合情推理—归纳推理

问题情境：
天空乌云密布，你能得出什么推断？
已知 判断
前提
新的 判断 结论
推理 是人们思维活动的过程，是根
据一个或几个已知的判断来确定一个新的 判断的思维过程。
铜能导电 铝能导电 金能导电
部分 银能导电 个别 180 三角形内角和为

。
一切金属都 能导电.
整 体
凸n一 边形内 般 角和为
凸四边形内角和为360
4
(2004春季上海)根据图中5个图形及相应点的个数
的变化规律,试猜测第n个图形中有
n n 1个点.
2
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【例2】对自然数n，考察 n n 11 的结果情况：
2
n 0 1
2 3 4 5 …
n 2 n 11
11 11 13 17 23 31 …
【例3 】观察下列的等式,你有什么猜
2 2
对于所有的自然数n，n n 11的值都是质数。
2
归纳推理的特点:
(1). 从特殊到一般；
(2).具有创造性； (3).具有或然性。
合情推理是冒险的， 有争议的和暂时的． －－波利亚
例1：观察下列算式： 1 = 12
1 + 3 = 4 = 22
1 + 3 + 5 = 9 = 32
1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42
大胆猜想:
应用归纳推理可以 发现新事实,获得新结论!
2 1 5, 2 1 17, 23 24 2 1 257, 2 1 65537 ,
21
22
归纳推理的 一般步骤

2
1
3
解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1
当当nn==23时时,,aa23==
3 7
当n=4时,a4= 15
猜想 an= 2n -1
2
1
3
练习题1：
在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗 里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其 中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底 层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放. 从第一层开始， 每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个 乒乓球，试表示第n堆的乒乓球总数。
13 1
13 23 9 32 (1 2)2 13 23 33 36 62 (1 2 3)2 13+23+33+43=100=102=(1+2+3+4)2
13 23 33 L n3 (1 2 3 L n)2
n2 (n 1)2
4
2、下面是一系列有机物的结构简图，图中的
类比 （特殊到特殊）
三段论 （一般到特殊）
3.合情推理：
①前提为真，结论可能为真的推理，叫做合情推理. ②归纳推理与类比推理是数学中常用的合情推理；
归纳推理的定义:
归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征,
推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理； 或者 由个别事实概括出一般性的结论的推理,
练习题2：
观察下列等式： cos2x=2cos2x-1； cos4x=8cos4x-8cos2x+1； cos6x=32cos6x-48cos4x+18cos2x-1； cos8x=128cos8x-256cos6x+160cos4x-32cos2x+1； cos10x=mcos10x-1280cos8x+1120cos6x+ncos4x+pcos2x-1

（三）新课呈现（预计用时：25分钟）
知识讲解：
清晰、准确地讲解合情推理-归纳推理知识点，结合实例帮助学生理解。
突出合情推理-归纳推理重点，强调合情推理-归纳推理难点，通过对比、归纳等方法帮助学生加深记忆。
互动探究：
设计小组讨论环节，让学生围绕合情推理-归纳推理问题展开讨论，培养学生的合作精神和沟通能力。
引导学生分析错误原因，避免类似错误再次发生。
（五）拓展延伸（预计用时：3分钟）
知识拓展：
介绍与合情推理-归纳推理内容相关的拓展知识，拓宽学生的知识视野。
引导学生关注学科前沿动态，培养学生的创新意识和探索精神。
情感升华：
结合合情推理-归纳推理内容，引导学生思考学科与生活的联系，培养学生的社会责任感。
鼓励学生分享学习合情推理-归纳推理的心得和体会，增进师生之间的情感交流。
C. 演绎推理
D. 生活实例
4. 归纳推理的目的是（ ）
A. 发现规律
B. 解决问题
C. 验证假设
D. 提出假设
二、填空题（每题5分，共20分）
1. 归纳推理是从________到________的过程。
2. 归纳推理的步骤包括________、________、________和________。
2. 请针对以上实践题中的结论，设计一个实验进行验证。
五、思维拓展题（共15分）
1. 请谈谈你对归纳推理在科学研究中的作用的看法。
2. 请结合归纳推理的方法，提出一个关于生活中某一现象的假设，并设计一个实验进行验证。
2. 拓展要求：
（1）学生自主选择拓展内容，进行课后学习，提高学生的自主学习能力。
（2）学生可以就拓展内容中的疑问和困惑，向教师请教，教师给予必要的指导和帮助。

12.1.1 合情推理（1）---归纳推理学习目标1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.学习过程学习探究探究任务一：考察下列示例中的推理问题1:.1．哥德巴赫猜想：哥德巴赫观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……,50=13+37, ……1000=29+971，, …… 猜测：问题2：铜、铁、铝、金、银等金属能导电，归纳出：问题3：因为三角形的内角和是180(32)︒⨯-，四边形的内角和是180(42)︒⨯-，五边形的内角和是180(52)︒⨯-……归纳出n 边形的内角和是新知1归纳推理：有某类事物的部分对象具有的特征，推出该类事物的 叫做归纳推理。

简言之：，归纳推理是 的推理归纳推理的一般步骤1 通过观察个别情况发现某些相同的性质。

2 从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）。

典型例题例1观察下列等式：1+3=4=22，1+3+5=9=23， 1+3+5+7=16=24，1+3+5+7+9=25=25， ……你能猜想到一个怎样的结论？变式1 观察下列等式：1=11+8=9，1+8+27=36，1+8+27+64=100， …… 你能猜想到一个怎样的结论？例2.已知数列{}n a 的第一项11a =，且nnn a a a +=+11(1,2,3...)n =，试归纳出这个数列的通项公式例3.在学习等差数列时，我们是怎么样推导首项为1a ，公差为d 的等差数列{a n }的通项公式的？例4.设2()41,f n n n n N +=++∈计算(1),(2),(3,)...(10)f f f f 的值，同时作出归纳推理，并用n=40验证猜想是否正确。

动手试试练1..练2. 观察圆周上n个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，由此可以归纳出什么规律？三、总结提升学习小结1．归纳推理的定义.2. 归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.知识拓展四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明.当堂检测1.下列关于归纳推理的说法错误的是（）.A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能2. 已知2()(1),(1)1()2f xf x ff x+==+*x N∈（），猜想(f x）的表达式为（）.A.4()22xf x=+B.2()1f xx=+C.1()1f xx=+D.2()21f xx=+课后作业1.已知1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,……1+2+3+……+n=(1)2n n+，观察下列立方和：13，13+23，13+23+33，13+23+33+43，……试归纳出上述求和的一般公式。

利用圆的性质类比得出求的性质 圆的概念和性质
圆的周长 S = 2πR 圆的面积 S =πR 2 圆心与弦(非直径)中点的连线 垂直于弦
球的概念和性质
球的表面积 S = 4πR 2 球的体积 V = πR 3 球心与不过球心的截面(圆面) 的圆点的连线垂直于截面
4 3
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等 与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积 等,距圆心较近的弦较长 不相等,距球心较近的面积较大 以点(x0,y0)为圆心, r为半径 的圆的方程为(x-x0)2+(yy0 )2 = r2 以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2
归纳推理的定义:
由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该
类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或
者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归
纳推理(简称归纳).
简言之,归纳推理是由部分到整体、
由个别到一般的推理。
例如： 金受热后体积膨胀， 银受热后体积膨胀， 铜受热后体积膨胀， 铁受热后体积膨胀， 金、银、铜、铁是金属的部分小类对象，它们 受热后分子的凝聚力减弱，分子运动加速，分 子彼此距离加大，从而导致体积膨胀 所以，所有的金属受热后都体积膨胀。
2 1+3+„+(2n－1)=n ．
又如：
13=1=12 ， 13+23=9=32， 13+23+33=36=62， 13+23+33+43=100=102， „„
an 例2:已知数列{an}的第1项a1=1且an +1 = 1 + an (n=1,2,3 …),试归纳出这个数列的通项公式.

二.类比推理：
例3 类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质
例3：把直角三角形中的勾股定理类比到空间几何体中。
事实，经过观察、 分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的 推理过程，我们把它们统称为合情推理。通俗地说，合情 推理是指“合乎情理”的推理。
检验猜想
例1：观察并猜想
1+3=4=22， 1+3+5=9=32， 1+3+5+7=16=42， 1+3+5+7+9=25=52， ……
an * a ( n N )， 例2：数列{an}的首项a1=1，且满足 n1 1 an
试归纳出这个数列的通项公式。
火星上是否有生命？
科学家把火星与地球作类比，发现火星具有一些与地 球类似的特征：火星也是围绕太阳运行、绕轴自转的行星， 也有大气层，在一年中也有季节的变更，而且火星上大部 分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等。由 此，科学家猜想：火星上可能有生命存在。 对比火星与地球之间的某些相似特征，然后从地球的 一个已知特征（有生命存在）出发，猜测火星也可能具有 这个特征。
一个不小于6的偶数总可以表示成两个奇质数之和。
一.归纳推理:
1.定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类 事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实 概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)。
归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。 2.过程： 有限的个体信息
观察分析 猜想一般性结论
生活中的仿生学： 1.鲁班类比带齿的草叶，发明了锯；
2.仿照鱼在水中的沉浮原理，发明了潜水艇； 3.仿照天空中飞翔的鸟，发明了飞机。

1．什么叫推理？从结构上说,推理一般由哪两部分组成？请分析一下.
2．合情推理的两种主要形式是什么？
3．什么样的推理叫归纳推理？它的思维过程是什么？
4．归纳推理有哪些特点？
5.对任意的正整数n,猜想n 2与2
n 的大小.
通过观察以上两个式子，请你写出一般性的命题，并加以证明.
7.设,),()(,),()(),()(,cos )(*
112010N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈'='='==+
则=)(2008x f .
8.将全体正整数排成一个三角形数阵:
按照以上排列的规律,第n 行 (3≥n )从左向右的第3个数为 .
1.已知,6,321==a a 且n n n a a a -=++12,则33a = .
2.从222576543,3432,11=++++=++=中,可得一般规律为 .
3.已知数列{}n a 满足:3
3,311+==+n n n a a a a ,试通过计算5432,,,a a a a 的值,推测出=n a .
依照表中数的分布规律，可猜得第10行第6个数是 . 5.)(131211)(*N n n
n f ∈++++
= , 经计算27)32(,3)16(,25)8(,2)4(,23)2(>>>>=f f f f f ,推测当2≥n 时,有 . 6.当5,4,3,2,1=n 时,41)(2
++=n n n f 的值分别是43,47,53,61,71,它们都是素数. 由归纳法你能得到什么猜想?所得的猜想正确吗?。

答案：(1)90 (2)9×10n
4．(2012·陕西)观察下列不等式 1＋212<32， 1＋212＋312<53， 1＋212＋312＋412<74， …… 照此规律，第．五．个．不等式为________．
解析：由前几个不等式可知
1
＋
1 22
＋
1 32
＋
1 42
＋
…
＋
1 n2
2n－1 <n.
【答案】 962
变式迁移
对于集合 N＝{1,2,3，…，n}及其他的每一个非空子集，定义 一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从
最大数开始交替地减、加后边的数．例如：集合{1,2,4,6,9}的交替 和是 9－6＋4－2＋1＝6，集合{5}的交替和为 5；当集合 N 中的 n ＝2 时，集合 N＝{1,2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1,2}，则它的 “交替和”的总和 T2＝1＋2＋2－1＝4，请你尝试对 n＝3，n＝4 的情况，计算它的“交替和”的总和 T3，T4，并根据其结果猜测 集合 N＝{1,2,3，…，n}的每一个非空子集的“交替和”的总和 Tn ＝________.(不必给出证明)
【解析】 E 在 AC 上， OE 的方程为：1b－1cx＋1p－1ay＝0. F 在 AB 上，它们的区别在于 B，C 互换． 因而 OF 的方程应为： 1c－1bx＋1p－1ay＝0.∴括号内应填：1c－1b.
【答案】 1c－1b
【探究提高】 “观察、类比”是解决本题的基本思路， 由于直线 OE，OF 在图形上的“对称性”在其方程上也必然 有某种“对称性”，观察直线 OE 的方程和题目中给出的直 线 OF 的部分信息，它们的共性是 y 的系数一样，那就只有 x 的系数具备“对称性”，这样就可大胆、合理地进行解答 了．

归纳推理的可解释性
随着人工智能应用的广泛，归纳推理的可解释性成为了一个重要问题， 未来将有更多研究关注如何提高归纳推理的可解释性。
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感谢您的观看
合情推理的结论通常是确定 的，而归纳推理的结论通常 是不确定的，因为归纳推理 是基于有限的事例进行的。
04 合情推理的实际应用
商业决策
01
市场需求预测
通过分析历史销售数据和市场趋 势，推断未来市场需求和产品发 展方向。
竞争分析
ห้องสมุดไป่ตู้02
03
风险评估
通过研究竞争对手的产品、价格、 市场占有率等信息，评估自身竞 争优势和劣势。
归纳推理的定义
归纳推理是从个别到一般的推理过程，即从具体事例出发，通过观察、实验和分析，形成一般性的结 论或规律。
归纳推理的结论不是基于前提必然得出的，而是基于大量实例和经验，通过概括和总结得出的。
归纳推理的特点
1
归纳推理的结论是建立在大量实例和经验基础上 的，因此具有或然性，即结论不一定完全准确。
归纳推理在数学和逻辑学中也具有重要地位， 如在数学中的归纳法，逻辑学中的归纳逻辑等。
归纳推理在人工智能领域也得到了广泛应用， 如机器学习和数据挖掘等。
03 合情推理与归纳推理的联 系与区别
联系
都属于推理范畴
合情推理和归纳推理都是推理的两种基本形式，它们都是从已知事实出发，通过一定的逻辑或经验规则推导出未知事 实的思维方式。
合情推理与归纳推理
目 录
• 合情推理概述 • 归纳推理概述 • 合情推理与归纳推理的联系与区别 • 合情推理的实际应用 • 归纳推理的实际应用 • 合情推理与归纳推理的未来发展
01 合情推理概述

一、什么是推理推理是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程。

在日常生活和科学研究中经常使用两种推理——合情推理和演绎推理。

二、什么是合情推理1、归纳推理由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征,或者由个别事实概栝出一般结论，（简称归纳）部分推出整体，个别推出一般。

例如：哥德巴赫猜想可以把77写成三个素数之和：77=53+17+7；可以把461写成三个素数之和：461=449+7+5；……任何大于7的奇数都是三个素数之和。

2、类比推理由两类对象具有某些类似特性和其中一类对象的某些已知特性，推出另一类对象也具有这些特性的推理称为类比推理。

简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。

例如：乘法交换律和结合律加法作为一种运算，具有交换律和结合律；乘法作为加法的一种简便运算，也应该具有交换律和结合律。

3、合情推理类比推理和归纳推理的过程如下：从具体问题出发——观察、猜想、比较、联想——归纳、类比——提出猜想。

可见，归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、猜想、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想得推理。

我们把它们统称为合情推理。

合情推理是指“合乎情理”的推理。

数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向。

三、什么是演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。

简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。

演绎推理也称为逻辑推理。

“三段论”是演绎推理的一般形式，包括：大前提——已知的一般原理；小前提，所研究的特殊情况；结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断。

例如：三角形内角和是180度，有一个图形是三角形，它的内角和一定是180度。

四、合情推理与演绎推理的主要区别是什么归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理。

1.
以上推理所得结论是否一定正确？
合情推理

这种前提为真时，结论可能为真的推理， 叫做合情推理. 对比上面的 1、3 这两个推理，你能发 现它们的相同点和不同点吗？
看下面的例子，试写出一般性结论

1+3=4 1+3+5=9 1+3+5+7=16 一元一次方程有一个根 一元二次方程最多有两个根 一元三次方程最多有三个根

什么是归纳推理？
归纳推理
根据一类事物的部分对象具有某种性质, 推出该类事物的所有对象都具有这种性 质的推理, 称为归纳推理(简称归纳). “归纳出了归纳”

汉诺塔问题

如图，有三根针和套在一根针上的若干 金属片，按下列规则，把金属片从一根 针上全部移到另一根针上。
(1) 每次只能移动1个金属片； (2) 较大的金属片不能放在较小的金属片上面。

生活中经常看到的一些现象
天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家， 我们会想到什么？ 河面的冰融化，柳树发芽，草地泛青， 我们又会想到什么？

什么是推理？
推理
根据一个或几个已知的事实（或假设） 来确定一个新的判断的思维方式就叫推 理。 从结构上说，推理一般由前提和结论两 部分构成的。

下面哪些是推理？
归纳推理
合情推理（1）
华罗庚爷爷讲的小故事:


有位老师想辨别他的两个学生谁更聪明。 他采用如下的方法: 事先准备好两顶白帽 子，一顶黑帽子，让学生们看到，然后让 他们闭上眼睛。老师给他们戴上帽子，并 把剩下的那顶帽子藏起来。最后让学生睁 开眼睛，看着对方的帽子,说出自己所戴帽 子的颜色。 两个学生互相望了望，犹豫了一小会儿， 然后异口同声地说：“我们戴的是白帽子”。 聪明的各位, 想想看, 他们是怎么知道的？

课题：合情推理（一）——归纳推理 课时安排：一课时 课型：新授课 教学目标：1、通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识归纳推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。

2.归纳推理是从特殊到一般的推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。

教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理。

教学难点：用归纳进行推理，做出猜想。

教学过程： 一、课堂引入：从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。

见书上的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可分为合情推理与演绎推理 二、新课讲解：1、蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。

蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。

2、三角形的内角和是180︒，凸四边形的内角和是360︒，凸五边形的内角和是540︒ 由此我们猜想：凸边形的内角和是(2)180n -⨯︒3、221222221,,,331332333+++<<<+++，由此我们猜想：a a m b b m +<+（,,a b m 均为正实数）这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称：归纳)归纳推理的一般步骤：⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。

三、例题讲解： 例1已知数列{}n a 的通项公式21()(1)n a n N n +=∈+，12()(1)(1)(1)n f n a a a =--⋅⋅⋅-，试通过计算(1),(2),(3)f f f 的值，推测出()f n 的值。

这就是著名的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中 说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的 问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引 起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多数学家都不 断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验 证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . 等等。有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行 验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但严格的数学证明尚待数学家 的努力。 从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的 注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数 学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有 人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法 证明，得出了一个结论：每一个比4大的偶数都可以表示为（9+9 ）。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9十9）开 始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数 里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫猜想”。
利用圆的性质类比得出求的性质 圆的概念和性质
圆的周长 S = 2πR 圆的面积 S =πR 2 圆心与弦(非直径)中点的连线 垂直于弦
球的概念和性质
球的表面积 S = 4πR 2 球的体积 V =πR3 球心与不过球心的截面(圆面) 的圆心的连线垂直于截面
与圆心距离相等的两弦长相等与球心距离相等的两截面面积相等 与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积 等,距圆心较近的弦较长 不相等,距球心较近的面积较大 以点(x0,y0)为圆心, r为半径 的圆的方程为(x-x0)2+(yy0 )2 = r2 以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2

……
10个不小于6的偶数都等于两个奇质数
之和。 2021/4/9
3
3.归纳推理:由某类事物的部分对象
具有某些特征，推出该类事物的全部
对象都具有这些特征的推理，或者由
个别事实概括出一般结论的推理称为
归纳推理。
简之：由部分到整体，由个别到一般
的推理。
4.部分到整体
由铜、铁、铝、金等金属能导电归纳
§2.1 合情推理与演绎推理
一、推理的定义及分类
1.推理是人们思维活动的过程，是根 据一个或多个已知的判断来确定一个 新的思维过程。 2.日常生活中的例子
⑴看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂 蚁搬家等现象。
我们会推断—天要下雨啦；
2021/4/9
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⑵张三今天没有来上课。 我们会推断—张三生病啦；
⑶谚语说：“八月十五云遮月，来
出“一切金属都导电”；
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；单创:/News/Detail/2019-9-20/442424.htm
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我也是服了！“ （9）“您就当浪子回头吧，兴许真考上了，您也是积德了。”我回复了微信，也不忘调侃地加了几个坏笑的表情。 （10）之后，因为工作的关系，我离开了那座城市，也与律师楼和老李少了很多的交集。 （11）青海茫崖的矿难，突然成为了这个国家的头条新闻。部分矿务局 领导受贿私自外包矿坑，私人小矿主违规野蛮开采，导致了一次灭顶的矿难。在矿难中死去的矿工遗孀，因为没有基本的合同和安全保险凭据，无法获得赔偿，更无人愿意替他们去争取权利。 （12）就当矿难的悲哀正在褪去的时候，媒体上一个很不起眼报道终于被我看到了。 一个名叫常远的 律师，带领着自己的小团队义务承揽下了所有死难矿工的索赔事务。这条很小的信息，却因为这个熟悉而又陌生的名字而让我震惊。 （13）我立刻致电李信律师的时候，他确认道“没错，就是他，我也很佩服这小子。” （14）“您觉得他接这个案子是为了出名吗？”我问道。 （15）“还真不 是。你记得他曾经在青海一个矿区的酒吧演出过一段时间吧。”老李继 续说道。 “那地方就在茫崖。听常远的爸说，常远在那生活的一段时间，很了解矿工们的生活状况。他自己后来跑回来要继续考律师时就跟他爸说，以后要帮请不起律师的穷人打官司。” （16）我听老李说完这些，沉默了 许久，最后，我发自内心地说了一句：“后生可畏啊！” （17）电话那头老李肯定地重复道：“后生可畏！” （选自《新华文摘》2016年第13期，有删改） （1）文中写到常远的哪些经历？请按顺序补充完整 ﹣﹣﹣被迫备考律师﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣帮助穷人打官司 （2）读文中 划线句子，完成题目 ①简析第一段中划线句子的描写手法及其表达效果 ②第十二段中划线句子为什么说“我”对常远的名字熟悉而又陌生 （3）联系内容分析，常远的哪些品质让“我”和老李觉得“后生可畏”？ （4）小说主人公是常远，作者却以大部分内容写“我”和老李，这样写有什么 好处？ 代谢：12、（1）想当摇滚乐手 继续备考律师 承揽死难矿工索赔 （2）①这个句子运用了神态与动作描写，形象生动地表现出看书备考的常远心不在焉，为下文“我”和老李对年轻人的感慨作铺垫； ②因为在报上看到常远的名字与事迹之前，我对他的爱好及经历已有所了解，所以说“ 熟悉”；但我所知道的常远是一个不务正业，与父母反叛，不愿作律师的青年，现在他不仅当上了律师，还自愿免费为穷苦人打官司，让我惊讶，所以说“陌生”． （3）①他个性鲜明，有主见．父亲让他当律师，而他却根据自己的爱好选择当一名摇滚乐手．②他有社会责任感，勇于担当．他 到青海茫崖矿区演出，了解到矿工生活状况后，就决定回来考律师，为请不起律师的穷人打官司．③他不计名利，有奉献精神．矿难发生，他带领律师团队，义务为矿工打官司． （4）①“我”和老李的对话构成小说的基本框架．先写我们“上辈人”对他的不满，再写对他的佩服，先抑后扬， 波澜起伏，曲折有致．②通过“我”和老李的叙述侧面描写了常远这个有个性、敢于担当的人物形象，真实可信，给人以宽广的想象空间．③通过“我”和老李的态度变化，表现了要正确看待年轻人这一主题． （2017山东枣庄）8．（15分）阅读下面文章，完成下面各题 嘱托 格?鲍姆特 就在 彼得动身前往华沙参加一九五五年世界青年联欢节的前一晚，有人来敲门。原来是一位邻居。他从衣兜里掏出一个红色的小包包，然后摆在桌面上，摊开来。里头是一张相片、一封信和一张字条。 他讲述了有关这个红小包的一段经历﹣﹣ 一九三九年，第二次世界大战爆发后，德国法西斯的第 一个目标就是波兰。这样，大批的波兰人被弄到德国去。那时候，这位邻居正在一家锯木厂当工人，他曾答应帮助一个波兰囚犯实现他的托付。 一天，锯木厂的一个工棚失火了。人们都在交头接耳，心里明白是囚徒们干的好事，他们想用这样的方式把斗争进行下去。一群身穿黑制服的党卫队员 朝工厂一拥而入，带走了许多做苦工的囚犯。 当党卫队员冲进邻居工作的那个车间时，他正与那位囚犯在干活，这位波兰人迅速地从裤兜里摸出一个红色的小包包，塞到德国工人的手里，“老婆和孩子……多替我问候﹣﹣要是战争完蛋了。”他脸急得煞白，压低嗓门刚说出这几句话，党卫队就 把他带走了，作为对这次纵火的报复。 一九四六年夏天，这位邻居发了一封信给囚犯的太太，她的地址就写在那张纸条上。可是，他并没有得到回音。一年半之后，他又试图再投一信﹣﹣然而，一切依旧是徒劳的。现在好了，终于有了这一天，他可以托人将这个小包包直接带到波兰去。这位邻 居把小红包郑重地递给彼得。 彼得注视着这张相片。相片上是一位妇女，手里抱着一个大约两岁左右的小姑娘。信呢，不言而喻是遇害者留给他家属的最后诀语。在那个小小的纸片上，用大大的字迹写着这样一个地址：“Z和M?尼波耶夫斯卡华沙斯巴索夫斯基大街十八号”。 “一定的，我会去 找她的，并将事情的一切转告她，这件事您完全可以信赖我。”彼得说。 那时候，当这位邻居把这个小红包交给他的时候，彼得觉得一切都很简单：只要去到华沙，把事情一讲，东西一交，不就完了嘛！然而，当彼得后来抵达那条街的时候，十八号的门牌怎样找也找不到。在那块空地上，从前 确实有过十二至二十六号门牌的房子，现在只见一群孩子在空地上踢着足球。在警察所，彼得也得不到一点答复。她们现在究竟住在哪儿呢？这个，彼得反而横下一条心，非找到她们不可了。 来到华沙，彼得有一种难以形容的求知的渴念，他见得越多，什么活动都想参加一下的要求就更大。 大约在联欢节开始后一个星期，他的朋友们建议他去与一些波兰小伙子和姑娘相会一下。开头他想不太好吧，但朋友们干脆连拉带扯地把他推拥走了。跳舞的时候，每个人都得找个舞伴，这时在彼得而前就站着一位姑娘，她羞赧地望着他，并且邀请他跳舞。就这样，德国、波兰的小伙子和姑娘 们相聚在一起。他们尽力地用手势比划着交谈，大伙笑着，欢快地跳着。 自这个晚上邂逅相遇后，彼得与玛留莎每天都要相会。 世界青年联欢节的最后一天终于到来了，整个华沙城都陷入一片欢腾之中，在大广场上，阿拉伯青年与瑞典青年，中国青年与黑人青年，伊朗青年与德国青年都在纵 情地载歌载舞地狂欢，然后他们慢慢地拥向火车站。 彼得伴随玛留莎在火车站站台上来来回回地溜达，广播员用广播催促大家赶快上车，彼得才恋恋不舍地攀上了车厢，将身子从车窗里探出来。他们相互凝视着，一时无言以对。 “地址，”玛留莎突然想起来，她的喊声就象呼救那样。 彼得摸 出笔记本，撕下一页，将他的地址记在上面。这时，他一下子才想起了那个小红包，于是赶忙把它掏出来。 “玛留莎，请帮助找一找，”他说，然后把这个小红包按在她的手心上。 “打开看看！”他大声说，他见她一时还未领悟他的意思。 她打开这个小红包，念起来了。火车慢慢地挪动了。 玛留莎脚下象是生了根似的，粘住了。她几乎要被那些跟着火车而跑的人撞倒。“玛留莎，”彼得喊了她一声。玛留莎抬起头来一望，开始随火车跑起来，接着她停下脚来，摆着手，手里的那块红包纸就象一方告别的红头巾。彼得还在望着她，一时间留给他最深的印象是，她整个脸庞都叫泪水 湿透了。 “为什么她哭得这样厉害？”彼得思忖着，这时他已缩在一个角落里。“我将给她写信，”他�

abc
分析：面积法 由12r(a+b+c)=S 2S r=a+b+c
.
P
S1 Ｃ S2
C
A
Ａ
S3
Ｂ
△PAB的面积为S
S1 S2 S3 S
几何中常见的类比对象
平面图形（二维） 点
立体图形（三维） 点或线
线
线或面
平面直角坐标系
空间直角坐标系
几何中常见的类比对象
圆
球
三角形
四面体（各面均为三角形）
四边形
六面体（各面均为四边形）
代数中常见的类比对象
复数 向量
方程 函数 不等式
类比推理 注意
以旧的知识为基础,推测新的 结果，具有发现的功能，启 发思路、提供线索、举一反 三、触类旁通的作用。
类比推理的结论不一定成立
• 1．下面几种推理是类比推理的是( ) • A．因为三角形的内角和是180°×(3－2)，四边形的内角和
是180°×(4－2)，…，所以n边形的内角和是180°×(n－2) • B．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质 • C．某校高二年级有20个班，1班有51位团员，2班有53位团员
ac
)2
ac (
a2 c2
b2]
a2 c2
1 (a2 4
c
2
)
(
a a2
2c
2
c
2
b2)
1 a2c2 4
1 a2b2 4
1 4
b2c
2
s12
s22
s32
s 2 s12 s22 s32
变式练习：在三角形ABC中有结论：
AB+BC>AC，类似地在四面体P-ABC中

多角度思考问题
变换思考角度
尝试从不同的角度、立场或背景出发思考问 题，打破思维定势，发现新的思路和方法。
对比分析
对相似或不同的事物进行对比分析，找出它 们之间的异同点、联系和规律，为合情推理
和归纳推理提供依据。
不断练习和总结
要点一
大量练习
通过大量的练习，逐渐掌握合情推理和归纳推理的技巧和 方法，提高推理的准确性和效率。
Байду номын сангаас
要点二
及时总结
在练习过程中及时总结经验教训，发现自身的不足和问题 ，不断改进和提高。同时，将学到的知识和方法应用到实 际生活和工作中，不断检验和完善自己的推理能力。
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如果在被研究现象出现的两个或两个 以上的场合中，只有一个情况是共同 的，那么这个共同情况就与被研究的 现象之间有因果联系。
如果在被研究现象出现和不出现的两 个场合中，只有一个情况不同，其他 情况完全相同，而且这个唯一不同的 情况在被研究现象出现的场合中存在 ，在被研究现象不出现的场合中不存 在，那么这个唯一不同的情况就与被 研究现象之间有因果联系。
经验验证原则
推理的结论应该能够通过经验验证，符合实际情 况和常识。
合情推理的常用方法
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归纳推理
从个别性知识推出一般性结论的推理方法，包括 简单枚举归纳、科学归纳和类比归纳等。
演绎推理
从一般性原理出发，通过逻辑推理得出特殊情况 下的结论，包括三段论、假言推理和选言推理等。
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类比推理
根据两个或两类对象在某些属性上的相似，推断 它们在其他属性上也可能相似的一种推理方法。
如果被研究现象发生变化时，只有一 个情况也发生变化，那么这个情况就 与被研究现象之间有因果联系。