§8-1两点间距离公式及中点公式(1)

教 材： 《数学》 第_二__册 出版社：江苏教育出版社 凤凰职教 授课章节： 8．1 两点间的距离公式及中点公式一 第一课时 教学目的
1. 掌握两点间的距离公式
2. 培养学生解决问题的能力与计算能力
教学重点 两点间的距离公式与线段中点的坐标公式的运用
教学难点 两点间的距离公式的理解
教学过程
（一）复习引入
1.在数轴上的两点A （x 1）、B （x 2）的距离公式是什么？
2.平面直角坐标系中，设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12PP =？，如何计算这两点的距离？
（二）新授
我们将向量12PP 的模，叫做点1P
、2P 之间的距离，记作12PP ，则 212(==P P P P x 例题讲解
例1 已知点M （8，10）、N （12，22），求线段MN 的长度。

例2 已知△ABC 的顶点分别为A(2,6),B(-4,3),C(1,0),求△ABC 的三条边的长。

巩固练习
练习P65
（三）小结
两点间的距离公式
设平面直角坐标系内任意两点111(,)P x y 、222(,)P x y ，则111(,)P x y 、222(,)P x y 的距
离为
（四）作业
1.已知点M（-4，-2）、N（-1，5），求线段MN的长度。

2.已知△ABC的顶点分别为A(-1,6),B(-2,3),C(4,0),求△ABC的三条边的长。

8.1.2 线段中点公式
重点分析：
本节课的重点是线段中点的坐标公式的运用．中点坐标公式是解析几何的基本公式，应要求学生理解和掌握这个公式，并能熟练应用．教材采用“观察”、“试一试”的方式.讲授时可结合图形给予验证，但讲解的重点应放在公式的应用上．本节课主要通过坐标计算，即代数的手段．即几何问题用代数方法解决，要突出“解析法”，进行数学思维培养．
突破重点的方法：
本节利用数形结合的方法推导出已知线段两个端点的坐标，求线段的中点的坐标的公式．线段AB的中点M又可称为A，B两点的对称中心．所以，求线段AB的中点M，又可说成求A，B的两点的对称中心．比如会求点P关于点Q的对称点B的坐标．在应用中点坐标公式时，要强调公式的特点，让学生清楚中点坐标是对应坐标之和的一半. 要充分结合图形进行讲解，让学生体会到用解析法求四分点的思想及优点．。

两点间距离公式中点公式Prepared on 21 November 2021两点间距离公式、中点公式教学目标：掌握两点间坐标公式、中点公式教学重点、难点：公式的应用教学过程：一、两点间距离公式：初中曾学习过数轴上两点间距离，实际就是求数轴上两点所表示的两个数的差的绝对值。

现在我们研究平面内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的距离。

如图，由点P1，P2分别作x轴的垂线P1M1，P2M2，与x轴分别交于点M1（x1，0），M2（x2，0）；再由点P1，P2分别作y轴的垂线P1N1，P2N2，与y轴分别交于N1（0，y1），N2（0，y2），直线P1N1，P2M2相交于Q点，则有P1Q＝M1M2＝｜x2－x1｜，Q P 2＝N 1N 2＝｜y 2－y 1｜。

由勾股定理，可得P 1P 22＝P 1Q 2＋Q P 22＝｜x 2－x 1｜2＋｜y 2－y 1｜2＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2由此得到平面内P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）两点间的距离公式 例1、求平面上两点A （1，-2），B （3，5）之间的距离。

解 ()()53251322=++-=AB二、中点公式平面内任意两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），线段的中点，求点P 的坐标（x ，y ）.由点P 1，P 2分别作x 轴的垂线P 1M 1，P 2M 2，与x 轴分别交于点M 1（x 1，0），M 2（x 2，0），M (x ,0),则即 x x x x -=-21所以 221x x x += 类似上面方法可得因此，点21p p 之间锁链线段的中点坐标为221x x x +=，221y y y += 上式称为线段的中点公式。

例2、有一线段A B ，它的中点坐标是（4，2），端点A 坐标是（-2，3），求另一端点的坐标。

解 设另一端点B 坐标为()y x ,，由中点坐标公式可知 232,224y x +=+-= 解之得1,10==y x所以端点坐标为()1,10。

两点坐标公式和中点坐标公式
两点坐标公式指的是计算两个坐标点之间的直线距离的公式，而中点坐标公式是计算两个坐标点连线的中点坐标的公式。

1.两点坐标公式：
设两个点的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)，则它们之间的直
线距离d可以使用以下公式进行计算：
d=√((x2x1)^2+(y2y1)^2)
其中"^"表示乘方运算。

这个公式的原理是根据勾股定理，通过计算两个坐标在x轴
和y轴上的差值的平方和，再开平方得到直线距离。

2.中点坐标公式：
设两个点的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)，它们连线的中点
坐标为(xm,ym)，则中点坐标可以使用以下公式进行计算：
xm=(x1+x2)/2
ym=(y1+y2)/2
这个公式的原理是将两个坐标点在x轴和y轴分别做平均，
得到中点的横纵坐标。

【课题】8．1 两点间的距离与线段中点的坐标
【教学目标】
知识目标：
掌握两点间的距离公式与中点坐标公式；
能力目标：
用“数形结合”的方法，介绍两个公式．培养学生解决问题的能力与计算能力．
【教学重点】
两点间的距离公式与线段中点的坐标公式的运用
【教学难点】
两点间的距离公式的理解
【教学设计】
两点间距离公式和中点坐标公式是解析几何的基本公式，教材采用“知识回顾”的方式给出这两个公式．讲授时可结合刚学过的向量的坐标和向量的模的定义讲解，但讲解的重点应放在公式的应用上．
例1是巩固性练习题．题目中，两个点的坐标既有正数，又有负数．讲授时，要强调两点间的距离公式的特点特别是坐标为负数的情况．
例2是中点公式的知识巩固题目．通过连续使用公式（8.2），强化学生对公式的理解与运用．
例3是本节两个公式的综合性题目，是知识的简单综合应用．要突出“解析法”，进行数学思维培养．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
=
61
图8－2
【教师教学后记】。

两点间距离公式中点公式点公式是指在平面直角坐标系中，已知两点的坐标，求解两点之间的距离。

点公式的推导基于勾股定理。

假设平面直角坐标系中有两点A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)，我们要求解两点之间的距离。

首先，我们可以通过斜边的坐标差值计算两条直角边的长度。

设直角边AC的长度为d₁，直角边BC的长度为d₂。

则有以下推导：d₁=，x₂-x₁d₂=，y₂-y₁接下来，我们可以运用勾股定理计算斜边的长度。

根据勾股定理，直角三角形斜边的平方等于两个直角边的平方和。

d=√(d₁²+d₂²)因此，两点之间的距离d等于直角边的长度的平方和的平方根。

综上所述，两点间距离的点公式可以表示为：d=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²)其中，(x₁,y₁)和(x₂,y₂)分别是两点的坐标，d表示两点之间的距离。

下面我们来举一个具体例子来演示点公式的应用。

例题：已知点A(3,4)和点B(7,8)，求解两点之间的距离。

解：根据点公式，我们可以直接套入坐标值进行计算。

d=√((7-3)²+(8-4)²)=√(4²+4²)=√(16+16)=√32=4√2因此，点A和点B之间的距离为4√2在实际应用中，点公式常被用于计算两点之间的距离。

例如在平面几何中，我们可以利用点公式计算线段的长度。

在地理学中，点公式可以用于测量地球上任意两点的距离。

此外，点公式还可以应用于图像处理、机器学习等领域。

总结起来，点公式是一种简便而常用的计算两点之间距离的方法。

通过套入已知点的坐标，我们可以精确地求解出两点之间的距离。

这使得点公式具有广泛的应用价值。

《数学》基础模块下教案【知识回顾】 平面直角坐标系中，设£(召，廿)，£(兀2，必)，则 百£ =(花-西,力—>i )•质疑引导 思考启发水动脑思考探索新知 【新知识】 我们将向量片巧的模，叫做点人、鬥之间的距离，记作 |啊，则 |百陆厢=尿毎=J (兀2 —西尸+ (乃一 H F (8. 1) *巩固知识典型例题 例1求4 (-3, 1)、B (2, -5)两点间的距离. 水运用知识强化练习 1. 请根据图形，写出M 、N 、P 、Q 、R 各点的坐标. 2. 在平面直角坐标系内,描出下列各点：A(l,l) 3(3,4)、 C(5,7).并计算每两点之间的距离. 第二课时 中点坐标公式 *创设情境兴趣导入 【观察】 练习8. 1. 1第2题的计算结果显示, 分析总结 归纳说明 强调引领讲解 说明提问 巡视 指导质疑 思考 记忆观察思考主动 求解思考 口答思考带领 学生 分析通过例 题进一 步领会反复 强调引导启 发学生 思考总结思考 归纳归纳带领 学生总结（勺一兀 1，刃）一 X ）=（X 2 一勺，）‘2 一 刃）），解得严号，廿呼•仔细 分析 讲解 关键理解记忆词语x o =现将线段ST 四等这说明点B 是线段AB 的中点，而它们三个点的坐标之间恰 好存在关系*动脑思考探索新知 【新知识】设线段的两个端点分别为A （心y J 和B ,y 2），线段的屮点为A/（x 0,y 0）（如图8—1）,贝!JAM =（兀0-西,旳一开）,MB = （x 2 - x 0, y 2 - y 0）,由于M 为线段AB 的中点，则-般地，设人（心，必）、£（兀2，旳）为平而内任意两点，则线 段人£中点人（兀o ，〉'o ）的坐标为(8. 2)水巩固知识典型例题例 2 己知点 S （0, 2）、点 T （-6, -1）,|AB 冃 B C\=^\AC\.引导 分析参与 分析AM = MB,即分，试求出各分点的坐标.分析如图8-2所示，首先求出线段ST的中点Q的坐标, 然后再求SQ的中点P及QT的中点R的坐标.解设线段ST的中点Q的坐标为(勺％),3 5中点P(一专#)，线段QT9 1的中点尺(一一,一一).2 47 S 1 Q 1故所求的分点分别为PC---). Q(-3,—)、R(-一2 4 2 2 4例3已知AABC的三个顶点为A(1,O)、B(-2,l)、C(0,3),试求BC边上的中线AD的长度.解设BC的中点D的坐标为(心,〃)，则由B(-2,1)、C(0,3)得% =( 2J0 =_] , y D = 1^2 = 2 ,故⑷ 1= J(_]_l)2+(2_0)2 = 2y/2,即BC边上的屮线AD的长度为2血.木运用知识强化练习1・已知点4(2,3)和点B(&-3),求线段A〃中点的坐标.2・已知AABC 的三个顶点为A(2,2) B(—4,6)、C(—3,—2), 求AB边上的中线CD的长度.3.己知点2(4,n)是点P(加,2)和点/?(3,8)连线的中点，求加与n的值.※理论升华整体建构思考并冋答下面的问题：两点间的距离公式、线段的中点坐标公式?结论: 说明强调引领讲解说明引领分析说明启发引导提问巡视指导观察思考主动求解观察思考求解思考了解动手求解通过例题进一步领会注意观察学生是否理解知识进一步领会知识点。

【课题】8．1 两点间的距离与线段中点的坐标【教学目标】知识目标：掌握两点间的距离公式与中点坐标公式；水平目标：应用两点间距离公式与中点坐标公式，完成相关计算。

从而提升学生解决问题的水平与计算技能．情感目标：（1）经历借助于坐标法，利用代数的手段研究几何问题的认知过程，领悟“解析法”．（2）体验“数形结合”研究问题的便捷，感受科学思维方法．【教学重点】两点间的距离公式与线段中点的坐标公式的使用【教学难点】两点间的距离公式的理解【教学设计】两点间距离公式和中点坐标公式是解析几何的基本公式，教材采用“知识回顾”的方式给出这两个公式．讲授时可结合刚学过的向量的坐标和向量的模的定义讲解，但讲解的重点应放在公式的应用上．例1是巩固性练习题．题目中，两个点的坐标既有正数，又有负数．讲授时，要强调两点间的距离公式的特点特别是坐标为负数的情况．例2是中点公式的知识巩固题目．通过连续使用公式（8.2），强化学生对公式的理解与使用．例3是本节两个公式的综合性题目，是知识的简单综合应用．要突出“解析法”，实行数学思维培养．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】122(=PP x*动脑思考【新知识】12PP 的模，叫做点121212(==PP PP PP x 典型例题A （−3，1）、B （2，−5B 两点间的距离为过 程行为 行为 意图 间1．请根据图形，写出M 、N 、P 、Q 、R 各点的坐标．2．在平面直角坐标系内，描出下列各点： (1,1)A 、(3,4)B 、(5,7)C ．并计算每两点之间的距离． 巡视 指导思考 口答反复 强调38 *创设情境 兴趣导入【观察】练习8．1．1第2题的计算结果显示，1||||||2AB BC AC ==． 这说明点B 是线段AB 的中点，而它们三个点的坐标之间恰好存相关系1532+=， 1742+=质疑 引导 分析思考 参与 分析 引导启发学生思考43 *动脑思考 探索新知 【新知识】设线段的两个端点分别为11(,)A x y 和22(,)B x y ，线段的中点为00(,)M x y （如图8－1），则0101(,),=--AM x x y y2020(,),=--MB x x y y 因为M 为线段AB 的中点，则,=AM MB 即01012020(,)(,)--=--x x y y x x y y ，即01200120,,-=-⎧⎨-=-⎩x x x x y y y y 解得121200,22++==x x y yx y ．总结 归纳思考 归纳带领 学生 总结第1题图过 程行为 行为 意图 间图8－1一般地，设111(,)P x y 、222(,)P x y 为平面内任意两点，则线段1P 2P 中点000(,)P x y 的坐标为121200,.22x x y y x y ++== 仔细 分析 讲解 关键 词语理解 记忆52*巩固知识 典型例题例2 已知点S （0，2）、点T （−6，−1），现将线段ST 四等分，试求出各分点的坐标．分析 如图8－2所示，首先求出线段ST 的中点Q 的坐标，然后再求SQ 的中点P 及QT 的中点R 的坐标． 解 设线段ST 的中点Q 的坐标为(,)Q Q x y ， 则由点S （0，2）、点T （−6，−1）得0(6)32Q x +-==-，2(1)122Q y +-==．即线段ST 的中点为Q 13,2-（）． 同理，求出线段SQ 的中点P 35,24-（），线段QT的中点91,24R --（）． 故所求的分点分别为P 35,24-（）、Q 13,2-（）、91,24R --（）．说明强调引领 讲解 说明观察 思考 主动 求解通过例题进一步领会 注意yOxA (x 1, y 1)M (x 0, y 0)B (x 2, y 2) 图8－2【教师教学后记】。

8.1两点间距离公式及中点公式（1）——1课时教学内容：江苏省职业学校教材《数学》基础模块下册第8章 §8.1 第1课时教学目标：一、知识与技能掌握两点间距离公式，并能应用公式解决与之有关的问题； 二、过程与方法通过实际问题情境构造数学模型，借助数形结合探究两点间的距离公式，培养学生解决问题的能力并提高其计算能力； 三、情感态度与价值观培养学生勇于探究，敢于挑战的精神，感受数学的严谨，提高学生的数学素养。

教学重点：两点间距离公式教学难点：利用向量知识探究两点间距离公式教学理念：学生是学习和发展的主体，教师是教学活动的组织者和引导者. 教学过程：（一） 创设情景：大海中有两个小岛，一个在灯塔东60海里偏北80海里的1P 点处，另一个在灯塔西10海里偏北55海里2P 点处，那么如何确定两小岛之间的距离呢？分析：根据两岛的位置，联想到点的坐标，放到直角坐标系中，借助向量知识来解决。

一般地，设点111222(,),(,)P x y P x y 为平面直角坐标平面上的任意两点，则111222(,),(,)OP x y OP x y →→==。

以1P 为起点，2P 为终点，作向量12,PP →1221=,PP OP OP →→→-则由 12=PP →2121得（x -x ,y -y ），那么1P ，2P 两点间的距离|12PP|就是向量12PP →的模12||PP →。

由向量数量积的性质，有212||=PP 222121（x -x )+(y -y ），从而12||PP （二）探求新知：平面上任意两点1P ，2P 间的距离公式：一般地，设点111222(,),(,)P x y P x y 为平面直角坐标平面上的任意两点，12||PP 。

（三）巩固应用：例1、 求A (-4,4),B (8,10)间的距离|AB |．变式：已知点A (-1,-1), B (b ,5)，且|AB |=10，求b ． 解： x 1=-4, y 1=4；x 2=8, y 2=10，应用公式(7-1-1)，|AB |=)()(21221y y x x -+-=2210484)()(-+--=180=65．变式：据两点间距离公式，|AB |=36)1()]1(5[)]1([222++=--+--b b =10，解得 b =7或b =-9．例2、已知∆ABC 的三个顶点分别为A(2,6),B(-4,3),C(1,0)，求∆ABC 的三条边长。