第2 题命题真假的判断所以，AB ⊂α，即l3 ⊂α，命题p1为真命题；命题p4 为真命题.综上可知，，为真命题，，为假②四种命题的真假关系同一个命题的逆命题与它的否命题互为逆否命题，互为逆否命题的两个命题同真假；互逆或互否的两个命题，它们的真假没有关系．因此任何一个命题的原命题、否命题、逆命题和逆否命题这四个命题中，真命题与假命题的个数总是偶数．考点二含有逻辑联结词命题真假的判断逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词；简单命题：不含逻辑联结词的命题；复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题．（1）复合命题有三种形式：p 或q （p ∨q ）；p 且q （p ∧q ）；非p （⌝p ）．（2）复合命题的真假判断：“p 或q ”形式复合命题的真假判断方法：一真必真；“p 且q ”形式复合命题的真假判断方法：一假必假；“非p ”形式复合命题的真假判断方法：真假相对．（3）含逻辑联结词命题真假的等价关系：① p ∨q 真⇔p , q 至少一个真⇔(⌝p)∧(⌝q)假；②p ∨q 假⇔p , q 都假⇔(⌝p)∧(⌝q)真；③p ∧q 真⇔p , q 都真⇔(⌝p)∧(⌝q)假；④ p ∧q 假⇔p , q 至少一个假⇔(⌝p)∨(⌝q)真；( ) 0 0 0【答案】B【解析】对于①中，当 x = 2 时， x 2 = 2 为有理数，故①错误；对于②中，若 a ⋅ b = 0 ，可以有 a ⊥ b ，不一定要 a = 0 或b = 0 ，故②错误；对于③中，命题“若 x 2 + y 2 = 0 ， x ∈ R ， y ∈ R ，则 x = y = 0 ”为真命题， 其逆否命题为真命题，故③正确；对于④中， f (-x ) =e - x - e x -x= e x - e - x =x (x ) ，且函数的定义域是(-∞, 0) (0, +∞) ，定义域关于原点对称，e x - e - x所以函数 f x =是偶函数，故④正确. x综上，真命题的个数是2 .故选：B.3.（2020·广西兴宁）以下四个命题：①若 p ∧ q 为假命题，则 p ，q 均为假命题；②对于命题 p : ∃x ∈R, x 2+ x +1 < 0, 则⌝p 为： ∀x ∉ R, x 2 + x +1 0; ；③ a = 2 是函数 f (x ) = log a x 在区间(0, +¥ )上为增函数的充分不必要条件；④ f ( x ) = sin (ωx +ϕ) 为偶函数的充要条件是ϕ= π2其中真命题的个数是（ ）fx x【答案】A【解析】对①，若 p ∧ q 为假命题，则 p , q 中至少一个为假命题，故①错误；对②，命题 p : ∃x ∈R, x 2+ x +1 < 0 的否定为⌝p : ∀x ∈ R, x 2 + x +1 0 ，故②错误；对③，当 a = 2 时，函数 f (x ) = log a x 在区间(0, +¥ )上为增函数；当函数 f (x ) = log a x 在区间(0, +¥)上为增函数时， a > 1，即 a = 2 是函数 f (x ) = log a x 在区间(0, +¥ )上为增函数的充分不必要条件，故③正确；对④，当ϕ=3π时， f (x ) = sin⎛ 3π+ωx ⎫= -cos ωx ， f (-x ) = -cos(-ωx ) = -cos ωx = f (x ) ，此时 22 ⎪ ⎝ ⎭函数 f ( x ) = sin (ωx +ϕ) 也是偶函数，故④错误；故选：A4.（2020·安徽省六安中学） 已知命题 p ： ∃x ∈ R ，x - 2 > 0 ；命题q ： ∀x ≥ 0 ， < x ，则下列说法中正确的是A ．p ∨ q 是假命题 B ．p ∧ q 是真命题C ． p ∧ (⌝q ) 是真命题D ． p ∨ (⌝q ) 是假命题【答案】C【解析】命题 p ， ∃x 0 = 3, x 0 - 2 > 0 ，即命题 p 为真，对命题 q ，去x = 1 , = 1 > x = 1，所以命题 q 为假， ⌝p 为真 424所以 p ∧ (⌝q ) 是真命题故选：C.5.（2020·安徽相山高三）下列有关命题的说法正确的是( )A．命题“若x2 = 1 ，则x = 1 ”的否命题为：“若x2 = 1 ，则x ≠ 1”．B.若p ∨q 为真命题，则p, q 均为真命题.C.命题“存在x ∈R ，使得x2 +x +1 < 0 ” 的否定是：“对任意x ∈R ，均有x2 +x +1< 0 ”．D.命题“若x =y ，则sin x = sin y ”的逆否命题为真命题．【答案】D【解析】对于A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，因此不正确；对于B．若p∨q 为真命题，则p 与q 至少有一个为真命题，因此不正确；对于C．“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对任意x∈R，均有x2+x+1≥0”，因此不正确对于D．由于命题“若x=y，则sinx=siny”为真命题，因此其逆否命题为真命题，正确．故选D．6.（2020·安徽金安）下列结论正确的个数为（）①设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α.“ m//β”是“α//β”的必要而不充分条件；②已知命题p : ∀x > 0 ，总有(x+1)e x>1，则⌝p : ∃x ≤ 0 ，使得(x+1)e x0 ≤1；0 0③已知函数y = tan(ωx +ϕ) ⎛ω> 0,|ϕ|<π⎫的最小正周期为π，其图象过点(0, 3) ，则其对称中心为2 ⎪2⎝⎭⎛kπ-π⎫4 6 , 0 ⎪(k ∈Z ) ；⎝⎭④已知随机变量ξ~ N(1,δ2 )，若P(ξ< 3) = 0.6 ，则P(-1 <ξ< 1) = 0.1A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】对于①，根据面面平行的判定知，由“ m//β”不能推出“α//β”，根据面面平行的性质知由“α//β”可得到“ m//β”，所以“ m//β”是“α//β”的必要而不充分条件，故①正确；对于②，由全称命题的否定是特称命题得：命题p : ∀x > 0 ，总有(x +1)e x > 1 ，则⌝p : ∃x0 >0 ，使得(x+1)e x0 ≤1，故②不正确；对于③：因为函数y = tan(ωx +ϕ) ⎛ω> 0,|ϕ|<π⎫的最小正周期为π，所以ω= 2 ，2 ⎪2⎝⎭又其图象过点(0, 3) ，所以tanϕ= 3 ，所以ϕ=π，所以y = tan(2x +π，) 3 3令2x +π=kπ(k ∈Z ) ，得x =kπ-π, k ∈Z ，所以其对称中心为⎛kπ-π0 ⎫(k ∈Z )，故③正确；3 24 6 4 6, ⎪⎝⎭对于④，因为随机变量ξ~ N(1,δ2 )，所以P(ξ<1)=0.5，又P(ξ< 3) = 0.6 ，所以P(1 <ξ< 3) = 0.6 - 0.5 = 0.1 ，所以P(-1 <ξ< 1) =P(1 <ξ< 3) = 0.1 ，故④正确；综上可知：正确的命题有①③④，故选：C.2 a 2 2 2【答案】A【解析】令 f (x ) = e x + x ，则易知 f (x ) = e x + x 在 R 上单调递增，所以当 x < 0 时， f (x ) = e x + x < 1 < 2 ，即e x < 2 - x ；因此命题 p : ∃x ∈ R , 2 - x > e x为真命题； 由 a > 0 得 a 2 +1 > 1；所以，当 a > 1时， log a (a + 1) > 0 ；当0 < a < 1时， log a (a + 1) < 0 ；因此，命题 q : ∀a ∈ R + ，且a ≠ 1, log (a 2+1) > 0 为假命题； 所以命题 p ∧ ⌝q 是真命题.故选 A8.（2020·全国高三）对于实数 a ，b ，m ，下列说法：①若 a > b ，则am 2 > bm 2 ；②若 a > b ，则 a | a |> b | b | ； ③若b > a > 0, m > 0 ，则a + m > a ；④若a >b > 0 ，且| ln a |=| ln b | ，则 2a + b 的最小值为 ．其 b + m b 中是真命题的为（）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④【答案】B【解析】对于①，当 m = 0 时， am 2 = bm 2 = 0 ，所以①是假命题．对于②，当 a > 0 时， a | a |> b | b | 成立；当 a < 0 时， a a > b b 等价于- a 2 > - b 2 ，即a 2 < b 2 ，因为b < a < 0 ，所以a 2 < b 2 ，所以 a | a |> b | b | 成立；当 a = 0 时， b < 0 ，所以a a > b b 成立．所以②是真命题．2 2 对于③，因为b > a > 0, m > 0 ，所以a + m - a = (a + m )b - (b + m )a = (b - a )m > 0 ，所以 a + m > a ， b + m b (b + m )b (b + m )b b + m b所以③是真命题．对于④，因为 a > b > 0 ，且| ln a |=| ln b | ，所以 a > 1 > b > 0 ，且ln a = - ln b ，所以 ab = 1 ，因为2a + b = 2a + 1 ≥ 2 ，当且仅当 2a = 1 ，即 a = 2 时成立， 2 < 1，不合题意，所以 2a + b 的最小 a a 2 2值不是2 ，又由⎛ 2a + 1 ⎫' = 2 - 1 ，因为 a > 1，所以⎛ 2a + 1 ⎫' = 2 - 1 > 0 ， a ⎪ a 2 a ⎪ a 2⎝ ⎭ ⎝ ⎭所以 y = 2a + 1 是 a 的增函数， 2a + 1在 a > 1时没有最小值．所以④是假命题． a a故选：B.9.（2020·厦门市湖滨中学）给出下列四个命题：①若样本数据 x 1 , x 2 , x 10 的方差为16 ，则数据 2x 1 -1, 2x 2 -1, 2x 10 -1 的方差为64 ；②“平面向量 a , b 的夹角为锐角，则 a ⋅b > 0 ”的逆命题为真命题；③命题“ ∀x ∈(-∞, 0) ，均有e x > x +1 ”的否定是“ ∃x ∈(-∞, 0) ，均有e x ≤ x + 1”；④ a = -1是直线 x - ay + 1 = 0 与直线 x + a 2 y - 1 = 0 平行的必要不充分条件． 其中正确的命题个数是（） A ．1 B ． 2 C ． 3 D ． 4【答案】B【解析】①若样本数据 x 1 , x 2 , x 10 的方差为16 ，则数据 2x 1 -1, 2x 2 -1, 2x 10 -1 的方差为 22 ⨯16 = 64 ，a 2 a a故①正确；②命题的逆命题为：“若 ⋅ b > 0 ，则平面向量, b 的夹角为锐角”，为假命题， 当向量夹角为 0 度时，满足⋅ b > 0 ，故②错误；③命题“ ∀x ∈(-∞, 0)，均有e x > x +1 ”的否定是“ ∃x ∈(-∞, 0) ，均有e x ≤ x +1 ”，故③正确；④当 a = 0 时，直线方程分别化为： x + 1 = 0, x -1 = 0 ，此时两直线平行，当a ≠ 0 时，若两直线平行，则 1 = - 1 , 1 ≠ 1 ，解得 a = -1，a a 2 a a 2综上 a = -1是直线 x - ay + 1 = 0 与直线 x + a 2 y -1 = 0 平行的充分不必要条件，故④错误.故选 B.10.【多选题】（2020·山东临沂）下列命题正确的是（ ）A ．若随机变量 X ~B (100, p ) ，且 E ( X ) = 20 ，则 D ⎛ 1 X +1⎫ = 5 2 ⎪ ⎝ ⎭B. 已知函数 f( x ) 是定义在 R 上的偶函数，且在[0, +∞) 上单调递减 f (1) = 0 ，则不等式 f (log 2x ) > 0 的 ⎛ 1 ⎫解集为 , 2 ⎪ ⎝ ⎭C. 已知 x ∈ R ，则“ x > 0 ”是“ x -1 < 1 ”的充分不必要条件D. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为 y ˆ = 0.3x - m ，若样本中心点为(m , -2.8) ，则 m = 4【答案】BD【解析】对 A ， E ( X ) = 20 ，∴ 100 p = 20 ⇒ p = 1 ，∴ D ( X ) = 100 ⋅ 1 ⋅ 4= 16 ， 5 5 5故选：BD.对 D ， 样本中心点为(m , -2.8) ，∴ 0.3⋅ m - m = -2.8 ⇒ m = 4 ，故 D 正确；对 C ， x -1 < 1 ⇔ 0 < x < 2 ，∴“ x > 0 ”推不出“ 0 < x < 2 ”，而“ 0 < x < 2 ”可以推出“ x > 0 ”， ∴“ x > 0 ”是“ x -1 < 1 ”的必要不充分条件，故 C 错误；2x < 1 ⇔ 1 < x < 2 ，故 B 正确； 2 2 ∴ log x < 1 ⇔ -1 < log 对 B ， 函数 f (x ) 是定义在R 上的偶函数，∴ f (| x |) = f (x ) ， f (log 2 x ) > 0 ⇔ f (| log 2 x |) > f (1) ， ，故 A 错误； 4⎭ ⎪ ⎝ ⎫ 1 2 ⎛ 1 D X +1 = D ( X ) = 4。
