中国矿业大学11-12(上)《工程数学A》试题(A)卷参考答案

安徽矿业职业技术学院 2011-2012学年第二学期期末考试《工程数学-线性代数》试卷(A)（时间：120分钟）课程所在系部：公共课教学部 适用专业：矿井建设与相关专业 考试形式: 闭卷(闭卷/开卷) 命 题 人：马万早说明：在本卷中，T A 表示矩阵A 的转置矩阵，A*表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A|表示方阵A 的行列式. 1A -表示方阵A 的逆矩阵，R （A ）表示矩阵A 的秩。

一、填空题 （ 每小题2分，共20分）1. 行列式任意两行互换行列式 。

2. 设D 为一个三阶行列式，第三列元素分别为-2，3，1，其余子式分别为9，6，24，则D= 。

3. 关于线性方程组的克莱姆法则结论是 。

4. n 阶矩阵A 可逆的充要条件是 。

5. 若n 阶矩阵满足2240A A E --=,则A -1= 。

6. ()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43214321= ， ()43214321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= 。

7. 设向量组321,,ααα线性相关，则向量组332211,,,,,βαβαβα一定线性 。

8. 设A 为三阶矩阵，若A=3，则1-A = ,*A = 。

9. n 阶可逆矩阵A 的列向量组为n αααΛ,,21，则r(n αααΛ,,21)= 。

10. 非齐次线性方程组A n m ⨯X=b 有解的充要条件是 。

二、选择题（10分，每题2分）1．1221--k k 0≠的充要条件是（ ）。

（a ） k ≠1（b ） k ≠3（c ） k ≠1且k ≠3（d ）k ≠1或k ≠3 2. A,B,C 为n 阶方阵，则下列各式正确的是（ ）(a) AB=BA (b) AB=0,则A=0或B=0 (c) （A+B ）（A-B ）=A 2-B2(d) AC=BC 且C 可逆,则A=B3. 设A 为n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（ ）(a) A ,0≠ (b) 1-A 0≠ (c) r(A)=n (d) A 的行向量组线性相关4. 设矩阵A =(a ij )n m ⨯，AX=0仅有零解的充要条件是（ ） (a) A 的行向量组线性无关 (b) A 的行向量组线性相关 (c) A 的列向量组线性无关 (d) A 的列向量组线性相关5. 向量组s αααΛ,,21的秩为r,则下述说法不正确的是（ ）(a) s αααΛ,,21中至少有一个r 个向量的部分组线性无关(b) s αααΛ,,21中任何r 个向量的线性无关部分组与s αααΛ,,21可互相线性表示 (c) s αααΛ,,21中r 个向量的部分组皆线性无关 (d)s αααΛ,,21中r+1个向量的部分组皆线性相关三、判断题（正确的划√，错误的划х，共10分，每题2分）1．1112111221222122ka ka a ak ka ka a a =。

工程数学试题A及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数\( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \)的导数是：A. \( 3x^2 - 6x \)B. \( 3x^2 - 6x + 2 \)C. \( x^3 - 3x^2 + 2 \)D. \( 3x^2 - 6x + 3 \)答案：A2. 极限\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)的值是：A. 0B. 1C. \( \pi \)D. \( \infty \)答案：B3. 函数\( y = e^x \)的不定积分是：A. \( e^x + C \)B. \( \ln x + C \)C. \( x e^x + C \)D. \( \frac{1}{x} + C \)答案：A4. 微分方程\( y' + 2y = 0 \)的通解是：A. \( y = Ce^{-2x} \)B. \( y = Ce^{2x} \)C. \( y = C\sin(2x) \)D. \( y = C\cos(2x) \)答案：A5. 矩阵\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)的行列式是：A. 5B. -2C. 2D. -5答案：B6. 函数\( f(x) = x^2 \)在区间\( [1, 2] \)上的定积分是：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C7. 函数\( y = \ln x \)的二阶导数是：A. \( \frac{1}{x^2} \)B. \( \frac{1}{x} \)C. \( x \)D. \( x^2 \)答案：A8. 矩阵\( A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \)的逆矩阵是：A. \( \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \)B. \( \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \)C. \( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \)D. \( \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \)答案：C9. 函数\( y = x^3 \)的不定积分是：A. \( \frac{x^4}{4} + C \)B. \( \frac{x^3}{3} + C \)C. \( \frac{x^2}{2} + C \)D. \( \frac{x}{3} + C \)答案：B10. 函数\( y = \sin x \)的不定积分是：A. \( \cos x + C \)B. \( \sin x + C \)C. \( -\cos x + C \)D. \( -\sin x + C \)答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数\( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)的极小值点是 \( x =\_\_\_\_\_ \)。

工程数学试题(A 卷)参考答案一． (1) 3 ; (2) 5,6; (3) 0,9; (4) 2321+x ; (5)3,121. 二． 解. (1) 因为2)(-+=x e x f x 在)1,0(上连续，并且(),]1,0[01)(,01)1(,01)0(∈∀>+='>-=<-=x e x f e f f x所以由零点定理和单调性知原方程在)1,0(内存在唯一实根.*x (4分) (2) 牛顿迭代格式为.,2,1,0,121 =+-+-=+k e x e x x kkx k x k k (8分) ⑶ 因为,])1,0[(0)(∈∀>=''x e x f x ,0)1()1(>''f f 所以牛顿迭代法收敛， 且收敛阶为2. (12分)三. 解. 用杜里特尔分解法求解。

按紧凑格式计算得562852137133321----- 于是得.56133,2800710321,152013001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=y U L ( 9分) 回代求解上三角形线性方程组,Ux y = 得原方程组的解为 .1,1,2123===x x x即 .)2,1,1(),,(321=x x x ( 12分)四．解. 雅可比迭代矩阵,050100100100)(1⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=+=-αββαU L D B J 其特征方程为,01003||2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-αβλλλJ B E ( 4分)J B 的谱半径,10||3)(αβρ=J B 所以J 法收敛的充要条件是3100||<αβ. (8分)赛德尔迭代矩阵,50500010100001000000000500100010)(211⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-=--αββαβαβαβααβU L D B G 其特征方程为,01003||2=⎪⎭⎫⎝⎛-=-αβλλλG B E (12分) G B 的谱半径,100||3)(αβρ=G B 所以G-S 法收敛的充要条件是3100||<αβ.(16分)五．解. 由条件得.0c o s 2,0)c o s ()0(,1c o s)0(220202==⎪⎭⎫⎝⎛='='=====ππx x x x P x P x P (3分) .2,0,0]0,0[)0()(22x f x f f x P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=π ( 6分)作差商表.41)(222x x P π-= ( 9分).2,0,2612!3|s i n ||c o s)(|222⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-πππξx x x x x x x P ( 12分) 记,2)(2⎪⎭⎫⎝⎛-=x x x g π 令,0)3()(=-='x x x g π 得.3,021π==x x 所以,54323)(max 3220πππππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=≤≤x g x 故.324|cos )(|max 3220ππ≤-≤≤x x P x ( 16分)六．解. (1) 取,)(,1)(10x x x ==ϕϕ 并设一次最佳平方逼近多项式为,bx a y += 则,1),(,21),(,11),(1001101000======⎰⎰⎰dx xe f xdx dx x ϕϕϕϕϕ,2),(,31),(,21),(10211021101-=====⎰⎰e dx e x f dx x x ϕϕϕϕϕ (6分)正规方程组为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡213121211e b a ( 8分) 解得⎩⎨⎧-=+-=.3012,166e b e a 故所求的最佳平方逼近多项式为.616)3012(e x e y -+-= ( 12分)七．解.9767267.09896158.09973978.0(21[161)(18++⨯+=≈⎰T dx x f ]8414709.0)8771925.09088516.09361556.09588510.0+++++ .9456908.0=. ( 6分))8771925.09361556.09767267.09973978.0(41[241)(14+++⨯+=≈⎰S dx x f ]8414709.0)9088516.09588510.09896158.0(2+++⨯+ =.9460833.0 ( 12分)。

工程数学单元测试参考答案工程数学单元测试参考答案一、选择题1.答案：B。

根据题意，两个向量相加的结果是另一个向量，所以选项B正确。

2.答案：C。

根据题意，两个向量的数量积等于它们的模长乘积与它们夹角的余弦值，所以选项C正确。

3.答案：A。

根据题意，两个向量的叉积是一个向量，所以选项A正确。

4.答案：D。

根据题意，两个向量的叉积的模长等于它们的模长乘积与它们夹角的正弦值，所以选项D正确。

5.答案：C。

根据题意，两个向量的数量积等于它们的模长乘积与它们夹角的余弦值，所以选项C正确。

二、填空题1.答案：2。

根据题意，由方程组的系数矩阵的行列式不等于0可知，方程组有唯一解，所以填2。

2.答案：(1, 2)。

根据题意，由方程组的系数矩阵的行列式等于0可知，方程组有无穷多解，所以填(1, 2)。

3.答案：-1/2。

根据题意，由方程组的系数矩阵的行列式等于0可知，方程组无解，所以填-1/2。

三、计算题1.答案：(2, -1)。

根据题意，对于二维向量的加法，将两个向量的对应分量相加即可，所以计算结果为(2+0, -1+(-1))=(2, -1)。

2.答案：(3, 0, -4)。

根据题意，对于三维向量的加法，将两个向量的对应分量相加即可，所以计算结果为(1+2, 0+0, (-1)+(-3))=(3, 0, -4)。

3.答案：(1, -1, -1)。

根据题意，对于两个向量的数量积，将两个向量的对应分量相乘再相加即可，所以计算结果为(1×1+(-1)×(-1)+(-1)×(-1))=(1, -1, -1)。

四、证明题1.答案：证明：设向量a=(a1, a2, a3)，向量b=(b1, b2, b3)，向量c=(c1, c2, c3)。

根据向量的数量积的性质，有：a·(b+c) = a1(b1+c1) + a2(b2+c2) + a3(b3+c3)= a1b1 + a1c1 + a2b2 + a2c2 + a3b3 + a3c3= (a1b1 + a2b2 + a3b3) + (a1c1 + a2c2 + a3c3)= a·b + a·c所以，向量的数量积满足分配律。

《工程数学》试题 第1页（共6页） 《工程数学》试题 第2页（共6页）成 都 大 学2011级《工程数学》结业试卷一、选择题（每小题1分，共20分）下列各小题的四个选项中有1个选项是正的，请你将正确选项前的字母选出来，多选和漏选均不得分1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则( C )A.P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 00lim (,)x x f x y →及 00lim (,)y y f x y →都存在 D ．00(,)(,)lim(,)x y x y f x y →存在2．若x y z ln =，则dz 等于（ D ）．ln ln ln ln .xxyy yy A xy+ln ln .xyy B xln ln ln .ln xxyy C yydx dy x+ln ln ln ln .xxyy yxD dx dy xy+3．设Ω是圆柱面222x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则(),,(=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f C ）．21200cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dzπθθθθ⎰⎰⎰212cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz πθθθθ⎰⎰⎰2122cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dzπθπθθθ-⎰⎰⎰21cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ⎰⎰⎰． 4．若1(1)n n n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ A ）．A ． 条件收敛B ． 绝对收敛C ． 发散D ． 敛散性不能确定5．曲线222x y z z x y-+=⎧⎨=+⎩在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ B ）.A. （-1，3，4）B.（3，-1，4）C. （-1，0，3）D. （3，0，-1）D .()()f x dx f x '=⎰.6．函数()21xf x x=+（ C ）. A ．在(),-∞+∞内单调增加； B ．在(),-∞+∞内单调减少；C ．在()11,-内单调增加；D ．在()11,-内单调减少.7．若()f u 可导，且()x y f e =，则（ B ）. A ．()x dy f e dx '=； B ．()x x dy f e e dx '=；C ．()x x dy f e e dx =；D ．()x x dy f e e dx '⎡⎤=⎣⎦.8．2|1|x dx -=⎰（ C ）.A ．0 ；B ．2 ；C ．1 ；D ．1-.9．方程sin y x '''=的通解是( A ).A .21231cos 2y x C x C x C =+++； B .21231sin 2y x C x C x C =+++；C .1cos y x C =+；D .2sin 2y x =.10.曲线xe y =与该曲线过原点的切线及y 轴围成的图形的面积为（ A ）． A ．1()x e ex dx -⎰ ； B ．1(ln ln )ey y y dy -⎰；《工程数学》试题 第3页（共6页） 《工程数学》试题 第4页（共6页）C ．1()e x xe xe dx-⎰； D ．1(ln ln )y y y dy-⎰．二、填空题（每空2分，共20分）1.设()lim 1tt x f x t →+∞⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0x ≠，则=)3(ln f 3 .2.设x e x sin +是()f x 的一个原函数，则()f 'x = sin xe x - ．3.曲线16623-+=x x y 的拐点坐标是()2,0- . .4.若02121A dx x-∞=+⎰，则A = 1π ．5．21lim (2)cos2x x x →-=- 0 .6．交 换ln 1(,)ex I dx f x y dy =⎰⎰的积分次序后， I =1(,)yeedy f x y dx ⎰⎰7．22z xy u -=，则u 在点)1,1,2(-M 处的梯度为→→→-+-k j i 2428．函数332233z x y x y =+--的极小值点是 1(1)!n n n xn +∞=-∑.9．已知0!nxn xe n ∞==∑，则xxe-= (2,2)10．220x y xyz +-=，则'(1,1)x z =-1一二题每题6分，三题8分。

中国矿业大学《高等数学》
2023-2024学年第一学期期末试卷
一．填空题：（每题2分，共18分）
1．则------------------
2．,则c-------------
3．已知，则a=-------------,b=---------------
4．,则x=a是---------类间断点。

5．若函数在处的自变量为对应函数增量
的线形主部dy=-1，则自变量x的始值-------------
6．函数y=的单调增区间是--------------，单调减
区间是------------------
7．a=------------,b=----------时，使曲线有拐点()
8．的定义域为--------------
9．若在x=1处连续，则a=-----------------
二．计算题：(每题4分，共48分）
1．试给出函数f(x)=1+sinx+cosx在[0,2]内的单调情况及单调区
间。

2．求
3．求
4．设，求
5．已知，求
6．已知,求
7．求
8．求f(x)=xln(1-x)的n阶马克劳林展开式。

9．求函数的单调区间，极值点与极值。

10．设，求
11．已知，求
12．
三．证明题：双曲线上任意点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于一个常数。

（15分）
四．应用题：已知n个实测数据如何选取x使误差平方
和为最小。

（19分）。

一、正误辨析：正确记“√”，错误记“╳”。

（每小题2分，共16分）1.×2. ×3. √4. √5. √6. √7. √8. √二、简答题（每小题3分，共12分）1)由两两相邻的点及其相关联的边构成的点边序列称为链。

2)连通的无圈的图中权值最小的树3)单纯型表检验数为正的最大者所对应的变量为换入变量4)以线性规划约束等式的系数矩阵A中任意m行m 列组成的m×m满秩子矩阵为基矩阵，与基矩阵相对应的变量称为基变量（basic variable），其余变量称为非基变量，令非基变量为零，可求得基变量的值，这样求出的解称为基本解，满足非负约束的基本解称为基本可行解。

三、计算题（共60分）1．（10分）x13=1,x22=1,x31=1,x44=1,z=1302.（5分）443．（10分）8分）×15+30×20 =1350。

（4分）4．（15分）1）写出标准形式；（5）2）用单纯形法求出最优解；（10）3）写出以上问题的对偶规划；（5）最优解X＝（16,32,0,0）；Z＝2565．（10分）(7分)v1到v8的最短路有两条：P18={v1,v3,v6,v8}及P18={v1,v3,v7,v6,v8},最短路长为21。

(3分)（10分）最优解（x13, x14, x21, x24, x32,x34）=（5，2，3，1，6，3）找出闭回路。

四、证明题及建模题（共12分）1.由于①不成立，所以对偶问题无可行解，由此可知原问题无最优解。

又容易知x=[0，1，0]是原问题的可行解，所以原问题具有无界解，即目标值无界。

2。

（一）一、单项选择题（每小题2分，共12分）1. 设四阶行列式bccad c d b b c a ddc b aD =，则=+++41312111A A A A （ ）.A.abcdB.0C.2)(abcd D.4)(abcd2. 设(),0ij m n A a Ax ⨯==仅有零解，则 （ ）(A) A 的行向量组线性无关; (B) A 的行向量组线性相关; (C) A 的列向量组线性无关; (D) A 的列向量组线性相关;3. 设8.0)(=A P ，8.0)|(=B A P ，7.0)(=B P ，则下列结论正确的是（ ）.A.事件A 与B 互不相容；B.B A ⊂；C.事件A 与B 互相独立；D.)()()(B P A P B A P +=4. 从一副52张的扑克牌中任意抽5张，其中没有K 字牌的概率为（ ）.A.552548C CB.5248 C.554855C D.5555485. 复数)5sin 5(cos5ππi z --=的三角表示式为（ ）A ．)54sin 54(cos 5ππi +-B ．)54sin 54(cos 5ππi -C ．)54sin 54(cos 5ππi +D ．)54sin 54(cos 5ππi --6. 设C 为正向圆周｜z+1|=2,n 为正整数，则积分⎰+-c n i z dz1)(等于（ ）A ．1；B ．2πi ；C ．0；D ．iπ21 二、填空题（每空3分，共18分） 1. 设A 、B 均为n 阶方阵，且3||,2||==B A ，则=-|2|1BA .2. 设向量组()()()1231,1,1,1,2,1,2,3,TTTt α=α=α=则当t = 时,123,,ααα线性相关.3. 甲、乙向同一目标射击，甲、乙分别击中目标概率为0.8， 0.4，则目标被击中的概率为4. 已知()1,()3E X D X =-=，则23(2)E X ⎡⎤-=⎣⎦______.5. 设)(t f 是定义在实数域上的有界函数，且在0=t 处连续，则=⎰+∞∞-dt t f t )()(δ .6. 函数)2)(1(15)(-+-=s s s s F 的Laplace 逆变换为()f t = .三、计算题（每小题10分，共70分）1. 设423110123A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, 而B 满足关系式2AB A B =+,试求矩阵B .2．当λ为何值时,⎪⎩⎪⎨⎧+=+++=++=+324622432132131λλλx x x x x x x x 无解,有解，并在有解时求出其解.3、设在15只同类型的零件中有两只是次品，在其中取3次，每次任取一只，作不放回抽样，以 X 表示取出次品的只数，求X 的分布律。

中国矿业大学2018-2019学年第 1学期《 高等数学A （1）》试卷（A ）卷答案供参考一、填空题（每题4分，共20分）1．21lim →∞⎛⎫++=+n n 2 ．2．123lim 21x x x x +→∞+⎛⎫ ⎪+⎝⎭e ．3．设0(),0≠=⎨⎪=⎩x f x a x 在0x =处连续，则=a 12．4．设21sin ,0(),0⎧<⎪=⎨⎪≥⎩x x f x xx x ，则(0)-'f 0 ．5．设2sin =y x ，则d y 2s i n x s i n x ．二、单项选择题(每题只有一个正确答案。

每题4分，共20分)1．设0>a ，则当0→x 是x 的（ C ）无穷小．A.等价；B.2阶；C.3阶；D.4阶2．2设 ()f x 在0x 的某个邻域有定义，且在点0x 处间断，则在点0x 必间断的函数是（ D）．A. ()f x ；B. 2()f x ；C. ()sinf x x ； D. ()sin +f x x3．设21,0()0,0x f x x x ≠=⎪=⎩，则()f x 在点0x =处（ C ）．A. 极限不存在；B. 极限存在不连续;C. 连续但不可导；D. 可导.4．函数()f x 在1x =处可导的充分条件是（ B ）．A. 0(cos )(1)lim cos 1x f x f x →-- 存在； B. 0(1sin )(1)lim x f x f x →-- 存在；C. 220(1)(1)lim x f x f x →+- 存在；D. (1)f -' 与 +(1)f '存在．5．设 ,0()sin 2,0⎧<=⎨+≥⎩a x e x f xb x x 在0=x 处可导，则（ A ）．A. 2,1==a b ；B. 1,2==a b ；C. 2,1=-=a b ；D. 2,1==-a b ．三、计算题（每题9分，共54分）1．(9分) 计算极限0(1cos 2)lim tan sin →--x x x x x． 解：0(1cos 2)lim tan sin →--x x x x x 201(2)2lim tan (1cos )→=-x x x x x 3022lim 12→=⋅x x x x 4= 2．(9分) 设函数1122()22x x f x +=-，指出其间断点并判断类型．解：()f x 的间断点为0,1==x x .因为 11022lim 122-→+=--xx x11110022122lim lim 122122++-→→-++⋅==--⋅x x x x x x 所以0=x 是()f x 的第一类间断点(跳跃间断点)；而 11122lim 22→+=∞-x x x故1=x 是()f x 的第二类间断点(无穷间断点).3．(9分) 设21arctan ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦y f x ，其中()f x 可导，求'y ． 解： 2211112arctanarctan 11⎛⎫⎛⎫⎛⎫''=⋅⋅⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+y f f x x x x 2211arctan arctan 1⎛⎫⎛⎫'=-⋅⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭f f x x x 4．(9分) 求曲线2cos cos ,sin x t t y t⎧=+⎨=⎩在对应于4t π=点处的法线方程.解：d cos d d d d d sin 2cos sin ==--y t y x t t x t t t当4t π=时，12'=+===x y y 法线斜率为111=-=k ， 那么该点处的法线方程为11)()22-=-y x . 5．(8分)arctan 5yx e=，求d d x y. 解：方程两边取对数，有 221ln()ln 5arctan 2+=+y x y x， 方程两边对y 求导，得2222d d 1d d 1⋅+-⋅=⋅+⎛⎫+ ⎪⎝⎭x x x y x y y y x y x y x ，整理得d d -=+x x y y x y6．(8分) 设函数2156y x x =-+，求其n 阶导数()n y ． 解：21115632==--+--y x x x x 那么()11(1)!(1)!(3)(2)++--=---n n n n n n n y x x 四、证明题（8分）设()f x 在[0,3]连续，且(0)(3)=f f ，证明：存在[0,2]ξ∈，使得()(1)ξξ=+f f ．证明：令 ()()(1),[0,2]=-+∈F x f x f x x显然 ()F x 在区间[0,2]上连续. 另外(0)(0)(1)=-F f f ，(1)(1)(2)=-F f f ，(2)(2)(3)=-F f f ，上面三式相加，有(0)(1)(2)(0)(3)0++=-=F F F f f ，由介值定理可知，存在[0,2]ξ∈，使得(0)(1)(2)()03ξ++==F F F F ， 也就是 ()(1)ξξ=+f f ，[0,2]ξ∈。

临沂大学2011—2012学年度第二学期《工程数学》A 卷答案及评分标准（适用于2009级机械设计制造及其自动化专业2+2、2011 级3+2专升本学生，开卷考试，时间120分钟）一、选择题：（共10小题，每小题2分，共20分）请将下列各题正确的答案填入下表中。

二、填空题：（共10空，每空2分，共20分）1、-125 2、-2 3、2 4、4 5、13a =，0b =6、0.187、0.18、67\49、 8 三、计算题：（共5小题，第1题8分，第2、3、4题各10分，第5题12分，共50分）1、解：对系数矩阵作初等行变换，有：110011*********~001010011100010⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得：1253540x x x x x x =--⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 4分 令251,0x x == 得：()11,1,0,0,0Tη=- 1分 令250,1x x == 得：()11,0,1,0,1Tη=-- 1分 基础解系为12,ηη 1分 通解为1122k k ηη+ k 1，k 2为任意常数 1分2、解：（1）()1f x dx +∞-∞=⎰所以2221cx dx +-=⎰则316c =2分 （2）()()22323016E X x f x dx x dx +∞+-∞-===⎰⎰2分()()22242312165E X x f x dx x dx +∞+-∞-===⎰⎰()()()22125D XE X E X =-=⎡⎤⎣⎦ （3）()(){}12||||15P X E X D X P X ⎧⎫-<=<=⎨⎬⎩⎭ 2分3、解：()12341122112202150215~203100111104000r A αααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4分一个最大无关组为：123,,ααα 2分41233αααα=+- 2分4、(1) 由()F x 右连续性得()()00F F +=，即0A B +=, 又由()1F +∞=得，1A =，解得1,1A B ==- 5分(2) ()22,0()0,xxe x f x F x -⎧⎪>'==⎨⎪⎩其它, 3分 (3) )2PX <<()2F F=-12ee --=- 2分5、解：（1）因为A~B ，故其特征多项式相同。

【题型】计算题【题干】计算下列行列式：；.【答案】【难度】3【分数】15【课程结构】00027001001【题型】计算题【题干】设，求矩阵及矩阵的秩；【答案】【难度】3【分数】15【课程结构】00027001002【题型】计算题【题干】已知，，求（1）；（2）.【答案】（1）；（2）．【难度】3【分数】15【课程结构】00027001001;00027001002【题型】计算题【题干】设,, 求.【答案】，，【难度】3【分数】15【课程结构】00027001001;00027001002【题型】计算题【题干】求矩阵的逆矩阵。

【答案】【难度】3【分数】10【课程结构】00027001002【题型】计算题【题干】解矩阵方程【答案】【难度】3【分数】15【课程结构】00027001002;00027001003【题型】计算题【题干】设为三阶方阵，是的伴随矩阵，且，求下列行列式：（1）；(2)； (3).【答案】 (1)（2）（3）【难度】5【分数】15【课程结构】00027001001;00027001002【题型】计算题【题干】设，，求使.【答案】【难度】4【分数】15【课程结构】00027001002【题型】计算题【题干】两批相同产品分别来自甲、乙两厂，甲厂产品6件，其中一等品2件，乙厂产品5件，其中一等品1件。

现从甲厂产品中任取一件混入乙厂产品中，再从后者中任取一件，求取得一等品的概率。

【答案】【难度】4【分数】10【课程结构】00027001004【题型】计算题【题干】已知随机变量的分布密度为，求⑴分布函数；⑵.【答案】⑴分布函数⑵【难度】4【分数】15【课程结构】00027001005【题型】计算题【题干】求解线性方程组【答案】同解方程组为方程组的解为：【难度】4【分数】15【课程结构】00027001003【题型】计算题【题干】某人去甲、乙、丙三国之一旅游。

注意到这三国在此季节内下雨的概率分别是，他去这三国旅游的概率分别是.据此信息计算：（1）他旅游遇上雨天的概率；（2）若他旅游遇上雨天，求此人去甲国旅游的概率。

中国矿业大学(北京)2019-2020学年第一学期《高等数学A1》试卷（A卷）参考解答一、填空题（每题3分，共30分）1.设()f x在x a=处可导，且()0f a>，则1()lim()nnf anf a→∞⎡⎤+⎢⎥=⎢⎢⎥⎣⎦()()f af ae'.2.曲线32535y x x x=-++的拐点为520(,)327.3.函数32(1)(1)xyx+=-的斜渐近线为5y x=+.4.函数11()1xxf xe-=-的第一类间断点为0x=，第二类间断点为1x=，连续区间为(,0)(0,1)(1,)-∞+∞.5.设函数2()(2019)(2020)f x x x x=--，则()f x'的零点个数为3.6.设()f x对任意x均满足(1)()f x a f x+=，且(0)f b'=，其中,a b为非零常数，则(1)f'=ab.7.积分x⎰8.设()f x在[,]a b上有二阶导数，且()0f x''<，则()f a'，()f b'，()()f b f ab a--三者从大到小的顺序为()()()()f b f af a f bb a-''>>-.9.k=3-时，定积分52991()sin()d0x k x k x++=⎰.10.sin()dxktx ttα=⎰与1sin()(1)dxtx t tβ=+⎰是0x→时的等价无穷小，则k=1e.二、求下列极限(每小题6分共12分)1.3tan(tan)sin(tan)limxx xx→-.解：3tan(tan)sin(tan)limxx xx→-=3tan(tan)[1cos(tan)]limxx xx→-231tan tan12lim.2xx xx→⋅==2.22limn→∞⎛⎫++.222≤≤所以222111n n ni i i===≤∑∑而21(1)(21)16lim lim3nn nin n n→∞→∞=++==,21(1)(21)16lim lim3nn nin n n→∞→∞=++==故221lim3n→∞⎛⎫+=.三、计算下列导数和微分（每小题6分共12分)1.设()f x 二阶可导，且22()lim{[()()]sin }t xF x f x f x t t t →∞=+-⋅⋅，求d ()F x .解：因为2()()sin()lim 22t x f x f x t t F x x xt t→∞+-=⋅⋅2()x f x '=，所以d ()[2()2()]d F x f x x f x x '''=+.2.设23221()(1)arctan1x f x x x x x -=+-+-，求)1('f ．解：根据导数的定义)1('f 2321121(1)arctan1()(1)1limlim11x x x x x f x f x x x x →→-+---+-==--32121lim(1arctan )214x x x x x π→-=++=++-.四、计算下列积分（每小题6分共12分)1.d x⎰t =,则d x ⎰2e d t t t=⎰2de tt =⎰2e 2e ttt C =-+C =-+.2.已知50sin ()d xtf x t tπ=-⎰，求0()d f x x π⎰.解：利用分部积分有()d f x x π⎰00()()d x f x x f x xππ'=-⎰50sin d x x x πππ=-⎰50sin d xx xxππ-⋅-⎰50sin ()d xx x xπππ=-⋅-⎰50sin d x xπ=⎰2502sin d x x π=⎰4216215315=⋅⋅⋅=.五、（8分）求星形线33cos (0)sin x a t a y a t ⎧=>⎨=⎩在4t π=时，对应点处的曲率.解：22d d 3sin cos d tan d d 3cos sin d yy a t tt y t x x a t t t'====--，4tan14t y ππ='=-=-.224d d()d sec 1d d 3cos sin 3cos sin d y x t ty x a t t a t tt -''===--，4413cos sin44t y a πππ=''==所以曲率322||23(1)y k ay ''=='+.六、（8分）设()y f x =由3222221y y xy x -+-=确定，试求()y f x =的驻点，并判断它是否是极值点.解：对3222221y y xy x -+-=两边关于x 求导得2320y y yy y xy x '''-++-=(※)令0y '=得y x =，代入原方程得32210x x --=，解之得唯一驻点1x =.将1x =代入原方程得1y =.再对(※)式两边关于x 求导得22(32)2(31)210y y x y y y y ''''-++-+-=于是得(1,1)102y ''=>，所以驻点1x =是()y f x =的极小值点.七、（9分）设()f x 在[0,1]上可导，且满足120(1)2()d f xf x x =⎰，证明：存在(0,1)ξ∈，使()()f f ξξξ'=-.证明：由积分中值定理得，存在11(0,)2ξ∈，使12110(1)2()d ()f xf x x f ξξ==⎰即11(1)()f f ξξ=.令()()F x xf x =，则()F x 在1[,1]ξ上连续，在1(,1)ξ上可导，且1(1)()F F ξ=，根据罗尔定理，至少存在一点1(,1)ξξ∈使()0F ξ'=，即()()0f f ξξξ'+=，故()()f f ξξξ'=-.八、（9分）设函数()y f x =在0x ≥时为连续非负函数，且(0)0f =.()V t 表示()y f x =，(0)x t t =>及x 轴所围图形绕直线x t =旋转一周所得的体积，求()V t ''.解：利用柱壳法d ()2()()d V t t x f x x π=-，所以0()2()()d tV t t x f x xπ=-⎰02()d 2()d t tt f x x x f x xππ=⋅-⎰⎰于是()2()d 2()2()tV t f x x t f t t f t πππ'=+-⎰故()2()V t f t π''=.。

《工程数学》试题（A 卷）（考试时间： 90 分钟）一、选择题（共30分，共10小题，每小题3分）1.函数293x x xy -++=的定义域是（ ）． A.{}3|-≥x x ； B.{}3|≤x x ；C.{}33|≤≤-x x ； D .{}33|≤<-x x . 2.函数x y =在0=x 处( ) ．A.连续且可导；B.不连续且不可导； C 不可导但连续；D.不连续但可导. 3.x x arctan lim +∞→=﹙ ）.A.0；B.不存在 ；C. 2π-； D.2π. 4.若11,1,22()3,1,1,1x x f x x x ⎧+<⎪⎪==⎨⎪>⎪⎩，则1lim ()x f x →=（ ）. A.2； B. 1； C.1-； D.不存在. 5.函数11)(-=x x f 的水平渐近线是（ ）. A. 1=x ； B. 1-=y ； C. 0=x ； D. 0=y . 6.函数()y f x =在x 处可导是该点可微的（ ）条件.A.必要；B.充分；C.充要；D.无关.7.若),)(b a x f 在（内二阶可导，且0)(,0)(<''<'x f x f ，则在),(b a 内函数（ ）． A.单调减，凸函数； B. 单调增，凸函数； C. 单调减，凹函数； D. 单调增，凹函数.8.函数22,1(),1x x f x x x >⎧=⎨≤⎩，在点1x =处（ ）.A.不连续；B.连续；C. ()2f x '=可导且；D.无法判断. 9.设函数()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，且()()f x g x ≥，则（ ）.A.()d ()d bbaaf x xg x x ≥⎰⎰ ； B.()d ()d bbaaf x xg x x ≤⎰⎰；C.()d ()d f x x g x x ≥⎰⎰ ； D.()d ()d f x x g x x ≤⎰⎰.10. 曲线x y x y ==与2所围成的平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为（ ）.A. ⎰-124d )(x x x π； B. ⎰-142d )(x x x π；C.⎰-12d )(y y y π； D. ⎰-12d )(y y y π.二、填空题（共20分，共5小题，每小题4分）1．函数654)(22+--=x x x x f ，则2=x 是_______间断点，3=x 是 _______间断点.2. 复合而成和是由函数函数 e arcsin x y =． 3．点()1,0是曲线b ax x y +-=233 的拐点，则=a ______,=b ______. 4. 设 ()f x 的一个原函数为1x，则=)(x f . 5. ⎪⎩⎪⎨⎧==tty x 2ee,=x y d d __________.2.已知y x x y '+=求,cos sin 22.三、计算题（共42分，共6小题，每小题7分）1.求x x x2)51(lim +∞→ 2.已知y x x y '+=求,cos sin 22. 3. 已知.d ,2cos e 2y x y x 求= 4.求x x x d e 2⎰. 5.求⎰exdx x 1ln .6.求由曲线2,,1===x x y xy 围成的平面图形的面积. 四、证明题（共8分，共1小题，每小题8分）1．证明不等式()()0,1ln 1><+<+x x x xx.《工程数学》试题（B 卷）（考试时间： 90 分钟）一、选择题（共30分，共10小题，每小题3分）1．函数242y x x x-++=的定义域是（ ）．.A {}2|-≥x x ； B.{}2|≤x x ；C.{}22|≤≤-x x ； D . {}22|≤<-x x2． 当0→x 时，下列变量为无穷小的是（ ）A.;cos x x B. ;sin xxC.;12-xD..sin 1x - 3．x x arctan lim ∞→=﹙ ﹚．A.0 ；B.不存在 ；C. —2π ； D.2π. 4．若⎩⎨⎧>-≤=1,21,)(2x x x x x f ，则1lim ()x f x →=（ ）.2;A .1;B .1;C - .;D 不存在5．函数xx f 1)(=的水平渐近线是（ ）. A. 1=x B. 1-=y C. 0=x D. 0=y6．函数()y f x =在x 处可导是该点连续的（ ）条件.;A 必要 .;B 充分 .;C 充要 .;D 无关7.若),)(b a x f 在（内二阶可导，且0)(,0)(///>>x f x f ，则在),(b a 内函数（ ）．A.单调减，凸函数B. 单调增，凸函数C. 单调减，凹函数D. 单调增，凹函数8．函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=1,21211,)(2x x x x x f ，在点1x =处（ ）A.连续且可导；B.不连续且不可导； C 不可导但连续；D.不连续但可导.9．设函数()f x 在[,]a b 上连续，则（ ）dx x f dx x f A b ab a⎰⎰≤)()(. dx x f dx x f B bab a⎰⎰≥)()(.dx x f dx x f C b ab a⎰⎰=)()(. dx x f dx x f D bab a⎰⎰>)()(.10. 曲线12==x x y 与及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为（ ） A. ⎰14dx x πB. ⎰102dx x π C. ⎰10ydy π D. ⎰12dy y π二、填空题（共20分，共5小题，每小题4分）1．函数231)(22+--=x x x x f ,则2=x 是_______间断点，1=x 是 _______间断点. 2. 复合而成和是由函数函数 sin x e y =． 3．点（1，3）是曲线y=23bx ax + 的拐点，则a=______,b=______. 4. 设 ()f x 的一个原函数为x sin ，则=)(x f .5. ⎩⎨⎧==3x bt y at ,=dxdy__________. 三、计算题（共42分，共6小题，每小题7分）1.x x x2)31(lim +∞→2.已知')),ln(ln(ln y x y 求=.3. 已知.dy ,2sin 求x x y =4.求dx xe x ⎰.5.求⎰-224dx x .6.求由曲线0,1,2===y x x y 围成的平面图形的面积.四、证明题（共8分，共1小题，每小题8分）1．证明：当x x x 211,0+>+>时一、单项选择题（共30分，共10小题，每小题3分）1、D2、C3、D4、B5、D6、C7、A8、A9、A 10、B 二、填空题（共20分，共5小题，每小题4分）1、可去（或者第一类）；无穷（或者第二类）2、x u e y u arcsin ,==；3、a=0,b=1；4、21x-；5、t2e . 三、计算题（共42分，共6小题，每小题7分）1..7(5())5111(lim (3()5111(lim )51(lim 101051)51(102分）分）分）e x x xx x x x x x =+=+=+∞→∞→∞→ 2..7(sin 2cos sin 24()(sin )(sin sin 22'22''分）分）x x x x x x x x y -=-= 3..7()2sin 2(cos 23(2cos 2cos 222分）分）dx x x e x d e xde dy x x x -=+= 4. C e x d e dx e x dx xe x x x x +===⎰⎰⎰2222215)((213()(212'2分）分）.（7分） 5.1ln ex xdx ⎰=211ln 2exdx ⎰（3分）=2221111111ln 2244ee x x x dx e x -⋅=+⎰(7分).6..72ln 235(|)ln 21(3()1(21221分）（分）分）-=-=-=⎰x x dx x x S 四、证明题（共8分，共1小题，每小题8分）1、证：令f(x)=ln(1+x), 在[]x 0，上连续,在（0，x ）内可导， )(x f '=x11+,（2分） 由拉格朗日中值定理，在（0，x ）内至少存在一点ξ，使得ξ+=-+-+110)01ln()x 1ln x （（4分） 有 ln(1+x)=ξ+1x ,又 0<x <ξ, 1<1+x +<1ξ, x xx x <+<+ξ11,（7分） 所以，x x xx<+<+)1ln(1 （8分）一、单项选择题（共30分，共10小题，每小题3分）1、D2、C3、B4、B5、D6、B7、D8、C9、A 10、A . 二、填空题（共20分，共5小题，每小题4分）1、无穷（或者第二类）；可去（或者第一类）2、x u e y u sin ,==；3、29,23=-=b a ；4、x cos ；5、abt 23.三、计算题（共42分，共6小题，每小题7分）1..7(5())3111(lim (3()3111(lim )31(lim 6631)31(62分）分）分）e x x xx x x x x x =+=+=+∞→∞→∞→ 2..7(1ln 1)ln(ln 16()(ln ln 1)ln(ln 13())(ln(ln )ln(ln 1'''分）分）分）xx x x x x x x y ===3..7()2cos 22(sin 3(2sin 2sin 分）分）dx x x x x xd xdx dy +=+=4. .7(4()(''分）分）C e xe dx e x xe dx ex dx xe x x x x x x +-=-==⎰⎰⎰5.令2,2;0,0,cos 2sin 2π======t x t x tdt dx t x 当当则.（1分）⎰-224dx x =tdt ⎰202cos 4π（3分）=⎰+20)2cos 1(2πdt t （4分）=20|)2sin 21(2πt t +(6分)=π.（7分））6..7315(|313(10312分）（分）分）===⎰x dx x S 四、证明题（共8分，共1小题，每小题8分）1、证：令x x x f 211)(+-+=, )(x f '=02x1121>+-+x ,0>x （3分）0)0()(,0],0[)(=>>f x f x x x f 单调递增，在，（6分） ,0211)(>+-+=x x x f 即x x 211+>+.（8分）。

工程数学试题B一、单项选择题（每小题3分，本题共21分）1.设B A ,为n 阶矩阵，则下列等式成立的是（ ）．(A) BA AB = (B) T T T )(B A AB =(C) T T T )(B A B A +=+ (D) AB AB =T )(2.设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4321432143214321A ，则=)(A r （ ）． (A) 0 (B) 1(C) 3 (D) 43.设B A ,为n 阶矩阵，λ既是A 又是B 的特征值，x 既是A 又是B 的特征向量，则结论（ ）成立．(A) λ是B A +的特征值 (B) λ是B A -的特征值(C) x 是B A +的特征向量 (D) λ是AB 的特征值4.设A B ,为随机事件，下列等式成立的是（ ）．(A) )()()(B P A P B A P -=- (B) )()()(B P A P B A P +=+(C) )()()(B P A P B A P +=+ (D) )()()(AB P A P B A P -=-5.随机事件A B ,相互独立的充分必要条件是（ ）．(A) )()()(B P A P AB P = (B) )()(A P B A P =(C) 0)(=AB P (D) )()()()(AB P B P A P B A P -+=+6.设)(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有=≤<)(b X a P （ ）．(A) ⎰b a x x F d )( (B) ⎰ba x x f d )( (C) )()(a fb f - (D) )()(b F a F -7. 对来自正态总体X N ~(,)μσ2（μ未知）的一个样本X X X 123,,，∑==3131i i X X ，则下列各式中（ ）不是统计量．(A) X (B) ∑=31i i X(C) ∑=-312)(31i i X μ (D) ∑=-312)(31i i X X 二、填空题（每小题3分，共15分）1.设B A ,均为3阶矩阵，2=A ，3=B ，则=--1T 3B A ．2.线性无关的向量组的部分组一定 ．3.已知5.0)(,3.0)(=-=A B P A P ，则=+)(B A P ．4.设连续型随机变量X 的密度函数是)(x f ，则=)(X E ．5.若参数θ的估计量θˆ满足θθ=)ˆ(E ，则称θˆ为θ的 估计．三、计算题（每小题10分，共60分）1．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3021A ，求A 的特征值与特征向量． 2.线性方程组的增广矩阵为求此线性方程组的全部解．3.用配方法将二次型322322213216537),,(x x x x x x x x f +++=化为标准型，并求出所作的满秩变换．4.两台车床加工同样的零件，第一台废品率是1％，第二台废品率是2％，加工出来的零件放在一起。

11-12学年第一学期《工程数学A 》试题（A ）卷一、填空题（每空4分，共40分）1) ()()f t u t =的傅氏变换为 .2) 函数3232()(3)f z my nx y i x xy =++−为解析函数，则m = .3) 201lim(sin d )t t t t i t t j e k →++=∫ . 4) 矢量场k z j y i x A ++=从下向上通过有向曲面22z x y =+(02)z <<的通量为 .5) 函数()sin t f t e t =的拉氏变换为 .6) 矢量场222A xi x y j yzk =−+ 在点)1,2,1(−M 处散度为 . 7) 设()tan f z z =则Res[(),]2f z π= . 8) 函数20()sin 2d t t f t te t t −=∫的拉氏变换为 . 9) C 是直线OA ，O 为原点，A 为i +2, 则d C z z =∫ .10) 复数ln i i = .二、（10分）求矢量场22()A x i y j x y zk =+++ 通过点)1,1,2(−M 的矢量线方程. 三、（10分）求常系数二阶线性微分方程t e t y t y t y −=+′−′′2)()(2)(满足条件0)0(,0)0(=′=y y 的解.四、（10分）求函数222()(413)s F s s s +=++的拉氏逆变换.五、（10分）证明矢量场k yz x j y z x i xyz A 22222)cos (2+++=为保守场，并求积分∫⋅B Al A d ，其中(1,0,1),(2,1,3)A B . 六、（10分）将函数21()(1)f z z z =−在圆环域1|1|z <−<+∞展开成洛朗级数. 七、（10分）用留数计算积分201d 5cos t tπ+∫.。