2013年普通高考数学科一轮复习精品学案 第33讲 圆锥曲线方程及性质

圆锥曲线复习【复习指导】1、掌握椭圆、双曲线和抛物线的定义、标准方程及几何性质；2、圆锥曲线的应用。

【重点难点】重点：椭圆、双曲线和抛物线的定义、标准方程及几何性质难点：圆锥曲线的应用【教学过程】一、知识梳理1、焦点在x轴上的椭圆、双曲线、抛物线的定义、图像和性质：同样，类比得到焦点在y轴的椭圆、双曲线、抛物线的图像和性质。

xyF 1F 2O1M小试牛刀：（1）已知椭圆1162522=+y x 上一点P 到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离（ ）A 2B 3C 5D 7（2）已知双曲线19-2522=y x 上一点P 到椭圆的一个焦点的距离为12，则点P 到另一个焦点的距离（ ）A 2B 22C 2或22D 4或22（3）如果方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是 （ ）A.（0，+∞）B.(0,2)C.(1,+∞)D.(0,1)（4）方程12--422=+t y t x 所表示的曲线为C ，有下列命题： ①若曲线C 为椭圆，则4t 2<<；②若曲线C 为双曲线，则2t 4t <>或； ③曲线C 不可能为圆；④若曲线C 为焦点在y 轴的双曲线，则4t >。

以上命题正确的是 。

（5）抛物线的焦点是双曲线369-422=y x 的左顶点，则抛物线的标准方程为 。

二、典例示范类型一 圆锥曲线的定义及其应用例一 求与圆1)3(22=+-y x 及9)3(22=++y x 都外切的动圆圆心M 的轨迹方程.变式训练： 点B(-4,0),C(4,0)且△ABC 的周长是18,则△ABC 的顶点A 的轨迹方程。

类型二 圆锥曲线的标准方程与几何性质例二 （1）求焦点为（0,6）且与双曲线1-222 y x 有相同渐近线的双曲线方程；思考：若将焦点为（0,6）该为焦距为12，求标准方程。

（2）已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点P （m,-3）到焦点的距离等于5，求m的值，并写出抛物线方程、准线方程及焦点坐标。

2012高中数学精讲精练第九章圆锥曲线【方法点拨】解析几何是高中数学的重要内容之一，也是衔接初等数学和高等数学的纽带。

而圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。

研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和曲线两大特征。

它的方程形式具有代数的特性，而它的图像具有典型的几何特性，因此，它是代数与几何的完美结合。

高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包括三类：椭圆、双曲线和抛物线。

圆锥曲线问题的基本特点是解题思路比较简单清晰，解题方法的规律性比较强，但是运算过程往往比较复杂，对学生运算能力，恒等变形能力，数形结合能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高。

1. 一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质.2.着力抓好运算关，提高运算与变形的能力，解析几何问题一般涉及的变量多，计算量大，解决问题的思路分析出来以后，往往因为运算不过关导致半途而废，因此要寻求合理的运算方案，探究简化运算的基本途径与方法，并在克服困难的过程中，增强解决复杂问题的信心，提高运算能力.3.突出主体内容，要紧紧围绕解析几何的两大任务来学习：一是根据已知条件求曲线方程，其中待定系数法是重要方法，二是通过方程研究圆锥曲线的性质，往往通过数形结合来体现，应引起重视.4.重视对数学思想如方程思想、函数思想、数形结合思想的归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程第1课椭圆A【考点导读】1. 掌握椭圆的第一定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程,掌握椭圆简单的几何性质;2. 了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法；能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题. 【基础练习】1．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是 2.椭圆1422=+y x 的离心率为233.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是221164x y += 4. 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，则k 的值为544k k ==-或 【范例导析】 例1.（1）求经过点35(,)22-，且229445x y +=与椭圆有共同焦点的椭圆方程。

2013年普通高考数学科一轮复习精品学案第35讲曲线方程及圆锥曲线的综合问题一．课标要求：1．由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决，要加强等价转化思想的训练；2．通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想；3．了解圆锥曲线的简单应用。

二．命题走向近年来圆锥曲线在高考中比较稳定，解答题往往以中档题或以押轴题形式出现，主要考察学生逻辑推理能力、运算能力，考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。

但圆锥曲线在新课标中化归到选学内容，要求有所降低，估计2007年高考对本讲的考察，仍将以以下三类题型为主。

1．求曲线（或轨迹）的方程，对于这类问题，高考常常不给出图形或不给出坐标系，以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力；2．与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题，这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确的构造不等式或方程，体现了解析几何与其他数学知识的联系。

预测2013年高考：1．出现1道复合其它知识的圆锥曲线综合题；2．可能出现1道考查求轨迹的选择题或填空题，也可能出现在解答题中间的小问。

三．要点精讲1．曲线方程（1）求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下：这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀”：建设现(限)代化”（2）求曲线方程的常见方法：直接法：也叫“五步法”，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。

这是求曲线方程的基本方法。

转移代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。

即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。

几何法：就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。

参数法：根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标x,y 联系起来，得到用参数表示的方程。

如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程。

2．圆锥曲线综合问题（1）圆锥曲线中的最值问题、范围问题通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题。

第33讲 极点与极线知识与方法极点极线是射影几何中的重要内容，在中学教材中并未提及，但纵观历年高考的解析几何大题，可以发现诸多试题都有极点极线的背景，所以了解极点极线，可以让我们站在更高处来看待问题．这一小节我们先介绍极点极线的几何定义、代数定义和一些常用的性质，再辅以若干典型的高考真题的极点极线观点，来加深大家的理解.1．极点极线的几何定义：以椭圆为例，如图1所示，设P 为椭圆外一点，过P 作椭圆的两条割线分别与椭圆相交于A 、B 和C 、D 四点，AC 与BD 交于点M ，AD 与BC 交于点N ，则称点P 为直线MN 关于椭圆的极点，直线MN 为点P 关于椭圆的极线.另一方面，图1也可以这么来看，从椭圆外的点N 作椭圆的两条割线分别交椭圆于A 、D 和B 、C 四点，AC 与BD 交于点M ，AB 与CD 交于点P ，所以点N 和直线PM 也是一对极点极线，事实上，点M 和直线PN 也是一对极点极线，因此在PMN 中，以其中一个顶点作为极点，那么该顶点的对边所在的直线就是对应的极线，从而我们将PMN 称为“自极三角形”，为了加以区分，图中画成了虚线．这个图形有两种特殊情况：（1）如图2所示，当四边形ABCD 有一组对边平行时，如AD BC ∥，此时我们看成AD 和BC 的交点N 在无穷远处，那么以M 为极点，对应的极线是图2中的2PN ，其中2PN BC ∥；以P 为极点，那么极线是1MN ，其中1MN BC ∥；（2）如图3所示，当其中一条割线变成切线时，此时D 、M 、N 几个点就都与切点C 重合，从而点C 和切线PC 是一对极点极线.2．极点极线的代数定义：在平面直角坐标系xOy 中，设有圆锥曲线C （圆、椭圆、双曲线、抛物线均可）和不与C 的对称中心重合的点()00,P x y ，在圆锥曲线C 的方程中，用0x x 替换2x ，0y y 替换2y ，02x x +替换x ，02y y+替换y ，得到的方程即为以P 作为极点的极线l 的方程.例如，设椭圆C 的方程为2212x y +=，极点为()2,4P ，则与P 对应的极线为2412x y +=，即410x y +−=；又如，设抛物线C 的方程为22y x =，极点为()2,4P ，则与P 对应的极线为2422xy +=⋅，即420x y −+=.可以看到，极点与极线是一个成对的概念，且若给定极点，求极线的规则是统一的，与圆锥曲线的类型无关，与极点P 的位置无关，下面以椭圆为例，说明极点P 在不同位置时，极线l 的情形：（1）当点P 在椭圆C 上时，极线l 为椭圆C 在P 处的切线，如图4所示；（2）当点P 在椭圆C 外部时，极线l 为点P 对椭圆C 的切点弦所在直线，如图5所示；（3）当点P 在椭圆C 内部时，过点P 任作椭圆C 的一条割线交C 于A 、B 两点，椭圆C 在A 、B 两点处的切线交于点Q ，则当割线AB 绕着点P 旋转时，点Q 的轨迹就是极线l ，如图6所示.3．极点极线的常用性质：（下面以椭圆为例）（1）如图7所示，O 为椭圆中心，点P 在椭圆内，延长OP 交椭圆于点Q ，交椭圆与点P 对应的极线l 于点M ，则OP 、OQ 、OM 成等比数列；当P 恰好为弦AB 的中点时，直线AB 的方程为2200002222x x y y x y a b a b+=+，且极线l 和椭圆在点Q 处的切线均与AB 平行.（2）调和分割性：如图8所示，设极点P 的极线是直线l ，过P 作椭圆的一条割线交椭圆于A 、B 两点，交极线l 于点Q ，则P 、A 、Q 、B 成调和点列，即PA QA PBQB=（或写成211PQ PA PB=+） （3）配极原理：若点P 关于椭圆的极线过点Q ，则点Q 关于椭圆的极线也过点P .由此出发，我们可以得出共线点的极线必然共点，共点极线的极点必然共线，如图9所示，极点1P 、2P 、3P 的极线分别为1l 、2l 、3l ，则1P 、2P 、3P 共线⇔1l 、2l 、3l 共点.提醒：极点极线的分析方法只能让我们在看到问题时能够迅速“窥得天机”，不能作为正式的作答，我们在学习时，仍然应该以基本方法为主，技巧偏方为辅，不能本末倒置.典型例题【例1】（2021·新高考Ⅱ卷·多选）已知直线2:0l ax by r +−=与圆222:C x y r +=，点(),A a b 则下列说法正确的是（ ）A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切【解析】解法1：A项，若点A在圆C上，则222a b r+=，圆心C到直线l的距离d r=，所以直线l与圆C相切，故A项正确；B项，若点A在圆C内，则222a b r+<，圆心C到直线l的距离2d r==>，所以直线l与圆C相离，故B项正确；C项，若点A在圆C外，则222a b r+>，圆心C到直线l的距离2d r==<，所以直线l与圆C相交，故C项错误；D项，若点A在直线l上，则2220a b r+−=，即222a b r+=，圆心C到直线l的距离d r==，所以直线l与圆C相切，故D项正确.解法2：显然对于圆C，以(),A a b作为极点，那么极线就是2:0l ax by r+−=A项，若极点A在圆C上，则极线l是圆C的切线，故A项正确；B项，若极点A在圆C内，则极线l与圆C相离，故B项正确；C项，若极点A在圆C外，则极线l是圆C的切点弦，应与圆C相交，故C项错误；D项，若极点A在直线l上，这是极线恰好为切线，极点为切点的情形，故D项正确.【答案】ABD【例2】（2011·四川）椭圆有两个顶点()1,0A−，()1,0B，过其焦点()0,1F的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P，直线AC与BD交于点Q.（1）当CD=时，求直线l的方程；（2）当P点异于A、B两点时，证明：OP OQ⋅为定值.【解析】（1）由题意，椭圆的短半轴长1b=，半焦距1c=，所以长半轴长a =，故椭圆的方程为2212y x +=，当2CD =时，易得直线l 与x 轴垂直，故可设l 的方程为1y kx =+()0,1k k ≠≠±， 设()11,C x y ，()22,D x y ，联立22112y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得：()222210k x kx ++−=， 判别式()2810k ∆=+>，由韦达定理，1221222212k x x k x x k ⎧+=−⎪⎪+⎨⎪=−⎪+⎩①②，所以12CD x x =−==k =所以直线l 的方程为1y =+.（2）极点极线看问题：设(),0P m ，以P 为极点，则对应的极线为1mx =，即1x m=， 显然点Q 在极线上，所以1Q x m =，不难发现101Q OP OQ m y m⋅=⋅+⋅=. 注意：上面的过程不能作为正式的作答，卷面上可以按下面两个解法来写.解法1：直线AC 的斜率为111AC y k x =+，其方程为()1111yy x x =++③，直线BD 的斜率为221BD y k x =−，其方程为()2211yy x x =−−④，用式③除以式④整理得：()()21121111y x x x y x ++=−−，即()()21121111Q Q x y x x y x ++=−−， 而()()()()()()212112211212121211111111y x kx x kx x kx x y x kx x kx x kx x ++++++==−+−−+−，所以122112121111Q Q x kx x kx x x kx x kx x ++++=−−+−，由①知12222kx x k =−−+， 故()()()()()()222222222222122111122212121111222Q Q k k k kkx x k x x k k k k k k k k x k k x x k x k k k −−−+−−++−+−+++===−+−+⎛⎫−−−−+−++ ⎪+++⎝⎭，解得：Q x k =−，易得1,0P k ⎛⎫− ⎪⎝⎭，故()11P Q OP OQ x x k k ⋅==−⋅−=，即OP OQ ⋅为定值1.解法2：直线AC 的斜率为111AC y k x =+，其方程为()1111yy x x =++③，直线BD 的斜率为221BD y k x =−，其方程为()2211yy x x =−−④，用式③除以式④整理得：()()21121111y x x x y x ++=−−，即()()21121111Q Q x y x x y x ++=−−⑤ 所以()()()()()()()()()()()()222222121211212222212121212122111111111111211Q Q x x x y x x x x x x x x x x x x x x y x x x −+⎛⎫+++++++==== ⎪ ⎪−−−−++−−−⎝⎭ 22222121122121122kk k k k k k k −−+−⎛⎫++= ⎪+⎝⎭−++++， 因为1x ，()21,1x ∈−，所以12101x x +<−，结合⑤可得11Q Q x x +−与21y y 异号， 又()()()()()222212121212222221122211112222k k k k k y y kx kx k x x k x x k k k k +−−=++=+++=−−+==++++()2221121k k k k +−=−⋅++， 所以12y y 与11k k −+异号，即21y y 与11k k −+异号，从而11Q Q x x +−与11k k −+同号，所以1111Q Q x k x k +−=−+，解得：Q x k =−，易得1,0P k ⎛⎫− ⎪⎝⎭，故()11P Q OP OQ x x k k ⋅==−⋅−=，即OP OQ ⋅为定值1.【例3】（2020·新课标Ⅰ卷）已知A 、B 分别为椭圆()222:11x E y a a+=>的左、右顶点，G为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线6x =上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D . （1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【解析】（1）由题意，(),0A a −，(),0B a ，()0,1G ，故(),1AG a =，(),1GB a =−， 所以218AG GB a ⋅=−=，解得：3a =或3−（舍去），故E 的方程为2219x y +=.（2）极点极线看问题：如图1，设AB 和CD 交于点Q ，AD 和CB 交于点M ，则PQM 为自极三角形，所以点Q 和直线PM 是一对极点极线，设(),0Q m ，则极线PM 的方程为19mx=，即9x m =，又点P 在直线6x =上，所以96m =，从而32m =，故3,02Q ⎛⎫⎪⎝⎭，这样就得到了直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭.注意：上面的过程不能作为正式的作答，卷面上可以按下面两个解法来写. 解法1：由（1）知()3,0A −，()3,0B ，设()6,P t ，()11,C x y ，()22,D x y ，当0t ≠时，直线PA 的方程为93x y t =−，代入2219x y +=消去x 化简得：22815490y y t t ⎛⎫+−= ⎪⎝⎭， 解得：0y =或269t t +，所以269C ty t =+，故22927339C C t x y t t −=−=+，从而2222736,99t t C t t ⎛⎫− ⎪++⎝⎭，直线PB 的方程为33x y t =+，代入2219x y +=消去x 化简得：2291890y y t t ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得：0y =或221t t −+，所以221D t y t =−+，从而2233331D D t x y t t −=+=+，故222332,11t t D t t ⎛⎫−− ⎪++⎝⎭，设3,02T ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()2222796,929t t TC t t ⎛⎫− ⎪= ⎪++⎝⎭，()222392,121t t TD t t ⎛⎫− ⎪=− ⎪++⎝⎭，即()22319t TC TD t +=−+，故TC TD ∥，所以T 、C 、D 三点共线，从而直线CD 过定点3,02T ⎛⎫⎪⎝⎭，当0t =时，易得C 、D 分别与B 、A 重合，所以直线CD 即为x 轴，显然直线CD 也过点T ，综上所述，直线CD 过定点3,02T ⎛⎫⎪⎝⎭解法2：由（1）知()3,0A −，()3,0B ，设()11,C x y ，()22,D x y ，()06,P y当00y ≠时，由图2可知点C 不与点B 重合，因为221119x y +=，所以()2211199y x =−，故CA 、CB 的斜率之积为2111211113399CA CB y y y k k x x x ⋅=⋅==−+−−① 又PA 的斜率09PA CA y k k ==，PB 的斜率03PB BD y k k ==，所以13CA BD k k =， 代入式①化简得：BC 、BD 的斜率之积13BC BD k k ⋅=−，显然CD 不与y 轴垂直，否则AC 与BD 的交点在y 轴上，故可直线CD 的方程为x my t =+，联立2219x ty x my ⎧⎪⎨+==+⎪⎩消去x 整理得：()2229290m y mty t +++−=， 判别式()()222244990m t m t ∆=−+−>，所以2290m t +−>， 由韦达定理，12229mt y y m +=−+，212299t y y m −=+，所以()121221829t x x m y y t m +=++=+，()22221212122999t m x x m y y mt y y t m −=+++=+，()1212121212133393BC BD y y y y k k x x x x x x ⋅=⋅==−−−−++，故()121212339y y x x x x −=−++，即22222299918339999t t m t m m m −−−⋅=−⋅++++，整理得：22990t t −+=，解得：32t =或3，若3t =，则C 、D 中有一个点与B 重合，不合题意，所以32t =，满足0∆>，即直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭，当00y =时，易得C 、D 分别与B 、A 重合，所以直线CD 即为x 轴，也过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，综上所述，直线CD 过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭【例4】（2018·新课标Ⅰ卷）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A 、B 两点，点M 的坐标为()2,0.（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.【解析】（1）由题意，()1,0F ，当l 与x 轴垂直时，其方程为1x =， 由22112x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：y =，即点A的坐标为1,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 当点A的坐标为2⎛ ⎝⎭时，直线AM的方程为2y x =， 当点A的坐标为1,⎛ ⎝⎭时，直线AM的方程为y =−. （2）极点极线看问题：如图，设A '、B '分别为A 、B 关于x 轴的对称点， 则显然四边形AA BB ''构成等腰梯形，其对角线的交点为F ，以()1,0F 为极点， 则对应的极线为1012xy ⋅+⋅=，即2x =，而BA '和B A '的交点应该在极线上， 从而()2,0M 就是BA '和B A '的交点， 由图形的对称性不难发现OMA OMB ∠=∠. 且这一结论还可以推广，若F 不是焦点， 而是椭圆内x 轴正半轴上的一个一般的点， 比如可设为(),0t ，那么它的极线为012txy +⋅=，即2x t =，所以点2,0M t ⎛⎫⎪⎝⎭必定也能使OMA OMB ∠=∠注意：上面的过程不能作为正式的作答，卷面上可以按下面的解法来写. 解：当l y ⊥轴时，易得0OMA OMB ∠=∠=︒当l 不与y 轴垂直时，可设其方程为1x my =+，设()11,A x y ，()22,B x y ， 联立22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得：()222210m y my ++−=，易得判别式0∆>， 由韦达定理，12222m y y m +=−+，12212y y m =−+， ()()()()()()()122112211212121212222222222AM BM y x y x x y x y y y y yk k x x x x x x −+−+−++=+==−−−−−− 而()1221122x y x y y y +−+()()()()12211212121122my y my y y y my y y y =+++−+=−+ 22122022m m m m ⎛⎫⎛⎫=⋅−−−= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以0AM BM k k +=，从而OMA OMB ∠=∠， 综上所述，OMA OMB ∠=∠.【例5】（2008·安徽）设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点)M，且左焦点为()1F .（1）求椭圆C 的方程；（2）当过点()4,1P 的动直线l 与椭圆C 相交于两个不同的点A 、B 时，在线段AB上取点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅，求证：点Q 在某定直线上.【解析】（1）由题意，22222211a b ab ⎧−=⎪⎨+=⎪⎩，解得：24a =，22b =，所以椭圆C 的方程为22142x y +=. （2）极点极线看问题：因为AP QB AQ PB ⋅=⋅，所以AP AQ PBQB=，故P 、A 、Q 、B 是一组调和点列，从而点Q 必定在点P 的极线上，因为点P 的坐标为()4,1，所以它的极线为41142x y⋅+=，化简得：220x y +−=，从而点O 在定直线220x y +−=上. 注意：上面的过程不能作为正式的作答，卷面上可以按下面的定比点差法来写. 解：设(),Q x y ，()11,A x y ，()22,B x y 因为AP QB AQ PB ⋅=⋅，所以AP AQ PBQB=，设AP AQ PBQBλ==()0,1λλ>≠，则PA PB λ=，AQ QB λ=，而()114,1PA x y =−−，()224,1PB x y =−−，()11,AQ x x y y =−−，()22,QB x x y y =−−所以()()12124411x x y y λλ⎧−=−⎪⎨−=−⎪⎩，且()()1212x x x x y y y y λλ⎧−=−⎪⎨−=−⎪⎩，从而12124111x x y y λλλλ−⎧=⎪⎪−⎨−⎪=⎪−⎩①②，且121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩③④，①×③得：22212241x x x λλ−=−，②×④得：2221221y y y λλ−=−，所以22222212122224211x x y y x yλλλλ−−+⋅=+−−，即()222221122222421x y x y x y λλ+−+=+−⑤ 又A 、B 在椭圆C 上，所以22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 从而221122222424x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，代入⑤的：2244421x y λλ−=+−， 化简得：220x y +−=，即点Q 始终在直线220x y +−=上.强化训练1.（★★★）对于抛物线2:2C y x =，设点()00,P x y 满足2002y x <，则直线00:l y y x x =+与抛物线C （ ） A.恰有1个交点B.恰有2个交点C.没有交点D.有1个或2个交点【解析】显然直线l 是点P 对应的极线，因为2002y x <，所以点P 在抛物线内部，从而直线l 与抛物线C 没有交点. 【答案】C2.（★★★）已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过点()2,2A 的直线与椭圆C 在x 轴上方相切于点B ，则直线BF 的方程为______.【解析】由题意，()1,0F ，以F 为极点，则极线为12x=，即2x =，所以点A 在极线上，根据配极原理，以A 为极点的极线过点F ，所以该极线就是BF ，其方程为2212xy +=，即21x y +=【答案】21x y +=3.（★★★）过点()2,1P 的直线l 与椭圆2214x y +=相交于点A 和B ，且AP PB λ=，点Q 满足AQ QB λ=−，若O 为原点，则OQ 的最小值为________.【解析】由题意，PA QA PBQAλ==所以点Q 是对应极点P 的极线与直线l 的交点，如图，易求得极线l 的方程为214xy +=，即220x y +−=，所以点Q在该极线上，从而min 5OQ ==.【答案】54.（★★★★）设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 、B ，上顶点为D ，点P 是椭圆C 上异于顶点的动点，已知椭圆C的离心率e =，短轴长为2. （1）求椭圆C 的方程； （2）如下图所示，直线AD 与直线BP 交于点M ，直线DP 与x 轴交于点N ，证明：直线MN 过定点，并求出该定点.【解析】（1）由题意，22b =，所以1b =，椭圆C的离心率e =，所以2a =，故椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）极点极线看问题：如图，连接AP 、BD 交于点Q ，显然点Q 的极线是直线MN ， 当P 在椭圆上运动的过程中，点Q 会在直线BD 上运动，根据共线极点的极线必然共点不难发现直线MN 是过定点的直线，易求得直线BD 的方程为22x y +=，所以可设()22,Q t t −，那么极线MN 的方程为()2214t xty −+=，整理得：()220x t x y −−−=，所以直线MN 过的定点是()2,1．下面给出规范的作答过程.解：由（1）可得()0,1D ，()2,0B ，()2,0A −，可设直线BP 的方程为2x my =+()0,2m m ≠≠±， 联立22214x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得：()22440m y my ++=，解得：0y =或244m m −+，所以244p m y m =−+，从而228224p p m x my m −=+=+，故222824,44m m P m m ⎛⎫−− ⎪++⎝⎭，从而直线DP 的斜率为()222224144248282224DP mm m m m k m m m m −−−−−++===−−−+故直线DP 的方程为()2122m y x m +=+−，联立()02122y m y x m =⎧⎪+⎨=+⎪−⎩解得：()222m x m −=+，所以()22,02m N m −⎛⎫ ⎪+⎝⎭， 直线AD 的方程为121x y +=−，即220x y −+=，联立2202x y x my −+=⎧⎨=+⎩，解得：24242m x m y m +⎧=−⎪⎪−⎨⎪=−⎪−⎩，所以点M 的坐标为244,22m m m +⎛⎫−− ⎪−−⎝⎭，设()2,1G ， 则42,22mm GM m m +⎛⎫=−− ⎪−−⎝⎭，4,12m GN m ⎛⎫=−− ⎪+⎝⎭， 从而22m GM GN m +=−，故G 、M 、N 三点共线， 即直线MN 过定点()2,1G .【反思】求解这道题时，可以先在草稿纸上用极点极线的知识去找到定点()2,1G ，那么在严格求解时，心中就有答案了，可以通过证明GM 与GN 共线，从而得出直线MN 过定点G . 5.（★★★★）如下图所示，椭圆22:143x y E +=的左、右顶点分别为A 、B ，左焦点为F ，过F 的直线与椭圆E 交于不与A 、B 重合的C 、D 两点，记直线AC 和BD 的斜率分别1k ，2k ，证明：12k k 为定值.【解析】极点极线看问题：由题意，()1,0F −，椭圆E 的极点F 对应的极线为10143x y−⋅⋅+=，即4x =−，如图，AC 与BD 的交点P 应在极线上，所以可设()04,P y −，显然()2,0A −，()2,0B ，所以直线AC 的斜率012PA y k k ==−，直线BD 的斜率026PB yk k ==−， 从而123k k =.下面给出严格求解过程. 解：由题意，()1,0F −，直线CD 不与y 轴垂直，可设其方程为1x my =−，设()11,C x y ，()22,D x y ，联立221431x y x my =+=−⎧⎪⎨⎪⎩消去x 整理得：()2234690m y my +−−=， 易得判别式0∆>， 由韦达定理，122634m y y m +=+，122934y y m =−+， 所以()121232my y y y =−+ 显然()2,0A −，()2,0B ，所以直线AC 的斜率1112y k x =+， 直线BD 的斜率2222y k x =−， 从而()()()()()()121121212112121212122122123933233222333121222y y y y y y x y my k my y y k x y my y my y y y y y y y −+−−−−−−======+++−++−−.6.（★★★★）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的上、下顶点分别为A 和B ，左焦点为F ， 原点O 到直线FA的距离为2. （1）求椭圆C 的离心率； （2）设2b =，直线4:l y kx =+与椭圆C 交于不同的两点M 、N ，证明：直线BM 与直线AN 的交点G 在定直线上.【解析】（1）由题意，原点O 到直线FA的距离OA OF bc d AFa ⋅===， 所以椭圆C的离心率2c e a ==. （2）极点极线看问题：由题意，直线l 与y 轴交于定点()0,4P ，显然点G 在点P 对应的极线上，当2b =时，易求得椭圆C 的方程为22184x y +=，从而该极线的方程为04184x y ⋅+=，即1y =，所以点G 在定直线1y =上．下面给出严格求解过程.解：由题意，()0,2A ，()0,2B −，设()11,M x y ，()22,N x y ， 联立224184y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得：()221216240k x kx +++=，判别式()()2216412240k k ∆=−+⨯>所以2k <或2k >，由韦达定理，12212216122412k x x k x x k ⎧+=−⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩①②直线BM 的方程为1122y y x x ++=，直线AN 的方程为2222y y x x −−=，联立11222222y y x x y y xx +⎧+=⎪⎪⎨−⎪−=⎪⎩消去x 可得：()()12212222y x y y y x ++=−−，从而()()()()1212122212112126262222G G y x kx x y kx x x y y x kx x kx x x ++++===−−++③， 接下来给出以下两种计算非对称结构12212162kx x x kx x x ++的方法：法1：由①②知()121232kx x x x =−+， 代入式③得：()()122121221211211233966222331322222x x x x x kx x x kx x x x x x x x −++−++===−+−++−， 从而232G G y y +=−，解得：1G y =，所以点G 在定直线1y =上. 法2：由①知1221612kx x k =−−+代入式③得：22221221212222224246661212382416222121212k kx x kx x x k k k k k kx x x x x k k k +++++===−+⎛⎫−−+−− ⎪+++⎝⎭从而232G G y y +=−−，解得：1G y =，所以点G 在定直线1y =上.。

第八章圆锥曲线的方程●网络体系总览圆锥曲线椭圆定义双曲线定义抛物线定义标准方程标准方程标准方程几何性质几何性质几何性质作图作图作图第二定义第二定义直线与圆锥曲线的位置关系统一定义●考点目标定位1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程.2.掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.3.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.4.能够根据具体条件利用各种不同的工具画椭圆、双曲线、抛物线的图形，了解它们在实际问题中的初步应用.5.结合所学内容，进一步加强对运动变化和对立统一等观点的认识.●复习方略指南本章主要内容有椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程，简单几何性质.它们作为研究曲线和方程的典型问题，成了解析几何的主要内容，在日常生活、生产实践和科学技术上有着广泛的应用.因此在高考中，圆锥曲线成为命题的热点之一.分析近几年高考试题，有下面几个显著特点：1.注重双基保持稳定圆锥曲线在题型、题量、难度等方面风格独特，每年的试卷中客观题2至3道，主观题1道，分值占全卷的15%左右，“难、中、易”层次分明，既有基础题，又有能力题.2.全面考查重点突出试题中，圆锥曲线的内容几乎全部涉及，考查的知识点约占圆锥曲线总知识点的四分之三，通过知识的重新组合，考查学生系统掌握课程知识的内在联系，重点仍在直线与圆锥曲线的位置关系上.3.考查能力探究创新试题具有一定的综合性，重点考查学生画图、数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理、合理运算以及综合运用知识的能力.在今后的高考中，圆锥曲线仍将考查圆锥曲线的概念和性质、求曲线方程、直线和圆锥曲线的位置关系、解析几何中的定值最值问题.其中直线和圆锥曲线的位置关系仍是命题的热点，解析几何中的定值及最值问题也会有所加强.圆锥曲线内容的“应用性问题”和“探索性问题”将会出现在今后的高考中.学好本章的关键在于正确理解和掌握由曲线求方程和由方程讨论曲线的性质这两个问题.为此建议在学习中做到：1.搞清概念（对概念定义应“咬文嚼字”）；2.熟悉曲线（会“速写”出符合题目数量特征要求的曲线）；3.熟练运用代数、三角、几何、向量的知识；4.处理问题时要在“大处着眼”（即在整体上把握问题的综合信息和处理问题的数学思想）“小处着手”（即在细节上能熟练运用各种数学知识和方法）.8.1椭圆定义 1.到两个定点F 1、F 2的距离之和等于定长（＞|F 1F 2|）的点的轨迹 2.到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数e （∈（0，1））的点的轨迹方程1.22a x +22b y =1（a ＞b ＞0），c =22b a -，焦点是F 1（－c ，0），F 2（c ，0） 2.22a y +22bx =1（a ＞b ＞0），c =22b a -，焦点是F 1（0，－c ），F 2（0，c ） x =a cos θ， y =b sin θ性质E ：22a x +22by =1（a ＞b ＞0）1.范围：|x |≤a ，|y |≤b2.对称性：关于x ，y 轴均对称，关于原点中心对称3.顶点：长轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0）；短轴端点B 1（0，－b ），B 2（0，b ）4.离心率：e =a c∈（0，1） 5.准线：l 1：x =－c a 2，l 2：x =ca 26.焦半径：P （x ，y ）∈E r 1=|PF 1|=a +ex ，r 2=|PF 2|=a －ex对于焦点在y 轴上的椭圆22a y +22b x =1（a ＞b ＞0），其性质如何？焦半径公式怎样推导？●点击双基1.（2003年北京宣武区模拟题）已知F 1、F 2是椭圆162x +92y =1的两个焦点，过F 1的直线与椭圆交于M 、N 两点，则△MNF 2的周长为A.8B.16C.25D.32解析：利用椭圆的定义易知B 正确. 答案：B 2.（2004年湖北，6）已知椭圆162x +92y =1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为3.参数A.59B.3C.779 D.49 解析：由余弦定理判断∠P <90°，只能∠PF 1F 2或∠PF 2F 1为直角.由a =4，b =3得c =7，∴|y P |=49. 答案：D x =4+5cos ϕ， y =3sin ϕA.（0，0），（0，－8）B.（0，0），（－8，0）C.（0，0），（0，8）D.（0，0），（8，0）解析：消参数ϕ得椭圆25)4(2-x +92y =1，∴c =4.易得焦点（0，0），（8，0）.答案：D4.如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是____________. 解析：椭圆方程化为22x +ky 22=1.焦点在y 轴上，则k2>2，即k <1.又k >0，∴0<k <1.答案：0＜k ＜15.点P 在椭圆252x +92y =1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标是____________.解析：利用第二定义.答案：1225●典例剖析【例1】已知F 1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.剖析：求椭圆的离心率，即求ac，只需求a 、c 的值或a 、c 用同一个量表示.本题没有具体数值，因此只需把a 、c 用同一量表示，由PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB 易得b =c ，a =2b .解：设椭圆方程为22a x +22b y =1（a ＞b ＞0），F 1（－c ，0），c 2=a 2－b 2，则P （－c ，b 221ac -），即P （－c ，a b 2）.∵AB ∥PO ，∴k AB =k OP ，即－a b =acb 2-.∴b =c .3.（2003年春季北京）（ϕ为参数）的焦点坐又∵a =22c b +=2b ， ∴e =a c =bb 2=22. 评述：由题意准确画出图形，利用椭圆方程及直线平行与垂直的性质是解决本题的关键.【例2】如下图，设E ：22a x +22b y =1（a ＞b ＞0）的焦点为F 1与F 2，且P ∈E ，∠F 1PF 2=2θ.求证：△PF 1F 2的面积S =b 2t an θ.剖析：有些圆锥曲线问题用定义去解决比较方便.如本题，设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，则S =21r 1r 2sin2θ.若能消去r 1r 2，问题即获解决.证明：设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，则S =21r 1r 2sin2θ，又|F 1F 2|=2c ， 由余弦定理有（2c ）2=r 12+r 22－2r 1r 2cos2θ=（r 1+r 2）2－2r 1r 2－2r 1r 2cos2θ=（2a ）2－2r 1r 2（1+cos2θ），于是2r 1r 2（1+cos2θ）=4a 2－4c 2=4b 2.所以r 1r 2=θ2cos 122+b .这样即有S =21·θ2cos 122+b sin2θ=b 2θθθ2cos 2cos sin 2=b 2t an θ.评述：解与△PF 1F 2（P 为椭圆上的点）有关的问题，常用正弦定理或余弦定理，并结合|PF 1|+|PF 2|=2a 来解决.特别提示 我们设想点P 在E 上由A 向B 运动，由于△PF 1F 2的底边F 1F 2为定长，而高逐渐变大，故此时S 逐渐变大.所以当P 运动到点B 时S 取得最大值.由于b 2为常数，所以t an θ逐渐变大.因2θ为三角形内角，故2θ∈（0，π），θ∈（0，2π）.这样，θ也逐渐变大，当P 运动到B 时，∠F 1PF 2取得最大值.故本题可引申为求最值问题，读者不妨一试.【例3】若椭圆ax 2+by 2=1与直线x +y =1交于A 、B 两点，M 为AB 的中点，直线OM （O 为原点）的斜率为22，且OA ⊥OB ，求椭圆的方程. 剖析：欲求椭圆方程，需求a 、b ，为此需要得到关于a 、b 的两个方程，由OM 的斜率为22.OA ⊥OB ，易得a 、b 的两个方程.解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （221x x +，221y y +）. x +y =1，ax 2+by 2=1，∴221x x +=b a b +，221y y +=1－221x x +=b a a +.∴M （b a b +，b a a +）.∵k OM =22，∴b =2a . ①∵OA ⊥OB ，∴11x y ·22x y=－1.∴x 1x 2+y 1y 2=0. ∵x 1x 2=ba b +-1，y 1y 2=（1－x 1）（1－x 2）， ∴y 1y 2=1－（x 1+x 2）+x 1x 2=1－b a b +2+b a b +-1=ba a +-1.∴b a b +-1+b a a +-1=0.∴a +b =2. ② 由①②得a =2（2－1），b =22（2－1）. ∴所求方程为2（2－1）x 2+22（2－1）y 2=1.评述：直线与椭圆相交的问题，通常采取设而不求，即设出A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），但不是真的求出x 1、y 1、x 2、y 2，而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题.由OA ⊥OB 得x 1x 2+y 1y 2=0是解决本题的关键.●闯关训练 夯实基础1.（2004年全国Ⅰ，7）椭圆42x +y 2=1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|2PF |等于A.23B.3C.27D.4解法一：（如下图）设椭圆的右焦点为F 1，左焦点为F 2，过F 1垂直于x 轴的直线与椭圆在第一象限的交点为P .∵42x+y 2=1，∴a =2，b =1，c =3. ∴F 1（3，0）.设P （3，y P ）代入42x +y 2=1，得y P =21，由 ∴（a +b ）x 2－2bx +b －1=0.∴P （3，21），|PF 1|=21. 又∵|PF 2|+|PF 1|=2a =4，∴|PF 2|=4－|PF 1|=4－21=27.解法二：椭圆的左准线方程为x =－c a 2=－334.∵|)334(3|||2--PF =e =23，∴|PF 2|=27.解法三：由解法一得P （3，21）， 又F 2（－3，0），∴|PF 2|=22)021()]3(3[-+--=27.答案：C评述：解法一和解法三为基本解法.解法二使用第二定义甚为巧妙.2.（2003年昆明市模拟题）设F 1、F 2为椭圆的两个焦点，以F 2为圆心作圆F 2，已知圆F 2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M 点，若直线MF 1恰与圆F 2相切，则该椭圆的离心率e 为A.3－1B.2－3C.22D.23 解析：易知圆F 2的半径为c ，（2a －c ）2+c 2=4c 2，（a c ）2+2（a c ）－2=0，ac=3－1.答案：A3.（2005年春季北京，10）椭圆252x +92y =1的离心率是____________，准线方程是____________.解析：由椭圆方程可得a =5，b =3，c =4，e =54，准线方程为x =±452=±425.答案：54x =±4254.已知P 是椭圆22a x ＋22b y ＝1（a ＞b ＞0）上任意一点，P 与两焦点连线互相垂直，且P 到两准线距离分别为6、12，则椭圆方程为____________.解析：利用椭圆的两个定义结合勾股定理来求．答案：452x ＋202y ＝15.椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，求这个椭圆方程.解：由题设条件可知a =2c ，b =3c ，又a －c =3，解得a 2=12，b 2=9.∴所求椭圆的方程是122x +92y =1或92x +122y =1.6.直线l 过点M （1，1），与椭圆42x +32y =1相交于A 、B 两点，若AB 的中点为M ，试求直线l 的方程.解：设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则421x +321y =1，①422x +322y =1. ②①－②，得4))((2121x x x x +-+3))((2121y y y y +-=0.∴2121x x y y --=－43·2121y y x x ++.又∵M 为AB 中点，∴x 1+x 2=2，y 1+y 2=2.∴直线l 的斜率为－43.∴直线l 的方程为y －1=－43（x －1），即3x +4y －7=0.培养能力7.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆相交于点P 和点Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆方程. 解：设椭圆方程为mx 2+ny 2=1（m >0，n >0），设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），解方程组y =x +1， mx 2+ny 2=1.y ，整理得（m +n ）x 2+2nx +n －1=0.Δ=4n 2－4（m +n ）（n －1）>0，即m +n －mn >0，OP ⊥OQ ⇒x 1x 2+y 1y 2=0， 即x 1x 2+（x 1+1）（x 2+1）=0，2x 1x 2+（x 1+x 2）+1=0， ∴n m n +-)1(2－n m n -2+1=0.∴m +n =2.①由弦长公式得2·2)()(4n m mn n m +-+=（210）2，将m +n =2代入，得m ·n =43.② m =21，m =23， n =23n =21. ∴椭圆方程为22x +23y 2=1或23x 2+22y =1.解①或8.（2003年南京市模拟题）设x 、y ∈R ，i 、j 为直角坐标平面内x 、y 轴正方向上的单位向量，若向量a =x i +（y +2）j ，b =x i +（y －2）j ，且|a |+|b |=8.（1）求点M （x ，y ）的轨迹C 的方程.（2）过点（0，3）作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP =OA +OB ，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，试说明理由.（1）解法一：∵a =x i +（y +2）j ，b =x i +（y －2）j ，且|a |+|b |=8，∴点M （x ，y ）到两个定点F 1（0，－2），F 2（0，2）的距离之和为8.∴轨迹C 为以F 1、F 2为焦点的椭圆，方程为122x +162y =1.解法二：由题知，22)2(++y x +22)2(-+y x =8， 移项，得22)2(++y x =8－22)2(-+y x ，两边平方，得x 2+（y +2）2=x 2+（y －2）2－1622)2(-+y x +64， 整理，得222)2(-+y x =8－y ，两边平方，得4［x 2+（y －2）2］=（8－y ）2， 展开，整理得122x +162y =1.（2）∵l 过y 轴上的点（0，3），若直线l 是y 轴，则A 、B 两点是椭圆的顶点.∵OP =OA +OB =0，∴P 与O 重合，与四边形OAPB 是矩形矛盾.∴直线l 的斜率存在.设l 方程为y =kx +3，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， y =kx +3，122x+162y =1， （－21）＞0恒成立，且x 1+x 2=－23418k k +，x 1x 2=－23421k +. ∵OP =OA +OB ，∴四边形OAPB 是平行四边形.若存在直线l ，使得四边形OAPB 是矩形，则OA ⊥OB ，即OA ·OB =0.∵OA =（x 1，y 1），OB =（x 2，y 2）， ∴OA ·OB =x 1x 2+y 1y 2=0， 即（1+k 2）x 1x 2+3k （x 1+x 2）+9=0， 即（1+k 2）·（－23421k +）+3k ·（－23418kk +）+9=0，即k 2=165，得k =±45. 由 消y 得（4+3k 2）x 2+18kx －21=0.此时，Δ=（18k 2）－42∴存在直线l ：y =±45x +3，使得四边形OAPB 是矩形. 探究创新9.已知常数a ＞0，在矩形ABCD 中，AB =4，BC =4a ，O 为AB 的中点，点E 、F 、G分别在BC 、CD 、DA 上移动，且BC BE =CD CF =DADG，P 为GE 与OF 的交点（如下图）.问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.分析：根据题设条件首先求出P 点坐标满足的方程，据此可判断是否存在两点，使得点P 到两定点距离的和为定值.解：按题意，有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）. 设BC BE =CD CF =DADG =k （0≤k ≤1）， 由此有E （2，4ak ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）. 直线OF 的方程为2ax +（2k －1）y =0. ① 直线GE 的方程为－a （2k －1）x +y －2a =0. ② 由①②消去参数k ，得点P （x ，y ）满足方程2a 2x 2+y 2－2ay =0.整理得212x +22)(aa y -=1. 当a 2=21时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.当a 2≠21时，点P 的轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长.当a 2＜21时，点P 到椭圆两个焦点（－221a -，a ），（221a -，a ）的距离之和为定值2.当a 2＞21时，点P 到椭圆两个焦点（0，a －212-a ），（0，a +212-a ）的距离之和为定值2a .评注：本题主要考查根据已知条件求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程关系等解析几何的基本思想和综合解题能力.在解题过程中蕴涵着方程思想、分类讨论思想和构造法.●思悟小结1.椭圆的定义是解决问题的出发点，尤其是第二定义，如果运用恰当可收到事半功倍之效（如关于求焦半径的问题）.2.要明确参数a 、b 、c 、e 的相互关系、几何意义及与一些概念的联系.灵活运用它们之间的关系可使问题顺利解决.3.椭圆参数的几何意义，如下图所示：（1）|PF 1|+|PF 2|=2a ，||||11PM PF =||||22PM PF =e ； （2）|A 1F 1|=|A 2F 2|=a －c ，|A 1F 2|=|A 2F 1|=a +c ； （3）|BF 2|=|BF 1|=a ，|OF 1|=|OF 2|=c ； （4）|F 1K 1|=|F 2K 2|=p =cb 2，|PM 2|+|PM 1|=ca 22.●教师下载中心 教学点睛本节的重点是椭圆的定义、方程、几何性质.难点是理解参数a 、b 、c 、e 的关系，及利用第二定义解决问题，关键是注意数形结合，函数与方程的思想，等价转化的运用.为此建议在教学中注意以下几点：（1）椭圆中有一个十分重要的三角形OF 1B 2（如下图），它的三边长分别为a 、b 、c .易见c 2=a 2－b 2，且若记∠OF 1B 2=θ，则cos θ=ac=e .（2）应理解椭圆是平面内到两个定点距离之和等于定长的点的轨迹，本质上，它与坐标系无关，而坐标系是研究的手段.实际上，人们研究圆锥曲线的记录早于笛卡儿发明坐标系，从而椭圆本身所固有的性质并不依赖于坐标系，这些性质不因坐标系的选择而改变.例如上述的△OF 1B 2、公式cos θ=e 等，均不因坐标系的改变而改变.（3）椭圆的定义中应注意常数大于|F 1F 2|.因为当平面内的动点与定点F 1、F 2的距离之和等于|F 1F 2|时，其动点轨迹就是线段F 1F 2；当平面内的动点与定点F 1、F 2的距离之和小于|F 1F 2|时，其轨迹不存在.（4）椭圆标准方程中两个参数a 和b 确定了椭圆的形状和大小.两种标准方程中，总有a ＞b ＞0；椭圆的焦点位置决定标准方程的类型；a 、b 、c 的关系是c 2=a 2－b 2；在方程Ax 2+By 2=C 中，只要A 、B 、C 同号，就是椭圆方程.（5）当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离，焦点弦长相关时，常利用椭圆的第二定义，转化为点到准线的距离来研究，即正确应用焦半径公式.（6）使用椭圆的第二定义时，一定要注意动点P 到焦点的距离与对应准线距离之比为常数e .若使用的焦点与准线不是对应的，则上述之比就不再是常数了.拓展题例【例1】（2003年太原市模拟题）如下图，已知△OFQ 的面积为S ，且OF ·FQ =1.（1）若21＜S ＜2，求向量OF 与FQ 的夹角θ的取值范围； （2）设|OF |=c （c ≥2），S =43c ，若以O 为中心，F 为一个焦点的椭圆经过点Q ，当|OQ |取最小值时，求椭圆的方程.解：（1）由已知，得（π－θ）=S ， θ=1.∴t an θ=2S .∵21＜S ＜2，∴1＜t an θ＜4. 则4π＜θ＜arc t an4. （2）以O 为原点，OF 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.设椭圆方程为22a x +22by =1（a ＞b ＞0），Q （x ，y ）. OF =（c ，0），则FQ =（x －c ，y ）.∵21|OF |·y =43c ，∴y =23. 又∵OF ·FQ =c （x －c ）=1，∴x =c +c 1. 则|OQ |=22y x +=49)1(2++c c （c ≥2）. 可以证明：当c ≥2时，函数t =c +c1为增函数， ∴当c =2时， |OQ |min =49)212(2++=234，此时Q （25，23）.将Q 的坐标代入椭圆方程，2425a +249b =1，a 2=10， a 2－b 2=4.b 2=6.∴椭圆方程为102x +62y =1. 【例2】（2002年春季全国）已知某椭圆的焦点是F 1（－4，0）、F 2（4，0），过点F 2，并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且｜F 1B ｜＋｜F 2B ｜＝10．椭圆上不同的两点A （x 1，y 1）、C （x 2，y 2）满足条件：｜F 2A ｜、｜F 2B ｜、｜F 2C ｜成等差数列.（1）求该椭圆的方程；（2）求弦AC 中点的横坐标；（3）设弦AC 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，求m 的取值范围.（1）解：由椭圆定义及条件知2a ＝｜F 1B ｜＋｜F 2B ｜＝10，得a ＝5.又c ＝4，所以b ＝22c a -＝3．故椭圆方程为252x ＋92y ＝1． （2）解：由点B （4，y B ）在椭圆上，得｜F 2B ｜＝｜y B ｜＝59． 方法一：因为椭圆右准线方程为x ＝425，离心率为54． 根据椭圆定义，有｜F 2A ｜＝54（425－x 1），｜F 2C ｜＝54（425－x 2）． 由｜F 2A ｜、｜F 2B ｜、｜F 2C ｜成等差数列，得54（425－x 1）＋54（425－x 2）＝2×59． 由此得出x 1＋x 2＝8．设弦AC 的中点为P （x 0，y 0），则x 0＝221x x +＝28＝4． 方法二：由｜F 2A ｜、｜F 2B ｜、｜F 2C ｜成等差数列，得2121)4(y x +-＋2222)4(y x +-＝2×59， ① 由A （x 1，y 1）在椭圆252x ＋92y ＝1上，得y 12＝259（25－x 12）， 得解所以2121)4(y x +-=)25(25916821121x x x -++- ＝21)545(x -＝51（25－4x 1）. ② 同理可得2222)4(y x +-＝51（25－4x 2）． ③ 将②③代入①式，得51（25－4x 1）＋51（25－4x 2）＝518． 所以x 1＋x 2＝8．设弦AC 的中点为P （x 0，y 0），则x 0＝221x x +＝28＝4． （3）解法一：由A （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在椭圆上，得 9x 12＋25y 12＝9×25， ④ 9x 22＋25y 22＝9×25． ⑤ 由④－⑤得9（x 12－x 22）＋25（y 12－y 22）＝0， 即9（221x x +）＋25（221y y +）（2121x x y y --）＝0（x 1≠x 2）. 将221x x +＝x 0=4，221y y +＝y 0，2121x x y y --＝－k 1（k ≠0）代入上式，得 9×4＋25y 0（－k 1）＝0（k ≠0）． 由上式得k ＝3625y 0（当k ＝0时也成立）. 由点P （4，y 0）在弦AC 的垂直平分线上，得y 0＝4k ＋m ，所以m ＝y 0－4k ＝y 0－925y 0＝－916y 0． 由P （4，y 0）在线段BB ′（B ′与B 关于x 轴对称）的内部，得－59＜y 0＜59. 所以－516＜m ＜516． 评述：在推导过程中，未写明“x 1≠x 2”“k ≠0”“k ＝0时也成立”及把结论写为“－516≤m ≤516”也可以. 解法二：因为弦AC 的中点为P （4，y 0），所以直线AC 的方程为y －y 0＝－k1（x －4）（k ≠0）. ⑥ 将⑥代入椭圆方程252x +92y ＝1，得 （9k 2＋25）x 2－50（ky 0＋4）x ＋25（ky 0＋4）2－25×9k 2＝0．所以x 1＋x 2＝259)4(5020++k ky ＝8． 解得k ＝3625y 0（当k ＝0时也成立）. 以下步骤同解法一.。

____第33课__三角函数在实际问题中的应用____1. 会利用三角函数的概念和性质以及解三角形等知识解决有关三角函数的实际问题．2. 能灵活利用代数、几何知识建立三角函数模型，综合利用三角函数、不等式等知识解决实际问题1. 阅读：必修5第18～20页；必修4第41～44 页，第116～117 页，第122页．2. 解悟：①正余弦定理的内容是什么？三角形的面积公式是什么？②实际应用中常用的术语，如仰角、俯角、方位角、坡度、方向角，你清楚含义吗？3. 践习：在教材空白处，完成必修 4 第116 页例5、第122页例5；完成必修 5第18～19页例2、例4，第20页练习第4题，第21页习题第6、7、8题.基础诊断1. 海面上有A ，B ，C 三个灯塔，AB ＝10 n mile ，从A 望C 和B 成60°视角，从B 望C 和A 成75°视角，则BC ＝n mile .解析：由题意得在△ABC 中，AB ＝10，A ＝60°，B ＝75°，所以C ＝45°.由正弦定理可得BC sin A ＝AB sin C ，即BC ＝AB sin C·sin A ＝5 6. 2. 如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C ，D ，测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝120°，CD ＝10m ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB ＝__30__m .解析：在△BCD 中，由正弦定理得BC sin ∠BDC ＝CD sin ∠CBD，即BC ＝10sin 30°·sin 120°＝10 3.在Rt △ABC 中，AB ＝BC·tan ∠ACB ＝103×3＝30，故AB ＝30m .3. 如图，一艘船上午9：30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°的方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°的方向，且与它相距82n mile ，则此船的航速是__32__n mile /h .解析：由题可知，∠S ＝75°－30°＝45°，由正弦定理可得BS sin 30°＝AB sin S，即AB ＝16.又因为此船航行了0.5h ，所以此船的航速为16÷0.5＝32(nmile /h ).4. 如图所示，为了测量某湖泊两侧A ，B 间的距离，李宁同学首先选定了与A ，B 不共线的一点C ，然后给出了三种测量方案(△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c)：①测量A ，C ，b ；②测量a ，b ，C ；③测量A ，B ，a.则一定能确定A ，B 间距离的所有方案为①②③．(填序号)解析：对于①③可以利用正弦定理确定唯一的A ，B 两点间的距离；对于②直接利用余弦定理即可确定A ，B 两点间的距离．范例导航考向❶ 距离、高度问题例1 如图，点M 在A 城的南偏西19°的方向上，现有一辆汽车在点B 处沿公路向A 城直线行驶，公路的走向是A 城的南偏东41°.开始时，汽车B 到M 的距离为9km ，汽车前进6km 到达点C 时，到M 的距离缩短了4km .(1) 求△BCM 的面积S ；(2) 汽车还要行驶多远才能到达A 城.解析：(1) 在△BCM 中，BM ＝9，MC ＝5，BC ＝6.由余弦定理得cos ∠BCM ＝BC 2＋MC 2－MB 22×BC ×MC＝－13， 则sin ∠BCM ＝223，所以S ＝12MC·BC·sin ∠MCB ＝12×5×6×223＝102(km 2)． (2) 由条件得∠MAC ＝π3. 由(1)得cos ∠BCM ＝－13，sin ∠BCM ＝223则 cos ∠ACM ＝cos (π－∠BCM)＝－cos ∠BCM ＝13，sin ∠ACM ＝223， 所以sin ∠AMC ＝sin ⎝⎛⎭⎫π－∠ACM －π3 ＝sin (2π3－∠ACM) ＝32cos ∠ACM ＋12sin ∠ACM ＝3＋226. 在△AMC 中，由正弦定理得AC sin ∠AMC ＝MC sin ∠MAC ，则AC ＝MC·sin ∠AMC sin ∠MAC ＝15＋1069(km )． 故汽车还要行驶15＋1069km 才能到达A 城．如图，一栋建筑物AB 的高为(30－103) m ，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD ，在它们之间的点M(B ，M ，D 三点共线)处测得楼顶A ，塔顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角是30°，则通信塔CD 的高为__60__m .解析：在Rt △ABM 中，AM ＝AB sin 15°·sin 90°＝30－103sin 15°＝206，过点A 作AN ⊥CD ，垂足为点N ，在Rt △ACN 中，因为∠CAN ＝30°，所以∠ACN ＝60°.又在Rt △CMD 中，∠CMD ＝60°，所以∠MCD ＝30°，所以∠ACM ＝30°.在△AMC 中，∠AMC ＝105°，所以AC sin 105°＝AM sin ∠ACM ＝206sin 30°， 所以AC ＝60＋203，CN ＝30＋103，所以CD ＝DN ＋CN ＝AB ＋CN ＝30－103＋30＋103＝60(m ).【注】 本例训练将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，求距离或高度实际就是选定或确定要创建的三角形，选择正弦定理还是余弦定理解三角形的边长.考向❷ 角度问题例2 如图，两座建筑物AB ，CD 的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它的高度分别是9m 和15m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的视角∠CAD ＝45°.(1) 求BC 的长度；(2) 在线段BC 上取一点P(点P 与点B ，C 不重合)，从点P 看这两座建筑物的视角为∠APB ＝α，∠DPC ＝β，问当点P 在何处时，α＋β最小？解析：(1) 过点A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，则CE ＝9，DE ＝6，设BC ＝x ，则tan ∠CAD＝tan (∠CAE ＋∠DAE)＝tan ∠CAE ＋tan ∠DAE 1－tan ∠CAE·tan ∠DAE ＝9x ＋6x 1－9x ·6x＝1， 化简得x 2－15x －54＝0，解得x ＝18或x ＝－3(舍)．故BC 的长度为18m .(2) 设BP ＝t ，则CP ＝18－t(0<t<18)，tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝9t ＋1518－t 1－9t ·1518－t＝162＋6t －t 2＋18t －135＝6（27＋t ）－t 2＋18t －135. 设f(t)＝27＋t －t 2＋18t －135， 则f′(t)＝t 2＋54t －27×23（－t 2＋18t －135）2令f′(t)＝t 2＋54t －27×23（－t 2＋18t －135）2＝0. 因为0<t<18，所以t ＝156－27，当t ∈(0，156－27)时，f′(t)<0，f(t)是减函数；当t ∈(156－27，18)，f′(t)>0，f(t)是增函数，所以当t ＝156－27时f(t)取得最小值，即tan (α＋β)取得最小值．因为－t 2＋18t －135<0恒成立，所以f(t)<0，所以tan (α＋β)<0，α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，因为y ＝tan x 在(π2，π)上是增函数，所以当t ＝156－27时，α＋β取得最小值， 即当BP 为156－27 m 时，α＋β取得最小值．游客从某旅游景区的景点A 处至景点C 处有两条线路. 线路1是从A 沿直线步行到C ，线路2是先从A 沿直线步行到景点B 处，然后从B 沿直线步行到C. 现有甲、乙两位游客从A 处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的119倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C 处．经测量，AB ＝1 040m ，BC ＝500m ，求sin ∠BAC.解析：依题意设乙的速度为x m /s ，则甲的速度为119x m /s ， 因为AB ＝1 040m ，BC ＝500m ，所以AC x ＝1 040＋500119x ，解得AC ＝1 260m . 在△ABC 中由余弦定理可知cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB·AC ＝1 0402＋1 2602－50022×1 040×1 260＝1213， 所以sin ∠BAC ＝513. 【注】 本例训练将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．考向❸ 综合问题例3 某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN(P 为此圆弧的中点)和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米. 现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP ，要求A ，B 均在线段MN 上，C ，D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ.(1) 用θ分别表示矩形ABCD 和△CDP 的面积，并确定sin θ的取值范围；(2) 若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3.求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.解析：(1) 连结PO 并延长交MN 于点H ，则PH ⊥MN ，所以OH ＝10.过点O 作OE ⊥BC ，垂足为E ，则OE ∥MN ，所以∠COE ＝θ，故OE ＝40cos θ，EC ＝40sin θ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ(40sin θ＋10)＝800(4sin θcos θ＋cos θ)．△CDP 的面积为12×2×40cos θ(40－40sin θ)＝1 600(cos θ－sin θcos θ)． 过点N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于点G 和点K ，则GK ＝KN ＝10.令∠GOK ＝θ0，则sin θ0＝14，θ0∈(0，π6)． 当θ∈⎣⎡⎭⎫θ0，π2时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，所以sin θ的取值范围是⎣⎡⎭⎫14，1. 故矩形ABCD 的面积为800(4sin θcos θ＋cos θ)平方米，△CDP 的面积为1 600(cos θ－sin θcos θ)平方米，sin θ的取值范围是⎣⎡⎭⎫14，1.(2) 因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3.所以设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k(k>0)，则年总产值为4k ×800(4sin θcos θ＋cos θ)＋3k ×1 600(cos θ－sin θcos θ)＝8 000k(sin θcos θ＋cos θ)，θ∈⎣⎡⎭⎫θ0，π2. 设f(θ)＝sin θcos θ＋cos θ，θ∈⎣⎡⎭⎫θ0，π2， 则f′(θ)＝cos 2θ－sin 2θ－sin θ＝－(2sin 2θ＋sin θ－1)＝－(2sin θ－1)(sin θ＋1)．令f′(θ)＝0，得θ＝π6， 当θ∈⎝⎛⎭⎫θ0，π6时，f′(θ)>0，所以f(θ)为增函数；当θ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2时，f′(θ)<0，所以f(θ)为减函数，所以当θ＝π6时，f(θ)取到最大值． 故当θ＝π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【注】 本例重点训练三角函数及导数在应用题中综合应用. 自测反馈1. 已知A ，B 两地间的距离为10km ，B ，C 两地间的距离为20km ，现测得∠ACB ＝30°，则A ，C 两地间的距离为km .解析：由题意知AB ＝10km ，BC ＝20km ，∠ABC ＝30°，由正弦定理可得BC sin ∠CAB ＝AB sin ∠ACB，则sin ∠CAB ＝1.又因为∠CAB ∈(0，180°)，所以∠CAB ＝90°，故∠ABC ＝60°，则AC ＝103km .2. 某路边一树干被台风吹断后折成与地面成30°角，树干也倾斜成与地面成60°角，树干底部与树尖着地处相距10 m ，树干折断方向与路垂直. 有一辆宽为2 m ，高为3m 的紧急救援车(纵截面近似矩形)__能__从树下通过．(填“能”或“不能”)解析：如图所示，四边形EFGH 为矩形，点E ，H 在边AB 上，点F 在边AC 上，点G 在边BC 上，CD ⊥AB ，垂足为D.由题意知当EF ＝3时，若FG ≥2，则救援车能从树下通过．因为EF ＝3，所以AE ＝EF tan A ＝ 3.又因为GH ＝EF ＝3，所以BH ＝GH tan B＝33，所以FG ＝EH ＝10－3－33＝10－43>2，所以救援车能从树下通过．3. 海轮“和谐号”从A 处以每小时21海里的速度出发，海轮“奋斗号”在A 处北偏东45°的方向，且与A 相距10海里的C 处，沿北偏东105°的方向以每小时9海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为__23__小时． 解析：设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”在B 处相遇所需的最短时间为x 小时，由已知得在△ABC 中，AC ＝10，AB ＝21x ，BC ＝9x ，∠ACB ＝120°，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC·BC·cos ∠ACB ，即(21x)2＝102＋(9x)2－2·10·9x·⎝⎛⎭⎫－12，整理得36x 2－9x －10＝0，解得x ＝23或x ＝－512(舍)，所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为23小时．1. 理解题意中各类角的概念．2. 分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．3. 将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．4. 你还有哪些体悟，写下来：。

第2课时 抛物线的方程及性质的应用学 习 任 务核 心 素 养1.会解决与抛物线有关的轨迹问题和中点弦问题．(重点)2．能解决一些与抛物线有关的综合问题．(难点)通过解决与抛物线有关的综合问题，提升逻辑推理、数学运算等素养.一条斜率为k 的直线l 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ，类似的你还能得到其他结论吗？知识点 与抛物线有关的焦点弦的相关结论过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的一条直线与它交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 ①y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24； ②|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为直线AB 的倾斜角)；③1|AF |＋1|BF |＝2p； ④S △AOB ＝p 22sin α(α为直线AB 的倾斜角)；⑤以AB 为直径的圆必与准线l 相切．你能证明1|AF |＋1|BF |＝2p 这个结论吗？〖提示〗 (1)当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝p2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p 2，y 2＝2px ，得y 2＝p 2.∴y ＝±p . 从而|AF |＝|BF |＝p ； 所以1|AF |＋1|BF |＝2p.(2)当直线的斜率存在时，设直线的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋k 2p 24＝0，∴x 1＋x 2＝p (k 2＋2)k 2＝p ＋2p k 2，x 1x 2＝p 24，∴1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p ⎝⎛⎭⎫x 1＋p 2⎝⎛⎭⎫x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24 ＝p ＋2p k 2＋p p 24＋p 2⎝⎛⎭⎫p ＋2p k 2＋p 24＝2p ＋2pk 2p 2＋p 2k 2＝2p ， 即1|AF |＋1|BF |＝2p. 直线l 过抛物线x 2＝4y 的焦点F ，与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝6，则|BF |＝________.65 〖由1|AF |＋1|BF |＝2p 得16＋1|BF |＝1， 解得|BF |＝65.〗类型1 和抛物线有关的轨迹问题〖例1〗 设点P (x ，y )(y ≥0)为平面直角坐标系Oxy 内的一个动点(其中O 为坐标原点)，点P 到定点M ⎝⎛⎭⎫0，12的距离比点P 到x 轴的距离大12. (1)求点P 的轨迹方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋1与点P 的轨迹相交于A ，B 两点，且|AB |＝26，求实数k 的值． 〖解〗 (1)法一：(直接法)过点P 作x 轴的垂线且垂足为点N ，则|PN |＝y ，由题意知|PM |－|PN |＝12，∴x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝y ＋12，化简得x 2＝2y .故点P 的轨迹方程为x 2＝2y . 法二：(定义法)由题意知，点P 到定点M ⎝⎛⎭⎫0，12与直线y ＝－12的距离相等，则点P 的轨迹是以点M 为焦点，以直线y ＝－12为准线的抛物线，且p ＝1.∴点p 的轨迹方程为x 2＝2y .(2)由题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝2y ，消去y 化简得x 2－2kx －2＝0，∴x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－2. ∵|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·4k 2＋8＝26，∴k 4＋3k 2－4＝0，又k 2≥0，∴k 2＝1，∴k ＝±1.和抛物线有关的轨迹方程的求解方法(1)直接法：根据给定的条件，直接用两点间距离公式和点到直线的距离公式求解． (2)定义法：转化条件，把所求问题转化为到定点与定直线距离相等的点的轨迹问题，然后根据抛物线的定义求解．〖跟进训练〗1．若动圆M 与圆C ：(x －2)2＋y 2＝1外切，又与直线x ＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程．〖解〗 设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，由已知可得定圆圆心为C (2,0)，半径r ＝1. 因为两圆外切，所以|MC |＝R ＋1. 又动圆M 与已知直线x ＋1＝0相切， 所以圆心M 到直线x ＋1＝0的距离d ＝R . 所以|MC |＝d ＋1.即动点M 到定点C (2,0)的距离等于它到定直线x ＋2＝0的距离．由抛物线的定义可知，点M 的轨迹是以C 为焦点，x ＋2＝0为准线的抛物线，且p2＝2，p＝4，故其方程为y 2＝8x .类型2 与抛物线弦的中点有关的问题〖例2〗 (1)已知直线l 与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标为(8,8)，则线段AB 的中点到准线的距离是( )A ．254B ．252C ．258D ．25(2)过点Q (4,1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，恰被点Q 所平分，求AB 所在直线的方程．类比椭圆中弦的中点问题的解决方法，思考抛物线中弦的中点问题如何解决？(1)A 〖由题意知，抛物线的焦点坐标为(2,0)，直线l 过焦点F ，所以k l ＝8－08－2＝43，所以直线l 的方程为y ＝43(x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43(x －2)，y 2＝8x ， 得B 点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－2. 所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝2＋8＋2＋12＝252.所以AB 的中点到准线的距离为254，故选A ．〗(2)〖解〗 法一：(点差法)设以Q 为中点的弦AB 的端点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，∴(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)．又y 1＋y 2＝2，∴y 1－y 2＝4(x 1－x 2)， 即y 1－y 2x 1－x 2＝4，∴k AB ＝4.∴AB 所在直线的方程为y －1＝4(x －4)，即4x －y －15＝0.法二：(传统法)由题意知AB 所在直线斜率存在，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦AB 所在直线的方程为y ＝k (x －4)＋1.联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k (x －4)＋1，消去x ，得ky 2－8y －32k ＋8＝0，此方程的两根就是线段端点A ，B 两点的纵坐标．由根与系数的关系得y 1＋y 2＝8k .又y 1＋y 2＝2，∴k ＝4.∴AB 所在直线的方程为4x －y －15＝0.“中点弦”问题的解决方法〖跟进训练〗2．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)．直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若AB 的中点为(2,2)，则抛物线的方程为________，直线l 的方程为________．y 2＝4x x －y ＝0 〖由题意知抛物线的方程为y 2＝4x ， 设直线l 与抛物线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，且x 1≠x 2，两式相减得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，因为AB 的中点为(2,2)，所以y 1＋y 2＝4，所以y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1，所以直线l 的方程为y －2＝x －2，即x －y ＝0.〗类型3 与抛物线有关的综合问题〖例3〗 已知动圆经过定点D (1,0)，且与直线x ＝－1相切，设动圆圆心E 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程．(2)设过点P (1,2)的直线l 1，l 2分别与曲线C 交于A ，B 两点，直线l 1，l 2的斜率存在，且倾斜角互补．证明：直线AB 的斜率为定值．〖解〗 (1)∵动圆经过定点D (1,0)，且与直线x ＝－1相切，∴E 到点D (1,0)的距离等于E 到直线x ＝－1的距离，∴E 的轨迹是以D (1,0)为焦点，以直线x ＝－1为准线的抛物线． ∴曲线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明：设直线l 1的方程为y ＝k (x －1)＋2. ∵直线l 1，l 2的斜率存在，且倾斜角互补， ∴l 2的方程为y ＝－k (x －1)＋2.联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)＋2，y 2＝4x ，消元得k 2x 2－(2k 2－4k ＋4)x ＋(k －2)2＝0. 设A (x 1，y 1)，则x 1＝(k －2)2k 2＝k 2－4k ＋4k 2.同理，设B (x 2，y 2)，可得x 2＝k 2＋4k ＋4k 2，∴x 1＋x 2＝2k 2＋8k 2，x 1－x 2＝－8k k 2＝－8k .∴y 1－y 2＝〖k (x 1－1)＋2〗－〖－k (x 2－1)＋2〗 ＝k (x 1＋x 2)－2k ＝k ·2k 2＋8k －2k ＝8k .∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－1.∴直线AB 的斜率为定值－1.定值与定点问题的求解策略(1)欲证某个量为定值，先将该量用某变量表示，通过变形化简若能消掉此变量，即证得结论，所得结果即为定值．(2)寻求一条直线经过某个定点的常用方法：①通过方程判断；②对参数取几个特殊值探求定点，再证明此点在直线上；③利用曲线的性质(如对称性等)，令其中一个变量为定值，再求出另一个变量为定值；④转化为三点共线的斜率相等或向量平行等．〖跟进训练〗3．已知抛物线的方程是y 2＝4x ，直线l 交抛物线于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)若弦AB 的中点为(3,3)，求直线l 的方程； (2)若y 1y 2＝－12，求证：直线l 过定点．〖解〗 (1)因为抛物线的方程为y 2＝4x ，则有y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，因为弦AB 的中点为(3,3)，所以x 1≠x 2.两式相减得y 21－y 22＝4x 1－4x 2，所以y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝23，所以直线l 的方程为y －3＝23(x －3)，即y ＝23x ＋1.(2)证明：当l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝kx ＋b ，代入抛物线方程，整理，得ky 2－4y ＋4b ＝0，y 1y 2＝4bk＝－12，b ＝－3k ，l 的方程为y ＝kx －3k ＝k (x －3)，过定点(3,0)．当l 的斜率不存在时，y 1y 2＝－12，则x 1＝x 2＝3，l 过定点(3,0)．综上，l 过定点(3,0)．1．动点P (x ，y )到点F (3,0)的距离比它到直线x ＋2＝0的距离大1，则动点的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．双曲线的一支D ．抛物线D 〖依题意可知动点P (x ，y )在直线x ＋2＝0的右侧，设P 到直线x ＋2＝0的距离为d ，则|PF |＝d ＋1，所以动点P 到F (3,0)的距离与到x ＋3＝0的距离相等，其轨迹为抛物线．〗2．已知动圆M 经过点A (3,0)，且与直线l ：x ＝－3相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A ．y 2＝12x B ．y 2＝－12x C ．x 2＝12yD ．x 2＝12yA 〖设动点M (x ，y )，⊙M 与直线l ：x ＝－3的切点为N ， 则|MA |＝|MN |，即动点M 到定点A 和定直线l ：x ＝－3的距离相等， ∴点M 的轨迹是抛物线，且以A (3,0)为焦点， 以直线l ：x ＝－3为准线，∴p2＝3，∴p ＝6， 故动圆圆心M 的轨迹方程是y 2＝12x .〗3．设A ，B 是抛物线x 2＝4y 上两点，O 为原点，若|OA |＝|OB |，且△AOB 的面积为16，则∠AOB 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°D 〖由|OA |＝|OB |，知抛物线上点A ，B 关于y 轴对称，设A ⎝⎛⎭⎫－a ，a 24，B ⎝⎛⎭⎫a ，a 24，a >0.S △AOB ＝12×2a ×a 24＝16，解得a ＝4，∴△AOB 为等腰直角三角形，∠AOB ＝90°.〗 4．若直线x －y ＝2与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，则线段AB 的中点坐标是________．(4,2) 〖由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2，y 2＝4x得x 2－8x ＋4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝x 1＋x 2－4＝4， 故线段AB 的中点坐标为(4,2)．〗5．已知定点F (1,0)，动点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上，且PM →·PF →＝0，延长MP 到点N ，使得|PM →|＝|PN →|，则点N 的轨迹方程是 .y 2＝4x 〖由于|PM →|＝|PN →|，则P 为MN 的中点．设N (x ，y )，则M (－x ,0)，P ⎝⎛⎭⎫0，y 2，由PM →·PF →＝0，得⎝⎛⎭⎫－x ，－y 2·⎝⎛⎭⎫1，－y 2＝0，所以(－x )·1＋⎝⎛⎭⎫－y 2·⎝⎛⎭⎫－y 2＝0，则y 2＝4x ，即点N 的轨迹方程是y 2＝4x .〗回顾本节知识，自我完成以下问题： (1)解决和抛物线有关的问题，有哪些方法？ 〖提示〗 直接法、定义法．(2)解决和抛物线有关的中点弦问题有哪些方法？ 〖提示〗(3)如何解决定点定值问题？〖提示〗①欲证某个量为定值，先将该量用某变量表示，通过变形化简若能消掉此变量，即证得结论，所得结果即为定值．②寻求一条直线经过某个定点的常用方法：a.通过方程判断；b.对参数取几个特殊值探求定点，再证明此点在直线上；c.利用曲线的性质(如对称性等)，令其中一个变量为定值，再求出另一个变量为定值；d.转化为三点共线的斜率相等或向量平行等．。

第33讲 圆锥曲线方程及性质备注：【高三数学一轮复习必备精品共42讲 全部免费 欢迎下载】一．【课标要求】1．了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2．经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质；3．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质二．【命题走向】本讲内容是圆锥曲线的基础内容，也是高考重点考查的内容，在每年的高考试卷中一般有2～3道客观题，难度上易、中、难三档题都有，主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质，从近十年高考试题看主要考察圆锥曲线的概念和性质。

圆锥曲线在高考试题中占有稳定的较大的比例，且选择题、填空题和解答题都涉及到，客观题主要考察圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法对于本讲内容来讲，预测2010年：（1）1至2道考察圆锥曲线概念和性质客观题，主要是求值问题；（2）可能会考察圆锥曲线在实际问题里面的应用，结合三种形式的圆锥曲线的定义。

三．【要点精讲】1．椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数（大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。

若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MFa += 椭圆的标准方程为：22221x y ab +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或12222=+bx a y （0a b >>）（焦点在y 轴上）。

注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中222c a b =-； ②在22221x y a b +=和22221y x a b+=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，只要看2x 和2y 的分母的大小。

例如椭圆221x y m n+=（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆（2）椭圆的性质①范围：由标准方程22221x y a b+=知||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，y b=±所围成的矩形里；②对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。

圆锥曲线1、求轨迹方程的几个步骤：（建-设-列-化-证）a.建系（建立平面直角坐标系,多数情况此步省略）b.设点（求哪个点的轨迹，就设它（x,y））c.列式（根据条件列等量关系）d.化简（化到可以看出轨迹的种类）e.证明（改成：修正）（特别是①三角形、②斜率、③弦的中点问题）2、求动点轨迹方程的几种方法a.直接法：题目怎么说，列式怎么列。

b.定义法：先得到轨迹名称c.代入法（相关点法）:设所求点（x，y）另外点（）找出已知点和所求点的关系c.参数法：（x,y）中x,y都随另一个量变化而变化—消参e.待定系数法：先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程例题一：定义法求曲线轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过坐标互化将其转化为寻求变量之间的关系，在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时，要特别注意圆锥曲线的定义在求轨迹中的作用，只要动点满足已知曲线定义时，通过待定系数法就可以直接得出方程。

例1：已知的顶点A，B的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足求点C的轨迹。

【解析】由可知，即，满足椭圆的定义。

令椭圆方程为，则，则轨迹方程为（，图形为椭圆（不含左，右顶点）。

【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。

（1）圆：到定点的距离等于定长（2）椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）（3）双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）（4）到定点与定直线距离相等。

【变式1】:1:已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P 的轨迹方程。

解：设动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：，。

∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b2=12。

故所求轨迹方程为2:一动圆与圆O：外切，而与圆C：内切，那么动圆的圆心M的轨迹是：A：抛物线B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支【解答】令动圆半径为R，则有，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。

3.3.2 抛物线的简单几何性质第1课时抛物线的简单几何性质学习任务核心素养1.掌握抛物线的几何性质．(重点)2．掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点)3．能利用方程及数形结合思想解决焦点弦等问题．(难点)1.通过抛物线几何性质的应用，培养数学运算素养．2．通过直线与抛物线的位置关系、焦点弦等问题的学习，提升逻辑推理、直观想象及数学运算素养.已知抛物线C的方程为y2＝2x，根据这个方程完成下列任务：(1)观察方程中x与y是否有取值范围，由此指出抛物线C在平面直角坐标系中的位置特征；(2)指出抛物线C是否具有对称性；(3)指出抛物线C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标．知识点1抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) 图形性质焦点⎝⎛⎭⎫p2，0⎝⎛⎭⎫－p2，0⎝⎛⎭⎫0，p2⎝⎛⎭⎫0，－p2准线x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e＝11.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)抛物线关于顶点对称．()(2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．()(3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同． ( )〖答案〗 (1)× (2)√ (3)√ 知识点2 直线与抛物线的位置关系直线与抛物线有三种位置关系：相离、相切和相交．设直线y ＝kx ＋m 与抛物线y 2＝2px (p ＞0)相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，将y ＝kx ＋m 代入y 2＝2px ，消去y 并化简，得k 2x 2＋2(mk －p )x ＋m 2＝0.①k ＝0时，直线与抛物线只有一个交点；②k ≠0时，Δ＞0⇔直线与抛物线相交⇔有两个公共点． Δ＝0⇔直线与抛物线相切⇔只有一个公共点． Δ＜0⇔直线与抛物线相离⇔没有公共点．直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？〖提示〗 可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点．2.若直线y ＝kx ＋2与y 2＝x 只有一个公共点，则实数k 的值为________．0或18 〖由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝x消去x 得ky 2－y ＋2＝0，若k ＝0，直线与抛物线只有一个交点，则y ＝2，符合题意；若k ≠0，则Δ＝1－8k ＝0，所以k ＝18.综上，k ＝0或18.〗知识点3 直线与抛物线相交的弦长问题 (1)一般弦长设斜率为k 的直线l 与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2或|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|＝1＋1k2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2(k ≠0)． (2)焦点弦长已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，则称AB 为抛物线的焦点弦．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知，|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2，故|AB |＝x 1＋x 2＋p .3.过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝10，则弦AB 的长度为( )A ．16B ．14C ．12D ．10 C 〖抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，则|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝x 1＋x 2＋2＝12，故选C ．〗类型1 抛物线性质的应用〖例1〗 (1)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴且与圆x 2＋y 2＝4相交的公共弦长等于23，则抛物线的方程为________．(2)如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝4，求抛物线的方程．(1)y 2＝3x 或y 2＝－3x 〖根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±3，交点横坐标为±1，则抛物线过点(1，3)或(－1，3)，设抛物线方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)，则2p ＝3，从而抛物线方程为y 2＝3x 或y 2＝－3x .〗(2)〖解〗 如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则由已知得： |BC |＝2a ，由定义得：|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°， 在Rt △ACE 中，∵|AF |＝4，|AC |＝4＋3a ， ∴2|AE |＝|AC |，∴4＋3a ＝8，从而得a ＝43，∵BD ∥FG ，∴43p ＝23，p ＝2.因此抛物线的方程是y 2＝4x .抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件.其中应用最广泛的是范围、对称性、顶点坐标.在解题时，应先注意开口方向、焦点位置，选准标准方程形式，然后利用条件求解.要注意运用数形结合思想，根据抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相互转化.〖跟进训练〗1．(1)边长为1的等边三角形AOB ，O 为坐标原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点且过A ，B 的抛物线方程是( )A ．y 2＝36x B ．y 2＝－33x C ．y 2＝±36xD ．y 2＝±33x(2)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y(1)C (2)D 〖(1)设抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)． 又A ⎝⎛⎭⎫±32，12(取点A 在x 轴上方)，则有14＝±32a ，解得a ＝±36，所以抛物线方程为y 2＝±36x .故选C ．(2)由题意知，双曲线C 1的离心率为e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2＝2⇒b ＝3a . 因此双曲线C 1的渐近线方程y ＝±ba x ＝±3x ，取其中一条渐近线3x －y ＝0.抛物线C 2的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，p2，该点到双曲线的渐近线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪3×0－p 2(3)2＋(－1)2＝p4＝2.解得p ＝8，因此抛物线C 2的方程为x 2＝16y ，故选D ．〗类型2 直线与抛物线的位置关系〖例2〗 已知直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，l 与C ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．〖解〗 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0. (*) 当k ＝0时，(*)式只有一个解x ＝14，∴y ＝1，∴直线l 与C 只有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1， 此时直线l 平行于x 轴．当k ≠0时，(*)式是一个一元二次方程， Δ＝(2k －4)2－4k 2＝16(1－k )． ①当Δ>0，即k <1，且k ≠0时，l 与C 有两个公共点，此时直线l 与C 相交；②当Δ＝0，即k ＝1时，l 与C 有一个公共点，此时直线l 与C 相切； ③当Δ<0，即k >1时，l 与C 没有公共点，此时直线l 与C 相离． 综上所述，当k ＝1或0时，l 与C 有一个公共点； 当k <1，且k ≠0时，l 与C 有两个公共点； 当k >1时，l 与C 没有公共点．直线与抛物线交点问题的解题思路(1)判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数．(2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：①直线与抛物线的对称轴重合或平行；②直线与抛物线相切．〖跟进训练〗2．过定点P (0,1)作与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线有几条？ 〖解〗 (1)当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝0符合题意． (2)当直线的斜率存在时，设过点P 的直线方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1y 2＝2x得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0.当k ＝0时，方程为－2x ＋1＝0，解得x ＝12只有一解，直线与抛物线只有一个公共点，此时，直线方程为y ＝1.当k ≠0时，由Δ＝4(k －1)2－4k 2＝0，得k ＝12，此时直线与抛物线只有一个公共点，直线方程为y ＝12x ＋1.综上知，过定点P (0,1)与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线有三条． 类型3 抛物线的焦点弦问题〖例3〗 (对接教材P 135例题)已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AB |＝52p ，求AB 所在直线的方程．直线过抛物线的焦点，则弦长与交点的横坐标(或纵坐标)之和有关，由此思考解决问题的方法.〖解〗 由题意知焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 若AB ⊥x 轴，则|AB |＝2p <52p ，不满足题意．所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2y 2＝2px，消去y ， 整理得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋k 2p 24＝0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝p ＋2pk 2.所以|AB |＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p ＝2p ＋2pk 2＝52p ，解得k ＝±2. 所以AB 所在直线的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －p 2或y ＝－2⎝⎛⎭⎫x －p2，即2x －y －p ＝0或2x ＋y －p ＝0.1．解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．2．设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论．〖跟进训练〗3．设抛物线C ：x 2＝4y 焦点为F ，直线y ＝kx ＋2与C 交于A ，B 两点，且|AF |·|BF |＝25，则k 的值为( )A ．±2B ．－1C ．±1D ．－2 A 〖设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线y ＝kx ＋2代入x 2＝4y ， 消去x 得y 2－(4＋4k 2)y ＋4＝0， 所以y 1·y 2＝4，y 1＋y 2＝4＋4k 2，抛物线C ：x 2＝4y 的准线方程为y ＝－1， 因为|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1，所以|AF |·|BF |＝y 1·y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝4＋4＋4k 2＋1＝25⇒k ＝±2.〗1．若抛物线y 2＝2x 上有两点A 、B 且AB 垂直于x 轴，若|AB |＝22，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A ．12B ．14C ．16D ．18A 〖假设点A 的坐标为(x 0，y 0)，y 0>0则y 0＝2，由2x 0＝(2)2得x 0＝1.从而直线AB 的方程为x ＝1，又抛物线y 2＝2x 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0， 则焦点到直线AB 的距离为1－12＝12，故选A ．〗2．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12C 〖因为抛物线C ：y 2＝2px的准线为x ＝－p2，且点A (－2,3)在准线上，所以－p 2＝－2，解得p ＝4，所以y 2＝8x ，所以焦点F 的坐标为(2,0)，故直线AF 的斜率k ＝3－0－2－2＝－34.〗3．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标是( )A ．(2，±22)B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2,22)B 〖由题意知F (1,0)，设A ⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，则OA →＝⎝⎛⎭⎫y 204，y 0， AF →＝⎝⎛⎭⎫1－y 24，－y 0.由OA →·AF →＝－4得y 0＝±2，∴点A 的坐标为(1，±2)，故选B ．〗4．已知AB 是过抛物线2x 2＝y 的焦点的弦，若|AB |＝4，则AB 的中点的纵坐标是________． 158〖设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由抛物线2x 2＝y ，可得p ＝14.∵|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝4，∴y 1＋y 2＝4－14＝154，故AB 的中点的纵坐标是y 1＋y 22＝158.〗5．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝________. 0或1 〖当k ＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k≠0时，联立方程消去y，得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，∴k＝1.综上，k＝0或1.〗回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)怎样确定抛物线上的点的横坐标与纵坐标的范围？〖提示〗方法一：利用方程确定．如x2＝2py(p>0)，由x2≥0知y≥0，x∈R.方法二：先根据方程画出抛物线，再根据图形确定．(2)直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？〖提示〗当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线只有一个交点，但直线与抛物线相交，不相切．(3)直线y＝kx＋b与抛物线x2＝－2py相交，且经过抛物线的焦点F，若交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|与点A，B的坐标有什么关系？〖提示〗|AB|＝p－(y1＋y2)．。

一、直线l与圆锥曲线C的位置关系的判断判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程0Ax By C++=（A，B不同时为0）代入圆锥曲线C的方程F（x，y）=0，消去y（也可以消去x）得到关于一个变量的一元二次方程，即联立0(,)0Ax By CF x y++=⎧⎨=⎩消去y后得20ax bx c++=（1）当0a=时，即得到一个一元一次方程，则l与C相交，有且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l抛物线的对称轴平行。

（2）当0a≠时，0∆>，直线l与曲线C有两个不同的交点；0∆=，直线l与曲线C相切，即有唯一公共点（切点）；0∆<，直线l与曲线C相离。

二、圆锥曲线的弦长公式相交弦AB的弦长1212ABABAB x y y⎧⎪=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-==-⎪⎪⎩三、中点弦所在直线的斜率（1）若椭圆方程为22221(0)x ya ba b+=>>时，以P00（x,y）为中点的弦所在直线斜率22(0)bk ya=-≠xy，即22opbk ka=-；若椭圆方程为22221(0)y xa ba b+=>>时，相应结论为22(0)ak yb=-≠xy，即22o pak kb=-；（2）P00（x,y）是双曲线22221x ya b-=内部一点，以P为中点的弦所在直线斜率22(0)bk ya=≠xy，即22opbk ka=；若双曲线方程为22221y xa b-=时，相应结论为22(0)ak yb=≠xy，即22opak kb=；（3））P00（x,y）是抛物线22y px=内部一点，以P为中点的弦所在直线斜率(0)pk y=≠y；若方程为22x py=时，相应结论为kp=0x。

Ⅱ 题型与方法一、直线与圆锥曲线的位置关系（1）直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判断：通法为直线代入曲线判断0∆>；另一方法就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率大小得到。