λ=-=r r，且a r 与b r 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 .13.已知函数()113sin cos 24f x x x x =--的图象在点()()00,A x f x 处的切线斜率为12，则)4tan(0π+x 的值为 ．14. 某企业三月中旬生产，A 、B 、C 三种产品共3000件，根据分层抽样的结果；企业统计 产品类别 A B C 产品数量（件）1300样本容量（件）130A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C 的产品数量是 件。

四川省乐⼭市⾼中2011届⾼三第⼆次诊断性考试理综试题
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成都市2011级高中毕业班第二次诊断性检测数学（理工类）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设复数3(z i i =+为虚数单位）在复平面内对应点A ，将OA 绕原点O 逆时针旋转090得到OB ,则点B 在（ ）(A ) 第一象限 (B)第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限2.执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为7，则输出x 的值为（ ） （A ）14(B)2log 3 (C) 2 (D) 33.10(1)x -的展开式中第6项的系数为（ ）（A ）510C - （B ）510C （C ）610C - (D) 610C4.在平面直角坐标系xOy 中，P 为不等式组12010y x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩所表示的平面区域上一动点，则直线OP 斜率的最大值为（ ）()A 2 ()B 13 ()C 12()D 15.已知,αβ是两个不同的平面，则“平面//α平面β”成立的一个充分条件是（ ）()A 存在一条直线l ，,//l l αβ⊂ ()B 存在一个平面γ，,γαγβ⊥⊥ ()C 存在一条直线l ，,l l αβ⊥⊥ ()D 存在一个平面γ，//,γαγβ⊥【答案】Ｃ6.设命题00,P R αβ∃∈：，0000cos +=cos +cos αβαβ（）；命题:,,q x y R ∀∈且,2x k ππ≠+,2y k k Z ππ≠+∈，若,x y >则tan tan x y >．则下列命题中真命题是（ ）()A p q ∧ ()B (p q ∧⌝） ()C ()p q ⌝∧ ()D ()()p q ⌝∧⌝7.已知P 是圆22(1)1x y -+=上异于坐标原点O 的任一点，直线OP 的倾斜角为θ，若=d OP ，则函数()d f θ=的大致图象为（）xyOD PP考点：1、解直角三角形；2、圆的方程；3、三角函数的图象.8.已知过定点(2,0)的直线与抛物线2x y =相交于1122(,),(,)A x y B x y 两点．若12,x x 是方程2sin cos 0x x αα+-=的两个不相等实数根，tan α的值是（ ）()A12 ()B 12- ()C 2 ()D 2-9.某市环保部门准备对分布在该市的,,,,,,,A B C D E F G H 等8个不同监测点的环境监测设备进行检测维护．要求在一周内的星期一至星期五监测维护完所有监测点的设备，且每天至少去一个监测点进行检测维护，其中,A B 两个监测点分别安排在星期一和星期二，,,C D E 三个监测点必须安排在同一天，F 监测点不能安排在星期五，则不同的安排方法种数为（ ）()A 36 ()B 40 ()C 48 ()D 60【答案】D 【解析】试题分析：由题意，将,,C D E 看做整体，记为O ，该题相当于把六个不同的元素,,,,,A B O F G H 放置在五个不同的位置，每个位置至少一个，其中,A B 必须依次在第一、二位置，F 不能在第五个位置，且必须有两个元素同时放入同一个位置.先考虑第一个位置有两个元素，按照有F 和无F 分为两类，共有1113322318C C C A +=种，再考虑第二个位置有两个元素，按照有F 和无F 分为两类，共有1113322318C C C A +=种，接着考虑第三、四、五位置有两个元素的情况，此时，需将,,,O F G H 这四个元素分为三组，再放入三个不同位置，当F 单独一组时，有21232212C C A =；当F 不是单独为一组时，有11232212C C A =种，由分类计数原理得，安排总数为60种. 考点：排列和组合.10.已知定义在[0,)+∞上的函数()f x ，当[0,1]x ∈时，1()24;2f x x =--当1x >时，()(1)f x af x =-，a R ∈，a 为常数．有下列关于()f x 的描述：①当2a =时，3()42f =；②当1a <时，函数()f x 的值域为[2,2]-； ③当0a >时，不等式12()2x f x a-≤在区间[0,)+∞恒成立；④当10a -<<时，函数()f x 的图象与直线12n y a -=()n N *∈在区间[0,]n 的交点个数为1(1)2nn +--． 其中描述正确的有（ ）()A 4 ()B 3 ()C 2 ()D 1xy–11234–11234O考点：1、分段函数的解析式；2、函数的图象和性质.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.如图所示的正三角形是一个圆锥的侧视图，则这个圆锥的侧面积为______________．1２.定义在(0,)+∞上的函数()3xf x =，若()9f a b +=，则()f ab 的最大值为_____________．13.甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测验中的成绩的茎叶图如图所示，如果分别从甲、乙两组个随机选取一名同学，则这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率是________________．14.如图，在平行四边形ABCD ，BH CD ⊥，垂直为点H ，BH 交AC 于点E ，若3,BE =215AB AC AE AC BE CB AE -⋅+⋅-⋅= ，则AE EC=____________．1５.已知单位向量,,i j k 两两所成夹角均为(0,θθπ<<且)2πθ≠，若空间向量a 满足a xi y j zk =++(,,)x y z R ∈，则有序实数组(,,)x y z 称为a 在“仿射”坐标系Oxyz (O 坐标原点）下的“仿射”坐标，记作(,,)a x y z θ=．有下列命题：①已知(2,0,1)a θ=- ，(1,0,2)b θ= ，则0a b ⋅=；②已知33(,,0)(0,0,)a x y b z ππ== ，其中0xyz ≠，则当且仅当x y =时，向量,a b的夹角取得最小值；③已知111222(,,),(,,)a x y z b x y z θθ== ，则121212(,,)a b x x y y z z θ-=---；④已知33(1,0,0),(0,1,0),OA OB ππ== 3(0,0,1),OC π=则三棱锥O ABC -的体积V =． 其中真命题有＿＿＿（写出所有真命题的序号）． 【答案】③④ 【解析】kjiD 1C 1C B 1OA EB。

成都市2011级高中毕业班第二次诊断性检测数学（文史类）本试卷分为选择题和非选择题两部分。

第Ⅰ卷(选择题)1至2页,第Ⅱ卷(非选择题)2至4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上；4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}|03A x x =<≤，{}|12B x x x =<->或，则A B = （A ）(2,3] （B ）(,1)(0,)-∞-+∞ （C ）(1,3]- （D ）(,0)(2,)-∞+∞2．设复数3z i =+（i 为虚数单位）在复平面中对应点A ，将点OA 绕原点O 逆时针旋转90︒得到OB ，则点B 在（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限3．执行如图所示的程序框图，若输入的x 值为7，则输出的x 值为（A ）2（B ）3 （C ）2log 3 （D ）144．在平面直角坐标系xOy 中，P 为不等式组12010y x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩所表示的平面区域上一动点，则直线OP 斜率的最大值为（A ）2 （B ）1 （C ）12 （D ）13是 输入x2log (1)x x =+ 2x ≤？输出x 开始结束否5．已知,αβ是两个不同的平面，则“平面//α平面β”成立的一个充分条件是（A ）存在一条直线l ，l α⊂，//l β （B ）存在一个平面γ，γα⊥，γβ⊥ （C ）存在一条直线l ，l α⊥，l β⊥ （D 存在一个平面γ，//γα，γβ⊥6．下列说法正确的是（A ）命题“若12>x ，则1>x ” 的否命题为“若12>x ，则1≤x ” （B ）命题“0x R ∃∈，201x >”的否定是“R x ∈∀，12>x ” （C ）命题“若y x =，则y x cos cos =”的逆否命题为假命题 （D ）命题“若y x =，则y x cos cos =”的逆命题为假命题7．已知实数1,,4m 构成一个等比数列，则圆锥曲线221x y m+=的离心率为 （A ）22 （B ）3 （C ）22或3 （D ）12或3８．已知P 是圆1)1(22=+-y x 上异于坐标原点O 的任意一点，直线OP 的倾斜角为θ，若d OP =||，则函数)(θf d =的大致图象是（A ） （B ） （C ） （D ）9. 已知过定点(2,0)的直线与抛物线2x y =交于11(,)A x y ,22(,)B x y 两点，若21,x x 是方程2sin cos 0x x αα+-=的两个不相等实数根，则tan α的值是（A ）12 （B ）12- （C ）2 （D ）2-10.已知定义在R 上的奇函数)(x f ，当0>x 时，121,02()1(2),22x x f x f x x -⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则关于x 的方程26[()]()10f x f x --=的实数根的个数为（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9d Oπ2π 2Oπ2π 2 Oπ2π 2Oπ2π 2θθ θ θθdd第Ⅱ卷（非选择题,共100分）二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分．11．甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测验中的成绩的茎叶图 如图所示．如果分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，则这两名同学的成绩相同的概率是______．12．如图所示的正三角形是一个圆锥的侧视图，则这个圆锥的侧面 积为______．13．已知定义在(0,)+∞上的函数()3x f x =,若()9f a b +=,则()f ab 的最大值为_______.14．如图，在平行四边形ABCD 中，BH CD ⊥于H ，BH 交AC于点E ，已知3BE = ，215AB AC AE AC BE CB AE -⋅+⋅-⋅=， 若AE EC λ=，则λ= _______.15．已知单位向量,i j 的夹角为θ（0θπ<<，且2πθ≠），若平面向量a 若满足=+a xi yj ，（,x y ∈R ）则有序实数对(,)x y 称为向量a 在“仿射”坐标系Oxy (O 为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作a (,)x y θ=，有下列命题： ①已知a (2,1)θ=-，b (1,2)θ=，则0⋅=a b ；②已知=a 3(,)x y π,=b 3(1,1)π，其中0xy ≠，则当且仅当y x =时，向量,a b 夹角取得最小值．③已知=a 11(,),x y θ=b 22(,)x y θ，则-=a b 1212(,)x x y y θ--；④已知(1,0)OA θ= ，(0,1)OB θ= ，则线段AB 的长度为2sin 2θ其中的真命题有_______.（写出所有真命题的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16．（本小题满分12分） 设函数2()sin()2sin 62xf x x πωω=++（0ω>），已知函数()f x 的图象的相邻两对称轴间的距离为π．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为,,a b c （其中b c <），且3()2f A =，ABC ∆的面积为63S =，27a =，求,b c 的值．17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差为2，其前n 项和22n S pn n =+,n ∈N*. （Ⅰ）求p 的值及n a ；（Ⅱ）在等比数列{}n b 中，31b a =，424b a =+，若等比数列{}n b 的前n 项和为n T ． 求证：数列16n T ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列．侧视图2 A BCD H E甲组 乙组8 9 0 1 2 8 2 3BAC D 1A 1B1C使用时间（千小时） 18．（本小题满分12分）节能灯的质量通过其正常使用时间来衡量，使用时间越长，表明质量越好.若使用时间小于4千小时的产品为不合格品；使用时间在4千小时到6千小时（不含6千小时）的产品为合格品；使用时间大于或等于6千小时的产品为优质品．某节能灯生产厂家为了解同一型号的某批次产品的质量情况,随机抽取了部分产品作为样本，得到试验结果的频率分布直方图如图所示。

2011年四川省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2011•四川）有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5，15.5）2；[15.5，19.5）4；[19.5，23.5）9；[23.5，27.5）18；[27.5，31.5）11；[31.5，35.5）12；[35.5，39.5）7；[39.5，43.5）3．根据样本的频率分布估计，数据[31.5，43.5）的概率约是（）A．B．C．D．【考点】用样本的数字特征估计总体的数字特征；频率分布表．【专题】计算题．【分析】根据所给的数据的分组及各组的频数，得到符合条件的数据共有的个数，又知这组数据的总数是66，根据等可能事件的概率个数得到结果．【解答】解：根据所给的数据的分组及各组的频数得到：数据在[31.5，43.5）范围的有[31.5，35.5）12；[35.5，39.5）7；[39.5，43.5）3，∴满足题意的数据有12+7+3=22个，总的数据有66个，根据等可能数据的概率得到P=，故选：B．【点评】本题考查用样本的数字特征估计总体的数字特征，考查频率分布表的应用，考查等可能事件的概率，是一个必得分题目．2．（5分）（2011•四川）复数=（）A．﹣2i B．C．0 D．2i【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】计算题．【分析】直接对复数的分母、分子同乘i，然后化简即可．【解答】解：复数==﹣2i故选A【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．3．（5分）（2011•四川）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面【考点】平面的基本性质及推论；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】证明题．【分析】通过两条直线垂直的充要条件两条线所成的角为90°；判断出B对；通过举常见的图形中的边、面的关系说明命题错误．【解答】解：对于A，通过常见的图形正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，A错；对于B，∵l1⊥l2，∴l1，l2所成的角是90°，又∵l2∥l3∴l1，l3所成的角是90°∴l1⊥l3，B对；对于C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错；对于D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错．故选B．【点评】本题考查两直线垂直的定义、考查判断线面的位置关系时常借助常见图形中的边面的位置关系得到启示．4．（5分）（2011•四川）如图，正六边形ABCDEF中，=（）A．B．C．D．【考点】向量的加法及其几何意义．【专题】计算题．【分析】根据正六边形对边平行且相等的性质，我们可得=，=，然后根据平面向量加法的三角形法则，即可得到答案．【解答】解：根据正六边形的性质，我们易得===故选D【点评】本题考查的知识点是向量的加法及其几何意义，其中根据正六边形的性质得到=，=是解答本题的关键．5．（5分）（2011•四川）函数f（x）在点x=x0处有定义是f（x）在点x=x0处连续的（）A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件【考点】函数的连续性；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】阅读型．【分析】由f（x）在点x=x0处连续的定义，函数f（x）在点x=x0处有定义；但是函数f（x）在点x=x0处有定义，f（x）在点x=x0处不一定连续，分析选项可得答案．【解答】解：由f（x）在点x=x0处连续的定义，可知f（x）在点x=x0处连续⇒函数f（x）在点x=x0处有定义；反之不成立．故为必要而不充分的条件故选：B【点评】本题考查函数在某点连续的概念和充要条件的判断，属基本概念的考查．6．（5分）（2011•四川）在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（）A．（0，]B．[，π） C．（0，]D．[，π）【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】三角函数的求值．【分析】先利用正弦定理把不等式中正弦的值转化成边，进而代入到余弦定理公式中求得cosA的范围，进而求得A的范围．【解答】解：由正弦定理可知a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∵sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，∴a2≤b2+c2﹣bc，∴bc≤b2+c2﹣a2∴cosA=≥∴A≤∵A＞0∴A的取值范围是（0，]故选C【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．作为解三角形中常用的两个定理，考生应能熟练记忆．7．（5分）（2011•四川）已知f（x）是R的奇函数，且当x＞0时，，则f（x）的反函数的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】反函数．【专题】综合题；数形结合．【分析】根据已知条件我们易得f（x）的反函数也为奇函数，根据x＞0时，函数的解析式，我们易求出反函数的解析式及定义域，分析其性质判断反函数图象的形状，并逐一分析四个答案，即可得到结论．【解答】解：∵f（x）是R的奇函数，故f（x）的反函数也为奇函数，又∵x＞0时，此时其反函数（1＜x＜2）分析四个答案，发现只有A答案满足条件故选A【点评】本题考查的知识点是反函数及对数函数的图象，其中根据已知函数的解析式，求出当x＞0时，其反函数的解析式及定义域是解答本题的关键．8．（5分）（2011•四川）数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列且b n=a n+1﹣a n（n∈N*），若b3=﹣2，b10=12，则a8=（）A．0 B．3 C．8 D．11【考点】数列递推式．【专题】计算题．【分析】先利用等差数列的通项公式分别表示出b3和b10，联立方程求得b1和d，进而利用叠加法求得b1+b2+…+b n=a n+1﹣a1，最后利用等差数列的求和公式求得答案．【解答】解：依题意可知求得b1=﹣6，d=2∵b n=a n+1﹣a n，∴b1+b2+…+b n=a n+1﹣a1，∴a8=b1+b2+…+b7+3=+3=3故选B．【点评】本题主要考查了数列的递推式．考查了考生对数列基础知识的熟练掌握．9．（5分）（2011•四川）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车，某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需载满且只能送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡需配1名工人；每送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用甲乙卡车的车辆数，可得最大利润z=（）A．4650元B．4700元C．4900元D．5000元【考点】简单线性规划．【专题】计算题；数形结合．【分析】我们设派x辆甲卡车，y辆乙卡车，利润为z，根据题意中运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车，某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需载满且只能送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡需配1名工人；每送一次可得利润350元，我们易构造出x，y满足的约束条件，及目标函数，画出满足条件的平面区域，利用角点法即可得到答案．【解答】解：设派x辆甲卡车，y辆乙卡车，利润为z，由题意得：z=450x+350y由题意得x，y满足下列条件：上述条件作出可行域，如图所示：由图可知，当x=7，y=5时，450x+350y有最大值4900故选C【点评】在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件⇒②由约束条件画出可行域⇒③分析目标函数Z与直线截距之间的关系⇒④使用平移直线法求出最优解⇒⑤还原到现实问题中．10．（5分）（2011•四川）在抛物线y=x2+ax﹣5（a≠0）上取横坐标为x1=﹣4，x2=2的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切，则抛物线顶点的坐标为（）A．（﹣2，﹣9）B．（0，﹣5）C．（2，﹣9）D．（1，6）【考点】抛物线的应用；抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出两个点的坐标，利用两点连线的斜率公式求出割线的斜率；利用导数在切点处的值为切线的斜率求出切点坐标；利用直线方程的点斜式求出直线方程；利用直线与圆相切的条件求出a，求出抛物线的顶点坐标．【解答】解：两点坐标为（﹣4，11﹣4a）；（2，2a﹣1），两点连线的斜率k=，对于y=x2+ax﹣5，y′=2x+a，∴2x+a=a﹣2解得x=﹣1，在抛物线上的切点为（﹣1，﹣a﹣4），切线方程为（a﹣2）x﹣y﹣6=0，该切线与圆相切，圆心（0，0）到直线的距离=圆半径，解得a=4或0（0舍去），抛物线方程为y=x2+4x﹣5顶点坐标为（﹣2，﹣9）．故选A．【点评】本题考查两点连线的斜率公式、考查导数在切点处的值为切线的斜率、考查直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径．11．（5分）（2011•四川）已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=3f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=﹣x2+2x，设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n（n∈N+）且{a n}的前n 项和为S n，则=（）A．3 B．C．2 D．【考点】数列的求和；数列的极限．【专题】计算题；压轴题．【分析】由题意可知，函数f（x）按照2单位向右平移，只是改变函数的最大值，求出a1，公比，推出a n，然后求出S n，即可求出极限．【解答】解：因为f（x）=3f（x+2），所以f（x+2）=f（x），就是函数向右平移2个单位，最大值变为原来的，a1=f（1）=1，q=，所以a n=，S n=，==故选D【点评】本题是中档题，考查函数与数列以及数列的极限的交汇题目，注意函数的图象的平移，改变的是函数的最大值，就是数列的公比，考查计算能力，发现问题解决问题的能力．12．（5分）（2011•四川）在集合1，2，3，4，5中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量=（a，b）从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作为平行四边形的个数为n，其中面积不超过4的平行四边形的个数m，则=（）A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率；排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】本题是一个等可能事件的概率，a的取法有2种，b的取法有3种，故向量=（a，b）有6个，从中任取两个向量共C62=15中取法，平行四边形的面积超过4的由列举法列出，得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从数字中选出两个数字，组成向量，a的取法有2种，b的取法有3种，故向量=（a，b）有6个，从中任取两个向量共C62=15种结果，满足条件的事件是平行四边形的面积不超过4的由列举法列出共有5个，根据等可能事件的概率得到P==故选B．【点评】本题考查等可能事件的概率，考查组合数的应用，考查用列举法列举法求计数问题，本题是一个综合题目．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2011•四川）计算÷=﹣20．【考点】有理数指数幂的化简求值；根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【专题】计算题．【分析】利用对数的商的运算法则及幂的运算法则求出值．【解答】解：=lg=﹣20故答案为：﹣20【点评】本题考查对数的四则运算法则、考查分数指数幂的运算法则．14．（4分）（2011•四川）双曲线﹣=1上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点P到左准线的距离是16．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】利用双曲线的方程求出参数a，b，c；求出准线方程，离心率的值；利用双曲线的第二定义求出点P的横坐标；求出P到左准线的距离．【解答】解：由双曲线的方程知a=8，b=6所以c=10准线方程为x=；离心率e=设点P到右准线的距离为d则由双曲线定义得即d=设P（x，y）则d=|=所以x=所以点P到左准线的距离是故答案为16【点评】本题考查由双曲线的方程得到三个参数值注意最大的参数是c、考查双曲线的准线方程与离心率、考查双曲线的第二定义、利用第二定义解决双曲线上的点到焦点距离的有关问题．15．（4分）（2011•四川）如图，半径为R的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是2πR2．【考点】球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积．【专题】计算题；压轴题．【分析】设出圆柱的上底面半径为r，球的半径与上底面夹角为α，求出圆柱的侧面积表达式，求出最大值，计算球的表面积，即可得到两者的差值．【解答】解：设圆柱的上底面半径为r，球的半径与上底面夹角为α，则r=Rcosα，圆柱的高为2Rsinα，圆柱的侧面积为：2πR2sin2α，当且仅当α=时，sin2α=1，圆柱的侧面积最大，圆柱的侧面积为：2πR2，球的表面积为：4πR2，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是：2πR2．故答案为：2πR2【点评】本题是基础题，考查球的内接圆柱的知识，球的表面积，圆柱的侧面积的最大值的求法，考查计算能力，常考题型．16．（4分）（2011•四川）函数f（x）的定义域为A，若x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单函数．下列命题：①函数f（x）=x2（x∈R）是单函数；②若f（x）为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象；④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数．其中的真命题是②③．（写出所有真命题的编号）【考点】抽象函数及其应用．【专题】压轴题；新定义．【分析】根据单函数的定义f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，可知函数f（x）则对于任意b∈B，它至多有一个原象，而①④f（﹣1）=f（1），显然﹣1≠1，可知它不是单函数，②③都是，可得结果．【解答】解：∵若x1，x2∈A，且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数∴①函数f（x）=x2不是单函数，∵f（﹣1）=f（1），显然﹣1≠1，∴函数f（x）=x2（x∈R）不是单函数；②∵函数f（x）=2x（x∈R）是增函数，∴f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，即②正确；③∵f（x）为单函数，对于任意b∈B，若∃x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）=b，则x1=x2，与x1≠x2矛盾∴③正确；④例如①函数f（x）=x2在（0，+∞）上是增函数，而它不是单函数；故④不正确．故答案为：②③．【点评】此题是个基础题．考查学生分析解决问题的能力，以及知识方法的迁移能力．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2011•四川）已知函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣），x∈R（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知cos（β﹣α）=，cos（β+α）=﹣.0＜α＜β，求证：[f（β）]2﹣2=0．【考点】两角和与差的正弦函数；运用诱导公式化简求值；三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题；综合题．【分析】（Ⅰ）利用诱导公式对函数解析式化简整理，进而根据三角函数的周期性和值域求解．（Ⅱ）利用两角和公式把已知条件展开后相加，求得β的值，代入函数解析式中求得答案．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）=sin（x﹣）+sin（x﹣）=2sin（x﹣）∴T=2π，最小值为﹣2（Ⅱ）∵cos（β﹣α）=cosβcosα+sinβsinα=，cos（β+α）=cosβcosα﹣sinβsinα=﹣，两式相加得2cosβcosα=0，∵0＜α＜β，∴β=∴[f（β）]2﹣2=4sin2﹣2=0【点评】本题主要考查了两角和公式和诱导公式的化简求值．考查了考生基础知识的综合运用．18．（12分）（2011•四川）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．（Ⅰ）求甲乙两人所付的租车费用相同的概率．（Ⅱ）设甲乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式．【专题】计算题；应用题．【分析】（Ⅰ）首先求出两个人租车时间超过三小时的概率，甲乙两人所付的租车费用相同即租车时间相同：都不超过两小时、都在两小时以上且不超过三小时和都超过三小时三类求解即可．（Ⅱ）随机变量ξ的所有取值为0，2，4，6，8，由独立事件的概率分别求概率，列出分布列，再由期望的公式求期望即可．【解答】解：（Ⅰ）甲乙两人租车时间超过三小时的概率分别为：，甲乙两人所付的租车费用相同的概率p=（Ⅱ）随机变量ξ的所有取值为0，2，4，6，8P（ξ=0）==P（ξ=2）==P（ξ=4）==P（ξ=6）==P（ξ=8）==数学期望Eξ==【点评】本题考查独立事件、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查利用所学知识解决问题的能力．19．（12分）（2011•四川）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA1（Ⅰ）求证：CD=C1D；（Ⅱ）求二面角A﹣A1D﹣B的平面角的余弦值；（Ⅲ）求点C到平面B1DP的距离．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系；点、线、面间的距离计算．【专题】计算题；证明题．【分析】（I）°由题意及图形建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，利用AC∥PC1，建立点D的汗有未知数x的坐标，利用PB1∥平面BDA1建立x的方程，解出即证出所求；（II）由题意及（I）所建立的坐标系，利用平面法向量与二面角的大小之间的关系求出二面角的大小；（III）利用空间向量中求点到平面的距离公式直接求出点到平面的距离．【解答】解：（I）由题意作出如下图形并建立图示的空间直角坐标系：以A1点为原点，A1B1，A1C1，A1A所在的直线分别为x，y，z轴，建立图示的空间直角坐标系，则A1（0，0，0）B1（1，0，0）C1（0，1，0）B（1，0，1）（I）设C1D=x，∵AC∥PC1∴可设D（0，1，x），∴=（0，1，x），设平面BA1D的一个法向量为=（a，b，c），则⇒令a=1，则=（1，x，﹣1）∵PB1∥平面BA1D∴0=0⇒x=；故CD=C1D．（II）由（I）知，平面BA1D的一个法向量为又=（1，0，0）为平面AA1D的一个法向量，∴cos＜．故二面角A﹣A1D﹣B的平面角的余弦值为．（III）∵设平面B1DP的一个法向量为=（x，y，z），则⇒令z=1，∴又∴C到平面B1PD的距离d=．【点评】此题重点考查了利用空间向量的方法求点到平面的距离和二面角的大小，还考查了利用方程的思想求解坐标中所设的变量的大小．20．（12分）（2011•四川）设d为非零实数，（Ⅰ）写出a1，a2，a3并判断﹛a n﹜是否为等比数列．若是，给出证明；若不是，说明理由；（Ⅱ）设b n=nda n（n∈N*），求数列﹛b n﹜的前n项和S n．【考点】数列的求和；等比关系的确定．【专题】计算题；综合题．【分析】本题考查的是数列求和问题，在解答时：（Ⅰ）根据条件直接代入n值计算即可获得a1、a2、a3的值．然后利用，当n≥2，k≥1时，，对数列通向进行化简可得a n=d（d+1）n﹣1，进而分类讨论问题即可获得解答；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：a n=d（d+1）n﹣1，进而可计算b n，结合b n的特点可利用成公比错位相减法进行求解，注意分类讨论即可获得问题的解答．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：a1=d，a2=d（1+d），a3=d（1+d）2，当n≥2，k≥1时，，∴=d（C n﹣10d0+C n﹣11d1+C n﹣12d2+…+C n﹣1n﹣1d n﹣1）=d（d+1）n﹣1．所以，当d≠﹣1时，{a n}是以d为首项，d+1为公比的等比数列．当d=﹣1时，a1=﹣1，a n=0（n≥2），此时{a n}不是等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：a n=d（d+1）n﹣1，∴b n=nd2（d+1）n﹣1=d2n（d+1）n﹣1，∴S n=d2[1•（d+1）0+2•（d+1）1+3•（d+1）2+…+（n﹣1）•（d+1）n﹣2+n•（d+1）n﹣1]，当d=﹣1时，S n=d2=1当d≠﹣1时，（d+1）S n=d2[1•（d+1）1+2•（d+1）2+3•（d+1）3+…+（n﹣1）•（d+1）n﹣1+n•（d+1）n]，∴﹣dS n=d2[1+（d+1）+（d+1）2+（d+1）3+…+（d+1）n﹣1﹣n（d+1）n]，∴S n=（d+1）n（nd﹣1）+1．综上可知：S n=（d+1）n（nd﹣1）+1，n∈N*．【点评】本题考查的是数列求和问题，在解答的过程当中充分体现了同学们的运算能力、数据处理能力、分类讨论的思想以及问题转化的思想．值得同学们体会和反思．21．（12分）（2011•四川）椭圆有两顶点A（﹣1，0）、B（1，0），过其焦点F（0，1）的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．（Ⅰ）当|CD|=时，求直线l的方程；（Ⅱ）当点P异于A、B两点时，求证：为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题；综合题；压轴题；数形结合；分类讨论；方程思想．【分析】（Ⅰ）根据椭圆有两顶点A（﹣1，0）、B（1，0），焦点F（0，1），可知椭圆的焦点在y轴上，b=1，c=1，可以求得椭圆的方程，联立直线和椭圆方程，消去y得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理和弦长公式可求出直线l的方程；（Ⅱ）根据过其焦点F（0，1）的直线l的方程可求出点P的坐标，该直线与椭圆交于C、D两点，和直线AC与直线BD交于点Q，求出直线AC与直线BD的方程，解该方程组即可求得点Q的坐标，代入即可证明结论．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），由已知得b=1，c=1，所以a=，椭圆的方程为，当直线l与x轴垂直时与题意不符，设直线l的方程为y=kx+1，C（x1，y1），D（x2，y2），将直线l的方程代入椭圆的方程化简得（k2+2）x2+2kx﹣1=0，则x1+x2=﹣，x1•x2=﹣，∴|CD|====，解得k=．∴直线l的方程为y=x+1；（Ⅱ）证明：当直线l与x轴垂直时与题意不符，设直线l的方程为y=kx+1，（k≠0，k≠±1），C（x1，y1），D（x2，y2），∴P点的坐标为（﹣，0），由（Ⅰ）知x1+x2=﹣，x1•x2=﹣，且直线AC的方程为y=，且直线BD的方程为y=，将两直线联立，消去y得，∵﹣1＜x1，x2＜1，∴与异号，==，y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+1==﹣，∴与y1y2异号，与同号，∴=，解得x=﹣k，故Q点坐标为（﹣k，y0），=（﹣，0）•（﹣k，y0）=1，故为定值．【点评】此题是个难题．本题考查了椭圆的标准方程和简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．体现了分类讨论和数形结合的思想．22．（14分）（2011•四川）已知函数f（x）=x+，h（x）=．（Ⅰ）设函数F（x）=f（x）﹣h（x），求F（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）设a∈R，解关于x的方程log4[f（x﹣1）﹣]=log2h（a﹣x）﹣log2h（4﹣x）；（Ⅲ）试比较f（100）h（100）﹣与的大小．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】计算题；压轴题；数形结合；分类讨论．【分析】（Ⅰ）先求导函数，利用导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．即可求F（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）先把原等式转化为关于a和x之间的等量关系，最后利用图象来求x的值（注意对a 的讨论）．（Ⅲ）把f（100）h（100）﹣转化为一新数列{a n}的前100项和，再比较新数列{a n}的每一项和对应h（x）=之间的大小关系，即可比较f（100）h（100）﹣与的大小．【解答】解：（Ⅰ）由F（x）=f（x）﹣h（x）=x+﹣（x≥0）知，F′（x）=，令F′（x）=0，得x=．当x∈（0，）时，F′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，F′（x）＞0．故x∈（0，）时，F（x）是减函数；故x∈（，+∞）时，F（x）是增函数．F（x）在x=处有极小值且F（）=．（Ⅱ）原方程可化为log4（x﹣1）+log2 h（4﹣x）=log2h（a﹣x），即log2（x﹣1）+log2=log2，⇔⇔①当1＜a≤4时，原方程有一解x=3﹣；②当4＜a＜5时，原方程有两解x=3；③当a=5时，原方程有一解x=3；④当a≤1或a＞5时，原方程无解．（Ⅲ）设数列{a n}的前n项和为s n，且s n=f（n）g（n）﹣从而有a1=s1=1．当2＜k≤100时，a k=s k﹣s k﹣1=，a k﹣=[（4k﹣3）﹣（4k﹣1）]==＞0．即对任意的2＜k≤100，都有a k＞．又因为a1=s1=1，所以a1+a2+a3+…+a100＞=h（1）+h（2）+…+h（100）．故f（100）h（100）﹣＞．【点评】题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系以及函数极值的求法和函数与数列的综合应用问题．在解题过程中，用到了分类讨论思想和数形结合思想，是一道综合性很强的好题．。

绵阳市高中2011级第二次诊断性考试数 学（文科）本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卷共4页．全卷满分150分．考试结束后将答题卡和答题卷一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A + B ）= P （A ）+ P （B ）； 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）= P （A ）·P （B ）；如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：k n k kn n P P C k P --⋅⋅=)1()(．一、选择题：本大题共12个小题，每个小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把它选出来填涂在答题卡上．1．设集合I = { x ︱︱x －2︱≤2，x ∈N * }，P = { 1，2，3 }，Q = { 2，3，4 }，则 I （P ∩Q ）=A ．{ 1，4 }B ．{ 2，3 }C ．{ 1 }D ．{ 4 } 2．若向量a 、b 、c 满足 a + b + c = 0，则a 、b 、cA ．一定能构成一个三角形B ．一定不能构成一个三角形C ．都是非零向量时一定能构成一个三角形D ．都是非零向量时也可能无法构成一个三角形 3．将直线x －3y －2 = 0绕其上一点逆时针方向旋转60︒得直线l ，则直线l 的斜率为A ．33B ．3C ．不存在D ．不确定4．已知f (x ) = sin (x +2π)，g (x ) = cos (x －2π)，则下列命题中正确的是A ．函数y = f (x ) · g (x ) 的最小正周期为2πB ．函数y = f (x ) · g (x ) 是偶函数C ．函数y = f (x ) + g (x ) 的最小值为－1D ．函数y = f (x ) + g (x ) 的一个单调增区间是]4,43[ππ-5．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数y = cos 2x 的图象A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移3π个单位长度6．直线4x －3y －12 = 0与x 、y 轴的交点分别为A 、B ，O 为坐标原点，则△AOB 内切圆的方程为 A ．（x －1）2 +（y + 1）2 = 1 B ．（x －1）2 +（y －1）2 = 1C ．（x －1）2 +（y + 1）2 =2D ．（x －1）2 +（y + 1）2 = 27．设双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的焦点是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0）（c ＞0），两条准线间的距离等于c ，则双曲线的离心率e 等于A ．2B ．3C ．2D ．38．已知焦点（设为F 1，F 2）在x 轴上的双曲线上有一点P (x 0，23)，直线x y 3= 是双曲线的一条渐近线，当021=⋅PF PF 时，该双曲线的一个顶点坐标是 A ．（2，0） B ．（3，0） C ．（2，0） D ．（1，0） 9．若不等式︱x －a ︱－︱x ︱＜ 2－a 2 当x ∈R 时总成立，则实数a 的取值范围是 A ．（－2，2） B ．（－2，1） C ．（－1，1） D ．（－∞，－1）∪（1，+∞）10．若抛物线y 2 = x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，焦点为F ，O 是坐标原点，则△POF 的面积等于A ．162B ．322C ．161D ．32111．已知等腰三角形的面积为23，顶角的正弦值是底角正弦值的3倍，则该三角形一腰的长为A ．2B ．3 C ．2D ．612．设函数f （x ）的定义域为A ，若存在非零实数t ，使得对于任意x ∈C （C ⊆ A ），有x + t ∈A ，且f （x + t ）≤ f （x ），则称f （x ）为C 上的t 低调函数．如果定义域为 [ 0，+∞)的函数f （x ）=－︱x －m 2︱+ m 2，且 f （x ）为 [ 0，+∞)上的10低调函数，那么实数m 的取值范围是A ．[－5，5 ]B ．[－5，5]C ．[－10，10]D ．]25,25[-第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）注意事项：答第Ⅱ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号用钢笔或圆珠笔（蓝、黑色）写在答题卷密封线内相应的位置．答案写在答题卷上，请不要答在试题卷上．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 13．不等式13>x的解是 ． 14．已知函数f （x ）= sin x －cos (6-πx )，x ∈[ 0，2π)，则满足f （x ）＞0的x 值的集合为 ．15．设a ＞2b ＞0，则29()(2)a b b a b -+-的最小值是 ．16．给出下列命题：① “sin α－tan α＞0”是“α 是第二或第四象限角”的充要条件； ② 平面直角坐标系中有三个点A （4，5）、B （－2，2）、C （2，0），则直线AB 到直线BC的角为4arctan3； ③ 函数xx x f 22cos 3cos )(+=的最小值为32； ④ 设 [m ] 表示不大于m 的最大整数，若x ，y ∈R ，那么[x + y ]≥[x ] + [y ] ． 其中所有正确命题的序号是 ．（将你认为正确的结论序号都写上） 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分12分）设△ABC 三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量)2,(b a p =，)1,(sin A q =，且q p //．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若△ABC 是锐角三角形，)tan cos sin ,1(),cos ,(cos B A A n B A m -==，求n m ⋅ 的取值范围． 18．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，AB 是半圆⊙O ：x 2 + y 2 = 1（y ≥0）的直径，C 是半圆O （除端点A 、B ）上的任意一点，在线段AC 的 延长线上取点P ，使︱PC ︱=︱BC ︱，试求动点P 的轨迹方程． 19．（本题满分12分）某幸运观众参加电视节目抽奖活动，抽奖规则是：在盒子里预先放有大小相同的5个小球，其中一个绿球，两个红球，两个白球．该观众依次从盒子里摸球，每次摸一个球（不放回），若累计摸到两个白球就停止摸球，否则直到将盒子里的球摸完才停止．规定：在球摸停止时，只有摸出红球才获得奖金，奖金数为摸出红球个数的1000倍（单位：元）．（Ⅰ）求该幸运观众摸三次球就停止的概率； （Ⅱ）求该幸运观众获得1000元奖金的概率．20．（本题满分12分）已知函数1)1(6)12(32)(23+--+-=x m m x m x x f ，x ∈R ．（1）当m =－1时，求函数y = f (x ) 在 [－1，5 ] 上的单调区间和最值；（2）设f ′(x ) 是函数y = f (x ) 的导数，当函数y = f ′(x ) 的图象在（－1，5）上与x 轴有唯一的公共点时，求实数m 的取值范围． 21．（本题满分12分）设椭圆C 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为212，左焦点到左准线的距离为73．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆C 上有不同两点P 、Q ，且OP ⊥OQ ，过P 、Q 的直线为l ，求点O 到直线l 的距离． 22．（本题满分14分）已知{ a n }是等差数列，{ b n }是等比数列，S n 是{ a n }的前n 项和，a 1 = b 1 =1，2212b S =．（Ⅰ）若b 2是a 1，a 3的等差中项，求a n 与b n 的通项公式； （Ⅱ）若a n ∈N *，{n a b }是公比为9的等比数列，求证：471111321<++++n S S S S绵阳市高中2011级第二次诊断性考试 数学（文科）参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． ADCD BACD CBAB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．{ x ︱0＜x ＜3 } 14．（34,3ππ）或 }343|{ππ<<x x 15．12 16．①④三、解答题：本大题共6小题，共74分．17．解 （Ⅰ）∵ )2,(b a p =，)1,(sin A q =，q p //，∴ a －2b sin A = 0，由正弦定理得 sin A －2sin B sin A = 0． …………………… 3分∵ 0＜A ，B ，C ＜π，∴ 21sin =B ，得 6π=B 或56B π=． …………………… 6分（Ⅱ）∵ △ABC 是锐角三角形， ∴ 6π=B ，)cos 33sin ,1(),23,(cos A A n A m -==，于是 )cos 33(sin 23cos A A A n m -+=⋅=A A sin 23cos 21+=)6sin(π+A ． …………………… 9分由 65ππ=-=+B C A 及 0＜C ＜2π，得 )65,3(65πππ∈-=C A ． 结合0＜A ＜2π，∴23ππ<<A ，得3262πππ<+<A ， ∴1)6sin(23<+<πA ，即123<⋅<n m ． …………………… 12分 18．解 连结BP ，由已知得∠APB=45︒． …………………… 2分设P （x ，y ），则 1+=x yk PA ，1-=x y k PB ，由PA 到PB 的角为45︒， 得1111145tan +⋅-++--=︒x y x y x y x y ，化简得 x 2 +（y －1）2 = 2． …………………… 10分由已知，y ＞0且1+=x yk PA ＞0，故点P 的轨迹方程为x 2 +（y －1）2 = 2（x ＞－1，y ＞0）． …………………… 12分法二 连结BP ，由已知可得∠APB = 45︒，∴ 点P 在以AB 为弦，所对圆周角为45︒的圆上．设该圆的圆心为D ，则点D 在弦AB 的中垂线上，即y 轴上，且∠ADB = 90︒，∴ D （0，1），︱DA ︱=2，圆D 的方程为x 2 +（y －1）2 = 2．由已知，当点C 趋近于点B 时，点P 趋近于点B ；当点C 趋近于点A 时，点P 趋近于点（－1，2），所以点P 的轨迹方程为x 2 +（y －1）2 = 2（x ＞－1，y ＞0）．19．解 （Ⅰ）记“该幸运观众摸球三次就停止”为事件A ，则112232351()5C C A P A A ==．…………………… 6分（Ⅱ）该幸运观众获得1000元奖金的概率为314533121235221212=+=A A C C A A C C P ． …………………… 12分答：略．20．解 （1）当m =－1时，11232)(23+-+=x x x x f ，∴ f ′(x ) = 2x 2 + 2x －12 = 2（x + 3）（x －2）的两个根为x =－3 或 x = 2， 只有x = 2在 [－1，5 ] 上，所以 f (x ) 在 [－1，2 ] 上单调递减，在 [ 2，5 ] 上单调递增．又340)1(=-f ，41)2(-=f ，148)5(=f ． …………………… 4分故函数y = f （x ）在 [－1，5 ] 上的最大值为3，最小值为3-． …………………… 6分（2）由已知有 f ′(x ) = 2x 2－2（2m + 1）x －6m （m －1），x ∈R ．函数y = f ′(x ) 的图象与x 轴的公共点的横坐标就是二次方程x 2－（2m + 1）x －3m （m －1）= 0 的实数根，解得 x 1 = 3m ，x 2 = 1－m ． ① 当x 1 = x 2 时，有 3m = 1－m ⇒ 41=m ，此时x 1 = x 2 =43∈（－1，5）为所求． …………………… 8分② 当x 1≠x 2 时，令H （x ）= x 2－（2m + 1）x －3m （m －1），则函数y = f ′(x ) 的图象在（－1，5）上与x 轴有唯一的公共点 ⇒ H （－1）· H （5）≤0，而 H （－1）=－3m 2 + 5m + 2，H （5）=－3m 2－7m + 20， …………………… 9分所以（－3m 2 + 5m + 2）（－3m 2－7m + 20）≤0， 即（m －2）（3m + 1）（m + 4）（3m －5）≤0，解得－4≤m≤31-或35≤m ≤2． …………………… 10分经检验端点，当m =－4和m = 2时，不符合条件，舍去．综上所述，实数m 的取值范围是41=m 或－4＜m ≤31-或35≤m ＜2． …………………… 12分21．解 （1）设椭圆C 的方程为12222=+bb a x （a ＞b ＞0），则 2122=b ，21=b ．由 73)(2=---ca c ，即73222==-c b c c a ，得 7=c ． 于是 a 2 = b 2 + c 2 = 21 + 7 = 28，椭圆C 的方程为1212822=+y x ．………………… 5分 （2）若直线l 的斜率不存在，即l ⊥x 轴时，不妨设l 与x 正半轴交于点M ，将x = y 代入1212822=+y x 中，得32±==y x ，则点P （32，32），Q （32，32-），于是点O 到l 的距离为32． (7)分若直线l 的斜率存在，设l 的方程为y = kx + m （k ，m ∈R ），则点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）的坐标是方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=1212822y x m kx y 的两个实数解， 消去y ，整理，得（3 + 4k 2）x 2 + 8kmx + 4m 2－84 = 0， ∴ △ =（8km ）2－4（3 + 4k 2）（4m 2－84）= 12（28k 2－m 2 + 21）＞0， ① 221438k kmx x +-=+，222143844k m x x +-=． ② …………………… 9分∵ OP ⊥OQ ，∴ k OP · k OQ =－1，即12211-=⋅x y x y ，x 1x 2 + y 1y 2 = 0． 于是 x 1x 2 +（kx 1 + m ）（kx 2 + m ）=（1 + k 2）x 1x 2 + km （x 1 + x 2）+ m 2 = 0． ③将 x 1 + x 2，x 1x 2 代入上式，得 043843844)1(22222=++-+-⋅+m kkm km k m k ， ∴（k 2 + 1）（4m 2－84）－8k 2m 2 + m 2（4k 2 + 3）= 0， 化简，得 m 2 =12（k 2+1）．④④代入①满足，因此原点O 到直线l 的距离 32121||2==+-=k m d ．…………………… 12分22．解 设等差数列{ a n }的公差为d ，等比数列{ b n }公比为q ． （Ⅰ）∵ 2212b S =，∴ qb d a a 11112=++，而 a 1 = b 1 = 1，则 q （2 + d ）= 12．①又 ∵ b 2是a 1，a 3的等差中项，∴ a 1 + a 3 = 2b 2，得 1 + 1 + 2d = 2q ，即 1 + d = q ． ②联立①，②，解得 ⎩⎨⎧==,3,2q d 或 ⎩⎨⎧-=-=.4,5q d …………………… 4分 所以 a n = 1 +（n －1）·2 = 2n －1，b n = 3n －1； 或 a n = 1 +（n －1）·（－5）= 6－5n ，b n =（－4）n －1． …………………… 6分 （Ⅱ） ∵ a n ∈N *，d n d n a a q q q b b n n )1(1)1(111---+-===，∴ 9)1(1===-+d dn nd a a q q q b b nn ，即 q d = 32．① …………………… 8分由（Ⅰ）知 q ( 2 + d ) = 12，得 dq +=212． ② ∵ a 1 = 1，a n ∈N *，∴ d 为正整数，从而根据①②知q ＞1且q 也为正整数， ∴ d 可为1或2或4，但同时满足①②两个等式的只有d = 2，q = 3， ∴a n=2n－1，22)121(n n n S n =-+=． …………………… 10分 ∴ )1111(21)1)(1(1112+--=+-<=n n n n n S n （n ≥2）． 当n ≥2时， )1111(21)5131(21)4121(21)3111(21111121+--++-+-+-+<+++n n S S S n )]1111()5131()4121()3111[(211+--++-+-+-+=n n)111211(211+--++=n n 11147+--=n n 47<． 显然，当n = 1时，不等式成立．故n ∈N *，4711121<+++n S S S ． …………………… 14分思路2 或者利用nn n n n S n 111)1(1112--=-<=（n ≥2）从第三项开始放缩。

四川成都市2011届高三第二次诊断性考试数学试题（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分。

第Ⅰ卷（选择题）l 至2页，第Ⅱ卷（非选择题）3至l 页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0．5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5．考试结束后，只将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 )()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ， 334R V π=,其中R 表示球的半径 那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率),,2.1,0()1()(n k p p C k P k n nk n n =-=-一、选择题：（1）已知i 为虚数单位，则复数2i i +=（ ）（A ）1-（B ）i -（C ）i（D ）1（2）已知向量)1,3(=a ，),2(λ=b ，若b a //，则实数λ的值为（ ）（A ）32（B ）32-（C ）23（D ）23-（3）在等比数列}{n a 中，若3753)3(-=⋅⋅a a a ，则=⋅82a a （A ）3- （B ）3（C ）9-（D ）9（4）若*N n ∈，则121.23232lim -+-∞→+-⨯n n n n n 的值为（ ）（A ）0 （B ）32（C ）92 （D ）2（5）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ．若bc a c b 56222=-+，则)sin(C B +的值为（ ）（A ）54-（B ）54（C ）53-（D ）53 （6）设集合}14|),{(22=-=y x y x P ，}012|),{(=+-=y x y x Q ，记Q P A =，则集合A 中元素的个数有（ ） （A ）3个 （B ）4个（C ）l 个 （D ）2个（7）某出租车公司计划用450万元购买A 型和B 型两款汽车投入营运，购买总量不超过50辆，其中购买A 型汽车需13万元／辆，购买B 型汽车需8万元／辆．假设公司第一年A 型汽车的纯利润为2万元／辆，B 型汽车的纯利润为1．5万元／辆，为使该公司第一年纯利润最大，则需安排购买 （ ） （A ）8辆A 型出租车，42辆B 型出租车 （B ）9辆A 型出租车，41辆B 型出租车 （C ）11辆A 型出租车，39辆B 型出租车 （D ）10辆A 型出租车，40辆B 型出租车 （8）过点)4,4(-P 作直线l 与圆25)1(:22=+-⋅y x C 交于A 、B 两点，若2||=PA ，则圆心C 到直线l 的距离等于（ ） （A ）5 （B ）4（C ）3（D ）2（9）已知1010221052)2(x a x a x a a x x ++++=-- ，则9210a a a a ++++ 的值为（ ） （A ）—33 （B ） —32 （C ） —31 （D ） —30（10）某校高三理科实验班有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校．若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考，那么这5名同学不同的报考方法种数共有 （ ） （A ）144种 （B ）150种 （C ）196种 （D ）256种（11）将函数x A y 2sin =的图象按向量(,)6a B π=- 平移，得到函数)(x f y =的图象．若函数)(x f 在点))2(,2(ππf h 处的切线恰好经过坐标原点，则下列结论正确的是 （ ）（A ）223π-=A B （B ）232-=πA B（C ）23π-=A B （D ）32-=πA B （12）如图，在半径为l 的球O 中．AB 、CD 是两条互相垂直的直径，半径⊥OP 平面ACBD ．点E 、F 分别为大圆上的劣弧 BP 、 AC 的中点，给出下列结论： ①向量在向量方向上的投影恰为21； ②E 、F 两点的球面距离为32π； ③球面上到E 、F 两点等距离的点的轨迹是两个点；④若点M 为大圆上的劣弧 AD 的中点，则过点M 且与直线EF 、PC 成等角的直线只有三条，其中正确的是（A ）②④ （B ）①④（C ）②（D ）②③第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在答题卡上．（13）设53cos sin =+αα，则=α2sin ______________________． （14）在底面边长为2的正四棱锥ABCD P -中，若侧棱PA 与底面ABCD 所成的角大小为4π，则此正四棱锥的斜高长为______________________． （15）已知椭圆12:22=+y x C 的右焦点为F ，右准线l 与x 轴交于点B ，点A 在l 上，若ABO ∆（O 为坐标原点）的重心G 恰好在椭圆上，则=||AF ______________________．（16）已知定义在),1[+∞上的函数348||,122()1(),2,22x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩．给出下列结论：①函数)(x f 的值域为]4,0[；②关于x 的方程*)()21()(N n x f n∈=有42+n 个不相等的实数根；③当*)](2,2[1N n x n n ∈∈-时，函数)(x f 的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则2=S ；④存在]8,1[0∈x ，使得不等式6)(00>x f x 成立，其中你认为正确的所有结论的序号为___________________三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分） 已知函数m x x x x f +-+=2cos )6cos(sin 2)(π．（I ）求函数)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）当]4,4[ππ-∈x 时，函数)(x f 的最小值为3-，求实数m 的值．（18）（本小题满分12分） 如图，边长为1的正三角形SAB 所在平面与直角梯形ABCD 所在平面垂直，且CD AB //，AB BC ⊥，1=BC ，2=CD ，E 、F 分别是线段SD 、CD 的中点．（I ）求证：平面//AEF 平面SBC ； （Ⅱ）求二面角F AC S --的大小．（19）（本小题满分12分） 某电视台拟举行“团队共享”冲关比赛，其规则如下：比赛共设有“常识关”和“创新关”两关，每个团队共两人，每人各冲一关，“常识关”中有2道不同必答题，“创新关”中有3道不同必答题；如果“常识关”中的2道题都答对，则冲“常识关”成功且该团队获得单项奖励900元，否则无奖励；如果“创新关”中的3道题至少有2道题答对，则冲“创新关”成功且该团队获得单项奖励1800元，否则无奖励．现某团队中甲冲击“常识关”，乙冲击“创新关”，已知甲回答“常识关”中每道题正确的概率都为32，乙回答“创新关”中每道题正确的概率都为21，且两关之间互不影响，每道题回答正确与否相互独立．（I ）求此冲关团队在这5道必答题中只有2道回答正确且没有获得任何奖励的概率；（Ⅱ）记此冲关团队获得的奖励总金额为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望ξE ．（20）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知动点)0)(,(≤y y x P 到点)2,0(-F 的距离为1d ，到x 轴的距离为2d ，且221=-d d ． （I ）求点P 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）若A 、B 是（I ）中E 上的两点，16-=⋅，过A 、B 分别作直线2=y 的垂线，垂足分别为P 、Q ．证明：直线AB 过定点M ，且⋅为定值．（21）（本小题满分12分）记i n ii b i n -+++=1log 21)(2，其中n i N n i ≤∈*,,，如3132l o g 213)(3.-+++=n b n ，令n n n n n n b b b b S )(...)()()(321++++=．（I ）求n n n b b )()(1+的值； （Ⅱ）求n S 的表达式；（Ⅲ）已知数列}{n a 满足1=⋅n n a S ，设数列}{n a 的前n 项和为n T ，若对一切*N n ∈，不等式)23(11)2)(1(3112-≤++-n T n n n λ恒成立，求实数λ的最大值．（22）（本小题满分14分） 已知函数a xax g x x f (.23)(,ln )(-==为实常数）． （I ）当1=a 时，求函数)()()(x g x f x -=ϕ在),4[+∞∈x 上的最小值；（Ⅱ）若方程)()(2x g e x f =（其中 71828.2=e ）在区间]1,21[上有解，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）证明：*,12)]1()()12(2[601451N n n k f k f k f n nk ∈+<+--+<+∑=（参考数据：6931.02ln ≈）参考答案1．22i i i i i+=-=-，选B2．2//3203a b λλ⇔-=⇔= ，选A3．33335755((a a a a a ⋅⋅=⇒=⇒=22853a a a ⋅==，选B 4．111212..2223223lim lim 232933n n n n n n n n n---+-→∞→∞-⨯-==++，选C 5．22222263cos 525b c a b c a bc A bc +-+-=⇒==，4sin()sin 5B C A +==，选B 6．由于直线210x y -+=与双曲线2214x y -=的渐近线12y x =平行，所以选C 7．解法一：A 时，成本为813428440⨯+⨯=万元，利润为8242 1.579⨯+⨯=万元B 时，成本为913418445⨯+⨯=万元，利润为9241 1.579.5⨯+⨯=万元C 时，成本为1113398⨯+⨯=万元，利润为11239 1.580.5⨯+⨯=万元 D 时，成本为1013408450⨯+⨯=万元，利润为10240 1.580⨯+⨯=万元 而1113398455450⨯+⨯=>，选D 解法二：设购买A 型出租车x 辆，购买B 型出租车y 辆，第一年纯利润为z ，则50138450**x y x y x N y N +≤⎧⎪+≤⎪⎨∈⎪⎪∈⎩，2 1.5z x y =+，作出可行域，由50138450x y x y +=⎧⎨+=⎩解得1040x y =⎧⎨=⎩，选D 8．解法一：如图，||PC ==||5BC =2=当5d =220=≠= A当4d =23== B解法二：由22||B C -得2222||4||PC d BC d --=-，5=，224d =，4d =，选B9．解：2555(2)(2)(1)x x x x --=-+，10x 的系数为505055(2)11C C -=，令1x =，则012910a a a a a +++++32=-，所以012933a a a a ++++=- ，选A10．解，把学生分成两类：311，221，所以共有31122133521531332222150C C C C C C A A A A +=，选B 11．解：(,)6sin 2()sin(2)3a B y A x y f x A x B ππ=-=→==++ ，'2cos(2)3k y A x π==+，切线方程为()2cos(2)()()22322y f A x A x πππππ-=⨯+-=--，令0x y ==得()22A f ππ-=2A A B π-=2BAπ-=，选A12．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则E ，(22F -，(0,1,0)B ，(0,0,1)P ，(1,0,0)C①向量在向量方向上的投影为2，错；舍B②12cos cos cos co 45cos(9045)23EOF EOB COB EOF π∠=∠∠=+==-⇒∠= ， 对；③过点EF 的中点及球心O 的大圆上任意点到点E 、F 的距离都相等，错；舍D ④由于等角的值不是一定值，因此将直线EF 、PC 都平移到点M ，可知过点M 且与直线EF 、PC 成等角的直线有无数多条，错，舍A ；选C13．解：23916sin cos (sin cos )sin 252525x αααα+=⇒+=⇒=-，填1625-14．解：如图，OA ==2PA ==，在正PAD ∆中，2PE ==15．解：设(2,A y ，则焦点(1,0F ，重心022004(,)(,)3333y y G ++++=，因为重心G 恰好在椭圆上，所以224()3()1123y y +=⇒=±，即(2,1)A ±，所以||AF =16．解：348||,122()1(),2,22x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩111348||,1221133()[48||]24||,24222222211133()()()[48||]12||,48224442421(),2222n n n n x x x x x f x x x x f x f f x x x f x ---⎧--≤≤⎪⎪⎪=--=--<≤⎪⎪⎪===--=--<≤⎨⎪⎪⎪⎪<≤⎪⎪⎩其图象特征为：在每一段图象的纵坐标缩短到原来的一半，而横坐标伸长到原来的2倍，并且图象右移1322n -⨯个单位，从而①对；②显然当1n =时，()y f x =的图象与12y =的图象只有2个交点，而非2146⨯+=个，错；③当*)](2,2[1N n x n n ∈∈-时，函数)(x f 的图象与x 轴围成的图形面积为11111414(22)222222n n n n n S ----=⨯-⨯=⨯⨯=，对；④00006()6()x f x f x x >⇔>，结合图象可知错 填①③17．解：（I ）m x x x x f +-+=2cos )6cos(sin 2)(πm x x x x +--=2cos )sin 21cos 23(sin 2 1分mx x x x +--=2cos sin cos sin 32m x x x +---=.2cos 2)2cos 1(2sin 23…3分m x m x x +--=+--=21)62sin(212cos 212sin 23π． )(x f ∴的最小正周期ππ==22T ……6分 （Ⅱ）当]4,4[ππ-∈x ，即44ππ≤≤-x 时，有222ππ≤≤-x ，36232πππ≤-≤-∴x ． ……8分 23)32sin(1π-≤-∴x ． ……10分得到)(.x f 的最小值为m +--211．由已知，有3211-=+--m ．23-=∴m ， (12)分18．解：（Ⅰ）F 分别是CD 的中点，121==∴CD FC ．又1=AB ，所以AB FC =． AB FC // ，……2分∴四边形ABCF 是平行四边形．1//BC AF ∴．E 是SD 的中点，SC EF //∴．……3分又F EF AF = ，C SC BC = ，∴平面//AEF 平面.SBC ……5分（Ⅱ）取AB 的中点O ，连接SO ，则在正SAB ∆中，AB SO ⊥，又 平面⊥SAB 平面ABCD ，=AB 平面 SAB 平面ABCD ，⊥∴SO 平面ABCD ． …6分于是可建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -．则有)0,21,0(-A ，)0,21,1(C ，)23,0,0(S ，)0,21,1(-F ，)0,1,1(=AC ，)23,21,0(=AS ． …7分设平面SAC 的法向量为),,(z y x =，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅02321000z y y x m AS ． 取31,1,1=-==z y x ，得)311,1(,-=．……9分平面FAC 的法向量为)1,0,0(=n ． …10分77311131||||,cos =++=>=<n m n m …11分 而二面角F AC S ---的大小为钝角，∴二面角F AC S --的大小为77cosarc -π． …12分 19．解：（I ）记“此冲关团队在这5道必答题中只有2道回答正确且没有获得任何奖励”为事件E ，事件E 发生即“常识关”和“创新关”两关中都恰有一道题答正确．61)21(213132)(21312=⨯⨯⨯⨯⨯=C C E P ． ……6分 （Ⅱ）随机变量ξ取值为：0、900、1800、2700．185])21(21)21][()32(1[)0(21332=⨯⨯+-==C P ξ； …．．7分92])21(21)21[()32()900(21332=⨯⨯+==C P ξ； …8分185]21)21()21][(3231)31[()1800(2233122=⨯⨯+⨯⨯+==C C P ξ； ……9分92]21)21()21[()32()2700(22332=⨯⨯+==C P ξ． …10分ξ的分布13009227001851800929001850=⨯+⨯+⨯+⨯=ξF ． 12分 20．解：（Ⅰ）)2,(+=y x FP ．由2||||=-y 及0≤y ，得2||)2(22=-++y y x ． ……2分整理，得)0(82≤-=y y x ．即为所求动点P 的轨迹E 的方程． ……3分 （Ⅱ）设),(.11y x A ，),(.22y x B ．由题意，知直线AB 的斜率必定存在， 故设直线AB 的斜率为k ，方程为.b kx y +=． ……4分联立088822=++⇒⎩⎨⎧-=+=b kx x yx bkx y ．则k x x 8.21-=+，b x x 821=． …6分))((21212121b kx b kx x x y y x x OB OA +++=+=⋅ 221212)()1(b x x bk x x k ++++=168)1(8222-=+-+=b bk k b ．01682=++∴b b ．从而4-=b ． ……8分又032642>-=∆b k ，即22k b <，故4-=b ．经检验符合题意．当4-=b 时，直线AB 的方程为4-=kx y ，恒过定点)4,0(-M ． ……10分 由题意，知)2,(1x P ，)2,(2x Q ．则36)6,()6,(2121+=⋅=⋅x x x x MQ MP ． 故当4-=b 时，4=⋅MQ MP 为定值． ……12分 解：（Ⅰ） )12log 21()1112log 211()()(1nn nn n b b n n n -++++-+++=+ 2log 12log 22+=+++=n n nn ． ……3分（Ⅱ）由（Ⅰ），知2)()(1+=+n b b n n n ． 且in n i n b b -++1)()(])1(11log 211[)1log 21(22i n n in i n i n i i -+-+-+++-++-+++=2+=n ． …4分n n n n n n b b b b S )()()()(321++++= ，121)()()()(n n n n n n n b b b b S ++++=- ，123121)()()()()()()()(2n n n n n n n n n n n n n b b b b b b b b S ++++++++=∴-- ．2)2(+=∴n n S n …7分 （Ⅲ） 211)2(21+-=⋅+==n n n n S a n n ， 2111211)211()4121()311(+-+-+=+-++-+-=∴n n n n T n ． ……9分．)23(11)2.)(1(3112-≤++-∴n T n n n λ恒成立)2111(11)2.)(1(3112+++-≤++-⇔n n n n n λ恒成立 )32(113112+-≤-⇔n n λ恒成立321132--≤⇔n n λ恒成立n m r n n )32113(2--≤⇔λ． …10分而*,3)322(1133211322N n n n n n ∈--=--，4=∴n 时，321132--n n 取得最小值1173-．1173-≤∴λ，实数λ的最大值为⋅-1173…12分22．解：（Ⅰ）当1=a 时，231ln )()()(-+=-=x x x g x f x ϕ，221.11)('xx x x x -=-+=ϕ，令0)('>x ϕ，又0>x ，)(x ϕ∴在]1,0(∈x 上单调递减，在),1[+∞∈x 上单调递增．∴当4≥x 时，454ln 23414ln )4()(-=-+=≥ϕϕx ．)(x ϕ∴的最小值为454ln -． …．4分 （Ⅱ） )()(2x g e f =τ在]1,21[∈x 上有解x a e x -=⇔23ln 2在]1,21[∈x 上有解323x x a -=⇔在]1,21[∈x 上有解．令]1,21[,23)(3∈-=x x x x h ，)21(3323)(.'22x x x h -=-= ，令0)('>x h ，又0>x ，解得：220<<x ． 323)(x x x h -=∴在]22,21[∈x 上单调递增，]1,22[∈x 上单调递减， 又)21()1(h h <．)22()()1(h x h h ≤<∴．即22)(21≤≤x h ．故]22,21[∈a ． (9)分（Ⅲ）设)1()()12(2+--+=k f k f k f a k ，)1(144ln)1ln(ln )12ln(22+++=+--+=k k k k k k k a k 由（I ），)4(0454ln )(min≥>-=x x ϕ，)4(123ln ≥->∴x x x ．4)1(1442>+++k k k k ．)32)(12(14145)12(14145144)1(2322+++>++=+++->∴k k k k k k k a k )321121(8145+-++=k k ． )32112171515131(8145+-+++-+-+>∴∑=n n n a nIk k 60145)5131(8145)32131(8145+=-+≥+-+=n n n n ． 构造函数xxx x F x x x x F -=-=≥+-=111)('),4(2ln )(，∴当4≥x 时，01)('<-=x xx F ．)(.x F ∴在),4[+∞上单调递减，即0)12(ln 224ln )4()(<-=-=≤F x F ．∴当4>x 时，2ln -<x x ．21114)1114ln(-+-+<+-+=∴k k k k a k ．即1112+-+<k k a k ．1211121+<+-+<∴∑=n n n a rik k ． 故*,12)]1()()12(2[601451N n n k f k f k f n nk ∈+<+--+<+∑=． …14分四川省成都七中2011届高中毕业班第二次诊断性检测数学（理）试题一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．）1．函数y = （ ）A ．{|22}x x -<< B.{|22}x x -<≤C ．{|22}x x x <->或D ．{|22}x x x <-≥或 2．下列命题中为假命题的是 （ ）A ．3434><或B ．命题“若220x y +=，则,x y 全为0。