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北师大版八年级上册数学《勾股定理》必考题型专题练习

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1 / 12 北师大版八年级上册数学《勾股定理》必考题型专题练习

1.判断下列几组数能否作为直角三角形的三边长.

（1）8，15，17； （2）7，12，15；

（3）12，15，20；（4）7，24，25．

2. 蚂蚁沿图中所示的折线由点A爬到了点D，蚂蚁一共爬行了多少厘米？（图中小方格的边长代表1厘米）

3. 一艘帆船由于风向的原因先向正东方向航行了160km，然后向正北方向航行了120km，这时它离出发点有多远？

ACB2 / 12 4. 小明从家出发向正北方向走了150m，接着向正东方向走到离家250m远的地方．小明向正东方向走了多远？

5. 如图，BC长为3cm，AB长为4cm，AF长为12cm．求正方形CDEF的面积.

6. 一架云梯长25m，如图那样斜靠在一面墙上，云梯底端离墙7m．

（1）这架云梯的顶端距地面有多高？

3 / 12 （2）如果云梯的顶端下滑了4m，那么它的底部在水平方向也滑动了4m吗？

7. 如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是多少？

8. 如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是多少？

4 / 12 9. 装修工人购买了一根装饰用的木条，乘电梯到小明家安装．如果电梯的长、宽、高分别是1.5m、1.5m，2.2m，那么能放入电梯内的木条的最大长度大约是多少米？你能估计出装修工人买的木条最少是多少米吗？

提升练习：

1. 如图所示，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，AB与CD交于点O.若AC＝1，BD＝2，CD＝4，则AB＝________.

2.如图所示的网格是正方形网格,则∠PAB+∠PBA= °(点A,B,P是网格线交点).

3. 如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD⊥BD． 5 / 12

4. 已知：如图△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，DA⊥CA于A．求：BD的长．

5.如图,等腰直角三角板如图放置,直角顶点C在直线m上,分别过点A,B作AE⊥直线m于点E,BD⊥直线m于点D.

(1)求证:EC=BD.

(2)若设△AEC三边分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理.

6 / 12 6. 如图，在△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，DE⊥DE，DE、DF分别交AC、BC、于E、F，求证：

北师大版八年级上册数学《勾股定理》

必考题型专题练习（答案版）

1.判断下列几组数能否作为直角三角形的三边长.

（1）8，15，17； （2）7，12，15；

（3）12，15，20；（4）7，24，25．

解：①82+152=172，能；

②72+122≠152，不能；

③122+152≠202，不能；

④72+242=252，能．

2. 蚂蚁沿图中所示的折线由点A爬到了点D，蚂蚁一共爬行了多少厘米？（图中小方格的边长代表1厘米）

解：根据勾股定理分别求得AB=5cm，BC=13cm，CD=10cm， 222BFAEEF7 / 12 所以蚂蚁一共爬了5+13+10=28（cm）．

3. 一艘帆船由于风向的原因先向正东方向航行了160km，然后向正北方向航行了120km，这时它离出发点有多远？

解：如图，A为出发点，B为正东方向航行了160km的地点，C为向正北方向航行了120km的地点，故AB=160km，BC=120km．

在Rt△ABC中，由勾股定理得

AC2= AB2+BC2=40000．所以AC=200km．

即这时它离出发点200km．

4. 小明从家出发向正北方向走了150m，接着向正东方向走到离家250m远的地方．小明向正东方向走了多远？

解：如图,AB=150m，AC=250m，

则BC2= AC2-BC2=40000．

所以BC=200 m．

答：小明向正东方向走了200m．

5. 如图，BC长为3cm，AB长为4cm，AF长为12cm．求正方形CDEF的面积.

解：在Rt△ACB中，AC2=AB2+CB2=32+42=25，

在Rt△ACF中，FC2=AC2+AF2=25+144=169， ACB8 / 12 故正方形CDEF的面积为169．

6. 一架云梯长25m，如图那样斜靠在一面墙上，云梯底端离墙7m．

（1）这架云梯的顶端距地面有多高？

解：如图，在Rt△ADE中，

由勾股定理得AE2+DE2=AD2，

即AE2+72=252，

所以AE=24（m）.

即这架云梯的顶端AE距地面有24 m高.

（2）如果云梯的顶端下滑了4m，那么它的底部在水平方向也滑动了4m吗？

解： 梯子的底端在水平方向滑动了8m．

理由：因为云梯的顶端A下滑了4m至点A′，

所以A′E=AE－AA′=24－4=20（m）．

在Rt△A′ED′中，

由勾股定理得D′E2=A′D′2－A′E2=252－202，

所以D′E=15（m）.

所以DD′=ED′－ED=15－7=8（m），

即梯子的底端在水平方向也滑动了8m．

7. 如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是多少？ 9 / 12

解：如图1，把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形.

∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20，在Rt△ABD中，根据勾股定理得：

∴AB2=BD2+AD2=152+202=625.

8. 如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是多少？

解：如图2,把长方体的右侧表面剪开与上底面这个面所在的平面形成一个长方形，

∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10.

在Rt△ABD中，根据勾股定理得：∴AB2=BD2+AD2=252+102=725. 10 / 12

9. 装修工人购买了一根装饰用的木条，乘电梯到小明家安装．如果电梯的长、宽、高分别是1.5m、1.5m，2.2m，那么能放入电梯内的木条的最大长度大约是多少米？你能估计出装修工人买的木条最少是多少米吗？

解：如图，由勾股定理得AB2=1.52+1.52=4.5，

∴BC≈3.06（米）；

能放入电梯内的木条的最大长度大约是3.06米，估计装修工人买的木条最少是1.5米．

提升练习：

1. 如图所示，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，AB与CD交于点O.若AC＝1，BD＝2，CD＝4，则AB＝________. 11 / 12

2.如图所示的网格是正方形网格,则∠PAB+∠PBA= °(点A,B,P是网格线交点).

3. 如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD⊥BD．

4. 已知：如图△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，DA⊥CA于A．求：BD的长．

12 / 12 5.如图,等腰直角三角板如图放置,直角顶点C在直线m上,分别过点A,B作AE⊥直线m于点E,BD⊥直线m于点D.

(1)求证:EC=BD.

(2)若设△AEC三边分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理.

6. 如图，在△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，DE⊥DE，DE、DF分别交AC、BC、于E、F，求证：

222BFAEEF

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新北师大版八年级上数学勾股定理知识点+对应练习

新北师大版八年级上数学勾股定理知识点+对应练习

第一章 勾股定理

1、勾股定理定义：直角三角形的两直角边长的平方和等于斜边的平方。如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2.

ABCabc弦股勾

勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边

2.勾股定理定义的应用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC中，90C，则22cab，22bca，22acb）

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边

（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题

例. 在Rt△ABC中，∠C=90°

（1）若a=5，b=12，则c=________；

（2）b=8，c=17，则S△ABC=________。

3.勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法

用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变

②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理

常见方法如下：

方法一：4EFGHSSS正方形正方形ABCD，2214()2abbac，化简可证

方法二：

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422Sabcabc

大正方形面积为222()2Sabaabb 所以222abc

4.勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

5.勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么cbaHGFEDCBAbacbaccabcabka，kb，kc同样也是勾股数组。）常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13

最新北师版数学八年级上勾股定理测试题

最新北师版数学八年级上勾股定理测试题

最新北师版数学八年级上勾股定理测试题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

题号 一 二 三 四 五 总分

得分

第I卷（选择题）

一、选择题（题型注释）

1．若直角三角形中，斜边的长为13，一条直角边长为5，则这个三角形的面积是（ ）

A．60 B．30 C．20 D．32

2．△ABC的三边分别为下列各组值, 其中不是直角三角形三边的是( )

A．a="41," b="40," c="9" B．a="1.2," b="1.6," c=2

C．a=, b=, c= D．a=, b=, c=1

3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是( )

A． B． C． D．

4．如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是 ( )

A．2.5 B．2 C． D．

5．一职工下班后以50米/分的速度骑自行车沿着东西马路向东走了5.6分,又沿南北马路向南走了19.2分到家,则他的家离公司距离为 （ ）米.

A．100 B．500 C．1 240 D．1000

6．一个圆桶底面直径为24cm,高32cm,则桶内所能容下的最长木棒为（）

A．20cm B．50cm C．40cm D．45cm

7．下列说法不正确的是（ ）

A．三个角的度数之比为1∶3∶4的三角形是直角三角形

B．三个角的度数之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形

新北师大版八年级数学上册勾股定理专题训练优质讲义

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勾股定理

本章常用知识点：

1、勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜边的 。如果用字母a,b,c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么勾股定理可以表示为： 。

2、勾股数：满足a2+b2=c2的三个 ，称为勾股数。

常见勾股数有：

3、常见平方数：

121112； 144122； 169132； 196142； 225152；256162

289172； 324182； 361192； 400202；441212； 484222

529232； 576242； 625252； 676262；729272

专题归类：

专题一、勾股定理与面积

1、、在Rt▲ABC中，C=90,a=5,c=3.，则Rt▲ABC的面积S= 。

2、一个直角三角形周长为12米，斜边长为5米，则这个三角形的面积为：

。

3、直线l上有三个正方形a、b、c，若a和c的面积分别为5和11，则b的面积为

4、在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，

则S1＋S2＋S3＋S4等于 。

5、三条边分别是5,12,13的三角形的面积是 。

6、如果一个三角形的三边长分别为a,b,c且满足：a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,则这个三角形的面积为 。

7、如图1，90ACB，BC=8,AB=10,CD是斜边的高，求CD的长？ l a b

c

l321S4S3S2S1

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7、如下图，在∆ABC中，90ABC，AB=8cm，BC=15cm，P是到∆ABC三边距离相等的点，求点P到∆ABC三边的距离。

北师大版八年级上册数学《勾股定理》单元测试卷含答案

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第一章《勾股定理》单元测试卷

班别：

姓名：__________

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，满分30分）

1．一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（ ）

A．4 B．8 C．10 D．12

2．已知a=3，b=4，若a，b，c能组成直角三角形，则c=（ ）

A.5 B.7 C.5或7 D.5或6

3．如图中字母A所代表的正方形的面积为（ ）

A．4 B．8 C．16 D．64

4．将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（ ）

A．钝角三角形 B．锐角三角形

C．直角三角形 D．等腰三角形

5．直角三角形的一直角边长是7cm，另一直角边与斜边长的和是49cm，则斜边的长（ ）

A．18cm B．20cm C．24cm D．25cm

6．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（ ）

①a=，b=，c= ②a=6，∠A=45°； ③∠A=32°，∠B=58°；

④a=7，b=24，c=25 ⑤a=2，b=2，c=4

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

7．在△ABC中，若a=n2﹣1，b=2n，c=n2+1，则△ABC是（ ）

A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形

8．直角三角形斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍，这个三角形有一个锐角是（ ）

A．15° B．30° C．45° D．60° 9．已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）

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