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高等数学方法讲解(中国矿业大学 王升瑞)

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高数 泰勒公式(教学内容)

高数 泰勒公式(教学内容)

4 3x
2
3 4
x
1 4
196
x2
o(
x
2
)
原式
lim
x0
1 2
196
x2 o(x2)
x2
优学课堂
9 32
42
1
例4
设
f
(x)
1
x
1 x
e1
x
，求
lim
x0
f (x).
解
ln
f
(x)
1 x
ln(1
1
x) x
1
ln(1 x) x2
x
ln 1 x x 1 x2 o x2 2
其中
Rn (x)
(1)n xn1
n 1 (1 x)n1
(0 1)
优学课堂
39
三、泰勒公式的应用 1. 利用泰勒公式求极限
例1 计算
解: ex2 1 x2 1 x4 o(x4 ) 2!
cos x 1 x2 x4 o(x5) 2! 4!
ex2 2cos x 3 ( 1 2 1 )x4 o(x4 ) 2! 4!
Rn (n
(1) Rn (x0 ) 1)(1 x0 )n 0
(n
Rn(2 ) 1)n(2
x0
)n1
(2 在 x0 与 1 之间)
(n
Rn(n) (n ) Rn(n) (x0 ) 1)2(n x0 ) 0
Rn(n1) ( )
(n 优学课堂 1) !
( 在 x0 与xn 之间)
7
Rn (x) f (x) pn (x)
优学课堂
(0 1)
44
2. 利用泰勒公式证明方程根的存在性

名师推荐BB64平面与直线

名师推荐BB64平面与直线
解：设所求方程为： x y z 1 abc
a : b : c 1: 2 : 3 b 2a, c 3a
又知平面过点（－1，0，－3）于是有
1 0 3 1 a 2, b 4, a 2a 3a
所求平面方程为： x y z 1 246
c 6
12
4、两平面的夹角 两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.
设平面∏1的法向量为 n1 ( A1 , B1 ,C1)
平面∏2的法向量为 n2 ( A2 , B2 ,C2 )
则两平面夹角 的余弦为
2
n2
n1
cos n1 n2
二、平面的一般方程
将平面的点法式方程 ①
展开得 A x B y Cz (A x0 B y0 C z0 ) 0
令
D ( A x0 B y0 C z0 )
得平面方程
Ax B y C z D 0 ② ( A2 B2 C2 0)
显然方程②与点法式方程①等价, 因此方程②

M0 (x0, y0, z0 )
和它的一方向向量 S m, n, p 直线L的位置就完全
确定了。
25
建立直线 L 的点向式方程
已知直线上一点 M 0 (x0 , y0 , z0 )和它的方向向量
则 故有
设直线上的动点为 M (x, y, z)
s
x x0 y y0 z z0
例如, 当 m 0, n 0, p 0 时,
当
直线方程为 x x0 0

y
n
y0
z z0 p
m n 0, p 0 时, 直线方程为

BBD33分部积分法

BBD33分部积分法

2
2
(111x2)dx
1x2arctaxn1(xarctxa)nC
2
2
11
例7. 求 xlnxdx.
解: 原式 = ln x d x2 . 2
1 x2 ln x 1 x2 1dx
2
2x
1x2lnx1x2C
2
4
12
例8：求 x2lnx(1)dx 解：原式＝13ln(x1)dx3 1 3[x3lnx (1)x3x1 1d]x 1 3x3lnx (1)(x3x 11 )1dx 1 3 x 3ln x 1 () [x1 1 (x 2 x 1 )d ] x
例11 求 cos(xl)ndx
解: 令 u cox )sd ( lv d nx
原式 xcox s) (lx[ nsinx)(1 x ]d ln x x co x ) sx s (l ix n ) ( clo n x )d s( xln
原式
xcosx)(sln inx)( lcn
等，换元积分法就不一定有效了。 本节中，我们将利用两个函数乘积的微分或导数 公式推得另一个求积分的基本方法 ——分部积分法
3
分部积分法
设函数 uu (x) vv(x)具有连续导数
由微分公式 du vvdu u dv
两边同时积分得: u vvduuvd
udvuvvdu 分部积分公式
1 3 (x 3 1 )ln x 1 ( ) 1 3 x 3 1 2 x 2 x c
小结：若被积函数是幂函数与反三角函数或对数函 数的乘积，即有
P P nn((xx))lana rc( xsxb)iddnxx dvPn(x)dxuu

arcsinx ln(axb)

中国矿业大学《高等数学》-第七章

中国矿业大学《高等数学》-第七章
书中给出的伯努利数在很多地方有用,
伯努利(1654 – 1705)
瑞士数学家,
位数学家.
标和极坐标下的曲率半径公式,
1695年
版了他的巨著《猜度术》,
上的一件大事,
而伯努利定理则是大数定律的最早形式.
年提出了著名的伯努利方程,
他家祖孙三代出过十多
1694年他首次给出了直角坐
1713年出
二阶常系数齐次线性微分方程:
和它的导数只差常数因子,
代入①得
称②为微分方程①的特征方程,
1. 当
时, ②有两个相异实根
方程有两个线性无关的特解:
因此方程的通解为
( r 为待定常数 ),
①
所以令①的解为
中国矿业大学（北京）
高等数学
微分方程
第七章
— 积分问题
— 微分方程问题
推广
微分方程的基本概念
第一节
微分方程的基本概念
引例
几何问题
物理问题
第七章
引例1.
一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的
解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:
①
(C为任意常数)
由 ② 得 C = 1,
练习:
解法 1 分离变量
即
( C < 0 )
解法 2
故有
积分
( C 为任意常数 )
所求通解:
积分
内容小结
1. 微分方程的概念
微分方程;
定解条件;
2. 可分离变量方程的求解方法:
说明: 通解不一定是方程的全部解 .
有解
后者是通解 , 但不包含前一个解 .

中国矿业大学《高等数学》课件-第六章

中国矿业大学《高等数学》课件-第六章
相应于 0≤≤2
一段的弧长 .
解:
三、已知平行截面面积函数的立体体积
设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),
则对应于小区间
的体积元素为
因此所求立体体积为
上连续,
特别 , 当考虑连续曲线段
一周围成的立体体积时,
有
当考虑连续曲线段
绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,
有
例13. 计算由椭圆
元素的几何形状常取为:
条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等
近似值
精确值
四、 旋转体的侧面积 (补充)
三、已知平行截面面积函数的 立体体积
第二节
一、 平面图形的面积
二、 平面曲线的弧长
定积分在几何学上的应用
第六章
一、平面图形的面积
1. 直角坐标情形
设曲线
与直线
及 x 轴所围曲
绕 y 轴旋转而成的体积为
注意上下限 !
注
注
分部积分
(利用“偶倍奇零”)
柱壳体积
说明:
柱面面积
偶函数
奇函数
例15. 设
在 x≥0 时为连续的非负函数, 且
形绕直线 x＝t 旋转一周所成旋转体体积 ,
证明:
证:
利用柱壳法
则
故
例16. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 ,
并
与底面交成 角,
解: 如图所示取坐标系,
则圆的方程为
垂直于x 轴 的截面是直角三角形,
其面积为
利用对称性
计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .
思考: 可否选择 y 作积分变量 ?
此时截面面积函数是什么 ?
如何用定积分表示体积 ?

高等数学-幂级数

高等数学-幂级数
高等数学
第二十七讲
主讲教师: 王升瑞
1
习题课
第十一章
级数的收敛、求和与展开
一、数项级数的审敛法 二、求幂级数收敛域的方法 三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数和付式级数展开法
2
一、主要内容
un为常数
常数项级数

un
un为函数 un (x)
n1
取 x x0
函数项级数
一 般 项 级 数
(R, R) 内可积,且对 x (R, R) 可逐项积分.

幂级数 an xn 的和函数 s( x) 在收敛区 n0
间 (R, R) 内可导, 并可逐项求导任意次.
21
7、幂级数展开式
(1) 定义
如果 f ( x) 在点 x0 处任意阶可导,则幂级数

n 0
f
(n) ( x0 n!
)( x

x0
)n
称为
f (x) 在点
x0 的泰勒级数.
f (n) (0)x n 称为
n0 n!
f (x) 在点
x0 的麦克劳林级数.
22
(2) 充要条件
定理 f ( x) 在点 x0 的泰勒级数,在 U ( x0 )内
收敛于
f (x)
在
U ( x0 )
内
lim
n
Rn
(
x)

0.
i 1
级数的收敛与发散
常数项级数收敛(发散)

lim
n
sn
存在(不存在).
4
收敛级数的基本性质
性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数,
敛散性不变. 性质2: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.

高数 函数的单调性与极值

高数 函数的单调性与极值

(x) (x)
2xarcx tlan 1n (x2)2arctxan
式中 在 0 与 x 之间，由于 arctan与 x 同号，
则无论 x为什么值，总有 fБайду номын сангаас(x)0
则不等式 2xarcxt aln 1 (x2) 成立
9
例5 证明 f (x) (1 1)x 在 (0, ) 内单调增加。
x 证明 此函数为幂指函数，两边取对数
定理2告诉我们，可导函数的极值点必定是驻点， 但驻点未必是极值点。寻求函数的极值点首先要找 y f (x) 的驻点以及不可导的点，再判断其是否为
极值点。
14
定理 3 (极值第一判别法)
设函f数 (x)在x0的某邻域,内 且在连 空心续 邻域 内有导数, 当x由小到大x通 0时,过
(1) (2)
f f
高等数学
第十八讲
主讲教师: 王升瑞
1
第九节
第二章
函数的单调性与极值
一、函数的单调性 二、函数的极值及其求法
2
一、 函数的单调性
定理 1. 设函数 f (x) 在开区间 I 内可导, 若 f(x)0
(f(x)0),则 f (x) 在 I 内单调递增 (递减) .
I 称为单调递增(递减) 区间。
证: 无妨设 f(x) 0 ,x I,任取 x 1 ,x 2 I(x 1 x 2 )
例4 求证 2xarcxt aln 1 (x2) 证法一：设 f(x)2xarcx tlan 1n (x2) f (0)0
f(x)2arcx t1 a 2x x n 21 2x x22arcxtan
当 x0 时 f(x)0 f(x)
f(x)f(0)0
当 x0 时 f(x)0 f(x)

高等数学方法函数极限(中国矿业大学王升瑞)

高等数学方法函数极限(中国矿业大学王升瑞)

B. 1个可去间断点，1个无穷间断点； C. 2个跳跃间断点； D. 2个无穷间断点。
解:只有两个间断点 x 0, x 1
lim
x 0
ln x x 1
sin x lim
x 0
x ln x x 1
0
x 0 为可去间断点；
sin1
x 1
lim
ln x x 1
sin x sin1lim
例2. 设
其中 的奇偶性.
满足 ( x y ) ( x) ( y ) , 判断
1 ,则 解: 令 g ( x) x a 1 2 1
故
1
g (x) 为奇函数 . 又令 y = 0 ,得 ( x 0) ( x) (0) , 故 (0) 0 ,
第二讲 研究函数与极限
的
基本方法
1
函数 极限 连续
研究的对象 研究的工具 微积分学的基础 研究的桥梁
(英 1642-1727)
(德1646-1716)
(法1789-1857)
参考 : 第一章 (第一节, 第二节)
2
1-1 函数和连续的概念、性质和应用
一. 方法指导
1. 对函数的理解和讨论 (1) 定义
而
1 ax 1 g ( x) g ( x) x 0 a 1 2 1 a x 2
0 (0) ( x ( x)) ( x) ( x)
9
故
(x) 为奇函数 . 因此 f ( x) ( x) g ( x) 为偶函数 .
例3. 求常数k及函数g(x),使函数
9 x 4,
x0 0 x 1 x 1
11

方法下1

方法下1



, 为不全为 0 的任意实数
(2)点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 到平面 ：A x+B y+C z+D = 0 M0 的距离：
M 1M 0 n d n

d
n
M1
7
(3) 点到直线的距离
直线 :
M 0 ( x0 , y 0 , z 0 )
点
到 L 的距离
L
x 1 1 y 3 1 z 2
相交的直线方程.
解: 设两直线的交点B A B x t 1 S AB t , t 3, 2t 4 B : y t 3 L1 n 3, 4, 1 z 2t L // S n S n 0 t 16 B15, 19, 32 S n 3t 4t 3 2t 4 0 x 1 y z 4 AB 16, 19, 28 所求直线L: 16 19 28
5
1. 向量代数方法
以向量为工具, 用代数方法研究 几何问题 模 , 方向余弦, 单位向量
加法 ,数乘 , 点积 , 叉积 , 混合积 (P205) 平行, 垂直, 夹角, 共线, 共面, 投影 (P204 及P206 )
优点: 与坐标系选择无关, 推理简捷方便
• 向量的概念
• 向量的运算 • 向量间的关系
若不是 , 求它们间的距离 .P222例9 解法有4种 解: 已知二直线的方向向量分别为 s 1 1 , 2 , 1 , s 2 1, 3 , 2 , 且分别过点 A( 0 ,1, 1) , B( 0 , 4 , 1) , 1 2 1 L1 [ s 1 s 2 AB ] 1 3 2 5 0 A s1 0 5 0 所以 L1 , L2不共面 , 它们之间的距离为 B s1 s2 AB s2 5 5 L2 d Prjs1s2 AB 3 s1 s2 26 3 3

BBD3_7定积分的计算方法

BBD3_7定积分的计算方法
2
0
ex −1 dx
= 2 1+ ln x
e
1
= 2( 3 −1)
注：用凑微分法完成的积分，上、下限不必变动。 引入新的积分变量后才需要变换积分的上、下限。
7
偶倍奇零 (1) 若 (2) 若 证:
a 0
则∫ f (x) dx = 2∫ f (x) dx
则∫ f (x) dx = 0
−a
a
a
a−a aπ源自2. I = ∫解
2
I =∫
−1 1
x xdx x x d x +∫
2
5 2 2 2 =[ x ]
−1
1
x x d x = 0+ ∫
3 2 x2 d x 1
5
2 = (4 2 −1) 1 5
10
例8
cos x dx 求 ∫π x − 1+ e 4
4
a
π
解 利用对称区间积分计算公式
∫ f (x)d x = ∫ [ f (x) + f (− x)]d x
12
例1. 计算 解: 原式 = x arcsin x
1 2
= =
例2. 计算 解: 原式=
π
12
+∫
1 2
0 0 d (1− x2 )
2 1− x2
2
−∫
1 2
dx 1− x2
x
0
π
12
+ 1− x
3 = + −1 0 12 2
e2 1
13
1 2
π
例3: 计算
2
Ι =∫
4 3
0
x2 +1 dx

【2019年整理】中国矿业大学徐海学院高等数学——方法上1

【2019年整理】中国矿业大学徐海学院高等数学——方法上1

cos2 x 1 cos 2x 2
1 tan2 x sec2 x
1 cot 2 x csc2 x
22
sin sin 2sin cos
2
2
sin sin 2cos sin
2
2
tan( ) tan tan 1 tan tan
cos cos 2cos cos
证明: 设
h( ) f ( ) g( )
C[0,
2
],
又 h(0) 0,
h(
2
)
0
,
（转
2
后，对角线互换）。
由连续函数零点定理可知
,
存在 0
(0,
2
),
使 h(0 ) 0 即 f (0 ) g(0 )
又知 f (0 )g(0 ) 0 , 所以 f (0 ) g(0 ) 0
思考: 对长方形板凳的稳定问题如何考虑?
提示：相邻两脚之和，并旋转1800。
20
二 .几种常用的分析问题的方法 (P444-455)
1. 简化方法 2. 直观分析法
3. 逆向分析法 4. 类比法
1. 简化方法 复杂问题
简单问题
分解法 变换法 换元法 递推法 转化法
21
常用几个的初等函数公式
a2 b2 2ab
ln ab ln a ln b ab eblna
28
拉格朗日中值定理
y
y f (x)
满足:
(1) 在区间 [ a , b ] 上连续 (2) 在区间 ( a , b ) 内可导
o
a
bx
至少存在一点
使 f ( ) f (b) f (a).
证: 问题转化为证 f() f(bb) af(a) 0
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3
华罗庚 （1910 - 1985）
“聪明在于勤奋, 天才在于积累”
“由薄到厚 ,由厚到薄” “学而优则用, 学而优则创” 注意问题：认真听课，扼要记录， 多做题目，总结规律。
4
哈佛图书馆的训诫
此刻打盹，你将做梦，此刻学习，你将圆梦；
学习时的痛苦是暂时的， 未学到的痛苦是终身的；
学习这件事，不是缺乏时间， 而是缺乏努力；
f((x) f (b) f (a ) x (x) )
b a
例2 证明拉格朗日中值定理时如何设辅助函数? 分析: 由图可知 , 设辅助函数
y f (x)
y
f (b) f (a) F ( x) f ( x) xC ba o a (C 为任意常数 )
又知 f ( 0 ) g ( 0 ) 0 , 所以 f ( 0 ) g ( 0 ) 0 思考: 对长方形板凳的稳定问题如何考虑? 提示：相邻两脚之和，并旋转1800。
19
2
二 .几种常用的分析问题的方法 (P444-455)
1. 简化方法
1. 简化方法 复杂问题
2. 直观分析法
o
a
0
b x
f (b) f (a ) . 使 f ( ) ba f (b) f (a )
ba 显然 , 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且 (a) b f (a) a f (b) (b) , 由罗尔定理知至少存在一点 ba 思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 即定理结论成立 . 证毕 26
f ( 2a x ) x 2(b a) f (x) 因此 f (x) 是周期为 2(b a ) 的函数 .
25
o x
2a x
x
拉格朗日中值定理
y
y f (x)
满足: (1) 在区间 [ a , b ] 上连续
(2) 在区间 ( a , b ) 内可导 至少存在一点 证: 问题转化为证 f ( ) 作辅助函数
24
显然可猜想
例1. 设定义在实数域上的函数 f (x) 的图形关于 直线 x a 及 x b (b a)对称 , 试证 f (x) 为周期 函数 . ( P.447 例4 ) y xa xb 证: x ( , ) , f (x) 有
f ( x 2(b a))
6
高等数学方法
（上）
科学方法是打开科学殿堂大门的钥匙 ,
是由必然王国通向自由王国的桥梁。 数学方法是数学的灵魂
7
参
考
书
张晓宁、李安昌：
高等数学方法
中国矿业大学出版社，2002.
8
目 录
第一讲 高等数学中的分析问题和解决问题 方法 第二讲 研究函数与极限的基本方法 第三讲 导数的计算方法及微分中值定理应用 第四讲 导数应用的方法 第五讲 积分学的概念、性质和不定积分的 计算法 第六讲 定积分的计算、证明和解应用问题 的方法 第七讲 试题类型及解题方法分析
v lim
v a lim t 0 t 抽象: 定义导数 转动规律 (t ) 平 均 角速度 lim t 瞬时 t 0 y q(t 瞬 时 yq lim ) 平 均 电流强度 I lim q 电量函数 x0 x t 0 t m ( 描述变化率问题 ) lim x 质量分布 m m(x) 平均线密度 x0 lim y k 光滑曲线 y y (x) 割 线 斜 率 切线 x0 x 17
y x.
29
2、求曲线 y 解
(1 x) x
3 2
的斜渐近线方程。 2005考研
3 2
3 y (1 x) 1 2 k lim lim lim (1 ) 1 x x x x x x x
(1 x) b lim ( y kx ) lim ( x) x x x
任取一个实数
x, 它关于直线 x a 的对称点为 2a x o x x a (a x) 2a x, x 2(b a) 而 2a x 关于直线 x b 的对称点为
b (b (2a x)) x 2(b a),
因此有
f ( x) f (2a x) f ( x 2(b a)) f (x) 是周期为 2(b a) 的函数 .
x
28
例如 , 求曲线
解:
a
f ( x) lim x x
x
f ( x) x e 的斜渐近线。 1
1 x2
lim e 1
x2
x
b lim [ f ( x) x ]
lim x [ e
1 x2
lim x
x
x
1]
1 2 0 x
所以曲线有斜渐近线
9
前言
一. 为什么要学“高等数学方法 (参考前言第一段) 1. 科学方法的重要性 科学 是什么 , 为什么: 反映自然、 社会、思维的客观规律的分科的 知识体系。 技术 做什么 , 怎么做: 进行物资资料生产所凭借的方法和能力。 科学方法 桥梁与钥匙。
10
2. 数学方法的含义
思维的体操
(思路)
数学 科学的语言
物理模型 数学模型 求解和分析 许多物理中的概念都要借助于高等数学中的
数学结构才能说的清楚。
14
例如 , 为什么用 "
N " 及 " " 语言定义极限

?
• 用圆内接正多边形面积逼近圆面积A . 圆内接正n边形的面积为
An n r sin
2

n
cos
o
n
0 ,
精度要求 记作
1. 掌握数学内容和数学方法相结合； 2. 重视分析问题和解决问题的方法； 3. 学习要纵横结合 , 着眼于提高数学素养。 12
第一讲 高等数学中的
分析问题
和
解决问题
方法
13
一. 数学模型及数学建模方法 ( P511 , 第一节 ) 数学模型 客观实际问题内在规律性的数学 结构. 具有形式化、符号化、简洁化的特点. 是一种高度抽象的模型. 有狭义和广义两种解释 . 数学建模方法 • 实验归纳法 • 理论分析法 ( P514 )
(表达)
(应用)数学方法对来自学规律的认识思维方法解题方法
生活的需要
(是数学的灵魂)
11
二. “高等数学方法”的结构与学习方法 第一部分 (第一至第七章) 每节包含: 方法指导, 实例分析, 相关问题 第二部分 (第八至第十一章) 包括综述和提高 (从古典数学向近代数学靠拢 ) 学习方法:
(参考前言第二、三段)
找出 当 N (正整数) ,
n (n 3 , 4 , 5 ,)
边数足够多
r
n N 时, 有 An A ,
可无限逼近

n
n
lim An A . A lim
n
利用极限知识可求出 :
r
2 sin

cos n r

2
15
n
• 测量圆面积
A r
2
直接观测量为r 间接观测量为A.
都可使 F( x ) 在 [ a , b ] 上

b
x
y
f (b ) f ( a ) ba
xC
满足罗尔定理条件 , 因此所设辅助函数不唯一 .
27
例3.如何求函数 y f (x) 的斜渐近线 y a x b ?
y ax b 分析: 由图可知, 若曲线 y y f (x) 有斜渐近线 y a x b , y f (x)
说明 1. 与
具有相同的极值点 , 故可用后者代替前者讨论极值
问题与单调性问题 . 2. 有些复合函数的单调性问题 , 可利用组成它的简单
函数链的单调性传递得出 . 如 P445例1.
21
例2.
y sin 4 x cos 4 x , 求 y (n) . 设
提示：将函数化为
y sin x cos x 2sin x cos x 2sin x cos x 1 2 1 cos 4 x 2 2 1 2sin x cos x 1 sin 2 x 1 2 4
s t 0 t
速度函数 v v(t )
平 均 加速度 瞬时


再如 , 椅子稳定问题 (P515～P516)
假设: 四条腿一样长 ; 地面为连续曲面 . 建模: 设 A , C 两脚与地面的距离之和为 g ( ) C[0 , ] 2 B , D 两脚与地面的距离之和为 f ( ) C[0 , ] 2 不妨设 g (0) 0 , f (0) 0 ,
则必有 lim [ f ( x) (a x b)] 0
x
f ( x) 从而 lim x x x
x
lim

o x b 0 a x f ( x) b a x 0 x
x
a
f ( x) lim x x
,
b lim [ f ( x) a x ]
4 4 2 2 2 2
则
y
( n)
4
n 1
cos( 4 x n ) 2

22
2. 直观分析法
• 通过特例或图形，寻找规律、方法和结论. • 与几何形体有关的问题应尽量画图寻求启示. • 有关几何应用画出图形找几何关系 . • 填空题和选择题可用增强条件的方法找结论.
23
例1. 设定义在实数域上的函数 f (x) 的图形关于 直线 x a 及 x b (b a)对称 , 试证 f (x) 为周期 函数 . ( P.447 例4 ) y xa xb 直观分析: f (x)