2019秋八年级数学上册解题技巧专题勾股定理与面积问题习题课件(新版)华东师大版

勾股定理的逆定理指出：如果三角形的三边长a、b、c满足a² + b² = c²，那么这 个三角形一定是直角三角形。
逆定理为我们提供了一个判断三角形是否为直角三角形的方法，即验证三边是否 满足勾股定理的关系式。
02
勾股定理证明方法
拼图法证明
将两个直角三角形的斜边作为拼 图的两个边，通过拼接可以形成
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拓展与延伸：费马大定理简介
费马大定理内容
费马大定理是指一个整数幂不可能被 分解为两个大于1的整数幂的和。
例如，费马猜想了不存在整数a、b和 c，使得a3=b3+c3（这被称为费马最 后定理）。
具体来说，费马猜想了以下三个情形 ：对于任何大于2的整数n，不存在三 个大于1的整数a、b和c，使得 an=bn+cn。
例如，对于形如$a^2+b^2>c^2$的不等式，可以通过 构造直角三角形并应用勾股定理来证明或求解该不等式。
辅助角公式推导
勾股定理在三角函数中有重要应用， 特别是在推导辅助角公式时。
利用勾股定理和三角函数的定义，可 以推导出诸如$sin(A+B)$和 $cos(A+B)$等辅助角公式，从而简化 三角函数的计算和证明过程。
02
公式表示为：a² + b² = c²，其中 a和b是直角三角形的两个直角边 ，c是直角三角形的斜边。
勾股数及性质
勾股数是指满足勾股定理的三个正整 数，即a² + b² = c²中的a、b、c为 正整数。
勾股数的性质包括：任意两个勾股数 一定是互质的；一组勾股数中，必有 一个数是偶数等。
勾股定理逆定理
04
勾股定理在代数中的应用
求解代数式最值问题
利用勾股定理，可以将某些代数式转化为直角三角形中的边 长关系，进而利用三角形的性质求解最值问题。

你会吗？
例题1、在直角三角形ABC中，∠C = 90° AB = c,BC = a ,AC= b
（1）a=3 ,b=4,求 c （2）a=5, c=13 求 b （3）如果∠A = 90°, a=10, c=16 求 c
例题2、国旗杆的绳子垂到地面时，还多了1m ，拉着绳子下端离开旗杆5m时，绳子被拉直且 下端刚好接触地面，试求旗杆的高．
例题3、有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方 形,在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺. 如果把这根芦苇拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的 水面,请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多 少?
1尺 水池
5尺
x尺
x2 + 52 = (x+1)2
x = 12
练一练
1、若一个三角形的一个角等于其他两个角的 差，那么这个三角形是____________三角形。
北
乙 甲
东
作业:
课本第十四章第四节 练习 1、2、3题。
再见
2、在△ABC中，∠A: ∠B: ∠C=1：2：3，则 BC:AC:AB=_________。
3、设直角三角形的三条边长为连续自然数， 则这个直角三角形的面积是____，甲往东 走了4km，乙往南走了6km，这时甲、乙两人 相距__________km．
5、想一想：我 怎么走会最近呢
B
C
一?圆柱体的底面周长为20cm, 高AB为4cm,BC是上底面的直 径.一只蚂蚁从点A出发，沿着 圆柱的侧面爬行到点C，试求 出爬行的最短路程. (精确到
0.01cm)
A
D
6、甲、乙两位探险者到沙漠进行探险.某日早晨 8:00 甲先出发,他以6千米/小时的速度向东行走,1小时 后乙出发,他以5千米/小时的速度向北行进,上午 10:00,甲、乙二人相距多远?

在 Rt△DEB中,根据勾股定理,得
BE2=BD2-DE222=4 ∴ BE=2
在Rt△ACD和 Rt△AED中,
x
∵CD=DE , AD=AD
∴ Rt△ACD Rt△AED
1
∴ AC=AE
2 A
令AC=x,则AB=x+2
在 Rt△ABC中,根据勾股定理,得 AC2+BC2=AB2
即:x2+42=(x+2)2 ∴ x=3
提示: 先运用勾股定理证明中线AD⊥BC, 再利用等腰三角形的判定方法就可以说明了.
8.已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠1=∠2，CD=1.5, BD=2.5, 求AC的长.
提示：作辅助线DE⊥AB，利用平分线的性 质和勾股定理。
C
1 2 A
D B
过D点做DE⊥AB ∵ ∠1=∠2, ∠C=90°
2．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三
边长的平方是（ D ）
A、25 B、14 C、7
D、7或25
3．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是Rt△
的是（ A ）
A、，b=2,c=3
B、a=7,b=24,c=25
C、a=6,b=8,c=10
D、a=3,b=4,c=5
4．若线段a，b，c组成Rt△，则它们的比为（ C ）
那么这个三角形是直角三角形
勾股数
满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数
巩固提升
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，
①若a=5，b=12，则c=____1_3______； ②若a=15，c=25，则b=____2_0______； ③若c=61，b=60，则a=___1_1______； ④若a∶b=3∶4，c=10则SRt△ABC=___2_4____。

针对训练
4.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，
BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折
叠，使点A落在对角线BD上的点A′
10
处，则AE的长为 3
.
课堂小结
勾股定理
勾股定理 及逆定理
勾股数
a2＋b2＝c2 勾股定理的验证
勾股定理 的应用
图形的面积与周长的计算
利用勾股定理和逆定理解 决实际问题
考点四 本章数学思想和解题方法
方程思想 例4 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝ 8 cm，将△ABC折叠，使B与A重合，折痕是DE，求CD的长． 【解析】 欲求的线段CD在Rt△ACD中，但 此三角形只知一边，可设法找出另两边的关 系，然后用勾股定理求解． 解：由折叠知：DA＝DB，△ACD为直角三角形．
课后作业
教材 复习题第4,6,7题
在Rt△ACD中，AC2＋CD2＝AD2①，
设CD＝x cm，则AD＝BD＝(8－x)cm，
代入①式，得62＋x2＝(8－x)2，
化简，得36＝64－16x，
所以x＝ ＝1.75，即CD的长为1.75 cm.
方法总结
勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求第三边 的问题；如果只知一边和另两边的关系时，也可用勾股定 理求出未知边，这时往往要列出方程求解．
(1)确定最大边； (2)算出最大边的平方与另两边的 平方和 ； (3)比较最大边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等 ，则说明这个三角形是直角 三角形．
3．勾股定理的应用 应用勾股定理及其逆定理可解决如下问题： (1)已知直角三角形的任意两边，求第三边长或图形周长、 面积的问题； (2)说明线段的平方关系问题； (3)在 数轴 上作表示 2、3、5 等数的点的问题； (4)解决实际问题．一些实际问题，如解决圆柱侧面两点间 距离问题、航海问题、折叠问题、梯子下滑问题等，常直接 或间接运用勾股定理及其逆定理．