2017-2018学年高中数学 第一章 算法初步 1.1.2 程序框图的算法和逻辑结构 1.1.2.

1．1.2 程序框图与算法的基本逻辑结构第一课时程序框图、顺序结构[提出问题]计算1×2＋3×4＋5×6＋…＋99×100.问题1：能否设计一个算法，计算这个式子的值？提示：可以．问题2：你能采用更简洁的方式表述上述算法过程吗？如何表示？提示：可以，利用程序框图．[导入新知]1．定义程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．2．表示在程序框图中，算法的一个步骤通常用一个或几个程序框的组合来表示；带有方向箭头的流程线将程序框连接起来，表示算法步骤的执行顺序．3．常见的程序框及其功能程序框图中图形符号的应用(1)终端框(起止框)是任何程序框图都不可缺少的，表示程序的开始和结束．一个完整的程序框图首末两端必须是终端框．(2)输入、输出框表示数据的输入或结果的输出，可用在算法中任何需要输入、输出的位置，有时不止一个．(3)处理框可以用于对变量赋值．另外，算法中处理数据需要的算式、公式等，也可以写在用以处理数据的处理框内．(4)当算法要求对两个不同的结果进行判断时，需要将实现判断的条件写在判断框内．(5)一个算法步骤到另一个算法步骤用流程线连接．如果一个流程图需要分开来画，要在断开处画上连接点，并标出连接的号码.[提出问题]问题1：若下图中a，b分别表示某矩形的长和宽，则该框图所表示的算法功能是什么？提示：计算矩形的面积．问题2：计算机执行上述算法解决问题时，其执行顺序有何特点？提示：按照顺序从上到下依次进行．[导入新知]顺序结构顺序结构的特点语句与语句之间、框与框之间是按照从上到下的顺序进行的．上图所示虚框内是一个顺序结构，其中“步骤n”和“步骤n＋1”两个框是按顺序执行的，即只有在执行完“步骤n”后，才能接着执行“步骤n＋1”．[例1] (1)①任何一个程序框图都必须有起止框；②输入框、输出框可以在算法中任何需要输入、输出的位置出现；③判断框是唯一具有超过一个退出点的框图符号；④对于一个程序来说，判断框内的条件是唯一的．A．1个B．2个C．3个D．4个(2)下列说法正确的是( )A．程序框图中的图形符号可以由个人来确定B.也可以用来执行计算语句C．输入框只能紧接在起始框之后D．长方形框是执行框，可用来对变量赋值，也可用来计算[解析] (1)任何一个程序都有开始和结束，从而必须有起止框；输入、输出框可以在算法中任何需要输入、输出的位置出现，判断框内的条件不是唯一的，如a＞b？也可以写为“a≤b”？.但其后步骤需相应调整，故①②③正确，④错误．(2)程序框是由通用图形符号构成，并且有特殊含义，A不正确；菱形框是判断框，只能用来判断，所以B不正确；输入框可用在算法中任何需要输入的位置，所以C也不正确；由程序框的功能可知D项正确．[答案] (1)C (2)D[类题通法]1．画程序框图的规则(1)使用标准的程序框图的图形符号．(2)程序框图一般按照从上到下、从左到右的顺序画．(3)一个完整的程序框图必须有终端框，用于表示一个算法的开始和结束．(4)除判断框外，大多程序框图的图形符号只有一个进入点和一个退出点，判断框是唯一具有超过一个退出点的框图符号．(5)一种判断框是“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另外一种是多分支判断，可能有几种不同的结果．(6)在程序框图的图形符号内，用于描述的语言要简练、清楚．2．规则的记法以上规则简记为：框图符号标准化；框内语言精练化；框间流程方向化，从上到下，从左到右勿颠倒；起止框不可少，判断框搞特殊：一进口，两出口．[活学活用]1．在程序框图中，表示判断框的图形符号的是( )解析：选C 四个选项中的程序框依次为处理框，输入、输出框，判断框和起止框． 2．下列关于程序框图的说法正确的是( ) A ．程序框图是描述算法的图形语言B ．在程序框图中，一个判断框最多只能有两个退出点C ．程序框图虽可以描述算法，但不如用自然语言描述算法直观D ．程序框图和流程图不是一个概念解析：选A 由于存在一种多分支判断，所以一个判断框可能有多个退出点，所以B 选项是错误的；相对于自然语言，用程序框图描述算法的优点主要就是直观、形象，容易理解，在步骤上简单了许多，所以C 选项是错误的；程序框图就是流程图，所以D 选项也是错误的．[例2] 并画出程序框图．[解] 算法一：第一步，a ＝4，c ＝5. 第二步，R ＝22a . 第三步，h ＝ c 2－R 2，S ＝a 2. 第四步，V ＝13Sh .第五步，h ′＝c 2－a 24.第六步，S ＝2ah ′. 第七步，输出S ，V . 程序框图如图所示：算法二：第一步，a ＝4，c ＝5. 第二步，S ＝2a c 2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 24. 第三步，V ＝13a2c 2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 22. 第四步，输出S ，V . 程序框图如图所示：[类题通法]应用顺序结构表示算法的步骤(1)认真审题，理清题意，明确解决方法； (2)明确解题步骤；(3)用数学语言描述算法，明确输入量、计算过程、输出量； (4)用程序框图表示算法过程． [活学活用]已知点P 0(x 0，y 0)和直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，写出求点P 0到直线l 的距离d 的算法及程序框图．解：用数学语言描述算法：第一步，输入点的横、纵坐标x 0，y 0， 输入直线方程的系数，即常数A ，B ，C . 第二步，计算z 1＝Ax 0＋By 0＋C . 第三步，计算z 2＝A 2＋B 2. 第四步，计算d ＝|z 1|z 2.第五步，输出d . 程序框图：[例3] 间的关系，回答下面的问题：(1)图框①中x ＝2的含义是什么？ (2)图框②中y 1＝ax ＋b 的含义是什么？ (3)图框④中y 2＝ax ＋b 的含义是什么？ (4)该程序框图解决的是怎样的一个问题？(5)若最终输出的结果y 1＝3，y 2＝－2.当x 取5时输出的结果5a ＋b 的值应该是多大？(6)在(5)的前提下，输入的x 值越大，输出的ax ＋b 是不是越大？为什么？(7)在(5)的前提下，当输入的x 值为多大时，输出结果等于0? [解] (1)图框①中x ＝2表示把2赋给变量x .(2)图框②中y 1＝ax ＋b 的含义：该图框在执行①的前提下，即当x ＝2时计算ax ＋b 的值，并把这个值赋给y 1.(3)图框④中y 2＝ax ＋b 的含义：该图框在执行③的前提下，即当x ＝－3时计算ax ＋b 的值，并把这个值赋给y2.(4)该程序框图解决的是求函数f(x)＝ax＋b的函数值的问题．其中输入的是自变量x的值，输出的是x对应的函数值．(5)y1＝3，即2a＋b＝3.y2＝－2，即－3a＋b＝－2.得a＝1，b＝1.∴f(x)＝x＋1.∴x取5时，5a＋b＝5×1＋1＝6.(6)输入的x值越大，输出的函数值ax＋b越大，因为f(x)＝x＋1是R上的增函数．(7)令f(x)＝x＋1＝0，得x＝－1，因而当输入的x值为－1时，输出的函数值为0.[类题通法]由程序框图识别算法功能应注意的问题根据算法功能求输出结果，或根据输出结果求框图中某一步骤，应注意以下几点：(1)要明确各框图符号的含义及作用；(2)要明确框图的方向流程；(3)要正确认图，即根据框图说明该算法所要解决的问题．其中明确算法功能是解决此类问题的关键．[活学活用]1．根据如图程序框图，若输入m的值是3，则输出的y的值是________．解析：若输入m的值是3，则p＝8，y＝8＋5＝13，故输出y的值为13.答案：132．已知在平面直角坐标系中有一个圆心在坐标原点，半径为c的圆，(a，b)为任一点，则如图所示的程序框图表示的算法的作用是________．解析：∵x ＝a 2＋b 2表示点(a ，b )到原点(0,0)的距离，∴该算法的功能是计算点(a ，b )到原点的距离与圆的半径之差．答案：计算点(a ，b )到原点的距离与圆的半径之差2.顺序结构的应用[典例] 设计一个算法，已知函数y ＝2x的图象上，任意给定两点的横坐标x 1和x 2(x 1≠x 2)，求过这两点的直线的斜率，并画出程序框图．[解题流程][规范解答] 算法如下：第一步，输入x 1，x 2. 第二步，计算y 1＝2x 1. 第三步，计算y 2＝2x 2. 第四步，计算k ＝y 1－y 2x 1－x 2. 第五步，输出k . 程序框图：[类题通法]程序框图的画法画程序框图一般分三步：(1)第一步，用自然语言表述算法步骤(又称算法分析)； (2)第二步，确定每一个算法步骤所含的逻辑结 构，并用相应的程序框图表示；(3)第三步，将所有步骤的程序框图用流程线连接起来，并加上终端框，得到整个表示算法的程序框图．[活学活用]已知一个直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，求该直角三角形内切圆的面积．试设计求解该问题的算法，并画出程序框图．解：算法步骤如下： 第一步，输入a ，b . 第二步，计算c ＝ a 2＋b 2. 第三步，计算r ＝12(a ＋b －c )．第四步，计算S ＝πr 2. 第五步，输出面积S . 相应程序框图如图：[随堂即时演练]1．对程序框图叙述正确的是( )A．表示一个算法的起始和结束，程序框是B．表示一个算法输入和输出的信息，程序框是C．表示一个算法的起始和结束，程序框是D．表示一个算法输入和输出的信息，程序框是解析：选C 由程序框的算法功能可知，选项C正确．2．下列所画程序框图是已知直角三角形两直角边a，b求斜边c的算法，其中正确的是( )解析：选C 根据顺序结构的要求，先输入，后计算，再结合直角三角形的三边关系可知C正确．3．若R＝8，则如图所示的程序框图运行后的结果为a＝________.解析：R ＝8→b ＝R2＝2→a ＝2b ＝4.答案：44．如图是求长方体的体积和表面积的一个程序框图，补充完整，横线处应填______________________．解析：根据题意，长方体的长、宽、高应从键盘输入，故横线处应填写输入框答案：5．写出求函数y ＝2x ＋3图象上任意一点到原点的距离的算法，并画出相应的程序框图． 解：算法如下：第一步，输入横坐标的值x . 第二步，计算y ＝2x ＋3. 第三步，计算d ＝ x 2＋y 2. 第四步，输出d . 程序框图如图所示：[课时达标检测]一、选择题1．下列关于程序框图的说法正确的是( )①程序框图只有一个入口，也只有一个出口；②程序框图中的每一部分都应有一条从入口到出口的路径通过它；③流程线只要是上下方向就表示上下执行，可以不要箭头；④连接点是用来连接两个程序框图的．A．①②③B．②③C．①④D．①②答案：D2．下列是程序框图中的一部分，表示恰当的是( )答案：A3．如图所示的程序框图，若输入x＝3，则输出y的值为( )A．33 B．34C．40 D．45答案：B4．如图所示的程序框图，若输出的结果为2，则①处的执行框内应填的是( )A ．x ＝2B ．b ＝2C ．x ＝1D ．a ＝5答案：C5．如图所示的是一个算法的程序框图，已知a 1＝3，输出的b ＝7，则a 2等于( )A ．9B ．10C ．11D ．12答案：C 二、填空题6．执行如图所示的程序框图，输出ω的值为________．解析：ω＝5×10＋8×2＝50＋16＝66. 答案：667．已知点P (x 0，y 0)，直线l ：x ＋2y －3＝0，求点P 到直线l 的距离的一个算法程序框图如图所示，则在①处应填________．解析：应填上点到直线的距离公式． 答案：d ＝|x 0＋2y 0－3|58．如图所示程序框图，则输出X 的值是________．解析：X ＝1＋3＋5＝9. 答案：9 三、解答题9．已知一个圆的周长为a ，求这个圆的面积．试设计该问题的算法，并画出程序框图． 解：由圆的周长及面积公式可得．算法如下：第一步，输入a 的值． 第二步，计算r ＝a2π的值．第三步，计算S ＝πr 2的值． 第四步，输出结果． 相应的程序框图如右图：10．如图所示的程序框图，根据该图和下列各小题的条件回答下面的几个小题．(1)该程序框图解决的是一个什么问题？(2)当输入的x 的值为0和4时，输出的值相等，问：当输入的x 的值为3时，输出的值为多大？(3)在(2)的条件下要想使输出的值最大，输入的x 的值应为多大？ 解：(1)该程序框图解决的是求二次函数f (x )＝－x 2＋mx 的函数值的问题． (2)当输入的x 的值为0和4时，输出的值相等， 即f (0)＝f (4)．因为f (0)＝0，f (4)＝－16＋4m ， 所以－16＋4m ＝0， 所以m ＝4，所以f(x)＝－x2＋4x.则f(3)＝－32＋4×3＝3，所以当输入的x的值为3时，输出的f(x)值为3.(3)因为f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，当x＝2时，f(x)最大值＝4.所以要想使输出的值最大，输入的x的值应为2.。

1. 1.2 程序框图1 . 1.3 第1课时 顺序结构亍预习导学三 ］挑股自我.点点落实 ___________________________________________________________________［学习目标］1 •掌握程序框图的概念；2•熟悉各种程序框图及流程线的功能和作用;3 •能用程序框图表示顺序结构的算法.3.已知一直角三角形的两直角边分别为 a , b ,斜边为c ,则直角三角形内切圆半径r =a +b - c2-4.已知一个三角形三条边的边长分别为a , b , c ,则三角形的面积S = .p p - a p - b p - c i 其中p =已+；+°，该公式叫海伦一秦九韶公式.［预习导引］ 1 •程序框图通常用一些通用图形符号构成一张图来表示算法，这种图称做程序框图(简称框图)•2 •常用算法图形符号图形符号名称付号表示的意义()起、止框 框图的开始或结束1 / /输入、输出框 数据的输入或者结果的输出处理框赋值、执行计算语句、结果的传送［知识链接］1 •已知一梯形的上底和下底分别为a ,b ,高为h ,则梯形的面积a +b h-22 .已知点F 0(x o , y o )和直线l : Ax + By + g 0，则点到直线的距离公式| Ax o + By) + q:A 2+ B 23. 画程序框图的规则(1) 使用标准的框图的符号.⑵框图一般按从上到下、从左到右的方向画.(3) 除判断框外,其他框图符号只有一个进入点和一个退出点•判断框是具有超过一个退出点的唯一符号.(4) 一种判断框是二择一形式的判断，有且仅有两个可能结果；另一种是多分支判断，可能有几种不同的结果.⑸在图形符号内描述的语言要非常简练清楚.4. 顺序结构描述的是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间按从上到下的顺序进行•戸课堂讲义_重点难点，个个击破____________________________________________________________________ 要点一程序框图的认识和理解例1下列关于程序框图中图形符号的理解正确的有()①任何一个流程图必须有起止框②输入框只能放在开始框后，输出框只能放在结束框前③判断框是唯一的具有超过一个退出点的图形符号④对于一个程序框图来说，判断框内的条件是唯一的A. 1个B. 2个C . 3个D. 4个答案 B解析 ①任何一个程序必须有开始和结束，从而流程图必须有起止框，正确•②输入、 输出框可以用在算法中任何需要输入、输出的位置，错误•③正确•④判断框内的条件 不是唯一的，错误•故选 B.规律方法 (1)理解程序框图中各框图的功能是解此类题的关键，用程序框图表示算法 更直观、清晰、易懂.(2) 起、止框用“「二；”表示，是任何流程不可少的，表明程序的开始和结束；(3) 输入、输出框图用“——”表示，可用在算法中任何需要输入、输出的位置，需要 输入的字母、符号、数据都填在框内；(4) 处理框图用“二I”表示，算法中处理数据需要的算式、公式等可以分别写在不同 的用以处理数据的处理框内，另外，对变量进行赋值时，也用到处理框；(5) 判断框是唯一具有超过一个退出点的图形符号.跟踪演练1下列说法正确的是()A. 程序框图中的图形符号可以由个人来确定B.也可以用来执行计算语句C. 程序框图中可以没有输出框，但必须要有输入框D. 用程序框图表达算法，其优点是算法的基本逻辑结构展现得非常直接 答案 D解析 一个完整的程序框图至少要有起止框和输入、输出框，输入、输出框只能用来输 入、输出，不能用来执行计算.故选 D.要点二利用顺序结构表示算法例2已知P o (x 。

1.1.2 程序框图1.1.3 算法的三种基本逻辑结构和框图表示（2）A级基础巩固一、选择题1．如图所示的程序框图中，输入x＝2，则输出的结果是导学号95064079(B)A．1B．2C．3D．4[解析]输入x＝2后，该程序框图的执行过程是：输入x＝2，x＝2>1成立，y＝2＋2＝2，输出y＝2.2．要解决下面的四个问题，只用顺序结构画不出其算法框图的是导学号95064080(C)n(n＋1)A．利用公式1＋2＋…＋n＝计算1＋2＋…＋10的值2B．当圆面积已知时，求圆的周长C．当给定一个数x时，求其绝对值D．求函数f(x)＝x2－3x－5的函数值[解析]C中要判断x是大于等于0还是小于0，故选项C只用顺序结构画不出其程序框图．13．已知a＝2 ，b＝log 33，运算原理如图所示，则输出的值为导学号95064081(D) 22A．B．2 22－1C．D．2 2＋1 2lg3 a＋1 2＋1 [解析]由a＝2<b＝log 33＝＝2，知a>b不成立，故输出＝.lg 3b 24．如图是计算函数y＝Error!的值的程序框图，在①、②、③处应分别填入的是导学号95064082(A)A．y＝－x，y＝0，y＝x2 B．y＝－x，y＝x2，y＝0C．y＝0，y＝x2，y＝－x D．y＝0，y＝－x，y＝x2[解析]①处x满足x≤－1，则由函数的解析式知，①处应填入y＝－x；②处x满足－1<x≤2，则由函数的解析式知，②处应填入y＝0；③处x满足x>2，则由函数的解析式知，③处应填入y＝x2.二、填空题15．某算法的程序框图如图所示，若输出结果为，则输入的实数x的值是2.2导学号95064083[解析]当x≤1时，y＝x－1≤0，1 ∵输出结果为，∴x>1，1∴log2x＝，2∴x＝2.6．如图所示表示求函数f(x)＝|x－3|的值的算法．请将程序框图补充完整．其中①处应填__x<3？(或x≤3？)__，②处应填__y＝x－3__.导学号95064084三、解答题7．获得学习优良奖的条件如下：导学号95064085(1)所考五门课成绩总分超过460分；(2)每门课都在85分以上；(3)前三门(主课)每门成绩都在95分以上．输入一名学生的五门课的成绩，问他是否符合优良奖的条件，画出这一算法的程序框图．[解析]我们设这名学生的五门课的成绩分别为a、b、c、d、e.设计算法如下：第一步，输入学生五门课的成绩a、b、c、d、e；第二步，计算学生的总成绩S＝a＋b＋c＋d＋e；第三步，若S≥460，则执行第四步，否则执行第十步；第四步，若a≥95，则执行第五步，否则执行第十步；第五步，若b≥95，则执行第六步，否则执行第十步；第六步，若c≥95，则执行第七步，否则执行第十步；第七步，若d≥85，则执行第八步，否则执行第十步；第八步，若e≥85，则执行第九步，否则执行第十步；第九步，输出“该学生获得学习优良奖”；第十步，输出“该学生不获得学习优良奖”．程序框图如图：[解析]程序框图如图所示：B级素养提升一、选择题1．某市出租车的起步价为8元(含3 k m)，超过3km的里程每千米收2.6元，另外每车次超过3 km收燃油附加费1元(不考虑其他因素)．相应的收费系统的程序框图如图所示(此处的x假定为整数)，则(1)处应填导学号95064087(D)A．y＝8＋2.6x B．y＝9＋2.6xC．y＝8＋2.6(x－3) D．y＝9＋2.6(x－3)[解析]当x>3时，y＝8＋2.6(x－3)＋1＝9＋2.6(x－3)，∴(1)处应填y＝9＋2.6(x－3)．2．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是导学号95064088(A)A．2或－2 2 B．2 2或－2 2C．－2或－2 2 D．2或2 2[解析]当x3＝8时x＝2，a＝4，b＝8，b＞a，输出8当x 2＝8时，x＝±2 2，a＝8，b＝±6 2，又a＞b，输出8，所以x＝－2 2，故选A．二、填空题3．下列程序框图的运算结果为__5__.导学号95064089[解析]∵a＝5，S＝1，a≥4，∴S＝1×5＝5，∴输出S的值为5.4．已知函数y＝Error!，下图中表示的是给定x的值，求其对应的函数值y的程序框图．①处应填写__x＜2？__；②处应填写__y＝log2x__.导学号95064090[解析]框图中的①就是分段函数解析式两种形式的判断条件，故填写“x＜2？”．②就是该函数的另一段表达式y＝log2x.三、解答题5．在音乐唱片超市里，每张唱片售价25元，顾客如果购买5张以上(含5张)唱片，则按照九折收费；如果顾客购买10张以上(含10张)唱片，则按照八五折收费．请设计一个完成计费工作的算法，并画出程序框图.导学号95064091[解析]算法如下：S1输入a；S2若a<5，则c＝25a；否则，执行S3；S3若a<10，则c＝22.5a；否则(a≥10)，c＝21.25a.S4输出c.程序框图如图所示：C级能力拔高1．某市劳动保障部门规定：某工种在法定工作时间内，工资为8元/h，加班工资为12元/h.已知某人在一周内工作60 h，其中加班20 h，他每周收入的10%要交纳税金．请设计一个算法，计算此人这周所得净收入，并画出相应的程序框图.导学号95064092[解析]此人一周在法定工作时间内工作40 h，加班20 h，他一周内的净收入等于(40×8＋20×12)×(1－10%)元．算法步骤如下：第一步，令T＝40，t＝20.第二步，计算S＝(8×T＋12×t)×(1－10%)．第三步，输出S.程序框图如图所示：2．阅读如图程序框图，并根据该框图回答以下问题.导学号950640931(1)分别求f(－1)，f(0)，f( )，f(3)的值；2(2)写出函数f(x)的表达式．[解析](1)当x＝－1时，满足x<0，故执行y＝0，1 即f(－1)＝0，同样地，可得f(0)＝1，f( )＝1，2f(3)＝3.(2)算法的功能是求下面函数的函数值：f(x)＝Error!.。