【课堂新坐标】高中数学 进位制教案 新人教版必修3

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第一章算法初步1。

1 算法与程序框图1。

1.1 算法的概念授课时间：第周年月日（星期 )教学分析算法在中学数学课程中是一个新的概念，但没有一个精确化的定义，教科书只对它作了如下描述:“在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤."为了让学生更好理解这一概念,教科书先从分析一个具体的二元一次方程组的求解过程出发，归纳出了二元一次方程组的求解步骤，这些步骤就构成了解二元一次方程组的算法。

教学中，应从学生非常熟悉的例子引出算法，再通过例题加以巩固。

三维目标1.正确理解算法的概念，掌握算法的基本特点.2.通过例题教学，使学生体会设计算法的基本思路。

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通过有趣的实例使学生了解算法这一概念的同时,激发学生学习数学的兴趣.重点难点教学重点：算法的含义及应用.教学难点：写出解决一类问题的算法。

教学过程导入新课思路1(情境导入）一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候,如果狼的数量不少于羚羊的数量狼就会吃羚羊。

该人如何将动物转移过河？请同学们写出解决问题的步骤，解决这一问题将要用到我们今天学习的内容——算法.思路2（情境导入）大家都看过赵本山与宋丹丹演的小品吧，宋丹丹说了一个笑话,把大象装进冰箱总共分几步？答案:分三步,第一步:把冰箱门打开；第二步：把大象装进去；第三步：把冰箱门关上. 上述步骤构成了把大象装进冰箱的算法,今天我们开始学习算法的概念。

重庆市高中数学第一章算法初步1.3.3 进位制教案新人教A版必修3 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（重庆市高中数学第一章算法初步1.3.3 进位制教案新人教A版必修3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3。

3 进位制一、三维目标(a）知识与技能了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换。

(b)过程与方法学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究十进制转换为各种进位制的除k去余法，并理解其中的数学规律.（c）情态与价值观领悟十进制，二进制的特点，了解计算机的电路与二进制的联系，进一步认识到计算机与数学的联系.二、教学重难点重点：各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换难点：除k去余法的理解以及各进位制之间转换的程序框图的设计三、学法与教学用具学法：在学习各种进位制特点的同时探讨进位制表示数与十进制表示数的区别与联系，熟悉各种进位制表示数的方法，从而理解十进制转换为各种进位制的除k去余法.教学用具：电脑，计算器，图形计算器四、教学设计(一）创设情景，揭示课题我们常见的数字都是十进制的，但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的。

比如时间和角度的单位用六十进位制,电子计算机用的是二进制。

那么什么是进位制？不同的进位制之间又又什么联系呢?（二）研探新知进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。

可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制,简称n进制。

必修3第一章1.3算法案例:案例3进位制[教学目标]：（1）了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换。

（2）学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究十进制转换为各种进位制的除k 去余法，并理解其中的数学规律。

[教学重点]各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换[教学难点]除k取余法的理解[情感态度价值观] 学生通过合作完成任务，领悟十进制，二进制的特点，了解计算机与二进制的联系，进一步认识到计算机与数学的联系,培养他们的合作精神和严谨的态度。

[教学方法] 讲解法、尝试法、归纳法、讨论法、[教学用具]多媒体电脑[学法] 学习各种进位制特点的同时探讨进位制表示数与十进制表示数的区别与联系，熟悉各种进位制表示数的方法，从而理解十进制转换为各种进位制的除k取余法。

[教学过程]一、创设情景，揭示课题辗转相除法和更相减损术，是求两个正整数的最大公约数的算法，秦九韶算法是求多项式的值的算法，将这些算法转化为程序，就可以由计算机来完成相关运算。

人们为了计数和运算方便，约定了各种进位制，本节课我们来共同学习《进位制》你都了解那些进位制？比如说？在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进位制，据说这与古人曾以手指计数有关；由于计算机的计算与记忆元件特点，计算机上通用的是二进位制；一周七天是七进位；一年十二个月〔生肖、一打〕是十二进制；旧式的称是十六进制；〔老称一斤为16两，故而有了半斤八两之说〕、24进制〔节气〕一小时六十分、角度的单位是六十进位制。

二进制是有德国数学家莱布尼兹发明的。

第一台计算机ENIAC〔埃尼阿克〕用的就是十进制。

计算机之父冯·诺伊曼研究后，提出改进意见，用二进制替代十进制。

主要原因①二进制只有0和1两个数字，要得到两种不同稳定状态的电子器件很容易，而且制造简单，可靠性高；②各种计数法中，二进制运算规那么简单。

如：十进 制乘法叫九九表，二进制只有4句。

进位制(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换．2．过程与方法学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究十进制转换为各种进位制的除k去余法，并理解其中的数学规律．3．情感、态度与价值观领悟十进制，二进制的特点，了解计算机的电路与二进制的联系，进一步认识到计算机与数学的联系．●重点难点重点：各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换．难点：除k去余法的理解以及各进位制之间转换的程序框图的设计．(教师用书独具)●教学建议本节课主要采用演示、讲解和练习三结合的教学方法，教学内容上选用趣味性较强的数字进行举例说明，使学生在学习的过程中随时有新的发现，让他们感觉到原来数字之间还有这么多的联系．这种方法充分体现了以教师为主导、学生为主体的教学原则．通过具体实例，帮助学生理解十进制与其他进制之间的相互转换；通过练习，使学生进一步巩固所学到的知识．在课堂上让学生带着问题听老师讲解相关的知识，在此过程中，指导学生积极思考所提出的问题；然后布置相应的练习，让学生边学边练，实际操作，自我探索，自主学习，使学生在完成练习的过程中不知不觉实现知识的传递、迁移和融合；最后归纳总结，引导学生提出问题、讨论问题和解决问题，进一步加深对知识的理解和记忆，有助于知识的掌握．●教学流程创设问题情境引入问题：二进制，十进制之间怎样相互转化⇒学生自主学习，主动探索二进制与十进制的相互转化⇒分组讨论、各组展示自己的成果教师总结，强调关键点及注意点⇒通过例1的教学，使学生掌握k进制转化为十进制的方法⇒通过例2及变式训练使学生掌握十进制转化为k进制的方法⇒通过例3的学习使学生掌握不同进位制间的相互转化⇒归纳整理，课堂小结、整体认识进位制间的关系⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈矫正(见学生用书第25页)课标解读 1.了解进位制的概念．(重点)2.掌握不同进位制之间的相互转化．(难点)进位制的概念【问题导思】十进制使用0～9十个数字，那么二进制使用哪些数字？六进制呢？【提示】二进制使用0～1两个数字，六进制使用0～5六个数字．进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几.进位制之间的相互转化【问题导思】二进制数110 011(2)化为十进制数是多少？【提示】110 011(2)＝1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＝51.k进制化为十进制的方法a n·a n－1·a n－2……a0(k)＝a n×k n＋a n－1×k n－1＋…a1k＋a0.(见学生用书第25页)k进制转化为十进制(2)【思路探究】按二进制化十进制的方法，写成不同位上的数乘以基数的幂的形式，再相加求和．【自主解答】101 101(2)＝1×25＋0×24＋1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝32＋8＋4＋1＝45.一个k进制的正整数就是各位数码与k的方幂的乘积的和，其中幂指数等于相应数码所在位数(从右往左数)减1.例如：230 451(k)＝2×k5＋3×k4＋0×k3＋4×k2＋5×k＋1.将下列各数化成十进制数．(1)11 001 000(2)；(2)310(8)．【解】(1)11 001 000(2)＝1×27＋1×26＋0×25＋0×24＋1×23＋0×22＋0×21＋0×20＝200；(2)310(8)＝3×82＋1×81＋0×80＝200.十进制转化为k进制(1)将194化成八进制数；(2)将48化成二进制数．【思路探究】除k取余→倒序写出→标明基数【自主解答】(1)∴194化为八进制数为302(8)．(2)∴48化为二进制数为110 000(2)．1．将十进制化成k进制的方法：用除k取余法，用k连续去除十进制数所得的商，直到商为零为止，然后将各步所得的余数倒序写出，即为相应的k进制数．2．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．十进制数一般不标注基数．将十进制数30化为二进制数．【解】∴30(10)不同进位制之间的转化(7)【思路探究】七进制→十进制→八进制【自主解答】235(7)＝2×72＋3×71＋5×70＝124，利用除8取余法(如图所示)．∴124＝174(8)，∴235(7)转化为八进制为174(8)．1．本题在书写八进制数174(8)时，常因漏掉右下标(8)而致误．2．对于非十进制数之间的互化，常以“十进制数”为中间桥梁，用除k取余法实现转化．将二进制数1 010 101(2)化为十进制数结果为________；再将该数化为八进制数结果为________．【解析】 1 010 101(2)＝1×26＋0×25＋1×24＋0×23＋1×22＋0×21＋1×20＝85.∴85化为八进制数为125(8)．【答案】85 125(8)(见学生用书第26页)算法案例在实际问题中的应用(12分)古时候，当边境有敌人来犯时，守边的官兵通过在烽火台上点火向境内报告，如图1－3－1所示，烽火台上点火表示数字1，未点火表示数字0，约定二进制数对应的十进制数的单位是1 000，请你计算一下，这组烽火台表示有多少敌人入侵？图1－3－1【思路点拨】观察图形发现中间的烽火台未点火，得出其代表数字为0，其他都为1，由此得出二进制数，再将其转化为实际人数．【规范解答】由图易知这组烽火台表示的二进制数为11 011(2)，4分它表示的十进制数为11 011(2)＝1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝27，8分由于十进制数的单位是1 000，故入侵敌人的数目为27×1 000＝27 000.12分本题将军事知识与进位制之间的转化巧妙结合起来，在将二进制数转化为十进制数后，应明确此数并不是所求敌人的人数，不要忽视题目中条件“单位是1 000”．把一个非十进制数转化为另一种非十进制数，通常是把这个数先转化为十进制数，然后再利用除k取余法，把十进制数转化为k进制数．而在使用除k取余法时要注意以下几点：1．必须除到所得的商是0为止；2．各步所得的余数必须从下到上排列；3．切记在所求数的右下角标明基数．(见学生用书第26页)1．下列各数中可能是四进制数的是( )A．55 B．32 C．41 D．38【解析】四进制数中最大数不超过3，故B正确．【答案】 B2．110(2)转化为十进制数是( )A．5 B．6 C．4 D．7【解析】110(2)＝1×22＋1×21＋0×20＝6.【答案】 B3．把153化为三进制数，则末位数是( )A．0 B．1 C．2 D．3【解析】153÷3＝51，余数为0，由除k取余法知末位数为0.【答案】 A4．把154(6)化为七进制数．【解】154(6)＝1×62＋5×61＋4×60＝70.∴70＝130(7)．∴154(6)＝130(7).(见学生用书第95页)一、选择题1．下列写法正确的是( )A．858(8)B．265(7)C．312(3)D．68(6)【解析】k进制中各位上的数字均小于k，故A、C、D选项错误．【答案】 B2．(2013·洛阳高一检测)把89转化为五进制数是( )A．324(5) B．253(5) C．342(5) D．423(5)【解析】故89＝324(5)．【答案】 A3．三位五进制数表示的最大十进制数是( )A．120 B．124 C．144 D．224【解析】三位五进制数最大为444(5)，444(5)＝4×52＋4×51＋4×50＝124.【答案】 B4．由389化为的四进制数的末位是( )A．3 B．2 C．1 D．0【解析】∵∴389＝12 011(4)，故选C.【答案】 C5．下列各数中，最小的数是( )A．111 111(2) B．75C．200(6) D．105(8)【解析】111 111(2)＝1×25＋1×24＋1×23＋1×22＋1×21＋1×20＝63.200(6)＝2×62＝72.105(8)＝1×82＋0×81＋5×80＝69.【答案】 A二、填空题6．将101 110(2)化为十进制数为________．【解析】101 110(2)＝1×25＋0×24＋1×23＋1×22＋1×21＋0×20＝32＋8＋4＋2＝46.【答案】467．已知一个k 进制数132(k )与十进制数30相等，则k 等于________．【解析】 132(k )＝1×k 2＋3×k ＋2＝k 2＋3k ＋2＝30，∴k ＝4或－7(舍)． 【答案】 48．五进制数23(5)转化为二进制数为________．【解析】 23(5)＝2×51＋3×50＝13，将13化为二进制数13＝1 101(2)． 【答案】 1 101(2) 三、解答题9．在什么进制中，十进制数71记为47? 【解】 设47(k )＝71(10)，则4×k 1＋7×k 0＝4k ＋7＝71， ∴k ＝16，即在十六进位制中，十进制71记为47.10．设m 是最大的四位五进制数，将m 化为七进制． 【解】 ∵m 是最大的四位五进制数， ∴m ＝4 444(5)，∴m ＝4×53＋4×52＋4×51＋4×50＝624(10)， ∴，∴4 444(5)＝1 551(7)．11．若二进制数10b 1(2)和三进制数a 02(3)相等，求正整数a ，b .【解】 ∵10b 1(2)＝1×23＋b ×2＋1＝2b ＋9， a 02(3)＝a ×32＋2＝9a ＋2，∴2b ＋9＝9a ＋2，即9a －2b ＝7， ∵a ∈{1,2}，b ∈{0,1}， 当a ＝1时，b ＝1适合，当a ＝2时，b ＝112不适合．∴a ＝1，b ＝1.(教师用书独具)计算机为什么要采用二进制呢？第一，二进制只有0和1两个数字，要得到表示两种不同稳定状态的电子器件很容易，而且制造简单，可靠性高．例如，电位的高与低，电容的充电与放电，晶体管的导通与截止，等等．第二，在各种记数法中，二进制运算规则简单，有布尔逻辑代数作理论依据，简单的运算规则使得机器内部的操作也变得简单．二进制加法法则只有4条： 0＋0＝0,0＋1＝1， 1＋0＝1,1＋1＝10，而十进制加法法则从0＋0＝0到9＋9＝18，有100条． 二进制的乘法法则也很简单： 0×0＝0,0×1＝0， 1×0＝0,1×1＝1，而十进制的乘法法则要由一张“九九表”来规定，比较复杂.(见学生用书第27页)算法设计及其应用1.它往往是把问题的解法划分为若干个可执行的步骤，有时是重复多次，但最终都必须在有限个步骤之内完成．2．对于给定的问题，设计其算法时应注意以下四点(1)与解决问题的一般方法相联系，从中提炼与概括步骤． (2)将解决问题的过程划分为若干步骤．(3)引入有关的参数或变量对算法步骤加以表述． (4)用简练的语言将各个步骤表达出来．设计一个算法，求方程x 2－4x ＋2＝0在(3,4)之间的近似根，要求精确度为10－4，算法步骤用自然语言描述．【思路点拨】 可以利用二分法的步骤设计算法． 【规范解答】 算法步骤如下；第一步，令f (x )＝x 2－4x ＋2，由于f (3)＝－1<0，f (4)＝2>0，所以设x 1＝3，x 2＝4.第二步，令m ＝x 1＋x 22，判断f (m )是否等于0，若f (m )＝0，则m 为所求的根，结束算法；若f(m)≠0，则执行第三步．第三步，判断f(x1)f(m)>0是否成立，若成立，则令x1＝m；否则令x2＝m.第四步，判断|x1－x2|<10－4是否成立，若成立，则x1与x2之间的任意取值均为满足条件的近似根；若不成立，则返回第二步．已知平面坐标系中两点A(－1,0)，B(3,2)，写出求线段AB的垂直平分线方程的一个算法．【解】第一步，计算x0＝－1＋32＝22＝1，y0＝0＋22＝1，得AB的中点N(1,1)．第二步，计算k1＝2－03－－1＝12，得AB的斜率．第三步，计算k＝－1k1＝－2得AB垂直平分线的斜率．第四步，由点斜式得直线AB的垂直平分线的方程．y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0.程序框图及基本逻辑结构程序框图是用规定的程序框、流程线及文字说明来准确、直观、形象地表示算法的图形，画程序框图前，应先对问题设计出合理的算法，然后分析算法的逻辑结构，画出相应的程序框图，在画循环结构的程序框图时应注意选择合理的循环变量及判断框内的条件．写出求13＋1…＋13(共7个3)的值的一个算法，并画出流程图．【思路点拨】引入计数变量i＝1，累加变量x＝13，反复执行x＝1x＋3，用循环结构求解．【规范解答】第一步，x＝13，i＝1.第二步，x＝13＋x.第三步，i＝i＋1.第四步，如果i＞6，则输出x；否则，返回第二步，重新执行第二步，第三步．相应算法的流程图如图所示．在音乐唱片超市里，每张唱片售价20元．商家为了促销，提出以下优惠措施：顾客如果购买5张以上(含5张)唱片，则按九折收费；如果购买10张以上(含10张)唱片，则按八五折收费．画出根据购买唱片张数计算金额的程序框图．【解】 收费额y (元)与购买张数x 的函数关系y ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x x ＜5，18x 5≤x ＜10，17x x ≥10.程序框图如图所示：算法语句的设计(顺序结构、条件结构、循环结构)，对应五种不同功能的基本算法语句(输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句)，同时兼顾基本语句的格式要求，特别值得注意的是条件语句中条件的表达和循环语句中有关循环变量的取值范围，从而完成程序设计．图1－1写出如图1－1所示的程序框图描述的算法的程序．【思路点拨】 明确各程序框的含义，判断程序框图的结构，写出程序． 【规范解答】 程序如下所示： s ＝1 i ＝3 DO s ＝s*i i ＝i ＋2LOOP UNTIL i>99 PRINT s END设计一个程序，输出落在圆x 2＋y 2＝100内且在第一象限的所有整点的坐标，并画出程序框图．【解】 程序框图如图所示．程序： r ＝10 x ＝1WHILE x ＜r y ＝1WHILE y ＜rIF x^2＋y^2＜r^2 THEN PRINT x ，y END IF y ＝y ＋1 WEND x ＝x ＋1 WEND END方程思想方程思想，通过解方程组，或运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程思想在算法中有着广泛的应用，特别是求不定方程的整数解，常规解法就是通过试值的思想方法，但如果解的范围比较大，试值的次数就比较多，工作量较大，那么我们可以通过循环语句让计算机重复执行，代替人工单一重复的计算．我国古代数学家张邱建的《张邱建算经》中记载了著名的“百鸡问题”：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几只？”请用程序解决此问题．【思路点拨】 设出变量列出方程组，结合变量的特殊性逐一验证．【规范解答】 设鸡翁、鸡母、鸡雏各x 、y 、z 只，则问题转化为解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋3y ＋z 3＝100，x ＋y ＋z ＝100，继而转化为解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋4y ＝100，z ＝100－x －y ，所以x ，y 的范围为：0≤x ≤14,0≤y ≤25.运用循环语句让计算机实现逐一试值的过程，最后输出所有满足条件的非负整数解．程序如下： x ＝0y＝0WHILE x＜＝14WHILE y＜＝25IF 7]相传在远古时代有一片森林，栖息着3种动物，凤凰、麒麟和九头鸟，凤凰有1只头、2只脚，麒麟有1只头、4只脚，九头鸟有9只头、2只脚，它们这3种动物的头加起来一共是100只，脚加起来也正好是100只．问森林中各生活着多少只凤凰、麒麟和九头鸟？设计出计算程序，并画出流程图．【解】设森林中有凤凰x只，麒麟y只，九头鸟z只．本题的关键是如何考虑x，y，z三个变量之间的关系．由题意可知：(1)当凤凰x＝1时(只在开始时)，变量麒麟y的取值可以从1～25；(2)让变量y从1开始取值(例如：y的值为1)；(3)通过表达式(100－x－y)/9，计算出z的值；(4)完成上述步骤后，x，y，z三个变量都取到了自己相应的值，但是这三个值是否是正确的解呢？我们必须通过以下的两个条件来判断：x＋y＋9z＝100且2x＋4y＋2z＝100；(5)如果全部满足，就输出x，y，z的值，如果不满足，就让y值加1，然后重复步骤(2)到步骤(4)，直至y的取值超过25.(6)然后让x的取值加1后，重复步骤(1)到步骤(5)的操作，直至x的取值超过50为止，退出算法．计算程序如下：FOR x FROM 1 TO50FOR y FROM 1 TO25z＝(100－x－y)/9IF2x＋4y＋2z＝100AND x＋y＋9z＝100 THENPRINT x，y，zEND FOREND FOREND综合检测(一)第一章算法初步(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下面对算法描述正确的一项是( )A．算法只能用自然语言来描述B．算法只能用图形方式来表示C．同一个问题可以有不同的算法D．同一问题的算法不同，结果必然不同【解析】算法可以用自然语言、程序框图、程序语句等来描述，同一个问题可以有不同的算法，但结果是相同的．【答案】 C2．下列各进制数中，最小的是( )A．1 002(3)B．210(6)C．1 000(4) D．111 111(2)【解析】转化为十进制数，再去比较．1 002(3)＝29,210(6)＝78,1 000(4)＝64,111 111(2)＝63.【答案】 A3．(2012·安徽高考)如图1所示，程序框图的输出结果为( )图1A．3 B．4 C．5 D．8【解析】用表格列出xx 1248y 123 4y【答案】 B4．(2013·青岛高一检测)下列赋值语句正确的是( )A．s＝a＋1 B．a＋1＝sC．s－1＝a D．s－a＝1【解析】赋值语句的格式为“变量＝表达式”，“二”的左侧只能是单个变量，B、C、D都不正确．【答案】 A5．用辗转相除法，计算56和264的最大公约数时，需要做的除法次数是( )A．3 B．4 C．6 D．7【解析】由辗转相除法264＝56×4＋40,56＝40×1＋16,40＝16×2＋8,16＝8×2，即得最大公约数为8，做了4次除法．【答案】 B6．给出程序如下图所示，若该程序执行的结果是3，则输入的x值是( )INPUT xIF x>＝0 THENy＝xELSEy＝－xEND IFPRINT yENDA．3 B．－3 C．3或－3 D．0【解析】若x＝3则输出y＝3，若x＝－3，则输出y＝－(－3)＝3.【答案】 C7．给出一个程序框图，如图2所示，其作用是输入x的值，输出相应的y的值．若要使输入的x的值与输出的y的值相等，则输入的这样的x的值有( )图2A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 经分析知满足该程序框图的函数解析式是y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2x ≤2，2x －3 2<x ≤5，1x x >5，令y ＝x ，则解得x ＝0或x ＝1或x ＝3，所以满足条件的x 有3个． 【答案】 C图38．如图3给出的是计算12＋14＋16＋…＋120的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A ．i ＞10?B ．i ＜10?C ．i ＞20?D ．i ＜20?【解析】 12＋12×2＋12×3＋…＋12×10共10个数相加，控制次数变量i 应满足i ＞10.【答案】 A9．用秦九韶算法求多项式f (x )＝12＋35x －8x 2＋79x 3＋6x 4＋5x 5＋3x 6在x ＝－4时，v 4的值为( )A ．－57B ．220C ．－845D ．3 392 【解析】 v 0＝3，v 1＝v 0x ＋5＝－7， v 2＝v 1x ＋6＝28＋6＝34，v 3＝v 2x ＋79＝34×(－4)＋79＝－57， v 4＝v 3x －8＝－57·(－4)－8＝220. 【答案】 B10．(2012·辽宁高考)执行如图4所示的程序框图，则输出的S 值是( )图4A ．4 B.32 C.23D ．－1【解析】 当i ＝1时，S ＝22－4＝－1； i ＝2时，S ＝22－－1＝23；i ＝3时，S ＝22－23＝32；i ＝4时，S ＝22－32＝4；i ＝5时，S ＝22－4＝－1；当i ＝6时程序终止，故而输出的结果为－1. 【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上) 11．168,56,264的最大公约数是________． 【解析】 先求168与56的最大公约数， 168＝56×3，所以56是168与56的最大公约数， 再求56与264的最大公约数， 264＝56×4＋40， 56＝40×1＋16， 40＝16×2＋8， 16＝8×2，所以8是56与264的最大公约数． 所以这三个数的最大公约数为8. 【答案】 812．程序框图如图5所示，若输出的y ＝0，那么输入的x 为________．图5【解析】由框图知，当x＝－3,0时，输出的y值均为0.【答案】－3或013．(2012·湖南高考)如果执行如图6所示的程序框图，输入x＝4.5，则输出的数i ＝________.图6【解析】当输入x＝4.5时，由于x＝x－1，因此x＝3.5，而3.5<1不成立，执行i ＝i＋1后i＝2；再执行x＝x－1后x＝2.5，而2.5<1不成立，执行i＝i＋1后i＝3；此时执行x＝x－1后x＝1.5，而1.5<1不成立，执行i＝i＋1后i＝4；继续执行x＝x－1后x 变为0.5,0.5<1，因此输出i为4.【答案】 414．现给出一个算法的算法语句如下，此算法的运行结果是________．T＝1S＝0WHILE S＜＝50S＝S＋TT＝T＋1WENDPRINT TEND【解析】因为1＋2＋…＋9＝45＜50,1＋2＋…＋10＝55＞50，所以T＝10＋1＝11，此算法的运行结果是11.【答案】11三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)(2013·泰安高一检测)用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x，当x＝3时的值．【解】 f (x )＝((((((7x ＋6)x ＋5)x ＋4)x ＋3)x ＋2)x ＋1)x ， v 0＝7，v 1＝7×3＋6＝27，v 2＝27×3＋5＝86，v 3＝86×3＋4＝262，v 4＝262×3＋3＝789，v 5＝789×3＋2＝2 369， v 6＝2 369×3＋1＝7 108，v 7＝7 108×3＝21 324.16．(本小题满分12分)(2013·临沂高一检测)设计算法：要求输入自变量x 的值输出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧π2x －5， x >0，0， x ＝0，π2x ＋3， x <0，的值，并用复合IF 语句描述算法．【解】 INPUT xIF x>0 THENf(x)＝π2x －5ELSEIF x ＝0 THEN f(x)＝0 ELSEf(x)＝π2x ＋3END IF END IF PRINT f(x) END17．(本小题满分12分)(2013·莱芜高一检测)给出50个数，1,3,6,10，15，…，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大2，第3个数比第2个数大3，第4个数比第3个数大4，…，以此类推．要求计算这50个数的和．先将下面给出的程序框图7补充完整，再根据程序框图写出对应程序．图7【解】 把程序框图补充完整为：①i＜＝50?②P＝P＋i＋1对应程序：i＝1P＝1S＝0WHILE i＜＝50S＝S＋PP＝P＋i＋1i＝i＋1WENDPRINT SEND18．(本小题满分14分)已知某算法的程序框图如图8所示，若将输出的(x，y)值依次记为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，…图8(1)若程序运行中输出的一个数组是(9，t)，求t的值；(2)程序结束时，共输出(x，y)的组数为多少；(3)写出程序框图的程序语句．【解】(1)开始时x＝1时，y＝0；接着x＝3，y＝－2；然后x＝9，y＝－4，所以t ＝－4；(2)当n＝1时，输出一对，当n＝3时，又输出一对，…，当n＝2 013时，输出最后一对，共输出(x，y)的组数为1 007；(3)程序框图的程序语句如下：。

高中人教版数学必修3教案
课时安排：第一课时
教学内容：函数及其性质
教学目标：通过本节课的学习，使学生能够掌握函数的基本概念，并了解函数的性质。

教学重点：函数的概念、定义和性质。

教学难点：函数的性质的应用。

教学过程：
一、导入（5分钟）
教师通过举例子引入函数的概念，让学生了解函数在生活中的应用。

二、讲解（15分钟）
1. 定义函数的概念，函数的符号表示。

2. 函数的定义及分类。

3. 函数的性质：有界性、单调性、奇偶性等。

三、练习（20分钟）
1. 练习函数的定义和性质。

2. 让学生通过练习题来巩固所学知识。

四、拓展（10分钟）
教师引导学生思考函数在现实生活中的应用，并提出相关问题让学生讨论。

五、作业布置（5分钟）
布置相关练习题作业，巩固本节课所学内容。

教学反思：
通过本节课的教学，学生对函数的概念及性质有了初步的了解，但在练习过程中发现学生对函数性质的应用理解有所欠缺，需要在后续的教学中加强相关练习。

同时，鼓励学生多思考函数在实际生活中的应用，能够更好地理解函数的概念。

《进位制》教案
教学目标：
1．了解进位制的概念，学会表示进位制数，理解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换；
2．学生经历得出各种进位制与十进制之间转换的规律的过程，进一步掌握进位制之间转换的方法；
3．学生通过合作完成任务，领悟十进制，二进制的特点，了解计算机的电路与二进制的联系，进一步认识到计算机与数学的联系，培养他们的合作精神和严谨的态度．
教学重点难点：
1．重点：各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换；
2．难点：“除k取余法”的理解．
教法与学法：
1．教法选择：以探究式互动教学法为主，范例教学为辅，利用课件等媒体辅助教学；
2．学法指导：在学习各种进位制特点的同时探讨各种进位制表示数与十进制表示数的区别与联系，熟悉各种进位制表示数的方法，从而理解十进制转换为各种进位制的除k取余法．
教学过程：
一、设置情境，引出概念
二、思维拓展，方法探究
三、讲练结合，内化知识
四、归纳小结，课堂延展
教学设计说明
1．教材地位分析：这一节所讲授的都是算法案例的知识，这对提高学生的数学素养很有帮助．就单独的算法初步这一内容，则是为了提高学生有条理地处理和解决数制问题的能力，并能理解非十进制与十进制的转化．
2．学生现实分析：学生在先前算法案例学习的基础下，对于进位制知识和方法的理解应该不难，难就难在学生能否快速且准确无误的计算．
3．由学生熟悉的十进制数出发，引导学生分析得到“除10取余法”，再将这一算理进行迁移得到“除2取余法”，在此基础上进行拓展，进而得到“除k取余法”，从而解决了十进制转化为k进制的问题．。

课题：§1.3 进位制一．教学任务分析:（1）在理解了算法的三种不同表示方式的基础上，结合算法案例3----进位制算法，让学生经历设计算法解决问题的过程，体验算法在解决问题中的作用.(2)通过对具体实例的算法分析，画程序框图，编制程序，上机验证的方法理解掌握进位制算法.(3)通过进位制算法所蕴涵的算法思想,培养学生利用算法解决问题的意识. 了解计算机的电路与二进制的联系，进一步认识到计算机与数学的联系.二．教学重点与难点：教学重点：各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换.教学难点：除k去余法的理解以及各进位制之间转换的程序框图的设计.↓↓↓1．创设情景，揭示课题在日常生活中,我们常用的数字都是十进制的,但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的.比如时间和角度的单位用六十进位制,电子计算机用的是二进制.那么什么是进位制?不同的进位制之间又又什么联系呢?2.进位制的概念进位制是一种约定的记数方式.约定:满几进几,就是几进几,几进制的基数就是几.①例如: 最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数,计数时,几个数字排成一行,从右起,第一位是个位,个位上的数字是几,就表示几个1, 第二位是十位,十位上的数字是几,就表示几个十,接着依次是百位,千位,万位….十进制中的3721中的3表示3个千,7表示7个百, 2表示2个十, 1表示1个一.于是:23101⨯+⨯++=⨯10101273103721⨯②另外:二进制用两个数字0和1表示. 七进制用7个数字0～6表示.二进制中的1111表示为0123212*********⨯+⨯+⨯+⨯=3. 进位制的表示对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示. 若k 是一个大于1的整数,那么以k 为基数的k 进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式: ),,,0,0(011)(011k a a a k a a a a a n n k n n <≤<<--即表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示比如：)2(111001表示二进制数，)8(71表示八进制.任何进位制的数都可以表示成不同位上数字与基数的幂的乘积之和的形式表示:001111)(011k a k a k a k a a a a a n n n n k n n ⨯+⨯++⨯+⨯=---0123)2(212121211111⨯+⨯+⨯+⨯= 0123)5(525453577342⨯+⨯+⨯+⨯=4. 进位制之间的转化电子计算机一般都使用二进制,下面我们来进行二进制与十进制之间的转化例1: 把二进制数110011(2)化为十进制数.解:110011=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20=32+16+2+1=51例2 :把89化为二进制数.解:根据二进制数满二进一的原则,可以用2连续去除89或所得商,然后去余数.具体的计算方法如下:89=2×44+144=2×22+022=2×11+011=2×5+15=2×2+1所以:89=2×(2×(2×(2×(2×2+1)+1)+0)+0)+1=1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20=1011001(2)这种算法叫做除2取余法,还可以用下面的除法算式表示:把上式中的各步所得的余数从下到上排列即可得到89=1011001(2)上述方法也可以推广为把十进制化为k 进制数的算法,这种算法成为除k 取余法. 练习:(1)把2008转换为二进制数.(2008=11 111 011 000(2))(2)把2008转换为八进制数.(2008=3730(8))5. 进位制算法分析例3.设计一个算法,把k 进制数a(共有n 位)化为十进制数b.解:0112211)(11k a k a k a k a a a a a n n n n k n n ⨯+⨯++⨯+⨯==--=-算法分析:第一步:输入a,k 和n 的值.第二步:将b 的值初始化为0,i 的值初始化为1.第三步:b=b+a i ×k i-1，i=i+1.第四步:判断i>n 是否成立.若是,则执行第五步;否则,返回第三步.第五步:输出b 的值.程序框图:说明:把a,在第一次运算时t=aMOD10且t=aMOD10表示t是a除以10的商再被10除的余数,也就是取k进制数中的十位数.依次类推.程序语言：例4.设计一个程序,实现“除k取余法”算法分析：由十进制数a除k得商是q0，余数是r0，即a=kq0+r0，则r0是a的k进制数的右数第1位数；由q0除以k得商是q1，余数是r1，即q0=kq1+r1，则r1是a的k进制数的右数第2位数；…………………………由q n-1除以k得商是0，余数是r n，即q n-1=r n，则r n是a的k进制数的左数第1位数.算法步骤:第一步: 给定十进制正整数a和转化后的数的基数k.第二步:求a除以k所得商q和余数r.第三步:若q≠0,则a=q,返回第二步;否则,执行第四步.第四步:将依次所得的余数r从右到左排列,得到k进制数.程序框图:程序语言：6.课堂练习：23456转换成十进制数.设计程序框图把数)8(7.课后作业：<随堂导练>P17-18.。

教学过程及方法思考4:十进制数4528表示的数可以写成123108102105104⨯+⨯+⨯+⨯，依此类比，二进制数)2(110011,八进制数)8(7342分别可以写成什么式子？思考5:一般地，如何将k进制数)(011knnaaaa-写成各数位上的数字与基数k的幂的乘积之和的形式？思考6:在二进制中，0+0，0+1，1+0，1+1的值分别是多少？探究二:k进制化十进制的算法思考1:[例3]二进制数110011〔2〕化为十进制数是什么数？思考2:二进制数右数第i位数字ia化为十进制数是什么数？思考3:[例4]运用循环结构，把二进制数)2(011aaaaann-=化为十进制数b的算法步骤如何设计？算法分析：从例3的计算过程可以看出，计算k进制数a的右数第i位数字a i与k i-1的乘积a i·k i-1，再将其累加，这是一个重复操作的步骤.所以，可以用循环结构来构造算法.算法步骤如下：第一步，输入a，k和n的值.第二步，将b的值初始化为0，i的值初始化为1.第三步，b=b+a i·k i-1，i=i+1.第四步，判断i＞n是否成立.假设是，那么执行第五步；否那么，返回第三步.第五步，输出b的值.程序框图如右图：思考6:该程序框图对应的程序如何表述？教学过程及方法探究三：除k取余法思考1:二进制数101101〔2〕化为十进制数是什么数？[例5]十进制数89化为二进制数是什么数？解：根据二进制数“满二进一〞的原那么，可以用2连续去除89或所得商，然后取余数.具体计算方法如下：因为89=2×44+1，44=2×22+0，22=2×11+0，11=2×5+1，5=2×2+1，2=2×1+0，1=2×0+1，所以89=2×〔2×〔2×〔2×〔2×2+1〕+1〕+0〕+0〕+1=2×〔2×〔2×〔2×〔22+1〕+1〕+0〕+0〕+1=…=1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20=1 011 001(2).思考2:上述化十进制数为二进制数的算法叫做除2取余法，转化过程有些复杂，观察下面的算式你有什么发现吗？把上式中各步所得的余数从下到上排列，得到89=1 011 001(2).思考3:上述方法也可以推广为把十进制数化为k进制数的算法，称为除k取余法。

第3课时案例3 进位制（一）导入新课情境导入在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，据说这与古人曾以手指计数有关，爱好天文学的古人也曾经采用七进制、十二进制、六十进制，至今我们仍然使用一周七天、一年十二个月、一小时六十分的历法.今天我们来学习一下进位制.（二）推进新课、新知探究、提出问题（1）你都了解哪些进位制？（2）举出常见的进位制.（3）思考非十进制数转换为十进制数的转化方法.（4）思考十进制数转换成非十进制数及非十进制之间的转换方法.活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路．讨论结果：（1）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，约定满二进一，就是二进制；满十进一，就是十进制；满十二进一，就是十二进制；满六十进一，就是六十进制等等.也就是说：“满几进一”就是几进制，几进制的基数（都是大于1的整数）就是几.（2）在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，据说这与古人曾以手指计数有关，爱好天文学的古人也曾经采用七进制、十二进制、六十进制，至今我们仍然使用一周七天、一年十二个月、一小时六十分的历法.（3）十进制使用0~9十个数字.计数时，几个数字排成一行，从右起，第一位是个位，个位上的数字是几，就表示几个一；第二位是十位，十位上的数字是几，就表示几个十；接着依次是百位、千位、万位……例如：十进制数3 721中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一.于是，我们得到下面的式子：3 721=3×103+7×102+2×101+1×100.与十进制类似，其他的进位制也可以按照位置原则计数.由于每一种进位制的基数不同，所用的数字个数也不同.如二进制用0和1两个数字，七进制用0~6七个数字.一般地，若k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式a n a n-1…a1a0（k）（0＜a n＜k，0≤a n-1，…，a1，a0＜k).其他进位制的数也可以表示成不同位上数字与基数的幂的乘积之和的形式，如110 011（2）=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20，7 342（8）=7×83+3×82+4×81+2×80.非十进制数转换为十进制数比较简单，只要计算下面的式子值即可：a n a n-1…a1a0(k)=a n×k n+a n-1×k n-1+…+a1×k+a0.第一步：从左到右依次取出k进制数a n a n-1…a1a0(k)各位上的数字，乘以相应的k的幂，k的幂从n开始取值，每次递减1，递减到0，即a n×k n,a n-1×k n-1,…,a1×k,a0×k0；第二步：把所得到的乘积加起来，所得的结果就是相应的十进制数.（4）关于进位制的转换，教科书上以十进制和二进制之间的转换为例讲解，并推广到十进制和其他进制之间的转换.这样做的原因是，计算机是以二进制的形式进行存储和计算数据的，而一般我们传输给计算机的数据是十进制数据，因此计算机必须先将十进制数转换为二进制数，再处理，显然运算后首次得到的结果为二进制数，同时计算机又把运算结果由二进制数转换成十进制数输出.1°十进制数转换成非十进制数把十进制数转换为二进制数，教科书上提供了“除2取余法”，我们可以类比得到十进制数转换成k进制数的算法“除k取余法”.2°非十进制之间的转换一个自然的想法是利用十进制作为桥梁.教科书上提供了一个二进制数据与16进制数据之间的互化的方法，也就是先由二进制数转化为十进制数，再由十进制数转化成为16进制数.（三）应用示例思路1例1 把二进制数110 011(2)化为十进制数.解：110 011(2)=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20=1×32+1×16+1×2+1=51.点评：先把二进制数写成不同位上数字与2的幂的乘积之和的形式，再按照十进制的运算规则计算出结果.变式训练设计一个算法，把k进制数a（共有n位）化为十进制数b.算法分析：从例1的计算过程可以看出，计算k进制数a的右数第i位数字a i与k i-1的乘积a i·k i-1，再将其累加，这是一个重复操作的步骤.所以，可以用循环结构来构造算法.算法步骤如下：第一步，输入a，k和n的值.第二步，将b的值初始化为0，i的值初始化为1.第三步，b=b+a i·k i-1，i=i+1.第四步，判断i＞n是否成立.若是，则执行第五步；否则，返回第三步.第五步，输出b的值.程序框图如下图：程序：INPUT “a,k，n=”；a，k，nb=0i=1t=a MOD 10DOb=b+t*k^（i-1）a=a\\10t=a MOD 10i=i+1LOOP UNTIL i＞nPRINT bEND例2 把89化为二进制数.解：根据二进制数“满二进一”的原则，可以用2连续去除89或所得商，然后取余数.具体计算方法如下：因为89=2×44+1，44=2×22+0，22=2×11+0，11=2×5+1，5=2×2+1，2=2×1+0，1=2×0+1，所以89=2×（2×（2×（2×（2×2+1）+1）+0）+0）+1=2×（2×（2×（2×（22+1）+1）+0）+0）+1=…=1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20=1 011 001(2).这种算法叫做除2取余法，还可以用下面的除法算式表示：把上式中各步所得的余数从下到上排列，得到89=1 011 001(2).上述方法也可以推广为把十进制数化为k进制数的算法，称为除k取余法.变式训练设计一个程序，实现“除k取余法”.算法分析：从例2的计算过程可以看出如下的规律：若十制数a除以k所得商是q0，余数是r0，即a=k·q0+r0，则r0是a的k进制数的右数第1位数.若q0除以k所得的商是q1，余数是r1，即q0=k·q1+r1，则r1是a的k进制数的左数第2位数.……若q n-1除以k所得的商是0，余数是r n，即q n-1=r n，则r n是a的k进制数的左数第1位数.这样，我们可以得到算法步骤如下：第一步，给定十进制正整数a和转化后的数的基数k.第二步，求出a除以k所得的商q，余数r.第三步，把得到的余数依次从右到左排列.第四步，若q≠0，则a=q，返回第二步；否则，输出全部余数r排列得到的k进制数.程序框图如下图：程序：INPUT “a，k=”；a，kb=0i=0DOq=a\\kr=a MOD kb=b+r*10^ii=i+1a=qLOOP UNTIL q=0PRINT bEND思路2例1 将8进制数314 706(8)化为十进制数，并编写出一个实现算法的程序.解：314 706(8)=3×85+1×84+4×83+7×82+0×81+6×80=104 902.所以，化为十进制数是104 902.点评：利用把k进制数转化为十进制数的一般方法就可以把8进制数314 706(8)化为十进制数.例2 把十进制数89化为三进制数，并写出程序语句.解：具体的计算方法如下：89=3×29+2，29=3×9+2，9=3×3+0，3=3×1+0，1=3×0+1，所以:89(10)=10 022(3).点评：根据三进制数满三进一的原则，可以用3连续去除89及其所得的商，然后按倒序的顺序取出余数组成数据即可.（四）知能训练将十进制数34转化为二进制数．分析：把一个十进制数转换成二进制数，用2反复去除这个十进制数，直到商为0，所得余数（从下往上读）就是所求．解：即34(10)=100 010(2)（五）拓展提升把1 234(5)分别转化为十进制数和八进制数．解：1 234(5)=1×53+2×52+3×5+4＝194．则1 234(5)=302(8)所以，1 234(5)=194＝302(8)点评：本题主要考查进位制以及不同进位制数的互化．五进制数直接利用公式就可以转化为十进制数；五进制数和八进制数之间需要借助于十进制数来转化．（六）课堂小结（1）理解算法与进位制的关系.（2）熟练掌握各种进位制之间转化.（七）作业习题1.3A组3、4.。