7.1两条直线的位置关系(2) (1)

两条直线的位置关系与点到直线的距离(20131126)讲义1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1、l 2，其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，特别地，当直线l 1、l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2的关系为平行．(2)两条直线垂直①如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.②如果l 1、l 2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l 1与l 2的关系为垂直．2．两直线相交交点：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应．相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解．3．三种距离公式(1)平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2.特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2.(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. (3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. 4.两条直线的夹角.设直线l 1的斜率为k 1，l 2的斜率为k 2，l 1到l 2的角为α，l 1与l 2的夹角为β，则tan 12121k k k k +-=α，tan 12121k k k k +-=β.一条规律与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)平行、垂直的直线方程的设法：一般地，平行的直线方程设为Ax ＋By ＋m ＝0；垂直的直线方程设为Bx －Ay ＋n ＝0.两个防范(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．三种对称(1)点关于点的对称 点P (x 0，y 0)关于A (a ，b )的对称点为P ′(2a －x 0,2b －y 0)．(2)点关于直线的对称设点P (x 0，y 0)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点P ′(x ′，y ′)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ y ′－y 0x ′－x 0·k ＝－1，y ′＋y 02＝k ·x ′＋x 02＋b ，可求出x ′，y ′.特别说明:P (x 0，y 0)关于直线Ax +By +C =0的对称点是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--+---22002222002222)(,22)(B A BC ABx y B A B A AC ABy x A B . (3)直线关于直线的对称①若已知直线l 1与对称轴l 相交，则交点必在与l 1对称的直线l 2上，然后再求出l 1上任一个已知点P 1关于对称轴l 对称的点P 2，那么经过交点及点P 2的直线就是l 2；②若已知直线l 1与对称轴l 平行，则与l 1对称的直线和l 1分别到直线l 的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离即可求出l 1的对称直线．例1 经过(2,0)A -，(5,3)B -两点的直线的斜率是____________，倾斜角是_______．考向一 两条直线平行与垂直的判定及应用【例2】►(1)已知两条直线y ＝ax －2和y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则实数a ＝________.(2)“ab ＝4”是直线2x ＋ay －1＝0与直线bx ＋2y －2＝0平行的( )．A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件例3直线l 过点(1,2)-且与直线2340x y -+=垂直，则l 的方程是（ ）A ．3210x y +-=B ．3270x y ++=C ．2350x y -+=D ．2380x y -+=例4 已知过点(2,)A m -和点(,4)B m 的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为（ ）A ．0B ．8-C ．2D ．10【训练1】 已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，求m 的值，使得：(1)l 1与l 2相交；(2)l 1⊥l 2；(3)l 1∥l 2；(4)l 1，l 2重合．考向二 两直线的交点【例5】►求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程．【训练2】 直线l 被两条直线l 1：4x ＋y ＋3＝0和l 2：3x －5y －5＝0截得的线段的中点为P (－1,2)，求直线l 的方程．考向三 距离公式的应用例6、求点)2,3(P -到下列直线的距离：（1）01y 4x 3=+-；（2）y=6；（3）y 轴。

两条直线的位置关系综合练习题及答案（一）知识梳理：1、两直线的位置关系（1） 平行的判断：①当l 1 , l 2 有斜截式（或点斜式）方程l 1 : y = k 1 x + b 1 , l 2 : y = k 2 x + b 2 ，则 l 1 // l 2 ⇔ k 1 = k 2 , b 1 ≠ b 2 .②当l 1 , l 2 有一般式方程： l 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, l 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ， 则l 1 // l 2 ⇔A 1B 2 - A 2 B 1 = 0,C 1B 2 - C 2 B 1 ≠ 0 .（2） 垂直的判断：①当l 1 , l 2 有斜截式（或点斜式）方程l 1 : y = k 1 x + b 1 , l 2 : y = k 2 x + b 2 ，则 l 1 ⊥ l 2 ⇔ l 1 : y = k 1 x + b 1 , l 2 : y = k 2 x + b 2 .②当l 1 , l 2 有一般式方程： l 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, l 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ，则l 1 ⊥ l 2 ⇔ A 1 A 2 + B 1B 2 = 0 .2、两条直线的交点：若l 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, l 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0⎧ A 1x + B 1 y + C 1 = 0 则l 1 , l 2 的交点为 方程⎨ A x + B y + C 的解.= 0 ⎩ 2 223、点到直线的距离：（1）点到直线的距离公式：点 P (x 0 , y 0 ) 到直线 Ax + By + C = 0 的距离为 d =_.(2)两平行直线间的距离求法：两平行直线： l 1 : Ax + By + C 1 = 0, l 2 : Ax + By + C 2 = 0 ，则距离 d = d =（二）例题讲解：考点 1：直线的平行与垂直关系 例 1、（1）已知直线l 的方程为3x + 4 y -12 = 0 ，求与l 平行且过点(-1, 3) 的直线方程；（2）已知直线l 1 : 2x - 3y +10 = 0, l 2 : 3x + 4 y - 2 = 0 ，求过直线l 1 和l 2 的交点，且与直线l 3 : 3x - 2 y + 4 = 0⎨⎩⎩ ⎩⎪ 垂直的直线l 方程. 易错笔记：解：（1）设与直线l 平行的直线l 1 的方程为3x + 4 y + C = 0 ，则点(-1, 3) 在直线3x + 4 y + C = 0 上，将点(-1, 3) 代入直线3x + 4 y + C = 0 的方程即可得： 3⨯(-1) + 4 ⨯ 3 + C = 0 ，∴ C = -9 ，∴所求直线方程为：3x + 4 y - 9 = 0 .（2）设与直线l 3 : 3x - 2 y + 4 = 0 垂直的直线l 方程为： 2x + 3y + C = 0 ，⎧2x - 3y +10 = 0 方程 ⎩3x + 4 y - 2 = 0 ⎧x = -2的解为： ⎨ y = 2 ， ∴直线l 1 : 2x - 3y +10 = 0, l 2 : 3x + 4 y - 2 = 0 的交点是(-2, 2) ， ∴直线l 过直线l 1 : 2x - 3y +10 = 0, l 2 : 3x + 4 y - 2 = 0 的交点(-2, 2) ， ∴ 2 ⨯(-2) + 3⨯ 2 + C = 0 ，∴ C = -2 ，∴直线l 方程为： 2x + 3y - 2 = 0 . 考点 2：直线的交点问题例 2、已知直线方程为(2 + m ) x + (1- 2m ) y + 4 - 3m = 0 ， (1) 求证：无论 m 取何值，此直线必过定点；(2) 过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这定点平分，求这条直线方程.解：(1)设直线方程为(2 + m ) x + (1- 2m ) y + 4 - 3m = 0 过定点( A , B ) ，∴ ⎧2 A + B = -4 ，∴ ⎧ A = -1 ， ⎨ A - 2B = 3 ⎨B = -2 ∴直线方程为(2 + m ) x + (1- 2m ) y + 4 - 3m = 0 过定点(-1, -2) .(2) 由题意知，直线l 在 x 轴上的截距 a ≠ 0 ，在 y 轴上的截距b ≠ 0 ，∴设直线 l 的方程为： x + y= 1，∴直线 l 在 x 轴上的交点坐标为 M (a , 0) ，直线 l 在 y 轴上的交点坐标为a b N (0, b ) ，直线l 夹在两坐标轴间的线段被点(-1, -2) 平分， ∴点(-1, -2) 是线段 MN 的中点，⎧ a + 0 = -1 ∴ ⎪ 2 ，∴ a = -2, b = -4 ， ⎨ 0 + b= -2 ⎩⎪ 2∴直线l 的方程为： x + y -2 -4易错笔记：= 1，即2x + y + 4 = 0 .⎩ ⎩ （三）练习巩固：一、选择题1、直线 3x + y +1 = 0 和直线 6x + 2 y +1 = 0 的位置关系是B ）A ．重合B ．平行C ．垂直D ．相交但不垂直2、点(2,1) 到直线 3x - 4 y + 2 = 0 的距离是（A ）A. 45B. 54C.25D. 2543、如果直线 x + 2ay - 1 = 0 与直线(3a - 1)x - ay - 1 = 0 平行，则 a 等于（A ）1 1 A ．0B ．C ．0 或 1D ．0 或661 解： 1⋅(-a ) - 2a (3a -1) = 0 ①，且 2a (-1) - (-a ) ≠ 0 ②，由①得： a = 0 或 a =，由②得： a ≠ 0 ，∴6a = 0 .4、若三条直线 2x + 3y + 8 = 0, x - y -1 = 0 和 x + ky = 0 相交于一点，则 k =（B ）A．-2B． - 12⎧2x + 3y + 8 = 0C ．2D ．1 2⎧x = -1 解： 方程⎨x - y -1 = 0 的解为： ⎨ y = -2 ，∴直线2x + 3y + 8 = 0, x - y -1 = 0 的交点是(-1, -2) ，三条直线2x + 3y + 8 = 0, x - y -1 = 0 和 x + ky = 0 相交于一点(-1, -2) ， ∴直线 x + ky = 0 过点(-1, -2) ，∴ -1+ k (-2) = 0 ，∴ k = - 1，故选 B .25、已知点 M (4, 2) 与 M (2, 4) 关于直线 l 对称，则直线 l 的方程为 （D ）A． x + y + 6 = 0 B． x + y - 6 = 0 C． x + y = 0 D． x - y = 06、已知直线 3x + 4 y - 3 = 0 与直线6x + my +14 = 0 平行，则它们间的距离是 （D ）17 17 A.B ．C ．8D ．2105解： 直线3x + 4 y - 3 = 0 与直线6x +my +14 = 0 平行，⎨⎪4 ⨯14 -(-3)m≠ 0∴⎧⎪3m - 4 ⨯6 = 0⎩，∴m = 8 ，∴直线6x +my +14 = 0 的方程为6x + 8 y +14 = 0 ，即3x + 4 y + 7 = 0 ，∴直线3x + 4 y - 3 = 0 与直线3x + 4 y + 7 = 0 之间的距离d === 2 .直线3x + 4 y - 3 = 0 与直线6x + 8 y+14 = 0 的距离等于直线3x + 4 y - 3 = 0 与直线3x + 4 y + 7 = 0 之间的距离，∴直线3x + 4 y - 3 = 0 与直线6x +my +14 = 0 的距离d === 2 ，故选D.二、填空题7、如果三条直线l1: mx +y +3 = 0, l2: x -y -2 = 0, l3: 2x -y + 2 = 0 不能成为一个三角形三边所在的直线，那么m 的一个值是.8、过点(2, 3)且平行于直线2x +y - 5 = 0 的方程为2x +y - 7 = 0.过点(2, 3)且垂直于直线3x + 4 y- 3 = 0 的方程为4x - 3y +1 = 0 .分析：设与直线 2x +y - 5 = 0 平行的直线方程为： 2x +y +C = 0 ，则点(2, 3)在直线 2x +y +C = 0 上， 将点(2, 3)代入直线 2x +y +C = 0 的方程即可得： 2 ⨯ 2 + 3 +C = 0 ，∴C =-7 ，∴所求直线方程为： 2x +y - 7 = 0 .分析：设垂直于直线3x + 4 y - 3 = 0 的方程为： 4x -3y +C = 0 ，则点(2, 3)在直线4x -3y +C = 0 上，将点(2, 3) 代入直线4x - 3y +C = 0 的方程即可得： 4 ⨯ 2 - 3⨯ 3 +C = 0 ，∴C = 1，∴所求直线方程为： 4x - 3y +1 = 0 .9、已知直线l1的斜率为3，直线l2经过点A(1, 2)，B (2, a)，若直线l1 // l2，a =_ 3 _；若l1⊥l2，则a =5.3当直线l1 // l2 时： 直线l1 的斜率：k1 = 3 ，且直线l1 // l2 ，∴直线l2 的斜率k2 =k1 = 3 ，直线l 经过点A(1, 2)，B (2, a)，∴直线l 的斜率k=y2-y1 =a - 2=a - 2 = 3 ，222x -x 2 -12 1∴a = 5 .当直线l1 ⊥l2 时，设直线l1 的斜率为k1 ，直线l2 的斜率为k2 ，则直线l 的斜率：k = 3 ， 直线l ⊥l ，∴k ⋅k =-1 ，∴直线l 的斜率k =-1=-1，1 1 12 1 2 2 21又 直线l 经过点A(1, 2)，B (2, a)，∴直线l 的斜率k=y2-y1 =a - 2=a - 2 =-1，222x -x 2 -1 32 1∴a =5.310、设直线l1: 3x + 4 y- 2 = 0, l2: 2x +y + 2 = 0, l3: 3x - 4 y+ 2 = 0 ，则直线l1 与l2 的交点到l3 的距离为12 .5k 3Ax 0 + By 0 + C A 2 + B 2 3⨯(-2) - 4 ⨯ 2 + 2 32 + (-4)2Ax 0 + By 0 + CA 2 +B 2k + 2 k 2 + (-1)22 ⎩ ⎩ 1⎩⎩2 ⎧3x + 4 y - 2 = 0 解： 方程⎨2x + y + 2 = 0 ⎧x = -2的解为： ⎨ y = 2 ，∴直线2x + 3y + 8 = 0, x - y -1 = 0 的交点是(-2, 2) ，∴点(-2, 2) 到直线l 3 的距离为：d = = = 12.511、过点 A (-1, 2) ，且与原点距离等于2的直线方程为 x - y + 3 = 0 或7x - y + 9 = 0 ．2解 ： 设 所 求 直 线 的 斜 率 为 k ， 则 直 线 过 点 kx - y + k + 2 = 0 ，A (-1, 2) ， ∴方 程 为 y - 2 = k ⎡⎣ x - (-1)⎤⎦ = k ( x +1) ， 即 ∴直 线 到 原 点 的 距 离 为 ： d ==== ，2(k + 2)2 2⎛⎫22= ⎪ = 1 ，∴ k 2 + 8k + 7 = 0 ，∴ k = 1 或 k = 7 ， k + (-1)⎝ 2 ⎭ 2∴所求直线的方程为： x - y + 3 = 0 或7x - y + 9 = 0 ．三、解答题12、已知直线l 1 : x + my + 6 = 0, l 2 : (m - 2) x + 3y + 2m = 0 ，求m 的值，使得 (1) l 1 和l 2 相交；（2） l 1 ⊥ l 2 垂直；(3) l 1 // l 2 ； (4) l 1 和l 2 重合. 解：(1) l 1 和l 2 相交，∴ m (m - 2) -1⨯ 3 ≠ 0 ，∴ m ≠ -1． (2) l 1 ⊥ l 2 垂直，∴ 1⋅(m - 2) + m ⨯ 3 = 0 ，∴ m = 2.⎧⎪m (m - 2) -1⨯ 3 = 0 (1) (3) l 1 // l 2 ，∴ ⎨ ，⎪2m ⋅ m - 3⨯ 6 ≠ 0 (2) 由（1）得： m = 3 或 m = -1，由（2）得： m ≠ ±3 ，∴ m = -1.⎧⎪m (m - 2) -1⨯ 3 = 0 (1)(4) l 1 和l 2 重合，∴ ⎨⎪2m ⋅ m - 3⨯ 6 = 0 (2) ，由（1）得： m = 3 或 m = -1，由（2）得： m = 3 或 m = -3 ， ∴当 m = 3 ，或 m = -3 ，或 m = -1时， l 1 和l 2 重合.13、已知直线l 过点(1, 2) ，且与 x ， y 轴正半轴分别交于点 A 、 B（1） 、求∆AOB 面积为 4 时直线l 的方程；（2）、在（1）的前提之下，求边 AB 上的高所在的直线方程.解：（1）、由题意知，直线l 在 x 轴上的截距 a > 0 ，在 y 轴上的截距b > 0 ，∴设直线l 的方程为： x + y= 1， 直线l 过点(1, 2) ， a bk ⋅ 0 -1⋅ 0 + k + 2k 2 + (-1)2y B(1,2)OAx∴ 1 + 2 = 1①， ∆AOB 面积为 4，∴ a b a b = 1 ab = 4 ②，由①、②得： a = 2 ， b = 4 ， 2∴直线l 的方程为： x + y= 1，即2x + y - 4 = 0 .2 4（2）、设边 AB 上的高所在的直线为l 1 ，斜率为 k 1 ，直线l 1 过原点O (0, 0) ，直线l 的方程为： 2x + y - 4 = 0 ，∴边 AB 所在的直线方程为： 2x + y - 4 = 0 ，斜率为斜率 k = -2 ， l ⊥ l 1 ，∴ k ⋅ k 1 = -1 ，∴ k 1 = -1 = -1 = 1， 直线l 过原点O (0, 0) ， k -2 2 1∴直线l 的方程为： y - 0 = 1( x - 0) ，即 x - 2 y = 0 .综上所述：边 AB 上的高所在的直线方程为： x - 2 y = 0 .121 2。

2.1《两条直线的位置关系（第二课时）》习题含答案一、选择题1.如图，直线AB 和直线CD 相较于点O ，E 是∠AOD 内一点，已知OE ⊥AB,∠BOD =40°，则∠COE 的度数是（ ） A.120 ° B.140 ° C.150° D.130°2.OA ⊥OB ，OC ⊥OD,则下列叙述正确的是（ ） A.∠AOC =∠AOD B.∠AOD =∠BODC.∠AOC =∠BODD.以上都不对3．如图，∠BAC =90°，AD ⊥BC ，则下列的结论中正确的个数是（ ） ①点B 到AC 的垂线段是线段AB ；②线段AC 是点C 到AB 的垂线段； ③线段AD 是点D 到BC 的垂线段；④线段BD 是点B 到AD 的垂线段．A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个4．如图，把水渠中的水引到水池C ，先过C 点向渠岸AB 画垂线，垂足为D ，再沿垂线CD 开沟才能使沟最短，其依据是（ ） A. 垂线最短 B.过一点确定一条直线与已知直线垂盲 C.垂线段最短 D.以上说法都不对5.P 为直线l 外一点，点A,B,C 为直线l 上三点，PA=5cm,PB=4cm,PC=2cm ，则P 到直线l 的距离（ ）A.2cmB.小于2cmC.不大于2cmD.4cm6．如图，已知0A ⊥m ，OB ⊥m ，所以OA 与OB 重合，其理由是（ ） A.过两点只有一条直线 B.过一点只能作一条垂线C.平面内，过一点只有一条直线与已知直线垂直D.垂线段最短7.画一条线段的垂线，垂足在（ ） A. 线段上 B. 线段的端点 C. 线段的延长线上 D. 以上都有可能1题图2题图3题图4题图6题图8.下列说法正确的是( )A.平面内过直线l 上一点做l 的垂线不止一条B.直线l 的垂线有无数条C.如果两条线段不相交，那么这两条线段就不能互相垂直D.以上说法都不对 二、填空题9.如图，直线a ⊥b ，∠1=50°，则∠2= 度．10.如图，点A ，B ，C 在一条直线上，已知∠1=53°，∠2=37°，则CD 与CE 的位置关系是 _________ ．11.如图，已知BA ⊥BD ，CB ⊥CD ，AB=8，BC=6，则点A 到BD 的距离为_________ ，点B 到CD 的距离为_________ .12．如图，两条直线AB ，CD 相交于点O ，OE 平分∠BOC ，OF ⊥CD ，∠COE =65°，∠AOF 等于_________ .9题图10题图11题图 12题图13.如图，∠ADB =90°，用“＜”连接AB ，AC ，AD ，结果是 _________ ．三、解答题14.如图，OA ⊥OB ，OB 平分∠MON ，若∠AON =120°，求∠AOM 的度数．15.如图，直线AB ，CD 相交于O 点，OM ⊥AB 于O ． （1）若∠1=∠2，求∠NOD ；（2）若∠BOC =4∠1，求∠AOC 与∠MOD ．16.如图，直线AB ，CD 相交于O 点，OE ⊥CD ，OF ⊥AB ，∠DOF =65°,求∠BOE 和∠AOC 的度数？17.如图，点O 为直线AB 上一点，OC 为一射线，OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOC ． （1）若∠BOC =50°，试探究OE ，0F 的位置关系； （2）若∠BOC 为任意角α（0°＜α＜180°），（1）中OE ，OF 的位置关系是否仍成立？请说明理由．由此你发现什么规律？18.如图，直线AB ，CD 相交于O 点，Q 是CD 上的一点. (1) .过点Q 画直线AB 的垂线，垂足为E; (2) .过点O 画直线CD 的垂线.19.如图，一辆汽车在直线形公路AB 上由A 向B 行驶，M ，N 是分别位于公路AB 两侧的两所学校．（1）汽车在公路上行驶时，噪声会对两所学校教学都造成影响，当汽车行驶到何处时，分别对两所学校影响最大？请在图上标出来．（2）当汽车从A 向B 行驶时，在哪一段上对两学校影响越来越大？在哪一段上对两学校影响越来越小？在哪一段上对M 学校影响逐渐减小而对N 学校影响逐渐增大？2.1《两条直线的位置关系（第二课时）》习题答案二、填空题9.40°10.垂直11.8；6.12.40°13.AD＜AC＜AB三、解答题14.解:∵OA⊥OB∴∠AOB=90°∵∠AON=120∴∠BON=120°-90°=30°∵OB平分∠MON∴∠MOB=∠NOB=30°,∴∠AOM=90°-30°=60°15.解:(1)∵OM⊥AB,∴∠1+∠AOC=90°又∠1=∠2∴∠2+∠AOC=90°,∴∠NOD=180°-(∠2+∠AOC)=180°-90=90°(2)由已知∠BOC=4∠1,即90°+∠1=4∠1,可得∠1=30°所以∠AOC=90°-30°=60°,由对顶角相等得∠BOD=60°故∠MOD=90°+60°=150°16.解:(1)∵OF ⊥AB,∴∠BOF =90° ∵∠DOF =65°,∴∠BOD =∠BOF -∠DOF =90°-65=25° ∵OE ⊥CD, ∴∠DOE =90°,那么∠BOE =∠DOE -∠BOD =90°-25°=65°(2)直线AB 与CD 相交于点O,∠AOC 与∠BOD 是对顶角 即∠AOC =∠BOD =25° 17.解:(1)OE ⊥OF ∵∠BOC =50°,∴∠AOC =180°-50°=130 ∵OE 平分∠AOC ,OF 平分∠BOC ∴∠EOC =21∠AOC =65°,∠COF =21∠COB =25° ∴∠EOF =65°+25°=90° ∴OE ⊥OF(2)∵∠BOC =a ∴∠AOC =180-a∵OE 平分∠AOC ,OF 平分∠BOC ∴∠EOC =21∠AOC =90°-21a, ∠COF =21∠COB =21a ∴∠EOF =90°-21a+21a=90° ∴OE ⊥OF规律：邻补角的角平分线互相垂直 18.解：(1)直线QE是所求的直线(2)直线OF是所求的直线19.解：（1）作MC⊥AB于C，ND⊥AB于D，所以在C处对M学校的影响最大，在D处对N学校影响最大；（2）由A向C行驶时，对两学校影响逐渐增大；由D向B行驶时，对两学校的影响逐渐减少；由C向D行驶时，对M学校的影响减小，对N学校的影响增大。

两直线的位置关系直线是几何学中最简单和基础的图形之一，它在我们的日常生活和各个领域都有广泛的应用。

当两条直线在二维平面上相交时，它们可以有不同的位置关系，比如相交、平行或重合等。

本文将探讨两直线的位置关系，并通过具体例子加以说明。

1. 直线相交当两条直线在二维平面上相交时，它们的交点可以通过求解方程组得到。

两条直线的方程一般为一次函数的形式：y = ax + b假设有两条直线分别为L1和L2，它们的方程分别为y1 = a1x + b1和y2 = a2x + b2。

当a1 ≠ a2时，两线相交于唯一的一点P(x, y)。

此时直线L1和L2在P点处的斜率不相等，它们在该点的切线不重合。

例如，考虑以下两个方程：y = 2x + 1y = -3x + 5这是一组相交直线的例子。

它们分别代表了斜率为2和-3的直线，它们的交点为P(2, 5)。

2. 直线平行当两条直线的斜率相等但截距不等时，它们是平行的。

在二维平面上，平行的直线永远不会相交。

例如，考虑以下两个方程：y = 3x + 2y = 3x - 4这是一组平行直线的例子。

它们具有相同的斜率3，但截距不同，因此它们永远不会相交。

3. 直线重合当两条直线具有相同的斜率和截距时，它们是重合的。

在二维平面上，重合的直线代表了同一条直线。

例如，考虑以下两个方程：y = 2x + 3y = 2x + 3这是一组重合直线的例子。

它们具有相同的斜率2和截距3，因此表示同一条直线。

4. 直线相互垂直当两条直线的斜率乘积等于-1时，它们是相互垂直的。

在二维平面上，相互垂直的直线通过它们的交点形成一个直角。

例如，考虑以下两个方程：y = 2x + 1y = -1/2x + 3这是一组相互垂直的直线的例子。

它们的斜率分别为2和-1/2，它们的斜率乘积为-1，因此它们相互垂直。

总结：通过以上例子，我们可以看出，两条直线的位置关系取决于它们的斜率和截距。

当斜率和截距都相等时，直线重合；当斜率相等但截距不等时，直线平行；当斜率不相等时，直线相交。

第01讲两条直线的位置关系(7类热点题型讲练)1．理解对顶角、补角和余角的概念，能在图形中辨认；2．掌握对顶角相等的性质和它的推证过程；3．掌握对顶角相等、同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等，并能解决一些实际问题．4．理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线；5．掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；6．掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理．知识点01相交线1.相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线.表示方法：如下图，直线AB与直线CD相交于点O2.对顶角的概念及性质对顶角的概念概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线且这两个角有公共顶点，这样的两个角叫做对顶角.性质：对顶角相等.3.互补与互余互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补.互余：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余.性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等.知识点02垂线1.垂直的概念及表示.两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直.如下图，直线AB与直线CD垂直，记作AB⊥CD，垂足为O.垂直的概念包含两个方面的含义：一方面由直角（90°的角）可以得到两条直线垂直；另一方面由两条直线垂直可以得到直角（或90°的角）2.垂直的性质：（1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.3.点到线的距离：如下图所示，过点A作直线l的垂线，垂足为点B，则线段AB的长度叫做点A到直线l的距离，此时线段AB叫垂线段.题型01对顶角的定义【例题】（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）在下图中，1∠为对∠，2顶角的是（）A．B．C．D ．【答案】B【分析】本题主要考查了对顶角的定义，根据对顶角的定义进行判断：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，依次判定即可得出答案．【详解】解：根据对顶角的定义，只有B 选项正确，故选：B ．【变式训练】1．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）下列各图中，1∠与2∠是对顶角的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】本题考查了对顶角的定义，根据对顶角的定义判断即可．有一个公共点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为对顶角．【详解】解：A 、1∠的两边不是2∠的两边的反向延长线，1∠与2∠不是对顶角，故该选项不合题意；B 、1∠的两边不是2∠的两边的反向延长线，1∠与2∠不是对顶角，故该选项不符合题意；C 、1∠的两边分别是2∠的两边的反向延长线，1∠与2∠是对顶角，故该选项符合题意；D 、1∠的两边不是2∠的两边的反向延长线，1∠与2∠不是对顶角，故该选项不合题意．故选：C ．2．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）下列各图中，1∠和2∠是对顶角的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据对顶角的两边互为反向延长线对各图形分析判断后进行解答．【详解】解：根据对顶角的定义：A ．1∠和2∠的两边不是互为反向延长线，不是对顶角；B ．1∠和2∠的两边不是互为反向延长线，不是对顶角；C ．1∠和2∠的两边互为反向延长线，是对顶角；D ．1∠和2∠的顶点不同，不是对顶角；故选：C ．【点睛】本题主要考查了对顶角，正确把握对顶角的定义是解题关键．题型02利用对顶角相等求角度A．145︒B【答案】D【分析】首先根据对顶角相等和角平分线的概念得到A．20︒B【答案】C【分析】首先根据AOC∠【答案】40︒/40度【分析】本题考查了对顶角的知识，根据∠【详解】解：1，3∠题型03求一个角的余角、补角题型04垂线的定义的理解与应用【例题】（2023下·安徽宿州·七年级校考期中）如图，P 是直线l 外一点，A ，B ，C 三点在直线l 上，且PB l ⊥于点B ，90APC ∠=︒，则下列结论中正确的是（）①线段BP 的长度是点P 到直线l 的距离；②线段AP 是A 点到直线PC 的距离；③在PA PB PC ，，三条线段中，PB 最短；④线段PC 的长度是点P 到直线l 的距离A ．①②③B ．③④C ．①③D ．①②③④【答案】C 【分析】本题考查了点到直线的距离及垂线段最短等知识点．点到直线的距离，即过这一点做目标直线的垂线，由这一点至垂足的距离．熟记相关结论是解题关键．【详解】解：∵PB l ⊥于点B ，∴线段BP 的长度是点P 到直线l 的距离，故①正确，④错误；∵90APC ∠=︒，∴线段AP 的长度是A 点到直线PC 的距离，故②错误；根据垂线段最短，在PA PB PC ，，三条线段中，PB 最短，故③正确；故选：C ．【变式训练】1．（2023下·河南濮阳·七年级统考期末）如图，在测量跳远成绩的示意图中，直线l 是起跳线，则需要测量的线段是（）A ．AEB ．AC C ．AD D ．BE【答案】B 【分析】利用垂线段最短求解．【详解】解：根据垂线段最短可得，需要测量的线段是AC ，故选：B ．【点睛】此题主要考查了垂线段最短，正确掌握垂线段的性质是解题关键．2．（2023下·山东临沂·七年级校考阶段练习）如图所示，下列说法不正确的是（）A ．点B 到AC 的垂线段是线段ABB ．点C 到AB 的垂线段是线段AC C ．线段AD 是点D 到BC 的垂线段D ．线段BD 是点B 到AD 的垂线段【答案】C【分析】根据垂线段的定义逐个判断即可．【详解】解：A 、点B 到AC 的垂线段是线段AB ，正确，故此选项不符合题意；B 、点C 到AB 的垂线段是线段AC ，正确，故此选项不符合题意；C 、线段AD 是点A 到BC 的垂线段，原说法错误，故此选项符合题意；D 、线段BD 是点B 到AD 的垂线段，正确，故此选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了垂线段的定义，熟练掌握过直线外一点作这条直线的垂线，这点与垂足构成的线段叫垂线段是解此题的关键．题型05利用垂线的定义求角的度数【例题】（2023上·吉林长春·七年级校考期末）如图，直线、AB CD 相交于点O ，EO OF ⊥，且OC 平分AOE ∠，若36BOF ∠=︒．(1)求AOC ∠的度数；(2)写出DOF ∠的度数是________°【答案】(1)63AOC ∠=︒(2)27【分析】本题考查了角平分线定义，垂直的定义；（1）先由垂直求出∠BOE ，再由平角求出1．（2023上·北京石景山·七年级统考期末）已知：OA OB ⊥，射线OC 是平面上绕点O 旋转的一条动射线，OD 平分BOC ∠．(1)如图，若40BOC ∠=︒，求AOD ∠．同理得AOD AOB ∠=∠+综上所述，AOD ∠的度数为2．（2023上·吉林长春·七年级统考期末）如图，直线(1)图中与1∠相等的角是(2)若155AFD ∠=︒，求∠【答案】(1)23∠∠，；(2)115︒．（2）∵155AFD ∠=︒，∴180********BFD AFD ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∵EF AB ⊥，∴90BFE ∠=︒，∴2590115DFE BFD BFE ∠=∠+∠=︒+︒=︒．题型06作垂线与求点到直线的距离(1)画线段AB ，画直线(2)过点D 画直线AC 的垂线，垂足为(3)点D 到直线AC 的距离为线段【答案】(1)见解析(2)见解析（3）点D到直线AC的距离为线段DE的长度．故答案为：DE．【变式训练】1．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）如图，所有小正方形的边长都为1个单位长度，A、B、C都在格点上．(1)过点A作直线BC的垂线，垂足为G；(2)过点A作直线AH AB⊥，垂足为A，直线AH交BC于点H；(3)点A到直线BC的距离等于__________个单位长度．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)2【分析】（1）根据垂线的定义作出图形即可；（2）根据垂线的定义作出图形即可；（3）线段AG的长即为点A到直线BC的距离．【详解】（1）解：如图，直线AG即为所求．（2）解：如图，直线AH即为所求．（3）解：由（1）中图可得：点A到直线BC的距离等于2个单位长度．【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，垂线，点到直线的距离等知识，解题的关键是理解垂线的定义，属于中考常考题型．∠的边OB上的一点2．（2023下·河南许昌·七年级校考期中）如图，网格线的交点叫格点，格点P是AOB（请利用三角板和直尺借助网格的格点画图）．(1)过点P 画OB 的垂线，交OA 于点E ；过点P 画OA 的垂线，垂足为F ；(2)线段PF 的长度是点P 到______的距离，线段______的长度是点E 到直线OB 的距离，所以线段PE PF OE 、、这三条线段大小关系是______（用“＜”号连接），理由是______．【答案】(1)图见解析(2)OA ，PE ，PF PE OE <<，垂线段最短【分析】（1）如图，找点C ，连接PC ，与OA 交点即为E ，过P 点作竖直的线，与OA 交点即为F ；（2）根据点到直线的距离的定义、垂线段最短即可求解．【详解】（1）解：由题意作图如下，PE 是OB 的垂线，PF 是OA 的垂线．（2）解：线段PF 的长度是点P 到OA 的距离，线段PE 的长度是点E 到直线OB 的距离，由垂线段最短可知，PF PE OE <<，故答案为：OA ，PE ，PF PE OE <<，垂线段最短．【点睛】本题考查了作垂线，垂线段最短．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．题型07与对顶角、余角、补角、直角有关的综合计算问题【例题】（2023上·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）如图，直线AB 、CD 相交于点O ，75BOC ∠=︒，射线ON 将AOD ∠分成两个角，且:2:3AON NOD ∠∠=．(1)求AON ∠的度数；(2)若OM 平分BON ∠，则OB 是COM ∠的平分线吗？判断并说明理由．【答案】(1)30AON ∠=︒(2)OB 是COM ∠的平分线，理由见解析1．（2023下·陕西西安·七年级校联考阶段练习）如图，直线AB CD ，相交于点O ，OM CD ⊥，垂足为O ，28BOD =︒∠(1)求AOM ∠的度数．(2)若OA 平分MOE ∠，求∠BOE 的度数．【答案】(1)62︒(2)118︒【分析】（1）由垂直的定义和对顶角相等，求解即可；（2）由角平分线的定义，邻补角的性质，即可求解．【详解】（1）解：因为OM CD ⊥，所以90MOC ∠=︒因为28AOC BOD ∠=∠=︒，所以902862AOM ∠=︒-︒=︒．（2）因为OA 平分MOE ∠，所以62EOA AOM ∠∠==︒．因为180BOE AOE ∠+∠=︒，所以18062118BOE ∠=︒-︒=︒．【点睛】本题考查了垂线，对顶角相等，邻补角的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．2．（2023下·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图，直线AB 与CD 相交于O ，OF ，OD 分别是AOE ∠，∠BOE 的平分线．(1)写出DOE ∠的两个补角；(2)若62BOE ∠=︒，求AOD ∠和EOF ∠的度数；(3)试问射线OD 与OF 之间有什么特殊的位置关系？为什么？【答案】(1)COE AOD∠∠，(2)14959AOD EOF ∠=︒∠=︒，(3)垂直，见解析【分析】（1）根据角平分线的定义结合邻补角的性质即可解答；（2）根据角平分线的定义和邻补角的性质解答即可；（3）根据角平分线的定义和邻补角的性质可得90DOF ∠=︒，即可得出结论．【详解】（1）∵OD 是∠BOE 的平分线，∴DOE BOD ∠=∠，∵180,180DOE COE BOD AOD ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴DOE ∠的两个补角为：COE AOD ∠∠，；（2）∵OD 是∠BOE 的平分线，62BOE ∠=︒，∴31BOD DOE ∠=∠=︒，180118AOE BOE ∠=︒-∠=︒，∴180149AOD BOD ∠=︒-∠=︒；∵OF 是AOE ∠的平分线．（3）射线OD与OF互相垂直．理由如下：∵OF，OD分别是AOE∠∴1,2DOE BOE EOF ∠=∠∠∴DOF DOE EOF∠=∠+∠即射线OD与OF互相垂直．【点睛】本题考查了角平分线的定义、邻补角的性质和垂直的定义，属于基础题型，熟练掌握角平分线的定义等基本知识是关键．一、单选题1．（2023下·辽宁大连·七年级校联考阶段练习）下列图中，1∠与2∠是对顶角的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据对顶角的定义判断即可．【详解】解：A、1∠与2∠不是对顶角，故此选项不符合题意；B、1∠与2∠不是对顶角，故此选项不符合题意；C、1∠与2∠不是对顶角，故此选项不符合题意；D、1∠与2∠是对顶角，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了对顶角的定义，掌握有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角是关键．2．（2023下·海南省直辖县级单位·七年级统考期中）如图，直线AB CD 、相交于点O ，OE 平分BOC ∠，若:2:5BOD BOE ∠∠=，则AOE ∠的大小为（）A ．60︒B ．90︒C ．100︒D ．105︒【答案】D 【分析】根据角平分线的定义得到COE BOE ∠∠=，根据邻补角的定义列出方程，解方程求出BOD ∠，根据对顶角相等求出AOC ∠，结合图形计算，得到答案．【详解】解：设2BOD x ∠=，:2:5BOD BOE ∠∠=，5BOE x ∠∴=，OE 平分BOC ∠，5COE BOE x ∠∠∴==，255180x x x ∴++=︒，解得，15x =︒，即30BOD ∠=︒，75COE ∠=︒，30AOC BOD ∠∠∴==︒，105AOE COE AOC ∠∠∠∴=+=︒，故选：D ．【点睛】本题考查的是对顶角、邻补角的概念，掌握对顶角相等、邻补角之和为180︒是解题的关键．3．（2023下·七年级单元测试）如图，直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为点D ，则下列说法正确的是（）A ．线段AC 的长表示点C 到AB 的距离B ．线段CD 的长表示点A 到CD 的距离C ．线段BC 的长表示点B 到AC 的距离D ．线段BD 的长表示点C 到DB 的距离【答案】C 【分析】根据点到直线距离的定义，逐个进行判断即可．【详解】解：A 、线段AC 的长表示点A 到BC 的距离，故A 不正确，不符合题意；B 、线段CD 的长表示点C 到AB 的距离，故B 不正确，不符合题意；C 、线段BC 的长表示点B 到AC 的距离，故C 正确，符合题意；D 、线段BD 的长表示点B 到CD 的距离，故D 不正确，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，解题的关键是掌握点到直线的垂线段的长度是点到直线的距离．4．（2023上·贵州遵义·七年级校联考期末）如图，已知直线AB 和CD 相交于点O ，DOE ∠是直角，OF 平分AOE ∠，34COF ∠=︒，则BOD ∠的度数为（）A ．22︒B ．32︒C ．34︒D ．56︒【答案】A 【分析】本题考查角平分线定义，角度的计算，余角定义，邻补角定义．根据题意先计算出56EOF ∠=︒，再利用角平分线性质得到112BOE ︒∠=，即可计算出本题答案．【详解】解：∵DOE ∠是直角，34COF ∠=︒，直线AB 和CD 相交于点O ，∴90EOC ∠=︒，∴56EOF EOC COF ∠=∠-∠=︒，∵OF 平分AOE ∠，∴56AOF EOF ∠=∠=︒，∴112AOE ∠=︒，∴=180112=68BOE ∠︒-︒︒，∴906822BOD ∠=︒-︒=︒，故选：A ．5．（2023下·天津·七年级校考期末）已知OA OB ⊥，直线CD 经过点O 且40AOC ∠=度，则BOD ∠等于（）A ．130︒B ．50︒C ．130︒或50︒D ．40︒【答案】C【分析】根据垂线的定义结合题意，分OC 在AOB ∠的内部时，OC 在AOB ∠的外部时，求解即可．【详解】解：当OC 在AOB ∠的内部时，∵40AOC ∠=︒，OA OB ⊥，∴90904050BOC AOC ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴180********BOD BOC ∠=︒-∠=︒-︒=︒．当OC 在AOB ∠的外部时，180180409050∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．BOD AOC AOB故选C．【点睛】本题考查垂线的定义，邻补角互补以及角的和差关系，利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．二、填空题【答案】1.74【分析】此题主要考查了垂线段最短，正确理解题意是解题关键．直接利用跳远成绩应该是垂线段最短距离进而得出答案．【详解】解：由题意可得：小涛同学这次跳远的成绩应该是故答案为：1.74．【答案】70︒【分析】利用对顶角相等可得【详解】解：20BON ∠= ，EO AB ⊥ ，90AOE ∴∠=︒，COE AOE AOC ∴∠=∠-∠如图，，EO AB ⊥ ，90AOE ∴∠=︒，COE AOE AOC ∴∠=∠+∠综上所述，COE ∠的度数是故答案为：50︒或130︒．（1）AOM ∠的度数为（2）若OA 平分MOE ∠【答案】62︒/62【分析】（1）根据垂直的定义得出三、解答题(1)求AOM ∠的度数；(2)作射线OP ，若BOP ∠与AOM ∠互余，求【答案】(1)25︒(2)65︒或165︒1306565COP BOC BOP ∠=∠-∠=︒-︒=当射线OP 在BOC ∠外部时，如图：180********AOP BOP ∠=︒-∠=︒-︒=11550COP AOP AOC ∠=∠+∠=︒+︒=综上可知，COP ∠的度数为65︒或165︒12．（2023下·河北邢台·七年级校考期中）如图，(1)已知35AOC ∠=︒，求(2)若:BOC BOD ∠∠=【答案】(1)55BOE ∠=(2)135AOE ∠=︒．∵90COE ∠=︒，∴9045135AOE COE AOC ∠=∠+∠=︒+︒=︒．【点睛】本题主要考查了对顶角、邻补角、角的和差关系等知识，理解对顶角、邻补角的定义是解答此题的关键．13．（2023下·北京怀柔·七年级统考期末）如图，在射线AB 上有一点M ，请选择适当的工具作图，完成以下问题：(1)过点M 作射线AC 的垂线，垂足为点H ；(2)在线段HC 上任取一点N （不与H ，C 重合），连接MN ；(3)在线段MA ，MH ，MN 中，线段______最短，依据是__________．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)MH ，垂线段最短【分析】（1）根据垂线的作法作图即可；（2）根据平行线的作法作出平行线即可；（3）根据直线外一点到该直线的所有线段中，垂线段最短即可得出结论．【详解】（1）解：如图所示，直线HM 即为所求；（2）解：如图所示，线段MN 即为所求；（3）解：∵MH ⟂AC ，∴MH AM <，MH MN <，理由：直线外一点到该直线的所有线段中，垂线段最短．故答案为MH ，垂线段最短．【点睛】题目主要考查垂线、平行线的基本作法及垂线段最短的性质，理解垂线及平行线的作法是解题关键．14．（2023下·四川凉山·七年级校考阶段练习）如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OE 是BOC ∠的平分线，且::1:2:4BOC DOF AOC ∠∠∠=．(1)若BOC x ∠=︒，则DOF ∠=______︒，AOC ∠=_______︒；（用含x 的式子表示）(2)求AOD ∠的度数；(3)若:1:4,BOE BOF ∠∠=试判断OE 与OF 的位置关系，并说明理由．【答案】(1)()2x ，()4x (2)36︒(3)垂直，见解析【分析】（1）根据::1:2:4BOC DOF AOC ∠∠∠=求解即可；（2）根据:1:4BOC AOC ∠∠=以及BOC ∠与AOC ∠互补可求出BOC ∠度数，最后根据对顶角的性质求解即可；（2）根据角平分线的定义求出∠BOE 的度数，结合:1:4BOE BOF ∠∠=求出BOF ∠的度数，即可求解．(1)图中AOF ∠的余角是（把符合条件的角都填出来）(2)图中除直角相等外，还有相等的角，请写出三对：①；②；③．(3)①如果160AOD ∠=︒．那么根据可得②如果4AOD EOF ∠=∠，求。

第02讲 两条直线的位置关系 (精讲）目录第一部分：知识点精准记忆 第二部分：课前自我评估测试 第三部分：典型例题剖析题型一：两条直线的位置关系 角度1：判断两直线的位置关系 角度2：由两直线的位置关系求参数 角度3：由两直线的位置关系求直线方程题型二：与距离有关的问题题型三：对称问题 角度1：点关于直线对称 角度2：直线关于直线对称 题型四：直线系方程的应用 角度1：平行、垂直直线系方程 角度2：过两直线交点的直线系方程第四部分：高考真题感悟知识点一：两条直线平行与垂直的判断1、两条直线平行对于两条不重合的直线1l ，2l ，其斜率分别为1k ，2k ，有1212l l k k ⇔=.对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点 (1)1212l l k k ⇔=成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在； ②1l 与2l 不重合．(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，1l 与2l 的倾斜角都是90，则12l l . (3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：1212l l k k ⇔=或1l ，2l 斜率都不存在.2、两条直线垂直如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于1-；反之，如果它们的斜率之积等于1-，那么它们互相垂直，即12121l l k k ⊥⇔⋅=-.对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点(1)12121l l k k ⊥⇔⋅=-成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②10k ≠且20k ≠. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论为：12121l l k k ⊥⇔⋅=-或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．知识点二：直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系直线1l ：1110A x B y C ++=（22110A B +≠）和2l ：2220A x B y C ++=（22220A B +≠）的公共点的坐标与方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解一一对应.1l 与2l 相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 1l 与2l 平行⇔方程组无解； 1l 与2l 重合⇔方程组有无数个解.知识点三：距离公式1、两点之间的距离公式：平面上任意两点111(,)P x y ，222(,)P x y间的距离公式为12||PP =特别地，原点(0,0)O 与任一点(,)P x y的距离||OP =2、点到直线的距离公式平面上任意一点000(,)P x y 到直线l ：0Ax By C ++=的距离d =.3、两条平行线间的距离一般地，两条平行直线1l ：1110A x B y C ++=（22110A B +≠）和2l ：2220A x B y C ++=（22220A B +≠）间的距离1222d A B=+.知识点四：对称问题1、点关于点对称问题(方法：中点坐标公式) 求点11(,)P x y 关于点00(,)A x y 的对称点(,)Q a b由：100022x a x y b y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩⇒010122a x x b y y =-⎧⎨=-⎩ 2、点关于直线对称问题（联立两个方程）求点11(,)P x y 关于直线l ：0Ax By C ++=的对称点(,)Q a b ①设PQ 中点为A 利用中点坐标公式得11(,)22x a y b A ++，将11(,)22x a y bA ++代入直线l ：0Ax By C ++=中；②1PQ l k k ⋅=- 整理得：1111022()1x ay b A B C y b A x a B ++⎧++=⎪⎪⎨-⎪⋅-=--⎪⎩ 3、直线关于点对称问题(求1l 关于点()b a P ,的对称直线2l ，则12l l ）方法一：在直线1l 上找一点A ，求点A 关于点P 对称的点B ，根据1212//l l k k ⇒=，再由点斜式求解； 方法二：由21//l l 21//l l ，设出2l 的直线方程，由点P 到两直线的距离相等12d d =求参数.方法三：在直线2l 任意一点()y x ,，求该点关于点P 对称的点()y b x a --2,2，则该点()y b x a --2,2在直线1l 上.4、直线关于直线对称问题4.1直线1l ：1110A x B y C ++=（22110A B +≠）和l ：0Ax By C ++=（22220A B +≠）相交,求1l 关于直线l 的对称直线2l ①求出1l 与l 的交点P②在1l 上任意取一点M (非P 点），求出M 关于直线l 的对称点N ③根据P ，N 两点求出直线2l4.2直线1l ：1110A x B y C ++=（22110A B +≠）和l ：0Ax By C ++=（22220A B +≠）平行,求1l 关于直线l 的对称直线2l ①21k k =②在直线1l 上任取一点M ，求点M 关于直线l 的对称点N ，利用点斜式求直线2l .1．（2022·广东汕头·高二期末）2a =-是直线230ax y++=和()5370x a y a +-+-=平行的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2022·河北保定·高一阶段练习）“1m =”是“直线1l ：()410m x my -++=与直线2l ：()220mx m y ++-=互相垂直”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2022·陕西咸阳·高一期末）已知直线20x y m -+=（0m >）与直线30x ny +-=互相平行，且它们之m n +=______.4．（2022·10y +-=与直线30my ++=平行，则它们之间的距离是（ ） A ．1B ．54C ．3D ．45．（2022·全国·高三专题练习）若点()1,1A a a -+，(),B a a 关于直线l 对称，则l 的方程为（ ） A ．10x y -+= B ．10x y +-= C ．2210x y -+=D ．220x y +-=题型一：两条直线的位置关系 角度1：判断两直线的位置关系典型例题例题1．（2022·湖南湘潭·高二期末）已知直线12:10,:10++=--=l x y l x y ，则1l 与2l （ ）A ．垂直B ．平行C ．重合D ．相交但不垂直例题2．（2022·全国·高二课时练习）直线210ax y --=和直线230y x b -+=平行，则直线y ax b =+和直线31y x 的位置关系是（ ）A ．重合B ．平行C ．平行或重合D ．相交同类题型归类练1．（2022·全国·高二课时练习）设a 、b 、c 分别为ABC 中A ∠、B 、C ∠所对边的边长，则sin 0x A ay c ++=与sin sin 0bx y B C -+=的位置关系是（ ） A ．相交但不垂直 B ．垂直 C ．平行D ．重合2．（2022·全国·高二课时练习）ABC 中，a 、b 、c 是内角A 、B 、C 的对边，且lgsin A 、lgsin B 、lgsin C成等差数列，则直线21:(sin )(sin )0l A x A y a +-=与22:(sin )(sin )0l B x C y c +-=的位置关系是（ ）．A ．重合B ．相交不垂直C ．垂直D ．平行角度2：由两直线的位置关系求参数典型例题例题1．（2022·四川自贡·高一期末（文））若直线20x ay +-=与直线210a x y ++=平行，则=a （ ） A ．1-或0B ．1-C ．1或0D ．1例题2．（2022·贵州·遵义市第五中学高二期中（理））直线220ax y +-= 与直线2(3)20x a y --+=互相垂直，且两直线交点位于第三象限，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．3C ．－1D ．－3例题3．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）已知0a >、0b >，直线1:(4)10l x a y +-+=，2:220l bx y +-=，且12l l ⊥，则1112a b++的最小值为（ ） A ．2 B ．4 C ．25D ．45例题4．（2022·山西省长治市第二中学校高二期末）设直线()1:1320l a x y +++=，直线2:210l x y ++=，若12l l //，则=a _______.同类题型归类练1．（2022·湖北孝感·高二期末）“2m =”是“直线()2140x m y +++=与直线320x my --=垂直”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2．（2022·全国·高三专题练习）已知1:3250l x ay +-=，()2:3120l a x ay ---=，则满足12l l ∥的a 的值是（ ）A ．16-B ．0C ．16-或0D ．16或03．（2022·江苏·高二）已知直线():120l x a y +-+=，20l y +=，且12l l ⊥，则22a b +的最小值为（ ）A ．14B ．12C D ．13164．（2022·山东德州·高二期末）函数22()34e x f x x x =-+在点（0，f （0））处的切线与直线22x ay =-平行，则a =______．5．（2022·全国·高二课时练习）“1a =”是“直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直”的______条件． 6．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知直线()1:2350l a x y --+=和()2:3170l x b y -+-=互相垂直，且,a b +∈R ，则21a b+的最小值为____________.角度3：由两直线的位置关系求直线方程典型例题例题1．（2022·重庆南开中学高一期末）已知直线:(21)(1)1170l x y λλλ-+-+-=，R λ∈. (1)若直线l 与直线1:(1)10l x y λ+++=垂直，求实数λ的值(2)若直线l 在x 轴上的截距是在y 轴上截距的2倍，求直线l 的方程.例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知直线1:20l mx y m ++=，()2:3170l mx m y +-+=，分别求实数m 的值，使得： (1)12//l l ；(2)12l l ⊥．例题3．（2022·全国·高二课时练习）求过1:2320l x y -+=与2:3420l x y --=的交点且与直线440x y +-=平行的直线方程．例题4．（2022·全国·高二课时练习）求经过两条直线2310x y -+=和20x y +-=的交点，且与直线230x y ++=垂直的直线的方程．同类题型归类练1．（2022·陕西·铜川阳光中学高一期末）已知直线l 经过点(23)P ，． (1)若点(11)A ，在直线l 上，求直线l 的方程； (2)若直线l 与直线2310x y -+=平行，求直线l 的方程．2．（2022·内蒙古·赤峰二中高二期末（文））已知直线1l ：()410m x y --+=和2l ：()()4110m x m y +++-=． (1)若12l l ∥，求实数m 的值； (2)若12l l ⊥，求实数m 的值．3．（2022·江苏·高二课时练习）已知直线()21:(2)340l m x m m y ++-+=和直线2:22(3)20()l mx m y m m +-++=∈R .(1)当m 为何值时，直线1l 和2l 平行？ (2)当m 为何值时，直线1l 和2l 重合？题型二：与距离有关的问题典型例题例题1．（2022·重庆长寿·高二期末）在第一象限的点()1,A a 到直线4310x y +-=的距离为3，则a 的值为__________．例题2．（2022·江苏·高二专题练习）点P 为直线3420x y+=-上任意一个动点，则P 到点(3,1)-的距离的最小值为___________.例题3．（2022·全国·高二专题练习）两条平行线12l l ，分别过点()()1223P Q --，，，，它们分别绕 P Q ，旋转，但始终保持平行，则12l l ，之间距离的取值范围是____．例题4．（2022·江苏·高二专题练习）（1）已知实数对(,)x y 满足10x y ++=值；（2）求y例题6．（2022·山东聊城·二模）实数1x ，2x ，1y ，2y 满足：2111ln 0x x y --=，2240x y --=，则()()221212x x y y -+-的最小值为（ ）A ．0B ．C ．D ．8同类题型归类练1．（2022·全国·高二专题练习）到直线3410x y +=－的距离为3且与此直线平行的直线方程是____． 2．（2022·江苏·高二）两条平行线4310x y +-=与8630x y ++=之间的距离是___________.3．（2022·全国·高二课时练习）直线l 过点(1,2)P -且到点(2,3)A 和点(4,5)B -的距离相等，求直线l 的方程． 4．（2022·陕西渭南·高一期末）已知直线l 经过点()2,5P -，()2,2Q . (1)求直线l 的方程；(2)若直线m 与l 平行，且它们间的距离为4，求直线m 的方程.5．（2022·海南·琼海市嘉积第二中学高二期末）若实数a b c d ,,,满足22ln ,32b a a d c =-=-，则()()22a cb d -+-的最小值为___________.6．（2022·全国·高二专题练习）设R a b ∈，_______.题型三：对称问题 角度1：点关于直线对称典型例题例题1．（2022·江苏·高二）点(3,9)关于直线3100x y +-=对称的点的坐标是______．例题2．（2022·广东·高二阶段练习）在平面直角坐标系内，一束光线从点(1,2)A 出发，被直线y x =反射后到达点(3,6)B ，则这束光线从A 到B 所经过的距离为（ ）A ．BC ．4D ．5例题3．（2022·全国·高二课时练习）将一张坐标纸折叠一次，使点()3,2与点()1,4重合，则折痕所在直线的一般式方程为___________.同类题型归类练1．（2022·全国·高二专题练习）原点关于210x y -+=的对称点的坐标为_____．2．（2022·全国·高二单元测试）点(2,2)A 关于直线2y x =+的对称点的坐标为______．角度2：直线关于直线对称典型例题例题1．（2022·安徽省六安中学高二期末（理））直线21y x =+关于直线y x =对称的直线方程为（ ） A ．310x y -+= B ．310--=x y C ．210x y --= D ．210x y -+=例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知直线1l ：30ax y -+=与直线2l 关于直线l ：10x y +-=对称，直线2l 与直线3l ：310x y +-=垂直，则a 的值为（ ）A ．13-B ．13 C ．3 D ．3-例题3：（2022·江苏·高二）已知点()0,2A ，直线1:10l x y --=，直线2:220l x y -+=.(1)求点A 关于直线1l 的对称点B 的坐标；(2)求直线2l 关于直线1l 的对称直线方程.同类题型归类练1．（2022·陕西·长安一中高一期末）直线1:10l x y +-=关于直线2:330l x y --=的对称直线方程为__________．2．（2022·江苏·高二课时练习）已知直线:33l y x =+，求：(1)直线l 关于点(3,2)M 对称的直线的方程；(2)直线20x y --=关于直线l 对称的直线的方程．3．（2022·安徽省亳州市第一中学高二阶段练习）已知直线l ：220x y +-=和直线1l ：2y x =-.(1)求直线l 关于点()1,1A 对称的直线2l 的方程；(2)求直线l 关于直线1l 对称的直线3l 的方程.题型四：直线系方程的应用角度1：平行、垂直直线系方程典型例题例题1求过直线1l ：240x y -+=和2l ：20x y +-=的交点P ，且与直线3l ：3450x y -+=垂直的直线l 方程．例题2：求过点(1,4)A -且与直线2350x y ++=平行的直线方程．同类题型归类练1、求与直线3410x y ++=平行且过点(1,2)的直线l 的方程。