高等数学D8_5隐函数求导.

第五节 隐函数的求导法则一、一个方程的情形隐函数存在定理 1 设函数(,)F x y 在点00(,)P x y 的某一邻域内具有连续偏导数，00(,)0F x y =，00(,)0y F x y ≠，则方程(,)0F x y =在点0x 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()y f x =， 它满足条件00()y f x =，并有d d x yF yx F =-． 说明：1） 定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将()y f x =代入(,)0F x y =，得恒等式(,())0F x f x ≡，等式两边对x 求导得d 0d F F y x y x∂∂+=∂∂， 由于0y F ≠ 于是得d d x yF yx F =-． 2） 若(,)F x y 的二阶偏导数也都连续, 则按上述方法还可求隐函数的二阶导数:22d d ()()d d x x y y F F y y x x F y F x∂∂=-+-⋅∂∂ 22()x x y y x xx y y y y xxy y yF F F F F F F F F F F F --=---2232x x y x y x y y y x yF F F F F F F F-+=-．例1 验证方程sin e 10x y x y +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个单值可导的隐函数()y f x =，并求22d d ,00d d y yx x x x ==． 解 设(,)sin e 1x F x y y x y =+--， 则 1） e x x F y =-，cos y F y x =-连续； 2） (0,0)0F =； 3） (0,0)10y F =≠．因此由定理1可知，方程sin e 10x y x y +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个单值可导的隐函数()y f x =．d 0d y x x =0x y F x F =-=e 10,0cos x yx y y x -=-=-==-，22d 0d y x x = d e ()0,0,1d cos x yx y y x y x -=-'===-- 0201(e )(cos )(e )(sin 1)(cos )x x x y y y y x y y y y x =='=-''-----⋅-=--3=-．隐函数存在定理还可以推广到多元函数．一般地一个二元方程(,)0F x y =可以确定一个一元隐函数，而一个三元方程(,,)0F x y z =可以确定一个二元隐函数． 隐函数存在定理2 设函数(,,)F x y z 在点000(,,)P x y z 的某一邻域内具有连续的偏导数，且000(,,)0F x y z =，000(,,)0z F x y z ≠，则方程(,,)0F x y z =在点00(,)x y 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数(,)z f x y =， 它满足条件000(,)z f x y =，并有x z F z x F ∂=-∂，y zF zy F ∂=-∂． 说明：定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将(,)z f x y =代入(,,)0F x y z =， 得(,,(,))0F x y f x y ≡，将上式两端分别对x 和y 求导，得0=∂∂⋅+xz F F z x ， 0=∂∂⋅+y z F F z y ．因为z F 连续且000(,,)0z F x y z ≠，于是得x z F z x F ∂=-∂， y zF zy F ∂=-∂． 例2 设22240x y z z ++-=，求22zx∂∂．解 设222(,,)4F x y z x y z z =++-，则2x F x =，24z F z =-，2242x z F z x x x F z z∂=-=-=∂--，2222223(2)(2)()(2)2(2)(2)(2)z xx xx x zx x x z xz z z ∂-+-+∂-+∂-===∂---． 二、方程组的情形在一定条件下， 由方程组(,,,)0(,,,)0F x y u vG x y u v =⎧⎨=⎩ 可以确定一对二元函数(,)(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩， 例如方程0xu yv -=和1yu xv +=可以确定两个二元函数22y x yu +=，22y x x v +=． 事实上，0xu yv -=u y x v =1=⋅+u yx x yu 22y x yu +=， 2222yx x y x yy x v +=+⋅=． 下面讨论如何由组求u ，v 的导数．隐函数存在定理3 设(,,,)F x y u v ，(,,,)G x y u v 点0000(,,,)P x y u v 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又0000(,,,)0F x y u v =，0000(,,,)0G x y u v =，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比（Jacobi ）行列式）(,)(,)FF FG u v J G G u v uv∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂ 在点0000(,,,)P x y u v 不等于零，则方程组(,,,)0F x y u v =，(,,,)0G x y u v =，在点0000(,,,)P x y u v 的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数(,)(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩，． 它们满足条件000(,)u u x y =，000(,)v v x y =，且有1(,)(,)xvxv u v u v F F G G u F G F F x J x v G G ∂∂=-=-∂∂，1(,)(,)ux u xu v uvF FG G v F G F F x J u x G G ∂∂=-=-∂∂， 1(,)(,)yv y vu v uv F F G G u F G F F y J y v G G ∂∂=-=-∂∂，1(,)(,)u yu y u v u vF FG G v F G F F y J u y G G ∂∂=-=-∂∂． 说明：方程组所确定的隐函数的偏导数可分别对方程组中各方程两边求偏导数，然后解关于各偏导数的方程组，其中偏导数xu ∂∂，x v ∂∂由方程组0,0x u v x uv u v F F F x xu v G G G x x ∂∂⎧++=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩确定；偏导数yu ∂∂，y v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0y vG y u G G yv F y u F F v u y v u y 确定．例3 设0xu yv -=，1yu xv +=，求u x ∂∂，v x∂∂，uy ∂∂和v y ∂∂．解 两个方程两边分别对x 求偏导，得关于u x ∂∂和vx∂∂的方程组 00u v u x y x xu v y v x x x ∂∂⎧+-=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩，． 当220x y +≠时，解之得22u xu yv x x y ∂+=-∂+，22v yu xvx x y ∂-=∂+． 两个方程两边分别对y 求偏导，得关于u y ∂∂和vy∂∂的方程组 00uv x v y y y u v u y x y y ∂∂⎧--=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩，． 当220x y +≠时，解之得22u xv yu y x y ∂-=∂+，22v xu yvy x y ∂+=-∂+． 另解 将两个方程的两边微分得d d d d 0d d d d 0u x x u v y y v u y y u v x x v +--=⎧⎨+++=⎩，，即d d d d d d d d x u y v v y u x y u x v u y v x -=-⎧⎨+=--⎩，． 解之得2222d d d xu yv xv yu u x y x y x y +-=-+++，2222d d d yu xv xu yvv x y x y x y-+=-++． 于是22u xu yv x x y ∂+=-∂+，22u xv yu y x y ∂-=∂+，22v yu xv x x y ∂-=∂+，22v xu yvy x y ∂+=-∂+． 例 设函数(,),(,)x x u v y y u v ==在点(,)u v 的某一领域内连续且有连续偏导数，又(,)0(,)x y u v ∂≠∂． 1） 证明方程组(,)(,)x x u v y y u v =⎧⎨=⎩ 在点(,,,)x y u v (的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数(,),(,)u u x y v v x y ==．2）求反函数(,),(,)u u x y v v x y ==对,x y 的偏导数． 解 1）将方程组改写成下面的形式(,,,)(,)0(,,,)(,)0F x y u v x x u v G x y u v y y u v ≡-=⎧⎨≡-=⎩，，则按假设 (,)(,)0(,)(,)F G x y J u v u v ∂∂==≠∂∂，由隐函数存在定理3，即得所要证的结论．2）将方程组所确定的反函数(,),(,)u u x y v v x y ==代入原方程组，即得[(,),(,)][(,),(,)].x x u x y v x y y y u x y v x y ≡⎧⎨≡⎩，将上述恒等式两边分别对x 求偏导数，得10.x u x v u x v xy u y v u x v x ∂∂∂∂⎧=⋅+⋅⎪⎪∂∂∂∂⎨∂∂∂∂⎪=⋅+⋅⎪∂∂∂∂⎩， 由于0J ≠，故可解得1u y x J v ∂∂=∂∂， 1v yx J u∂∂=-∂∂． 同理，可得1u x y J v ∂∂=-∂∂， 1v x y J u∂∂=∂∂． .。

隐函数的求导方法
515313 秦富平 蒋俊奇 曹宵
隐函数
• 隐函数的求导方法是对形如F（x，y）=0确定的隐函数， 首先将方程两端对x求导，在求导过程中的y看成是x的函 数，y的函数看成是x的复合函数，最后利用复合函数的求 导法则求出y对x的导数的一种方法。
隐函数的求导方法是对形如F（x，y）=0确定的隐函数， 首先将方程两端对x求导，在求导过程中的y看成是x的函 数，y的函数看成是x的复合函数，最后利用复合函数 的求导法则求出y对x的导数的一种方法。
对x求导 关键词： 把y看成x的函数 y的函数看成x的复合函数
Байду номын сангаас
例题
求隐函数xe +e =0的导数dy/dx 解：方程两端对x求导 y y x e +xe y'+e =0 xeyy'=-ey-ex y x y 解得： dy/dx=-(e +e )/xe
y x
牢记关键词 从此比怕隐函数

通过二阶导数和隐函数表达式，求出三阶导数。
4. 以此类推，直到求出想要的阶数导数
通过以上方法，我们可以求出任意阶数的隐函 数导数。
举例
例1：$x^2+y^2=25$
解析一个关于圆的隐函数，通过 求导得到圆上某点的切线斜率。
例2：$xy=x+y$
研究一组直线的交点，通过求导 找到斜率和截距的关系。
例3：$sin(xy)=cos(x-y)$
解析一个三角函数的隐函数，通 过求导得到函数的性质。
求导过程中的注意事项
1 求导法则的运用
合理运用导数的基本法则，简化求导过程。
2 链式法则Βιβλιοθήκη 运用当隐函数中包含复合函数时，要运用链式法则。
3 积、商、加、减法则的运用
当隐函数的表达式包含多个运算符时，要适当运用相关法则。
总结
隐函数求导的基本方法
通过求导的步骤，我们可以 得到隐函数关于自变量的导 数。
《隐函数的求导》PPT课件
# 隐函数的求导 ## 前言 - 隐函数概述 - 隐函数存在的意义
隐函数求导的基本方法
1. 求一阶导数
通过求函数的一阶导数，找到隐函数关于自变 量的导数。
2. 利用一阶导数和式子本身求二阶导数
通过一阶导数和隐函数表达式，求出二阶导数。
3. 利用二阶导数和式子本身求三阶导数
求导过程中的注意事项
合理运用求导法则以及链式 法则，简化求解的过程。
练习题
通过练习题进一步巩固对隐 函数求导的理解与应用。

同理,将各方程两边对y求偏导, 可得
例1 设
求
解 将所给方程的两边对x求偏导
例2. 设 函数
有连续的一阶偏导数 ,又 分别由下列两式确定 :
(2001考研)
解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得
解得 因此
第5节 隐函数存在定理
一、一个方程的情形
本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .
例如, 方程 当 C < 0 时, 能确定隐函数; 当 C > 0 时, 不能确定隐函数;
2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及求导方法问题 .
隐函数存在定理1
若满足下列条件：
则在点P0 的某邻域
内, 方程
能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数
，并有
隐函数的求导公式
例1. 验证方程 可确定一个单值可导隐函数
在点(0,0)某邻域 并求
解: 令 ① ②
则 连续 ,
③
由 定理1 可知, 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可
导的隐函数
且
导数的另一求法 — 利用隐函数求导 两边对 x 求导 两边再对 x 求导 令 x = 0 , 注意此时
隐函数存在定理2
则在点P0 的某邻域
内, 方程
能唯一确定一
例2. 设 解法1 利用隐函数求导
再对 x 求导
解法2 设 则
利用公式
两边对 x 求偏导
注:
也可确定y是x、z的函数，
及x是y、z的函数，此
时
例3 求 的全微分.
解法1 用公式,令
确定的函数
所以
解法2 将方程两边分别对x、y求偏导：
例4
由方程

21第五节 隐函数的求导公式一、填空题1．设(,)z x y 为由方程22ln()0xz xyz xyz -+=确定的函数，则zx∂=∂z x -.2．设方程2210x y +-=确定了一个隐函数()y f x =，则22d d x yx==1±.二、单项选择题1．设(,)0x az y bz φ--=，则z zab x y∂∂+=∂∂ D . A ．a B ．b C ．-1 D ．1 提示：方程两边同时对x 求导：1210z z ab x x φφ∂∂⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭，同时对y 求导：1210z z ab y y φφ⎛⎫⎛⎫∂∂-+-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭；所以121212,z z x a b y a b φφφφφφ∂∂==∂+∂+，代入所求表达式化简，得D2．设e e e z y x z x y =+,则zy∂=∂ D . A ．e e (1)e y x z y z ++ B ．e e (1)e x y z x z +- C ．e e (1)e y x z y z -- D ．e e (1)ex y zx z ++ 3．设()y y x =，()z z x =是由方程()z xf x y =+和(,,)0F x y z =所确定的函数，其中,f F 具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，则d d zx= A . A ．()y x y zxf f F xf F F xf F ''+-'+，(0)y z F xf F '+≠B ．()y z y xF xf F xf f F xf F '+''+-,()()0y x xf f F xf F ''+-≠C ．()x yy zxf F xf f F F xf F ''-+'+,(0)y z F xf F '+≠22 D ．y xy zf F xf F F xf F ''-'+,(0)y z F xf F '+≠提示：方程组()(,,)0z xf x y F x y z =+⎧⎨=⎩两边同时对x 求导，得d d ()()1d d d d 0d d x y z z y f x y xf x y x x y z F F F x x ⎧⎛⎫'=++++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪++=⎪⎩，解之得：d d z x =()y x y zxf f F xf F F xf F ''+-'+三、计算题1．方程xyz =(,)z z x y =，求在点(1,0,1)-处的全微分.解：令(,,)F x y z=xyz则x F yz =y z F xz F xy ==+x zF zx F ∂=-=∂ 从而(1,0,1)1zx-∂=∂；y z F z y F ∂=-=∂从而(1,0,1)zy -∂=∂所以(1,0,1)d d z x y -=．2．设333z xyz a -=，求2zx y∂∂∂.解：令33(,,)3F x y z z xyz a =--，则3x F yz =-，3y F xz =-，233z F z xy =-；2x z F z yz x F z xy ∂∴=-=∂-，2y z F z xzy F z xy∂=-=∂-； ()()222222z z z y z xy yz z x y y z yz x y y z xy z xy ⎛⎫⎛⎫∂∂+--- ⎪ ⎪∂∂⎛⎫∂∂⎝⎭⎝⎭== ⎪∂∂∂--⎝⎭23()()222222xz xz z y z xy yz z x z xy z xy z xy ⎛⎫⎛⎫+--- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭=-()5322322z xyz x y z z xy --=-．3．由cos v x u u =，sin v y u u =可确定(,)u u x y =，(,)v v x y =，求ux∂∂． 解：由题意知，222x y u +=，对方程两边对x 求偏导，得22u x u x ∂=∂，u xx u∂∴=∂．或：将方程组cosv x u u =，sin vy u u=两边同时对x 求导，得 cos sin sin 1,sin cos cos 0v v v u v vu u u x u x v v v u v v u uu x u x ⎧∂∂⎛⎫+⋅-⋅= ⎪⎪∂∂⎪⎝⎭⎨∂∂⎛⎫⎪-⋅+⋅= ⎪⎪∂∂⎝⎭⎩解方程组得 1sin0coscos .cos sin sinsin cos cos vu vu v x u v v v v x u u u u u u v v v v u u u u-∂===∂+--。

d y x y x y y y x y . dx y x
3
引例:已知
e
x y
xy 0 确定 y y( x ), 求 y( x )
e
x y
(1 y) (y xy) 0
注意此方程能确定一个一元函数，是在y可导的前 提下进行的． 并不一定都能确定一元 函数．
10
练习P102 2
y dy 已知 ln x y arctan , 求 . x dx
2 2
解
公式法
令 F ( x , y ) ln x 2 y 2 arctan y , x x y y x , Fy ( x , y ) 2 , 则 Fx ( x , y ) 2 2 2 x y x y x y dy Fx . y x dx Fy
x2 y2 z2 解 法一 公式法 令 F ( x , y , z ) 2 2 2 1 a b c 2x 2z 则 Fx 2 , F y 2 y , Fz a b2 c2
z c x 2 , x a z
2
c y z 2 b z y
2
( z 0)
在求Fx , Fy, Fz时, 将F(x, y, z)看作是 x, y, z的三个自变量的函数.
能确定
dy 一个隐函数y = f (x), 并求 . dx
x y 记 证 F ( x, y ) xy e e , 则
Fx ( x , y ) y e x 与Fy ( x , y ) x e y
隐函数存在定理1
隐函数 y = f (x), 且
x dy Fx ye . y dx Fy xe
dy Fx ( x , y ) dy Fx . 或简写: dx Fy ( x , y ) dx Fy

偏导数， 偏导数，且 F ( P0 ) = 0, Fz ( P0 ) ≠ 0 ，则 （1）在某一 U ( P0 )内，由F ( x , y , z ) = 0 ） ⇒ z = z ( x , y ) 单值且具有连续偏导数的函数 单值且具有连续偏导数的函数 （2） P0 ( x 0 , y0 , z 0 ) 满足 z = z ( x , y ) z0 ） Fy F x ∂z ∂z =− （3） ） =− Fz Fz ∂ y ∂x
定理4 定理 设 F ( x , y , u, v ) , G ( x , y , u, v ) 在某一 U ( P0 )
偏导数， 内有连续 偏导数，且 F ( P0 ) = 0, G ( P0 ) = 0, 且
Fu ∂(F ,G ) J P= = 0 ∂ ( u, v ) P0 G u Fv G v P0
偏导数， 内有连续 偏导数，且 F ( P0 ) = 0, G ( P0 ) = 0, Fy Fz ∂(F ,G ) J = 雅可比式） P0 ∂ ( y , z ) P= G y G z P ≠ 0 （雅可比式） 0 0 则
F ( x, y, z ) = 0 （1）在某一 U ( P0 )内，由 ） G ( x , y , z ) = 0 y = y( x ) ⇒ 单值且具有连续导数的函数 z = z ( x ) 单值且具有连续导数的函数 y = y( x ) y0 y( x0 ) （2） P0 ( x 0 , y0 , z 0 ) 满足 ） z( x0 ) z = z ( x ) z0
J
Fu Fy v ∂v ∂(F ,G ) ∂(F ,G ) =− =− y ∂ ( u, v ) ∂ ( u, v ) Gu Gy y ∂y
J
例5

y
1 G ( x y )
dy F G ( x y ) x . dx F 1 G ( x y ) y
2 d y G ( x y ) ( 1 y )[ 1 G ( x y )] G ( x y ) G ( x y ) ( 1 y ) 2 2 d x [ 1 G ( x y )]
Fz ( x0, y0, z0 )≠0则方程F(x,y,z)=0在
的函数z=f(x,y),它满足条件
z f( x ,y )且有 0 0 0
z F z F y x , .( 4 ) x F y F z z
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
设函数F(x,y,z)在点 与(2)类似.我们只推导公式(4).因为 F[x,y,f(x,y)]=0 对上式求 x,y的偏导数.得到 由于Fz连续,且
知道它可导在上述的式子对x两端求导,得到
F Fdy dy F 0 x x y dx dx F y
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
函数F(x,y)在点(x0 ,y0 )的某一邻域内具有连续偏 导数,且 F(x0,y0)=0,Fy(x0,y0)≠0
高 等 若F具有二阶连续偏导数,则(2)可对x再求导,得到y xx 数 学 2 2 电 例2 求由方程2x +y =1 所确定的隐函数y=f(x)的一阶和二阶导数. 子 F dy 2 x 2 2 x F ( x , y ) 2 x y 1 , F 4 x , F 2 y . x y 教 dx F y y 案 2 x
高 等 数 学 电 子 教 案
一个隐函数,另外,以前的隐函数求导方法,必须知道F(x,y) 的具体表达式,才能求出y对x的导数. 下面我们研究隐函数存在定理 隐函数存在定理1 设函数F(x,y)在点(x0 ,y0 )的某一邻域 内具有连续偏导数,且 F(x0,y0)=0,Fy(x0,y0)≠0; 则方程(1) 在(x0 ,y0 )的某一邻域内能唯一确定一个可导且具有连续导

第五节 隐函数的求导公式在一元函数中，我们已经提出了隐函数的概念，并且提出了不经过显化真接由方程()0,=y x F （1）求它所确定的隐函数的导数的方法。

现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法则导出多元隐函数的导数公式。

隐函数存在定理1 设函数()y x F ,在点()00,y x P 的某一邻域内具有连续偏导数，且()0,00=y x F , ()0,00'≠y x F y 。

则方程()0,=y x F 在点()00,y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()x f y =，它满足条件()00x f y =， 并有''yx FF dxdy -= (2)公式(2)就是隐含数的求导公式这个定理我们不证，现仅就公式)2(作如下推导。

将方程(1)所确定的函数()x f y =代入(1)，得恒等式 ()()0,≡x f x F其左边可以看作是x 的一个复合函数，求这个函数的全导数，即有0=⋅∂∂+∂∂dxdy yF xF由于'y F 连续，且 ()0,00'≠y x F y ,所以存在()00,y x 的一个邻域，在这个邻域内 0'≠y F于是得''yx FF dxdy -=隐函数存在定理可以推广到多元函数，既然一个二元方程（1）可以确定一个一元隐函数，那么一个三元方程()0,,=z y x F 就有可能确定一个二元隐函数。

与定理1相仿，我们同样可以由三元函数()z y x F ,,的性质来断定由方程()0,,=z y x F 所确定的二元函数()y x f z ,=的存在性及这个函数的性质，这就是下面的定理。

隐函数存在定理2 设函数()0,,=z y x F 在点()000,,z y x P 的某一邻域内具有连续偏导数，且()0,,000=z y x F ，()0,,000'≠z y x F z 。

满足:
导数；
(P86)
备用题1 设
解:
方程组两边对 x 求导，并移项得
求
练习: 求
答案:
由题设
故有
备用题2. 求曲线
在点
M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程.
切线方程
解法1 令
则
即
切向量
法平面方程
即
解法2. 方程组两边对 x 求导, 得
曲线在点 M(1,–2, 1) 处有:
解法1: 利用公式
设
则
两边对 x 求偏导
例1. 设
例1. 设
解法2: 利用隐函数求导
再对 x 求导
内容小结
隐函数求导方法
方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ;
方法2. 代公式
第七节
一பைடு நூலகம்空间曲线的切线与法平面
二、曲面的切平面与法线
多元函数微分学的几何应用
第九章
一、空间曲线的切线与法平面
研究其连续性、可微性
及求导方法问题 .
一个方程所确定的隐函数及其导数
定理1.设函数
则方程
单值连续函数 y = f (x) ,
并有连续
(隐函数求导公式)
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
① 具有连续的偏导数;
的某邻域内可唯一确定一个
在点
的某一邻域内满足
②
③
满足条件
导数
两边对 x 求导
在
的某邻域内
则在点
故当函数
法线方程
令
特别, 当光滑曲面 的方程为显式
在点
有连续偏导数时,
切平面方程
法向量
用

d2y dx2
x 0 3
7
定理2 若函数 F(x,y,z)满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ,
② F (x0,y0,z0)0 ③ F z(x0,y0,z0) 0
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足
并有连续偏导数
定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:
26.01.2020
8
则
F (x ,y ,f(x ,y )) 0
两边对 x 求偏导
F x Fz
0
z Fx x Fz
同样可得
26.01.2020
9
例2 设 x2y2z24z0,求 解法1 利用隐函数求导

2
x
z
2
.
2x2zz4z0 x x
再对 x 求导
26.01.2020
16
例 3 求由方程组
x y u v 1,

x
2

y2

u2

v2

2,
确定的函数 u(x, y)和v(x, y) 的偏导数 u ， u ， v 和 v . x y x y
分析： 此题可以直接用课本中的公式（6）求解，
但也可按照推导公式（6）的方法来求解. 下面用后一种方法求解.
导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sy i e n x x y 1 0 ,y y ( x )
两边对 x 求导
y x 0
ex y cosyx
(0,0)
两边再对 x 求导
siyn (y)2co yy s
令 x = 0 , 注意此时 y0,y1

§8.5 隐函数的求导公式一、二元方程所确定的隐函数的情形由二元方程F x y(,)=0可确定一个一元的隐函数y f x=(),将之代入原方程,得到一个恒等式F x f x[,()]≡0对恒等式两边关于变量x求导,左边是多元复合函数,它对变量x的导数为F F dy dxx y+右边的导数自然为0,于是有F F dy dxx y+=0解出dydx,得到隐函数的导数dydxFFxy=-。

由多元复合函数的求导定理可知,当F x y(,)=0在(,)x y具有一阶连续偏导数,而y f x=()在x可导时,才可求出复合函数F x f x[,()]的导数,若Fy≠0时,才有dydxFFxy=-这一求导方法,实际上就是以往的直接求导数。

二、由三元方程所确定的二元隐函数的偏导数既然二元方程F x y(,)=0可以确定一个一元的隐函数y f x=(),那么三元方程F x y z(,,)=0便可确定一个二元的隐函数z f x y=(,)。

下面,我们介绍用直接求导法求此函数的偏导数。

对F x y z(,,)=0两边关于变量x求偏导,并注意z是x y,的函数,有F Fzxx z+⋅=∂∂解出∂∂zx ,得到二元隐函数的偏导数 ∂∂z xF F x z=-。

类似地，可得到F F z yy z +⋅=∂∂0,∂∂z yF F y z =-。

【例1】设x y z z 22240++-=, 求 ∂∂22zx 。

解: 将方程x y z z 22240++-=中的z 视为x y ,的隐函数,对x 求偏导数有2240x z z xz x+⋅-⋅=∂∂∂∂∂∂z xx z =-2再一次对x 求偏导数,仍然将z 视为x y ,的隐函数有∂∂∂∂222202z xz x z xz =--⋅--()()()=--⋅--()()2222z x x zz=-+-()()22223z x z也可以用下述方法来求二阶偏导数对422=⋅-⋅+xz xz z x ∂∂∂∂两边关于x 求偏导数,注意到x zz ∂∂,均为x y ,的函数,有2224022222+⋅+⋅-⋅=()∂∂∂∂∂∂z xz z xz x∂∂∂∂2222231222z xz xzz x z =+-=-+-()()()三、由两个函数方程所确定的隐函数的导数设有函数方程组F x y u vG x y u v (,,,)(,,,)==⎧⎨⎩00由此联立的方程组可消去一个变量v ,这样便得到由三个变量所构成的函数方程H x y u (,,)=0,而三元函数方程可确定一个二元隐函数 u u x y =(,),将之代入方程组的其中一个,得到另一个三元方程F x y u x y v (,,(,),)=0,于是,我们也可将变量v表示成x y ,的隐函数v v x y =(,)。

再对 x 求导
2
z 2 1 ( ) x
z 4 2 0 x
2
目录
上页
下页
返回Βιβλιοθήκη 结束x2 y 2 z 2 4z 0
解法3 利用微分形式不变性
d x2 d y 2 d z 2 d 4 z 0
2 xdx 2 ydy 2 zdz 4dz 0
目录 上页 下页 返回 结束
二、方程组所确定的隐函数组及其导数
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.
以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即
u u ( x, y ) F ( x, y , u , v ) 0 v v ( x, y ) G ( x, y, u, v) 0 由 F、G 的偏导数组成的行列式


2
x y x
Fx ( ) Fy
Fx x Fy Fy x Fx
2 Fy

Fx y Fy Fy y Fx Fy2
Fx x Fy 2 2 Fx y Fx Fy Fy y Fx 2 Fy3
目录
上页
下页
返回
结束
在点(0,0)某邻域 并求 内可唯一确定一个有连续导数的函数
例1. 验证方程
第五节 隐函数求导公式
1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 . C > 0 时, 不能确定隐函数 2) 方程能确定隐函数时, 研究其连续性,可微性及求导方法问题.
例如, 方程
C < 0 时, 能确定隐函数
本节讨论:
一、一个方程所确定的隐函数及其导数 二、方程组所确定的隐函数组及其导数
目录 上页 下页 返回 结束
( cos y x ) F ( x, y ) sin y e x x y 1 0 x Fx e y, Fy cos y x

显函数
xy (x, y) z
隐函数 (二元)隐函数
在什么条件下,方程能够确定隐函数. 连续性?
方程确定的隐函数有什么性质
可导性? …
对方程确定的隐函数如何求导.
➢隐函数组概念
隐 函 数
u u(x, y) v v(x, y)
组 的 显 化
F(x, y,u, v) 0 G(x, y,u, v) 0
邻域内连续且有连续偏导数,又
x, y)
的某一邻域内 唯一确定一组单值、连续且具有连续偏导数 的反函数
2) 求
对 x , y 的偏导数.
x y
➢解题思路
(1) 确定因变量个数与自变量个数. 明确变量个数与方程个数 确定因变量个数 方程个数 确定自变量个数 变量个数
(2) 明确因变量与自变量. 题目要求
(3) 方程两边求偏导.
方程个数
例5
设
xu yv 0, yu xv 1,
求
u v ,.
x y
例6 设函数
在点(u,v) 的某一
视u,v为x,y的函数
F
两边对 x 求导
Fx Gx
Fu Gu
u
x u
x
Fv Gv
v x v x
0 0
若在点P 的某邻域内系数行列式J≠0
x x
y
u
y
v
复合关系图
解方程组即得结论
例4
设
u f (ux,v y) v g(u x,v2 y)
其中f,g具有一阶连续偏导数,
求 u , v .
的连续函数 u u(x, y), v v(x, y), 且有偏导数公式 :
u 1 (F,G) , x J ( x, v )

2 2 2
2
方程确定了一个二元函数z = f (x, y), 方程两边对x 求导：(y看作常数)
2 x 2 z z 2 0 2 a c x
z c2 x 2 x a z
方程两边对y求导: ( x看作常数)
2 y 2 z z 2 0 2 b c y
z c2 y 2 y b z
F ( x, y ) 0
的求导法.
(1)
现在利用复合函数的链导法则给出隐函数
(1)的求导公式, 并指出: 隐函数存在的一个充分条件.
3
8.5 隐函数的求导公式
隐函数存在定理1 设二元函数F (x, y)在点 P (x0, y0)的某一邻域内满足:
(1) 具有连续偏导数; (2) F ( x0 , y0 ) 0; (3) Fy ( x0 , y0 ) 0, 则方程F (x, y) = 0在点P (x0, y0)的某一邻域内恒 能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 y = f (x), 它满足条件y0 = f (x0), 并有
dy Fx ( x , y ) 隐函数的求导公式 dx Fy ( x , y ) (证明从略)仅推导公式. 将恒等式 F ( x , f ( x )) 0
两边关于x求导, 由链导法则, 得
4
8.5 隐函数的求导公式
F ( x , f ( x )) 0
dy Fx ( x , y ) Fy ( x, y ) 0 dx 由于Fy ( x , y )连续, 且Fy ( x0 , y0 ) 0, 所以存在
设 F ( x , y , z ) xyz x 2 y 2 z 2 2 z F 2x 1, yz , x ( 1 , 0 , 1 ) x 2 x2 y2 z2 z F 2y 2, xz , 2 2 2 y ( 1 , 0 , 1 ) y 2 x y z F 2z dz (1,0, 1) dx 2dy . xy . z 2 x2 y2 z2