期权定价二叉树多步推导

2014年注会考试《财务成本管理》知识点：二叉树期权定价模型知识点：二叉树期权定价模型
一、单期二叉树模型
关于单期二叉树模型，其计算结果与前面介绍的复制组合原理和风险中性原理是一样的。

以风险中性原理为例：
上行概率×上行时到期日价值Cu＋下行概率×下行时到期日价值Cd
根据前面推导的结果：
代入（1）式有：
二、两期二叉树模型
如果把单期二叉树模型的到期时间分割成两部分，就形成了两期二叉树模型。

由单期模型向两期模型的扩展，不过是单期模型的两次应用。

三、多期二叉树模型。

第10章二叉树法期权定价及其Python应用本章精粹蒙特卡罗模拟法便于处理报酬函数复杂、标的变量多等问题，但是在处理提前行权问题时却表现出明显的不足。

本章将要介绍的二叉树法可以弥补蒙特卡罗模拟法的这种不足。

二叉树的基本原理是：假设变量运动只有向上和向下两个方向，且假设在整个考察期内，标的变量每次向上或向下的概率和幅度不变。

将考察期分为若干阶段，根据标的变量的历史波动率模拟标的变量在整个考察期内所有可能的发展路径，并由后向前以倒推的形式走过所有结点，同时用贴现法得到在0时刻的价格。

如果存在提前行权的问题，必须在二叉树的每个结点处检查在这一点行权是否比下一个结点上更有利，然后重复上述过程。

10.1 二叉树法的单期欧式看涨期权定价假设：(1) 市场为无摩擦的完美市场，即市场投资没有交易成本。

这意味着不支付税负，没有买卖价差(Bid-Ask Spread)、没有经纪商佣金(Brokerage Commission)、信息对称等。

(2) 投资者是价格的接受者，投资者的交易行为不能显著地影响价格。

(3) 允许以无风险利率借入和贷出资金。

(4) 允许完全使用卖空所得款项。

(5) 未来股票的价格将是两种可能值中的一种。

为了建立好二叉树期权定价模型，我们先假定存在一个时期，在此期间股票价格能够从现行价格上升或下降。

下面用实例来说明二叉树期权定价模型的定价方法。

1. 单一时期内的买权定价假设股票今天(t =0)的价格是100美元，一年后(t =1)将分别以120美元或90美元出售，就是1年后股价上升20%或下降10%。

期权的执行价格为110美元。

年无风险利率为8%，投资者可以这个利率放款(购买这些利率8%的债券)或借款(卖空这些债券)。

如图10-1所示。

今天 1年后t =0 t =1u S 0=120 上升20% 1000=Sd S 0=90 下降10%u 0max(u ,0)max(120110,0)10C S X =-=-=?0=Cd 0max(d ,0)max(90110,0)0C S X =-=-=图10-1 买权价格图10-1表示股票买权的二叉树期权定价模型。

期权定价公式的二叉树推导与分析期权作为金融衍生品的重要组成部分，对于投资者和风险管理师来说具有重要意义。

期权的价值取决于多种因素，包括标的资产的价格、行权价格、剩余到期时间、无风险利率、波动率等。

期权的定价是金融领域的一个重要问题，准确的期权定价可以帮助投资者更好地进行投资决策和风险管理。

本文将介绍期权的定价公式，并通过二叉树的方法推导期权的价格，最后对各种情况下期权定价的计算方法与特点进行分析。

期权的定价公式是由费雪·布莱克、迈伦·斯科尔斯和罗伯特·默顿提出的布莱克-斯科尔斯模型。

该模型基于一些假设，例如无摩擦市场、无套利机会等，通过 Black-Scholes方程求解期权的定价。

具体公式如下：C = SₐN(d1) - XₐN(d2)其中， C为期权的公允价值； Sₐ为标的资产当前的价格； Xₐ为期权的行权价格； N(d1)和 N(d2)分别为正态分布变量的累积分布函数；d1和 d2分别为： d1 = (ln(Sₐ/Xₐ) + (r + σ²/2)T) / (σ√T) d2 = d1 - σ√T T为期权的剩余到期时间，以年为单位； r为无风险利率；σ为标的资产的年波动率。

二叉树方法是一种常用的期权定价模型，它可以用来推导期权的预期价格。

二叉树方法的思路是将期权的到期时间划分为若干个时间段，并假设标的资产在每个时间段内只有两种可能的价格，即上涨或下跌。

基于这个假设，我们可以构建一个二叉树来描述标的资产的价格变动情况。

假设初始时刻为 t0，标的资产的价格为 S0，行权价格为 X。

在每个时间段Δt内，标的资产的价格有两种可能的变化：上涨到 Su = S0 × u，或者下跌到 Sd = S0 × d，其中 u > 1，d < 1，u和 d分别为标的资产的上涨和下跌因子。

假设该期权的剩余到期时间为 T，共分为 n个时间段。

那么在 t0时，该期权的预期价格为：C0 = ∑CN(d1, d2, u, d) × (u × S0 - X)^+ ×Δt其中， N(d1, d2, u, d)为风险中性概率； (u × S0 - X)^+表示当标的资产价格上涨时，取 u × S0 - X，否则取 0；Δt为每个时间段的时间长度。

期权定价的二叉树模型Cox、Ross和Rubinstein提出了期权定价的另一种常用方法二叉树（binomial tree）模型，它假设标的资产在下一个时间点的价格只有上升和下降两种可能结果，然后通过分叉的树枝来形象描述标的资产和期权价格的演进历程。

本章只讨论股票期权定价的二叉树模型，基于其它标的资产如债券、货币、股票指数和期货的期权定价的二叉树方法，请参考有关的书籍和资料。

8.1 一步二叉树模型我们首先通过一个简单的例子介绍二叉树模型。

例8.1 假设一只股票的当前价格是$20，三个月后该股票价格有可能上升到$22，也有可能下降到$18. 股票价格的这种变动过程可通过图8.1直观表示出来。

在上述二叉树中，从左至右的节点（实圆点）表示离散的时间点，由节点产生的分枝（路径）表示可能出现的不同股价。

由于从开始至期权到期日只考虑了一个时间步长，图8.1表示的二叉树称为一步（one-step）二叉树。

这是最简单的二叉树模型。

一般地，假设一只股票的当前价格是，基于该股票的欧式期权价格为。

经过一个时间步（至到期日T）后该股票价格有可能上升到相应的期权价格为；也有可能下降到相应的期权价格为. 这种过程可通过一步（one-step）二叉树表示出来，如图8.2所示。

我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。

为了对该欧式股票期权定价，我们采用无套利（no arbitrage）假设，即市场上无套利机会存在。

构造一个该股票和期权的组合（portfolio），组合中有股的多头股票和1股空头期权。

如果该股票价格上升到，则该组合在期权到期日的价值为；如果该股票价格下降到，则该组合在期权到期日的价值为。

根据无套利假设，该组合在股票上升和下降两种状态下的价值应该相等，即有由此可得(8.1)上式意味着是两个节点之间的期权价格增量与股价增量之比率。

在这种情况下，该组合是无风险的。

以表示无风险利率，则该组合的现值（the present value）为,又注意到该组合的当前价值是，故有即将(8.1)代入上式，可得基于一步二叉树模型的期权定价公式为(8.2)(8.3)需要指出的是，由于我们是在无套利（no arbitrage）假设下讨论欧式股票期权的定价，因此无风险利率应该满足： .现在回到前面的例子中，假设相应的期权是一个敲定价为$21，到期日为三个月的欧式看涨权，无风险的年利率为12%，求该期权的当前价值。

期权定价的二叉树模型期权定价是金融领域中的重要问题之一，而二叉树模型是一种经典的期权定价工具。

二叉树模型的主要思想是将期权到期日之间的时间划分为多个等长的时间段，并根据每个时间段内的股价变动情况来计算期权的价值。

下面将介绍二叉树模型的构建过程以及期权定价的基本原理。

首先，我们需要确定二叉树模型的参数。

主要包括股票价格的初始值、期权到期日、无风险利率、每个时间段的长度等。

其中，股票价格的初始值可以通过市场价格获取，期权到期日通常由合约确定，无风险利率可以参考国债收益率，而每个时间段的长度可以根据需要自行设置。

接下来，根据二叉树模型的思想，我们构建一个二叉树。

树的每个节点表示一个时间段，而每个节点下方的两个子节点分别表示股票价格在该时间段内上涨和下跌的情况。

具体构建二叉树的方式有很多种，常见的有Cox-Ross-Rubinstein模型和Jarrow-Rudd模型。

其中，Cox-Ross-Rubinstein模型是一种离散时间模型，每个时间段内股价上涨或下跌的幅度是固定的；而Jarrow-Rudd模型是一种连续时间模型，股价的变动是连续的。

在构建好二叉树之后，我们需要从期权到期日开始反向计算每个节点的期权价值。

通过回溯法，我们可以计算出每个节点的期权价值。

具体计算的方式是，对于期权到期日的节点，其价值等于股价与行权价格的差值（对于欧式期权而言）或者最大值（对于美式期权而言）。

而对于其他节点，其价值等于期权在上涨和下跌情况下的期望值，即其左右子节点的价值经过贴现后得到的值。

通过不断回溯，最终我们可以得到二叉树的根节点即为期权的实际价值。

需要注意的是，期权定价的准确性与二叉树模型的参数设定和树的构建方法有关。

参数的选择需基于市场数据和合理的假设，而构建二叉树的方法应能很好地反映实际股价的变动规律。

此外，二叉树模型也有一定的局限性，特别是在处理股价波动较为剧烈的情况下，可能无法准确地定价。

总之，二叉树模型是一种常用的期权定价工具，可以通过构建二叉树和回溯计算的方式来估计期权的价值。

二叉树期权定价方法的原理二叉树期权定价方法是一种常用的金融工具定价方法，它基于二叉树模型，通过离散化时间和价格，将连续时间和连续价格的金融问题转化为离散时间和离散价格的问题，从而简化了计算过程。

该方法的原理主要包括二叉树模型的构建、风险中性概率的计算和期权价格的计算。

首先，二叉树模型的构建是二叉树期权定价方法的基础。

二叉树模型是一种树状结构，每个节点表示某个时间点的价格，根节点表示初始价格，叶子节点表示到期价格。

在构建二叉树模型时，需要确定二叉树的层数和每个节点的价格。

一般情况下，层数越多，模型越精确，但计算复杂度也会增加。

节点的价格可以通过离散化连续价格的方法得到，例如使用二项式模型或几何布朗运动模型。

其次，风险中性概率的计算是二叉树期权定价方法的关键。

风险中性概率是指在无套利条件下，市场上不存在风险，投资者对未来价格的预期与实际发生的概率相等。

在二叉树模型中，每个节点的风险中性概率可以通过反推法计算得到。

具体而言，从期权到期日开始，逐层向上计算每个节点的风险中性概率。

对于每个节点，假设其上涨和下跌的概率分别为p和1-p，根据无套利条件，可以得到期权价格的期望值等于节点价格的折现值。

通过解方程组，可以得到p的值。

最后，期权价格的计算是二叉树期权定价方法的核心。

在二叉树模型中，期权价格可以通过逐层向下计算得到。

从根节点开始，逐层向下计算每个节点的期权价格。

对于每个节点，可以通过期权价格的期望值等于节点价格的折现值来计算期权价格。

具体而言，假设节点上涨和下跌后的价格分别为Cu和Cd，期权价格的期望值为E，节点价格为C，折现因子为r，可以得到以下公式：E = (p * Cu + (1-p) * Cd) / (1 + r)通过逐层向下计算，可以得到所有节点的期权价格。

最后，根据期权类型和期权的执行价格，可以确定期权的实际价格。

总结起来，二叉树期权定价方法的原理是通过构建二叉树模型，计算风险中性概率和期权价格，将连续时间和连续价格的金融问题转化为离散时间和离散价格的问题。

期权定价-二叉树模型期权定价是金融市场中的重要内容，它是根据期权的特点和市场条件来确定期权价格的过程。

二叉树模型是一种常用的期权定价方法之一，其基本思想是将时间离散化，并通过构建一个二叉树来模拟标的资产价格的变动。

在二叉树模型中，每个节点代表了一个特定的时刻，而每个节点之间的关系是通过上涨和下跌两种情况进行连接的。

通过调整上涨和下跌的幅度，可以模拟出不同标的资产的价格变动情况。

期权的定价在二叉树模型中可以通过回溯法进行计算。

首先，在最后一个节点上，根据期权的特点以及市场条件来确定期权的价值。

然后，逐步向前回溯，通过考虑不同的路径来计算每个节点上的期权价值。

在回溯过程中，需要考虑每个节点的两个子节点的权重，即上涨和下跌的概率。

这可以根据市场条件来确定，通常是基于历史数据进行估计。

然后，在回溯过程中，可以根据节点上的期权价值和子节点的权重来计算每个节点的期权价格。

通过不断回溯，最终可以得到期权的初始价值，即在当前市场条件下，期权价格应该是多少。

这个初始价值可以用作参考，帮助投资者做出合理的投资决策。

需要注意的是，二叉树模型是一个简化的模型，它有一些假设和限制。

首先，它假设标的资产的价格只有上涨和下跌两种情况，而忽略了其他可能的情况。

其次，它假设市场条件在整个期权有效期内保持不变，而实际情况可能是变化的。

因此，在使用二叉树模型进行期权定价时，需要注意这些假设和限制。

总而言之，期权定价是金融市场中的重要内容，二叉树模型是一种常用的定价方法。

通过构建二叉树模型，并根据回溯法计算每个节点上的期权价值，可以得到期权的初始价格。

然而，需要注意二叉树模型的假设和限制，并结合实际情况进行综合分析和判断。

期权定价是金融市场中的重要内容，其旨在确定期权的合理价格。

期权是一种金融工具，赋予购买者在期权到期时以约定价格购买或出售标的资产的权利。

很多投资者都希望能够在市场上买入或者卖出期权，以便于在未来某个时刻获得利润。

因此，了解期权的合理价格对投资者来说至关重要。