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2014-2015学年四川省成都七中高一（下）期初数学试卷一、选择题（每小题5分，共50分）1．设全集U=R，A={x|x＜1}，B={x|log2x＜1}，则A∩B=（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|0＜x＜2} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|﹣1＜x＜2}2．在平行四边形ABCD中，++=（）A．B．C．D．3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y=2x上，则sinθ=（）A．B．C．或﹣D．或﹣4．函数f（x）=3x2﹣e x的零点有（）A．有一个B．有两个C．有三个D．不存在5．sin80°cos20°﹣cos80°sin20°的值为（）A．B．C．﹣D．﹣6．已知函数f（x）=，则满足f（x）≤2的x的取值范围是（）A．[﹣1，2] B．[0，2] C．[1，+∞）D．[﹣1，+∞）7．函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示，则函数表达式为（）A．B．C．D．8．定义在R上的非常值函数f（x）满足y=f（x+1）和y=f（x﹣1）都是奇函数，则函数y=f （x）一定是（）A．偶函数B．奇函数C．周期函数D．以上结论都不正确9．非零实数a、b满足4a2﹣2ab+4b2﹣c=0（c＞0），当|2a+b|取到最大值时，则的值为（）A．B．C．D．10．已知点A、B是函数f（x）=x2图象上位于对称轴两侧的两动点，定点F（0，），若向量，满足•=2（O为坐标原点）．则三角形ABO与三角形AFO面积之和的取值范围是（）A．（2，+∞）B．[3，+∞）C．[，+∞）D．[0，3]二、填空题（本大题有5小题，每空5分，共25分）11．若向量=（2，m），=（1，﹣3）满足⊥，则实数m的值为．12．若tanα＞0，则sin2α的符号是．（填“正号”、“负号”或“符号不确定”）13．已知函数f（x）=3sin（ωx+φ），（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴的距离为2，则f（1）+f（2）+…+f（2016）=．14．将曲线C1：y=ln关于x轴对称得到的曲线C2，再将C2向右平移1个单位得到函数f （x）的图象，则f（+1）=．15．设函数y=f（x）的定义域为D，若存在实数x0，使f（x0）=x0成立．则称x0为f（x）的不动点或称（x0．f（x））为函数y=f（x）图象的不动点；有下列说法：①函数f（x）=2x2﹣x﹣4的不动点是﹣1和2；②若对于任意实数b，函数f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣2．（a≠0）恒有两个不相同的不动点，则实数a的取值范围是0＜a≤2；③函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），若y=f（x）没有不动点，则函数y=f（f（x））也没有不动点；④设函数f（x）=（x﹣1），若f（f（f（x）））为正整数，则x的最小值是121；以上说法正确的是．三、解答题（本题6小题，16～19题各12分，20题13分，21题14分，共75分）16．（12分）（2015春•成都校级月考）（1）化简；（2）计算：4+2log23﹣log2．17．（12分）（2015春•成都校级月考）设=（﹣1，1），=（4，3），=（5，﹣2），（1）求证与不共线，并求与的夹角的余弦值．（2）求在方向上的投影．18．（12分）（2015春•成都校级月考）已知函数f（x）=8x2﹣6kx+2k﹣1．（1）若函数f（x）的零点在（0，1]内，求实数k的范围；（2）是否存在实数k，使得函数f（x）的两个零点x1，x2满足x12+x22=1，x1x2＞0．19．（12分）（2015春•成都校级月考）已知函数f（x）=alog2x，g（x）=blog3x（x＞1），其中常数a．b≠0．（1）证明：用定义证明函数k（x）=f（x）•g（x）的单调性；（2）设函数φ（x）=m•2x+n•3x，其中常数m，n满足m．n＜0，求φ（x+1）＞φ（x）时的x的取值范围．20．（13分）（2015春•雅安校级期中）半径长为2的扇形AOB中，圆心角为，按照下面两个图形从扇形中切割一个矩形PQRS，设∠POA=θ．（1）请用角θ分别表示矩形PQRS的面积；（2）按图形所示的两种方式切割矩形PQRS，问何时矩形面积最大．21．（14分）（2015春•成都校级月考）已知函数f（x）=的图象在R上不间断．（1）求正实数a的值；（2）当x≥1时，函数h（x）=kx﹣2|x﹣2|≥0恒成立．求实数k的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）=m|x|=0恰好有4个解，求实数m的取值范围．2014-2015学年四川省成都七中高一（下）期初数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．设全集U=R，A={x|x＜1}，B={x|log2x＜1}，则A∩B=（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|0＜x＜2} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|﹣1＜x＜2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：A={x|x＜1}，B={x|log2x＜1}={x|0＜x＜2}，则A∩B={x|0＜x＜1}，故选：A点评：本题主要考查集合的基本运算．比较基础．2．在平行四边形ABCD中，++=（）A．B．C．D．考点：向量的加法及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：根据题意，画出图形，结合图形，利用平面向量的加法运算法则进行运算即可．解答：解：画出图形，如图所示；++=（+）+=+=+=．故选：D．点评：本题考查了平面向量的加减运算问题，解题时应画出图形，结合图形进行解答问题，是容易题．3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y=2x上，则sinθ=（）A．B．C．或﹣D．或﹣考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用任意角的三角函数的定义，分类讨论求得sinθ的值．解答：解：由于角θ的终边在直线y=2x上，若角θ的终边在第一象限，则在它的终边上任意取一点P（1，2），则由任意角的三角函数的定义可得sinθ===．若角θ的终边在第三象限，则在它的终边上任意取一点P（﹣1，﹣2），则由任意角的三角函数的定义可得sinθ===﹣，故选：D．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．4．函数f（x）=3x2﹣e x的零点有（）A．有一个B．有两个C．有三个D．不存在考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：令f（x）=0，得到e x=3x2，作出函数y=e x，和y=3x2的图象，利用数形结合即可得到结论解答：解：令f（x）=0，得到e x=3x2，作出函数y=e x，和y=3x2的图象如图：由图象可知两个图象的交点为3个，即函数f（x）=3x2﹣e x的零点的个数为3个，故选：C点评：本题主要考查函数零点公式的判定，利用函数和方程之间的关系转化为两个图象的交点问题是解决本题的关键．5．sin80°cos20°﹣cos80°sin20°的值为（）A．B．C．﹣D．﹣考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用两角和的正弦公式，求得所给式子的值．解答：解：sin80°cos20°﹣cos80°sin20°=sin（80°﹣20°）=sin60°=，故选：B．点评：主要考查两角和的正弦公式的应用，属于基础题．6．已知函数f（x）=，则满足f（x）≤2的x的取值范围是（）A．[﹣1，2] B．[0，2] C．[1，+∞）D．[﹣1，+∞）考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据分段函数的表达式，分别进行求解即可得到结论．解答：解：当x≤1时，x2+1≤2，得﹣1≤x≤1，当x＞1时，由1﹣log2x≤2，得log2x≥﹣1．∴x≥，∴x＞1综上可知，实数x的取值范围是x≥﹣1．故选：D点评：本题主要考查不等式的求解，利用分段函数的表达式分别进行求解是解决本题的关键．7．函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示，则函数表达式为（）A．B．C．D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：通过函数的图象求出A，周期T，利用周期公式求出ω，图象经过（3，0）以及φ的范围，求出φ的值，得到函数的解析式．解答：解：由函数的图象可知A=2，T=2×（5﹣1）=8，所以，ω=，因为函数的图象经过（3，0），所以0=2sin（），又，所以φ=；所以函数的解析式为：；故选C．点评：本题是基础题，考查三角函数的图象求函数的解析式的方法，考查学生的视图能力，计算能力，常考题型．8．定义在R上的非常值函数f（x）满足y=f（x+1）和y=f（x﹣1）都是奇函数，则函数y=f （x）一定是（）A．偶函数B．奇函数C．周期函数D．以上结论都不正确考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由y=f（x+1）奇函数，即有f（1﹣x）=﹣f（1+x），由y=f（x﹣1）是奇函数，即为f（﹣x﹣1）=﹣f（x﹣1），将x换成x﹣1，x+1，再将﹣x换成x，x换成x+2，结合周期函数的定义，即可得到结论．解答：解：y=f（x+1）奇函数，即有f（1﹣x）=﹣f（1+x），将x换成x﹣1，即有f（2﹣x）=﹣f（x），①y=f（x﹣1）是奇函数，即为f（﹣x﹣1）=﹣f（x﹣1），将x换成x+1，即有f（﹣x﹣2）=﹣f（x），②则由①②可得，f（﹣x﹣2）=f（2﹣x），即有f（x﹣2）=f（x+2），将x换成x+2，可得f（x+4）=f（x），即有函数f（x）是最小正周期为4的函数．故选：C．点评：本题考查函数的奇偶性和周期性的定义，考查赋值法的运用，考查一定的推理和分析能力，属于中档题．9．非零实数a、b满足4a2﹣2ab+4b2﹣c=0（c＞0），当|2a+b|取到最大值时，则的值为（）A．B．C．D．考点：不等式的基本性质．专题：不等式的解法及应用．分析：4a2﹣2ab+4b2﹣c=0（c＞0），化为==，利用柯西不等式即可得出．解答：解：4a2﹣2ab+4b2﹣c=0（c＞0），化为==，由柯西不等式可得：≥=（2a+b）2，当|2a+b|取到最大值时，=，化为．故选：D．点评：本题考查了柯西不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．已知点A、B是函数f（x）=x2图象上位于对称轴两侧的两动点，定点F（0，），若向量，满足•=2（O为坐标原点）．则三角形ABO与三角形AFO面积之和的取值范围是（）A．（2，+∞）B．[3，+∞）C．[，+∞）D．[0，3]考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：通过设点A（﹣x，x2）（x＞0）、利用•=2、计算可知B（，），过点A、B分别作x轴垂线且垂足分别为C、D，通过S△ABO+S△AFO=S梯形ACDB﹣S△ACO﹣S△BDO+S△AFO、利用面积计算公式及基本不等式计算即得结论．解答：解：依题意，不妨设点A（﹣x，x2）（x＞0）、B（p，p2）（p＞0），∵•=2，即﹣xp+（xp）2=2，∴（xp）2﹣xp﹣2=0，解得：xp=2或xp=﹣1（舍），∴p=，即B（，），过点A、B分别作x轴垂线，垂足分别为C、D，则S△ABO+S△AFO=S梯形ACDB﹣S△ACO﹣S△BDO+S△AFO=（AC+BD）•CD﹣AC•CO﹣BD•OD+OF•CO=（x2+）•（x+）﹣x2•x﹣••+••x=（x3++2x+﹣x3﹣+）=（+2x+）=（+）≥•2（当且仅当=即x=时等号成立）=3，故选：B．点评：本题考查平面向量数量积运算，涉及面积的计算方法、基本不等式等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．二、填空题（本大题有5小题，每空5分，共25分）11．若向量=（2，m），=（1，﹣3）满足⊥，则实数m的值为．考点：数量积的坐标表达式．专题：平面向量及应用．分析：根据向量垂直的等价条件进行求解即可．解答：解：∵向量=（2，m），=（1，﹣3）满足⊥，∴•=2﹣3m=0，解得m=，故答案为：点评：本题主要考查向量数量积的应用，根据向量垂直的坐标公式进行求解是解决本题的关键．12．若tanα＞0，则sin2α的符号是正号．（填“正号”、“负号”或“符号不确定”）考点：二倍角的正弦；三角函数值的符号．专题：三角函数的求值．分析：由已知，利用三角函数的基本关系式可得sin2α==＞0，即可得解．解答：解：∵tanα＞0，∴sin2α==＞0．故答案为：正号．点评：本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，三角函数基本关系式的应用，属于基础题．13．已知函数f（x）=3sin（ωx+φ），（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴的距离为2，则f（1）+f（2）+…+f（2016）=0．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的求值．分析：直接利用图象对称轴的距离，求出函数的周期，继而求出f（x）=3sin（x+φ），分别求出f（1），f（2），f（3），f（4）的值，发现其规律得到答案．解答：解：函数f（x）=3sin（ωx+φ），（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴的距离为2，∴周期为4，则ω==，∴f（x）=3sin（x+φ），∴f（1）=3sin（+φ）=3cosφ，f（2）=3sin（π+φ）=﹣3sinφ，f（3）=3sin（+φ）=﹣3cosφ，f（4）=3sin（2π+φ）=3sinφ，∴f（1）+f（2）+…+f（2016）=504[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]=0，故答案为：0．点评：本题考查函数周期的求法以及归纳推理好三角函数的诱导公式，涉及三角函数的图象的应用，考查计算能力．14．将曲线C1：y=ln关于x轴对称得到的曲线C2，再将C2向右平移1个单位得到函数f（x）的图象，则f（+1）=．考点：函数的图象与图象变化．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数图象的对称变换和平移变换法则，求出函数f（x）的解析式，将x=+1代入可得答案．解答：解：将曲线C1：y=ln关于x轴对称得到的曲线C2，∴曲线C2的方程为：y=﹣ln，再将C2向右平移1个单位得到函数f（x）的图象，∴函数f（x）=﹣ln，∴f（+1）=﹣ln=﹣ln=﹣（﹣）=，故答案为：点评：本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，函数求值，根据函数图象的对称变换和平移变换法则，求出函数f（x）的解析式，是解答的关键．15．设函数y=f（x）的定义域为D，若存在实数x0，使f（x0）=x0成立．则称x0为f（x）的不动点或称（x0．f（x））为函数y=f（x）图象的不动点；有下列说法：①函数f（x）=2x2﹣x﹣4的不动点是﹣1和2；②若对于任意实数b，函数f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣2．（a≠0）恒有两个不相同的不动点，则实数a的取值范围是0＜a≤2；③函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），若y=f（x）没有不动点，则函数y=f（f（x））也没有不动点；④设函数f（x）=（x﹣1），若f（f（f（x）））为正整数，则x的最小值是121；以上说法正确的是①③④．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据已知中函数不动点的定义，逐一分析四个结论的真假，最后综合讨论结果，可得答案．解答：解：令2x2﹣x﹣4=x，解得x=﹣1，或x=2，故①函数f（x）=2x2﹣x﹣4的不动点是﹣1和2，故①正确；若对于任意实数b，函数f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣2．（a≠0）恒有两个不相同的不动点，则ax2+（b+1）x+b﹣2=x有两个不相等的实根，则△=b2﹣4a（b﹣2）=b2﹣4ab+8a＞0恒成立，则16a2﹣32a＜0，解得0＜a＜2，即实数a的取值范围是0＜a＜2，故②错误；③函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），若y=f（x）没有不动点，则ax2+（b﹣1）x+c=0无实根，则函数y=f（f（x））也没有不动点；④设函数f（x）=（x﹣1），若f（f（f（x）））={[（x﹣1）﹣1]﹣1}=为正整数，则x的最小值是121，故④正确；故正确的命题的序号为：①③④，故答案为：①③④点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，此类题型往往综合较多的其它知识点，综合性强，难度中档．三、解答题（本题6小题，16～19题各12分，20题13分，21题14分，共75分）16．（12分）（2015春•成都校级月考）（1）化简；（2）计算：4+2log23﹣log2．考点：对数的运算性质；运用诱导公式化简求值．专题：函数的性质及应用；三角函数的求值．分析：（1）根据诱导公式和二倍角公式化简即可；（2）根据对数的运算性质计算即可．解答：解：（1）==﹣；（2）4+2log23﹣log2=2+log29﹣log2=2+log28=5．点评：本题考查的知识点是对数的运算性质，和三角形函数的化简，属于基础题．17．（12分）（2015春•成都校级月考）设=（﹣1，1），=（4，3），=（5，﹣2），（1）求证与不共线，并求与的夹角的余弦值．（2）求在方向上的投影．考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的投影．专题：综合题．分析：（1）根据共线向量的判断方法易得与不共线，再结合向量的数量积的运算，可得cos＜a，b＞的值，（2）根据数量积的运算与投影的概念，可得在方向上的投影为，代入向量的坐标，计算可得答案．解答：解：（1）∵=（﹣1，1），=（4，3），且﹣1×3≠1×4，∴与不共线，又•=﹣1×4+1×3=﹣1，||=，||=5，∴cos＜，＞===﹣．（2）∵•=﹣1×5+1×（﹣2）=﹣7，∴在方向上的投影为==﹣．点评：本题考查向量的数量积的运用，要求学生能熟练计算数量积并通过数量积来求出向量的模和夹角或证明垂直．18．（12分）（2015春•成都校级月考）已知函数f（x）=8x2﹣6kx+2k﹣1．（1）若函数f（x）的零点在（0，1]内，求实数k的范围；（2）是否存在实数k，使得函数f（x）的两个零点x1，x2满足x12+x22=1，x1x2＞0．考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由条件利用二次函数的性质求得实数k的范围．（2）由条件利用二次函数的性质求得实数k的值，再结合（1）中k的范围，得出结论．解答：解：（1）由函数f（x）=8x2﹣6kx+2k﹣1的零点在（0，1]内，可得，求得＜k≤．（2）由题意可得，求得k＞．再根据x12+x22=1=﹣2x1x2=1，可得k2﹣=1，求得k=，或k=（舍去）．结合（1）可得＜k≤．故不存在实数k满足题中条件．点评：本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．19．（12分）（2015春•成都校级月考）已知函数f（x）=alog2x，g（x）=blog3x（x＞1），其中常数a．b≠0．（1）证明：用定义证明函数k（x）=f（x）•g（x）的单调性；（2）设函数φ（x）=m•2x+n•3x，其中常数m，n满足m．n＜0，求φ（x+1）＞φ（x）时的x的取值范围．考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）任取区间（1，+∞）上两个实数x 1，x2，且x1＜x2，则k（x1）÷k（x2）=（）2∈（0，1），进而分当ab＞0时和当ab＜0时两种情况，可得函数k（x）=f（x）•g（x）的单调性；（2）由函数φ（x）=m•2x+n•3x，可将φ（x+1）＞φ（x）化为m•2x+2n•3x＞0，结合m•n ＜0，分当m＞0，n＜0时和当m＜0，n＞0时两种情况，可得满足条件的x的取值范围．解答：证明：（1）任取区间（1，+∞）上两个实数x1，x2，且x1＜x2，则∈（0，1），∵函数f（x）=alog2x，g（x）=blog3x（x＞1），∴k（x 1）÷k（x2）=（ab•log2x1•log3x1）÷（ab•log2x2•log3x2）=（）2∈（0，1），当ab＞0时，k（x1）＜k（x2），函数k（x）=f（x）•g（x）在区间（1，+∞）上单调递增；当ab＜0时，k（x1）＞k（x2），函数k（x）=f（x）•g（x）在区间（1，+∞）上单调递减；（2）∵函数φ（x）=m•2x+n•3x，φ（x+1）＞φ（x），m•n＜0，∴φ（x+1）﹣φ（x）=m•2x+2n•3x＞0，当m＞0，n＜0时，＞，则x＞，当m＜0，n＞0时，＜，则x＜，点评：本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，函数单调性的判断与证明，其中熟练掌握函数单调性的证明方法定义法（作商法）的方法和步骤是解答本题的关键．20．（13分）（2015春•雅安校级期中）半径长为2的扇形AOB中，圆心角为，按照下面两个图形从扇形中切割一个矩形PQRS，设∠POA=θ．（1）请用角θ分别表示矩形PQRS的面积；（2）按图形所示的两种方式切割矩形PQRS，问何时矩形面积最大．考点：弧度制的应用．专题：三角函数的求值．分析：（1）根据矩形的面积公式，分别表示即可，（2）根据三角函数中θ的范围，分别计算求出各自的最大值，比较即可．解答：解：（1）对于图1，由题意知PS=OPsinθ=2sinθ，OS=OPcosθ=2cosθ，∴S PQRS=S1=OP•OS=4sinθcosθ=2sin2θ，（0＜θ＜），对于图2由题意知，设PQ的中点为N，PM=2sin（﹣θ），∴MN=0M﹣ON=2cos（﹣θ）﹣=sinθ，∴S PQRS=S2=2PM•MN=4sin（﹣θ）•sinθ=sin（﹣θ）sinθ，（0＜θ＜），（2）对于图1，当sin2θ=1时，即θ=时，S max=2，对于图2，S2=sin（﹣θ）sinθ=[sin（2θ+）﹣]，∵0＜θ＜，∴＜2θ+＜，∴＜sin（2θ+）≤1，当sin（2θ+）=1，即θ=时，S max=，综上所述，按照图2的方式，当θ=时，矩形面积最大．点评：本题考查了图形的面积最大问题，关键是三角形函数的化简和求值，属于中档题．21．（14分）（2015春•成都校级月考）已知函数f（x）=的图象在R上不间断．（1）求正实数a的值；（2）当x≥1时，函数h（x）=kx﹣2|x﹣2|≥0恒成立．求实数k的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）=m|x|=0恰好有4个解，求实数m的取值范围．考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据函数f（x）=的图象在R上不间断，可得x=0时，两段函数的函数值相等，即4=2×|﹣a|，解得正实数a的值；（2）当x≥1时，函数h（x）=kx﹣2|x﹣2|≥0恒成立．k≥，分当x∈[1，2]时和当x∈（2，+∞）时，两种情况讨论，可得满足条件的实数k的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）=m|x|=0恰好有4个解，函数y=f（x）与y=m|x|的图象有四个交点，对m值进行分类讨论，数形结合可得实数m的取值范围．解答：解：（1）∵函数f（x）=的图象在R上不间断．∴4=2×|﹣a|，解得a=2，或a=﹣2（舍去），∴正实数a=2，（2）当x≥1时，函数h（x）=kx﹣2|x﹣2|≥0，即k≥，当x∈[1，2]时，k≥=﹣2为减函数，故k≥2，当x∈（2，+∞）时，k≥=2﹣为增函数，故k≥0；综上所述：k≥2，即实数k的取值范围为[2，+∞），（3）若关于x的方程f（x）=m|x|=0恰好有4个解，即函数y=f（x）与y=m|x|的图象有四个交点，①当m＜0时，函数y=f（x）与y=m|x|的图象无交点，不满足条件；②当m=0时，函数y=f（x）与y=m|x|的图象有三个交点，不满足条件；③当m＞0时，若与y=mx与y=2x﹣4平行，即m=2，则函数y=f（x）与y=m|x|的图象有三个交点，则m≥2时，函数y=f（x）与y=m|x|的图象有三个交点，若y=﹣mx与y=﹣（x2+5x+4）相切，则函数y=f（x）与y=m|x|的图象有五个交点，即x2+（5﹣m）x﹣4=0的△=（5﹣m）2﹣16=0，解得：m=1，或m=9（舍去），即m=1时，函数y=f（x）与y=m|x|的图象有五个交点，0＜m＜1时，函数y=f（x）与y=m|x|的图象有六个交点，故当1＜m＜2时，函数y=f（x）与y=m|x|的图象有四个交点，故实数m的取值范围为（1，2）点评：本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的零点与方程的根，恒成立问题，是函数图象和性质的综合应用，难度较大．。
2014-2015学年四川省成都市成华区高一（下）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）如图是某几何体的三视图，则该几何体是（）A．三棱柱B．三棱锥C．长方体D．圆柱2．（5分）已知sinα=，则cos2α=（）A．﹣B．﹣C．D．3．（5分）下列不等式不一定成立的是（）A．a﹣2＜a﹣1 B．a2+1＞a C．cos1＞cos2 D．2a＞a4．（5分）设{a n}是等差数列，函数f（x）=x2﹣x﹣2015的两个零点为a2，a3，则a1+a4=（）A．2015 B．1 C．﹣1 D．﹣20155．（5分）函数y=sinx﹣cosx的递增区间是（）A．[2kπ+，2kπ+，k∈Z]B．[2kπ+，2kπ+，k∈Z]C．[2kπ﹣，2kπ+，k∈Z]D．[2kπ+，2kπ+，k∈Z]6．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若acosA=bcosB，则此三角形一定是（）A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形C．等腰三角形D．直角三角形7．（5分）若等差数列5，4，3，…的前n项和为S n，则S n的最大值为（）A．B． C．20 D．8．（5分）的值为（）A．﹣B．﹣C．D．9．（5分）在等比数列{a n}中，a5﹣a1=15，a4﹣a2=6，则a3=（）A．﹣4 B．4 C．﹣4或4 D．﹣8或810．（5分）已知△ABC的三边长分别为a=3，b=4，c=，则△ABC的面积为（）A．2 B．3 C．6 D．1211．（5分）已知正实数x，y满足x+y=2，则+的最小值为（）A．4 B．8 C．10 D．1612．（5分）实数a，b，c满足a+b+c=3，ab+2c=6，则实数c的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣5]∪[3，+∞）B．[﹣5，3]C．（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞）D．[﹣3，5]二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）函数y═cos4x+sin4x的最小正周期为．14．（5分）某几何体的三视图如图所示，若m+n=3，该几何体的侧面积最大时，n的值为．15．（5分）△ABC的三内角A、B、C满足sin2A+sin2B=2sin2C，那么cosC的最小值是．16．（5分）如图，表中数据满足：（1）第1行为1；（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n；（3）从第3行起每行除首尾两个数外每个数等于上一行它肩上的两个数之和．则第n行（n≥2）第2个数是．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（12分）设α，β均为锐角，，求cosβ的值．18．（12分）如图是一圆柱形水池，容积为2000π立方米，圆柱底面直径与母线长相等，现在水池内修筑了一个三棱柱ABC﹣A1B1C1，此三棱柱的高与圆柱的高相等，底面在圆柱底面内，且底面ABC是正三角形，三个顶点A、B、C在底面圆周上．求修筑的三棱柱体积是多少立方米？19．（12分）已知向量=（sin（A﹣B），），=（1，2sinB），且•=﹣sin2C，其中A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角．（Ⅰ）求角C的大小；=，求边c的长．（Ⅱ）若，且S△ABC20．（12分）设函数f（x）=﹣4x+b，且不等式|f（x）|＜c的解集为{x|﹣1＜x ＜2}．（1）求b的值；（2）解关于x的不等式（x+m）•f（x）＞0（m∈R）．21．（10分）当x∈（﹣，1）时，不等式ax2﹣（a+1）x+1＞0恒成立，求实数a的取值范围．22．（12分）已知{a n}为递增的等比数列，且{a1，a3，a5}⊆{﹣10，﹣6，﹣2，0，1，3，4，16}．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在等差数列{b n}，使得a1b n+a2b n﹣1+a3b n﹣2+…+a n b1=2n+1﹣n﹣2对一切n∈N*都成立？若存在，求出b n；若不存在，说明理由．2014-2015学年四川省成都市成华区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）如图是某几何体的三视图，则该几何体是（）A．三棱柱B．三棱锥C．长方体D．圆柱【解答】解：由已知三视图得到几何体是以正视图为底面的三棱柱；故选：A．2．（5分）已知sinα=，则cos2α=（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：sinα=，则cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×（）2=．故选：C．3．（5分）下列不等式不一定成立的是（）A．a﹣2＜a﹣1 B．a2+1＞a C．cos1＞cos2 D．2a＞a【解答】解：对于A，显然成立，对于B，a2﹣a+1＞0，显然成立，对于C，∵cos1＞cos＞0，cos2＜cos＜0，∴cos1＞cos2，成立，对于D，令a=0，显然不成立，故选：D．4．（5分）设{a n}是等差数列，函数f（x）=x2﹣x﹣2015的两个零点为a2，a3，则a1+a4=（）A．2015 B．1 C．﹣1 D．﹣2015【解答】解：{a n}是等差数列，函数f（x）=x2﹣x﹣2015的两个零点为a2，a3，∴a2+a3=1，∴a1+a4=a2+a3=1，故选：B．5．（5分）函数y=sinx﹣cosx的递增区间是（）A．[2kπ+，2kπ+，k∈Z]B．[2kπ+，2kπ+，k∈Z]C．[2kπ﹣，2kπ+，k∈Z]D．[2kπ+，2kπ+，k∈Z]【解答】解：f（x）=sinx﹣cosx=sin（x﹣）令﹣+2kπ≤x﹣≤+2kπ，k∈Z，∴﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，∴函数f（x）=sinx﹣cosx的单调递增区间[﹣+2kπ，+2kπ]，（k∈Z），故选：C．6．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若acosA=bcosB，则此三角形一定是（）A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形C．等腰三角形D．直角三角形【解答】解：在△ABC中，∵acosA=bcosB，由正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，∴2A=2B，或2A+2B=π．∴A=B，或A+B=，即C=．故△ABC是等腰三角形或直角三角形，故选：B．7．（5分）若等差数列5，4，3，…的前n项和为S n，则S n的最大值为（）A．B． C．20 D．【解答】解：∵等差数列5，4，3，…的前n项和为S n，∴首项a1=5，公差d=﹣5=﹣，∴S n=5n+=﹣（n﹣）2+．∴n=7或n=8时，S n取最大值S7=S8=20．故选：C．8．（5分）的值为（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：===﹣，故选：A．9．（5分）在等比数列{a n}中，a5﹣a1=15，a4﹣a2=6，则a3=（）A．﹣4 B．4 C．﹣4或4 D．﹣8或8【解答】解：设等比数列的公比为q，则∵a5﹣a1=15，a4﹣a2=6，∴a1q4﹣a1=15，a1q3﹣a1q=6，∴q2+1=q∴q=2或q=，∴a1=1或a1=﹣16∴a3=±4故选：C．10．（5分）已知△ABC的三边长分别为a=3，b=4，c=，则△ABC的面积为（）A．2 B．3 C．6 D．12【解答】解：△ABC的三边长分别为a=3，b=4，c=，由余弦定理可得：37=9+16﹣2×3×4cosC，∴cosC=，∵C∈（0，π），∴sinC=．则△ABC的面积为：==3．故选：B．11．（5分）已知正实数x，y满足x+y=2，则+的最小值为（）A．4 B．8 C．10 D．16【解答】解：∵x+y=2，∴（x+y）=1，∴+=（+）（x+y）=5+（+）≥5+=8，当且仅当y=3x即x=，y=时“=“成立，故选：B．12．（5分）实数a，b，c满足a+b+c=3，ab+2c=6，则实数c的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣5]∪[3，+∞）B．[﹣5，3]C．（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞）D．[﹣3，5]【解答】解：∵实数a，b，c满足a+b+c=3，ab+2c=6，∴a+b=3﹣c，ab=6﹣2c．∴a，b是方程x2+（c﹣3）x+（6﹣2c）=0的两个实数根．∴△=（c﹣3）2﹣4（6﹣2c）≥0．化为：c2+2c﹣15≥0，（c+5）（c﹣3）≥0，解得：c≤﹣5，或c≥3．∴实数c的取值范围是（﹣∞，﹣5]∪[3，+∞）．故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）函数y═cos4x+sin4x的最小正周期为．【解答】解：∵y=cos4x+sin4x=2sin（4x+），∴最小正周期T==，故答案为：14．（5分）某几何体的三视图如图所示，若m+n=3，该几何体的侧面积最大时，n的值为．【解答】解：由已知实数得到几何体是圆柱，其中高为m，底面直径为n，所以几何体的侧面积为2πnm，又m+n=3，所以m+n，所以mn，2πmn≤2π×=，当且仅当m=n时等号成立，所以，该几何体的侧面积最大时，n的值为；故答案为：15．（5分）△ABC的三内角A、B、C满足sin2A+sin2B=2sin2C，那么cosC的最小值是．【解答】解：∵sin2A+sin2B=2sin2C，∴由正弦定理可得：a2+b2=2c2，即c2=，∴由余弦定理可得：cosC===≥=，当且仅当a=b 时等号成立．即cosC的最小值是．故答案为：．16．（5分）如图，表中数据满足：（1）第1行为1；（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n；（3）从第3行起每行除首尾两个数外每个数等于上一行它肩上的两个数之和．则第n行（n≥2）第2个数是．=a n+n（n≥2），a2=2【解答】解：依题意a n+1所以a3﹣a2=2a4﹣a3=3，a n﹣a n﹣1=n累加得a n﹣a2=2+3+…+（n﹣1）=所以a n=（n＞2）当n=2时a2=2，也满足上述等式故a n=（n≥2）；故答案为：（n≥2）三、解答题（共6小题，满分70分）17．（12分）设α，β均为锐角，，求cosβ的值．【解答】解：因为α，β均为锐角，cosα=，所以sinα==，由cos（α+β）=﹣，得到sin（α+β）==，则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=﹣×+×=18．（12分）如图是一圆柱形水池，容积为2000π立方米，圆柱底面直径与母线长相等，现在水池内修筑了一个三棱柱ABC﹣A1B1C1，此三棱柱的高与圆柱的高相等，底面在圆柱底面内，且底面ABC是正三角形，三个顶点A、B、C在底面圆周上．求修筑的三棱柱体积是多少立方米？【解答】解：设圆柱的底面直径为d米，则圆柱的高也是d米，∵圆柱体积（容积）为2000π立方米，∴有，解得d=20（米）．即底面圆的直径为20米，由正弦定理，底面圆的内接正三角形边长AB满足：，即，∴AB=（米）．∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的高AA1等于圆柱的高20米，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=（立方米）．答：修筑的三棱柱体积是立方米．19．（12分）已知向量=（sin（A﹣B），），=（1，2sinB），且•=﹣sin2C，其中A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角．（Ⅰ）求角C的大小；=，求边c的长．（Ⅱ）若，且S△ABC【解答】解：（Ⅰ）∵向量=（sin（A﹣B），），=（1，2sinB），∴•=sin（A﹣B）+2sinB=sin（A﹣B）+2cosAsinB=sin（A+B）∵•=﹣sin2C，∴sin（A+B）=﹣sin2C，∵sin（A+B）=sn（π﹣C）=sinC，∴sinC=﹣2sinCcosC，结合sinC＞0，得﹣2cosC=1，cosC=﹣∵C∈（0，π），∴C=；（Ⅱ）∵，∴由正弦定理得．=absinC=ab=，∴ab=4，又∵S△ABC由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣ab∴c2=c2﹣ab，可得=ab=4，解之得．20．（12分）设函数f（x）=﹣4x+b，且不等式|f（x）|＜c的解集为{x|﹣1＜x ＜2}．（1）求b的值；（2）解关于x的不等式（x+m）•f（x）＞0（m∈R）．【解答】解：（1）∵f（x）=﹣4x+b∴|f（x）|＜c的解集为{x|（b﹣c）＜x＜（b+c）}又∵不等式|f（x）|＜c的解集为{x|﹣1＜x＜2}．∴（b﹣c）=﹣1，（b+c）=2解得：b=2；（2）由（1）得f（x）=﹣4x+2，∵（x+m）•f（x）＞0，化为（x+m）（x﹣）＜0，当m=﹣时，不等式的解集为空集，当m＞﹣时，解集为（﹣m，），当m＜﹣时，解集为（，﹣m）21．（10分）当x∈（﹣，1）时，不等式ax2﹣（a+1）x+1＞0恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：由题意可得不等式ax2﹣（a+1）x+1＞0的解集包含区间（﹣，1）．①当a=0时，不等式即x+1＞0，当x∈（﹣，1）时，显然此不等式成立．②当a＞0时，不等式即a（x﹣）•（x﹣1）＞0，由于f（x）=a（x﹣）•（x﹣1）的图象开口向上，和x轴的交点的横坐标分别为1和，要使当x∈（﹣，1）时，f（x）＞0恒成立，∴≥1，∴0＜a≤1．③当a＜0时，不等式即a（x﹣）•（x﹣1）＞0，由于f（x）=a（x﹣）•（x﹣1）的图象开口向下，和x轴的交点的横坐标分别为1和，要使当x∈（﹣，1）时，f（x）＞0恒成立，∴≤﹣，∴﹣2≤a＜0．综上可得，﹣2≤a≤1．22．（12分）已知{a n}为递增的等比数列，且{a1，a3，a5}⊆{﹣10，﹣6，﹣2，0，1，3，4，16}．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在等差数列{b n}，使得a1b n+a2b n﹣1+a3b n﹣2+…+a n b1=2n+1﹣n﹣2对一切n∈N*都成立？若存在，求出b n；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）因为{a n}是递增的等比数列，所以数列{a n}公比q＞0，首项a1＞0，又{a1，a3，a5}⊆{﹣10，﹣6，﹣2，0，1，3，4，16}，所以a1=1，a3=4，a s=16，从而q2==4，q=2，a n=a1q n﹣1=2n﹣1，所以数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1；（2）假设存在满足条件的等差数列{b n}，其公差为d，则当n=1时，a1b1=1，又∵a1=1，∴b1=1；当n=2时，a1b2+a2b1=4，b2+2b1=4，b2=2则d=b2﹣b1=1，∴b n=b1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n，以下证明当b n=n时，a1b n+a2b n﹣1++a n﹣1b2+a n b1=2n+1﹣n﹣2对一切n∈N*都成立．设S n=a1b n+a2b n﹣1+…+a n﹣1b2+a n b1，即S n=1×n+2×（n﹣1）+22×（n﹣2）+23×（n﹣3）+…+2n﹣2×2+2n﹣1×1，①2S n=2×n+22×（n﹣1）+23×（n﹣2）+…+2n﹣1×2+2n×1，②②﹣①得S n=﹣n+2+22+23++2n﹣1+2n=﹣n+=2n+1﹣n﹣2，所以存在等差数列{b n}，b n=n，使得a1b n+a2b n﹣1+a3b n﹣2+a n b1=2n+1﹣n﹣2对一切n∈N*都成立．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
成都七中2015-2016学年度下学期期末考试高一年级数学试卷答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂到答题卷上。
1．已知1|01x A x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，{}1,0,1B =-，则()card A B =（ ） .0A .1B .2C .3D答案：C2．设(1,2),(1,1),a b c a kb ===+，若b c ⊥，则实数k 的值等于（ ）3.2A -5.3B -5.3C 3.2D 答案：A3.已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于( ).21n A -.51n B -.31n C -.41n D -答案：A4.已知,m n 是两条不同直线，,αβ是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）.A 若,αβ垂直于同一平面，则α与β平行 .B 若,m n 平行于同一平面，则m 与n 平行.C 若,αβ不平行，则在α内不存在与β平行的直线.D 若,m n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面答案：D 5.若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=( ) 64.25A 48.25B .1C 16.25D 答案：A6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）.14A 斛 .22B 斛 .36C 斛 .66D 斛 答案：B7.一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的表面积为（ ）.137A ++.223B ++.43C .336D ++答案：A8.如右图所示，已知球O 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的内切球，则平面1ACD 截球O 的截面面积为（ ）.3A π.6B π.4C π.2D π答案：B 提示：找到球心与球的半径即可求解.9.在数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，其前n 项和为n S 满足2(1)n n n S a S =-，设22log nn n S b S +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则满足6n T ≥的最小正整数n 是（ ）..10A .11B .12C .9D答案：A10.如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递减，则mn 的最大值为（ ）.16A .18B .25C 81.2D答案:B解析:当2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，822n m --≥-即212m n +≤.2262m nm n +⋅≤≤18mn ∴≤.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，8122n m --≤-即218m n +≤2292n m n m +⋅≤≤.812mn ∴≤. 由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218(2,8)m n m n +=<>.所以(182)(1828)816mn n n =-<-⨯⨯=，所以最大值为18.选B .D 11B 1C 1ABD11.已知梯形ABCD 中，3,3,cos ,(01)2AB AD AB DC DAC BE mBC m ⊥=∠==<<，若AE AC AB =，则CECB=（ ）1.7A 1.7B 2.3C 2.7D +答案：A解：法一：以A 为原点，建立如图直角坐标系，依题意，30DAC ∠=，不妨设1DC =，则AD =2,3AC AB ==， 故(3,0)C B ，故(2,CB =，则7CB=；由题知E 为线段BC 上的点，设(01)CECBλλ=<<，故(2,)CE λ=，故(2)E λ+；依题意，2AE AC AB =⋅，即)22(21)23λ++=⨯，展开得27220λλ--=，因为01λ<<，故17λ+=，即17CE CB =. 法二：选定,AC AB 为基向量表达AE ，然后表达条件AE AC AB=，即可以求解. 12.正方体1111ABCD A B C D -P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面α，平面α截正方体的表面得到一个多边形，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y ，设BP x =，当15,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()y f x =的值域为（ ）[].1,3A .B.C ⎣.D 答案：B提示：此题先通过证明教材必修2第79页B 组第2题找到两个垂直于体对角线1BD 的垂面1ACB 和垂面11AC D 作为辅助，而且该题告诉我们1BD 与两平面的交点正好是线段1BD 三等分点，分别讨论：如图所示：①当1,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，截面多边形是三角形EFG，由相似可得到周长范围为；②当()1,2x ∈时，截面多边形是六边形HIJKLM ，由相似可得到周长大小不变为y D1③当52,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，截面多边形是三角形NQR ，由相似可得到周长范围为36,362⎡⎤⎢⎥⎣⎦；二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案写在答题卷指定横线上. 13.已知1tan 2,tan()7ααβ=-+=，则tan β的值为_______. 答案：314.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =m . 答案：100615.已知各项都为正数的等比数列{}n a 满足54323a a a =+，存在两项,m n a a 使得127m n a a a ⋅=，则14m n+的最小值为 答案：171516.已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，其中正确的命题有（填序号） ①已知60,4A b ∠==,2c =，则ABC ∆有两解；②若90,A ∠=3,4b c ==，ABC ∆内有一点P 使得,,PA PB PC 两两夹角为120，则22230PA PB PC ++=；③若90,A ∠=1,3b c ==，ABC ∆内有一点P 使得PA 与PB 夹角为90， PA 与PC 夹角为120， 则tan PAC ∠=34； ④已知60,4A b ∠==，设a t =，若ABC ∆是钝角三角形，则t 的取值范围是(23,4)(43,)+∞；答案：③④提示：①已知两边及夹角，三角形只有一解；②分别在,,PAB PAC PBC ∆∆∆利用余弦定理将三式相加建立关系，再通过,,PAB PAC PBC ∆∆∆的面D 1A 1B 1C 1ABCDO'O PHIJML K积之和等于ABC ∆的面积建立关系，整体求解；③设PAC θ∠=，在,,PAB PAC PBC ∆∆∆中，分别把每个三角形角用θ表达出来，然后用正弦定理求解；④如右图可得，要使ABC ∆是钝角三角形有可能B ∠是钝角，还有可能C ∠是钝角，分别找出直角的临界情况求出范围.三、解答题：本大题共6小题，共70分，把答案写在答题卷指定位置上. 17. （本题满分10分）已知向量()sin ,cos ,(3,1),3m A A n m n ==⋅=，且A 是锐角.（1）求角A 的大小；（2）求函数()cos 24sin sin ()f x x A x x R =+∈的值域. 解：（Ⅰ）由题已知:⋅=m n 分. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分 由A 为锐角得. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5分. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅7分x ∈R ,[]sin 11x ∴∈-,,因此,,()f x 有最大值当sin 1x =-时,()f x 有最小值3-, ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅9分 故所求函数()f x 的值域是. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅10分18.（本题满分12分）数列{}n a 的前n 项和为22n n S a =-，数列{}n b 是首项为1a ，公差不为零的等差数列，且1311,,b b b 成等比数列，（1）求出数列{}n a 与{}n b 的通项公式；(2)求证：3121235nnb b b b a a a a ++++<. 解：（1）22n n S a =-┈① ， *1122(2,)n n S a n n N --∴=-≥∈┈② ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅1分由①式-②式可得*1122(2,)n n n n S S a a n n N ---=-≥∈，即*12(2,)n n a a n n N -=≥∈，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3分而当1n =时，带入①式，可得12a =，所以数列{}n a 是以首项为2，公比为2的等比数列，2nn a ∴=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分根据题意，12b =，23111b b b =⋅，又因为{}n b 是公差不为零的等差数列，设公差为d ，则满足()()2222210d d +=+，即23d d =，所以3d =，则31n b n =-综上所述2,31nn n a b n ==-； ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分（2）令31223123258312222n n nn b b b b n T a a a a -=++++=++++┈① 则234112583122222n n n T +-=++++┈② ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅8分 则由①式-②式可得2311233331222222n n n n T +-=++++-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅9分即213333122222n n nn T --=++++- 则11113122231212n n n n T -⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+⨯--35552n n +=-<，得证 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分19．（本小题满分12分）如图，矩形ABCD 中，(1)ABADλλ=>，将其沿AC 翻折，使点D 到达点E 的位置，且二面角C AB E --为直二面角. （1）求证：平面ACE ⊥平面BCE ；（2）设F 是BE 的中点，二面角E AC F --的平面角的大小为θ，当[2,3]λ∈时，求cos θ取值范围；解：（1） 二面角E AB C --为直二面角，BC AB ⊥ ⊥∴BC 平面ABE AE ⊂平面ABE AE BC ⊥∴C CE BC CE AE =⋂⊥, ⊥∴AE 平面BCE 又AE ⊂平面ACE∴平面⊥ACE 平面BCE ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分（2）如图，以E 为坐标原点，以AD 长为一个单位长度，建立如图空间直角坐标系， 则λ=AB )0,0,21(),0,0,0(),1,0,1(),0,0,1(),0,1,0(222---λλλF E C B A则)1,0,1(),0,1,0(2-==λEC EA ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅7分设平面EAC 的法向量为),,(z y x m =，则⎪⎩⎪⎨⎧=+⋅-=0102z x y λ，取1=x ，则)1,0,1(2--=λm ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅9分同理设平面FAC 的法向量为)1,1,2(22---=λλn222121cos 12||||2(1)m n m n λθλλλ⋅+∴===⋅+⋅⋅+]410,35[cos ]3,2[∈∴∈θλ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分20．（本题满分12分）如图所示，甲船由A 岛出发向北偏东45方向匀速直线航行，速度为152海里/小时，在甲船从A 岛出发的同时，乙船从A 岛正南40海里处的B 岛出发，朝北偏东1(tan )2θθ=的方向匀速直线航行，速度为m 海里/小时. （1）若两船能相遇，求m 的值；（2）当105m =时，两船出发后多少小时距离最近，最近距离为多少海里. 解：（1）设t 小时后，两船在点M 处相遇，所以10sin sin(45)10AMB θ∠=-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分 由sin sin AM ABAMBθ=∠得402AM =，同理，得405BM = 所以4028405,155831523t m ====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5分（2）以A 为原点，BA 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设在t 时刻甲、乙两船分别在1122(,),(,)P x y Q x y 处，则152,105AP t BQ t ==，由任意角三角函数的定义可得，点P 的坐标是(15,15)t t ，点Q 的坐标是(10,2040)t t -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅9分所以2222(5)(540)50400160050(4)800202PQ t t t t t =-+-=-+=-+≥， 当且仅当4t =时，PQ 取得最小值202，即两船出发后4小时距离最近，最近距离为202海里. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分21.（本题满分12分）如右图所示，三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，3PC =，2ACB π∠=.,D E 分别为线段,AB BC上的点，且2 2.CD DE CE EB ====（1）证明：DE ⊥平面PCD （2）求二面角A PD C --的余弦值。
成都七中2013—2014学年度下期高一数学期末考试试卷（考试时间：120分钟 满分：150分）【试卷综析】注重对基本知识和基本技能的考察：试题利用选择、填空、解答三种题型，全面考察了这一阶段学习的高中数学的基本知识和基本技能，考查了数形结合的思想方法；注重能力考查，在知识中考能力，试题体现考虑基础的一面，但并没有降低对能力的要求，靠单纯的记忆公式就能解决的问题不多，而是将数学思想、数学素质、能力融入解题过程中。
试题通过不同的数学载体全面考查学生的基本运算能力、逻辑推理能力. 选择题（共50分）1.已知()11,sin ,cos ,,2a b a a 骣琪==琪桫且//a b ，则锐角a 等于（ ）. A. 030 B. 045 C. 065 D. 075 【知识点】向量共线定理的坐标运算.【答案解析】B 解析 ：解：∵//a b ，∴11sin cos 0,2a a ?=，化为sin2α＝1．∵a 是锐角，∴()0020180a Î，．∴0290a =，解得a =045．故选：B ．【思路点拨】利用向量共线定理的坐标运算即可得出．2.已知A ，B ，C 是直线l 上三点，M 是直线l 外一点，若,MA xMB yMC =+则,x y 满足的关系是（ ）A. x y +?0B. 1x y +>C. 1x y +<D. 1x y += 【知识点】向量共线的基本定理.【答案解析】D 解析 ：解：因为A ，B ，C 是直线l 上三点，所以A ，B ，C 三点共线，则有AB k BC =，又因为,AB MB MA BC MC MB =-=-，由以上三个式子联立可以得到：()MB MA k MC MB-=-，整理可得()()1MA k MB k MC =++-，而已知条件当中有,MA xMB yMC =+由此可得1,x k y k =+=-，故1x y +=，故选D.【思路点拨】先借助于A ，B ，C 三点共线，则有AB k BC =，然后用k 表示出MA 进而比较可得1x y +=.3.已知2241a b +=，则ab 的最大值是（ ）A ．12 B. 14 C. 13 D. 18【知识点】基本不等式.【答案解析】B 解析 ：解：因为2241a b +=，所以()()22222111412222224a b a b ab a b ++=４=?，故选B.【思路点拨】利用基本不等式直接求最大值即可.4.已知0a b +>，0c >，则()14a b c a b c 骣琪+++琪+桫的最小值是（ ） A.5 B.6 C.8 D.9【知识点】基本不等式.【答案解析】D 解析 ：解：把原式变形()()1414a b c a b c a b c a b c 骣骣轾琪琪+++=+++琪琪臌++桫桫()45a b ca b c +=+++，又因为0a b +>，0c >，所以利用基本不等式可得()455549a b c a b c +++?+=+，故选D.【思路点拨】把原式变形后利用基本不等式直接求最大值即可.5.设变量,x y 满足约束条件0121x y x y x y ì-?ïï+?íï+?ïî，则目标函数2z x y =+的最小值是（ ） A ．32 B ．1 C ．12 D ．2【知识点】简单的线性规划.【答案解析】B 解析 ：解：先根据约束条件画出可行域，当直线2z x y =+过点11,33A 骣琪琪桫时，z 最小值是1，故选B ． 【思路点拨】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，2z x y =+表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最小值即可．6.平面上,,A B C 三点不共线，O 是不同于,,A B C 的任意一点，若()()0OB OC AB AC -+=，则ABC D 的形状是（ ）A.等腰DB.Rt DC.等腰直角DD.等边D 【知识点】向量的基本运算；中垂线定理.【答案解析】A 解析 ：解：根据题意画出图形为ABC D ，设BC 中点为E 点，O 是不同于,,A B C 的任意一点，()()0OB OC AB AC -+=，即20CB AE?,所以AE 是BC 的中垂线,所以AB AC =,故ABC D是等腰D ，故选A. ECB【思路点拨】画出图形后利用已知条件得到20CB AE ?，然后再利用中垂线的性质即可.7.已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位cm ）可得这个几何体的体积是（ ）A. 433cmB. 833cm C.33cm D.43cm【知识点】三视图的应用;空间几何体的体积.【答案解析】B 解析 ：解：由三视图可知，该几何体为四棱锥，底面ABCD 为边长为2cm 的正方体，OE ⊥CD 且E 是CD 的中点，所以棱锥的高OE=2cm ．所以四棱锥的体积为23182233cm 创＝．故选B ．【思路点拨】由三视图可知，该几何体为四棱锥，分别确定底面积和高，利用锥体的体积公式求解即可．8.如果将OA=1,2桫绕原点O 逆时针方向旋转0120得到OB ，则OB 的坐标是（ ）A.12骣琪-琪桫B.12-桫C. (-D. 12骣琪-琪桫【知识点】向量间的关系；点的对称性.【答案解析】D 解析 ：解：因为OA =122琪琪桫所在直线的倾斜角为030，绕原点O 逆时针方向旋转0120得到OB 所在直线的倾斜角为0150，所以,A B 两点关于y 轴对称，由此可知B点坐标为122骣琪-琪桫，故OB的坐标是122骣琪-琪桫，故选D.【思路点拨】将OA=1,2桫绕原点O 逆时针方向旋转0120得到OB 后可得,A B 两点关于y 轴对称，据此可得结果.9.设001cos662a =-，0202tan131tan 13b =+,则有（ ） A. a b < B. a b > C. a b ³ D. ,a b 的大小关系不确定【知识点】两角差的正弦公式；万能公式；正弦函数的单调性.【答案解析】A 解析：解：因为0001cos66sin 24,2a =-=00202tan13sin 261tan 13b ==+，由正弦函数的单调性可知0sin 24sin 26<，故选A.【思路点拨】先把两个三角式化简，再利用正弦函数的单调性即可.10.如图，在直角梯形ABCD 中，1,2DA AB BC ===点P 在阴影区域（含边界）中运动，则有PA BD 的取值范围是（ ）A ．1,12轾-犏犏臌 B ．11,2轾-犏犏臌 C ．[]1,1- D ．[]1,0- 【知识点】向量的坐标表示；简单的线性规划.【答案解析】C 解析：解：以BC 所在的直线为x 轴，以BA 所在的直线为y 轴建立坐标系，如下图：可得()0,0B ,()2,0C ,()0,1A ,()1,1D ,设(),P x y ,所以1PA BD x y =--+，令1z x y =--+，由几何意义可知z 表示y 轴上的负截距，可知过()0,0B 时有最大值1，与DC 重合时有最小值1-，故答案为[]1,1-.【思路点拨】建立坐标系后用坐标表示出PA BD 后再借助于线性规划求得最值. 二、填空题（共25分） 11.已知数列{}n a 为等差数列，前九项和9S =18，则5a =_________．【知识点】等差数列的前n 项和；等差数列的性质.【答案解析】2解析 ：解：()199599182a a S a +===,52a \=，故答案为：2. 【思路点拨】利用等差数列的前n 项和以及等差数列的性质找出9S 与5a 间的关系解之即可.12.如果数列{}n a 满足1111n n a a +-=，11a =，则2014a =_________ ． 【知识点】 等差数列的通项公式；等差数列的定义.【答案解析】12014解析 ：解：因为11a =，1111n n a a +-=，所以数列1n a 禳镲睚镲铪是以1为首项，1为公差的等差数列，则有()()1111111n n d n n a a =+-=+-?，所以201412014a =，即201412014a =，故答案为12014.【思路点拨】由等差数列的定义可得数列1n a 禳镲睚镲铪是等差数列，然后求其通项公式再求结果即可.13.圆柱形容器内盛有高度为4cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是________cm.【知识点】组合几何体的面积、体积问题．【答案解析】2解析 ：解：设球半径为r ，则由3V V V +=球水柱可得32243463r r r rp p p ?创＝，解得2r =．故答案为：2.【思路点拨】设出球的半径，三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，求解即可． 14.在等比数列{}n a 中，1234561,3a a a a a a ++=++=，则该数列的前9项的和等于_____ ．【知识点】等比数列的性质. 【答案解析】13解析 ：解： 因为()34561233a a a q a a a ++=++=，1231,a a a ++=所以33q =，而()3789456339a a a q a a a ++=++=?，所以该数列的前9项的和()()()912345678913913S a a a a a a a a a =++++++++=++=，故答案为:13.【思路点拨】利用已知条件先求得789a a a ++，再求该数列的前9项的和即可.15.=_____ ．【知识点】诱导公式；二倍角的余弦公式的逆用；辅助角公式.2020=()0000000000sin 45cos5cos 45sin5cos5sin5cos 40cos 40cos 40++===【思路点拨】借助于三角公式进行化简即可. 三、解答题（共75分）16. ABC D 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若2,b ac =且22a bc ac c +=+.（1）求A Ð的大小;（2）求sin b Bc 的值.【知识点】正弦定理；余弦定理.【答案解析】（1）60A =（2）解析 ：解：(1)2222222cos b aca bc ac c abc bc A ì=ïï+=+íïï=+-î1cos 2A ?60A ?. 6分(2)sin sin sin sin b B B Bc C ⋅=，又2b ac =，有2sin sin sin B A C =，则sin sin b B A c==分 【思路点拨】（1）利用已知条件结合余弦定理即可得到结果；（2）正弦定理结合已知条件2b ac =的变形2sin sin sin B A C =即可.17.已知()()13cos ,cos 55a b a b +=-=. （1）求tan tan a b 的值；（2）若()30,,0,2pa b p a b 骣琪+??琪桫求cos 2b的值.【知识点】两角和与差的余弦公式.【答案解析】（1）12（2）解析 ：解：(1) 1cos()5cos()3cos()3cos()5αβαβαβαβ⎧+=⎪⎪⇒-=+⎨⎪-=⎪⎩14sin sin 2cos cos tan tan 2αβαβαβ⇒=⇒=5分(2) 1cos()()5(0,)sin αβαβαβπ⎧+=⎪⇒+=⎨⎪+∈⎩ 6分3cos()5(,0)32(,0)2αβπαβπαβ⎧-=⎪⎪⇒-∈-⎨⎪-∈-⎪⎩ 7分 4sin()5αβ-=-8分cos2cos[()()]βαβαβ=+--=12分【思路点拨】（1）把两个已知条件展开即可；（2）用a b +与a b -表示出2b 即可求cos 2b .18.已知0,a >解关于x 的不等式()22140ax a x -++<.【知识点】含参数的一元二次不等式的解法.【答案解析】不等式的解集为当01a <<，解为22x a <<；当1a >，解为22x a <<；当1a =，无解解析 ：解：方程22(1)40ax a x -++<的两根为2,2a ，1当01a <<，即22a >，解为22x a <<； 4分 2当1a >，即22a <，解为22x a <<； 8分 3当1a =，即22a =，无解； 11分综上，不等式的解集为当01a <<，解为22x a <<；当1a >，解为22x a <<；当1a =，无解 12分 【思路点拨】对参数进行分类讨论即可. 19.已知向量()1cos ,sin p a a =，向量()2cos ,sin p b b =.（1）求1p 在2p 方向上的投影；（2）求122p p +的最大值；（3）若3pa b -=，R l Î，()12nn a p p l 轾=?犏臌，12...n n S a a a =+++，求n S .【知识点】向量的数量积公式; 向量的坐标表示; 分类讨论的思想方法;等比数列求和.【答案解析】（1）cos()a b -（2）3（3）,21(1())2,22n n n S l l l l l ì=ïï=í-ï¹ï-î解析 ：解：(1)12122=cos()||p p p p p αβ⋅-在方向上的投影为3分(2)21212|2|=5+4cos()9|2|3p p p p αβ-≤⇒≤++， 当cos()1αβ-=，即当2()k k Z αβπ-=∈时，12max |2|3p p =+， 7分 (3) 12()(cos())1()23n nn n n a p p a λλαβλπαβ⎧=⋅=-⎪⇒=⎨-=⎪⎩， 9分12111()()()222nn S λλλ=+++，,211(1())22,201120=0n n n S l l l l ll l ì=ïï-ïï=构íï-ïïïî且，,21(1())2,22n n l l l l l ì=ïï=í-ï¹ï-î 12分【思路点拨】（1）利用向量的数量积公式的变形公式即可；（2）用向量的坐标表示出122p p +再求最大值即可；（3）利用分类讨论的思想方法求等比数列的前n 项和即可. 20.已知函数22()cos cos sin f x x x x x =+-.（1）当时0,2x p轾Î犏犏臌，求()f x 的值域； （2）如果6()5f q =，263p pq <<，求cos 2q 的值；（3）如果6()5f q =，求2tan 6p q骣琪-琪桫的值.【知识点】降次公式；辅助角公式；函数的值域；两角差的余弦公式.【答案解析】（1）[1,2]-（23）14解析 ：解：（1）解：()cos 222sin(2)6f x x x x π=+=+… 2分 [0,]2x π∴∈ 72666x πππ∴≤+≤1sin(2)126x π∴-≤+≤ … 3分()f x ∴的值域为[1,2]- … 4分（2）6()5f θ=∴3sin(2)65πθ+=又263ππθ<<， ∴32262πππθ<+<∴4cos(2)65πθ+=- …5分 ∴cos 2cos[(2)]66ππθθ=+- …7分 =cos(2)cos sin(2)sin 6666ππππθθ+++=431552-⋅…8分（3） 6()5f θ=∴3sin(2)65πθ+= ∴cos(2)3πθ-=3sin(2)65πθ+= …10分 ∴222sin ()1cos(2)63tan ()6cos ()1cos(2)63ππθθπθππθθ----==-+- …12分 =31153415-=+ … 13分 【思路点拨】（1）先把函数化简，然后再借助于定义域可求；（2）利用已知条件可求出sin(2),cos(2)66p p q q ++，然后代入cos 2cos[(2)]66ππθθ=+-的展开式即可；（3）利用正切式可求.21.已知数列{}n a 的前项n 和()*2324n n n S a n N =-??.（1）求证数列2nn a 禳镲睚镲铪是等差数列；（2）设n T 是数列{}4n S -的前项n 和，求n T ；（3）设()11352n nn n n c a a -++=，数列{}n c 的前项n 和为n Q ，求证2152n Q ?.【知识点】构造新数列；错位相减法；数列的单调性.【答案解析】（1）见解析（2）14(146)2n n T n =--（3）见解析解析 ：解：(1)证明：2324n n n S a =-⋅+ ① 当2n ≥时，1112324n n n S a ---=-⋅+ ②①-②得：112232n n n n a a a --=--⋅即11232n n n a a --=+⋅，等式两边同除2n 得：113222n n n n a a --=+,∴数列{}2n n a 是等差数列 …4分（2）1112324S a =-⋅+，∴12a =,由（1）113(1)222n n a a n =+-=312n - ∴3122n n n a -=⋅,∴4(34)2n n S n -=- …6分 12(4)(4)...(4)n n T S S S =-+-++-=12(314)2(324)2...(34)2n n ⋅-+⋅-++⋅-错位相减易求14(146)2n n T n =-- …8分（3）11(35)231322222n n n n n C n n -++=-+⋅⋅⋅=(35)(31)(32)2n n n n +-⋅+⋅ …9分 =2(32)(31)(31)(32)2n n n n n +---⋅+⋅ =111(31)2(32)2n n n n ---+ …12分易求n Q =011(311)2(32)2n n -⨯-+ =112(32)2n n -+ …13分显然{}n Q 单增，又1(32)2n n +>0，∴112n Q Q ≤<,即2152n Q ≤<…14分 【思路点拨】（1）由已知得到1112324n n n S a ---=-⋅+，两式相减构造新数列即可证明；（2）利用错位相减法求和即可；（3）利用函数的单调性即可证明.。
第Ⅰ卷（共60分)一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1。
C ∆AB 的三个内角A ,B ，C 所对的边分别为a ,b ,c ，若3πB =，1a =，3b =则A =（ ）A ．150B ．30 C ．60 D ．1202.平面内已知向量()2,1a =-,若向量b 与a 方向相反，且25b=,则向量b =（）A ．()2,4-B ．()4,2-C ．()4,2-D ．()2,4-3.已知数列{}n a 的前n 项和为31n n S =-（n *∈N ）,则5a =( )A ．242B ．160C ．162D ．4864。
若0x y >>,m n >，则下列不等式正确的是（ ）A ．xm ym >B ．x m y n -≥-C ．x y nm> D ．x xy >5。
等差数列{}n a 中，4791232a a a a +++=,则能求出值的是（ )A ．12S B ．13S C ．15SD ．14S6。
C ∆AB 中，若()sinC 3cos sin cos =A +A B ，则()A ．3πB = B ．2b a c =+ C ．C ∆AB 是直角三角形 D ．222ab c =+或2C B =A +7。
数列2014，2015,1,2014-，⋅⋅⋅；从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则该数列的前2015项之和等于（ ）A ．2014B ．2015C ．1D ．08。
在等腰C ∆AB 中,C 90∠BA =，C 2AB =A =，C 2D B =B ，C 3A =AE ，则D A ⋅BE 的值为( )A ．43- B ．13- C ．13D ．4310.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C 处(点C 在水平地面下方,O 为C H 与水平地面ABO 的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A 、B 两地相距100米,C 60∠BA =,其中A 到C 的距离比B 到C 的距离远40米．A 地测得该仪器在C 处的俯角为C 15∠OA =，A 地测得最高点H 的仰角为30∠HAO =，则该仪器的垂直弹射高度C H 为（ ）A ．21062米B ．1406C ．2102D ．(21062米11。
2015-2016学年四川省成都七中高一（下）入学数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列各组函数是同一函数的是（）①与；②f（x）=x与；③f（x）=x0与；④f（x）=x2﹣2x﹣1与g（t）=t2﹣2t﹣1．A．①②B．①③C．③④D．①④2．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=lnx B．y=x2+1 C．y=sinx D．y=cosx3．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin（x+φ）+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）A．5 B．6 C．8 D．104．设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．125．若A={x∈Z|2≤22﹣x＜8}，B={x∈R||log2x|＞1}，则A∩（∁R B）的元素个数是（）A．0 B．1 C．2 D．36．函数f（x）与的图象与图象关于直线y=x对称，则的f（4﹣x2）的单调增区间是（）A．（﹣∞，00，+∞）C．（﹣2，00，2）7．将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）A． B．C．D．8．如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．9．设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪（1，+∞）B．（，1）C．（）D．（﹣∞，﹣，）10．如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（）A．{x|﹣1＜x≤0}B．{x|﹣1≤x≤1}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣1＜x≤2}11．已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a12．已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（，2）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若函数f（x）=xln（x+）为偶函数，则a=．14．若函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）=f（1﹣x），且f（x）在4，+∞），则实数a的取值范围是．16．设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知tanα=2．（1）求tan（α+）的值；（2）求的值．18．已知函数f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣），x∈R．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．19．已知全集U=R，A={x||x﹣1|≥1}，B为函数的定义域，C为g（x）=lg（a ＜1）的定义域；（1）A∩B；C U（A∪B）（2）若C⊆B，求实数a的取值范围．20．已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经如下变换得到：先将g（x）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得的图象向右平移个单位长度．（1）求函数f（x）的解析式，并求其图象的对称轴方程；（2）已知关于x的方程f（x）+g（x）=m在a，ba，ba，ba，b B． D．0，2）故选D．7．将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）A． B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用三角函数的最值，求出自变量x1，x2的值，然后判断选项即可．【解答】解：因为将函数f（x）=sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1﹣x2|min=，不妨x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最小值，sin（2×﹣2φ）=﹣1，此时φ=，不合题意，x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最大值，sin（2×﹣2φ）=1，此时φ=，满足题意．故选：D．8．如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】正切函数的图象．【分析】根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可．【解答】解：当0≤x≤时，BP=tanx，AP==，此时f（x）=+tanx，0≤x≤，此时单调递增，当P在CD边上运动时，≤x≤且x≠时，如图所示，tan∠POB=tan（π﹣∠POQ）=tanx=﹣tan∠POQ=﹣=﹣，∴OQ=﹣，∴PD=AO﹣OQ=1+，PC=BO+OQ=1﹣，∴PA+PB=，当x=时，PA+PB=2，当P在AD边上运动时，≤x≤π，PA+PB=﹣tanx，由对称性可知函数f（x）关于x=对称，且f（）＞f（），且轨迹为非线型，排除A，C，D，故选：B．9．设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪（1，+∞）B．（，1）C．（）D．（﹣∞，﹣，）【考点】对数函数的图象与性质；函数单调性的性质．【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）=ln（1+|x|）﹣为偶函数，且在x≥0时，f（x）=ln（1+x）﹣，导数为f′（x）=+＞0，即有函数f（x）在0，+∞）上单调递增，根据f（x）为偶函数，便可将自变量的值变到区间0，+∞）上的单调性即可比较出a，b，c的大小．【解答】解：∵f（x）为偶函数；∴f（﹣x）=f（x）；∴2|﹣x﹣m|﹣1=2|x﹣m|﹣1；∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|；（﹣x﹣m）2=（x﹣m）2；∴mx=0；∴m=0；∴f（x）=2|x|﹣1；∴f（x）在m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于1．【考点】抽象函数及其应用．【分析】先由f（1+x）=f（1﹣x）得到f（x）的图象关于直线x=1轴对称，进而求得a=1，再根据题中所给单调区间，求出m≥1．【解答】解：因为f（1+x）=f（1﹣x），所以，f（x）的图象关于直线x=1轴对称，而f（x）=2|x﹣a|，所以f（x）的图象关于直线x=a轴对称，因此，a=1，f（x）=2|x﹣1|，且该函数在（﹣∞，11，+∞）上单调递增，又因为函数f（x）在4，+∞），则实数a的取值范围是（1，24，+∞），故当x≤2时，满足f（x）=6﹣x≥4．当x＞2时，由f（x）=3+log a x≥4，∴log a x≥1，∴log a2≥1，∴1＜a≤2．综上可得，1＜a≤2，故答案为：（1，2﹣，﹣，﹣，（x﹣a ﹣1）（2a﹣x）0，2π）内有两个不同的解α，β．①求实数m的取值范围；②请用m的式子表示cos（α﹣β）．【考点】两角和与差的余弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得：f（x）=2sinx，从而可求对称轴方程．（2）①由三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得f（x）+g（x）=sin（x+φ）（其中sinφ=，cosφ=），从而可求||＜1，即可得解．②由题意可得sin（α+φ）=，sin（β+φ）=．当1≤m＜时，可求α﹣β=π﹣2（β+φ），当﹣＜m＜0时，可求α﹣β=3π﹣2（β+φ），由cos（α﹣β）=2sin2（β+φ）﹣1，从而得证．【解答】解：（1）将g（x）=cosx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到y=2cosx的图象，再将y=2cosx的图象向右平移个单位长度后得到y=2cos（x﹣）的图象，故f（x）=2sinx，从而函数f（x）=2sinx图象的对称轴方程为x=kπ+（k∈Z）．（2）①f（x）+g（x）=2sinx+cosx=（）=sin（x+φ）（其中sinφ=，cosφ=）依题意，sin（x+φ）=在区间0，2π）内的两个不同的解，所以sin（α+φ）=，sin（β+φ）=．当1≤m＜时，α+β=2（﹣φ），即α﹣β=π﹣2（β+φ）；当﹣＜m＜1时，α+β=2（﹣φ），即α﹣β=3π﹣2（β+φ）；所以cos（α﹣β）=﹣cos2（β+φ）=2sin2（β+φ）﹣1=2（）2﹣1=．21．设f（x）是定义在R上的函数，对任意实数m、n，都有f（m）•f（n）=f（m+n），且当x＜0时，f（x）＞1．（1）证明：①f（0）=1；②当x＞0时，0＜f（x）＜1；③f（x）是R上的减函数；（2）设a∈R，试解关于x的不等式f（x2﹣3ax+1）•f（﹣3x+6a+1）≥1．【考点】抽象函数及其应用；函数单调性的性质．【分析】（1）①令m=n=0，即可求得f（0）=1；②利用当x＜0时，f（x）＞1与f（0）=1即可证得当x＞0时，0＜f（x）＜1；③任取x1＜x2，可求得f（x1﹣x2）=＞1⇒f（x1）＞f（x2），从而可证y=f（x）在定义域R上为减函数；（2）逆用已知f（m）•f（n）=f（m+n），将f（x2﹣3ax+1）•f（﹣3x+6a+1）≥1转化为x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）≤0，再解此不等式即可．【解答】解：（1）①证明：在f（m）•f（n）=f（m+n）中，令m=n=0得f（0）•f（0）=f（0+0）即f（0）=f（0）•f（0）．∴f（0）=0或f（0）=1，若f（0）=0，则当x＜0时，有f（x）=f（x+0）=f（x）•f（0）=0，与题设矛盾，∴f（0）=1．②当x＞0时，﹣x＜0，由已知得f（﹣x）＞1，又f（0）=f=f（x）•f（﹣x）=1，f（﹣x）＞1，∴0＜f（x）=＜1，即x＞0时，0＜f（x）＜1．③任取x1＜x2，则f（x1）=f（x1﹣x2+x2）=f（x1﹣x2）•f（x2），∵x1﹣x2＜0，∴f（x1﹣x2）＞1，又由（1）（2）及已知条件知f（x2）＞0，∴f（x1﹣x2）=＞1∴f（x1）＞f（x2），∴y=f（x）在定义域R上为减函数．（2）f（x2﹣3ax+1）•f（﹣3x+6a+1）=f（x2﹣3ax+1﹣3x+6a+1）=f又f（0）=1，f（x）在R上单调递减，∴原不等式等价于x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）≤0不等式可化为（x﹣2）≤0当2＜3a+1，即a＞时，不等式的解集为{x|2≤x≤3a+1}；当2=3a+1，即a=时，（x﹣2）2≤0，不等式的解集为{2}；当2＞3a+1，即a＜时，不等式的解集为{x|3a+1≤x≤2}．22．已知y=f（x）（x∈D，D为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数f（x）在D内单调递增或单调递减；②如果存在区间⊆D，使函数f（x）在区间上的值域为，那么称y=f（x），x∈D为闭函数；请解答以下问题：（1）求闭函数y=﹣x3符合条件②的区间；（2）判断函数是否为闭函数？并说明理由；（3）若是闭函数，求实数k的取值范围．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】（1）确定y=﹣x3是R上的减函数，可得a+b=0，又b＞a，即可得出结论；（2）当在上单调递减，在上单调递增，可得结论；（3）易知是（0，+∞）上的增函数，符合条件①；设函数符合条件②的区间为，则，利用条件，可得结论．【解答】解：（1）先证y=﹣x3符合条件①：对于任意x1，x2∈R，且x1＜x2，有==，∴y1＞y2，故y=﹣x3是R上的减函数．由题可得：则（a+b）=﹣（a3+b3），∴（a+b）=0而，∴a+b=0，又b＞a，∴a=﹣1，b=1所求区间为（2）当在上单调递减，在上单调递增，所以，函数在定义域上不是单调递增或单调递减函数，从而该函数不是闭函数（3）易知是（0，+∞）上的增函数，符合条件①；设函数符合条件②的区间为，则；故a，b是的两个不等根，即方程组为：有两个不等非负实根；设x1，x2为方程x2﹣（2k+1）x+k2=0的二根，则，解得：，∴k的取值范围．2016年10月23日。
2014-2015学年四川省成都七中实验学校高一（下）期中数学试卷一．选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．）1．（5分）cos13°cos17°﹣sin17°sin13°=（）A．﹣B．﹣C．D．2．（5分）函数y=2cos2x+1的周期是（）A．B．πC．D．2π3．（5分）等比数列{a n}中，若a3=﹣9，a7=﹣1，则a5的值为（）A．3或﹣3B．3C．﹣3D．﹣54．（5分）1202年，意大利数学家斐波那契在他的书中给出了一个关于兔子繁殖的递推关系：F n=F n﹣1+F n﹣2，其中F n表示第n个月的兔子的总对数，F1=F2=1，则F8的值为（）A．13B．21C．34D．555．（5分）在三角形ABC中，a=2，A=30°，C=45°，则三角形的面积S的值是（）A．B．+1C．（+1）D．26．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S n=2a n+1，则S n=（）A．2n﹣1B．C．D．7．（5分）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若c•cosB=b•cosC，且cosA=，则cosB等于（）A．±B．C．±D．8．（5分）将自然数按照表的规律排列，如第2行第3列的数是8，则第2015行第2016列的数是（）A．2015×2016+3B．2015×2016+2C．2015×2016+1D．2015×20169．（5分）设S n是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误的是（）A．若d＜0，则数列{S n}有最大项B．若数列{S n}有最大项，则d＜0C．若对任意n∈N*，均有S n＞0，则数列{S n}是递增数列D．若数列{S n}是递增数列，则对任意n∈N*，均有S n＞010．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n且满足S15＞0，S16＜0则中最大的项为（）A．B．C．D．11．（5分）函数f（x）=（6x﹣）2tan（4x﹣1）+x+，f（）+f（）+f（）+…+f（）=（）A．n B．n﹣1C．D．12．（5分）对数列{a n}，规定{△a n}为数列{a n}的一阶差分数列，其中△a n=a n+1﹣a n（n∈N*）；一般地，规定{△k a n}为数列{a n}的k阶差分数列，其中△k a n=△k﹣1a n+1﹣△k﹣1a n（n，k∈N*，k≥2）．已知数列{a n}的通项公式a n=n2+n①△a n=2n+2；②数列{△3a n}既是等差数列，又是等比数列；③数列{△a n}的前n项之和为a n=n2+n；④{△2a n}的前2015项之和为4030．则以下结论正确的命题个数为（）A．0B．1C．2D．3二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分，把答案填在题中的横线上.）13．（4分）求值cos105°=．14．（4分）数列{a n}满足a n=（n＞1）且a1=﹣，则a2015=．15．（4分）已知等差数列{a n}中，a2，a4，a9成等比数列，则=．16．（4分）在△ABC中，a，b，c分别是内角A、B、C所对的边，．若，且D、E、F三点共线（该直线不过点O），则△ABC周长的最小值是．三.解答题（17-21每小题12分，22题14分，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（12分）若等差数列的前6项和为36，前9项和为81，（1）求a n；（2）求数列{}的前n项和S n．18．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以x为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点．已知A，B的横坐标分别为，．（1）求tan（α+β）的值；（2）求2α+β的值．19．（12分）力综合治理交通拥堵状况，缓解机动车过快增长势头，一些大城市出台了“机动车摇号上牌”的新规．某大城市2014年初机动车的保有量为600万辆，预计此后每年将报废本年度机动车保有量的5%，且报废后机动车的牌照不再使用，同时每年投放10万辆的机动车牌号，只有摇号获得指标的机动车才能上牌，经调研，获得摇号指标的市民通常都会在当年购买机动车上牌．（Ⅰ）问：到2018年初，该城市的机动车保有量为多少万辆；（Ⅱ）根据该城市交通建设规划要求，预计机动车的保有量少于500万辆时，该城市交通拥堵状况才真正得到缓解．问：至少需要多少年可以实现这一目标．（参考数据：0.954=0.81，0.955=0.77，lg0.75=﹣0.13，lg0.95=﹣0.02）20．（12分）已知函数f（x）=sinxcosx+sin2x﹣，将函数f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，设△ABC得三个角A，B，C的对边分别是a，b，c（1）若f（C）=0，c=，2sinA=sinB，求a，b的值；（2）若g（B）=0，且=（cosA，cosB），=（1，sinA﹣cosAtanB），求•的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y满足f（x）=f（y）f（x﹣y），且f（1）=．（1）当n∈N*时，求证：数列{f（n）}是等比数列；（2）设a n=（n+1）•f（n），求和：a1+a2+a3+…+a n．22．（14分）九连环是我国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．按照某种规则解开九连环，至少需要移动圆环a9次．我们不妨考虑n个圆环的情况，用a n表示解下n个圆环所需的最少移动次数，用b n表示前（n﹣1）个圆环都已经解下后，再解第n个圆环所需的次数，按照某种规则可得：a1=1，a2=2，a n=a n﹣2+1+b n﹣1，b1=1，b n=2b n﹣1+1．（1）求b n的表达式；（2）求a9的值，并求出a n的表达式；（3）求证：．2014-2015学年四川省成都七中实验学校高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．）1．（5分）cos13°cos17°﹣sin17°sin13°=（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：cos13°cos17°﹣sin17°sin13°=cos（17°+13°）=cos30°=．故选：D．2．（5分）函数y=2cos2x+1的周期是（）A．B．πC．D．2π【解答】解：函数y=2cos2x+1=cos2x+2，它的周期为=π，故选：B．3．（5分）等比数列{a n}中，若a3=﹣9，a7=﹣1，则a5的值为（）A．3或﹣3B．3C．﹣3D．﹣5【解答】解：等比数列{a n}中，a3=﹣9，a7=﹣1，由等比数列的定义和性质可得a52=a3•a7=9，解得a5=﹣3，或a5=3（不合题意，舍去），因为若a5=3，则a42=a3•a5=﹣27，a4不存在．故选：C．4．（5分）1202年，意大利数学家斐波那契在他的书中给出了一个关于兔子繁殖的递推关系：F n=F n﹣1+F n﹣2，其中F n表示第n个月的兔子的总对数，F1=F2=1，则F8的值为（）A．13B．21C．34D．55【解答】解：∵F1=F2=1，F n=F n﹣1+F n﹣2（n≥3，n∈N*），∴F3=1+1=2，F4=2+1=3，F5=3+2=5，F6=5+3=8，F7=5+8=13，F8=8+13=21故选：B．5．（5分）在三角形ABC中，a=2，A=30°，C=45°，则三角形的面积S的值是（）A．B．+1C．（+1）D．2【解答】解：由a=2，A=30°，C=45°，且则故sinB=sin（180°﹣30°﹣45°）=sin（60°+45°）=，故，故选：B．6．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S n=2a n+1，则S n=（）A．2n﹣1B．C．D．【解答】解：∵a1=1，S n=2a n+1，∴S n=2（S n+1﹣S n），化为：S n+1=S n．∴数列{S n}是等比数列，公比为，首项为1．则S n=．故选：D．7．（5分）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若c•cosB=b•cosC，且cosA=，则cosB等于（）A．±B．C．±D．【解答】解：在△ABC中，∵c•cosB=b•cosC，∴由正弦定理可得sinCcosB=sinBcosC，即sin（C﹣B）=0．再结合﹣π＜C﹣B＜π，可得C﹣B=0，即C=B，∴A=π﹣B﹣C=π﹣2B，∴B=，．∴cosB=cos=sin===，故选：B．8．（5分）将自然数按照表的规律排列，如第2行第3列的数是8，则第2015行第2016列的数是（）A．2015×2016+3B．2015×2016+2C．2015×2016+1D．2015×2016【解答】解：表中的每行的第一个数构成的数列记为{a n}则a2﹣a1=1，a3﹣a2=3，a4﹣a3=5…a2015﹣a2014=2×2014﹣1以上式子叠加可得，a2015=2015×2013+2由表中的数据规律可知，第2015行中共有2015个∵第2016行的第一个数为2016×2014+2∵第2016行的数是以2016×2014+2为首项，1为公差的等差数列，且横行有2016个数，该数是2016×2014+2+2015则上起第2015行，左起第2016列的数是在第2016行第2016列的数的上面的一个数即2016×2014+2+2015+1=2016×2014+2016+2=2016×2015+2故选：B．9．（5分）设S n是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误的是（）A．若d＜0，则数列{S n}有最大项B．若数列{S n}有最大项，则d＜0C．若对任意n∈N*，均有S n＞0，则数列{S n}是递增数列D ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n ＞0【解答】解：由等差数列的求和公式可得S n =na 1+d=n 2+（a 1﹣）n ， 选项A ，若d ＜0，由二次函数的性质可得数列{S n }有最大项，故正确； 选项B ，若数列{S n }有最大项，则对应抛物线开口向下，则有d ＜0，故正确； 选项C ，若对任意n ∈N *，均有S n ＞0，对应抛物线开口向上，d ＞0，可得数列{S n }是递增数列，故正确；选项D ，若数列{S n }是递增数列，则对应抛物线开口向上，但不一定有任意n ∈N *，均有S n ＞0，故错误．故选：D ．10．（5分）设等差数列{a n }的前n 项和为S n 且满足S 15＞0，S 16＜0则中最大的项为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：∵等差数列前n 项和S n =•n 2+（a 1﹣）n ，由S 15=15a 8＞0，S 16=16×＜0可得：a 8＞0，a 9＜0，d ＜0；故Sn 最大值为S 8．又d ＜0，a n 递减，前8项中S n 递增，故S n 最大且a n 取最小正值时，有最大值， 即最大．故选：C ．11．（5分）函数f （x ）=（6x ﹣）2tan （4x ﹣1）+x +，f （）+f （）+f （）+…+f （）=（ ） A ．n B ．n ﹣1 C ． D ．【解答】解：∵f（x）+=（6x﹣）2tan（4x﹣1）+x++tan（1﹣4x）+﹣x+=2，∴=2，∴S n=f（）+f（）+f（）+…+f（）=×2n=n，故选：A．12．（5分）对数列{a n}，规定{△a n}为数列{a n}的一阶差分数列，其中△a n=a n+1﹣a n（n∈N*）；一般地，规定{△k a n}为数列{a n}的k阶差分数列，其中△k a n=△k﹣1a n+1﹣△k﹣1a n（n，k∈N*，k≥2）．已知数列{a n}的通项公式a n=n2+n①△a n=2n+2；②数列{△3a n}既是等差数列，又是等比数列；③数列{△a n}的前n项之和为a n=n2+n；④{△2a n}的前2015项之和为4030．则以下结论正确的命题个数为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：由于△a n=a n+1﹣a n（n∈N*），{△k a n}为数列{a n}的k阶差分数列，△k a n=△k﹣1a n+1﹣△k﹣1a n（n，k∈N*，k≥2）．a n=n2+n故△a n=a n+1﹣a n =（n+1）2+（n+1）﹣[n2+n]=2n+2，故①正确．由于△2a n=2（n+1）+2﹣（2n+2）=2，∴{△2a n}是首项为2，公差为0的等差数列，故对数列{△3a n}，△3a n=2﹣2=0，故数列{△3a n}是等差数列，但不是等比数列，故②不正确．数列{△a n}的前n项之和为△a1+△a2+…+△a n=a2﹣a1+a3﹣a2+…+a n+1﹣a n=a n+1﹣a1=（n+1）2+（n+1）﹣[1+1]=n2+3n，故③不正确．由于△2a n=2（n+1）+2﹣（2n+2）=2，∴{△2a n}是首项为2，公差为0的等差数列，{△2a n}的前2015项之和为2×2015=4030，故④正确．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分，把答案填在题中的横线上.）13．（4分）求值cos105°=．【解答】解：cos105°=cos（60°+45°）=cos60°cos45°﹣sin60°sin45°=×﹣×=．故答案为：14．（4分）数列{a n}满足a n=（n＞1）且a1=﹣，则a2015=5．【解答】解：由a n=（n＞1）且a1=﹣，得，，，…由上可知，数列{a n}是以3为周期的周期数列，则a2015=a3×671+2=a2=5．故答案为：5．15．（4分）已知等差数列{a n}中，a2，a4，a9成等比数列，则=1或．【解答】解：设等差数列的公差为d，由a2，a4，a9成等比数列，可得=（a1+d）（a1+8d），解得d=0，或d=3a1．当d=0时，等差数列{a n}是常数数列，=1．当d=3a1时，===．故答案为1 或．16．（4分）在△ABC中，a，b，c分别是内角A、B、C所对的边，．若，且D、E、F三点共线（该直线不过点O），则△ABC周长的最小值是．【解答】解：∵已知，且D、E、F三点共线，∴a+b=1．∵△ABC中，角∴c2=a2+b2﹣2abcos=（a+b）2﹣3ab=1﹣3ab∵ab≤（）2=，∴1﹣3ab≥1﹣=，得c2≥，当且仅当a=b时，边c的最小值为因此，△ABC周长a+b+c的最小值为1+=故答案为：三.解答题（17-21每小题12分，22题14分，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（12分）若等差数列的前6项和为36，前9项和为81，（1）求a n；（2）求数列{}的前n项和S n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则，解得a1=1，d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（2）∵==（）．∴S n=（1﹣）+（﹣）+…（）=（1﹣+…+）=（1﹣）=．18．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以x为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点．已知A，B的横坐标分别为，．（1）求tan（α+β）的值；（2）求2α+β的值．【解答】解：（1）由已知得：．∵α，β为锐角，∴．∴．∴．（2）∵，∴．∵α，β为锐角，∴，∴．19．（12分）力综合治理交通拥堵状况，缓解机动车过快增长势头，一些大城市出台了“机动车摇号上牌”的新规．某大城市2014年初机动车的保有量为600万辆，预计此后每年将报废本年度机动车保有量的5%，且报废后机动车的牌照不再使用，同时每年投放10万辆的机动车牌号，只有摇号获得指标的机动车才能上牌，经调研，获得摇号指标的市民通常都会在当年购买机动车上牌．（Ⅰ）问：到2018年初，该城市的机动车保有量为多少万辆；（Ⅱ）根据该城市交通建设规划要求，预计机动车的保有量少于500万辆时，该城市交通拥堵状况才真正得到缓解．问：至少需要多少年可以实现这一目标．（参考数据：0.954=0.81，0.955=0.77，lg0.75=﹣0.13，lg0.95=﹣0.02）【解答】解：（Ⅰ）设2012年年初机动车保有量为a1万辆，以后各年年初机动车保有量依次为a2万辆，a3万辆，…，每年新增机动车10万辆，则a1=600，a n+1=0.95a1+10，﹣200=0.95（a n﹣200），又a n+1且a1﹣200=600﹣200=400，∴数列{a n﹣200}是以400为首项，0.95为公比的等比数列，∴，即，∴2018年初机动车保有量为万辆．（Ⅱ）由题意知，，即0.95n﹣1＜0.75，∴+1=7.5．故至少需要8年时间才能实现目标．20．（12分）已知函数f（x）=sinxcosx+sin2x﹣，将函数f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，设△ABC得三个角A，B，C的对边分别是a，b，c（1）若f（C）=0，c=，2sinA=sinB，求a，b的值；（2）若g（B）=0，且=（cosA，cosB），=（1，sinA﹣cosAtanB），求•的取值范围．【解答】解：=，g（x）==﹣1，所以：（1）由f（C）=0得：，∵0＜C＜π，∴，∴，∴C=；由2sinA=sinB，及正弦定理得：，所以b=2a ①由余弦定理得：②所以由①②解得：a=，．（2）由g（B）=0得：，∵0＜B＜π，∴，∴2B=，∴B=；=，∵，∴；∴，∴，故的取值范围是：（0，1]．21．（12分）已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y满足f（x）=f（y）f（x﹣y），且f（1）=．（1）当n∈N*时，求证：数列{f（n）}是等比数列；（2）设a n=（n+1）•f（n），求和：a1+a2+a3+…+a n．【解答】（1）证明：取x=n+1，y=1，则由f（x）=f（y）f（x﹣y），得f（n+1）=f（1）•f（n）=，∴数列{f（n）}是以为首项，以为公比的等比数列；（2）解：由（1）知，f（n）=，a n=（n+1）•f（n）=（n+1），则S n=a1+a2+a3+…+a n=，，两式作差得：=．∴．22．（14分）九连环是我国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．按照某种规则解开九连环，至少需要移动圆环a9次．我们不妨考虑n个圆环的情况，用a n表示解下n个圆环所需的最少移动次数，用b n表示前（n﹣1）个圆环都已经解下后，再解第n个圆环所需的次数，按照某种规则可得：a1=1，a2=2，a n=a n﹣2+1+b n﹣1，b1=1，b n=2b n﹣1+1．（1）求b n的表达式；（2）求a9的值，并求出a n的表达式；（3）求证：．【解答】解：（1）由b n=2b n﹣1+1．可得b n+1=2（b n﹣1+1），又b1+1=2，∴数列{b n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴，得．（2）由已知，∴+28+26+24==341．当n是偶数时，=…==2n﹣1+2n﹣3+…+23+2==．当n是奇数时，=…==2n﹣1+2n﹣3+…+22+1=．综上所述：．（3）当n为偶数时，，当n为奇数时，．∴当n∈N*时，=，∴…+=．。
答 案一．DACBACDC二．9. 8 10.9 11. 5 12. n-123-1⋅三．13．由：[x （a -1）+3](x -3)>00<a <1, ∴-1<a -1<0,∴ 31313>-=--aa ; ∴ 不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<a x x 133|. 14．解: （Ⅰ）由已知2222cos 2bc A a b c bc =---， 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得4cos 2bc A bc =-，∴1cos 2A =-， ∵0A π<<，∴23A π=． （Ⅱ）∵23A π=，∴3B C π=-，03C π<<. 241cos sin()sin()2323C C B B ππ+--=+-2sin()3C π=+． ∵03C π<<，∴2333C πππ<+<， ∴当32C ππ+=，24sin()23C B π--2+，解得6B C π==． 15.Ⅰ)证明：假设存在一个实数λ，使｛a n ｝是等比数列，则有2122a a a =,即 （233λ-）2=44499λλλ⎛⎫-⇔ ⎪⎝⎭22449490,9λλλ-+=-⇔=矛盾. 所以｛a n ｝不是等比数列. （Ⅱ）证明：∵11112(1)[3{1}21](1)(214)3n n n a n b a n a n ++++=--++=--+=n n n b n a 32)213()1(32-=+-⋅-- 又118,(18)0.b λλ≠-∴=-+≠由上式知120,(),3n n n n b b n N b +≠∴=-∈ 故当18,λ≠-时，数列｛b n ｝是以λ-（+18）为首项，23-为公比的等比数列. （Ⅲ）当18λ≠-时，由（Ⅱ）得12(18)(),3n n b λ-=-+∙-于是 32(18)[1()],53n n S λ=-+∙-- 当18λ=-时，0n b =，从而0.n S =上式仍成立. 要使对任意正整数n , 都有12.n S >-即3220(18)[1()]1218.2531()3n n λλ-+∙-->-⇔<--- 令2()1(),3n f n =--则 当n 为正奇数时，51():3f n <≤当n 为正偶数时，5()1,9f n ≤< 5()(1).3f n f ∴=的最大值为 于是可得32018 6.5λ<⨯-=- 综上所述，存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有12;n S >-λ的取值范围为(,6).-∞-。
2015-2016学年四川省成都七中高一（下）入学数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）下列各组函数是同一函数的是（）①与；②f（x）＝x与；③f（x）＝x0与；④f（x）＝x2﹣2x﹣1与g（t）＝t2﹣2t﹣1．A．①②B．①③C．③④D．①④2．（5分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y＝lnx B．y＝x2+1C．y＝sin x D．y＝cos x3．（5分）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin（x+φ）+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）A．5B．6C．8D．104．（5分）设函数f（x）＝，则f（﹣2）+f（log212）＝（）A．3B．6C．9D．125．（5分）若A＝{x∈Z|2≤22﹣x＜8}，B＝{x∈R||log2x|＞1}，则A∩（∁R B）的元素个数是（）A．0B．1C．2D．36．（5分）函数f（x）与的图象与图象关于直线y＝x对称，则的f（4﹣x2）的单调增区间是（）A．（﹣∞，0]B．[0，+∞）C．（﹣2，0]D．[0，2）7．（5分）将函数f（x）＝sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|＝2的x1、x2，有|x1﹣x2|min＝，则φ＝（）A．B．C．D．8．（5分）如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y＝f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．9．（5分）设函数f（x）＝ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪（1，+∞）B．（，1）C．（）D．（﹣∞，﹣，）10．（5分）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（）A．{x|﹣1＜x≤0}B．{x|﹣1≤x≤1}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣1＜x≤2} 11．（5分）已知定义在R上的函数f（x）＝2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a＝f（log0.53），b＝f（log25），c＝f（2m），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a12．（5分）已知函数f（x）＝，函数g（x）＝b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y＝f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（，2）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若函数f（x）＝xln（x+）为偶函数，则a＝．14．（5分）若函数f（x）＝2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）＝f（1﹣x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于．15．（5分）若函数f（x）＝（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是．16．（5分）设函数f（x）＝，①若a＝1，则f（x）的最小值为；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知tanα＝2．（1）求tan（α+）的值；（2）求的值．18．（12分）已知函数f（x）＝sin2x﹣sin2（x﹣），x∈R．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．19．（12分）已知全集U＝R，A＝{x||x﹣1|≥1}，B为函数的定义域，C为g（x）＝lg[（x﹣a﹣1）（2a﹣x）]（a＜1）的定义域；（1）A∩B；∁U（A∪B）（2）若C⊆B，求实数a的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）的图象是由函数g（x）＝cos x的图象经如下变换得到：先将g （x）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得的图象向右平移个单位长度．（1）求函数f（x）的解析式，并求其图象的对称轴方程；（2）已知关于x的方程f（x）+g（x）＝m在[0，2π）内有两个不同的解α，β．①求实数m的取值范围；②请用m的式子表示cos（α﹣β）．21．（12分）设f（x）是定义在R上的函数，对任意实数m、n，都有f（m）•f（n）＝f（m+n），且当x＜0时，f（x）＞1．（1）证明：①f（0）＝1；②当x＞0时，0＜f（x）＜1；③f（x）是R上的减函数；（2）设a∈R，试解关于x的不等式f（x2﹣3ax+1）•f（﹣3x+6a+1）≥1．22．（12分）已知y＝f（x）（x∈D，D为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数f（x）在D内单调递增或单调递减；②如果存在区间[a，b]⊆D，使函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，那么称y＝f（x），x∈D为闭函数；请解答以下问题：（1）求闭函数y＝﹣x3符合条件②的区间[a，b]；（2）判断函数是否为闭函数？并说明理由；（3）若是闭函数，求实数k的取值范围．2015-2016学年四川省成都七中高一（下）入学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：①f（x）＝＝与y＝的对应法则和值域不同，故不是同一函数．②＝|x|与f（x）＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．③f（x）＝x0与都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一函数．④f（x）＝x2﹣2x﹣1与g（t）＝t2﹣2t﹣1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．由上可知是同一函数的是③④．故选：C．2．【解答】解：对于A，y＝lnx定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数；对于B，是偶函数，但是不存在零点；对于C，sin（﹣x）＝﹣sin x，是奇函数；对于D，cos（﹣x）＝cos x，是偶函数并且有无数个零点；故选：D．3．【解答】解：由题意可得当sin（x+φ）取最小值﹣1时，函数取最小值y min＝﹣3+k＝2，解得k＝5，∴y＝3sin（x+φ）+5，∴当当sin（x+φ）取最大值1时，函数取最大值y max＝3+5＝8，故选：C．4．【解答】解：函数f（x）＝，即有f（﹣2）＝1+log2（2+2）＝1+2＝3，f（log212）＝＝×＝12×＝6，则有f（﹣2）+f（log212）＝3+6＝9．故选：C．5．【解答】解：集合A中的不等式变形得：21≤22﹣x＜23，∴1≤2﹣x＜3，解得：﹣1＜x≤1，即x＝0，1，∴A＝{0，1}，集合B中的不等式|log2x|＞1，变形得：log2x＞1＝log22或log2x＜﹣1＝log2，解得：x＞2或0＜x＜，即B＝{x|x＞2或0＜x＜}，∵全集为R，∴∁R B＝{x|x≤0或≤x≤2}，则A∩（∁R B）＝{0，1}，即元素个数是2个．故选：C．6．【解答】解：∵函数f（x）与g（x）＝的图象关于直线y＝x对称，∴函数f（x）是g（x）＝的反函数，∴f（x）＝，f（4﹣x2）＝又4﹣x2＞0，﹣2＜x＜2，∴f（4﹣x2）的增区间[0，2）故选：D．7．【解答】解：因为将函数f（x）＝sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|＝2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1﹣x2|min＝，不妨x1＝，x2＝，即g（x）在x2＝，取得最小值，sin（2×﹣2φ）＝﹣1，此时φ＝，不合题意，x1＝，x2＝，即g（x）在x2＝，取得最大值，sin（2×﹣2φ）＝1，此时φ＝，满足题意．另解：f（x）＝sin2x，g（x）＝sin（2x﹣2φ），设2x1＝2kπ+，k∈Z，2x2﹣2φ＝﹣+2mπ，m∈Z，x1﹣x2＝﹣φ+（k﹣m）π，由|x1﹣x2|min＝，可得﹣φ＝，解得φ＝，故选：D．8．【解答】解：当0≤x≤时，BP＝tan x，AP＝＝，此时f（x）＝+tan x，0≤x≤，此时单调递增，当P在CD边上运动时，≤x≤且x≠时，如图所示，tan∠POB＝tan（π﹣∠POQ）＝tan x＝﹣tan∠POQ＝﹣＝﹣，∴OQ＝﹣，∴PD＝AO﹣OQ＝1+，PC＝BO+OQ＝1﹣，∴P A+PB＝，当x＝时，P A+PB＝2，当P在AD边上运动时，≤x≤π，P A+PB＝﹣tan x，由对称性可知函数f（x）关于x＝对称，且f（）＞f（），且轨迹为非线型，排除A，C，D，故选：B．9．【解答】解：∵函数f（x）＝ln（1+|x|）﹣为偶函数，且在x≥0时，f（x）＝ln（1+x）﹣，导数为f′（x）＝+＞0，即有函数f（x）在[0，+∞）单调递增，∴f（x）＞f（2x﹣1）等价为f（|x|）＞f（|2x﹣1|），即|x|＞|2x﹣1|，平方得3x2﹣4x+1＜0，解得：＜x＜1，所求x的取值范围是（，1）．故选：B．10．【解答】解：由已知f（x）的图象，在此坐标系内作出y＝log2（x+1）的图象，如图满足不等式f（x）≥log2（x+1）的x范围是﹣1＜x≤1；所以不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是{x|﹣1＜x≤1}；故选：C．11．【解答】解：∵f（x）为偶函数；∴f（﹣x）＝f（x）；∴2|﹣x﹣m|﹣1＝2|x﹣m|﹣1；∴|﹣x﹣m|＝|x﹣m|；（﹣x﹣m）2＝（x﹣m）2；∴mx＝0；∴m＝0；∴f（x）＝2|x|﹣1；∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，并且a＝f（|log0.53|）＝f（log23），b＝f（log25），c＝f （0）；∵0＜log23＜log25；∴c＜a＜b．故选：C．12．【解答】解：∵g（x）＝b﹣f（2﹣x），∴y＝f（x）﹣g（x）＝f（x）﹣b+f（2﹣x），由f（x）﹣b+f（2﹣x）＝0，得f（x）+f（2﹣x）＝b，设h（x）＝f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）＝f（x）+f（2﹣x）＝2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）＝f（x）+f（2﹣x）＝2﹣x+2﹣|2﹣x|＝2﹣x+2﹣2+x＝2，若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，则h（x）＝f（x）+f（2﹣x）＝（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|＝x2﹣5x+8．即h（x）＝，作出函数h（x）的图象如图：当x≤0时，h（x）＝2+x+x2＝（x+）2+≥，当x＞2时，h（x）＝x2﹣5x+8＝（x﹣）2+≥，故当b＝时，h（x）＝b，有两个交点，当b＝2时，h（x）＝b，有无数个交点，由图象知要使函数y＝f（x）﹣g（x）恰有4个零点，即h（x）＝b恰有4个根，则满足＜b＜2，故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【解答】解：∵f（x）＝xln（x+）为偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），∴（﹣x）ln（﹣x+）＝xln（x+），∴﹣ln（﹣x+）＝ln（x+），∴ln（﹣x+）+ln（x+）＝0，∴ln（+x）（﹣x）＝0，∴lna＝0，∴a＝1．故答案为：1．14．【解答】解：因为f（1+x）＝f（1﹣x），所以，f（x）的图象关于直线x＝1轴对称，而f（x）＝2|x﹣a|，所以f（x）的图象关于直线x＝a轴对称，因此，a＝1，f（x）＝2|x﹣1|，且该函数在（﹣∞，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，又因为函数f（x）在[m，+∞）上单调递增，所以，m≥1，即实数m的最小值为1．故答案为：1．15．【解答】解：由于函数f（x）＝（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），故当x≤2时，满足f（x）＝6﹣x≥4．①若a＞1，f（x）＝3+log a x在它的定义域上单调递增，当x＞2时，由f（x）＝3+log a x≥4，∴log a x≥1，∴log a2≥1，∴1＜a≤2．②若0＜a＜1，f（x）＝3+log a x在它的定义域上单调递减，f（x）＝3+log a x＜3+log a2＜3，不满足f（x）的值域是[4，+∞）．综上可得，1＜a≤2，故答案为：（1，2]．16．【解答】解：①当a＝1时，f（x）＝，当x＜1时，f（x）＝2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，当x＞1时，f（x）＝4（x﹣1）（x﹣2）＝4（x2﹣3x+2）＝4（x﹣）2﹣1，当1＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增，故当x＝时，f（x）min＝f（）＝﹣1，②设h（x）＝2x﹣a，g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a）若在x＜1时，h（x）＝与x轴有一个交点，所以a＞0，并且当x＝1时，h（1）＝2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函数g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，若函数h（x）＝2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，则函数g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）＝2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1＝a，x2＝2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：tanα＝2．（1）tan（α+）＝＝＝﹣3；（2）＝＝＝＝1．18．【解答】解：（1）∵f（x）＝sin2x﹣sin2（x﹣）＝＝＝＝＝．∴f（x）的最小正周期T＝；（2）∵x∈[﹣，]，∴2x∈[]，则2x﹣∈[]，∴[]．故f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值分别为．19．【解答】解：（1）解|x﹣1|≥1得：x≤0或x≥2∴A＝{x|x≤0，或x≥2}；∵函数f（x）的自变量x应满足，即∴x＜﹣1或x≥1∴B＝{x|x＜﹣1，或x≥1}；A∩B＝{x|x＜﹣1，或x≥2}，A∪B＝{x|x≤0，或x≥1}，∁U（A∪B）＝{x|0＜x＜1}（2）∵函数g（x）的自变量x应满足不等式（x﹣a﹣1）（2a﹣x）＞0．又由a＜1，∴2a＜x＜a+1∴C＝{x|2a＜x＜a+1}∵C⊆B∴a+1≤﹣1或2a≥1∴a≤﹣2或，又a＜1∴a的取值范围为a≤﹣2或．20．【解答】解：（1）将g（x）＝cos x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到y＝2cos x的图象，再将y＝2cos x的图象向右平移个单位长度后得到y＝2cos （x﹣）的图象，故f（x）＝2sin x，从而函数f（x）＝2sin x图象的对称轴方程为x＝kπ+（k∈Z）．（2）①f（x）+g（x）＝2sin x+cos x＝sin（x+φ）（其中sinφ＝，cosφ＝）依题意，sin（x+φ）＝在区间[0，2π）内有两个不同的解α，β，当且仅当||＜1，故m的取值范围是（﹣，）．②因为α，β是方程sin（x+φ）＝m在区间[0，2π）内的两个不同的解，所以sin（α+φ）＝，sin（β+φ）＝．当1≤m＜时，α+β＝2（﹣φ），即α﹣β＝π﹣2（β+φ）；当﹣＜m＜1时，α+β＝2（﹣φ），即α﹣β＝3π﹣2（β+φ）；所以cos（α﹣β）＝﹣cos2（β+φ）＝2sin2（β+φ）﹣1＝2（）2﹣1＝．21．【解答】解：（1）①证明：在f（m）•f（n）＝f（m+n）中，令m＝n＝0得f（0）•f（0）＝f（0+0）即f（0）＝f（0）•f（0）．∴f（0）＝0或f（0）＝1，若f（0）＝0，则当x＜0时，有f（x）＝f（x+0）＝f（x）•f（0）＝0，与题设矛盾，∴f（0）＝1．②当x＞0时，﹣x＜0，由已知得f（﹣x）＞1，又f（0）＝f[x+（﹣x）]＝f（x）•f（﹣x）＝1，f（﹣x）＞1，∴0＜f（x）＝＜1，即x＞0时，0＜f（x）＜1．③任取x1＜x2，则f（x1）＝f（x1﹣x2+x2）＝f（x1﹣x2）•f（x2），∵x1﹣x2＜0，∴f（x1﹣x2）＞1，又由（1）（2）及已知条件知f（x2）＞0，∴f（x1﹣x2）＝＞1∴f（x1）＞f（x2），∴y＝f（x）在定义域R上为减函数．（2）f（x2﹣3ax+1）•f（﹣3x+6a+1）＝f（x2﹣3ax+1﹣3x+6a+1）＝f[x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）]又f（0）＝1，f（x）在R上单调递减，∴原不等式等价于x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）≤0不等式可化为（x﹣2）[x﹣（3a+1）]≤0当2＜3a+1，即a＞时，不等式的解集为{x|2≤x≤3a+1}；当2＝3a+1，即a＝时，（x﹣2）2≤0，不等式的解集为{2}；当2＞3a+1，即a＜时，不等式的解集为{x|3a+1≤x≤2}．22．【解答】解：（1）先证y＝﹣x3符合条件①：对于任意x1，x2∈R，且x1＜x2，有＝＝，∴y1＞y2，故y＝﹣x3是R上的减函数．由题可得：则（a+b）＝﹣（a3+b3），∴（a+b）[a2﹣ab+b2+1]＝0而，∴a+b＝0，又b＞a，∴a＝﹣1，b＝1所求区间为[﹣1，1]（2）当在上单调递减，在上单调递增，所以，函数在定义域上不是单调递增或单调递减函数，从而该函数不是闭函数（3）易知是（0，+∞）上的增函数，符合条件①；设函数符合条件②的区间为[a，b]，则；故a，b是的两个不等根，即方程组为：有两个不等非负实根；设x1，x2为方程x2﹣（2k+1）x+k2＝0的二根，则，解得：，∴k的取值范围．。
2018-2019学年四川省成都七中高一（下）入学数学试卷（2月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合{A=x|1＜x＜2}，{B=x|x＜a}，若A⊆B，则a的取值范围是（）A. B. C. D.2.若f（x）=2x+3，g（x+2）=f（x），则g（x）的表达式为（）A. B. C. D.3.设α是第三象限角，化简：=（）A. 1B. 0C.D. 24.设a=0.60.4，b=0.40.6，c=0.40.4，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.5.若函数f（x）满足f（x）-2f（2-x）=-x2+8x-8，则f（1）的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 36.已知函数g（x）与f（x）=a x（a＞0，a≠1）的图象关于直线y=x对称，则g（2）+g（）的值为（）A. 4B. 2C. 1D. 07.直角坐标系内，β终边过点P（sin2，cos2），则终边与β重合的角可表示成（）A. ，B. ，C. ，D. ，8.已知函数f（x）=，，，，在定义域上单调递减，那么a的取值范围是（）A. B. C. D.9.如图，在△ABC中，已知=，P为AD上一点，且满足=m+，则实数m的值为（）A.B.C.D.10.在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则=（）A. 2B. 4C. 5D. 1011.定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x[-3，-2]时，f（x）=x2+4x+3，则y=f[f（x）]+1在区间[-3，3]上的零点个数为（）A. 1个B. 2个C. 4个D. 6个12.设e为自然对数的底数，则函数f（x）=e x（2-e x）+（a+2）•|e x-1|-a2存在三个零点，则a的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域为______．14.tan=______．15.在△ABC中，∠A=60°，a=4，b=4，则B等于______．16.已知，，，，且，则cos（x+2y）=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.（1）化简求值：（log32+1og92）（log43+1og83）+2；（2）已知x-x-1=-，求x3-x-3的值．18.已知=（1，2），=（-3，2），当k为何值时：（1）k+与-3垂直；（2）k+与-3平行，平行时它们是同向还是反向？19.声音通过空气的振动所产生的压强叫声压强，简称声压，单位为帕（Pa）．把声压的有效值取对数来表示声音的强弱，这种表示声音强弱的数值叫声压级．声压级以符号S PL表示，单位为分贝（dB），公式为：S PL（声压级）=（dB），式中p e为待测声压的有效值，p ref为参考声压，在空气中参考声压p ref一般取值2×10-5Pa．根据上述材料，回答下列问题．（1）若某两人小声交谈时的声压有效值p e=0.002Pa，求其声压级；（2）已知某班开主题班会，测量到教室内最高声压级达到90dB，求此时该班教室内声压的有效值．20.已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数f（x）在[0，π]上取最小值时对应的角度为θ，求半径为2，圆心角为θ的扇形的面积．21.已知定义域为R的函数f（x）=-+是奇函数（1）求a的值；（2）判断函数f（x）的单调性并证明；（3）若对于任意的t（1，2），不等式f（-2t2+t+1）+f（t2-2mt）≤0有解，求m的取值范围．22.已知函数f（x）=sin（x R）．任取t R，若函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值为M（t），最小值为m（t），记g（t）=M（t）-m（t）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及对称轴方程（Ⅱ）当t[-2，0]时，求函数g（t）的解析式（Ⅲ）设函数h（x）=2|x-k|，H（x）=x|x-k|+2k-8，其中实数k为参数，且满足关于t的不等式k-5g（t）≤0有解．若对任意x1[4，+∞），存在x2（-∞，4]，使得h（x2）=H（x1）成立，求实数k的取值范围参考公式：sinα-cosα=sin（α-）。
2014-2015学年高一下期末数学模拟试题考试时间：120分钟；满分：150分第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，有且仅有一个选项是符合题意的）1．已知,,,a b c d R ∈，且0ab >，c da b-<-，则下列各式恒成立的是( ) A.bc ad < B.bc ad > C.a b c d > D.a bc d<2．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32175,2S a a a =+=，则5a = （ ） A ． 2 B ．12-C ． 12 D ．2-3．如图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（ ）.A ．20＋3πB ．24＋3πC ．20＋4πD ．24＋4π4．已知1sin cos()3απα+-=，则sin 2α的值为 A ． 49 B ．19 C ．89- D ．895．设变量,x y 满足约束条件3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数23z x y =+的最小值为 （ ）A ．6B ．7C ．8D ．236．在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点(1)P -，则sin(2)2πα-=（ ）A．2 B．2- C ．12 D ．12- 7．如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是（ ）（单位：m ）A ．10B ．10C ．10D ．108．等差数列{}n a 中，11,m k a a k m==()m k ≠，则该数列前mk 项之和为（ ） A ．12mk - B ．2mk C ．12mk + D ．12mk+ 9．在ABC ∆中，内角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，若22()6c a b =-+，ABC ∆的面C =（ ) A ．23π B ． 3π C ．6π D ．56π 10．如图所示，在ABC ∆中，AD DB =，F 在线段CD （不在端点处）上，设AB a =uu u r r ，AC b =uuu r r，AF xa yb =+u u u r r r ，则14x y+的最小值为（ ）．3 C. 9 D.11．如图，的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为4π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变, 则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为AD 12．已知函数31()sin 22f x x x x =++在R 上单调递增，数列{}n a 是公差为d 的等差数列，且123420150a a a a a ++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅<， 记1232015()()()()m f a f a f a f a =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅，关于实数m ，下列说法正确的是（ ）A ．m 恒为负数B ．m 恒为正数C ．当0>d 时，m 恒为正数；当0<d 时，m 恒为负数D ．当0>d 时，m 恒为负数；当0<d 时，m 恒为正数第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题（共4小题，每题4分，共16分，请将答案填在题中的横线上） 13．设=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),a>0,b>0,O 为坐标原点,若A,B,C 三点共线,则+的最小值是________.14．设数列}{n a 满足21=a ，)(11*1N n a a a nnn ∈-+=+，则该数列的前2015项的乘积=⋅⋅⋅⋅⋅2015321a a a a _________.15．函数sin ()y x x =π∈R 的部分图象如图所示，设O 为坐标原点，P 是图象的最高点，B 是图象与x 轴的交点，则tan OPB ∠=__________．16．对于函数[]sin ,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列4个命题：①任取[)120,x x ∈+∞、，都有12()()2f x f x -≤恒成立； ②()2(2)f x kf x k =+*()k ∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立；③函数()ln(1)y f x x =--有3个零点； ④对任意0x >，不等式2()f x x≤恒成立． 则其中所有真命题的序号是 ．三、解答题（共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤和证明过程） 17．（本小题满分12分）已知函数2()2f x ax bx a =+-+．（Ⅰ）若关于x 的不等式()0f x >的解集是(1,3)-，求实数,a b 的值； （Ⅱ）若2,0b a =>，解关于x 的不等式()0f x >．18．（本小题满分12分）在海岸A 处 ，发现北偏东450方向，距A 1海里B 处有一艘走私船，在A 处北偏西750方向，距A 处2海里的C 处的缉私船奉命以/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东030方向航行，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需时间．19．（本小题满分12分）在A BC ∆中，角C B A 、、所对的边为c b a 、、，且满足cos 2cos 22cos cos 66A B A A ππ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（Ⅰ）求角B 的值； （Ⅱ）若3=b 且a b ≤，求c a 21-的取值范围． 20．（本小题满分12分）对于数列{}n a ，定义其积数是()123,nn a a a a V n N n+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∈．（Ⅰ）若数列{}n a 的积数是1n V n =+，求n a ；（Ⅱ）等比数列{}n a 中，23,a =324a a a 是和的等差中项，若数列{}n a 的积数n V 满足21n t V n-≥对一切n N +∈恒成立，求实数t 的取值范围． 21．（本小题满分12分）（Ⅰ）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，其中h 是边AB 上的高，请同学们利用所学知识给出这个不等式：a b + （Ⅱ）在ABC ∆中，h 是边AB 上的高，已知cos cos 2sin sin B AB A+=，并且该三角形的周长是12；①求证：2c h =；②求此三角形面积的最大值．22．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，向量)1,n S （=a ,)21,12-=n （b ,满足条件b a λ=,R ∈λ且0≠λ. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设函数x x f )21()(=，数列{}n b 满足条件21=b ，)(,)3(1)(1*+∈--=N n b f b f n n①求数列{}n b 的通项公式； ②设nnn a b c =，求数列{}n c 的前n 和n T . 参考答案1．B 【解析】因为bda c ab -<->,0，两边同时乘以ab ，得到ad bc -<-，两边再同时乘以1-，变号，即ad bc >，故选B .2．C 【解析】3211235S a a a a a =+=++，所以314a a =，即24q =，所以7522142a a q ===. 3．A 【解析】由几何体的三视图分析可知，该几何体上部为边长为2的正方体，下部为底面半径为1、高为2的半圆柱体，故该几何体的表面积是=⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯2121212252ππ20＋3π，故选A.4．D 【解析】由诱导公式得()31cos sin cos sin =-=-+αααπα，()91cos sin 2=-∴αα，化简得98cos sin 22sin ==ααα 5．B 【解析】作出约束条件表示的可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:230l x y +=，平移直线l ，当l 过点(2,1)C 时，z 取得最小值7.6．D 【解析】由已知得cos 2α=-，1sin 2α=-，所以21sin(2)cos 22sin 122πααα-=-=-=-.7．A 【解析】设塔高为x 米，根据题意可知在△ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x ， 从而有BC ＝33x ，AC ＝332x 在△BCD 中，CD=10，∠BCD=60°+30°+15°=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30° 由正弦定理可得，CBDCDBDC BC ∠=∠sin sin 可得，BC ＝21030sin 45sin 1000==x 33解得610=x 8．C【解析】设公差为,d 由已知1111111,(1)(1),k k m d a a k d k m k mk m mk mk -===--=--⋅=-所以，1(1)1(1)11,222mk mk mk mk mk mk S mka d mk mk mk --+=+=⋅+⋅=选C .9．B 【解析】由22222()626c a b a b c ab =-+⇒+-=- 由余弦定理得2222cos ab C a b c =+- 所以cos 3ab C ab =- ① 在ABC ∆中，1sin 22ABC S ab C ∆==，所以sin sin ab C ab C== ②由①②得3sin sin sin()32C C C C C π=⇒+=⇒+=因为在ABC ∆中，0C π<<，所以4333C πππ<+<，所以2333C C πππ+=⇒=，10．D 【解析】因为D 是AB 中点，故2AF xa yb xAD yAC =+=+u u u r r r u u u r u u u r且x ＞0，y ＞0因为C 、F 、D 三点共线，故2x ＋y ＝1于是14148()(2)66y x x y x y x y x y+=++=++≥+11．D 【解析】蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1.鸡蛋的表面积为若4π，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离为2d ==而截面到底面的距离即为三角形的高12，所以球心到底面的距离为122+.12．A 【解析】∵函数x x x x f sin 31)(3-+=的定义域为R ，是奇函数，且它的导数0cos 1)(2≥-+='x x x f ，故函数f （x ）在R 上是增函数．数列}{n a 是公差为d 的等差数列，11008-=a ，当d ＞0时，数列为递增数列，由022*********<-==+a a a ，可得12015a a -<，所以)()()(112015a f a f a f -=-<，所以0)()(20151<+a f a f ，同理可得，0)()(20142<+a f a f ，0)()(20133<+a f a f ，．．．．．)()()()(2015321a f a f a f a f m ++++=0)()()()()(10082014220151<+++++=a f a f a f a f a f 当d ＜0时，数列为递减数列，同理求得 m ＜0．当d=0时，该数列为常数数列，每一项都等于-1，故0)()()()(2015201421<++++=a f a f a f a f m ，故选A13．8【解析】=-=(a-1,1),=-=(-b-1,2),因为A,B,C 三点共线, 所以与共线,所以2(a-1)+b+1=0,即2a+b=1. 因为a>0,b>0,所以+=(2a+b)=4++≥4+4=8,当且仅当=,即b=2a 时等号成立.14．3.【解析】由题意可得，121131a a a +==--，2321112a a a +==--，3431113a a a +==-，4514121a a a a +===-， ∴数列{}n a 是以4为周期的数列，而201545033=⨯+，∴前2015项乘积为1233a a a =.15．8【解析】s i n ()y x x =π∈R ，所以周期2T =，所以P 1(,1)2，(2,0)B ,所以3,,222OP P B OB ====，51314cos OPB +-∠===sin tan 8OPB OPB ∠=∠= 16．①③④【解析】从函数的定义可知()1f x 最大＝，()1f x =-最小，因此12()()1(1)2f x f x -≤--=，①正确；由定义211(2)(22)(24)22f x k f x k f x k +=+-=+-11(22)()22i k f x k i f x =+-==，因此()2(2)k f x f x k =+，②错误；函数()y f x =与ln(1)y x =-的图象如下图所求，它们有三个交点，因此方程()ln(1)f x x =-有3个解，③正确；对④，从函数定义或图象可知()f x 极大值111(21)22n f n -=--=(*)n N ∈，因此不等式()k f x x ≤要成立，必须有1112212n kn -≤--，13222n n k --≥，而当*n N ∈时，1212nn --的最大值为54（2n =时取得），故54k ≥．），故填①③④．17．【解析】（1）由题1-=x ，3是方程022=+-+a bx ax 的二根． 代入有⎩⎨⎧=++=02382b a b ，∴⎩⎨⎧=-=21b a（2）)1)(2(22)(22++-=+-+==x a ax a x ax x f b 时， ∵0>a ∴0)1)(20)(>+-->x aa x x f 化为（ ①当⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-<≥-≥-a a x x x a a a 211,12或时，解集为即②⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-<<<-<-1210,12x a a x x a a a 或时，解集为即 18．【解析】设在D 处追上走私船，所需时间为t 小时，则CD=，BD=10t 在ABC ∆中，∵BAC ∠=007545+=0120，1，BC=2，由余弦定理得 2BC=22221)21)cos120+-⨯=6，cos CBA ∠=2222AB BC AC AB BC +-∙又∵0<∠CBA π<，则∠CBA=450，则BC 为正东西方向，在BCD ∆中，0120CBD ∠=，由余弦定理得2222cos CD BC BD BC CD CBD =+-⨯∠，即2220)(10)210t t =+-⨯，解得，10t =20t =-，∴CD=BD=BC ，∴030DCB BDC ∠=∠=，故缉私船沿东偏北300方向追截，所需时间为1019．【解析】（1）由已知cos 2cos 22cos cos 66A B A A ππ⎛⎫⎛⎫-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得2222312sin 2sin 2cos sin 44B A A A ⎛⎫-=-⎪⎝⎭化简得sin 2B = 故233B ππ=或． （2）因为b a ≤，所以3B π=，由正弦定理2sin sin sin a c bA C B====，得a=2sinA,c=2sinC ，1232sin sin 2sin sin sin 2326a c A C A A A A A ππ⎛⎫⎛⎫-=-=--==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为b a ≤，所以2,33662AA πππππ≤≤-，所以126a c A π⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭． 20．【解析】（1）1n V n =+ ()1231n a a a a n n ∴⋅⋅=+ ①当2n ≥，()12311n a a a a n n -∴⋅⋅=-⋅ ②①/②得：11n n a n +=- 当111,2n a V === 211n a n n ⎧⎪∴=+⎨⎪-⎩ ()()12,n n n N +=≥∈（2）设等比数列{}n a 的公比为q3a 是2a 和4a 的等差中项，且2a =33242a a a ∴=+ 22222a q a a q ⋅=+2210q q -+= ()210q -= 1q ∴=()3213,n n n t a V n N n n+-∴==≥∈则恒成立即()min213nt -≤ 213t -≤即2t ≤21．【解析】要证明：a b +≥222a ab b ++≥224c h +，利用余弦定理和正弦定理即证明：22cos ab ab C +≥22222sin C44a b h c=，即证明： 1cos C +≥222222sin C 2(1cos C)2(1cosC)(1cosC)ab ab ab c c c -+-==，因为1cos 0C +>，即证明：2c ≥2222(1cosC)2ab ab a b c -=--+，完全平方式得证． （2）、①cos cos sin 2sin sin sinBsinAB AC B A +==，使用正弦定理，2sin 2c a B h ==． ②122h -≥=，解得：h≤6，于是：2Sh =≤108-，最大值108-22．【解析】（1）因为a=λb 所以22,12211-=-=+n n n n S S . 当2≥n 时，n n n n n n S S a 2)22()22(11=---=-=+-当1=n 时，2221111=-==+S a ，满足上式所以n n a 2= （2）①)3(1)(,)21()(1n n x b f b f x f --==+ 11(b )(3)n nf f b +=-- n n b b --=∴+3)21(1)21(1 n n b b +=∴+321211 ∴ 31+=+n n b b 3-1=+n n b b ，又2)1(1=-=f b ∴{}n b 是以2为首项3为公差的等差数列 ∴13-=n b n ②n n n n n a b c 213-== n n n n n T 2132432825221321-+-+⋅⋅⋅+++=- ① 143221324328252221+-+-+⋅⋅⋅+++=n n n n n T ② ①-②得1432213-23232323121+-+⋅⋅⋅++++=n n n n T 1121321-1)21-1413121+---⋅+=n n n n T （ 11213)21-123121+---+=n n n n T （ n n n n T 213)21-1321--+=-（ n n n n T 21323-321--+=- n n n T 253-5+=。
成都七中高2013级2013-2014学年度下期数学半期考试命题人：祁祖海 审题人：黄太平 考试时长：120分钟 满分150分一、选择题(本大题共10题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. sin 75=( )A.B. 2. 数列, (815),274,93,32--的一个通项公式是( ) A. n n n 31)1(+- B. n n n 31)1(1+-+ C. 13)1(+-n n n D. 1(1)3n n n +-3. 已知(2,1),(,2),a b x ==-若a b ⊥，则x =( )A. 4-B. 1-C. 1D. 44. 已知1sin 3α=-，且3(,)2παπ∈，则sin 2α=( )A. B. C. D. 5. D 是ABC ∆的边AB 的中点,则向量CD =( )A. BA CB 21+B. BA CB 21-C. BA BC 21-D. BA BC 21+6. 在ABC ∆中,c b a ,,分别为角A,B,C 的对边, 若1a =，b =，60A =，则B =( )A. 135B. 45C. 45或135D. 无法确定7. tan20tan403tan20tan40++⋅=( )A.B. C. 1 D. 8. 若,54cos )cos(sin )sin(=---ββαββα且α为第二象限角,则tan(2)α=( )A. 247-B. 2425-C. 247D. 24259. 在ABC ∆中,c b a ,,分别为角A ,B ,C 的对边,若ac a B 22cos 2+=.则ABC ∆的形状为( ) A. 直角三角形 B. 正三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰三角形或直角三角形10. βα,均为锐角,且,21cos cos ,21sin sin =--=-βαβα则)tan(βα-的值为( ) A . 37 B. 37- C. 37± D. 375-二、填空题(本大题共5题，每小题5分，共25分)11. 数列{}n a 满足132n n a a -=+，10a =，则3a = .12. ABC ∆的内角,,A B C 满足：B 是A 与C 的等差中项，则B = .13. 己知(1,3),(2,2),a b =-=-则()()a b a b ⋅+= . 14. 已知α为锐角,,53)6cos(=+πα则=+)122cos(πα . 15. 给出下列命题:①若0,a ≠则由=能推出⋅=⋅,由⋅=⋅也能推出=.② 在ABC ∆中,则由B A >能推出B A sin sin >,由B A sin sin >也能推出B A >. ③已知(3,4),(0,1),a b ==-则a 与b 的夹角的正弦值为53. ④函数x x x f 44cos sin )(+=的最小正周期为π.其中正确命题的序号是 (请将所有正确命题的序号都填上).三、解答题(本大题共6题，16~19题每题12分，20题13分，21题14分，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16. 等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，前n 项和为n S ，且满足27323a a a =-=， (1)求1a 和d 的值；(2)若100n S =，求n 的值.17. 若sin()2βα-=cos()2αβ-=且2παπ<<，02πβ-<<，求co s ()2αβ+ 的值.18. 已知||2a =，||3b =，a 与b 的夹角为120， (1)求|2|a b +的值；(2)求2a b +在a 方向上的投影.19. 已知(2cos ,sin )a x x =，(cos ,sin )b x x x =，设函数()f x a b =⋅， (1)求()f x 图象的对称轴方程； (2)求()f x 在5[,]12ππ上的最大值和最小值.20. 在ABC ∆中，有2=32ABC S BA BC ∆-⋅= (1)求角B 的大小；(2)求2sin()sin()AC A B B C ++的值； (3)若2BD BC =，求2AD 的最小值.21. 在ABC ∆所在平面上，有cos sin n nn AP AB AC αα=+，其中n N +∈，(0,)2πα∈，且令cos sin n n n λαα=+， (1)若12//AP AP ，求α的值；(2)若n P 在ABC ∆内部，求n 的取值范围；(3)若321(1)m m λλλ=+-，求实数m 的取值范围.成都七中高2013级2013-2014学年度下期数学半期考试参考答案（注：每道题号前面的红色序号表示该题在得分明细表中填写的对应位置。
