当前位置：文档之家 › 第二章(单自由度系统的振动)

第二章(单自由度系统的振动)

  • 格式：ppt
  • 大小：7.89 MB
  • 文档页数：203

下载文档原格式

  / 203

合集下载

机械振动学_第二章单自由度振动系统

机械振动学_第二章单自由度振动系统

第二章单自由度系统振动§1-1 概述单自由度系统的振动理论是振动理论的理论基础。

(1)尽管实际的机械都是弹性体或多自由度系统，然而要掌握多自由度振动的基本规律，就必须先掌握单自由度系统的振动理论。

此外，(2)许多工程技术上的具体振动系统在一定条件下，也可以简化为单自由度振动系统来研究。

[举例如下：]例如：(1)悬臂锤削镗杆；(2)外圆磨床的砂轮主轴；(3)安装在地上的床身等。

[力学模型的简化方法]若忽略这些零部件中的镗杆、主轴和转轴的质量，只考虑它们的弹性。

忽略那些支承在弹性元件上的镗刀头、砂轮、床身等惯性元件的弹性，只考虑它们的惯性。

把它们看成是只有惯性而无弹性的集中质点。

于是，实际的机械系统近似地简化为单自由度线性振动系统的动力学模型。

在实际的振动系统中必然存在着各种阻尼，故模型中用一个阻尼器来表示。

阻尼器由一个油缸和活塞、油液组成。

汽车轮悬置系统等等。

[以上为工程实际中的振动系统]单自由度振动系统——指用一个独立参量便可确定系统位置的振动系统。

所有的单自由度振动系统经过简化，都可以抽象成单振子，即将系统中全部起作用的质量都认为集中到质点上，这个质点的质量m 称为当量质量，所有的弹性都集中到弹簧中，这个弹簧刚度k称为当量弹簧刚度。

以后讨论中，质量就是指当量质量，刚度就是指当量弹簧刚度。

在单自由度振动系统中，质量m、弹簧刚度k、阻尼系数C是振动系统的三个基本要素。

有时在振动系统中还作用有一个持续作用的激振力P。

应用牛顿运动定律，作用于一个质点上所有力的合力等于该质点的质量和该合力方向的加速度的乘积。

（牛顿运动定律）（达伦培尔原理）现取所有与坐标x 方向一致的力、速度和加速度为正，则：kx x C t P xm --= ωsin 0 (牛顿运动定律) （达伦培尔原理：在一个振动体上的所有各力的合力必等于零） （动静法分析：作用在振动体上的外力与设想加在此振动体上的惯性力组成平衡力系）上式经整理得，t P kx x C xm ωsin 0=++ （2.1） 该式就是单自由度线性振动系统的运动微分方程式的普遍式。

振动理论-第1,2章 单自由系统振动

振动理论-第1,2章 单自由系统振动

第2章 单自由度系统的振动
1.2 振动系统的模型及其分类
5. 按描述振动系统的微分方程分类
线性振动 能用常系数线性微分方程描述的振动 非线性振动 只能用非线性微分方程描述的振动
第2章 单自由度系统的振动
1.2 振动系统的模型及其分类
6. 按激励（动荷载）分类
动荷载
确定
周期
简谐荷载 非简谐荷载
冲击荷载
刚柔耦合系统
·对于大型振动系统可以部分采用离散系统模型，部分采用连续系统模型.
总之，建立振动系统的模型应力求简单，能准确反映客观 实际，且计算结果在工程允许的范围内.
第2章 单自由度系统的振动
1.2 振动系统的模型及其分类
2. 按振动系统的自由度数分类
单自由度振动系统 确定系统在振动过程中任何瞬时几何位置只需要 一个独立坐标的振动
Fs2 k2 (x2 x1)
Fs Fs1 Fs2 k1(x2 x1) k2 (x2 x1) keq(x2 x1)
所以等效弹簧刚度为
第2章 单自由度系统的振动
keq k1 k2
（2-1） （2-2）
2.1 单自由度系统的自由振动
n
keq ki i 1
串联时弹簧的等效刚度
（2-3）
第第22章章 单单自由自度由系度统系的振统动的振动
2.1 单自由度系统的自由振动
弹性元件的组合
在实际工程系统中，常常会有多个弹性元件以各种形式 组合在一起的情况，其中最典型的是并联和串联两种形式， 分别如图2-4（a）和2-4（b）所示。
图2-4 弹簧的组合
并联时弹簧的等效刚度
Fs1 k1(x2 x1)
第1章 绪论
第2章 单自由度系统的振动
第1章 绪论
第二章 单自由度系统振动的理论及应用

第二章 单自由度系统振动的理论及应用


M t
则得
2 .. n 0
通解为:
A sin(n t 0 )
代入:
将振动的初始条件t= 0 ， 0 , . 0.
A
.0 2 0 2 n
2
n 0 0 arctan . 0
例: 已知：质量为m＝0.5kg的物体沿光滑斜面无初速度滑下。 当物块下落高度h=0.1m时，撞于无质量的弹簧上， 并与弹簧不再分离，弹簧刚度系数k=0.8kN/m。 倾角 30 求：此系统振动的固有频率和振幅并给出物块的运动方程。
计算固有频率的能量法
无阻尼自由振动系统没有能量的损失,振动将永远持续下去. 在振动过程中,系统的动能与弹簧的势能不断转换,但总的机械能 守恒.因此,可以利用能量守恒原理计算系统的固有频率. 如图所示无阻尼振动系统 当系统作自由振动时，运动规律为:
x A sin(0t )
速度为:
dx v 0 A cos(0t ) dt
称为单自由度线性纵向振动系统的运动微分方程式,又称单 自由度有粘性阻尼的受迫振动方程.
可分为如下几种情况进行研究:
(1)当c=0,F(t)=0时, 该方程为单自由度无阻尼自由振动方程.
(2)当F(t)=0时, mx cx kx 0 该方程为单自由度有拈性阻尼的自由振动方程.
.. .
mx .. kx 0
由机械能守恒定律有
Tmax Vmax
即
1 1 2 2 J 0 Φ ( k1l 2 k 2d 2 )Φ 2 2 2
解得固有频率
0
k1 l 2 k 2 d 2 J
例: 已知：如图表示一质量为m，半径为r的圆柱体，在一半 径为R的圆弧槽上作无滑动的滚动。 求：圆柱体在平衡位置附近作微小振动的固有频率。
第2章单自由度的自由系统

第2章单自由度的自由系统

这就是应用于振动系统的能量守恒原理。对时 间求导，得
以具体振动系统的能量表达式代人上式，化简后 即可得出描述振动系统自由振动的微分方程。
如果取平衡位置为势能零点，根据自由振动 的特点，系统在平衡位置时，系统的势能为零， 其动能的极大值Tmax就是全部机械能，而在振 动系统的极端位置时，系统的动能为零，其势能 的极大值Umax等于其全部的机械能。由机械能 守恒定律，有
式中，k为梁的弹簧刚度，对于简支梁带有中间集中 质量时
下面证明一个等截面悬臂梁(如图)在自由端的
等效质量为
。假定梁自由振动时的振动形式
则系统的最大动能为
系统的最大势能为
则得固有频率ωn同前。
例2.2-2细杆OA可绕水平轴O转动，如图所示，
在静平衡时成水平。杆端锤的质量为m，杆与弹
簧的质量均可略去不计，求自由振动的微分方程
及周期。
解：在杆有微小偏角φ时，
弹簧的伸长以及锤的位移与
速度可以近似地表示为aφ，
lφ与 。故振动系统的动能
与势能可以表示为
因为mg=kδs，上式仍可简化为
。
可见前面关于物体沿光滑平面运动的讨论，同样适
用于对物体沿铅垂方向的振动，只要取物体的静平
衡位置为坐标原点。
从弹簧的静变形可以方便地计算出振动系统
的固有频率。
因为由式
得
又
则
例2.1-1 均匀悬臂梁长为l，弯曲刚度为EJ，重量 不计，自由端附有重为P=mg的物体，如图所示。 试写出物体的振动微分方程，并求出频率。
只要振动系统的自由振动是简谐振动，则由该 方程可以直接得出系统的固有频率。不需要列出振 动微分方程。
例2.2-1有一个重量为W，半径为r的实心圆柱体， 在半径为R的圆柱形面上无滑动地滚动，如图所 示。假设该滚动的圆柱体进行简谐运动，试求它 绕平衡位置作微小摆动时的固有频率ωn。
02单自由度系统的振动

02单自由度系统的振动

ka2 2 0 ml
ka 2 ( o ) mgl ml 2
k o a a mgl 0
l
mg
A
知识要点: 线弹性 恢复力作用下单自由度无阻尼自由振动微分方程是： 2 n x x0
(1) 振动方程的解为:
nt x A sin
如果振系中质量块的重力与弹簧静伸长力产生力矢平 衡或力矩平衡时, 以静平衡位置作为坐标原点而建立 的振动方程中不会出现重力项.
2 n 2. 方程 x x 0 的解
用特征根法 方程的解
2 2 n 0
in
A1
2 A12 A2
x A1 cos n t A2 si n n t
16/96
注意: 如果系统在振动方向上受到某个常力的作用(如重力)，该常 力只影响静平衡点o的位置，而不影响系统的振动规律，如振动频 率、振幅和相位等。所以, 以静平衡点为坐标原点的振动方程是标 准方程.
k
k
a
O
a
st
O
O
l

mg A l

k A
mg
x k x0 m
A
x
ka2 2 0 ml
(3)周期T 和固有频率 n 仅决定于系统本身的固有参数 . (如: m、 k、J 等 )。 此外, 如果系统在振动方向上受到某个常力的作用，该常力
只影响静平衡点O的位置，而不影响系统的振动规律，如振动
频率、振幅和相位等。
10/96
例1. 一弹簧振子的物块重量为P, 已知在静力平衡时, 弹簧的伸 长为st . 试写出系统的振动方程.
2 x0
2 n
2 0 x
第二章单自由度系统的自由振动

第二章单自由度系统的自由振动


可见动张力几乎是静张力的一半，由于
v kA k v km wn
因而为了降低动张力，应该降低系统的刚度
15
例2.2 图示的直升机桨 叶经实验测出其质量 为m，质心C距铰中心 O距离为l。现给予桨 叶初始扰动，使其微 幅摆动，用秒表测得 多次摆动循环所用的 时间，除以循环次数 获得近似的固有周期， 试求桨叶绕垂直铰O的 转动惯量。
第二章 单自由度系统的自由振动
以弹簧质量系统为力学模型，讨论单自由度 无阻尼系统的固有振动和自由振动， • 固有振动的表现形式为简谐振动，其固有频率 的计算方法有静变形法、能量法、瑞利法以及 等效刚度、等效质量法 • 有阻尼的系统根据阻尼的大小分为过阻尼、临 界阻尼及欠阻尼三种状态
1
单自由度系统的自由振动
一、自由振动的概念：
以弹簧质量系统为力学模型
2
运动过程中，总指向物体平衡位置的力称为恢复力。 物体受到初干扰后，仅在系统的恢复力作用下在其平衡位 置附近的振动称为无阻尼自由振动。 质量—弹簧系统： 令x为位移，以质量块的静平衡位置 为坐标原点，当系统受干扰时，有：
m mg k (s x) x
O l C mg
16
解：取图示坐标系，将直升机桨叶视为一物 理摆，根据绕固定铰的动量矩定理得到其 摆动微分方程
J 0 mgl sin
O l C mg
sin
n
mgl , J0
J0 mgl 0
J0 Tn 2 mgl
mgl J0 2 Tn2 4
m Tn 2 n k 2
固有周期
k / m g / s
10
固有频率及固有周期
k g wn m s
对于不易得到刚度或质量的系统， 若能测出静变形，可用上式计算固有频率。
《结构动力学 》单自由度体系的振动

《结构动力学 》单自由度体系的振动

a、刚度法(stiffness method) 从力系平衡建立的自 由振动微分方程：
ky 0........( m y a)
m k (D’Alember’s principle) y( t )
y( t )
k
m
my
..
my
..
y m ..
ky
my
15
§2.2 无阻尼自由振动
b、柔度法(flexibility method) 取振动体系为研究对象， 惯性力：
1）由地震引起建筑物基础的运动； 2）由建筑物的振动而引起安置在建筑物内的设备 基底的运动等等。
10
§2.1运动方程的建立
1、地震动问题的简化模型
假定：
（1）刚架内水平横梁是刚 性的，且包含了结构所有 的运动质量， （2）柱假定无重量且在 轴向不能变形，抵抗刚架 侧向位移的恢复力由两根 柱的侧向刚度来提供。
y(t T ) y(t 2 / ) y(t )
T 2 /
T:自由振动的周期，单位为秒（s）。
f 1 / T :频率，表示单位时间内的振动次数，单位为
1/秒（1/s），或称为赫兹（Hz）。
2f :圆频率或角频率，表示在2 个单位时间内 的振动次数,单位为rad/s 。
①单自由度体系包括振动分析中涉及到的所有物理量和基本 概念。
②具有实际应用价值，或进行初步的估算。 很多实际动力问题可按单自由度体系计算。 ③多自由度体系动力分析的基础。
3
§2.1运动方程的建立

1、水平振动
作用在质量块上有三个真实力、一个虚拟的力： 荷载、弹簧弹性力 和阻尼力; 惯性力
§2.1运动方程的建立
m l/2 解：1）求δ
结构动力学-单自由度系统的振动

结构动力学-单自由度系统的振动


Fi= -my
F(t)
2 1 F1=1
2 F2=1 1
δ11 δ12
2021/6/24
Δ1F=δ11Fi
Δ1F=δ12F(t)
17
（2）按叠加原理建立运动方程： 位移协调
y 11Fi( t ) 12F( t ) 11( my ) 12F( t )
变换得：y 2 y 12 F( t ) 0.6875 F( t )
0.00265 0.00511 0.00776m
M max M stw M stf
Wl
4
Fl 4
2021/6/24
20 4 3.866 10 4 58.66kN m
15
4
4
❖ 例2：
图示跨中带有一质体的无重简支梁，动力荷
载 F(t) F sint 作用在距离左端l/4处，若
令： yst
p
m 2
p k
p
1 12 / 2
yst 为最大静位移，表示将荷载最大值P当作 静荷载作用时结构所产生的位移；
为动力放大系数或动力系数，表示最大动 位移[ y(t)]max与最大静位移 yst 的比值。
则有： 2021/6/24 y( t ) yst sint
9
动力系数 与频率比值的关系： 动力系数 是频率比值 / 的函数，变化规 律如图所示，其中横坐标为 /，纵坐标为 的绝对值。
因此：在研究共振时的动力响应，阻尼的影 响不容忽视。
2021/6/24
30
（3）在阻尼体系中，共振时的动力系数虽然
接近于最大的动力系数 max，但并不等于这个
最大值。
求最大响应时的 值：
可求 对 / 的导数并令其等于零。对于阻 尼比 1 2的实际结构，响应峰值频率为：
振动理论及工程应用2 第二章 单自由度系统的振动

振动理论及工程应用2 第二章 单自由度系统的振动


刚度系数k。
先将刚度系数k2换算至质量m所在处C的等效刚度系数k。
设在C处作用一力F，按静力平衡的
关系，作用在B处的力为 Fa
C
b
此力使B 弹簧 k2 产生 变形，
而此变形使C点发生的变形为
c

a Fa 2 b k2b2
得到作用在C处而与k2弹簧等效的刚度系数
k F
c

k2
C1 x0
C2

v0 pn
x

x0
cos
pnt

v0 pn
sin
pnt
另一种形式
x Asin( pnt )
初
振幅
相 两种形式描述的物
A
x02

(
v0 pn
)2
位 块振动，称为无阻 角 尼自由振动，简称
自由振动。


arctg(
pn x0 v0
)
无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的 简谐振动
b2 a2
k F
c
k2
b2 a2
与弹簧k1串联
C
得系统的等效刚度系数
k
k1k 2
b2 a2

k1k 2 b 2
k1

k2
b2 a2
a 2k1 b2k2
物块的自由振动频率为
pn
k b
k1k2
m
m(a2k1 b2k2 )
弹性梁的等效刚度
例 一个质量为m的物块从 h 的高 处自由落下，与一根抗弯刚度为EI、 长为的简支梁作塑性碰撞，不计梁 的质量，求该系统自由振动的频率、 振幅和最大挠度。
系统振动的周期 T 2π 2π m
第二章 单自由度系统的自由振动

第二章 单自由度系统的自由振动

阻尼比ξ：（或称为相对阻尼系数）
35
第二章 单自由度系统的自由振动
方程的特征根为： 讨论在阻尼比ξ取值不同时，微分方程解 （1）小阻尼情况，即ξ<1：
此时特征方程的根：
的性质。
微分方程的解为：
设：
，考虑初始条件t=0时，有
，
，将其
代入微分方程的解中，有
t=0时
求解 得到
36
第二章 单自由度系统的自由振动
为：
T

1
•
m(l )2
2
U 1 k(a)2
2
平衡位置时： kas mgl
d

1 2
ml 2
•
2

1 2
k
(a
)
2



0
dt
••

k
(a)2

0
ml


n


a l
k m
T

2 n

2l
a
m k
22
第二章 单自由度系统的自由振动
2.3 瑞利法
8
第二章 单自由度系统的自由振动
例题讲解3 重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞
梁长 L，抗弯刚度 EJ m
h
l/2
0
l/2
求： 梁的自由振动频率和最大挠度
第二章 单自由度系统的自由振动
解： 取平衡位置 以梁承受重物时的静平衡位 置为坐标原点建立坐标系
静变形 由材料力学 ： mgl3
48EJ

1 2
m2
(
l2 l1
x)2

1 2
振动理论-第2章 单自由度系统的自由振动

振动理论-第2章 单自由度系统的自由振动


c
l
解：梁重物处的静变形为
st
Wc2 (l c)2 3lEI
则：
3lEI k c2 (l c)2
1g f
2 st
例3. 已知：升降机吊笼，以等速 v0 下降，钢丝绳视为弹簧，
若A端突然停止，求钢绳所受到的最大应力。
W 10000lbf l 62 ft A 2.5in2 E 15106lbf / in2
4 等效质量和等效刚度
4 等效质量和等效刚度
4 等效质量和等效刚度
4 等效质量和等效刚度
4 等效质量和等效刚度
平行串联、并联弹簧的等效刚度
4 等效质量和等效刚度
平行串联、并联弹簧的等效刚度
4 等效质量和等效刚度
例1 A suspension system of a freight truck with a parallel-spring arrangement. Find the equivalent spring constant of the suspension if each of the three helical springs is made of G 80109 N / m2
(boom) to deform by an amount x2 x cos 45 and the spring k1
Eat 3 4b3
kr
AE l
d2E
4l
1 keq
1 kb
1 kr
4b3 Eat 3
4l d2
E
keq
E 4
at3d 2
d 2b3 lat3
4 等效质量和等效刚度
斜拉弹簧在某个位移方向上的等效弹簧刚度
Fx F cos F 为弹簧的伸长量

第2章 单自由度系统的自由振动

25第2章 单自由度系统的自由振动2.1 无阻尼系统的自由振动设有质量为m 的物块(可视为质点)挂在弹簧的下端，弹簧的自然长度为l 0,弹簧刚度为k ，如不计弹簧的质量，这就构成典型的单自由度系统，称之为弹簧质量系统如图2-1所示。

工程中许多振动问题都可简化成这种力学模型。

例如，梁上固定一台电动机，当电机沿铅直方向振动时，梁和电机组成一个振动系统，如不计梁的质量，则它在该系统中的作用相当于一根无重弹簧，而电机可视为集中质量。

于是这个系统可简化成如图2-1所示的弹簧质量系统。

2.1.1自由振动方程以图2-1所示的弹簧质量系统为研究对象。

取物块的静平衡位置为坐标原点O ，x 轴顺弹簧变形方向铅直向下为正。

当物块在静平衡位置时，由平衡条件∑F x = 0，得到st δk mg = （A ）st δ称为弹簧的静变形。

当物块偏离平衡位置为x 距离时，物块的运动微分方程为mxkx &&=− （2-1） 将式（2-1）两边除以m ，并令mkp =n （2-2） 则式（2-1）可写成02n =+x p x && （2-3）这就是弹簧质量系统置之只在线弹性力－kx 的作用下所具有的振动微分方程，称之为无阻尼自由振动的微分方程，是二阶常系数线性齐次方程。

由微分方程理论可知，式（2-3）的通解为t p C t p C x n 2n 1sin cos +=其中C 1和C 2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。

设0=t 时，x x xx ==00，&&。

可解得 C x 10= n02p xC &=t p p xt p x x n n0n 0sin cos &+= （2-4） 式（2-4）亦可写成下述形式)sin(n α+=t p A x （2-5）26 其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=)arctan()(00n 2n020x x p p x x A &&α （2-6） 式（2-4）、（2-5）是物块振动方程的两种形式，称为无阻尼自由振动，简称自由振动。

第二章-(第1节)单自由度系统的自由振动


tan 1
ωn x0 x 0
(2.1-11)
2.1 简谐振动
弹簧悬挂的物体沿铅锤方向的振动
当振动系统为静平衡时弹簧在 重力mg的作用下将有静伸长
s
mg k
(2.1-12)
在重力与弹簧力的作用下，
物体的运动微分方程为
mx mg k(s x) (2.1-13)
因为mg=ks，上式仍可简化为
mx kx
波变化。
2.1 简谐振动
振动周期
振动重复一次所需要的时间间隔，称之为振
动周期。 在简谐振动的情况下，每经过一个周期，相
位就增加2，因此
[n(t+T)+]-(nt+)=2
故有
T 2 n
(2.1-9)
实际上T代表发生一次完整运动所需要的时间
，周期通常以秒(s)计。
2.1 简谐振动
振动频率
在单位秒时间内振动重复的次数，称为振动 频率，一般用f 表示。
解：取偏角为坐标。从平衡位
置出发，以逆时针方向为正，锤的
切向加速度为 ，l故 有运动微分方
程为
ml2 mgl sin
假定角不大，可令sin，则
上式简化为 g 0
l
图 2.1-5
2.1 简谐振动
例题：列写振动微分方程求系统的周期（例2.1-2）
故
n2
g l
则振动周期为
T 2 2 l
n
g
2.1 简谐振动
或
② x(t) Asin(nt )
(2.1-7)
式中常数A和(=/2-)分别称为振幅和相角。方程(2.1-
7)说明该系统以固有频率n作简谐振动。
2.1 简谐振动 简谐振动的定义及矢量表示

第二章 单自由度系统的振动1(长沙理工大学结构动力学)

y (t ) 2 y (t ) 0
（2-2）
这是个常系数线性齐次微分方程
2、自由振动方程的解
方程（2-2）的通解由数学知识可知为： y(t ) C1 sin t C2 cos t （2-3） C1、C2为待定系数，可由初始条件确定。 0 y (0) 代入（2-3） 设t=0时的初始位移 y0 y(0)， 初速度 y
二、阻尼的量测
对相邻幅值比取自然对数，称为对数递减率 y 即：
y ln e
TD
TD
y
2
D

2
1 2
（2-13） 2 2 y 2 为获得更高精度的 可量测相隔m个周期的两个幅值比 y' 这时阻尼比为： （2-14） 2 2 2 m y ' 其中：
其中 -柔度系数（单位力作用下相应的位移） k –刚度系数（单位位移作用下所需加的力） g –重力加速度
W
–重力 yst –重力引起的位移
例1) 、试建立图示结构的运动方程（考虑阻尼）并求自振频率 （不计阻尼）。设横梁刚度无限大， 柱 EI 4.5 106 Nm2 梁的质量 m=5000kg。h=3m 解：由于横梁刚度无穷大，结构只能产生水平 h EI 位移。设x坐标向右。二柱的侧移劲度系数为： 12 EI k k1 k2 3 = h 2 y P(t) m 又设横梁（质量m）位移为y，以它为隔离 体，受力如图所示。 F F cy
列x方向全部力的平衡方程，即可得结构的运 动方程为 ky P(t ) m y cy
12 EI k s1 F F y y 图中Fs1和Fs2可由位移法知 s1 s 2 h3 2 y
P(t)

机械振动第2章-单自由度系统强迫振动


画出相位差随激振力频率的变化曲线（相频曲线）
tan
2 1 2
相频曲线
tan
2 1 2
0.1
0
0.2
0.5
1.0
4.0 2.0
4.0 1.0 0.5 0.2
0.1
相频曲线可看到：相位差总是在0°至180°区间变化，是一单 调上升的曲线。共振时：ω=ωn ε=90 °，阻尼值不同的曲线都 交于这一点。越过共振区之后，随着频率ω的增加，相位差 趋近180°，这时激振力与位移反相。
2 n
h sin(t
)
二阶常系数非齐次线性微分方程
解由两部分组成： x x1 x2 齐次方程的通解为: x1 Asin(nt )
设特解为： x2 bsin(t ) b为待定常数
将x2代入无阻尼受迫振动微分方程，得：
b
2
sin(t
)
b
2 n
s
in(t
)
h
s
in(t
)
解得：
b h
2 n
2
得无阻尼受迫振动微分方程的全解：
b 2 sin(t ) 2nb cos(t ) n2b sin(t ) h sint
将右端改写为：
kc
Fk
Fc
m
F
x
hsint hsin[t ) ]
hcos sin(t ) hsin cos(t )
可整理为：
[b(
2 n
2)
h cos ]sin(t
)
[2nb
mx kx kesint
x s
可见物块的运动微分方程为 无阻尼受迫振动的微分方程。
mx kx kesint
物块的受迫振动形式：

第2章 单自由度系统的振动1


F (t )
A EI a α k B aα C D
c 2a ma
m EI
a
aα
ka
解：用虚功法
ma
a/2
E a/2 a/2
m a/2
2aα F c
虚功方程：
a c 2a 2a 0 F (t ) a ka a 2ma
0 sin(t ) 2 A sin(t ) x(t ) 2 x0 cos(t ) x
x
T 2 /
R A A
x0


t
O

O
可以看到，系统的运动规律为简谐振动。
二、自由振动特性
x(t ) A sin(0t ) 及上面的曲线可见：位移方程是一个周期函数。 2 k 圆频率(角频率) 周期为 T0 其中 0 0 m 单位为rad/s 0 系统的固有属性，与系统是否在振 固有频率 动以及系统以何种方式振动都无关。 A 与系统所受到的初始激励有关。 0 1 k f 工程中常使用工程频率 f ， 2 2 m 它与固有周期 T 和固有频
k11 x F (t ) mx
3EI 3 x F (t ) mx l
刚度法
例1：建立图示体系的运动微分方程
F (t )
l
EI
m
F (t )
EI
(t ) m y
y(t )
EI1
l 解：用刚度法
1
k11
(t ) k11 y(t ) F (t ) 0 my
F (t )
(t ) m
F (t )
解：用刚度法
A
B
EI

第二章单自由度系统的自由振动


瑞利法计算系统的固有频率时, 必须先假定 瑞利法计算系统的固有频率时 , 必须先 假定 系统弹性元件的振型 振型. 系统弹性元件的振型. 假定的振型通常与真实振型存在着差异, 假定的振型通常与真实振型存在着差异 , 这相 当于对系统附加了某些约束 附加了某些约束, 当于对系统附加了某些约束,因而增加了系统的刚 使得求出的固有频率略高出精确值. 度,使得求出的固有频率略高出精确值. 假定的振型越接近于真实振型, 假定的振型越接近于真实振型 , 瑞利法算出 的固有频率就越精确. 的固有频率就越精确. 实践证明, 实践证明 , 以系统的静变形曲线作为假设振 所得结果精度较高. 型,所得结果精度较高.
由平行轴定理
2
复摆的振动
2
gT I c = I 0 ma = ma 1 2 4aπ
2
2
测振仪, 例2-4 测振仪,已知
试建立该系统的运动微分方程, 试建立该系统的运动微分方程, 并求系统的固有频率. 并求系统的固有频率. 解:单自由度系统 取 θ 为广义坐标
m, I , k1 , k 2 , a, b
= C1 cos ω n t + C 2 sin ω n t
x = A sin(ω n t + ) 简谐振动
2 1 2 2
A= C +C
C1 , = arctg C2
初相位: 初相位:
质量弹簧系统
为任意常数,由初始条件确定. 式中 C1 , C 2 或A, 为任意常数,由初始条件确定. 相位: 相位: (ω n t 振幅: 振幅:A
1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 L = ma θ + Iθ k1a θ k 2 b θ 2 2 2 2
§2.3 固有频率的计算
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

问题： 问题：
u (t ) = C1u1 (t ) + C2u2 (t ) 是齐次方程的通解么
?
二阶常系数线性微分方程的解（复习） 二阶常系数线性微分方程的解（复习）
定理2（通解的结构定理）： 若 u 1 ( t ), u 2 ( t ) 是齐次方程(1)的两个线性 定理 （通解的结构定理）： 是齐次方程(1)的两个线性 (1)的两个 无关的特解， 无关的特解，则
k1k 2 /( k1 +k2 ) k1 + k 2
5. 两个弹簧相并联，其等效刚度可表示为： 两个弹簧相并联，其等效刚度可表示为：
上次课内容回顾
求下列非齐次方程的特解（上次课习题） 求下列非齐次方程的特解（上次课习题）
&& u (t ) + 4u (t ) = 3sin 2t
−4C sin 2t + 4C sin 2t = 3sin 2t (−4C + 4C ) sin 2t = 3sin 2t
上次课内容回顾
2. 对于非齐次方程： 对于非齐次方程：
&& & u (t ) + au (t ) + bu (t ) = f (t )
u* (t ) = t k (C1 cos ωt + C2 sin ωt )
其中： f (t ) = sin ω t 或 f (t ) = cos ω t 其中： 特解的形式为： 特解的形式为： 的取值为： k 的取值为： 不是特征方程的根时， ① 当 iω 不是特征方程的根时，k = 0 是特征方程的单根时， 当 iω 是特征方程的单根时，k = 1
振动系统的组成
例1：判断下列系统中，哪些弹簧是串联的，哪些弹簧是并联的。 判断下列系统中，哪些弹簧是串联的，哪些弹簧是并联的。
k1
k2
k1
m
k1
k2
J
θ
(b) (c)
k2
m
(a)
振动系统的组成
k1
J
k1
θ
k1
k2
k3
m
k2
m
k2
(e) (f)
k4
(d)
返回
单自由度系统的振动方程
k c
δs
k
m
c
②
上次课内容回顾
3. 对于非齐次方程： 对于非齐次方程：
&& & u (t ) + au (t ) + bu (t ) = f (t )
= 齐次通解
ke = ke =
的通解的结构可表示为： 的通解的结构可表示为：
非齐次通解
＋
非齐次特解
4. 两个弹簧相串联，其等效刚度可表示为： 两个弹簧相串联，其等效刚度可表示为：
为待定常数。 为待定常数。
二阶常系数线性微分方程的解（复习） 二阶常系数线性微分方程的解（复习） 课堂练习
求下列齐次方程的通解
&& & u (t ) + 2u (t ) − 3u (t ) = 0
答案：u (t ) = C1et + C2 e −3t
答案：u (t ) = e
1 − t 2
&& & u (t ) + u (t ) + u (t ) = 0
u (t ) = C sin 2t
−4C + 4C = 3
不能求出C 不能求出C
上次课内容回顾
&& u (t ) + 8u (t ) = 3sin 2t
−4C sin 2t + 8C sin 2t = 3sin 2t 4C sin 2t = 3sin 2t
u (t ) = C sin 2t
3 C= 4
u (t ) = u (t ) + u * (t )
是非齐次方程(2)的通解。 是非齐次方程(2)的通解。 (2)的通解
(2)
* 定理3： 是非齐次方程(2)的特解, (2)的特解 为对应齐次方程的通解, 定理 ：若 u ( t ) 是非齐次方程(2)的特解 u (t ) 为对应齐次方程的通解 则
非齐次通解
= 齐次通解
＋
非齐次特解
二阶常系数线性微分方程的解（复习） 二阶常系数线性微分方程的解（复习）
3.齐次微分方程通解的求法 特征根法 3.齐次微分方程通解的求法—特征根法 齐次微分方程通解的求法
&& & u (t ) + au (t ) + bu (t ) = 0
( s + as + b)e = 0
弹簧的等效刚度系数
u2 f A
k1
u1
B f
u2
ke
B
u1
f
k2
f1 = k1 (u1 − u2 ) f2 = k2 (u1 − u2 )
A
f
f = f1 + f2 = (k1 + k2 )(u1 − u2 ) f = ke (u1 − u2 )
ke = k1 + k 2
振动系统的组成
u3
f u2 k2 u3
请根据特征方程的特征根写出齐次方程的通解。 通解。
特征根 s 不相等实根 s1 ≠ s2 相等实根 s1 = s2 共轭复根 s1,2 = α ± i β
通解形式
u (t ) = C1e s1t + C2 e s2t u (t ) = e s1t (C1 + C2t ) u (t ) = eα t (C1 cos β t + C2 sin β t )
2 st 2
u (t ) = e st
( s + as + b) = 0
通解形式
s1 , s2
特征根 s 不相等实根 s1 ≠ s2 相等实根 s1 = s2 共轭复根 s1,2 = α ± i β
u (t ) = C1e s1t + C2 e s2t
u (t ) = e s1t (C1 + C2t ) u (t ) = eα t (C1 cos β t + C2 sin β t )
其中： 其中： f (t ) = sin ω t 或 f (t ) = cos ω t 特解的形式： 特解的形式：
u* (t ) = t k (C1 cos ωt + C2 sin ωt ) C1 , C2
不是特征方程的根时， ① 当 iω 不是特征方程的根时， k = 0 是特征方程的单根时， ② 当 iω 是特征方程的单根时， k = 1
当
x 较小时
F = k⋅x
弹簧的刚度系数，单位： N/m
振动系统的组成
弹簧的刚度系数的物理意义： 弹簧的刚度系数的物理意义：使弹簧产生单位位移所需施加的力 对弹性元件需要说明几点： 对弹性元件需要说明几点： 通常假定弹簧是无质量的； 假定振动系统的振动幅值不会超过弹性元件的线性范围；
振动系统的组成
二阶常系数线性微分方程的解（复习） 二阶常系数线性微分方程的解（复习）
4.非齐次微分方程特解的求法 待定系数法 4.非齐次微分方程特解的求法—待定系数法 非齐次微分方程特解的求法 二阶常系数非齐次微分方程： 二阶常系数非齐次微分方程：
&& & u (t ) + au (t ) + bu (t ) = f (t )
√
第二章 单自由度系统的振动
第二章：单自由度系统的振动 第二章：
第一讲： 第一讲：
引言 振动系统的组成 单自由度系统的振动方程 二阶常系数线性微分方程的解
引言
为什么要研究单自由度系统的振动
基础。 1. 单自由度系统的振动是进一步学习多自由度系统振动的基础。 单自由度系统的振动是进一步学习多自由度系统振动的基础
问题2 特解是什么意思？ 问题2： 特解是什么意思？
不含任意常数的确定的微分方程的解
二阶常系数线性微分方程的解（复习） 二阶常系数线性微分方程的解（复习）
2.非齐次微分方程通解的结构 2.非齐次微分方程通解的结构 二阶常系数非齐次微分方程： 二阶常系数非齐次微分方程：
&& & 为任意常数。 u(t ) + au(t ) + bu(t ) = f (t ) a,b为任意常数。
引言
kt
k
θ
ke
m x
θ
m x
x
θ
m x
y
返回
振动系统的组成
m
简化 机床 混凝土 基础 弹性衬垫
k
c
图 将实际系统抽象为单自由度振动系统
振动系统的组成
弹性元件
k
m
m
k c
振动系统
惯性元件
阻尼元件
c
振动系统的组成
1. 弹性元件 弹性元件的意义和性质
F
f ( x)
x
F
o
线性范围
α
x
F = f ( x)
u
& k ( u + δ s ) cu
o
m
mg
f (t )
m
u
f (t )
&& & mu(t ) = −k[u(t ) + δ s ] − cu(t ) + mg + f (t )
mg = kδ s
单自由度系统振动方程的一般形式） && & mu(t ) + cu(t ) + ku(t ) = f (t )（单自由度系统振动方程的一般形式） 结论：只要以系统静平衡位置为坐标原点， 结论：只要以系统静平衡位置为坐标原点，那么在列写系统运动方程 时就可以不考虑系统重力的作用。多振动系统可以简化为单自由度系统，用单自由度 在工程上有许多振动系统可以简化为单自由度系统 单自由度系统， 系统的振动理论就可以得到满意的结果。 系统的振动理论就可以得到满意的结果。 3. 单自由度系统的基本概念具有普遍意义。多自由度系统和无限自 单自由度系统的基本概念具有普遍意义。 基本概念具有普遍意义 由度系统的振动，在特殊的坐标系中考察时，显示出与单自由度 由度系统的振动，在特殊的坐标系中考察时， 系统类似的性态。 系统类似的性态。