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双迷宫型通道Helmholtz周期结构的低频带隙机理及隔声特性韩东海;张广军;赵静波;胡培洲;姚宏;刘红【期刊名称】《人工晶体学报》【年(卷),期】2022(51)7【摘要】为了解决飞机舱室中的低频噪声问题,本文设计了一种双迷宫型通道的Helmholtz周期结构。
迷宫型开口通道的设计能够大大增加Helmholtz腔开口通道的长度,有效降低低频带隙下限,双通道的设计能够增加声子晶体局域共振的区域,可以增加低频带隙数目。
本文采用有限元法(FEM)得到了该结构在0~500 Hz频率范围内的能带结构及隔声特性,经过深入研究发现,该Helmholtz周期结构在0~500 Hz范围内存在多个低频带隙,且在低频范围内表现出较好的隔声特性。
为了揭示其带隙产生机理,本文通过声-电类比方法建立了该结构的等效电路模型,并通过有限元法和等效电路模型,对低频带隙影响因素进行了详细分析。
结果表明,增加开口通道的长度能够降低带隙起始频率,较小的晶格常数有利于拓宽带隙宽度。
本文的研究进一步探索了声子晶体结构设计对带隙的影响,为解决飞机舱室的低频降噪问题提供了新方法。
【总页数】8页(P1212-1219)【作者】韩东海;张广军;赵静波;胡培洲;姚宏;刘红【作者单位】空军工程大学基础部;空军工程大学航空工程学院【正文语种】中文【中图分类】TB53;TH113.1【相关文献】1.单面柱声子晶体板低频带隙特性与机理分析2.双开口Helmholtz局域共振周期结构低频带隙特性研究3.结构参数对薄膜型隔声超材料带隙移位特性的影响4.嵌套型C型管声子晶体低频带隙特性研究5.新型Helmholtz型声子晶体的低频带隙及隔声特性因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
第52卷第8期2023年8月人㊀工㊀晶㊀体㊀学㊀报JOURNAL OF SYNTHETIC CRYSTALS Vol.52㊀No.8August,2023一种新型二维声子晶体的低频带隙特性及其形成机理胡培洲,赵静波,刘㊀红,张晓生,韩东海,姚㊀宏,张广军(空军工程大学基础部,西安㊀710051)摘要:本文设计了一种新型的二维声子晶体结构,采用有限元法和等效模型法进行了深入研究,发现该结构具有良好的低频吸声性能㊂通过理论推导和仿真计算发现,在21mm 的晶格常数条件下,该结构在0~800Hz 具有完整的四条带隙㊂第一带隙下限低至40.28Hz,且具有约为93Hz 的带宽,计算其传声损失后,发现其在低频域内具有良好的隔声效果,最大隔声量可达87.31dB㊂对该结构的多个振动模态分析,建立相应的等效模型,并基于等效模型探究了不同因素对带隙频段造成的影响,总结出该新型二维声子晶体的一般性规律㊂研究结果表明,增大散射体密度和减小基体密度可以增加带宽,增大填充率和对散射体适当进行开孔处理可以改善带隙特性㊂该研究对于解决低频噪声控制问题具有一定参考意义和工程应用价值㊂关键词:声子晶体;局域共振;带隙机理;低频降噪;隔声;散射体中图分类号:TB53;TH113.1㊀㊀文献标志码:A ㊀㊀文章编号:1000-985X (2023)08-1432-09Low-Frequency Band Gap of Novel Two-Dimensional Phonon Crystal and Its Formation MechanismHU Peizhou ,ZHAO Jingbo ,LIU Hong ,ZHANG Xiaosheng ,HAN Donghai ,YAO Hong ,ZHANG Guangjun (Fundamentals Department,Air Force Engineering University,Xi an 710051,China)Abstract :A new two-dimensional phonon crystal structure was designed and studied deeply by finite element method and equivalent model method.It is found that the structure has good low-frequency sound absorption performance.Through theoretical derivation and simulation calculation,it is found that the structure has a complete four band gap within 0~800Hz under the condition of lattice constant of 21mm.The lower limit of the first band gap is as low as 40.28Hz,and the bandwidth is approximately 93Hz.Sound transmission loss calculation shows that the structure has a good acoustic insulation effect in the low frequency domain,and the maximum sound insulation amount can reach 87.31dB.After analyzing the multiple vibration modes of the structure,the corresponding equivalent model is established,and the influence of different factors on the band gap is explored based on the equivalent model.The general regularities of the new two-dimensional phonon crystal are summarized.The results show that increasing the scatterer density and reducing the matrix density can increase the bandwidth,and increasing the filling rate and properly opening the scatterer can improve the band gap characteristics.The research may provide some ideas for solving low-frequency noise control problems in engineering application.Key words :phonon crystal;local resonance;band gap mechanism;low frequency noise reduction;acoustic insulation;scatterer㊀㊀㊀收稿日期:2023-02-13㊀㊀基金项目:国家自然科学基金(11504429);国家科技重大专项(J2019-IV-0014-0082)㊀㊀作者简介:胡培洲(2000 ),男,湖北省人,硕士研究生㊂E-mail:hu496804307@㊀㊀通信作者:赵静波,博士,副教授㊂E-mail:chjzjb@ 0㊀引㊀㊀言随着我国城镇化的快速发展,噪声污染所带来的危害在人们的日常生活中日渐突出,严重的噪声污染不仅会影响人们的工作效率和生活质量,还会在生理上和精神上对人体健康造成极大危害[1-2]㊂因此,良好的㊀第8期胡培洲等:一种新型二维声子晶体的低频带隙特性及其形成机理1433㊀吸隔声材料或结构越来越受到人们的重视,而传统的吸隔声材料虽然能在高频域发挥十分理想的作用,但低频域的作用效果一般[3],且受限于质量作用定律,通常需要很大的厚度才能在低频段发挥有效作用[4]㊂因此,随着现代社会对吸隔声材料的要求越来越高,寻求一种轻质高效的声学材料也越来越必要㊂而近年来被国内外学者大量研究的声子晶体有望达到现代社会的要求,如薄膜型声子晶体[5-6]㊁Helmholtz 型声子晶体[7-8]和组合式声子晶体[9-10]等㊂声子晶体是一种具有周期性结构的人工复合材料,它由阻抗失配较大的材料和周期性单元共同构成[11]㊂人们发现当弹性波在具有周期性的弹性复合介质中传播时,会产生类似于光子带隙的弹性波带隙,从而提出了声子晶体的概念㊂声子晶体主要有两种机制,一种是Bragg 散射机制,另一种则是局域共振机制㊂Bragg 散射机制的声子晶体中,其入射弹性波的波长与结构的特征长度相近时才会起作用,因此Bragg 型声子晶体的结构参数都较大㊂2000年刘正猷等[12]首次提出了局域共振型声子晶体,其低频特性吸引了很多学者进行分析和研究[13-17],局域共振型声子晶体的带隙是由每个共振单元的共振特性决定的,通过波与单元结构的共振来抑制波的传播,进而实现 小尺寸控制大波长 ㊂基于局域共振机理,康太凤[18]等设计了一种空心铅柱体声子晶体板,并对其低频带隙特性进行研究,在中低频范围内得到了多条带隙,并具有较大的带宽㊂Xiao 等[19]设计了一种 双悬臂梁式 的结构,并对其展开深入研究,发现其设计样件的局域共振频率为465~860Hz㊂吴键等[20]在Xiao 的研究基础上进行了拓展,提出了一种含多种 双悬臂梁式 结构的声子晶体,并对其带隙特性及低频减振特性进行了研究,得到了多条低频带隙㊂Zhu 等[21]提出了一种二维可调谐声子晶体板,不仅研究了其带隙特性,还对其在预拉伸应变下的带隙可调性进行了探讨,该声子晶体相比传统声子晶体具有更低更宽的带隙㊂为了满足轻质低频的声学性能要求,本文提出了一种新型声子晶体结构单元,通过使用有限元法计算其带隙和隔声量,得到了一条频率范围为40.28~133.65Hz 的完全带隙,并且在低频范围内具有良好的隔声效果㊂根据第一带隙上㊁下限处的振动模态进行分析并建立等效模型,验证了等效模型的合理性㊂并基于此共振机理,通过调节单元结构的各类参数探究了影响带隙范围的因素,并进一步说明了等效模型的合理性,从而为设计局域共振型声子晶体提供了新的思路㊂1㊀结构设计及带隙特性1.1㊀结构设计图1即为本文所设计的声子晶体结构,其中图1(a)为声子晶体单胞结构的横截面,该声子晶体单胞结构是由金属芯体㊁橡胶和环氧树脂基体组成,其中,方框基体的外框边长为a ,框厚度为d ,橡胶的半径为r ,正方形金属芯体边长为l ,单胞高度为h ,其余部分为空气,图1(b)为该声子晶体的周期排列结构㊂基于经典的基体-包覆层-散射体声子晶体模型,本文设计了一种新型二维声子晶体结构,在结构上采取圆形橡胶柱设计,可利用其剪切模量来计算橡胶等效刚度,能够使其等效刚度更小,有利于在同等质量的圆形橡胶下获得更低的带隙下限㊂这种设计的优点主要有:在结构上比较简单,容易实现;单胞质量比较小,但低频带隙宽度较大,使得该型声子晶体具有良好的性能,满足轻质低频的要求㊂图1㊀单胞结构和周期排列结构示意图Fig.1㊀Schematic diagram of monocellular structure and periodic arrangement structure1434㊀研究论文人工晶体学报㊀㊀㊀㊀㊀㊀第52卷1.2㊀带隙特性及隔声性能本工作使用Comsol Multiphysics 仿真软件,基于固体力学模块,对该型声子晶体进行仿真实验,计算了该声子晶体的带隙结构和传声损失㊂在实验过程时,本文设置了如下参数:环氧树脂基体的外框边长为21mm,环氧树脂基体的壁厚为0.5mm,橡胶的半径为2.5mm,金属芯体边长为10mm,单胞厚度为5mm㊂对于弹性波的带隙计算,目前主要的方法有时域有限差分法㊁集中质量法㊁平面波展开法㊁有限元法等㊂其中有限元法适用范围广,收敛性强,故本文采用有限元法来进行计算㊂根据Bloch 定理,共振型声子晶体的带隙图2㊀不可约Brillion 区Fig.2㊀Irreducible Brillion region 特性可通过研究单个共振单元在周期性边界条件下的本征场得到㊂能带结构表示的是声波在无限大结构内传播时频率与波矢的关系,本文在利用Comsol Multiphysics 仿真软件计算该声子晶体的带隙时,对其中一个单胞的上下和左右两对边界采用Floquet 边界,其表达式为p (r +a )=p (r )e i k a (1)式中:r 为位置矢量,a 为声子晶体的晶格常数,k 为波矢㊂由于该结构是正方形晶格,具有对称性,可在计算时仅沿不可约Brillion 区路径Μ-Γ-Χ-Μ进行扫描,其对应的不可约Brillion 区如图2所示㊂其次,在传声损失计算过程中,按照如图3所示的结构,设置7个单胞进行轴向串联,并在周期结构中编号1和4的部分设置完美匹配层来吸收声波,保证计算的正确性,在编号2的部分设置背景压力场,基于Bloch 理论,为模拟无限周期边界,在结构上㊁下两边界设置成对的Bloch-Floquet 边界㊂设置过程中,本文采用Comsol 提供的常规网格划分,并在背景压力场中设置入射波声压为1Pa,入射波频率设置为20~800Hz,其中,以1Hz 为步长进行有限元法计算,利用传声损失的计算公式来计算0~800Hz 的传声损失,计算公式为TL =10lg I i I t (2)式中:TL 代表传声损失,I i 代表声子晶体左侧入射声强,I t 代表透射过声子晶体的声强㊂图3㊀隔声量计算示意图Fig.3㊀Schematic diagram of the calculation of the amount of soundinsulation 图4㊀能带结构和传声损失曲线图Fig.4㊀Graph of band structure and transmission loss 根据仿真实验所得结果,绘制得到如图4所示能带结构图和传声损失曲线㊂其中,图4(a)代表的是该声子晶体单胞在0~800Hz 的能带结构图,该结构在0~800Hz 内有40.28~133.65㊁316.33~324.47㊁㊀第8期胡培洲等:一种新型二维声子晶体的低频带隙特性及其形成机理1435㊀356.18~404.10和482.45~519.37Hz 共计4条完全带隙(由于316.33~324.47Hz 的带宽较小,故未在图中画出)㊂通过对比图4(b)所示的传声损失曲线可知,该结构的隔声峰所对应频率与能带结构带隙下限对应频率刚好一致,说明了带隙计算的正确性㊂同样,由传声损失曲线可知,在第一带隙下限40Hz 左右处,隔声峰超过85dB,在300~500Hz 存在3个隔声峰且均超过70dB,该曲线图表明该结构在小尺寸㊁轻质量的条件下,具有良好的低频隔声性能㊂2㊀带隙机理分析及等效模型2.1㊀带隙机理分析为研究该声子晶体的带隙机理,选取多个振动频率下的振动模态进行分析,各频率对应的振动模态如图5所示㊂图5㊀多个共振频率下的振动模态Fig.5㊀Vibration modes at multiple resonant frequencies 1)图5(a)是该声子晶体原胞的一种旋转共振模式,圆形橡胶发生扭转形变,在x 和y 的方向上产生的合力为0,因此难以与弹性波发生耦合作用,也不能产生带隙㊂2)图5(b)和(c)是第一带隙下限处的振动模态图,是带隙的起始点㊂在该模态中,基体不发生运动,可视为固定端,圆形橡胶发生形变,可视为弹簧㊂在此共振模态下,该共振单元振动模态与相邻原胞振动模态的频率相同㊁相位相反,使得外部基体框保持静止,从整体上看,系统相对平衡稳定,振动的传播被隔绝,因此产生了带隙㊂3)图5(d)和(e)是第一带隙上限处的振动模态图,是带隙的截止点㊂此时,共振单元的振动频率接近其固有共振频率,正方形金属芯体振动与方框基体振动在相位上相反,而相邻原胞均为同相位振动,弹性波能够正常传播,故该振动模态为上限,带隙在该点处截止㊂4)图5(f)和(g)是该声子晶体单胞的一种共振状态,此时方形金属芯体和方形基体均处于静止状态,只有圆形橡胶发生振动,而相邻原胞的方形基体仍在运动,未能阻止弹性波的传播,因此该处不能产生带隙㊂2.2㊀等效模型的建立由2.1节对多个共振模态的分析可知,该类型声子晶体的起始频率由金属散射体和橡胶共同决定,根据其共振模态的特点,运用等效模型法,可将该模态下的共振单元等效为 弹簧-振子 模型.其中,橡胶等效为弹簧,金属散射体等效为振子,由于基体不发生运动,将基体考虑为固定端,则整个系统可等效为如图6(a)所示的模型,本文将根据该模型计算第一带隙下限的起始频率㊂在该共振模态的等效模型中,设弹簧的等效刚度为k e ,振子的等效质量为M e ,单个圆形橡胶弹簧质量为m r ,金属芯体质量为m s ,方框基体质量为m j ,则有1436㊀研究论文人工晶体学报㊀㊀㊀㊀㊀㊀第52卷m j =[a 2-(l -2b )2]2hρj m s =l 2hρs m r =πr 2ρr h (3)式中:ρj 是基体密度,ρs 是金属密度,ρr 是橡胶密度㊂在计算该振动模态下的共振频率时,单个橡胶的质量为m r ,金属芯体质量为m s ,橡胶质量相对金属芯体而言不能忽略,因此考虑等效质量时必须计入橡胶的质量,根据图5(b)和(c)的共振模态图可知,橡胶随着金属芯体的运动发生形变,即橡胶的质量也受到了弹性刚度的约束㊂而同样地,等效弹簧随着等效振子的运动而发生形变,考虑到橡胶的质量,在进行等效质量计算时应当将4个圆形弹簧的质量归入到振子的质量中,即M e =4m r +m s (4)以金属芯体为主体而言,橡胶可被看作与其并联的4根弹簧,4个橡胶主要发生剪切形变和扭转形变,其中,有2个橡胶发生剪切形变,另外2个橡胶则是发生扭转形变㊂因此,在进行等效刚度计算时,只用考虑圆形橡胶的剪切刚度和扭转刚度㊂圆形橡胶的扭转刚度和剪切刚度计算式为G =E 2ˑ(1+λ)(5)F =G πd 24h(6)T =G πd 432h (7)式中:F 为剪切刚度,T 为扭转刚度,E 为弹性模量,G 为剪切模量,d 为圆形橡胶的直径,h 为圆形橡胶的高度,λ为泊松量㊂在该单胞结构中,结构参数均为毫米级,结合式(2)和式(7)可知,扭转刚度相比剪切刚度要小6个数量级,可忽略不计,故可忽略扭转刚度的影响㊂因此,等效弹簧的刚度可看作2个剪切刚度相同的弹簧并联,则等效弹簧的刚度计算式为K e =G πd 22h(8)则第一带隙的起始频率计算式为f =12πK eM e (9)图6㊀第一带隙上㊁下限等效模型Fig.6㊀First band gap upper and lower limit equivalent model 在计算第一带隙上限时,对该处振动模态分析可知,散射体运动与基体运动的频率相同,相位相反,截止频率是由该组合单元共振得出的,即在计算截止频率时,该模型可等效为 振子-弹簧-振子 模型,其中,方框基体视作为振子,金属散射体视作为振子,而橡胶视作为弹簧,如图6(b)所示㊂由振动模态图可知,带隙上限处的橡胶和带隙下限的橡胶振型一致,即两个橡胶发生剪切形变,两个橡胶发生扭转形变,因此本文在计算过程中,认为带隙上限处的等效刚度与带隙下限处等效弹簧的刚度一致㊂同样对模态图分析可知,由于散射体平动而产生形变的两个橡胶提供了主要的反作用力,在等效质量计算过程中,应当将这两个橡胶的质量归入到散射体质量中,而另外两个橡胶主要随基体发生运动,因此应将这两个橡胶的质量并入到基体质量中,则第一带隙上限处的频率计算式应为㊀第8期胡培洲等:一种新型二维声子晶体的低频带隙特性及其形成机理1437㊀M s =m s +2m r M j =m j +2m r f =12πK e (M j +M s )M j M s ìîíïïïï(10)本节通过利用有限元法和建立等效模型,对第一带隙上㊁下限处进行了计算分析,结果如表1所示,由表可以得出,两种方法的计算误差较小,因此认为该模型是合理的㊂造成误差的主要原因有:1)弹簧的扭转刚度应当被考虑在内,等效刚度的计算存在一定误差;2)等效质量的计算过程中,橡胶的质量难以精确计入到基体和散射体上,因此等效质量的计算存在一定误差㊂表1㊀有限元法和等效误差法计算结果Table 1㊀Calculation results of finite element method and equivalent error methodCalculation method Lower band gap Upper band gap Finite element method40.282Hz 133.65Hz Equivalent model method42.525Hz 133.89Hz Deviation 5.57%0.18%3㊀低频带隙影响因素分析为深入研究该结构部分参数对带隙的影响,基于本文中建立的等效模型,将分别从散射体㊁基体㊁橡胶和填充率4个角度出发,通过改变相关参数,并利用Comsol Multiphysics 软件进行仿真,观察各参数的改变对带隙结构造成的变化,确定其影响程度,并进一步揭示其带隙机理㊂3.1㊀散射体材料对带隙的影响由等效模型可知,第一带隙上㊁下限与散射体的质量有关,因此本文将通过改变散射体的密度来研究散射体对带隙结构的影响㊂图7表示的是第一带隙上㊁下限与散射体材料的关系㊂在利用有限元法进行计算时,此处设置方形框体为环氧树脂,圆形橡胶保持不变,通过不断改变散射体的密度来进行计算,所用材料如表2所示㊂由图7可知,当散射体密度增加时,第一带隙的上㊁下限均有所下降,且带隙下降得更快,从而导致带隙的宽度增加㊂基于等效模型进行分析可知,第一带隙下限与散射体的质量有关,当散射体密度增加时,散射体质量随之增加,导致起始频率减小,而第一带隙上限处的等效质量随散射体增加而增加,导致截止频率同样减小,且截止频率与散射体质量和基体质量均有关,导致截止频率的减小幅度要小于起始频率,因此带宽随散射体密度变大而变大㊂故可得到如图7所示的变化规律㊂表2㊀散射体所用材料Table 2㊀Material used for the diffuserMaterial Density /(kg㊃m -3)Elastic modulus /(1010Pa)Poisson ratio Carbon 175023.0100.300Aluminium 27307.7600.352Titanium454011.7000.321Steel 778021.0600.300Copper895016.4600.093Plumbum11600 4.0800.369Gold 195008.5000.4213.2㊀基体材料对带隙的影响由等效模型可知,基体仅与第一带隙截止频率有关,本文通过改变基体的密度来研究基体对带隙的影响㊂图8为起始频率和截止频率与基体材料的关系,金属芯体为钢,基体所用材料如表3所示㊂由图8可知,第一带隙下限基本上不随基体密度的变化而变化,但第一带隙上限随基体密度增大而减小,对等效模型进行分析可知,第一带隙的起始频率与基体的质量无关,改变基体的质量不会影响到第一带隙的起始频率,1438㊀研究论文人工晶体学报㊀㊀㊀㊀㊀㊀第52卷这正好解释了图中第一带隙下限基本不变的现象㊂而随着基体密度的增加,基体质量同样增加,导致第一带隙截止频率处的等效质量增加,使得截止频率减小,产生的频率带宽同样减小,故第一带隙随基体密度的变化如图8所示㊂图7㊀散射体材料对带隙的影响Fig.7㊀Effect of scatterer material on bandgap图8㊀基体材料对带隙的影响Fig.8㊀Effect of matrix material on band gap 表3㊀基体所用材料Table 3㊀Material used for the matrixMaterialDensity /(kg㊃m -3)Elastic modulus /(1010Pa)Poisson ratio Glass 10620.3200.33Polyamide 11200.2620.39Epoxy resin11800.4350.368Plastic 11900.2200.375Carbon 175023.0100.3003.3㊀橡胶对带隙的影响对等效模型进行分析可知,橡胶作为共振单元中的弹簧,其等效刚度对共振频率的影响最为突出,研究橡胶对带隙的影响时,一般是通过改变橡胶的材料来间接改变弹性刚度,基于该声子晶体的特殊结构,可以通过对橡胶进行开孔处理来改变其弹性刚度,这种处理方式同时可以减轻声子晶体单胞的质量,使其更符合 轻质化 的特点㊂本文的开孔处理方式是在圆形橡胶中心处,打开一个半径为r 1的孔,使其成为圆环形橡胶,通过不断改变开孔半径的大小,研究不同情况下橡胶对带隙的影响,所用基体材料为环氧树脂,金属芯体材料为钢,仿真结果如图9所示㊂由图9可知,随着开孔半径的增大,第一带隙上㊁下限均减小,带宽减小幅度更大,基于等效模型分析可知,当开孔半径增大时,橡胶的等效刚度不断减小,而起始频率和截止频率在等效质量不变的情况下,与等效刚度成正相关,因此开孔半径越大,第一低频带隙越低,带宽也会越小㊂图9㊀橡胶开孔半径对带隙的影响Fig.9㊀Effect of cladding opening radius on bandgap 图10㊀填充率对带隙的影响Fig.10㊀Effect of fill rate on band gap㊀第8期胡培洲等:一种新型二维声子晶体的低频带隙特性及其形成机理1439㊀3.4㊀填充率对带隙的影响在该新型声子晶体中,填充率为金属芯体在单胞中的面积比㊂本文通过改变散射体尺寸来研究填充率对带隙的影响,基体材料为环氧树脂,圆形橡胶保持不变,散射体所用材料为钢,通过不断改变方形散射体的边长,研究不同填充率下的第一带隙上㊁下限,所得结果如图10所示㊂由图可知,随着填充率的不断上升,第一带隙上限整体上呈上升趋势,而第一带隙下限呈下降趋势,带宽不断增加㊂产生该现象的原因是,在第一带隙下限处,起始频率由弹性刚度和散射体质量决定,在填充率增加的同时,散射体的质量也会增大,同时橡胶所等效的弹性刚度不断减小,起始频率也因此减小㊂而对于上限处的截止频率,虽然弹性刚度有所减小,但等效质量减小的幅度更大,因此截止频率增大㊂填充率的增加使得带宽变大,这是符合该类型声子晶体的研究,说明了等效模型分析的合理性㊂根据以上的研究结果可知,调节该型声子晶体的部分参数,能够调控其带隙范围,并可以用此方法来优化声子晶体的带隙结构,如通过减小基体密度来减小基体质量,可以使带隙上限有效增加㊁带宽增大,或者增大散射体尺寸和减小弹性刚度,可以有效降低带隙下限和增加带隙上限,使带宽更大㊂但该结构尺寸较小,具有一定的限制,如过大的散射体尺寸会导致该声子晶体质量过大,这不符合轻质化的要求,因此,进行带隙优化时,需综合考虑,根据实际需求进行设计优化㊂4㊀结㊀㊀论1)提出了一种新型二维声子晶体结构,该结构是由四个圆形橡胶与基体和散射体连接而成㊂该结构在20mm的尺寸下,第一带隙下限低至40.28Hz,且在该带隙下限处具有约93Hz的带宽,经过有限元法计算其传声特性后,发现其有良好的低频隔声性能,在日常生活的应用中具有实际应用价值㊂2)分析了不同共振频率下的振动模态,并在第一带隙处建立了等效模型,得到了带隙的计算公式,并分别利用有限元法和等效模型法进行了计算,发现二者的结果误差较小,证明了等效模型的合理性㊂3)研究了结构参数对带隙特性的影响㊂通过增大散射体密度,可以减小起始频率,并同时相对地增大带宽,减小基体密度可以有效增大截止频率使得带宽增加,对橡胶进行适当的开孔处理,不仅可以减小质量,还能在不影响带宽的同时,进一步降低起始频率㊂增大填充率能够有效优化带隙特性,但质量也会随之变大,需要合理地进行设计㊂本文研究为局域共振型声子晶体的设计提供了一定的理论支撑并具有一定的指导意义㊂参考文献[1]㊀ROSWALL 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二阶亥姆霍兹共鸣器的隔声特性
赵准;孔鹏;邓科
【期刊名称】《吉首大学学报:自然科学版》
【年(卷),期】2021(42)4
【摘要】基于传统亥姆霍兹共鸣器的隔声特性,运用传递矩阵法分层推导了基于二阶共振的亥姆霍兹共鸣器的等效阻抗,并结合有限元仿真对二阶亥姆霍兹共鸣器的隔声特性进行了探究,验证了二阶共鸣器共存在两个隔声频段,且通过调节几何参数获得了优异的隔声效果,在隔声降噪的声学应用中具有一定的研究意义.
【总页数】5页(P27-30)
【作者】赵准;孔鹏;邓科
【作者单位】吉首大学物理与机电工程学院
【正文语种】中文
【中图分类】O424
【相关文献】
1.利用亥姆霍兹共鸣器衰减压缩机阀腔内压力脉动的研究
2.基于亥姆霍兹共鸣器的声电转换系统研究
3.亥姆霍兹共鸣器
4.带冷却气流的亥姆霍兹共振器的声类比模型
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亥姆霍兹共振原理的应用首先，亥姆霍兹共振原理在音乐乐器的制造和设计中得到了广泛的应用。
例如，弹拨乐器中的共鸣腔体就是基于亥姆霍兹共振原理设计的。
共鸣腔体的形状和尺寸会影响乐器的音色和共鸣特性。
通过对共振频率的控制，乐器制造商可以调节乐器的音色。
此外，亥姆霍兹共振原理也被用于设计音箱和扬声器，以优化声音的输出效果。
其次，亥姆霍兹共振原理在建筑和室内设计中也有许多应用。
例如，在剧院和音乐厅的设计中，工程师需要根据亥姆霍兹共振原理来调节空气腔体的形状和尺寸，以确保音乐演奏时的共振效果和声音传播的均衡。
此外，亥姆霍兹共振原理还被用于设计空调系统和消音器，以提高室内空气质量和降低噪音污染。
亥姆霍兹共振原理在声学研究中也得到了广泛的应用。
例如，在音响工程中，研究人员可以利用亥姆霍兹共振原理来测量空腔的共振频率和谐波成分，以研究声波在不同材料和形状的空腔中的传播特性。
此外，亥姆霍兹共振原理还被用于研究声纳技术和荧光光谱分析。
在医学领域，亥姆霍兹共振原理也有着一些应用。
例如，在超声波成像中，利用亥姆霍兹共振原理，医生可以通过控制超声波的频率和传播速度来获取人体内部器官和组织的图像。
此外，亥姆霍兹共振原理还被用于研究人类声带的振动和共鸣特性，以改进嗓音治疗和语音重建技术。
除了以上应用外，亥姆霍兹共振原理在许多其他领域也有着相应的应用。
例如，在气象学中，研究人员使用亥姆霍兹共振原理来测量气候因素对空气共振频率的影响，以研究气候变化和天气预报。
此外，在火箭发动机设计和喷气推进系统中，亥姆霍兹共振原理被用于研究燃料喷射和燃烧过程的共振特性，以提高发动机的效率和性能。
总之，亥姆霍兹共振原理作为一个重要的物理原理，在音乐工业、声学研究以及其他领域中有着广泛的应用。
它不仅帮助我们理解声波在空气腔体中的传播行为，还为我们设计和优化乐器、建筑、声学工程和医学设备提供了理论依据。
随着科学技术的进步，亥姆霍兹共振原理的应用将会更加广泛和深入。
亥姆霍兹共振器消声公式嘿，说起亥姆霍兹共振器消声公式，这可真是个有趣又有点复杂的玩意儿。
咱们先从亥姆霍兹共振器本身说起哈。
这东西简单来讲，就像是一个能吸收声音能量的小盒子。
你可以想象一下，在一个安静的房间里，放着这么一个神秘的小盒子，它看似普通，却有着神奇的消声能力。
那亥姆霍兹共振器消声公式到底是咋回事呢？其实它就是用来描述这个小盒子消声效果的数学表达式。
就好像是给这个小盒子的消声能力制定了一套规则。
比如说，公式里的一些参数，像共振器的体积、颈口的面积、颈口的长度等等，都对消声效果有着重要的影响。
这就好比做饭的时候，盐放多了太咸，放少了没味，这些参数得恰到好处，才能达到理想的消声效果。
我记得有一次，在学校的实验室里，我们做了一个关于亥姆霍兹共振器的实验。
当时大家都特别兴奋，满心期待着能亲眼看到这个神秘的小盒子发挥作用。
我们按照教材上的步骤，小心翼翼地制作着共振器。
量尺寸、裁剪材料，每一个步骤都不敢马虎。
终于，做好了之后，打开声音发生器，那刺耳的声音瞬间充满了整个实验室。
然后，我们把做好的亥姆霍兹共振器放在旁边，慢慢地调节着参数，神奇的事情发生了！那刺耳的声音一点点变小，就好像被一只无形的大手给捂住了嘴巴。
在这个过程中，我们真切地感受到了亥姆霍兹共振器消声公式的神奇之处。
通过改变共振器的体积，我们发现声音的减弱程度也跟着变化。
体积越大，消声效果似乎越明显，但也不是无限制的，超过一定范围，效果反而不太好了。
再看看颈口的面积和长度，这两个参数的影响也不容小觑。
颈口面积小了，声音好像被堵住了，出不来也消不掉；面积大了，又感觉消声的力量不够集中。
颈口长度也是，短了不行，长了也不行，非得找到那个恰到好处的长度，才能让声音乖乖听话。
其实啊，亥姆霍兹共振器消声公式不仅仅在实验室里有用，在咱们的日常生活中也能找到它的影子。
比如汽车的排气管，里面就可能运用了亥姆霍兹共振器的原理来降低排气的噪音；还有一些高档的音响设备，为了让声音更纯净，也会用到这个原理来消除一些不想要的杂音。
二维材料中的声子行为研究二维材料近年来引起了科学界的广泛关注，其中的声子行为更是备受研究者们的关注。
二维材料是具有非常薄的特殊结构的材料，如单层石墨烯和二硫化钼等。
由于其特殊的性质和结构，二维材料在声子行为方面展现出了一些非常有意思的现象和应用潜力。
首先，我们来看一下二维材料中声子的产生和传播。
声子是晶体中的一个量子激发，代表了晶体中原子振动的能量和动量。
在三维晶体中，声子通过晶格中原子的振动传播。
而在二维材料中，由于其薄度极低，声子的传播受到了限制。
研究发现，二维材料中的声子传播应遵循一种称为声子色散关系的规律。
声子色散关系是指声子的频率与其波矢之间的关系，它可以揭示声子在材料中的行为特性。
对于某些特殊的二维材料，研究者们观察到了一些奇异的声子行为。
例如，在单层石墨烯中，声子可以被激发出现的电子-声子相互作用效应引起准粒子的复杂耦合。
这种现象被称为声子极化，并且对于单层石墨烯的热导率等性质具有重要影响。
此外，由于其特殊的结构，二维材料中的声子行为还可以受到外界的控制和调控。
例如，通过修饰表面，可以调节声子与材料之间的相互作用，从而实现对声子的操控。
除了对二维材料中声子行为的研究，研究者们还发现了一些可以应用的现象和效应。
例如，二维材料中的声子行为与其电子输运之间存在耦合关系。
这种耦合可以用于设计和制造新型的声子-电子器件，如声子晶体和声子导通器。
这些器件可以在纳米尺度上实现声子的操控和传输，为纳米电子学和纳米器件的发展提供了新的思路和方法。
此外，二维材料中声子行为的研究还对于解决一些实际问题具有重要意义。
例如，研究者们通过研究二维石墨烯中的声子行为，成功解释了其超高热导率的原因。
这对于设计高效的热管理材料和热电材料具有指导意义。
而对于二维硫化钼等材料，声子行为的研究可以为其在能源存储和传感等领域的应用提供理论基础和实验依据。
总之，二维材料中的声子行为研究是一个新兴领域，具有重要的科学意义和应用价值。
亥姆霍兹对声学曲线的影响亥姆霍兹对声学曲线的影响（上）声学曲线是声音在不同频率下的响应曲线，它对于声学研究和音频技术的发展具有重要意义。
德国物理学家赫尔曼·冯·亥姆霍兹在19世纪中叶的研究工作，对于揭示声学曲线的特性起到了关键作用。
亥姆霍兹不仅提出了亥姆霍兹方程，还通过实验观察和理论分析，解释了声学曲线的形状和变化规律。
亥姆霍兹方程是声学研究中的经典方程，它描述了在封闭腔体内的声波振动。
亥姆霍兹方程的推导基于流体力学和热力学原理，通过求解该方程可得到声波在腔体中的振动模态和频率。
这为研究声音在空间中的传播和振动特性提供了理论基础。
通过亥姆霍兹方程的推导和研究，亥姆霍兹发现不同频率下的声音具有不同的能量分布特性。
他将声音按照频率分成了一系列的频段，并提出了声学曲线的概念。
声学曲线是描述声音在不同频率下的能量分布情况的图表，通常以频率为横轴，声音能量为纵轴，形成一条曲线。
通过观察声学曲线，可以了解声音在不同频率下的强弱变化。
亥姆霍兹通过实验观察试验室内的声音场景，得出了声音能量在不同频段下的响应规律。
他发现，低频音波的能量分布较高，高频音波的能量分布较低。
这一观察结果与人们日常听觉感受相符，低音更容易引起共鸣和震动，而高音则更容易衰减和消散。
这些实验结果被整理成声学曲线，成为后来声学研究和音频技术发展的重要参考。
亥姆霍兹对声学曲线的研究工作对于音频技术的发展起到了重要推动作用。
在早期的录音技术中，人们利用声学曲线中的低频强化特性设计了话筒和扩音器，以增强低音的响应。
这使得录音和放音的效果更加真实和自然。
同时，亥姆霍兹的研究也为音乐乐器的改进提供了指导。
通过了解声学曲线，制造乐器时可以更好地控制不同频率的声音输出，使得乐器的声音更加平衡和和谐。
在现代的音频技术中，声学曲线仍然是重要的参考和指标。
例如，在音频均衡器的设计中，通过调整声音在不同频段上的增益和衰减，可以实现音频信号的频率均衡和整体声音效果的优化。
亥姆霍兹共振腔原理
嘿，朋友们！今天咱来聊聊亥姆霍兹共振腔原理。
这玩意儿可神奇啦！
你看啊，亥姆霍兹共振腔就好像是一个音乐的魔法盒子。
它能让声音在里面来回晃荡，然后产生一些特别奇妙的效果。
咱可以把它类比成一个会变魔术的小箱子。
当声音进入这个小箱子后，就像小老鼠掉进了米缸，开始在里面尽情玩耍。
声音在里面蹦跶来蹦跶去，然后就出现了一些我们意想不到的变化。
比如说，在一些乐器里就有亥姆霍兹共振腔的身影呢！它能让乐器发出的声音更加饱满、丰富。
就好像给声音穿上了一件华丽的衣裳，一下子就变得高大上了。
你想想看，要是没有亥姆霍兹共振腔，那乐器的声音得多单调啊！就像一碗白粥，虽然能填饱肚子，但是没啥味道。
有了它，就像是给白粥加了各种美味的调料，变得超级好吃。
在生活中，我们也能随处发现亥姆霍兹共振腔原理的应用呢！你有没有注意过一些瓶子或者罐子，当你对着它们吹气的时候，会发出奇妙的声音？哈哈，那其实就是亥姆霍兹共振腔在起作用呀！
它是不是很有趣呢？就像一个隐藏在我们身边的小秘密，等待着我们去发现。
再比如，一些大型的场馆，为了让声音效果更好，也会利用这个原理呢！难道你不想知道是怎么做到的吗？
还有啊，亥姆霍兹共振腔原理还能帮助我们更好地理解声音的传播和变化。
它让我们知道，声音可不是那么简单的东西，里面有着好多好多的学问呢！
总之，亥姆霍兹共振腔原理就像是一个充满魅力的小精灵，在声音的世界里跳来跳去，给我们带来了无数的惊喜和乐趣。
我们可不能小瞧了它呀！它真的太重要啦！。
2 亥姆霍兹复合谐振腔声学特性2.1 引言目前的声能采集器均采用亥姆霍兹谐振腔或声子晶体作为汇聚声能的基本构件。
声子晶体由于能在其缺陷处汇聚声能，因而被使用在声能采集领域，但其一般应用在高频声能采集领域里，因为低频声能的波长很长，相应要求声子晶体要具备足够大的体积，给实际的操作带来不便；亥姆霍兹谐振腔由空腔和短管构成，在谐振时，腔体内的气体被短管处的气体周期性的压缩和膨胀，在腔体内产生大振幅的谐振声波，亥姆霍兹谐振腔的这种放大声压的能力取决于其空腔与短管的体积比，不受谐振腔形状、体积大小等影响，通过设计合适的结构参数，采用亥姆霍兹谐振腔的声能采集器能以小体积采集各频段的声能，便于微加工集成到电路，因此被广泛应用在声能采集领域。
用一块弹性板取代亥姆霍兹谐振腔的刚性背板，即与亥姆霍兹谐振腔组成了一个复合谐振腔，构成一个耦合谐振系统，弹性板在腔内声波的激励下产生受迫振动，从而实现声-机能量转换。
本章首先研究了单亥姆霍兹谐振腔受迫振动的原理，从物态方程出发，结合单亥姆霍兹谐振腔内空气振动方程，得到其声机类比电路模型，其次研究了弹性圆被板和圆环背板受迫振动模型，分别研究了它们的集总参数模型、声阻抗及其等效电路模型，最后研究了亥姆霍兹复合谐振腔的振动方程及其等效电路模型，研究结果表明单亥姆霍兹谐振腔由于弹性板辐射声阻抗的存在，其汇聚声波的能力减弱，一部分声能透过弹性板辐射到外界。
提出一种双亥姆霍兹复合谐振腔结构，通过在单亥姆霍兹复合谐振腔后面加上一刚性壁空腔构成一个后端封闭的空间，减少对外漏声、增强汇聚声能的能力。
运用动力类比的方法建立了双亥姆霍兹复合谐振腔结构的声-机等效电路模型，在此基础之上对比研究了多亥姆霍兹复合谐振腔的等效电路模型，研究结果表明单亥姆霍兹复合谐振腔的模型是双腔模型的一个特例，多亥姆霍兹复合谐振腔的模型是双腔模型的拓展，使得该双亥姆霍兹复合谐振腔等效电路模型适用于任何腔型汇聚声能结构的研究和设计中。
亥姆霍兹共振器的消声原理及其应用嘿，大家好！今天咱们聊聊一个非常有趣的话题——亥姆霍兹共振器的消声原理。
听起来有点高大上，是吧？别担心，咱们就像聊家常一样，把这个话题说得轻松幽默一点。
什么是亥姆霍兹共振器呢？简单来说，它就像一个神奇的声音魔法师，可以让一些不想听到的声音悄无声息地溜走。
想象一下，咱们生活中总有一些烦人的声音，比如隔壁邻居在深夜里弹吉他，或者楼上的小孩儿在那儿疯狂跑来跑去。
真是让人忍无可忍啊！这时候，亥姆霍兹共振器就能派上用场。
它的原理其实很简单，就像在找那个音调上的“死穴”。
你知道的，就像有时候你听到一首歌，正好有个音符让你不由自主地皱眉，这就是共振的感觉。
亥姆霍兹共振器是根据空气的振动来工作的。
它里面有一个空腔，这个空腔就像一个小小的音响箱。
声音传入后，空腔里的空气开始振动。
如果声音的频率正好和这个空腔的共振频率匹配，空气就会把这些声音吸收掉。
就像是给那些吵闹的声音开了一扇“后门”，悄悄地把它们送走，让你在家里享受一片宁静。
这可不止是个理论上的玩意儿，亥姆霍兹共振器已经被广泛应用到生活的方方面面。
比如，在一些音乐厅或者剧院里，设计师们会巧妙地运用这种原理来调节音响效果。
哇，听着音乐的那种感觉就像是被包裹在云朵里，舒服得不得了！他们甚至可以让某些频率的声音变得特别清晰，而那些干扰的噪声则被悄悄地压下去。
亥姆霍兹共振器在家居环境中也能大显身手。
你知道吗？许多现代家电，比如洗衣机、冰箱，都会利用这个原理来减少噪音。
洗衣机在脱水的时候，有时声音大得像个小型飞机，但如果加上这个消声装置，嘿，简直就像把飞机变成了小鸟儿，轻轻地飞过来。
这样一来，洗衣服变得更惬意，家里的安静度也能提高，简直是一举两得。
你可能会问，这个亥姆霍兹共振器是不是很贵呀？其实不然，制作一个简单的亥姆霍兹共振器并不需要太多的材料，甚至你可以自己动手做一个。
拿个小盒子，加上一个合适的孔，就能开始实验。
想象一下，你在家里DIY自己的消声器，心里那个美滋滋呀，仿佛自己成了个小小科学家。
亥姆霍兹共振在物理学的基本原理中，声学也算是一个重要部分。
如果说光学与电学的发展给我们带来了便捷，那么声学的发展就为人类社会提供了新能源——声波，而这正是物理学里最神秘的部分之一。
它到底隐藏着什么样的秘密呢？下面让我们走进声学，去探索声学世界里的奥秘吧！首先是波的干涉。
当声音以纵波的形式穿过空气时，遇到不同密度的空气分子，就会产生折射，而空气分子又具有“双折射”的性质，即折射角随着波长的增加而变大。
因此，当声音的波长与某处的波长相等或接近时，从该处发出的声音到达各处的时间就会同步，于是就形成了“驻波”。
而声音波长较短的那些地方所形成的驻波往往比较狭窄，而声音波长较长的地方所形成的驻波则比较宽广。
因此，通常情况下我们可以认为只要声音在传播时遇到的阻力越小，驻波就越窄，反之，阻力越大，驻波就越宽广。
“驻波”在传播的过程中会向声源处辐射能量，由于其形状的特殊性，能量可以互相转化，既可以被吸收，也可以被释放。
“驻波”有什么特点呢？举例来说：在水平表面上振动得很快的鼓膜，每秒钟将约有一万次左右的震动；另外，还有像火车汽笛、风铃和鸟鸣等频率低但持续时间却非常长的声音，都属于驻波。
对于任何事物，研究者总希望找到规律并预测未知现象。
声学也不例外，人们利用自己掌握的声学知识，设计制造了许多精巧的仪器来观察声波的运动。
这种仪器叫做“亥姆霍兹共振器”，简称“亥氏器”。
亥氏器是根据亥姆霍兹（ H．Helmholtz）的名字命名的。
他是德国著名的物理学家，曾经获得过1903年诺贝尔物理奖。
亥氏器主要是利用谐振腔内介质的共振现象来工作的。
把两块固体金属板紧靠起来，使它们的中心轴线在同一条直线上，然后再把一个金属棒插入到这两片金属板之间，这样构成的装置就叫做谐振腔。
“横波”呢？顾名思义，指的就是行驶在水平面上的纵波，也就是垂直于纸面传播的波。
在日常生活中，我们常常看到许多固体在水平面上振动的情况，但水平面却是不断运动的。
所以我们通常见到的都是横波。
Helmholtz腔与弹性振子耦合结构带隙陈鑫;姚宏;赵静波;张帅;贺子厚;蒋娟娜【摘要】为提高Helmholtz型声子晶体低频隔声性能,设计了一种Helmholtz腔与弹性振子的耦合结构,通过声压场及固体振型对其带隙产生机理进行了详细分析,建立了相应的弹簧-振子系统等效模型,并采用理论计算和有限元计算两种方法研究了各结构参数对其带隙的影响情况.研究表明,该结构可等效为双自由度系统振动,在低频范围内具有两个带隙;在6 cm的尺寸下,其第一带隙下限可低至24.5 Hz,而同尺寸无弹性振子结构只能达到42.1 Hz,带隙下限降低了40％,较传统Helmholtz 结构具有更为优良的低频隔声特性.另外,在框体尺寸一定的情况下,降低结构间距、增大开口空气通道长度及振子质量、增大左侧腔体体积等方式,是增大带隙宽度、提高低频隔声效果的主要手段.【期刊名称】《物理学报》【年(卷),期】2019(068)008【总页数】9页(P136-144)【关键词】Helmholtz共振;低频带隙;局域共振;噪声控制【作者】陈鑫;姚宏;赵静波;张帅;贺子厚;蒋娟娜【作者单位】空军工程大学基础部, 西安 710051;空军工程大学基础部, 西安710051;空军工程大学基础部, 西安 710051;空军工程大学基础部, 西安 710051;空军工程大学基础部, 西安 710051;空军工程大学基础部, 西安 710051【正文语种】中文1 引言Helmholtz共振腔是一种利用空气振动的声学结构,该结构广泛应用于声学超表面[1]、声透镜[2]及具有负折射[3]、超声聚焦[4]等效应的声学超材料构建中.近年来,利用局域共振原理[5]的Helmholtz型声子晶体成为声学超材料研究热点之一[6-8],该类型超材料的典型特点是具有带隙特性,即在带隙频率范围内的弹性波会在结构中迅速衰减,这为其在隔声降噪[9-11]等方面的应用奠定了基础.其中,Guan等[12]通过螺旋设计增加了开口处空气柱长度,将第一带隙范围降至217—492 Hz.刘敏等[13]设计的圆柱形开缝Helmholtz结构打开了100 Hz以下的低频带隙.姜久龙等[14]利用双开口的方式在晶格常数为10 cm的情况下将结构带隙降至87.1—138.2 Hz频率范围内.随后,Jiang等[15]又通过多腔耦合的方式设计了一种边长为5 cm的六角形Helmholtz型声子晶体,该结构带隙下限低至62.1 Hz.这些研究对于提高Helmholtz结构隔声效果具有重要意义,但仍只有空气参与振动,等效振子质量难以进一步提高,若需进一步降低其带隙下限,往往需要增大结构尺寸,限制了其在工程上的应用.2016年,Abbad和Ahmed [16]将Helmholtz腔的上下壁换为钝化薄膜,并研究了其隔声量相对于传统结构变化情况.2018年,Zhu等[17]推导了穿孔板与薄膜耦合结构的吸声系数计算公式,这种耦合结构同时利用了薄膜[18-20]和固/气结构隔声特性,取得了良好效果.本文设计了一种带弹性振子的Helmholtz型声子晶体,对其带隙机理进行了详细分析,建立了等效模型,在6 cm的腔体尺寸下,将带隙下限降至24.5 Hz,相比于传统单腔单开口Helmholtz型声子晶体,带隙下限降低了40%,实现了小尺寸控制大波长,扩大了其在工程上的应用范围.2 结构设计及其带隙特性Helmholtz腔与弹性振子耦合结构横截面如图1所示,其晶格常数为a,腔体框架材料为钢,外边长为l1,腔壁厚度为b,在腔体右侧有“弓”字型的开口,其空气通道总长度为l2,宽度为s,腔体内部与左框体距离l3处设置一宽度为bs的弹性长杆,并在上下两端用长hr、宽br的硅橡胶连接至腔体框架上,因本研究中选取橡胶厚度与一般薄膜相比较厚,且预应力的施加一般会导致共振频率升高,故不施加预应力.在实际应用中,可用外部框架将橡胶夹住长为l1的橡胶板,并在板上粘附金属质量片.这样,Helmholtz腔就被弹性振子分为左右两个腔体.另外,为防止框架的振动模态对带隙形成机理研究造成干扰,将其设定为固定约束状态.图1 Helmholtz腔与弹性振子耦合结构横截面Fig.1.Cross section of Helmholtz resonator coupled with elastic oscillator structure.将腔体外边长固定为l1=60 mm,腔壁厚度固定为b=1 mm.先利用理论计算方法对所选参数取值范围内所有可能组合进行遍历扫描(均以1 mm为间隔),再利用有限元法进行验证和调整,分别对Helmholtz腔与弹性振子耦合结构和其对应的传统Helmholtz腔结构进行求解,其第一带隙下限最低时的参数组合及各参数取值范围如表1所列,采用的材料参数列于表2,得出其带隙结构如图2(a)所示.对于传统Helmholtz腔结构,降低其第一带隙下限主要通过增大开口长度,由于这样会使得腔体体积减小,导致其第一带隙下限最低低至42.1 Hz(如图2(b)所示).而对于Helmholtz腔与弹性振子耦合结构,其第一、二带隙分别为24.5—47.7Hz,237.6—308.6 Hz (如图2(a)所示).为探究Helmholtz腔与弹性振子耦合情况下的带隙机理,设置初始结构参数如表1所列.利用有限单元法得出其带隙结构如图3(a)所示,从图中可以看出,该结构在700 Hz以下存在两个带隙,其中第一带隙为125.34—267.30 Hz,第二带隙为355.13—397.22 Hz,各带隙的起止点已在图中标出.另外,在179.17 Hz和254.69 Hz处出现了两条平直带.为研究该结构的隔声性能,沿纵向串联3个元胞结构,在结构的一端设置背景压力场,并配置完美匹配层(PML),利用声压模式的隔声量计算公式针对0—700 Hz范围内的声波进行隔声量计算：其中T代表隔声量,Pout代表出射声压,Pin代表入射声压,其结果如图3(b)所示.可以看出,两个隔声峰均出现在带隙下限附近,大小分别为43.2和43.3 dB,而两个平直带对隔声曲线无明显影响.表1 各结构参数组合Table 1. Combination of various structural parameters.名称 a/mm l2/mm l3/mm br/mm hr/mm bs/mm 振子材料Helmholtz腔与弹性振子耦合结构带隙下61 [61,65]50 [1,1680]40 [1,56]4 [1,5]9 [1,9]25 [1,25]钢限最低参数传统Helmholtz腔结构带隙下限最低参数 61 [61,65]848 [1,1680]—————初始结构参数 65 50 28.5 1 1 1 铝表2 各材料参数Table 2. Material parameters.材料名称硅橡胶环氧树脂碳铝钛钢密度/k·m—3 1300 1180 1750 2730 4540 7780弹性模量/1010 Pa 1.175 × 10—5 0.435 23.01 7.76 11.70 21.06剪切模量/1010 Pa 4 × 10—6 0.159 8.85 2.87 4.43 8.10图2 (a) Helmholtz腔与弹性振子耦合结构带隙图; (b) Helmholtz腔结构带隙图Fig.2.(a) Band diagram of the Helmholtz resonator coupled with elastic oscillator structure; (b) band diagram of the Helmholtz resonator structure. 图3 (a) Helmholtz腔与弹性振子耦合结构带隙图; (b) Helmholtz腔与弹性振子耦合结构隔声曲线Fig.3.(a) Band diagram of the Helmholtz resonator coupled with elastic oscillator structure; (b) the transmission spectra of the Helmholtz resonator coupled with elastic oscillator structure.3 带隙机理及等效模型Helmholtz腔与弹性振子耦合结构带隙上下限处的声压场如图4所示,在A点(模态A),左腔声压最大,右腔次之,而腔体外部声压为零.表明此时振子与开口中空气做同向振动,而外部空气未参与振动,声波被局域在腔体内部,无法向外传播,由此形成带隙下限.在B点(模态B),左腔声压为负值,右腔及腔体外部声压为正值且外部声压最大.表明此时振子与开口中空气做同向振动,且声波可以在腔体外部传播,由此对应带隙上限.C (模态C),D (模态D)两点处腔体外部声压分别与A,B两点处基本相同,表明其带隙形成机理是一致的.但C点处左腔声压为负值而右腔声压最大,表明此处对应振动模态为振子与开口中空气做相向振动.D点处左右腔声压与B点处相比声压颠倒,表明此处对应振动模态同样为振子与开口中空气做相向振动.图4 (a) A点,(b) B点,(c) C点,(d) D点的声场压力图Fig.4.Sound pressure distribution diagrams of point A (a),B (b),C (c),and D (d).对于平直带处的振动模态,通过声压场和弹性振子的振动模态相结合进行分析,如图5所示.为便于分析,在声压场图中添加了等值线.在两平直带处,弹性振子的振动分别为绕中心转动和沿轴向振动,虽然这种振动因流-固耦合作用会使得各腔内声场发生变化,但因振动过程中左右腔体积均不变,故各腔声场的变化分别是上下反对称的(如图5(c)和图5(d)所示),其总的等效声压为零.此时,弹性振子的振动并不能激发开口处空气的振动,从而无法将声压传导至腔外,声波仍然被局域在腔内,故对该结构的隔声性能没有影响.这一点也从图3所示的隔声曲线上有所体现,平直带对应的频率处,隔声曲线没有特别的变化特征.图5 (a) 第一平直带弹性振子振型图; (b) 第二平直带弹性振子振型图; (c) 第一平直带声场压力图; (d) 第二平直带声场压力图Fig.5.The vibration mode of the elastic oscillatorat the first straight belt (a) and at the second straight belt(b);the sound pressure distribution diagrams of the first straight belt(c),and the second straight belt (d).对于局域共振型声子晶体,由于带隙上下限共振机理不同,其等效模型一般通过弹簧-振子模型[21,22]或声电类比模型[14,15]对带隙上下限分别进行构建.在本研究中,选用弹簧-振子模型.首先做如下假设：1)对于开口处,由于其体积相比内腔小得多,且开口宽度较小,假设开口内空气做同步运动且不计其受到的压缩,即视为振子,其等效质量由m2表示;2)对于左右腔及外部空气,忽略其振动造成的惯性力,即视为无质量弹簧,其等效刚度分别由k4,k2,k1表示;3)对于弹性振子,忽略其振动时的挠度变形,将其视为刚性振子(在仿真时仍设定为弹性体),并将两端橡胶质量通过集中参数法等效分布于振子和腔壁上,其等效质量由m1表示;4)对于弹性振子两边的橡胶,将其考虑为受剪切变形影响的横向振动无质量伯努利-欧拉梁,忽略自身振型的影响,在模型中用等效刚度为k3的弹簧拟合其特性.综上,对该结构各带隙起止点建立等效模型如图6所示,其中图6(a)对应带隙上限,图6(b)对应带隙下限,这两种等效模型的区别在于是否存在外部空气等效所得的弹簧k1,这种不同来源于对开口处空气的简化.开口空气实际相当于一纵向振动弹性杆,这与图4中其声压场逐渐变化相对应.该结构更为精确的模型为“弹簧-质量块-弹簧-弹性杆-弹簧”.但在k1,k2较小且开口长度适中的情况下,可通过假设1)的处理,仅考虑开口空气质心的振动位移,此时在带隙上限处将弹性杆视为质量块即可.但在带隙下限处,外部空气声压始终为零,即系统在振动过程中,开口空气杆的外端始终静止,无法体现弹簧k1的作用,但杆的质心仍在振动,故可简化为图6(b)所示的等效模型. 设该结构高度为1,其等效质量和等效刚度的表达式分别为：图6 (a) 模态B,D的等效模型; (b) 模态A,C的等效模型Fig.6.(a) The equivalent model of modal B and D; (b) the equivalent model of modal A and C.其中ρs,ρr 及ρair 分别为弹性振子、橡胶及空气的密度; c为空气中声速; V1,V2及V4分别为外部空气、右腔及左腔的体积.需要说明的是,在多自由度振动理论中,将总的等效刚度定义为“kij是使系统仅在第j个坐标上产生单位位移而相应于第i 个坐标上所需施加的力[23]”,而忽略自身质量的空气弹簧遵循帕斯卡定律,则“所需施加的力”为第j个坐标上产生单位位移引起的压差对第i个坐标上空气与构件接触面积的积分.对于右腔空气,由于其分别与开口处空气及梁状振子接触,会表现出四种不同的等效刚度,分别为：k2left,仅开口处空气产生单位位移时在弹性振子与右腔空气接触面上产生的力;k2right,仅开口处空气产生单位位移时在开口处空气与右腔空气接触面上产生的力; k′2left,仅弹性振子产生单位位移时在弹性振子与右腔空气接触面上产生的力;k′2right,仅弹性振子产生单位位移时在开口处空气与右腔空气接触面上产生的力. k3可由传递矩阵法求得,设弹性振子有一位移u,根据橡胶短梁的传递矩阵和边界条件：对于上下两橡胶短梁均有其中E,G分别为橡胶的弹性模量和剪切模量;I为截面惯性矩; κ 为截面系数,取为0.833; M1,Q1,M2,Q2分别为与腔壁相连端及与振子相连端的弯矩和剪力.由此可得出根据上述两种等效模型,构建其刚度矩阵分别为：其质量矩阵为根据多自由度振动理论,由 (8)—(10)式即可分别计算出两阶固有频率,对应于第一、二带隙的起止频率：式中Kij代表刚度矩阵(8)和(9)式中各元素.通过以上分析可以看出,在Helmholtz腔中加入弹性振子之后,系统由单自由度变为双自由度,且其耦合效应改变了原有腔体的等效刚度.另外,该结构左腔中的空气和弹性振子局域共振单元一起,形成了一个弹性壁,但其对于外部空气来说仍为刚性壁,故不能直接对外部空气起作用,必须通过引起腔口空气振动而影响外部声压.若去除左侧框架,则等效模型中m1,m2应与双开口Helmholtz腔[14]中类似,用并联设置替代本文中的串联设置.4 带隙影响因素研究为分析各参数对带隙的影响,进一步揭示其带隙形成实质,采用有限单元法和等效模型两种方法计算了其带隙上下限频率随参数改变的变化情况,结果如图7所示.图7(a)显示了晶格常数a与一、二带隙的关系.可以发现,晶格常数的改变对于带隙下限的影响可以忽略不计,这与(4)式中不含外部空气的等效刚度一致.而对于带隙上限,单纯增大晶格常数而保持框体大小不变,会直接导致k1的减小,从而使带隙上限向低频方向移动.这说明对于该结构,周期性排列间距越小越容易产生较宽的带隙. 图7(b)显示了开口处空气通道长度l2与一、二带隙之间的关系,可以看出,随着空气通道长度的增加,其带隙上下限都在下降,其中第一带隙宽度略有增大,而第二带隙宽度有较明显的减小.另外需要指出的是,当空气通道长度l2较小时,第二带隙等效模型与有限元分析结果差距较大,这是因为在模态C,D处,开口左右声压差值大,导致开口附近空气受到的压缩程度更大,更多的空气充当了振子的作用,使得等效质量m2增大,而这种效应在开口长度较小时尤为明显.此时,应通过修正公式[24]对m2进行修正,本研究中选取初始开口长度较长,不影响其他讨论及最终结论,故不再进行修正.图7 晶格常数a (a),开口长度l2 (b),左腔体积V2 (d),右腔体积V4 (e),弹性振子密度ρs (f)对第一、二低频带隙的影响; (c) 橡胶长度hr对各低频带隙的影响;Fig.7.The impact of different parameters a on first and second low frequency bandgap： (a) The lattice constant a; (b) the length of the cavity opening l2; (d) the volume of the left cavity V2; (e) the volume of the right cavity V4; (c) the impact of the parameter hr on each low frequency bandgap.图7(c)显示了参数hr与带隙宽度的关系,在图中绘制了等效模型计算的两个带隙和有限元仿真的前6个带隙(若存在).从图中可以看出,由等效模型计算的带隙上下限变化较小,这是因为铝密度与硅橡胶相差不大,hr的增大只使m2小幅变化,而k3由于与相差一个量级,其变化对结果影响较小.而有限元计算结果显示,随着hr的增大,部分特征频率曲线或在原有带隙附近产生了宽度较小的新带隙,或将原有带隙“分割”为两个带隙,并影响了原带隙上下限.此时,视新带隙相对原带隙的位置,有限元计算结果开始在理论计算结果上下波动.这是由于随着hr的增大,弹性振子系统振动模态增多,原有各阶固有频率下降,在带隙上下限处,对应的不再是原有的低阶振型,如当hr为1,3,7,11 mm时,第一带隙下限分别对应于弹性振子系统的第1,2,3,5阶振型.此时,将质量和等效弹簧均集中于振子处的处理方法导致了误差的产生.若要精确计算带隙上下限,需要参考文献[25,26]等采用的腔口覆薄膜耦合振动计算方法并推广至含集中质量结构,充分考虑强迫振动振型对固有频率的影响.但综合图7(c)和图7(e)可以看出,振型对于带隙的影响不如弹性振子等效质量的影响大,且振型的影响规律性不强,不利于带隙的优化,本文不再进行精确计算.图7(d)和图7(e) 表征的是随V2,V4增大时带隙的变化情况,由于腔体被弹性振子分为两部分,为使结构改变时保持k2,k4中的一项不变而另一项增大或减小,在此没有对l3进行变量分析,而是采用在左腔或右腔中增加刚性填充物的方式进行参数控制.从图中可以看出,随着左侧腔体体积V4的增大,一、二带隙上下限均向低频方向移动,而右侧腔体体积V2的增大仅使第二带隙上下限下降,对第一带隙的作用并不明显.这说明在保证左侧腔体的一定体积的情况下,降低右侧腔体的体积,仍能获得良好的低频隔声性能,有利于结构的小型化; 而在结构大小一定的情况下,则应尽量增大参数l3,以使第一、二带隙均向低频方向移动.就产生该现象的机理来看,在第一带隙上下限处,振子与腔口空气均做同向振动,故削弱了右腔空气的作用; 而第二带隙上下限处振子与腔口空气做相向运动,故与左右腔空气体积均有关.图7(f)显示随着弹性振子密度ρs 的提高,一、二带隙上下限都向低频方向移动,但第一带隙宽度降低,而第二带隙宽度增大.在这里,为改变其密度,分别选用了环氧树脂、碳、铝、钛、钢等材料进行研究,因其弹性模量基本处于同一量级,故弹性模量的变化影响可以忽略.综合图7(b)和图7(f)的结果,可以看出,振子质量与开口处空气质量对于带隙宽度的作用效果是相反的,开口处空气质量对应于第一带隙,而振子质量对应于第二带隙,增大其中某质量会使其对应带隙宽度增大而另一带隙宽度减小.5 结论本文设计了一种Helmholtz腔与弹性振子耦合结构,利用多自由度振动理论建立了等效模型.研究发现： 1)该结构可以突破传统Helmholtz腔结构带隙下限的极限值,在6 cm的结构尺寸下达到24.5 Hz; 2) 弹性振子的加入将原结构单自由度系统振动变为双自由度系统的振动,其前两个带隙可由等效模型计算得出,且理论计算结果与有限元计算结果基本相符; 3)该结构可调参数大大增加,通过降低结构间距、增大开口空气通道长度及振子质量、增大左侧腔体体积等方式,可获得低频区域内较宽的带隙.这些结论有利于Helmholtz腔结构与薄膜类结构耦合隔声理论的发展,对于该类结构在低频隔声领域的应用有指导意义.参考文献【相关文献】[1]Li J,Wang W,Xie Y,Popa B I,Cummer S A 2016 Appl.Phys.Lett. 109 091908[2]Atak O,Huybrechs D,Pluymers B,Desmet W 2014 J.Sound Vibr. 333 3367[3]Yangbo X,Bogdan-Ioan P,Lucian Z,Cummer S A 2012 Phys.Rev.Lett. 110 175501[4]Shu Z,Leilei Y,Nicholas F 2009 Phys.Rev.Lett. 102 194301[5]Liu Z,Zhang X,Mao Y,Zhu Y Y,Yang Z,Chan C T,ShengP 2000 Science 289 1734[6]Hu X,Chan C T,Zi J 2005 Phys.Rev.E 71 055601[7]Wang Z G,Lee S H,Kim C K,Park C M 2008 J.Appl.Phys.103 064907[8]Hsu J C 2011 Jpn.J.Appl.Phys. 50 07HB01[9]Murray A R,Summers I R,Sambles J R,Hibbins A P 2014 J.Acoust.Soc.Am. 136 980[10]Campos B V L,Babinet A,Dos Santos J M C 2017 Proceedings of the XXXVIII Iberian Latin-American Congress on Computational Methods in EngineeringFlorianópolis,Brazil,November 5-8,2017[11]Wang Y,Zhu X,Zhang T,Bano S,Pan H,Qi L,Zhang Z,Yuan Y 2018 Appl.Energy 230 52[12]Guan D,Wu J H,Jing L,Gao N,Hou M 2015 Noise Control Eng.J. 63 20[13]Liu M,Hou Z L,Fu X J 2012 Acta Phys.Sin. 61 104302 （in Chinese） [刘敏,侯志林,傅秀军2012 物理学报 61 104302][14]Jiang J L,Yao H,Du J,Zhao J B,Deng T 2017 Acta Phys.Sin. 66 064301 （in Chinese） [姜久龙,姚宏,杜军,赵静波,邓涛 2017 物理学报 66 064301][15]Jiang J L,Yao H,Du J,Zhao J B 2016 AIP Adv. 6 115024[16]Abbad,Ahmed 2016 SAE Tech.Pap. 2016-01 1842[17]Zhu X Z,Chen Z B,Jiao Y H,Wang Y P 2018 J.Vib.Acoust. 140 031014[18]Zhang Y,Wen J,Xiao Y,Wen X,Wang J 2012 Phys.Lett.A 376 1489[19]Lee S H,Park C M,Seo Y M,Wang Z G,Kim C K 2015 Phys.Rev.Lett. 104 054301[20]Lin G C,Chen S Q,Li Y L,Tan H F 2017 Mater.Sci.Forum. 898 1749[21]Hirsekorn M 2004 Appl.Phys.Lett. 84 3364[22]Wen X S,Wen J H,Yu D L,Wang G,Liu Y Z,Han X Y 2009 Phononic Crystals (Beijing：National Defense Industry Press) p170 (in Chinese) [温熙森,温激鸿,郁殿龙,王刚,刘耀宗,韩小云2009 声子晶体 (北京：国防工业出版社) 第170页][23]Nie Z H 1989 Vibration Mechanics (Xi'an： Xi'an Jiaotong University Press) p167 (in Chinese) [倪振华 1989 振动力学(西安：西安交通大学出版社) 第167页][24]Alster M 1972 J.Sound Vibr. 24 63[25]Rajalingham C,Bhat R B,Xistris G D 1998 Int.J.Mech.Sci. 40 723[26]Eftekhari S A 2017 J.Braz.Soc.Mech.Sci.Eng. 39 1119。
亥姆霍兹共振消声器的声学改进苏胜利;张苗;曹为午【摘要】应用三维声学有限元法预测亥姆霍兹共振消声器的传递损失，并与实验结果进行对比，两者吻合良好，表明本文所用数值方法的适用性和准确性。
一方面，为了在不改变共振器外形的前提下降低共振频率，将连接管延伸至共振腔内部，并详细讨论了延伸长度、延长管横截面形状对共振器声学特性的影响；另一方面，为了拓宽传统亥姆霍兹共振器的消声频带，将共振器进行串并联组合，并详细讨论了组合结构对声学特性的影响。
%The predicted transmission loss of Helmholtz resonator using three-dimensional finite element method and experimental results are compared and showed good agreement, which demonstrated the applicability and accuracy of the finite element numerical method. Then, in order to reduce the resonance frequency without changing the size of resonator, the connecting tube is extended into the volume, and the effect of length and shape of extension on the acoutic performance is discussed in detail;on the other hand, in order to broaden acoustic attenuation of traditional Helmholtz resonator, the volume, connecting tube are combined in parallel or in series, and the effect of which on the acoustic performance is discussed in detail.【期刊名称】《舰船科学技术》【年(卷),期】2014(000)011【总页数】4页(P128-131)【关键词】声学;亥姆霍兹;消声器;有限元【作者】苏胜利;张苗;曹为午【作者单位】武汉第二船舶设计研究所，湖北武汉430064;武汉第二船舶设计研究所，湖北武汉430064;武汉第二船舶设计研究所，湖北武汉430064【正文语种】中文【中图分类】TB535传统亥姆霍兹共振器通常由一个密闭的空腔、一根连接管串联构成，空腔经过连接管与主管道相通，具体如图1所示[1]。
亥姆霍茨共鸣器是什么？有何用？19世纪，德国科学家亥姆霍兹为研究共振问题发明了“亥姆霍兹共鸣器”，并通过它研究复合音中的泛音成分，做了乐音和语音的频谱分析，并提出音乐理论和听觉理论[1]。
这个简单的装置有着十分广泛的用途。
在亥姆霍兹的著作《论音调的感觉》中，亥姆霍茨共鸣器的原始设计是一个黄铜容器，圆球形状，一端有一个带口的小颈，另一端有较大的孔为收音口（见图1）。
现代最常见的亥姆霍兹共鸣器是一个漏斗状的空心玻璃球，一端带有出音口，见图2（a）[2]。
另外还有多种形状，图2（b）只是在球上开一个小口，图2（c）在球底部多开一个听音孔，近似原始设计。
亥姆霍兹在测量复合音时，将出音口指向耳朵，共鸣器的收音口对准音源，当音源中的某一泛音与共鸣器的固有频率相同时，共鸣器会出现共鸣现象。
图1 亥姆霍兹共鸣器实物图2 常见亥姆霍兹共鸣器的形制亥姆霍兹共鸣器是一种高效率的声能转换装置，主要应用于频谱分析、频率测量和控制等方面。
随着理论的逐渐成熟，它的应用范围也越来越广，既可以用于在建筑内部设计“共振吸声结构”，利用其强大的吸声能力应用于音乐厅的墙壁等结构；又可以将微小的振动转化为强大的声波传输出去，常应用于各种乐器的共鸣箱等。
本文将从消声装置与发声装置两方面，梳理亥姆霍兹共鸣器的应用。
1 消声装置（共振吸声）1.1共振吸声结构原理吸声，主要是指声波在介质的传播过程中能量的消耗过程。
当声波传播到介质表面时，一部分声波会被反射回去，另一部分被介质吸收，转化为机械能传递或转化为热能消耗。
吸声现象是普遍存在的，但是只有较强吸声能力的材料才可以应用于实际场合。
吸声材料的原理有两种，一是通过材料摩擦，将声能转化为热能；二是通过材料振动，将声能转化为机械能（振动），再转化为热能。
亥姆霍兹共鸣器就是共振吸声结构。
结构内部是一个共鸣腔和一个弹簧系统（见图3），共鸣腔开一颈口与外部相连，声波从颈口进入腔体，使得颈口空气来回运动压缩腔内空气，形成一个空气弹簧。
声场亥姆霍兹方程一、亥姆霍兹方程的引出（一）波动方程在声学中，对于小振幅声波的传播，在均匀的、静止的理想流体介质中，声波的波动方程为：∇^2p - (1)/(c^2)frac{∂^2p}{∂ t^2} = 0其中p是声压，∇^2是拉普拉斯算符，c是声速，t是时间。
（二）时谐声波假设当考虑时谐声波（即声波随时间作简谐变化）时，设p(→r,t)=P(→r)e^-iω t，这里→r是空间位置矢量，ω = 2π f是角频率，f是频率，P(→r)是仅与空间位置有关的复声压幅值。
将p(→r,t)=P(→r)e^-iω t代入波动方程∇^2p - (1)/(c^2)frac{∂^2p}{∂ t^2} = 0，可得：∇^2(P(→r)e^-iω t)-(1)/(c^2)frac{∂^2(P(→r)e^-iω t)}{∂ t^2} = 0由于(∂)/(∂ t)(e^-iω t)=-iω e^-iω t，frac{∂^2}{∂ t^2}(e^-iω t)=-ω^2e^-iωt方程变为：e^-iω t∇^2P(→r)+frac{ω^2}{c^2}P(→r)e^-iω t= 0两边同时消去e^-iω t，就得到了亥姆霍兹方程：∇^2P(→r)+k^2P(→r) = 0，其中k = (ω)/(c)称为波数。
二、亥姆霍兹方程在声场中的物理意义（一）描述稳态声场亥姆霍兹方程描述的是稳态（时谐）声场中声压幅值P(→r)的空间分布规律。
它反映了在给定频率ω下，声波在空间中的传播和分布特性，与声源的特性、传播介质的性质以及边界条件等因素密切相关。
（二）与能量分布的联系在声场中，声能量密度与声压的平方成正比。
亥姆霍兹方程通过确定声压幅值的分布，间接地反映了声场中能量的分布情况。
例如，在亥姆霍兹方程的解中，声压幅值较大的区域通常对应着较高的声能量密度区域，这有助于我们理解声波在空间中的聚焦、散射等能量相关的现象。
三、求解亥姆霍兹方程（一）分离变量法1. 直角坐标系下- 对于直角坐标系(x,y,z)，设P(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)，将其代入亥姆霍兹方程∇^2P + k^2P = 0，其中∇^2=frac{∂^2}{∂ x^2}+frac{∂^2}{∂ y^2}+frac{∂^2}{∂z^2}。
