2014创新设计高中数学(苏教版)第四章 第1讲 弧度制与任意角的三角函数

课题：任意角、弧度授课科目：数学学生年级：高一授课教师：授课日期：教学目标 1.使学生理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系以2.能在0。

~360。

范围内，找出一个与已知角终边相同的角，并判完3.能写出与任一已知角终边相同的角的集合.4.使学生理解孤度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟i5.了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应的关系6.掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度制解决某些简单的实位8.会由给定条件求角的集合，并将其化成最简形式；会由角终边所在阴影的图形，求出角的集合. 咨寸论任意角；三其为第几象限角；，己特殊角的弧度数；前可题.教学重难点重点一终边相同的角的表示；难点——判断所给角属于第几象限.重点一理解弧度制的概念；难点——熟练进行弧度制，角度制的换算.重点——根据条件求角的集合；难点——由角终边所在阴影的图形，求出角的集合.教学过程一、知识要点1.角的概念的推广，正角、负角、零角、象限角等概念；2.与a角终边相同的角的集合；3.判断所给角是第几象限角.4.学习一种新的表示角的方法——孤度制，及弧度制下的弧长公式，面积公式，要熟练掌握角度与孤度的互换.5.由给定条件求角的集合，并将其化成最简形式；6.由角终边所在阴影的图形，求角的集合.二、经典例题讲解题型一角的有关问题例1： (1)写出终边在直线y=y[3x上的角的集合；⑵若角3的终边与%角的终边相同，求在[0,2兀)内终边与?角的终边相同的角;(3)己知角a是第一象限角，试确定2a、与所在的象限.题型二三角函数的定义、后1例2:已知角o的终边经过点P(x, —皿)3乂0),且cos a=^7~x,求sino+ —的值.变式训练：已知角a的终边在直线3x+4y=0上，求sin a, cos a, tana的值.题型三扇形的弧长、面积公式的应用例3：已知一扇形的圆心角为a(a>0),所在圆的半径为R⑴若a=60。

§1.1任意角、弧度课题：§1.1任意角、弧度教学目标：1.会由给定条件求角的集合,并将其化成最简形式;2.会由角终边所在阴影的图形,求出角的集合.重点难点：重点——根据条件求角的集合;难点——由角终边所在阴影的图形,求出角的集合.教学教程：一、问题情境问题1:⑴与角α终边相同的角的集合____________;⑵弧度制定义:__________________________;⑶弧度,角度互换公式___________;⑷填空角度0°30°90°120°180°弧度π4π334π23π2π二、数学运用1．例题例1 写出终边在y 轴上的角的集合.解:在0°~360°内,终边在y 轴上的角有90°,270°所有与90°角终边相同的角构成集合S 1＝{β|β＝k ·360°+90°,k ∈Z} 所有与270°角终边相同的角构成集合S 2＝{β|β＝k ·360°+270°,k ∈Z} 所以终边在y 轴上的角构成集合S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝k ·360°+90°,k ∈Z}∪{β|β＝k ·360°+270°,k ∈Z} ＝{β|β＝k ·360°+90°或β＝k ·360°+270°,k ∈Z}＝{β|β＝2k ·180°+90°或β＝2k ·180°+180°+90°,k ∈Z}＝{β|β＝2k ·180°+90°或β＝(2k+1)·180°+90°,k ∈Z}＝{β|β＝n ·180°+90°,k ∈Z}如何求出符合某些条件的角的集合?⑴在0°~360°内找出符合条件的角α；⑵写出所有终边与角α相同的角的集合;⑶将所求集合化成简单形式.练习一:1.写出终边在x 轴上的角的集合;2.写出终边在直线y ＝x 上的角的集合;3.已知角α＝π6,角β终边与角α终边垂直,求角β的集合. 例2 ⑴写出终边在第一象限的角的集合;⑵若α是第三象限角,那么α2是第几象限角?2α呢? 解:⑴S ＝{α|k ·360°＜α＜k ·360°+90°,k ∈Z}⑵∵k ·360°+180°＜α＜k ·360°+270°∴k ·180°+90°＜α2＜k ·180°+135°若k 是偶数,即k ＝2n,n ∈Z 时n ·360°+90°＜α2＜n ·360°+135°α2是第一象限角若k 是奇数,即k ＝2n+1,n ∈Z 时。

1.1.2 弧度制（1）一、课题：弧度制（1）二、教学目标：1.理解弧度制的意义；2.能正确的应用弧度与角度之间的换算；3.记住公式||l rα=（l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆半径）。

三、教学重、难点：弧度与角度之间的换算。

四、教学过程： （一）复习：初中时所学的角度制，是怎么规定1o 角的？ （初中时把一个周角的1360记为1o） （二）新课讲解： 1．弧度角的定义：规定：我们把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记此角为1rad ．练习：圆的半径为r ，圆弧长为2r 、3r 、2r的弧所对的圆心角分别为多少？ 说明：一个角的弧度由该角的大小来确定，与求比值时所取的圆的半径大小无关。

思考：什么π弧度角？一个周角的弧度是多少？一个平角、直角的弧度分别又是多少？ 2．弧度的推广及角的弧度数的计算：规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；角α的弧度数的绝对值是rl =||α，（其中l 是以角α作为圆心角时所对弧的长，r 是圆的半径）。

说明：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或rad 经常省略，即只写一实数表示角的度量。

例如：当弧长4l r π=且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是4||4l r r rπαπ-=-=-=-． 3．角度与弧度的换算3602π=orad 180π=orad1801π=︒rad 0.01745≈rad 1rad =︒)180(π5718'≈o4．例题分析：例1 把'3067︒化成弧度．解：因为6730'o67.5=o，所以 3671567.51808rad ππ'=⨯=oo rad ． 例2 把35πrad 化成度。

解：35π rad 31801085=⨯=o o ．例3 用弧度制分别表示轴线角、象限角的集合。

（1）终边落在x 轴的非正、非负半轴，y 轴的非正、非负半轴的角的集合。

弧度制教课目标：稳固弧度制的理解，娴熟掌握角度弧度的换算；掌握用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式．培育运用弧度制解决详细的问题的意识和能力教课要点：运用弧度制解决详细的问题．教课难点：运用弧度制解决详细的问题．教课过程：一、复习引入：1. 360=2 rad 180= rad。

2. 初中学过的弧长公式、扇形面积公式：n r n R 2 l ； S扇180 360二、解说新课：1 ．弧长公式：l r由公式：ll r 比公式 ln rr简单180弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积2．扇形面积公式证：S1lR 此中 l 是扇形弧长，R 是圆的半径RoSl 2三、解说典范：例 1．求图中公路弯道处弧 AB 的长l（精准到 1m）图中长度单位为： m 解：例 2．已知扇形AOB的周长是 6cm，该扇形的中心角是 1 弧度，求该扇形的面积解：例 3计算sin和tan的值。

4 3解：例 4 将以下各角化成0 到2的角加上2k (k Z) 的形式⑴19⑵315 3解：例 5直径为20cm的圆中，求以下各圆心所对的弧长⑴ 4⑵ 165 3解：例 6 已知扇形周长为 10cm，面积为 6cm2，求扇形中心角的弧度数．解：班级姓名成绩1. 圆的半径变成本来的 2 倍，而弧长也增添到本来的 2 倍，则 ( )A. 扇形的面积不变B.扇形的圆心角不变C. 扇形的面积增大到本来的 2 倍D.扇形的圆心角增大到本来的 2 倍2.时钟经过一小时，时针转过了 ( )A.radB.－radC.radD.－rad6612123. 一个半径为 R 的扇形，它的周长是 4R ，则这个扇形所含弓形的面积是 ( )A 1 (2 sin 1cos1) R 2 B. 1 sin1cos1R 222 C. 1R 2 D.(1 sin 1cos1) R 224. 圆的半径变成本来的 1，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是本来2的倍 .5. 若 α＝－ 216°， l ＝ 7π，则 ｒ＝( 此中扇形的圆心角为 α，弧长为 l ，半径为 r ).6. 在半径为30的圆中，圆心角为周角的2的角所对圆弧的长为.37. 两个圆心角同样的扇形的面积之比为 1∶ 2，则两个扇形周长的比为( )∶2∶4∶ 2∶ 88. 在半径为 1 的单位圆中，一条弦 AB 的长度为 3 ，则弦 AB 所对圆心角 α是 ( )A. α＝ 3B.α＜ 3 C.α＝2D. α＝ 12039. 时钟从 6 时 50 分走到 10 时 40 分，这时分针旋转了 弧度 .10. 已知扇形 AOB 的面积是 1 cm 2，它的周长是 4 cm ，则弦 AB 的长等于cm.11. 扇形的面积必定，问它的中心角 α 取何值时，扇形的周长 L 最小 ?12. 在时钟上，自零时辰到分针与时针第一次重合，分针所转过角的弧度数是多少?。

第1讲任意角、弧度制及任意角的三角函数一、选择题1.给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角.其中正确的命题有( )A.1个B.2个C.3个D.4个解析－3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，②正确.－400°＝－360°－40°，从而③正确.－315°＝－360°＋45°，从而④正确. 答案 C2.已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边所在象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析由题意知tan α＜0，cos α＜0，∴α是第二象限角.答案 B3.(2021·福州模拟)已知角θ的终边通过点P(4，m)，且sin θ＝35，则m等于()A.－3B.3C.163 D.±3解析sin θ＝m16＋m2＝35，解得m＝3.答案 B4.点P从(1，0)动身，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长抵达Q点，则Q点的坐标为()A.(－12，32)B.(－32，－12)C.(－12，－32)D.(－32，12)解析 由三角函数概念可知Q 点的坐标(x ，y )知足x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32. 答案 A5.已知角α的终边通过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0.则实数a 的取值范围是( ) A.(－2，3] B.(－2，3) C.[－2，3)D.[－2，3]解析 ∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上. ∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3. 答案 A6.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为( ) A.π3B.π2C. 3D.2解析 设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝α·r ，∴α＝ 3. 答案 C 7.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制仍是用弧度制气宇一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角.其中正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析 举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错.综上可知只有③正确. 答案 A8.(2021·合肥模拟)已知角θ的极点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( ) A.－45 B.－35 C.35D.45解析 由题意知，tan θ＝2，即sin θ＝2cos θ，将其代入sin 2θ＋cos 2θ＝1中可得cos 2θ＝15，故cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35. 答案 B 二、填空题9.已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________.解析 在[0，2π)内，终边落在阴影部份角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，56π， 所以，所求角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋56π(k ∈Z ).答案 ⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋56π(k ∈Z )10.设P 是角α终边上一点，且|OP |＝1，若点P 关于原点的对称点为Q ，则Q 点的坐标是________.解析 由已知P (cos α，sin α)，则Q (－cos α，－sin α). 答案 (－cos α，－sin α)11.已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________.解析 设扇形半径为r ，弧长为l ，则⎩⎨⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝π3，r ＝2.答案 π312.(2021·九江模拟)若390°角的终边上有一点P (a ，3)，则a 的值是________. 解析 tan 390°＝3a ，又tan 390°＝tan(360°＋30°)＝tan 30°＝33.∴3a ＝33，∴a ＝3 3. 答案 3 313.已知圆O ：x 2＋y 2＝4与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆O 顺时针运动π2弧长抵达点N ，以ON 为终边的角记为α，则tan α＝( ) A.－1B.1C.－2D.2解析 圆的半径为2，π2的弧长对应的圆心角为π4，故以ON 为终边的角为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋π4，k ∈Z ，故tan α＝1.答案 B14.(2021·郑州一模)设α是第二象限角，P (x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α等于( )A.43 B.34 C.－34 D.－43解析 因为α是第二象限角，所以cos α＝15x <0，即x <0. 又cos α＝15x ＝x x 2＋16，解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43. 答案 D15.函数y ＝2sin x －1的概念域为________. 解析 ∵2sin x －1≥0，∴sin x ≥12.由三角函数线画出x 知足条件的终边范围(如图阴影所示). ∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z ).答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z ) 16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P 的位置在(0，0)，圆在x 轴上沿正向转动，当圆转动到圆心位于(2，1)时，OP →的坐标为________.解析 如图，作CQ ∥x 轴，PQ ⊥CQ, Q 为垂足.按照题意得劣弧DP ︵＝2，故∠DCP ＝2，则在△PCQ 中，∠PCQ ＝2－π2， |CQ |＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＝sin 2，|PQ |＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＝－cos 2，所以P 点的横坐标为2－|CQ |＝2－sin 2，P 点的纵坐标为1＋|PQ |＝1－cos 2，所以P 点的坐标为(2－sin 2，1－cos 2)，故OP →＝(2－sin 2，1－cos 2).答案 (2－sin 2，1－cos 2)。

第01讲任意角和弧度制及三角函数的概念(精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：象限角、区域角、终边相同的角角度1:象限角角度2:区域角角度3角:终边相同的角高频考点二：角度制与弧制度的相互转化高频考点三：弧长公式与扇形面积公式角度1：弧长的有关计算角度2：与扇形面积有关的计算角度3：题型归类练角度4：扇形弧长公式与面积公式的应用高频考点四：任意角的三角函数角度1：单位圆法与三角函数角度2：终边上任意点法与三角函数角度3：三角函数值符号的判定高频考点五：三角函数线高频考点六：解三角不等式第四部分：高考真题感悟第五部分：第01讲任意角和弧度制及三角函数的概念（精练）1、角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．②按终边位置不同分为象限角和轴线角． ③终边相同的角：终边与角α相同的角可写成360()k k Z βα=+⋅∈．2、弧度制的定义和公式①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，||lrα=，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值lr与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关． ④弧度与角度的换算：3602rad π=；180rad π=． 若一个角的弧度数为α，角度数为n ，则180()rad απ=，180n n rad π=⋅．3、任意角的三角函数3.1.单位圆定义法：任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点(,)P x y ，那么 （1）点P 的纵坐标叫角α的正弦函数，记作sin y α=； （2）点P 的横坐标叫角α的余弦函数，记作cos x α=； （3）点P 的纵坐标与横坐标之比叫角α的正切函数，记作tan yxα=（0x ≠）.它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．3.2.终边上任意点法：设(,)P x y 是角α终边上异于原点的任意一点，它到原点的距离为r （0r >）那么：sin y r α=；cos x rα=；tan yx α=（0x ≠）(1)弧长公式在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对的圆心角大小为α，则||lrα=变形可得||l r α=，此公式称为弧长公式，其中α的单位是弧度．(2)扇形面积公式211||22S lr r α== 5、三角函数线正弦线：MPOM正切线：AT6常用结论（1）三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦.（2）角度制与弧度制可利用180rad π=进行相互转化，在同一个式子中，采用的度量方式必须统一，不可混淆. 30 60 90 150 180）象限角：,k k ∈360180,}k k Z +∈36090,}k k Z +∈ 360270,}k k Z +∈180,}k k Z ∈ 18090,}k k Z +∈ 90,}k k Z ∈一、判断题1．（2022·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）“角α是第一象限的角”是“角2α是第一象限的角”的充分不必要条件.( ) 【答案】错误 【详解】由α是第一象限角可举例380α=︒， 则1902α=︒，得角2α是第二象限的角， 即由“角α是第一象限的角”推不到“角2α是第一象限的角”，所以不是充分条件，所以错误.故答案为：错误. 2．（2022·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数α是1或4.( ) 【答案】正确 【详解】设扇形所在圆的半径为r ，则扇形弧长l r α=，于是得226122r r r αα+=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得21r α=⎧⎨=⎩或14r α=⎧⎨=⎩，所以扇形的圆心角的弧度数α是1或4. 故答案为：正确3．（2022·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）已知角α的终边经过点()P m ，0m ≠，且sin α=，则cos α= ) 【答案】正确 【详解】因为角α的终边经过点()P m ，0m ≠，且sin α=，=m =所以cos α==故答案为：正确4．（2022·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）角θ终边经过点（-3,4），则7cos 225θ=-.( ) 【答案】正确 【详解】由角θ终边经过点()3,4-，可得3cos 5θ==-，而2237cos 22cos 12()1525θθ=-=--=-.故答案为：正确.5．（2022·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）tan 300︒= ) 【答案】错误 【详解】tan 300tan(36060)tan 60︒=︒-︒=-︒=故答案为：错误高频考点一：象限角、区域角、终边相同的角①象限角角度1：确定已知角所在象限例题1．（2022·河南·南阳中学高一阶段练习）若()45180k k α=+⋅∈Z ，则α的终边在（ ） A ．第二或第三象限 B ．第一或第三象限 C ．第二或第四象限 D ．第三或第四象限【答案】B 【详解】当k 为奇数时，记21,k n n =+∈Z ，则()225360n n α+⋅∈︒=Z ，此时α为第三象限角；当k 为偶数时，记2,k n n =∈Z ，则()45360n n α+⋅∈︒=Z ，此时α为第一象限角. 故选：B例题2．（2022·上海市宝山中学高一期中）平面直角坐标系中，若角532α=︒，则α是第________象限的角. 【答案】二##2 【详解】532360172︒=︒+︒，因此532︒与172︒终边相同，而172︒是第二象限角．所以α是第二象限角． 故答案为：二．角度1题型归类练1．（2022·江西抚州·高一期中）若34πα=-，则α是第（ ）象限角． A ．一 B ．二C ．三D ．四【答案】C 【详解】34πα=-，α终边落在第三象限，α为第三象限角.故选：C.2．（2022·河南南阳·高一期中）“α是第一象限角”是“0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【详解】若α是第一象限角，则22,2k k k Z ππαπ<<+∈，无法得到α一定属于0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，充分性不成立， 若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则α一定是第一象限角，必要性成立，所以“α是第一象限角”是“0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭”的必要不充分条件.故选：B3．（多选）（2022·广东·韶关市田家炳中学高一期末）下列四个角为第二象限角的是（ ）A ．200-B ．100C ．220D ．420【答案】AB 【详解】对于A 选项，200160360-=-，故200-为第二象限角； 对于B 选项，100是第二象限角； 对于C 选项，220是第三象限角；对于D 选项，42060360=+，故420为第一象限角. 故选：AB.角度2：由已知角所在的象限确定某角的范围例题1．（多选）（2021·全国·高一专题练习）有一个小于360︒的正角α，这个角的6倍的终边与x 轴的非负半轴重合，则这个角可以为（ ） A ．60︒ B ．90︒ C ．120︒ D ．300︒【答案】ACD 【详解】由题意，62180k α=⨯︒且k Z ∈，则1803kα︒=，又0360α︒<<︒， ∴1k =时，60α=︒；2k =时，120α=︒；3k =时，180α=︒；4k =时，240α=︒；5k =时，300α=︒； 故选：ACD6．（多选）（2021·全国·高一专题练习）若α为第一象限角，则180()k k Z α⋅︒+∈的终边所在的象限可能是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】AC 【详解】由题设，36036090k k α''︒<<︒+︒，k Z '∈，∴(2)180180(2)18090k k k k k α''+⋅︒<⋅︒+<+⋅︒+︒，令12k k k Z '=+∈，∴1118018018090k k k α⋅︒<⋅︒+<⋅︒+︒，故180()k k Z α⋅︒+∈的终边所在的象限可能是第一、三象限. 故选：AC角度2题型归类练1．（2021·全国·高一专题练习）若α是第一象限角，则2α-是（ ）A ．第一象限角B ．第一、四象限角C ．第二象限角D ．第二、四象限角【答案】D 【详解】由题意知，36036090k k α⋅︒<<⋅︒+︒，k ∈Z ，则180180452k k α⋅︒<<⋅︒+︒，所以180451802k k α-⋅︒-︒<-<-⋅︒，k ∈Z ．当k 为偶数时，2α-为第四象限角；当k 为奇数时，2α-为第二象限角．所以2α-是第二或第四象限角.故选：D.2．（2021·广东·中山纪念中学高一阶段练习）若α是第四象限角，则90º－α是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角【答案】B 【详解】由题知，(90360,360)k k α∈-+⋅⋅，k Z ∈， 则90(90360,180360)k k α-∈-⋅-⋅，在第二象限， 故选：B3．（多选）（2022·安徽·界首中学高一期末）若α是第二象限角，则（ ） A ．πα-是第一象限角 B ．2α是第一或第三象限角 C ．32πα+是第二象限角D ．2α是第三或第四象限角【答案】AB 【详解】解：因为α与α-关于x 轴对称，而α是第二象限角，所以α-是第三象限角，所以πα-是第一象限角，故A 选项正确；因为α是第二象限角，所以222k k ππαππ+<<+，k ∈Z ，所以422k k παπππ+<<+，k ∈Z ，故2α是第一或第三象限角，故B 选项正确；因为α是第二象限角，所以32πα+是第一象限角，故 C 选项错误；因为α是第二象限角，所以222k k ππαππ+<<+，k ∈Z ，所以4224k k ππαππ+<<+，k ∈Z ，所以2α的终边可能在y 轴负半轴上，故D 选项错误． 故选：AB.角度3：确定n 倍角所在象限例题1．（2022·广东广州·高一期末）已知α是锐角，那么2α是（ ）． A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．小于180°的正角 D ．第一或第二象限角【答案】C 【详解】因为α是锐角,所以0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以()20,απ∈,满足小于180°的正角.其中D 选项不包括90，故错误. 故选：C2．（2021·上海·高一课时练习）角θ的终边在第二象限，则角2θ的终边在_________． 【答案】第三、四象限或y 轴非正半轴 【详解】解：θ是第二象限角，36090360180k k θ∴︒+︒<<︒+︒，k Z ∈．236018022360360k k θ︒+︒<<︒+︒，k Z ∈．2θ的终边的位置是第三或第四象限，y 的非正半轴．故答案为：第三、第四象限或y 轴的非正半轴角度3题型归类练1．（2021·上海·高一课时练习）若α是第三象限角，则α-是第_________象限角． 【答案】二 【详解】因为α是第三象限角，所以α的终边在第三象限， 又α-的终边与α的终边关于x 轴对称，所以α-的终边在第二象限，所以α-是第二象限角， 故答案为：二.2．（2018·广西·高一阶段练习）已知α终边在第四象限，则2α终边所在的象限为_______________． 【答案】第三象限或第四象限或y 轴负半轴 由于α是第四象限角,故π2π2π2k k α-<<,故4ππ24πk k α-<<,即2α终边在” 第三象限或第四象限或y 轴负半轴”. 角度4：确定n 分角所在象限例题1．（2021·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）若角α是第一象限角，则2α是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第一或第三象限角 D ．第二或第四象限角【答案】C 【详解】因为α是第三象限角，所以36036090,k k k Z α⋅<<⋅+∈， 所以18018045,2k k k Z α︒⋅<<⋅+∈，当k 为偶数时，2α是第一象限角， 当k 为奇数时，2α是第三象限角. 故选：C ．例题2．（多选）（2022·辽宁·抚顺县高级中学校高一阶段练习）如果α是第三象限的角，那么3α可能是下列哪个象限的角（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】ACD 【详解】α是第三象限的角，则32,22k k παπππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭，k Z ∈，所以22,33332k k αππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭，k Z ∈； 当=3,k n n Z ∈，2,2,332n n n Z αππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭，在第一象限； 当=31,k n n Z +∈，72,2,36n n n Z αππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭，在第三象限； 当=32,k n n Z +∈，5112,2,363n n n Z αππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭，在第四象限； 所以3α可以是第一、第三、或第四象限角． 故选：ACD角度4题型归类练1．（2022·河南新乡·高一期末）“α是第四象限角”是“2α是第二或第四象限角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【详解】当α是第四象限角时，3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈，则3,42k k k Z παπππ+<<+∈，即2α是第二或第四象限角.当324απ=为第二象限角，但32πα=不是第四象限角，故“α是第四象限角”是“2α是第二或第四象限角”的充分不必要条件． 故选：A2．（多选）（2022·江西·南昌十五中高一阶段练习）已知角α是第一象限角，则角3α可能在以下哪个象限（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】ABC 【详解】解：因为角α是第一象限角，所以222k k ππαπ<<+，k Z ∈，所以223363k k παππ<<+，k Z ∈， 当3k t =，t Z ∈时，2236t t απππ，t Z ∈，3α位于第一象限，当31k t =+，t Z ∈时，2522336t t παπππ，t Z ∈，3α位于第二象限，当32k t =+，t Z ∈时，4322332t t παπππ，t Z ∈，3α位于第三象限，综上可得3α位于第一、二、三象限； 故选：ABC3．（2022·上海师大附中高一期末）设α是第三象限的角，则2α的终边在第______象限. 【答案】二或四 【详解】因为α是第三象限角，所以3222k k ππαππ+<<+，k Z ∈，所以3224k k παπππ+<<+，k Z ∈， 当k 为偶数时，2α为第二象限角， 当k 为奇数时，2α为第四象限角. 故答案为：二或四.②区域角例题1．（2022·湖南·高一课时练习）已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是________．【答案】{α|k ·360°＋45°＜α＜k ·360°＋150°，k ∈Z } 【详解】观察图形可知，终边落在边界上的角分别是36045,360150,k k k Z ⋅︒+︒⋅︒+︒∈, 所以角α的集合是{α|k ·360°＋45°＜α＜k ·360°＋150°，k ∈Z }． 故答案为：{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k ∈Z} 例题2．（2020·全国·高一课时练习）如图所示,终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合是________.【答案】{}90180120180,k k k αα︒+⋅︒<<︒+⋅︒∈Z 【详解】因为终边落在y 轴上的角为90180,k k Z ︒+⋅︒∈，终边落在虚线上的角为1203601202180,k k ︒︒+⋅︒=+⋅︒k Z ∈； 3003601201802180120(21)180,n n n n Z ︒︒︒+⋅︒=+︒+⋅︒=++⋅︒∈，即终边在虚线上的角为120180k ︒+⋅︒，k Z ∈，所以终边落在阴影部分的角为90180120180,k k k Z α︒+⋅︒<<︒+⋅︒∈， 故答案为：{}90180120180,k k k Z αα︒+⋅︒<<︒+⋅︒∈题型归类练1．（2022·上海·华师大二附中高一期中）用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内（含边界）的角θ的集合是__________．【答案】32,2,Z 64k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【详解】由题图，终边OB 对应角为26k ππ-且Z k ∈，终边OA 对应角为324k ππ+且Z k ∈， 所以阴影部分角θ的集合是32,2,Z 64k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.故答案为：32,2,Z 64k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦2．（2021·全国·高一专题练习）如图所示，终边在阴影区域内（含边界）的角的集合为______．【答案】{}4518060180,n n n Z αα+⋅≤≤+⋅∈ 【详解】终边在直线OM 上的角的集合为：{}{}45360,225360,M k k Z k k Z αααα==︒+⋅︒∈⋃=︒+⋅︒∈{}(){}452180,4521180,k k Z k k Z αααα==︒+⋅︒∈⋃=︒++⋅︒∈{}45180,n n Z αα==︒+⋅︒∈．同理可得终边在直线ON 上的角的集合为{}60180,n n Z αα=︒+⋅︒∈，所以终边在阴影区域内（含边界）的角的集合为{}4518060180,n n n Z αα︒+⋅︒≤≤︒+⋅︒∈． 故答案为：{}4518060180,n n n Z αα︒+⋅︒≤≤︒+⋅︒∈3．（2020·全国·高一课时练习）如下图，终边落在OA 位置时的角的集合是__________；终边落在OB 位置，且在360360-︒︒内的角的集合是________；终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是______．【答案】 {|360120,}k k αα=︒+︒∈Z {45,315}-︒︒ {|36045360120,}k k k αα︒-︒︒+︒∈Z 【详解】由题意以OA 为终边的一个角是120︒，因此以OA 为终边的角的集合是{|360120,}k k αα=︒+︒∈Z ；以OB 为终边的角的集合是{|36045,}k k αα=︒-︒∈Z ，在已知范围内的有45,315-︒︒两个角，集合表示为{45,315}-︒︒；∴终边落在阴影部分（含边界）的角的集合为{|36045360120,}k k k αα︒-︒︒+︒∈Z ． 故答案为：{|360120,}k k αα=︒+︒∈Z ；{45,315}-︒︒；{|36045360120,}k k k αα︒-︒︒+︒∈Z ．4．（2019·江苏·海安市南莫中学高一期中）如图所示，阴影部分表示的角的集合为（含边界）______（用弧度表示）．【答案】{|,}3k k k Z παπαπ≤≤+∈【详解】如图，阴影部分表示的角α位于一、三象限， 在第一象限，03πα≤≤；在第三象限，43ππα≤≤， ∴阴影部分表示的角的集合为（含边界）： {|223k k παπαπ≤≤+或()()21213k k ππαπ+≤≤++，}{|,}3k Z k k k Z παπαπ∈=≤≤+∈．故答案为{|,}3k k k Z παπαπ≤≤+∈．③终边相同的角例题1．（2022·北京师大附中高一期中）将x 轴正半轴绕原点逆时针旋转30，得到角α，则下列与α终边相同的角是（ ） A ．330︒ B ．330-︒C ．210︒D ．210-︒【答案】B 【详解】由题意得：{}30360,k k Z αα=︒+⋅︒∈，当1k =-时，330α=-︒，B 正确，其他选项经过验证均不正确. 故选：B例题2．（2017·天津市红桥区教师发展中心高一期末）在0~180范围内，与950-终边相同的角是______．【答案】130 【详解】与950-终边相同的角的集合为}{()950360Z k k αα=-+∈， 当3k =时，9503603130α=-+⨯=，所以在0~180范围内， 与950-终边相同的角是130.故答案为：130题型归类练1．（2022·辽宁·凌源市实验中学高一阶段练习）下列与角23π的终边一定相同的角是（ ） A ．53πB ．()43k k Z ππ-∈ C ．()223k k Z ππ+∈ D ．()()2213k k Z ππ++∈ 【答案】C 【详解】 对于选项C ：与角23π的终边相同的角为()223k k Z ππ+∈，C 满足. 对于选项B ：当()2k n n Z =∈时， ()442,33k n k Z n Z ππππ-=-∈∈成立； 当()21k n n Z =+∈时，()()44212,333k n n k Z n Z ππππππ-=+-=-∈∈不成立. 对于选项D ：()()2521233k k k Z ππππ++=+∈不成立. 故选: C2．（2022·上海市奉贤区奉城高级中学高一阶段练习）与1920°终边相同的角中，最小的正角是________ 【答案】120° 【详解】19205360120︒=⨯︒+︒,所以与1920°终边相同的角中，最小的正角为120°. 故答案为：120°.高频考点二：角度制与弧制度的相互转化例题1．（2022·河南南阳·高一期中）把π5化成角度制是（ ）A ．36°B ．30°C ．24°D ．12°【答案】A 【详解】由角度制与弧度制的互化知，π180=︒， 所以ππ180()3655π=⨯︒=︒， 故选：A例题2．（2022·陕西汉中·高一期中）如图，时钟显示的时刻为12：55，将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针所夹的锐角为（ ）A ．π3B ．23π72C ．11π36D ．3π10【答案】B 【详解】由图可知，该时刻的时针与分针所夹的锐角为2π112π23π12121272+⨯=． 故选：B.题型归类练1．（2022·安徽·砀山中学高一期中）将210°化成弧度为（ ） A ．5π6-B ．5π6C ．4π3D ．7π6【答案】D 【详解】 7210=210=1806ππ︒⨯， 故选：D.2．（2022·上海市七宝中学高一开学考试）经过50分钟，钟表的分针转过___________弧度的角. 【答案】5π3-【详解】根据题意，分针转过的弧度为5052603ππ-⨯=-. 故答案为：53π-.3．（2022·湖南·高一课时练习）将下表中的角度和弧度互化：180π=︒∴1180π︒=，1801π︒=故：高频考点三：弧长公式与扇形面积公式角度1：弧长的有关计算例题1．（2022·上海奉贤区致远高级中学高一期中）已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是（ ） A ．2 B ．sin 2 C ．2sin1D ．2sin1【答案】C 【详解】2弧度的圆心角所对的弦长为2，∴半径1sin1r =，∴所求弧长为22sin1r =. 故选：C.例题2．（2022·湖南·高一课时练习）已知相互咬合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮顺时针转动一周时，小轮转动的角是多少度？多少弧度？如果大轮的转速是150r/min ，小轮的半径为10cm ，那么小轮圆周上的点每秒转过的弧长是多少？ 【答案】小轮转动的角是864︒，245π弧度，小轮圆周上的点每秒转过的弧长为120π cm 【详解】由题意得，相互咬合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿， 所以当大轮旋转一周时，大轮转了48个齿，小轮转了20齿， 所以小轮转动了4812205=周，即123608645⨯︒=︒，1224255ππ⨯=，所以当大轮的转速为150r/min 时，小轮的转速为121503605⨯=r/min ， 所以小轮圆周上的点每秒转过的弧度数为 36026012ππ⨯÷=，因为小轮的半径为10cm ，所以小轮圆周上的点每秒转过的弧长 1210120ππ⨯= cm角度1题型归类练1．（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高一期末）已知扇形的圆心角为2rad 5，半径为10，则扇形的弧长为（ ）A ．12 B ．1 C ．2 D ．4【答案】D 【详解】解：因为扇形的圆心角为2rad 5，半径为10，所以由弧长公式得：扇形的弧长为21045l r α=⋅=⨯=故选：D2．（2022·北京·汇文中学高一期中）一圆锥的侧面展开图为一圆心角为23π的扇形，该圆锥母线长为6，则圆锥的底面半径为________． 【答案】2 【详解】因为圆锥的母线长为6，所以侧面展开图扇形的半径为6，设该圆锥的底面半径为r ， 所以有26223r r ππ⋅=⇒=， 故答案为：2.角度2：与扇形面积有关的计算例题1．（2022·河北·沧县中学高一阶段练习）已知扇形OAB 的圆心角为8rad ，其周长是，则该扇形的面积是___2cm ． 【答案】8 【详解】设扇形的半径为R ，弧长是88l R R =⨯=，则其扇形周长是82R R +=R =22188cm 2R ⨯⨯=． 故答案为：8例题2．（2022·重庆八中高一期末）如图所示，弧田是由圆弧AB 和其所对弦AB 围成的图形，若弧田的弧AB 长为3π，弧所在的圆的半径为4，则弧田的面积是___________.【答案】6π-【详解】解：根据题意，只需计算图中阴影部分的面积， 设AOB α∠=，因为弧田的弧AB 长为3π，弧所在的圆的半径为4， 所以34πα=，所以阴影部分的面积为113444sin 622παπ⨯⨯-⨯⨯⨯=-所以弧田的面积是6π-故答案为：6π-例题3．（2022·湖南·雅礼中学高一期中）中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图（2），在半圆O （半径为20cm ）中作出两个扇形OAB 和OCD ，用扇环形ABDC （图中阴影部分）制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC 的面积为1S ，扇形OAB 的面积为2S，当12S S =时，扇形的现状较为美观，则此时扇形OCD 的半径为__________cm【答案】1) 【详解】设,AOB θ∠=，半圆O 的半径为r ，扇形OCD 的半径为1r ，1252S S =，所以2212112212r r rθθθ-，即2212r r r -，所以2212r r===，所以1r r =20,r cm =，所以11)r cm=， 故答案为：1).角度2题型归类练1．（2022·上海市行知中学高二期中）已知圆锥的表面积为28π，其侧面展开扇形的圆心角大小为3π，则这个圆锥的底面半径为______. 【答案】2 【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ， 由题意，有228rl r πππ+=①， 由于侧面展开扇形的圆心角大小为3π， 所以23l r ππ=，即6l r =②，由①②得12l =，2r =， 即圆锥的底面半径为2， 故答案为：2.2．（2022·上海市七宝中学高一开学考试）已知扇形的圆心角为3π，弧长为45π，则扇形的面积为___________.【答案】2425π 【详解】依题意，扇形的半径412553lrππα===，所以扇形的面积1141224225525S lrππ==⨯⨯=，故答案为：2425π.3．（2022·上海·高三专题练习）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦´矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长等于9米的弧田.（1）计算弧田的实际面积；（2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数）【答案】(1)9π2m)；(2)少1.522m．试题解析：(1) 扇形半径，扇形面积等于弧田面积=（m2）（2）圆心到弦的距离等于，所以矢长为.按照上述弧田面积经验公式计算得（弦´矢+矢2）=.平方米按照弧田面积经验公式计算结果比实际少1.52平米.角度3：扇形中的最值问题例题1．（2022·吉林·长春十一高高一期末）已知扇形周长为40，当扇形的面积最大时，扇形的圆心角为（）A．32B．52C．3 D．2【答案】D 【详解】设扇形半径为r ,易得020r <<,则由已知该扇形弧长为402r -.记扇形面积为S ,则()()()22014022010024r r S r r r r +-=-=-≤=,当且仅当20r r =-，即10r =时取到最大值，此时记扇形的圆心角为θ，则40220210r r θ-=== 故选：D例题2．（2022·江西·奉新县第一中学高一阶段练习）如果一个扇形的周长为60cm ，那么当它的半径和圆心角分别为多少时，扇形的面积最大？【答案】当扇形的半径为15cm ，圆心角为2rad 时，扇形的面积最大 【详解】解：设该扇形的半径为cm r ，圆心角为θ，弧长为cm l ，面积为2cm S ， 则260l r +=，所以602l r =-，其中030r <<，所以，()()2211602301522522S lr r r r r r ==-=-+=--+，所以当15cm r =时，S 最大，最大值为2225cm ， 此时()602152rad 15l r θ-⨯===. 例题3．（2022·广西梧州·高一期中）已知扇形的周长为30． (1)若该扇形的半径为10，求该扇形的圆心角α，弧长l 及面积S ; (2)求该扇形面积S 的最大值及此时扇形的半径 . 【答案】(1)1α=，10l =，50S =； (2)2254，152. (1)由题知扇形的半径10r =，扇形的周长为30， ∴22030l r l +=+=， ∴10l =，10110lr α，1110105022S lr ==⨯⨯=.(2)设扇形的圆心角α，弧长l ，半径为r ，则230l r +=， ∴302l r =-，∴()()21522530112222154S lr r r r r r r -+⎛⎫--=⎪=⎭≤⎝== 当且仅当15r r -=，即152r =取等号， 所以该扇形面积S 的最大值为2254，此时扇形的半径为152.1．（2022·浙江·高三专题练习）某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的）.已知10OA =，()010OB x x =<<，线段BA ，CD 与BC ，AD 的长度之和为30，圆心角为θ弧度.(1)求θ关于x 的函数表达式；(2)记铭牌的截面面积为y ，试问x 取何值时，y 的值最大？并求出最大值. 【答案】(1)210(010)10x x x θ+=<<+； (2)52x =，2254. (1)解：根据题意，可算得()m BC x θ=，()10m AD θ=． 因为30AB CD BC AD +++=，所以()2101030x x θθ-++=， 所以，()21001010x x x θ+=<<+. (2)解：根据题意，可知()()()2222251011102210AOD BOCx x y S S x x θ+-=-=-=⨯+扇形扇形 ()()22522551055024x x x x x ⎛⎫=+-=-++=--+⎪⎝⎭， 当()5m 2x =时，()2max 225m 4=y .综上所述，当5m 2x =时铭牌的面积最大，且最大面积为2225m 4. 2．（2022·全国·高一阶段练习）已知一扇形的圆心角为()0αα>，周长为C ，面积为S ，所在圆的半径为r ． (1)若35α=︒，8r =cm ，求扇形的弧长；(2)若16C =cm ，求S 的最大值及此时扇形的半径和圆心角． 【答案】(1)149πcm ； (2)S 的最大值是216cm ，此时扇形的半径是4 cm ，圆心角为2． 【解析】35α=︒＝735rad rad 18036ππ⨯=， 扇形的弧长7148369l r αππ==⨯=cm ； (2)设扇形的弧长为l ，半径为r ，则216r l +=，∴162l r =-()08r <<，则()()2211162841622S lr r r r r r ==-=-+=--+，当4r =时，2max 16cm S =，16248l =-⨯=cm ，2l rα，∴S 的最大值是216cm ，此时扇形的半径是4 cm ，圆心角2α=．3．（2022·河北张家口·高一期末）已知扇形的圆心角是α，半径为r ，弧长为l . (1)若135α=，10r =，求扇形的弧长l ；(2)若扇形AOB 的周长为22，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求出此时扇形面积的最大值. 【答案】(1)152π； (2)当2α=时，扇形面积最大值max 1214S =. (1)31354πα==，∴扇形的弧长3151042l r ππα==⨯=；(2)扇形AOB 的周长()22222L r l r r r αα=+=+=+=，222rα∴=-， ∴扇形AOB 面积2221111112S r r r r r α⎛⎫==-=-+ ⎪⎝⎭，则当112r =，max 1214S =， 即当2α=时，扇形面积最大值max 1214S =. 角度4：扇形弧长公式与面积公式的应用例题1．（2022·陕西·西安中学高一期中）中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴.《乐府诗集》中《夏歌二十首》的第五首曰：“叠扇放床上，企想远风来轻袖佛华妆，窈窕登高台.”如图所示，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成若一把折扇完全打开时圆心角为67π，扇面所在大圆的半径为20cm ，所在小圆的半径为8cm ，那么这把折扇的扇面面积为（ ）A ．288πB ．144πC ．487π D ．以上都不对【答案】B 【详解】 由题意得，大扇形的面积为11612002020277S ππ=⨯⨯⨯=， 小扇形的面积为21619288277S ππ=⨯⨯⨯=， 所以扇面的面积为12120019214477S S πππ-=-=. 故选：B6．（2022·全国·高一课时练习）已知扇形面积为225cm ，当扇形的圆心角为多大时，扇形的周长取得最小值？ 【答案】当扇形的圆心角为2时，扇形的周长取得最小值． 【详解】解：设扇形的半径为R ，弧长为l ，扇形的周长为y ，则2y l R =+． 由题意，得1252lR =，则50l R =，故502522(0)y R R R R R ⎛⎫=+=+> ⎪⎝⎭． 利用函数单调性的定义，可得当05R <时，函数502y R R=+是减函数； 当5R >时，函数502y R R=+是增函数． 所以当5R =时，y 取得最小值20，此时10l =，2lRα==， 即当扇形的圆心角为2时，扇形的周长取得最小值． 【点睛】要求周长的最小值，可考虑将周长写成某个变量的函数式，利用函数的单调性求最值.函数()()0,0kf x x x k x=+≠>在(x ∈-∞上单调递减，在)x ∈+∞上单调递增.角度4题型归类练1．（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）已知扇形所在圆的半径为2，圆心角的弧度数是2，则该扇形的弧长为（ ） A ．1 B ．4C ．6D ．8【答案】B因为扇形所在圆的半径2r =，圆心角的弧度数α=2， 所以该扇形的弧长224l r α==⨯=. 故选：B2．（2022·北京·高一期中）已知某扇形的圆心角为6π，弧长为23π，则该扇形的半径为___________；面积为___________. 【答案】 4 43π##43π 【详解】由题设，该扇形的半径2436r ππ=÷=，面积为1244233S ππ=⨯⨯=. 故答案为：4，43π3．（2022·江苏省木渎高级中学高一期末）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画.如图，是书画家唐寅（1470—1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面所在扇形的圆心角为____rad ，此时扇面．．面积为____cm 2．【答案】 52704 【详解】解：如图，设AOB θ∠=，OA OB r ==，由题意可得：2464(16)r r θθ=⎧⎨=+⎩，解得：485r =，52θ=. 所以，21481486416247042525OCD OAB S S S cm ⎛⎫=-=⨯⨯+-⨯⨯=⎪⎝⎭．故答案为：5;7042．高频考点四：任意角的三角函数角度1：单位圆法与三角函数例题1．（2022·全国·高三专题练习）设0a <，角α的终边与圆221x y +=的交点为(34)P a a -，，那么sin 2cos αα+=（ ） A ．25-B ．15-C ．15D ．25【答案】D 【详解】画图，角α的终边与圆221x y +=的交点为(34)P a a -，，设()P x y ，，则3x a =-，4y a =，代入得22(3)(4)1a a -+=，解得2125a =， ∵0a <， ∴15a =-，∴34()55P -，， 又∵在单位圆中，cos x α=，sin y α=， ∴3cos 5α=，4sin 5α=-， ∴2sin 2cos 5αα+=， 故选：D例题2．（2022·北京师大附中高三期中）已知正角α的终边经过点1(2P -，则角α的值可以是_______（写出一个就可以）．【详解】因为1(2P -，所以2tan 12α==-所以角α的值可以是23π.故答案为：23π（答案不唯一）角度1题型归类练1．（2022·全国·高三专题练习）点P 为圆221x y +=与x 轴正半轴的交点，将点P 沿圆周逆时针旋转至点P '，当转过的弧长为2π3时，点P '的坐标为（ ）A．1,2⎛ ⎝⎭ B．12⎛- ⎝⎭C．21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ D．12⎫-⎪⎪⎝⎭【答案】B 【详解】设旋转角为θ，则22123θπππ⨯⨯=，得23πθ=，从而可得1(2P '-. 故选：B.2．（2022·四川凉山·高一期末）已知角α的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与以原点为圆心，半径为1的圆相交于点则34,55A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则 tan α=（ ）A ．34B ．43C ．34-D ．43-【答案】B 【详解】由题意可得：角α的终边与单位圆的交点为34,55A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以35x =-，45y =-，所以445tan 335y x α-===-，故选：B.角度2：终边上任意点法与三角函数例题1．（2022·北京师大附中高一期中）若角α的终边经过点(2,4)P -，则tan α=（ ） A ．12-B ．12C ．2D ．2-由题设，4tan 22α==--. 故选：D例题2．（2022·北京·人大附中高一期中）已知角α的终边过点()4,3(0)P a a a ->，则cos α的值是（ ） A ．35 B ．35C ．45D ．45-【答案】C 【详解】 由题意知：44cos 55a a α===.故选：C.角度2题型归类练1．（2022·山东山东·高一期中）已知点(1)P -是角α终边上一点，则cos α=（） A ． B ．12-C D ．12【答案】A 【详解】因为点(1)P -是角α终边上一点，所以cos α==故选：A.2．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学三模（理））已知角θ的终边上有一点(4,3)(0)a a a P ->，则2sin cos θθ+的值是（ ） A ．25-B ．25C ．25或25-D ．不确定【答案】B 【详解】角θ的终边上点(4,3)(0)aa a P ->，则||5r OP a ==， 于是得3344sin ,cos 5555a a a a θθ-====-， 所以3422sin cos 2()555θθ+=⨯+-=.故选：B3．（2022·河南焦作·高一期中）若角θ的终边经过点(),3P x -，且3sin 5θ=-，则tan θ=（ ）A ．43-B ．43±C ．34-D ．34±由三角函数的定义可得3sin 5θ==-，解得4x =±，因此3tan 4θ=±．故选：D.4．（2022·四川自贡·高一期末）角α的终边过点()12,5P ，则cos α=（ ） A ．513B ．1213C ．125D ．512【答案】B 【详解】由题意P 到原点的距离为13r OP ==， 所以12cos 13α=． 故选：B ．角度3：三角函数值符号的判定例题1．（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）若3α=，则（ ） A ．sin 0,cos 0αα>> B ．sin 0,cos 0αα>< C ．sin 0,cos 0αα<> D ．sin 0,cos 0αα<<【答案】B 【详解】 因32παπ<=<，则α是第二象限象限角， 所以sin 0,cos 0αα>< . 故选：B例题2．（2022·北京房山·高一期中）若sin 0θ<且tan 0θ<，则角θ所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D 【详解】sin 0θ<，则角θ在第三，四象限，tan 0θ<，则角θ在第二，四象限，所以满足sin 0θ<且tan 0θ<，角θ在第四象限. 故选：D3．（2022·全国·高三专题练习（理））若tan 0α<，则下列结论一定正确是（ ） A ．sin 0α< B ．sin 20α<C ．cos 0α<D ．cos20α<【答案】B 【详解】。

第1讲任意角和弧度制、三角函数的概念1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.1.任意角(1)任意角包括正角、负角和零角.(2)象限角：在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在□1第几象限，就说这个角是第几□2象限角；如果角的终边在□3坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝□4{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于□5半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是一个□6正数，负角的弧度数是一个□7负数，零角的弧度数是□80.(2)公式角α的弧度数公式|α|＝lr(弧长用l表示)角度与弧度的换算1°＝π180rad；1rad＝□9(180π)°弧长公式弧长l＝□10|α|r扇形面积公式S＝□1112lr＝□1212|α|r2扇形的弧长公式、面积公式中角的单位要用弧度，在同一式子中，采用的度量制必须一致.3.任意角的三角函数(1)概念：任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sinα＝□13y，cosα＝□14x，tan α＝□15y x(x ≠0).(2)概念推广：三角函数坐标法定义中，若取点P (x ，y )是角α终边上异于顶点的任一点，设点P 到原点O 的距离为r ，则sin α＝□16y r ，cos α＝□17x r ，tan α＝□18y x(x ≠0).常用结论1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2.象限角与不属于任何象限的角(1)(2)(3)3.重要不等关系：若α∈(0，π2)，则sin α<α<tan α.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)小于90°的角是锐角.()(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.()(3)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关.()(4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2.回源教材(1)67°30′化为弧度是()A.3π8B.38C.673π1800D.6731800解析：A 67°30′＝67.5×π180＝38π.(2)已知α是第一象限角，那么α2是()A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第二象限角D.第一或第三象限角解析：D 易知2k π＜α＜π2＋2k π，k ∈Z ，故k π＜α2＜π4＋k π，所以α2是第一或第三象限角.(3)已知角θ的终边经过点P (－12，5)，则sin θ＋cos θ＝.解析：由三角函数的定义可得sin θ＋cos θ＝5（－12）2＋52＋－12（－12）2＋52＝513－1213＝－713.答案：－713任意角及其表示例1(1)(多选)若α是第二象限角，则()A.－α是第一象限角B.α2是第一或第三象限角C.3π2＋α是第二象限角D.2α是第三或第四象限角或终边在y 轴负半轴上解析：BD因为α是第二象限角，所以可得π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z .对于A ，－π－2k π<－α<－π2－2k π，k ∈Z ，则－α是第三象限角，所以A 错误.对于B ，可得π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z ，当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角，所以B 正确.对于C ，2π＋2k π<3π2＋α<5π2＋2k π，k ∈Z ，即2(k ＋1)π<3π2＋α<π2＋2(k ＋1)π，k ∈Z ，所以3π2＋α是第一象限角，所以C 错误.对于D ，π＋4k π<2α<2π＋4k π，k ∈Z ，所以2α的终边位于第三象限或第四象限或y 轴负半轴上，所以D 正确.故选BD.(2)集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z }中的角所表示的范围(阴影部分)是()解析：C当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样.故选C.反思感悟1.表示区间角的三个步骤(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.(2)再按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x |α＜x ＜β}，其中β－α＜360°.(3)最后令起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角的集合.2.象限角的两种判断方法(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角.(2)转化法：先将已知角化为k ·360°＋α(0°≤α＜360°，k ∈Z )的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α的终边所在的象限判断已知角是第几象限角.训练1(1)把－380°表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，则θ的值可以是()A.π9B.－π9C.8π9D.－8π9解析：B∵－380°＝－20°－360°，∴－380°＝(－π9－2π)rad ，故选B.(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为.解析：如图，在平面直角坐标系中画出直线y＝3x，可以发现它与x轴的夹角是π3，在[0，2π)内，终边在直线y＝3x上的角有两个，即π3，4π3；在[－2π，0)内满足条件的角有两个，即－2π3，－5π3，故满足条件的角α构成的集合为{－5π3，－2π3，π3，4π3}.答案：{－5π3，－2π3，π3，4π3}弧度制及其应用例2已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝π3，R＝10cm，求扇形的弧长l；(2)若扇形的周长是20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若α＝π3，R＝2cm，求扇形的弧所在的弓形的面积.解：(1)因为α＝π3，R＝10cm，所以l＝|α|R＝π3×10＝10π3(cm).(2)由已知，得l＋2R＝20，所以S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25.所以当R＝5cm时，S取得最大值，此时l＝10cm，α＝2.(3)设弓形面积为S弓形，由题意知l＝2π3cm，所以S弓形＝12×2π3×2－12×22×sinπ3＝(2π3－3)(cm2).反思感悟应用弧度制解决问题时的注意点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，或用基本不等式解决.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.训练2如图，图1是杭州2022年第19届亚运会的会徽，名为“潮涌”，整个会徽象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.图2是会徽的几何图形，设弧AD 的长度是l 1，弧BC 的长度是l 2，几何图形ABCD 的面积为S 1，扇形BOC 的面积为S 2，若l 1l 2＝2，则S1S 2＝()图1图2A.1B.2C.3D.4解析：C 设∠BOC ＝α，由l 1l 2＝2，得OA ·αOB ·α＝OA OB ＝2，即OA ＝2OB ，∴S1S 2＝12α·OA 2－12α·OB 212α·OB 2＝OA 2－OB 2OB 2＝4OB 2－OB 2OB 2＝3.故选C.三角函数的定义及其应用三角函数的定义例3(1)(2024·哈尔滨期中)已知角α的终边经过点P (－3，4)，则sin α－cos α－11＋tan α的值为()A.－65 B.1C.2D.3解析：A由（－3）2＋42＝5，得sin α＝45，cos α＝－35，tan α＝－43，代入原式得45－（－35）－11＋（－43）＝－65.(2)如果点P 在角23π的终边上，且|OP |＝2，则点P 的坐标是()A.(1，3)B.(－1，3)C.(－3，1)D.(－3，－1)解析：B由三角函数定义知，cos 23π＝x P |OP |＝－12，sin 23π＝y P |OP |＝32，所以x P ＝－1，y P ＝3，即P 的坐标是(－1，3).三角函数值的符号例4(1)点P (sin 100°，cos 100°)落在()A.第一象限内B.第二象限内C.第三象限内D.第四象限内解析：D因为sin 100°＝sin(90°＋10°)＝cos 10°＞0，cos 100°＝cos(90°＋10°)＝－sin 10°＜0，所以点P (sin 100°，cos 100°)落在第四象限内.(2)已知sin θ＜0，tan θ＜0，则角θ的终边位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：D 由sin θ＜0，tan θ＜0，根据三角函数的符号与角的象限间的关系，可得角θ的终边位于第四象限.反思感悟1.三角函数定义的应用(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.训练3(1)(多选)已知角α的终边与单位圆交于点P (35，m5)，则sin α的值可能是()A.45B.35C.－45 D.－35解析：AC由题意可得sin α＝m 5（35）2＋（m 5）2＝m 32＋m 2＝m5，解得m ＝±4.当m ＝4时，sin α＝45；当m ＝－4时，sin α＝－45.故A ，C 正确，B ，D 错误.(2)(多选)已知角θ的终边经过点(－2，－3)，且θ与α的终边关于x 轴对称，则()A.sin θ＝－217B.α为钝角C.cos α＝－277D.点(tan θ，tan α)在第四象限解析：ACD因为角θ的终边经过点(－2，－3)，所以sin θ＝－37＝－217，故A 正确.因为θ与α的终边关于x 轴对称，所以α的终边经过点(－2，3)，则α为第二象限角，不一定为钝角，且cos α＝－27＝－277，故B 错误，C 正确.因为tanθ＝32>0，tan α＝－32<0，所以点(tan θ，tan α)在第四象限，D 正确.故选ACD.限时规范训练(二十四)A级基础落实练1.与－2023°终边相同的最小正角是()A.137°B.133°C.57°D.43°解析：A因为－2023°＝－360°×6＋137°，所以与－2023°终边相同的最小正角是137°.2.下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是()A.2kπ＋45°(k∈Z)B.k·360°＋9π4(k∈Z)C.k·360°－315°(k∈Z)D.kπ＋5π4(k∈Z)解析：C对于A，B，2kπ＋45°(k∈Z)，k·360°＋9π4(k∈Z)中角度和弧度混用，不正确；对于C，因为9π4＝2π＋π4与－315°是终边相同的角，故与角9π4的终边相同的角可表示为k·360°－315°(k∈Z)，C正确；对于D，kπ＋5π4(k∈Z)，不妨取k＝0，则表示的角5π4与9π4终边不相同，D错误.3.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(－1，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－31010，则y＝()A.3B.－3C.1D.－1解析：B因为sinθ＝－31010＜0，A(－1，y)是角θ终边上一点，所以y＜0，由三角函数的定义，得yy2＋1＝－31010，解得y＝－3(正值舍去).4.(2024·鹰潭期中)点A(sin1240°，cos1240°)在直角坐标平面上位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：D1240°＝3×360°＋160°，160°是第二象限角，所以sin1240°＞0，cos1240°＜0，P点在第四象限.5.(2023·河东一模)在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为()A.4B.22C.2D.1解析：C设扇形的半径为R(R＞0)，圆心角为α，则12αR2＝4，所以α＝8R2，则扇形的周长为2R＋αR＝2R＋8R≥22R·8R＝8，当且仅当2R＝8 R，即R＝2时，取等号，此时α＝2，所以周长最小时半径的值为2.6.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角一定是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cosθ＜0，则θ是第二或第三象限的角.其中正确命题的序号是()A.②④⑤B.③⑤C.③D.①③⑤解析：C①由于120°是第二象限角，390°是第一象限角，故第二象限角大于第一象限角不正确，即①不正确；②直角不属于任何一个象限，故三角形的内角是第一象限角或第二象限角错误，即②不正确；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关，即③正确；④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同或终边关于y轴对称，即④不正确；⑤若cosθ＜0，则θ是第二象限角或第三象限角或θ的终边落在x轴的负半轴上，即⑤不正确.其中正确命题的序号是③，故选C.7.(多选)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边上有一点P(1，2sinα)，且|α|＜π2，则角α的可能取值为()A.－π3B.0C.π6D.π3解析：ABD因为角α的终边上有一点P(1，2sinα)，所以tanα＝2sinα，所以sinαcosα＝2sinα，①若α＝0，则sinαcosα＝2sinα成立；②若α≠0，则cosα＝12，因为|α|＜π2，所以α＝π3或α＝－π3.8.已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－45，则m的值为.解析：因为r＝64m2＋9，所以cosα＝－8m64m2＋9＝－45，所以4m264m2＋9＝125，因为m＞0，解得m＝12.答案：1 29.α为第二象限角，且|cosα2|＝－cosα2，则α2在象限.解析：∵α为第二象限角，∴α2为第一或第三象限角，又|cos α2|＝－cos α2，∴cos α2＜0，∴α2在第三象限.答案：第三10.若角α的终边与函数5x ＋12y ＝0(x ＜0)的图象重合，则2cos α＋sin α＝.解析：∵角α的终边与函数5x ＋12y ＝0(x ＜0)的图象重合，∴α为第二象限角，且tan α＝－512，即sin α＝－512cos α.∴sin 2α＋cos 2α＝(－512cos α)2＋cos 2α＝1，解得cos α＝－1213.∴sin α＝－512cos α＝－512×(－1213)＝513.∴2cos α＋sin α＝2×(－1213)＋513＝－1913.答案：－191311.用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内(含边界)的角θ的集合是.解析：由题图，终边OB 对应角为2k π－π6且k ∈Z ，终边OA 对应角为2k π＋3π4且k ∈Z ，所以阴影部分角θ的集合是[2k π－π6，2k π＋3π4]，k ∈Z .答案：[2k π－π6，2k π＋3π4]，k ∈Z12.已知扇形的圆心角为23π，扇形的面积为3π，则该扇形的周长为.解析：设扇形的半径为R，利用扇形面积计算公式S＝12×23πR2＝3π，可得R＝3，所以该扇形的弧长为l＝23π×3＝2π，所以周长为l＋2R＝6＋2π.答案：6＋2πB级能力提升练13.(多选)在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边经过点P(－1，m)(m＞0)，则下列各式的值一定为负的是()A.sinα＋cosαB.sinα－cosαC.sinαcosαD.sinαtanα解析：CD因为角α终边经过点P(－1，m)(m＞0)，所以α在第二象限，所以sinα＞0，cosα＜0，tanα＜0，如果α＝23π，所以sinα＋cosα＝32－12＞0，所以选项A不满足题意；sinα－cosα＞0；sinαcosα＜0；sinαtanα＜0，故CD正确.14.(2023·长治模拟)水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强相互作用力(SIM)材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴.如图所示，水滴是由线段AB，AC和圆的优弧BC围成，其中AB，AC恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为1，点A到圆弧所在圆的圆心的距离为2，则该封闭图形的面积为()A.3＋2π3 B.23＋2π3C.23＋π3D.3＋π3解析：A 如图，设圆弧所在圆的圆心为O ，连接OA ，OB ，OC ，依题意得OB ⊥AB ，OC ⊥AC ，且OB ＝OC ＝1，OA ＝2，则AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝π3，所以∠BOC ＝2π3，所以该封闭图形的面积为2×12×3×1＋12×(2π－2π3)×12＝3＋2π3.15.(2024·牡丹江模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (35，45)，将线段OA绕原点顺时针旋转π3得到线段OB ，则点B 的横坐标为.解析：易知A (35，45)在单位圆上，记终边在射线OA 上的角为α，如图所示，根据三角函数定义可知，cos α＝35，sin α＝45；OA 绕原点顺时针旋转π3得到线段OB ，则终边在射线OB 上的角为α－π3，所以点B 的横坐标为cos(α－π3)＝cos αcos π3＋sin αsin π3＝3＋4310.答案：3＋431016.若点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0，2π)内α的取值范围是.解析：由题意可得α－cos α＞0，α＞0，∈[0，2π），α＞0，∈[0，2π），可得α∈(0，π2)或α∈(π，3π2)，当α∈(0，π2)，即α为第一象限角，则sin α＞0，cos α＞0，∵sin α－cos α＞0，则tan α＞1，∴α∈(π4，π2)；当α∈(π，3π2)，即α为第三象限角，则sin α＜0，cos α＜0，∵sin α－cos α＞0，则0＜tan α＜1，∴α∈(π，5π4)；综上所述，α∈(π4，π2∪(π，5π4).答案：(π4，π2)∪(π，5π4)。