高考数学第七章立体几何课时作业41空间点、直线、平面之间的位置关系文

又因为 A1C∩β＝R，所以 R∈A1C．
所以 R∈α 且 R∈β.则 R∈PQ. 故 P，Q，R 三点共线．
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(3)因为 EF∥BD，且 EF≠BD， 所以 DE 与 BF 一定相交，设交点为 M， 因为 BF⊂平面 BCC1B1，DE⊂平面 DCC1D1，且平面 BCC1B1∩ 平面 DCC1D1＝CC1， 所以 M∈CC1，所以 DE，BF，CC1 三线共点．
第七章
立体几何(lìtǐjǐhé)
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第3节 空间(kōngjiān)点、直线、
平面之间的位置关系
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考纲考情
考向预测
从近三年高考情况来看，本节在高
1.理解空间直线、平面位置关 系的定义． 2.了解可以作为推理依据的公 理和定理． 3.能运用公理、定理和已获得
作 FG∥BC 交 AC 于点 G，连接 PM，GE， 则 NP∥BC∥FG，由题意可知 PM∥GE∥AD， 由于 BC⊥AD，则△NPM 和△FGE 均为直角三角形，
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因为|NP|＝|PM|＝12|BC|＝12|AD|＝3，NM＝3 2， 所以 NP 与 NM 所成的角为π4， |FG|＝13|BC|＝2，|GE|＝23|AD|＝4，|FE|＝2 5，cos∠GFE＝22 5
∴P∈平面 ABC．同理 P∈平面 ADC．
∴P 为平面 ABC 与平面 ADC 的公共点． 又平面 ABC∩平面 ADC＝AC， ∴P∈AC，∴P，A，C 三点共线．
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3,所以 cos∠BC1D=2×2+25×-3 5= 510.故异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为 510.
教学参考
2.[2014·全国卷Ⅱ] 直三棱柱
ABC-A1B1C1 中,∠BCA=90°,M,N 分别
是 A1B1,A1C1 的中点,BC=CA=CC1,则
BM 与 AN 所成角的余弦值为 ( )
AE= 25,在△ANE 中,根据余
弦定理得
cos∠ANE=2×64+2654×-54
5=
2
1300.
教学参考
■ [2017-2016]其他省份类似高考真题
[2017·天津卷改编] 如图所示,在四棱 锥 P - ABCD 中,AD⊥平面 PDC,AD∥ BC,PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2. 求异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦 值.
考查方向 判断点共线、线共面 判断两直线异面、平行
教学参考
真题再现
■ [2017－2013]课标全国真题再现
1.[2017·全国卷Ⅱ] 已知直三棱柱
ABC-A1B1C1 中,
∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则
异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦
值为( )
A.
3 2
C.
10 5
教学参考
2.[2014·全国卷Ⅱ] 直三棱柱
ABC-A1B1C1 中,∠BCA=90°,M,N 分别
是 A1B1,A1C1 的中点,BC=CA=CC1,则
BM 与 AN 所成角的余弦值为 ( )
A.110
C.
30 10
B.25
D.
2 2
B1M=12B1A1= 22,所以

第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系)1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 公理2的三个推论：推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2．空间直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2．(3)定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)空间中直线和平面的位置关系1．辨明三个易误点(1)正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”．(2)不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”的条件． (3)两条异面直线所成角的范围是(0°，90°]． 2．证明共线问题的两种途径(1)先由两点确定一条直线，再证其他点都在这条直线上； (2)直接证明这些点都在同一条特定直线上． 3．证明共面问题的两种途径(1)首先由条件中的部分线(或点)确定一个平面，再证其他线(或点)在此平面内； (2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证明这两个平面重合．1．已知A ，B ，C 表示不同的点，l 表示直线，α，β表示不同的平面，则下列推理错误的是( )A ．A ∈l ，A ∈α，B ∈l ，B ∈α⇒l ⊂α B ．A ∈α，A ∈β，B ∈α，B ∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A∈α，A∈l，l⊄α⇒l∩α＝AC2.教材习题改编如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为( )A．30°B．45°C．60° D．90°C 连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求，又B1D1＝B1C＝D1C，所以∠D1B1C＝60°.3．(2016·高考山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a 和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A 若直线a，b相交，设交点为P，则P∈a，P∈b.又a⊂α，b⊂β，所以P∈α，P ∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行．故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．4．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成________部分．通过举例说明，如三棱柱三个侧面所在平面满足两两相交，且三条交线互相平行，这三个平面将空间分成7部分．75.教材习题改编给出下列命题：①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．其中正确的为________．经过不共线的三点可以确定一个平面，所以①不正确；两条平行线可以确定一个平面，所以②正确；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，所以③正确；命题④中没有说清三个点是否共线，所以④不正确．②③平面的基本性质如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 和AA 1的中点．求证：E 、C 、D 1、F 四点共面．【证明】如图所示，连接CD 1、EF 、A 1B ， 因为E 、F 分别是AB 和AA 1的中点， 所以EF ∥A 1B 且EF ＝12A 1B ．又因为A 1D 1綊BC ，所以四边形A 1BCD 1是平行四边形， 所以A 1B ∥CD 1， 所以EF ∥CD 1，所以EF 与CD 1确定一个平面α， 所以E 、F 、C 、D 1∈α， 即E 、C 、D 1、F 四点共面．本例条件不变，如何证明“CE ，D 1F ，DA 交于一点”？ 如图，由本例知EF ∥CD 1，且EF ＝12CD 1，所以四边形CD 1FE 是梯形，所以CE 与D 1F 必相交，设交点为P ， 则P ∈CE ，且P ∈D 1F ， 又CE ⊂平面ABCD ， 且D 1F ⊂平面A 1ADD 1， 所以P ∈平面ABCD ， 且P ∈平面A 1ADD 1.又平面ABCD ∩平面A 1ADD 1＝AD ，所以P ∈AD ， 所以CE 、D 1F 、DA 三线共点．(1)点线共面问题证明的两种方法①纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内；②辅助平面法：先证有关点、线确定平面α，再证其余点、线确定平面β，最后证明平面α，β重合．(2)证明多线共点问题的两步 ①先证其中两条直线交于一点；②再证交点在第三条直线上．证交点在第三条直线上时，第三条直线应为前两条直线所在平面的交线，可以利用公理3证明．如图，空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别在BC ，CD 上，且BG ∶GC ＝DH ∶HC ＝1∶2.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)设EG 与FH 交于点P ，求证：P ，A ，C 三点共线． (1)因为E ，F 分别为AB ，AD 的中点， 所以EF ∥BD ． 在△BCD 中，BG GC ＝DH HC ＝12，所以GH ∥BD ， 所以EF ∥GH .所以E ，F ，G ，H 四点共面．(2)因为EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.所以P为平面ABC与平面ADC的公共点．又平面ABC∩平面ADC＝AC，所以P∈AC，所以P，A，C三点共线．空间两直线的位置关系如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．【解】(1)不是异面直线．理由：连接MN，A1C1，AC.因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MN∥A1C1.又因为A1A綊C1C，所以四边形A1ACC1为平行四边形，所以A1C1∥AC，所以MN∥AC，所以A，M，N，C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线．(2)是异面直线．理由如下：因为ABCD­A1B1C1D1是正方体，所以B，C，C1，D1不共面．假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，所以D1，B，C，C1∈α，这与B，C，C1，D1不共面矛盾．所以假设不成立，即D1B和CC1是异面直线．1．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为( )A．相交B．平行C．异面而且垂直D．异面但不垂直D 将展开图还原为正方体，如图所示．AB与CD所成的角为60°，故选D．2．在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN 是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中GH与MN异面．②④异面直线所成的角(高频考点)从近几年的高考试题来看，异面直线所成的角是高考的热点，题型既有选择题又有填空题，也有解答题，难度为中低档题．高考对异面直线所成的角的考查主要有以下两个命题角度： (1)求异面直线所成的角或其三角函数值； (2)由异面直线所成角求其他量．(2016·高考全国卷乙)平面α过正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为( )A.32 B ．22C.33D ．13【解析】 因为过点A 的平面α与平面CB 1D 1平行，平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，所以m ∥B 1D 1∥BD ，又A 1B ∥平面CB 1D 1，所以n ∥A 1B ，则BD 与A 1B 所成的角为所求角，所以m ，n 所成角的正弦值为32，选A. 【答案】 A角度一 求异面直线所成的角或其三角函数值1．如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A.15 B ．25 C.35D ．45D 连接BC 1，易证BC 1∥AD 1，则∠A1BC 1即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角． 连接A 1C 1，由AB ＝1，AA 1＝2， 则A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5， 故cos∠A 1BC 1＝5＋5－22×5×5＝45.角度二 由异面直线所成角求其他量2．四面体A ­BCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点．若BD ，AC 所成的角为60°，且BD ＝AC ＝1，则EF 的长为________．如图，取BC 的中点O ，连接OE ，OF ，因为OE ∥AC ，OF ∥BD ，所以OE 与OF 所成的锐角(或直角)即为AC 与BD 所成的角，而AC ，BD 所成角为60°，所以∠EOF ＝60°或∠EOF ＝120°.当∠EOF ＝60°时，EF ＝OE ＝OF ＝12.当∠EOF ＝120°时．取EF 的中点M ，则OM ⊥EF ，EF ＝2EM ＝2×34＝32. 12或32——构造模型判断空间线面位置关系已知m ，n 是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题： ①若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β； ②若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β； ③若m ⊥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β； ④若m ⊥α，n ∥β，α∥β，则m ⊥n . 其中所有正确的命题是( ) A ．①④ B ．②④ C ．①D ．④【解析】 借助于长方体模型来解决本题，对于①，可以得到平面α，β互相垂直，如图(1)所示，故①正确；对于②，平面α、β可能垂直，如图(2)所示，故②不正确；对于③，平面α、β可能垂直，如图(3)所示，故③不正确；对于④，由m ⊥α，α∥β可得m ⊥β，因为n ∥β，所以过n 作平面γ，且γ∩β＝g ，如图(4)所示，所以n 与交线g 平行，因为m⊥g，所以m⊥n，故④正确．【答案】 A(1)构造法实质上是结合题意构造合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误；(2)对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断．已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则( ) A．m与n异面B．m与n相交C．m与n平行D．m与n异面、相交、平行均有可能D 在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是m∥n1，所以A，B错误；m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误．1．下列命题中，不是公理的是( )A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线A 选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的．2．(2017·赣州四校联考)若平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是( )A．AB∥CDB．AD∥CBC．AB与CD相交D．A，B，C，D四点共面D 因为平面α∥平面β，要使直线AC∥直线BD，则直线AC与BD是共面直线，即A，B，C，D四点必须共面．3．(2017·广州市高考模拟)已知E ，F ，G ，H 是空间四点，命题甲：E ，F ，G ，H 四点不共面，命题乙：直线EF 和GH 不相交，则甲是乙成立的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B 若E ，F ，G ，H 四点不共面，则直线EF 和GH 肯定不相交，但直线EF 和GH 不相交，E ，F ，G ，H 四点可以共面，例如EF ∥GH .故选B ．4．(2015·高考广东卷)若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A ．l 与l 1，l 2都不相交B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交D 由直线l 1和l 2是异面直线可知l 1与l 2不平行，故l 1，l 2中至少有一条与l 相交．5．(2017·辽宁省三校协作体联考)如图，四棱锥P ­ABCD 中，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，BC ＝2AD ，△PAB 和△PAD 都是等边三角形，则异面直线CD 与PB 所成角的大小为( )A ．90°B ．75°C ．60°D ．45°A 延长DA 至E ，使AE ＝DA ，连接PE ，BE ，因为∠ABC ＝∠BAD＝90°，BC ＝2AD ，所以DE ＝BC ，DE ∥BC .所以四边形CBED 为平行四边形．所以CD ∥BE .所以∠PBE (或其补角)就是异面直线CD 与PB 所成的角．在△PAE 中，AE ＝PA ，∠PAE ＝120°，由余弦定理得PE ＝PA 2＋AE 2－2·PA ·AE ·cos ∠PAE＝ AE 2＋AE 2－2·AE ·AE ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3AE . 在△ABE 中，AE ＝AB ，∠BAE ＝90°，所以BE ＝2AE .因为△PAB 是等边三角形，所以PB ＝AB ＝AE .因为PB 2＋BE 2＝AE 2＋2AE 2＝3AE 2＝PE 2，所以∠PBE ＝90°.故选A.6．(2017·郑州模拟)如图所示，ABCD ­A 1B 1C 1D 1是正方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则下列结论正确的是( )A ．A ，M ，O 三点共线B ．A ，M ，O ，A 1不共面C ．A ，M ，C ，O 不共面D ．B ，B 1，O ，M 共面A 连接A 1C 1，AC (图略)，则A 1C 1∥AC ，所以A 1，C 1，A ，C 四点共面，所以A 1C ⊂平面ACC 1A 1.因为M ∈A 1C ，所以M ∈平面ACC 1A 1.又M ∈平面AB 1D 1，所以M 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上，同理A ，O 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上．所以A ，M ，O 三点共线．7.如图所示，在三棱锥A ­BCD 中，E ，F ，G ，H 分别是棱AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为菱形，当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 是正方形．易知EH ∥BD ∥FG ，且EH ＝12BD ＝FG ，同理EF ∥AC ∥HG ，且EF ＝12AC ＝HG ，显然四边形EFGH 为平行四边形．要使平行四边形EFGH 为菱形需满足EF ＝EH ，即AC ＝BD ；要使四边形EFGH 为正方形需满足EF ＝EH 且EF ⊥EH ，即AC ＝BD 且AC ⊥BD ．AC ＝BDAC ＝BD 且AC ⊥BD8.如图，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线；②直线AM 与BN 是平行直线；③直线BN 与MB 1是异面直线；④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)．直线AM 与CC 1是异面直线，直线AM 与BN 也是异面直线，故①②错误．③④9.如图所示，正方体的棱长为1，B ′C ∩BC ′＝O ，则AO 与A ′C ′所成角的度数为________．连接AC .因为A ′C ′∥AC ，所以AO 与A ′C ′所成的角就是∠OAC (或其补角)．因为OC ⊥OB ，AB ⊥平面BB ′C ′C ，所以OC ⊥AB ．又AB ∩BO ＝B ，所以OC ⊥平面ABO .又OA ⊂平面ABO ，所以OC ⊥OA .在Rt △AOC 中，OC ＝22，AC ＝2， sin ∠OAC ＝OC AC ＝12， 所以∠OAC ＝30°.即AO 与A ′C ′所成角的度数为30°.30°10．如图所示，在正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，D 是AC 的中点，AA 1∶AB ＝2∶1，则异面直线AB 1与BD 所成的角为________．如图，取A1C 1的中点D 1，连接B 1D 1，因为点D 是AC 的中点，所以B 1D 1∥BD ，所以∠AB 1D 1即为异面直线AB 1与BD 所成的角．连接AD 1，设AB ＝a ，则AA 1＝2a ，所以AB 1＝3a ，B 1D 1＝32a ， AD 1＝ 14a 2＋2a 2＝32a . 所以，在△AB 1D 1中，由余弦定理得，cos ∠AB 1D 1＝AB 21＋B 1D 21－AD 212AB 1·B 1D 1＝3a 2＋34a 2－94a 22×3a ×32a ＝12，所以∠AB 1D 1＝60°. 60°11.如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与四边形ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12FA ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点． (1)求证：四边形BCHG 是平行四边形；(2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？(1)证明：由题设知，FG ＝GA ，FH ＝HD ，所以GH 綊12AD ．又BC 綊12AD ， 故GH 綊BC .所以四边形BCHG 是平行四边形．(2)C ，D ，F ，E 四点共面．理由如下：由BE 綊12FA ，G 是FA 的中点知，BE 綊GF ， 所以EF 綊BG .由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH ，故EC 、FH 共面．又点D 在直线FH 上，所以C ，D ，F ，E 四点共面．。

第3节空间点、直线、平面之间的位置关系应用能力提升也“中和M【选题明细表】基础巩固（时间:30分钟）1.（2018 •遂宁模拟）直线I不平行于平面a ,且I ?a ,则（B ）(A) a内的所有直线与I异面(B) a内不存在与I平行的直线(C) a内存在唯一的直线与I平行(D) a内的直线与I都相交解析:如图,设I Aa =A, a内的直线若经过A点,则与直线I相交；若不经过点A,则与直线I异面.2.设A,B,C,D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是（D ）（A）若AC与BD共面，则AD与BC共面（B）若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线(C)若AB二AC,DB=DCU ADI BC(D)若 AB 二AC,DB=DCU AD=BC解析:ABCD 可能为平面四边形，也可能为空间四边形，故D 不成立.3.（2018 •周口月考）如图所示的是正方体或四面体,P,Q,R,S 分别是所解析:A 中PS// QR 故共面;B 中PS 与QR 相交，故共面;C 中四边形PQRS 是平行四边形，故共面.4.（2018 •咸阳模拟）已知m,n,l 为不同的直线，a , p 为不同的平面，有 F 面四个命题：① m,n 为异面直线,过空间任一点P, 一定能作一条直线I 与m,n 都 相② m,n 为异面直线，过空间任一点P, 一定存在一个与直线m,n 都平行的 平面.③ a 丄p , aQp =l,m ? a ,n ? p ,m,n 与I 都斜交，则m 与n —定不垂 直.④m,n 是a 内两相交直线，则a 与P 相交的充要条件是 m,n 至少有一条则四个结论中正确的个数为（B ）(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:①错误,因为过直线m 存在一个与直线n 平行的平面，当点P 在这 个平面内且不在直线m 上时,就不满足结论；②错误,因为过直线m 存在在棱的中点，这四个点不共面的是（ 5D )©0>(B)一个与直线n平行的平面，当点P在这个平面内时，就不满足结论；③正确，否则，若nr± n,在直线m上取一点作直线a丄I,由a丄p ,得a丄n.从而有n丄a ,则n丄l;④正确.5.（2018 •潮州模拟）如图，在正方体ABCDA i BQD中，过顶点A与正方体其他顶点的连线与直线BG成60°角的条数为（B ）(A)1 (B)2(C)3 (D)4解析：有2条:A i B和A i C.6.（2018 •全国n卷）在正方体ABCEAiBGD中,E为棱CC的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（C ）£(A)N(B)解析：如图，因为AB//CD所以AE与CD所成的角为/ EAB./TTTIii4JA在Rt△ ABE中,设AB=2,则BEm®则tan / EAB乔丘,所以异面直线AE与CD所成角的正切值为2 .故选C.7.设a,b,c是空间中的三条直线，下面给出四个命题:①若a // b,b // c,贝J a // c;②若a丄b,b丄c,贝J a // c;③若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;④若a?平面a ,b ?平面p ,则a,b —定是异面直线.上述命题中正确的命题是（写出所有正确命题的序号）.解析：由公理4知①正确；当a丄b,b丄c时,a与c可以相交、平行或异面,故②错；当a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行，也可以异面,故③错;a? a ,b? p ,并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错.答案：①8.（2018 •宁德模拟）如图是正四面体的平面展开图，G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点，在这个正四面体中，C①GH与EF平行;②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60° 角;④DE与MN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是解析:还原成正四面体知GH与EF为异面直线,BD与MN为异面直线,GH与MN成60°角,DE丄MN.能力提升（时间：15分钟）•全国I卷）平面a过正方体ABCDAiBGD的顶点A, a//平面n平面ABCD=ma n平面ABBA F n,则m,n所成角的正弦值为解析：在正方体ABCD-AiGD中，由题意，直线m// BD,直线n // AB,又^ A i DB为等边三角形，/ DBA=60° ,sin60所以m,n所成角的正弦值为2 ,故选A.10.（2018 •茂名一模）如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题:D\4£W MF①AF丄GC;②BD与GC为异面直线且夹角为60° ;③BD// MN;答案：②③④71i9.(2016CBD, a(A) 2 (B)遐M 1兀(C M (D) 3=2④ BG 与平面ABCC 所成的角为45° . 其中正确的个数是（B ）(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析：将正方体展开图还原成正方体，①如图知AF 与GC 异面垂直，故① 正确；②显然BD 与 GC 为异面直线，连接MB,MD 则BM/ GC 在等边△ BDM 中 ,BD 与BM 所成的60°角就是异面直线BD 与 GC 所成的角，故②正确;③显然BD 与MN 异面垂直,故③错误;④显然GDL 平面ABCD 所以在Rt △ BDG中，/ GBD 是 BG 与平面ABCD 所成的角，Rt △ BDG 不是等腰直角三角形. 所以BG 与平面ABCD 所成的角不是45° ,故④错误.故选B.11.（2018 •长春模拟）设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1^和a,且长为a 的棱与长为謂的棱异面，则a 的取值范围是（A ） (A)(0,渥)(B)(0,列 (C)(1,渥)(D)(1,⑵解析：如图所示，令AB 罰,CD 二a,设点E 为AB 的中点，则EDI AB,ECI AB,则ED =5几対=2 同理EC 互.由构成三角形的条件知OvavED+EC=® 所以0vav 楣.4£B12.（2018 •百色月考）不在同一条直线上的三点A,B,C到平面a的距离相等,且A?a ,给出以下三个结论：ABC中至少有一条边平行于a ；ABC中至多有两边平行于a ；③△ ABC中只可能有一条边与a相交，其中正确的结论是解析:如图所示，三点A,B,C可能在a的同侧，也可能在a两侧，其中真命题是①.答案：①13.（2018 •鹤岗模拟）已知圆柱Q的母线长为I,底面半径为r,O是上底面圆心,A,B是下底面圆周上两个不同的点,BC是母线,如图.若直线OA与BC所成角的大小为6则F=解析：过A作圆柱的母线AD,连接OD则AD=I,OD=r,且^ ODA为直角三角形，且/ OAE为异面直线BC与OA所成的角.nCS所以/ OAD=,rr因为tan启==3 ,答案:A/314.如图所示，三棱锥P-ABC中，PA丄平面ABC,/ BAC=60 ,PA=AB=AC=2,E是PC的中点.(1)求证:AE与PB是异面直线;⑵求异面直线AE和PB所成角的余弦值； (3)求三棱锥AEBC的体积.(1)证明：假设AE与PB共面,设平面为a因为A€a ,B €a ,E €a ,所以平面a即为平面ABE, 所以P€平面ABE这与P?平面ABE矛盾, 所以AE与PB是异面直线.⑵解:取BC的中点F,连接EF,AF,则EF// PB,所以/ AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成角.因为/ BAC=60 ,PA=AB=AC=2,PA平面ABC,所以AF=^,AE=2PB=2Q,EF=2cosAEF=& 数£里（七网MR98资ffiiS华汇gRSli力作i I. hu khi] a, OP 11所以异面直线AE和PB所成角的余弦值为4.⑶解：因为E是PC的中点,1所以E到平面ABC的距离为t pA=1,1卩朋詔二卩弗甜二B X （2 X 2 X \「勺）X 1 = 3 .最新修正版20元包年下载25。

高考总复习数学文科第七篇立体几何第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系[最新考纲]1．理解空间直线、平面位置关系的定义．2．了解可以作为推理依据的公理和定理．3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.知识梳理1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．(4)公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．2．空间中两直线的位置关系(1)空间两直线的位置关系共面直线平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．②范围：0，π2.(3)平行公理和等角定理①平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．空间直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况．(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．辨析感悟1．对平面基本性质的认识(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分．(×)(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，记作α∩β＝A.(×)(3)(教材练习改编)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(√)(4)(教材练习改编)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(×)2．对空间直线关系的认识(5)已知a，b是异面直线、直线c平行于直线a，那么c与b不可能是平行直线．(√)(6)没有公共点的两条直线是异面直线．(×)[感悟·提升]1．一点提醒对做有关平面基本性质的判断题时，要抓住关键词，如“有且只有”、“只能”、“最多”等．如(1)中两个不重合的平面还可把空间分成三部分．2．两个防范一是两个不重合的平面只要有一个公共点，那么两个平面一定相交得到的是一条直线，如(2)；二是搞清“三个公共点”是共线还是不共线，如(4)．3．一个理解异面直线是指不同在任何一个平面内，没有公共点．不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线，如(6)．考点一平面的基本性质及其应用【例1】(1)以下四个命题中，正确命题的个数是()．①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A．0B．1C．2D．3(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么正方体的过P，Q，R的截面图形是()．A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形解析(1)①正确，可以用反证法证明；②从条件看出两平面有三个公共点A，B，C，但是若A，B，C共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上．(2)如图所示，作RG∥PQ交C1D1于G，连接QP并延长与CB延长线交于M，连接MR交BB1于E，连接PE，则PE，RE为截面的部分外形．同理连PQ并延长交CD于N，连接NG交DD1于F，连接QF，FG.∴截面为六边形PQFGRE.答案(1)B(2)D规律方法(1)公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据．要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理．(2)画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置．【训练1】如图所示是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形的序号是________．解析可证①中的四边形PQRS为梯形；②中，如图所示，取A1A和BC的中点分别为M，N，可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形；③中，可证四边形PQRS为平行四边形；④中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P，Q，R，S四点不共面．答案①②③考点二空间两条直线的位置关系【例2】如图。

第三讲 空间点、直线、平面之间的位置关系知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 平面的基本性质公理1：如果一条直线上的_两点__在一个平面内,那么这条直线在这个平面内． 公理2：过_不共线__的三点,有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们_有且只有一条__过该点的公共直线． 知识点二 空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行 关系 图形语言符号语言 a ∥ba ∥αα∥β相交 关系图形语言符号语言 a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l独有 关系 图形语言符号语言a,b 是异面直线a ⊂α(1)异面直线所成的角①定义：设a,b 是两条异面直线,经过空间中任一点O 作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的_锐角或直角__叫做异面直线a 与b 所成的角．②范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.(2)平行公理平行于同一条直线的两条直线_平行__. (3)等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角_相等或互补__.重要结论异面直线的判定定理过平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的直线是异面直线．用符号可表示为：若l⊂α,A∉α,B∈α,B∉l,则直线AB与l是异面直线(如图)．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个不重合的平面α,β有一条公共直线a,就说平面α,β相交,并记作α∩β＝a.( √)(2)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于过A点的任意一条直线．( ×)(3)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合．( ×)(4)经过两条相交直线,有且只有一个平面．( √)(5)两两相交的三条直线共面．( ×)(6)若a,b是两条直线,α,β是两个平面,且a⊂α,b⊂β,则a,b是异面直线．( ×)题组二走进教材2．(必修2P52B组T1)如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则异面直线B1C 与EF所成角的大小为( C )A．30°B．45°C．60°D．90°[解析] 连接B1D1,D1C,则B1D1∥EF,故∠D1B1C即为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C,∴△B1D1C为等边三角形,∴∠D1B1C＝60°.故选C．3．(必修2P45例2)如图,在三棱锥A－BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA上的点,(1)若AE EB ＝AH HD 且CF FB ＝CGGD,则E 、F 、G 、H 是否共面．_共面__.(2)若E 、F 、G 、H 分别为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点,①当AC,BD 满足条件_AC ＝BD__时,四边形EFGH 为菱形；②当AC,BD 满足条件_AC ＝BD 且AC ⊥BD__时,四边形EFGH 为正方形．题组三 走向高考4．(2019·新课标Ⅲ)如图,点N 为正方形ABCD 的中心,△ECD 为正三角形,平面ECD ⊥平面ABCD,M 是线段ED 的中点,则( B )A ．BM ＝EN,且直线BM,EN 是相交直线B ．BM≠EN ,且直线BM,EN 是相交直线C ．BM ＝EN,且直线BM,EN 是异面直线D ．BM≠EN ,且直线BM,EN 是异面直线[解析] ∵点N 为正方形ABCD 的中心,△ECD 为正三角形,M 是线段ED 的中点,∴BM ⊂平面BDE,EN ⊂平面BDE,∵BM 是△BDE 中DE 边上的中线,EN 是△BDE 中BD 边上的中线, ∴直线BM,EN 是相交直线, 设DE ＝a,则BD ＝2a, ∵平面ECD ⊥平面ABCD, ∴BE ＝34a 2＋54a 2＝2a, ∴BM ＝72a,EN ＝34a 2＋14a 2＝a, ∴BM≠EN ,故选B ．5．(2017·新课标Ⅱ)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,∠ABC ＝120°,AB ＝2,BC ＝CC 1＝1,则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( C )A ．32 B ．155 C ．105D ．33[解析] 解法一：如图所示,补成四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1,连DC 1、BD,则DC 1∥AB 1,∴∠BC 1D 即为异面直线AB 1与BC 1所成的角, 由题意知BC 1＝2,BD ＝22＋12－2×2×1×cos 60°＝3, C 1D ＝5,∴BC 21＋BD 2＝C 1D 2,∴∠DBC 1＝90°, ∴cos ∠BC 1D ＝25＝105.故选C ． 解法二：(向量法)如图建立空间直角坐标系,则B(0,0,0),A(2,0,0),B 1(0,0,1),C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，1,从而AB 1→＝(－2,0,1),BC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，1,记异面直线AB 1与BC 1所成角为θ,则cos θ＝|AB 1→·BC 1→||AB 1→|·|BC 1→|＝25×2＝105,故选C ．解法三：如图所示,分别延长CB,C 1B 1至D,D 1,使BD ＝BC,B 1D 1＝B 1C 1,连接DD 1,B 1D ．由题意知,C 1B B 1D,则∠AB 1D 即为异面直线AB 1与BC 1所成的角．连接AD,在△ABD 中,由AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB·BD·cos∠ABD,得AD ＝ 3. 又B 1D ＝BC 1＝2,AB 1＝5,∴cos ∠AB 1D ＝AB 21＋B 1D 2－AD 22AB 1·B 1D ＝5＋2－32×5×2＝105.考点突破·互动探究考点一 平面基本性质的应用——自主练透例1 如图,在空间四边形ABCD 中,E,F 分别是AB,AD 的中点,G,H 分别在BC,CD 上,且BG ︰GC ＝DH ︰HC ＝1︰2.(1)求证：E,F,G,H 四点共面；(2)设EG 与FH 交于点P,求证：P,A,C 三点共线． [解析] (1)证明：∵E,F 分别为AB,AD 的中点, ∴EF ∥BD ．在△BCD 中,BG GC ＝DH HC ＝12,∴GH ∥BD,∴EF ∥GH. ∴E,F,G,H 四点共面．(2)∵EG∩FH＝P,P ∈EG,EG ⊂平面ABC, ∴P ∈平面ABC ．同理P ∈平面ADC ． ∴P 为平面ABC 与平面ADC 的公共点． 又平面ABC∩平面ADC ＝AC, ∴P ∈AC,∴P,A,C 三点共线．注：本题(2)可改为：求证GE 、HF 、AC 三线共点．名师点拨1．证明空间点共线问题的方法(1)公理法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上．(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上．2．点、线共面的常用判定方法(1)纳入平面法：先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内．(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α,再证明其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合．3．证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点．〔变式训练1〕如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点．求证：(1)E,C,D1,F四点共面；(2)CE,D1F,DA三线共点．[解析] (1)如图,连接EF,CD1,A1B．因为E,F分别是AB,AA1的中点,所以EF∥A1B．又A1B∥CD1,所以EF∥CD1,所以E,C,D1,F四点共面．(2)因为EF∥CD1,EF<CD1,所以CE与D1F必相交,设交点为P,则由P∈CE,CE⊂平面ABCD,得P∈平面ABCD．同理P∈平面ADD1A1.又平面ABC D∩平面ADD1A1＝DA,所以P∈直线DA．所以CE,D1F,DA三线共点.考点二空间两条直线的位置关系——师生共研例2 (1)(2019·上海)已知平面α、β、γ两两垂直,直线a、b、c满足：a⊂α,b⊂β,c⊂γ,则直线a、b、c不可能满足以下哪种关系( B )A．两两垂直B．两两平行C．两两相交D．两两异面(2)如图所示,正方体ABCD－A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为_③④__(注：把你认为正确的结论序号都填上)．[解析] (1)如图1,可得a、b、c可能两两垂直；如图2,可得a、b、c可能两两相交；如图3,可得a、b、c可能两两异面；故选B．(2)因为点A在平面CDD1C1外,点M在平面CDD1C1内,直线CC1在平面CDD1C1内,CC1不过点M,所以AM与CC1是异面直线,故①错；取DD1中点E,连接AE,则BN∥AE,但AE与AM相交,故②错；因为B1与BN都在平面BCC1B1内,M在平面BCC1B1外,BN不过点B1,所以BN与MB1是异面直线,故③正确；同理④正确,故填③④.名师点拨1．异面直线的判定方法(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．(2)判定定理法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．2．判定平行直线的常用方法(1)三角形中位线的性质．(2)平行四边形的对边平行．(3)平行线分线段成比例定理．(4)公理：若a∥b,b∥c,则a∥c.〔变式训练2〕(1)(2021·甘肃诊断)如图为正方体表面的一种展开图,则图中的AB,CD,EF,GH在原正方体中互为异面直线的有_3__对．(2)(多选题)(2021·湘潭调研改编)下图中,G,N,M,H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形是( BD )[解析] (1)画出该正方体的直观图如图所示,其中异面直线有(AB,GH),(AB,GD),(GH,EB)．故共有3对．故答案为：3.(2)图A中,直线GH∥MN；图B中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,N∉HG,因此直线GH与MN异面；图C中,连接MG,GM∥HN,因此GH与MN共面；图D中,G、M、N共面,但H∉平面GMN,G∉MN因此GH与MN异面,故选B、D．考点三异面直线所成的角——师生共研例3 (1)(2021·广西玉林模拟)如图,正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别为A1B1,CD的中点,则异面直线D1E与A1F所成的角的余弦值为( A )A ．55 B ．56 C ．33D ．36(2)(2021·山东泰安模拟)如图,在三棱锥A －BCD 中,AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3,AD ＝BC ＝2,点M,N 分别为AD,BC 的中点,则异面直线AN,CM 所成的角的余弦值是( C )A ．58 B ．58 C ．78D ．78(3)若两条异面直线a 、b 所成角为60°,则过空间一点O 与两异面直线a 、b 所成角都为60°的直线有_3__条．[解析] (1)解法一：(平移法) 如图,连接BE,BF 、D 1F,由题意知BED 1F 为平行四边形, ∴D 1E ∥BF,∴异面直线D 1E 与A 1F 所成角为A 1F 与BF 所成锐角,即∠A 1FB, 连接A 1B,设AB ＝2,则在△A 1BF 中,A 1B ＝22,BF ＝5, A 1F ＝AA 21＋AD 2＋DF 2＝3,∴cos ∠A 1FB ＝A 1F 2＋BF 2－A 1B 22·A 1F·BF ＝9＋5－82×3×5＝55.∴异面直线D 1E 与A 1F 所成的角的余弦值为55.故选A ． 解法二：(向量法)如图建立空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长为2,异面直线D 1E 与A 1F 所成角为θ, 则D 1E →＝(2,1,0),A 1F →＝(－2,1,－2),∴cos θ＝|D 1E →·A 1F →||D 1E →|·|A 1F →|＝35×3＝55.故选A ．(2)连接ND,取ND 的中点E,连接ME,则ME ∥AN,异面直线AN,CM 所成的角就是∠EMC,∵AN ＝AB 2－BN 2＝22, ∴ME ＝2＝EN,MC ＝22,又∵EN ⊥NC,∴EC ＝EN 2＋NC 2＝3,∴cos ∠EMC ＝EM 2＋MC 2－EC 22EM·MC ＝2＋8－32×2×22＝78.故选C ．(3)如图,过O 分别作a′∥a,b′∥b,则a′,b′所成角为60°,如图易知过O 与a′、b′所成角都为60°的直线有3条, 即与a,b 所成角都为60°的直线有3条．[引申1]本例(2)中MN 与BD 所成角的余弦值为_73__. [解析] 取CD 的中点H,连DN,NH,MH,则NH ∥BD,∠HNM 为异面直线MN 与BD 所成的角,由题意知AN ＝22,从而MN ＝7,又NH ＝32＝MH,∴cos ∠HNM ＝12MN NH ＝73.[引申2]本例(3)中与异面直线a 、b 所成角都为75°的直线有_4__条． 注：本例中,若直线与异面直线所成角都为θ,则 (1)0<θ<π6时,0条；(2)θ＝π6时,1条；(3)π6<θ<π3时,2条；(4)π3<θ<π2时,4条；(5)θ＝π2时,1条．名师点拨求异面直线所成角的方法1．平移法(1)一作：根据定义作平行线,作出异面直线所成的角． (2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角． (3)三求：解三角形,求出所作的角．注：①为便于作出异面直线所成角,可用补形法,如将三棱柱补成四棱柱；②注意余弦定理的应用． 2．向量法建立空间直角坐标系,利用公式|cos θ|＝|m·n||m||n|求出异面直线的方向向量的夹角．若向量夹角是锐角或直角,则该角即为异面直线所成角；若向量夹角是钝角,则异面直线所成的角为该角的补角．〔变式训练3〕(1)(2021·山西运城调研)如图,等边△ABC 为圆锥的轴截面,D 为AB 的中点,E 为弧BC 的中点,则直线DE 与AC 所成角的余弦值为( C )A ．13 B ．12 C ．22D ．34(2)(2021·黑龙江师大附中期中)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,AB ⊥AC,AB ＝AC ＝AA 1,则直线A 1B 与AC 1所成角的大小为( B )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°[解析] (1)取BC 的中点O,连接OE,OD,∵D 为AB 的中点, ∴OD ∥AC,∴∠EDO 即为DE 与AC 所成的角,由E 为BC ︵的中点得OE ⊥BC,又平面ABC ⊥平面BCE, ∴OE ⊥平面ABC,从而OE ⊥OD, 设正△ABC 的边长为2a,则OD ＝a ＝OE, ∴cos ∠EDO ＝cos π4＝22,故选C ．(2)解法一：(平移法)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,连接A 1C,A 1C∩AC 1＝O,则O 为A 1C 的中点,取BC 的中点H,连接OH,则OH ∥A 1B,∴∠AOH 或其补角即为直线A 1B 与AC 1所成的角．设AB ＝AC ＝AA 1＝1,则BC ＝2, 易得AO ＝AH ＝OH ＝22, ∴三角形AOH 是正三角形,∴∠AOH ＝60°,即异面直线所成角为60°.故选B ． 解法二：(向量法)如图建立空间直角坐标系,不妨设AB ＝1,A 1B 与AC 1所成角为θ,则A 1B →＝(1,0,－1),AC 1→＝(0,1,1), ∴cos θ＝|A 1B →·AC 1→||A 1B →|·|AC 1→|＝12×2＝12.∴θ＝60°,故选B ．名师讲坛·素养提升 空间几何体的截面问题例4 (原创)E 、F 分别为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1、C 1D 1的中点,若AB ＝6,则过A 、E 、F 三点的截面的面积为_71532__.[解析] 作直线EF 分别与直线DC 、DD 1相交于P 、Q,连AP 交BC 于M,连AQ 交A 1D 1于N,连接NF 、ME. 则五边形AMEFN 即为过A 、E 、F 三点的截面． 由题意易知AP ＝AQ ＝117,PQ ＝92, ∴S △APQ ＝91532,又ME ∥AQ,且EM AQ ＝13,∴S △MPE ＝S △QNF ＝19S △APQ ,∴S AMEFN ＝79S △APQ ＝71532.名师点拨作出截面的关键是找到截线,作出截线的主要根据有： (1)确定平面的条件； (2)三线共点的条件； (3)面面平行的性质定理． 〔变式训练4〕(多选题)(2021·百师联盟联考)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2,用一个平面α截这个正方体,把该正方体分为体积相等的两部分,则下列结论正确的是( AD )A ．这两部分的表面积也相等B ．截面可以是三角形C ．截面可以是五边形D ．截面可以是正六边形[解析] 平面α截这个正方体,把该正方体分为体积相等的两部分,则平面α一定过正方体的中心,所以这两部分的表面积也相等,根据对称性,截面不会是三角形、五边形,但可以是正六边形(如图)．故选AD ．。

课时作业46 空间点、直线、平面之间位置关系一、选择题1．假设直线a∥b，且a∥平面α，那么b与α位置关系是( ) A．一定平行B．不平行C．平行或相交D．平行或直线在平面内解析：注意不要遗漏直线在平面内情况．答案：D2．对于任意直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l( )A．平行B．相交C．垂直D．互为异面直线解析：不管l∥α，l⊂α还是l与α相交，α内都存在直线m使得m⊥l.答案：C3．假设空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，那么直线a 与c( )A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．一定垂直解析：两条平行线中一条与第三条直线垂直，另一条直线也与第三条直线垂直，应选D.答案：D4．如下图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F，G分别是线段AE，BC中点，那么AD与GF所成角余弦值为( )A.36B．－36C.33D．－33解析：延长CD至点H，使DH＝1，连接HG，HF，那么HF∥AD，且HF＝DA＝22，又∵GF＝6，HG＝10，∴cos∠HFG＝8＋6－10 2×6×8＝36.答案：A5．空间中有三条线段AB，BC与CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD位置关系是( )A．AB∥CDB．AB与CD异面C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交解析：假设三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形，那么直线AB与CD相交，否那么直线AB与CD平行；假设不共面，那么直线AB与CD是异面直线．答案：D6．a，b，c为三条不同直线，且a⊂平面M，b⊂平面N，M∩N＝c.①假设a与b是异面直线，那么c至少与a，b中一条相交；②假设a不垂直于c，那么a与b一定不垂直；③假设a∥b，那么必有a∥c；④假设a⊥b，a⊥c，那么必有M⊥N.其中正确命题个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：命题①③正确，命题②④错误．其中命题②中a与b有可能垂直；命题④中当b∥c时，平面M，N有可能不垂直，应选C.答案：C二、填空题7．三条直线可以确定三个平面，这三条直线公共点个数是________．解析：因三条直线可以确定三个平面，所以这三条直线有两种情况：一是两两相交，有1个交点；二是互相平行，没有交点．答案：0或18．(2021·福建六校联考)设a，b，c是空间中三条直线，下面给出四个命题：①假设a∥b，b∥c，那么a∥c；②假设a⊥b，b⊥c，那么a∥c；③假设a与b相交，b与c相交，那么a与c相交；④假设a ⊂平面α，b ⊂平面β，那么a ，b 一定是异面直线． 上述命题中正确命题是______(写出所有正确命题序号)．解析：由公理4知①正确；当a ⊥b ，b ⊥c 时，a 与c 可以相交、平行或异面，故②错；当a 与b 相交，b 与c 相交时，a 与c 可以相交、平行，也可以异面，故③错；a ⊂α，b ⊂β，并不能说明a 与b “不同在任何一个平面内〞，故④错．答案：①9．(2021·揭阳模拟)如下图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是AC 中点，AA 1∶AB ＝2∶1，那么异面直线AB 1与BD 所成角为________．解析：如图，取A 1C 1中点D 1，连接B 1D 1，因为D 是AC 中点，所以B 1D 1∥BD ，所以∠AB 1D 1即为异面直线AB 1与BD 所成角．连接AD 1，设AB ＝a ，那么AA 1＝2a ，所以AB 1＝3a ，B 1D 1＝32a ， AD 1＝14a 2＋2a 2＝32a . 所以，在△AB 1D 1中，由余弦定理得，cos ∠AB 1D 1＝AB 21＋B 1D 21－AD 212AB 1·B 1D 1＝3a 2＋34a 2－94a 22×3a ×32a ＝12， 所以∠AB 1D 1＝60°. 答案：60°三、解答题10．如下图，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12FA ，G 、H 分别为FA 、FD 中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；(2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？解：(1)证明：由FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ， ∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)由BE 綊12AF ，G 为FA 中点知，BE 綊FG ， ∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG .由(1)知BG 綊CH ，∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面．11．在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为2菱形，∠DAB ＝60°，对角线AC 与BD 交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，∠PBO ＝60°.(1)求四棱锥体积；(2)假设E 是PB 中点，求异面直线DE 与PA 所成角余弦值． 解：(1)在Rt △POB 中，∠PBO ＝60°，因为BO ＝AB ·sin30°＝1，又PO ⊥OB ，所以PO ＝BO ·tan60°＝3，易得底面菱形面积为23，所以四棱锥P －ABCD 体积为13×23×3＝2. (2)取AB 中点F ，连接EF ，DF .因为E 是PB 中点，所以EF ∥PA ，所以∠DEF 为异面直线DE 与PA 所成角．在Rt △AOB 中，AO ＝AB cos30°＝3＝PO ，所以在Rt △POA中，PA ＝6，所以EF ＝62. 因为四边形ABCD 为菱形，且∠DAB ＝60°，所以△ABD 为正三角形，所以BD ＝2.又因为∠PBO ＝60°，BO ＝1，所以PB ＝2，所以PB ＝PD ＝BD ，即△PBD 为正三角形，所以DE ＝DF ＝3，所以cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ·EF＝〔3〕2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫622－〔3〕22×3×62＝6432＝24， 即异面直线DE 与PA 所成角余弦值为24. 1．(2021·长春一模)一个正方体展开图如下图，A ，B ，C ，D 为原正方体顶点，那么在原来正方体中( )A ．AB ∥CDB ．AB 与CD 相交C ．AB ⊥CDD ．AB 与CD 所成角为60°解析：如图，把展开图中各正方形按图1所示方式分别作为正方体前、后、左、右、上、下面复原，得到图2所示直观图，可见选项A ，B ，C 不正确．图2中，BE ∥CD ，∠ABE 为AB 与CD 所成角，△ABE 为等边三角形，∴∠ABE ＝60°，∴正确选项为D.答案：D2．如下图，在空间四边形ABCD 中，点E ，H 分别是边AB ，AD 中点，点F ，G 分别是边BC ，CD 上点，且CF CB ＝CG CD ＝23，那么( )A ．EF 与GH 平行B ．EF 与GH 异面C ．EF 与GH 交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上D ．EF 与GH 交点M 一定在直线AC 上解析：依题意，可得EH ∥BD ，FG ∥BD ，故EH ∥FG ，所以E ，F ，G ，H 共面．因为EH ＝12BD ，FG ＝23BD ，故EH ≠FG ，所以EFGH 是梯形，EF 与GH 必相交，设交点为M .因为点M 在EF 上，故点M 在平面ACB 上．同理，点M 在平面ACD 上，即点M 是平面ACB 与平面ACD 交点，而AC 是这两个平面交线，所以点M 一定在直线AC 上．答案：D3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 是上底面A 1B 1C 1D 1中心，点Q 在线段PD 上运动，那么异面直线BQ 与A 1D 1所成角θ最大时，cos θ＝________．解析：根据题意，画出正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，异面直线BQ 与A 1D 1所成角为BQ 与BC 所成角，当点Q 与点D 重合时，所求异面直线所成角为∠CBD ＝45°，当点Q 与点P 重合时，所求异面直线所成角为∠PBC ，设正方体边长为2，在△PBC 中，PB ＝PC＝6，BC ＝2，所以cos ∠PBC ＝PB 2＋BC 2－PC 22PB ·BC ＝6＋4－646＝66.所以动点Q 从D 点出发，沿着D 移动，所求异面直线所成角越来越大，当到达点P 时到达最大，所以cos θ＝66. 答案：664．三棱柱ABC －A 1B 1C 1侧棱长与底面边长均为2，A 1在底面ABC 内射影O 为底面△ABC 中心，如下图：(1)连接BC 1，求异面直线AA 1与BC 1所成角大小；(2)连接A 1C ，A 1B ，求三棱锥C 1－BCA 1体积．解：(1)连接AO ，并延长与BC 交于点D ，那么AD 是BC 边上中线．∵点O 是正△ABC 中心，且A 1O ⊥平面ABC ，∴BC ⊥AD ，BC ⊥A 1O .∵AD ∩A 1O ＝O ，∴BC ⊥平面ADA 1.∴BC ⊥AA 1.又AA 1∥CC 1，∴异面直线AA 1与BC 1所成角为∠BC 1C .∵CC 1⊥BC ，CC 1＝BC ，∴四边形BCC 1B 1为正方形，∴异面直线AA 1与BC 1所成角大小为π4.(2)∵三棱柱所有棱长都为2，∴可求得AD ＝3，AO ＝23AD ＝233， A 1O ＝AA 21－AO 2＝263. ∴VABC －A 1B 1C 1＝S △ABC ·A 1O ＝22，VA 1－B 1C 1CB ＝VABC －A 1B 1C 1－VA 1－ABC ＝423. ∴VC 1－BCA 1＝VA 1－BCC 1＝12VA 1－BCC 1B 1＝223.。

α,β相交，并记作α∩β=a.
()
(2)两个平面α,β有一个公共点A，就说α,β相交于过A点的
任意一条直线.
()
(3)两个平面α,β有一个公共点A，就说α,β相交于A点，并
记作α∩β=A.
()
(4)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.
()
(5)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面. ( )
(6)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.( )
1.有以下命题： ①若平面α与平面β相交，则它们只有有限个公共点；②经过 一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；③经过两 条相交直线有且只有一个平面；④两两相交且不共点的三条直 线确定一个平面. 其中，真命题的个数是( ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 【解析】选B.若平面α与平面β相交，则它们有无数个公共点，c满足a∥b,a，c异面，则b与c( )
(A)一定是异面直线
(B)一定是相交直线
(C)不可能是平行直线
(D)不可能是相交直线
【解析】选C.∵a∥b，a,c异面，
∴b与c相交或异面.
3.下列命题： ①两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行； ②两条直线不异面，则这两条直线相交； ③分别在两个平面内的直线是异面直线； ④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线 和这个平面平行. 其中正确命题的个数为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3
【解析】根据平面的性质公理3可知(1)对；对于(2)，其错误 在于“任意”二字上；对于(3)，错误在于α∩β=A上；对于 (4)，应为平面ABC和平面DBC相交于直线BC； 两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，故(5)正确； 命题(6)中没有说清三个点是否共线，故不正确. 答案:(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)×

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课时分层作业四十一空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题(每小题5分，共35分）1。

给出三个命题:①若两条直线和一个平面所成的角相等,则这两条直线互相平行；②若两条直线与一个平面垂直,则这两条直线互相平行；③若两条直线与一个平面平行,则这两条直线互相平行。

其中正确的命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.若两条直线与同一个平面所成的角相等,则这两条直线与平面的法向量夹角相等,这些直线构成以法向量为轴的某个对顶圆锥。

故①错误；两条直线与平面垂直，则这两条直线与平面的法向量平行，则根据公理4，两直线平行，故②正确;两条直线与一个平面平行，这两条直线可能异面、平行或相交。

故③错误.2。

下列命题中成立的个数是（)①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线l在平面α外,则l∥α；③若直线l∥b，直线b⊂α,则l∥α；④若直线l∥b,直线b⊂α,那么直线l就平行于平面α内的无数条直线。

A。

1 B.2 C.3 D。

4【解析】选A。

直线l平行于平面α内的无数条直线，包括l⊂α和l∥α，故①不成立;直线l在平面α外，包括l与α相交和l∥α,故②不成立;直线l∥b，直线b⊂α,包括l⊂α和l∥α，故③不成立;直线l∥b,直线b⊂α,那么l平行于α内与直线b平行的所有直线,所以直线l就平行于平面α内的无数条直线，故只有④成立.3。

第讲空间点、直线、平面之间的位置关系
板块一知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点平面的基本性质
考点空间两条直线的位置关系
．位置关系的分类
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点．
．平行公理
平行于同一条直线的两条直线互相平行．
．等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
．异面直线所成的角
()定义：设，是两条异面直线，经过空间中任一点作直线′∥，′∥，把′与′所成的锐角(或直角)叫做异面直线与所成的角．
()范围：.
考点空间直线、平面的位置关系。

1．已知 a，b，c 为三条不重合的直线，已知下列结论：
①若 a⊥b，a⊥c，则 b∥c；②若 a⊥b，a⊥c，则 b⊥c；
③若 a∥b，b⊥c，则 a⊥c.
其中正确的个数为( B )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：在空间中，若 a⊥b，a⊥c，则 b，c 可能平行，也 可能相交，还可能异面，所以①②错，③显然成立．
第三十一页，共四十七页。
考点三 异面直线所成的角
【例 3】 如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，AA1＝2AB＝2，则异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余
弦值为( D )
A．15 C．35
B．25 D．45
第三十二页，共四十七页。
【解析】 连接 BC1，易证 BC1∥AD1，则∠A1BC1 或其补角 为异面直线 A1B 与 AD1 所成的角．连接 A1C1，由 AB＝1，AA1＝2， 易得 A1C1＝ 2，A1B＝BC1＝ 5，故 cos∠A1BC1＝2×5＋55－×2 5＝45， 即异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为45.
第二十六页，共四十七页。
【解析】 取 CD 的中点 O，连接 ON，EO，因为△ECD 为 正三角形，所以 EO⊥CD，又平面 ECD⊥平面 ABCD，平面 ECD∩ 平面 ABCD＝CD，所以 EO⊥平面 ABCD．设正方形 ABCD 的边 长为 2，则 EO＝ 3，ON＝1，所以 EN2＝EO2＋ON2＝4，得 EN ＝2.过 M 作 CD 的垂线，垂足为 P，连接 BP，则 MP＝ 23，CP ＝32，所以 BM2＝MP2＋BP2＝ 232＋322＋22＝7，得 BM＝ 7， 所以 BM≠EN.连接 BD，BE，因为四边形 ABCD 为正方形，所以 N 为 BD 的中点，即 EN，MB 均在平面 BDE 内，所以直线 BM，

空间点线面之间的位置关系一、平面1.平面的概念：平面是一个不加定义，只需理解的原始概念．立体几何里所说的的平面是从现实生活中常见的平面抽象出来的．常见的桌面、平静的水面等都给我们以平面的局部形象．平面是理想的、绝对的平且无大小，无厚度，不可度量． 2.平面的表示方法：(1)一个平面： 当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45，横边画成邻边的2倍长，如右图． (2)两个相交平面：画两个相交平面时，通常要化出它们的交线，当一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如下图）3. 运用集合观点准确使用图形语言、符号语言和文字语言空间图形的基本元素是点、直线、平面线、平面看成是点的集合，因此还可借用集合中的符号语言来表示点、线、面的基本位置关系如下表所示：αBAβαABαβαβBAAβαBA α∈ 点A 在平面α内A α∉ 点A 不在平面α内b a Aa b A =直线a 、b 交于A 点a α⊂直线a 在平面α内a α=∅ 直线a 与平面α无公共点a A α=直线a 与平面α交于点Al αβ= 平面α、β相交于直线l二、平面的基本性质1. 公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内推理模式：A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭． 如图示：或者：∵,A B αα∈∈，∴AB α⊂ 公理1的作用：①判定直线是否在平面内；②判定点是否在平面内； ③检验面是否是平面．2. 公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合或者：∵,,A B C 不共线，∴存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈. 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；BA αAαAαaαaαa Aα推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．(1)以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、辅助面的依据．(2)“有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． 2. 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点,有且只有一条过该点的公共直线推理模式：A A l A ααββ∈⎫⇒∈=⎬∈⎭如图示：或者：∵,A A αβ∈∈，∴,l A l αβ=∈公理3的作用：(1)判断两个平面是否相交及交线位置； (2)判断点是否在线上 1、证明空间三点共线问题通常证明这些点都在两个平面的交线上，即先确定出某两点在两个平面的交线上，再证明第三点既在第一个平面内，又在第二个平面内。

课时作业40 空间点、直线、平面之间的位置关系，设对角线AC＝6所成的45°角，故S解析：若E，F，G，H四点不共面，则直线EF和GH肯定不相交，但直线EF和GH不相交，E，F，G，H四点可以共面，例如EF∥GH.故选B.答案：B5．如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是( )A．直线AC B．直线ABC．直线CD D．直线BC解析：由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.答案：C6．使直线a，b为异面直线的充分不必要条件是( )A．a⊂平面α，b⊄α，a与b不平行B．a⊂平面α，b⊄平面α，a与b不相交C．a∥直线c，b∩c＝A，b与a不相交D．a⊂平面α，b⊂平面β，α∩β＝l，a与b无公共点解析：对A：a与b可能有交点；对B，D：a与b可能平行，故选C.对C：可用反证法，若b与a不异面，而且a与b不相交，则a∥b.又a∥c，从而b∥c，与b∩c＝A矛盾．答案：C7．如图所示，ABCD－A1B1C1D1是正方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是( )A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面解析：连接A1C1，AC(图略)，则A1C1∥AC，∴A1，C1，A，C四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1.∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理A，O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，∴A，M，O三点共线．答案：A8．(2018·贵州六盘水二模)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是( )A．垂直 B．相交C．异面 D．平行解析：∵α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，m⊄α，n⊂α，A∈m，A∈α，∴n在平面α上，m与平面α相交，A是m和平面α的交点，∴m和n异面或相交(垂直是相交的特殊情况)，一定不平行，故选D.答案：D9．(2018·合肥检测)若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有( )A．0条 B．1条C．2条 D．0条或2条解析：本题考查空间直线与平面的位置关系．如图设平面α截三棱锥所得的四边形EFGH 是平行四边形，则EF∥GH，EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，所以EF∥平面BCD，又EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，则EF∥CD，EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，则CD∥平面EFGH，同理AB∥平面EFGH，所以该三棱锥与平面α平行的棱有2条，故选C.线面平行的判定定理、性质定理的灵活应用是解题的关键．答案：C10．(2018·陕西省高三质检)已知P是△ABC所在平面外的一点，M，N分别是AB，PC本题考查异面直线所成角，取AC中点为O，连接与MN所成的角．由MN答案：③④12．如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面又与CC1共面的棱有________条．解析：与AB和CC1都相交的棱为BC；与AB相交且与CC1平行的棱为AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱为CD，C1D1.故符合条件的棱有5条．答案：513.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________(写出所有正确结论的序号)．解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以①②错误．点B，B1，N在平面B1C中，点M在此平面外，所以BN，MB1是异面直线．同理AM，DD1也是异面直线．答案：③④14．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是________．解析：连接BC1，由于AC∥A1C1，所以∠BA1C1(或其补角)就是所求异面直线所成的角，与平面α都垂直，则平行，与已知矛盾，则假设不成立，本题考查异面直线所成角．设正六边形ABCDEF⊥平面ABCDEF，所以∠为等边三角形，所以SO＝BC＝CO＝1，所以∠。

空间点直线平面之间的位置关系例题空间几何是数学中一个非常重要的分支，在空间几何中，点、直线和平面是最基本的元素。

它们之间的位置关系既复杂又深刻，需要我们用深度和广度兼具的方式进行全面评估。

在本文中，我们将从简到繁，由浅入深地探讨空间点、直线和平面之间的位置关系，以及解决一些典型的例题。

一、空间点、直线和平面的基本概念1. 点：在几何中，点是最基本的概念，它是没有大小，没有形状，只有位置的。

点在空间中是唯一的，通过坐标来表示。

2. 直线：直线是由无数个点组成的，在空间中是一条无限延伸的路径。

直线有方向和长度，可以根据方向向量来表示。

3. 平面：平面是由无数个点和直线组成的，在空间中是没有边界的二维图形。

平面可以通过点和法向量来表示。

二、点、直线和平面之间的位置关系1. 点和直线的位置关系：（1）点是否在直线上：给定点P(x,y,z)，直线L:Ax+By+Cz+D=0，要判断点P是否在直线L上，可以将点P的坐标代入直线方程，若等式成立，则点P在直线L上。

（2）点到直线的距离：点P到直线L的距离可以通过点到直线的公式来计算，即d=|Ax0+By0+Cz0+D|/√(A^2+B^2+C^2)。

（3）点和直线的位置关系还包括点在直线的上、下、左、右、内、外等方面。

2. 点、直线和平面的位置关系：（1）点是否在平面上：给定点P(x,y,z)，平面π:Ax+By+Cz+D=0，要判断点P是否在平面π上，可以将点P的坐标代入平面方程，若等式成立，则点P在平面π上。

（2）点到平面的距离：点P到平面π的距离可以通过点到平面的公式来计算，即d=|Ax0+By0+Cz0+D|/√(A^2+B^2+C^2)。

（3）点和平面的位置关系还包括点在平面的前、后、内、外等方面。

三、例题解析：空间点、直线、平面的位置关系1. 例题一：已知点A(1,2,3)、直线L:2x-3y+z+4=0和平面π:3x+y-2z-7=0，判断点A是否在直线L上和平面π上，若不在，求点A到直线L和平面π的距离。

课时作业41 空间点、直线、平面之间的位置关系1．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是( D )解析：A、B、C图中四点一定共面，D中四点不共面．2．(2019·烟台质检)a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是( C ) A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c解析：若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c 相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．3．若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是( A )①若直线m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线；②若直线m，n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线；③已知平面α，β互相垂直，且直线m，n也互相垂直，若m⊥α，则n⊥β；④若直线m，n在平面α内的射影互相垂直，则m⊥n.A．②B．②③C．①③D．②④解析：对于①，m与n可能平行，可能相交，也可能异面，①错误；对于②，由线面垂直的性质定理可知，m与n一定平行，故②正确；对于③，还有可能n∥β或n与β相交或n在β内，③错误；对于④，把m，n放入正方体中，如图，取A1B为m，B1C为n，平面ABCD为平面α，则m与n在α内的射影分别为AB与BC，且AB⊥BC．而m与n所成的角为60°，故④错误．4．过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A 作直线l ，使l 与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，这样的直线l 可以作( D )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：如图，连接体对角线AC 1，显然AC 1与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，所成角的正切值都为 2. 联想正方体的其他体对角线，如连接BD 1，则BD 1与棱BC ，BA ，BB 1所成的角都相等， ∵BB 1∥AA 1，BC ∥AD ，∴体对角线BD 1与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，同理，体对角线A 1C ，DB 1也与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，过A 点分别作BD 1，A 1C ，DB 1的平行线都满足题意，故这样的直线l 可以作4条．5．如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱DD 1上运动，点N 在正方体的底面ABCD 内运动，则MN 的中点P 的轨迹的面积是( D )A ．4πB ．πC ．2πD ．π2解析：连接DN ，则△MDN 为直角三角形， 在Rt △MDN 中，MN ＝2，P 为MN 的中点， 连接DP ，则DP ＝1，所以点P 在以D 为球心，半径R ＝1的球面上，又因为点P 只能落在正方体上或其内部，所以点P 的轨迹的面积等于该球面面积的18，故所求面积S ＝18×4πR 2＝π2.6．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，则异面直线CP 与BA 1所成的角θ的取值范围是( D )A ．0＜θ＜π2B ．0＜θ≤π2C ．0≤θ≤π3D ．0＜θ≤π3解析：连接CD 1，CA ．∵A 1B ∥D 1C ，∴异面直线CP 与A 1B 所成的角即为CP 与D 1C 所成的角． ∵△AD 1C 是正三角形，∴当P 与A 重合时，所成角最大，为π3.又∵P 不能与D 1重合(此时D 1C 与A 1B 平行，不是异面直线)，∴θ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π3，故选D ．7．如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1是长方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则下列结论正确的是( A )A ．A ，M ，O 三点共线B ．A ，M ，O ，A 1不共面C ．A ，M ，C ，O 不共面D ．B ，B 1，O ，M 共面解析：连接A 1C 1，AC ，则A 1C 1∥AC ，所以A 1，C 1，C ，A 四点共面， 所以A 1C ⊂平面ACC 1A 1，因为M ∈A 1C ，所以M ∈平面ACC 1A 1，又M ∈平面AB 1D 1，所以M 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上， 同理O 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上，所以A ，M ，O 三点共线．8．直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( C )A ．110B ．25C ．3010D ．22解析：取BC 的中点Q ，连接QN ，AQ ，易知BM ∥QN ，则∠ANQ 或其补角的余弦值即为所求， 设BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AQ ＝5，AN ＝5，QN ＝6，∴cos ∠ANQ ＝AN 2＋NQ 2－AQ 22AN ·NQ ＝5＋6－525×6＝6230＝3010.9．(2019·西安模拟)如图是正四面体的平面展开图，G ，H ，M ，N 分别为DE ，BE ，EF ，EC 的中点，在这个正四面体中，①GH 与EF 平行；②BD 与MN 为异面直线；③GH 与MN 成60°角；④DE 与MN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是②③④.解析：还原成正四面体A-DEF，其中H与N重合，A，B，C三点重合．如图所示．易知GH与EF异面，BD与MN异面．又△GMH为等边三角形，∴GH与MN成60°角，易证DE⊥AF，MN∥AF，∴MN⊥DE.因此正确的序号是②③④.10．如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为 2.解析：取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，如图．因为C 是圆柱下底面弧AB 的中点，所以AD ∥BC ，所以直线AC 1与AD 所成的角即为异面直线AC 1与BC 所成的角，因为C 1是圆柱上底面弧A 1B 1的中点，所以C 1D ⊥圆柱下底面，所以C 1D ⊥AD ．因为圆柱的轴截面ABB 1A 1是正方形， 所以C 1D ＝2AD ，所以直线AC 1与AD 所成角的正切值为2，所以异面直线AC 1与BC 所成角的正切值为 2. 11．如图所示，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB＝2，AC ＝23，PA ＝2.求：(1)三棱锥P -ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值． 解：(1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P -ABC 的体积为 V ＝13S △ABC ·PA ＝13×23×2＝433. (2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE 是异面直线BC 与AD 所成的角(或其补角)． 在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2， cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34.故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.12．如图，已知二面角α-MN -β的大小为60°，菱形ABCD 在平面β内，A ，B 两点在棱MN 上，∠BAD ＝60°，E 是AB 的中点，DO ⊥平面α，垂足为O .(1)证明：AB ⊥平面ODE ；(2)求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值． 解：(1)证明，∵DO ⊥α，AB ⊂α， ∴DO ⊥AB ．连接BD ，由题意知，△ABD 是正三角形．又E 是AB 的中点，∴DE ⊥AB ． 而DO ∩DE ＝D ，∴AB ⊥平面ODE .(2)∵BC ∥AD ，∴BC 与OD 所成的角等于AD 与OD 所成的角，即∠ADO 是异面直线BC 与OD 所成的角．由(1)知，AB ⊥平面ODE ，所以AB ⊥OE .又DE ⊥AB ，∴∠DEO 是二面角α-MN -β的平面角，即∠DEO ＝60°.不妨设AB ＝2，则AD ＝2，易知DE ＝ 3. 在Rt △DOE 中，DO ＝DE ·sin60°＝32.连接AO ，在Rt △AOD 中，cos ∠ADO ＝DO AD ＝322＝34.故异面直线BC 与OD 所成角的余弦值为34.13．正四棱锥P -ABCD 中，四条侧棱长均为2，底面ABCD 是正方形，E 为PC 的中点，若异面直线PA 与BE 所成的角为45°，则该四棱锥的体积是( D )A ．4B ．2 3C ．43D ．233解析：如图所示，连接AC ，BD ． 设AC ∩BD ＝O ，连接PO ，OE ， ∵O ，E 分别是AC 和PC 的中点， ∴OE ∥PA ，OE ＝12PA ＝1，则∠BEO 或其补角即为异面直线PA 与BE 所成的角． ∵底面ABCD 是正方形，∴BO ⊥AC ， 又PO ⊥OB ，PO ∩AC ＝O ， ∴BO ⊥平面PAC ，则BO ⊥OE ， ∴△BOE 是等腰直角三角形， ∴OB ＝OE ＝1，PO ＝PB 2－OB 2＝3，BC ＝2，则四棱锥P -ABCD 的体积V ＝13×(2)2×3＝233，故选D ．14．如图是三棱锥D -ABC 的三视图，点O 在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO 和AB 所成角的余弦值等于( A )A ．33B ．12C ． 3D ．22解析：由三视图及题意得如图所示的直观图，从A 出发的三条线段AB ，AC ，AD 两两垂直且AB ＝AC ＝2，AD ＝1，O 是BC 的中点，取AC 中点E ，连接DE ，DO ，OE ，则OE ＝1，又可知AE ＝1，由于OE ∥AB ，故∠DOE 即为所求两异面直线所成的角或其补角．在直角三角形DAE中，DE ＝2，由于O 是BC 的中点，在直角三角形ABC 中可以求得AO ＝2，在直角三角形DAO 中可以求得DO ＝ 3.在三角形DOE 中，由余弦定理得cos ∠DOE ＝1＋3－22×1×3＝33，故所求异面直线DO 与AB 所成角的余弦值为33，故选A ． 15．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE .若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻折过程中，下列四个命题中不正确的是③.(填序号)①BM 是定值；②点M 在某个球面上运动； ③存在某个位置，使DE ⊥A 1C ； ④存在某个位置，使MB ∥平面A 1DE .解析：取DC 的中点F ，连接MF ，BF ，则MF ∥A 1D 且MF ＝12A 1D ，FB ∥ED 且FB ＝ED ，所以∠MFB ＝∠A 1DE .由余弦定理可得MB 2＝MF 2＋FB 2－2MF ·FB ·cos∠MFB 是定值，所以M 是在以B 为球心，MB 为半径的球面上，可得①②正确；由MF ∥A 1D 与FB ∥ED 可得平面MBF ∥平面A 1DE ，可得④正确；若存在某个位置，使DE ⊥A 1C ，则因为DE 2＋CE 2＝CD 2，即CE ⊥DE ，因为A 1C ∩CE ＝C ，则DE ⊥平面A 1CE ，所以DE ⊥A 1E ，与DA 1⊥A 1E 矛盾，故③不正确．16．(2019·新疆乌鲁木齐诊断)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝2，AB ＝AA 1＝2，E 是棱CC 1的中点．(1)求证：A 1B ⊥AE ；(2)求点A 1到平面ABE 的距离．解：(1)证明：如图，取A 1B 的中点F ，连接AF ，EF . ∵三棱柱ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，∴CC 1⊥A 1C 1，CC 1⊥CB ，AC ＝A 1C 1. 又∵E 是CC 1的中点，AC ＝BC ， ∴A 1E ＝BE ，∴A 1B ⊥EF . 又∵AB ＝AA 1，∴A 1B ⊥AF .又AF ∩EF ＝F ，∴A 1B ⊥平面AEF .又AE ⊂平面AEF ， ∴A 1B ⊥AE .(2)V 三棱锥A 1-ABE ＝V 三棱锥B -A 1AE ＝13×12×2×2×2＝23，设A 1到平面ABE 的距离为h ，则13S △ABE ·h ＝23，由已知得AE ＝BE ＝3，∴S △ABE ＝12×2×2＝2，∴h ＝ 2.。

2018年高考数学一轮复习第七章立体几何课时达标40 空间点、直线、平面之间的位置关系理[解密考纲]考查点、线、面的位罝关系常以选择题或填空题的形式出现．一、选择题1．设a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的( C )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：直线a，b平行时，由“l⊥a，l⊥b”⇒/“l⊥α”；“l⊥α”⇒“l⊥a，l ⊥b”，所以“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的必要不充分条件．2．如图所示，ABCD­A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是( A )A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面解析：连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，∴A1，C1，C，A四点共面．∴A1C⊂平面ACC1A1.∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D1，∴M为平面ACC1A1与AB1D1的公共点．同理O，A为平面ACC1A1与平面AB1D1的公共点．∴A，M，O三点共线．3．正方体A1C中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( A )A．相交B．异面C．平行D．垂直解析：如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．4．(2017·安徽合肥模拟)已知空间中有三条线段AB ，BC 和 CD ，且∠ABC ＝∠BCD ，那么直线AB 与CD 的位置关系是( D )A ．AB ∥CD B ．AB 与CD 异面C ．AB 与CD 相交D ．AB ∥CD 或AB 与CD 异面或AB 与CD 相交解析：若三条线段共面，如果AB ，BC ，CD 构成等腰三角形，则直线AB 与CD 相交，否则直线AB 与CD 平行；若不共面，则直线AB 与CD 是异面直线．5．如图，直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，点D 1，F 1分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1＝1，则 BD 1与AF 1所成角的余弦值为( A)A ．3010B ．12C ．3015D ．1510解析：取BC 的中点E ，连接EF 1，EA ，则可知∠EF 1A 或其补角为BD 1与AF 1所成的角，在△AEF 1中，可求得F 1E ＝62，AF 1＝52，AE ＝52，由余弦定理得，cos ∠EF 1A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫5222×62×52＝3010，故选A ． 6．如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别在AB 1，BC 1上，且AM ＝13AB 1，BN ＝13BC 1.给出下列结论：①AA 1⊥MN ；②A 1C 1∥MN ；③MN ∥平面A 1B 1C 1D 1；④B 1D 1⊥MN .其中正确结论的个数是( B )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：在BB 1上取一点P ，使BP ＝13BB 1，连接PN ，PM .∵点M ，N 分别在AB 1，BC 1上，且AM＝13AB1，BN＝13BC1，∴PN∥B1C1，PM∥A1B1.又∵PN∩PM＝P，B1C1∩A1B1＝B1，∴平面PMN∥平面A1B1C1D1.∵MN⊂平面PMN，∴MN∥平面A1B1C1D1.又∵AA1⊥平面PMN，∴AA1⊥MN.故①③正确．分别作MM1∥BB1，NN1∥CC1，交A1B1，B1C1于点M1，N1，连接M1N1，则M1N1不平行于A1C1，∴MN与A1C1不平行．又∵A1C1⊥B1D1，∴B1D1与MN不垂直，故②④不正确．∴正确结论的个数是2，故选B.二、填空题7．下列如图所示是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是①②③.解析：在④图中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P，Q，R，S四点不共面．可证①中四边形PQRS为梯形；③中可证四边形PQRS为平行四边形；②中如图所示，取A1A与BC的中点为M，N，可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形．8．四棱锥P­ABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是A，其三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是腰长为a的等腰三角形，则在四棱锥P­ABCD的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有6对．解析：由题意可得PA⊥BC，PA⊥CD，AB⊥PD，BD⊥PA，BD⊥PC，AD⊥PB，即互相垂直的异面直线共有6对．9．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线MN与AC所成的角为60°.其中正确的结论为③④(填所有正确结论的序号)．解析：AM 与CC 1是异面直线，AM 与BN 是异面直线，BN 与MB 1为异面直线．因为D 1C ∥MN ，所以直线MN 与AC 所成的角就是D 1C 与AC 所成的角，为60°.三、解答题10．如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD ，CC 1的中点，求异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小．解析：如图，连接D 1M ，可证D 1M ⊥DN . 又∵A 1D 1⊥DN ，A 1D 1，MD 1⊂平面A 1MD 1，A 1D 1∩MD 1＝D 1，∴DN ⊥平面A 1MD 1，∴DN ⊥A 1M ，即异面直线A 1M 与DN 所成的夹角为90°.11．如图，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC12AD ，BE 12FA ，G ，H 分别为 FA, FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形． (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？ 解析：(1)证明：由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ， 可得GH 12AD . 又BC12AD ，∴GH BC ． ∴四边形BCHG 为平行四边形． (2)由BE12AF ，G 为FA 的中点知，BE FG ， ∴四边形BEFG 为平行四边形． ∴EF ∥BG .由(1)知BG ∥CH ， ∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C ，D ，F ，E 四点共面．12．如图所示，在三棱锥P ­ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝60°，PA ＝AB ＝AC ＝2，E 是PC 的中点．(1)求证：AE 与PB 是异面直线；(2)求异面直线AE 和PB 所成角的余弦值； (3)求三棱锥A ­EBC 的体积．解析：(1)证明：假设AE 与PB 共面，设平面为α. 因为A ∈α，B ∈α，E ∈α， 所以平面α即为平面ABE ，所以P ∈平面ABE ， 这与P ∉平面ABE 矛盾， 所以AE 与PB 是异面直线． (2)取BC 的中点F ，连接EF ，AF ， 则EF ∥PB ，所以∠AEF 或其补角就是异面直线AE 和PB 所成的角，因为∠BAC ＝60°，PA ＝AB ＝AC ＝2，PA ⊥平面ABC ，所以AF ＝3，AE ＝2，EF ＝2， 由余弦定理得cos ∠AEF ＝2＋2－32×2×2＝14，所以异面直线AE 和PB 所成角的余弦值为14.(3)因为E 是PC 的中点，所以点E 到平面ABC 的距离为12PA ＝1，V A ­EBC ＝V E ­ABC ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2×32×1＝33.。

(1)(2016·济南模拟)a，b，c 是两两不同的三条直线，下 面四个命题中，真命题是( )
A．若直线 a，b 异面，b，c 异面，则 a，c 异面 B．若直线 a，b 相交，b，c 相交，则 a，c 相交 C．若 a∥b，则 a，b 与 c 所成的角相等 D．若 a⊥b，b⊥c，则 a∥c
(2)(2014·广东卷)若空间中四条两两不同的直线 l1，l2，l3，l4 满足 l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( )
设 BC＝2，则 BM＝ND＝ 6，AN＝ 5，AD＝ 5，
在△ADN 中，由余弦定理得
cos∠AND＝ND2＋2NADN·A2－N AD2＝
30 10 .
故异面直线
BM
与
AN
所成角的余弦值为
30 10 .
答案：C
1．求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三 种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中 点)作平行线平移；补形平移．
解析：对于①，当 a∥M，b∥M 时，则 a 与 b 平行、相交或异
面，①为真命题．②中，b⊂M，a∥b，则 a∥M 或 a⊂M，②为假
命题．命题③中，a 与 b 相交、平行或异面，③为假命题．由线面垂
直的性质，命题④为真命题，所以①、④为真命题．
答案：A
(2014·新课标全国Ⅱ卷)直三棱柱 ABC A1B1C1 中，∠BCA ＝90°，M，N 分别是 A1B1，A1C1 的中点，BC＝CA＝CC1，则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为( )
(2)∵EF∥CD1，EF<CD1， ∴CE 与 D1F 必相交，设交点为 P， 则由 P∈直线 CE，CE⊂平面 ABCD， 得 P∈平面 ABCD. 同理 P∈平面 ADD1A1. 又平面 ABCD∩平面 ADD1A1＝DA， ∴P∈直线 DA.∴CE，D1F，DA 三线共点．