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Desargues定理及其应用

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保山师专学报2004,23(2):16～20CN53-1128/G4ISSN1008-6587 J o ur nal of Ba os ha n Te ac he rs′Colle g e收稿日期:2003-10-25Desar g ues定理及其应用邢妍李祥(保山师范高等专科学校,云南保山678000)摘要:Desar g ues定理是高等几何的重要定理,它同时也是从一维射影几何进入二维射影几何的一座重要桥梁;高等几何的许多定理都以它为依据,推出一系列射影几何命题。

它也是平面(二维)射影几何的重要基础之一。

Desar g ues定理蕴含丰富的数学思想方法,对具体问题的处理方法具有独特性,灵活性,同时对解决中学几何中的有关命题提供了一种新的模式及有关背景知识。

关键词:Desar g ues定理;常见的特殊情况;应用中图分类号:O18文献标识码:A文章编号:1008-6587(2004)02-016-05Theorem of Desar g ues and Its A pp l yX in g Y an Li x ian g(Baoshan T eachers’C olle g e,Baoshan Y unnan678000)Abstract:Desar g ues is an im p ortant theorem in H i g her G eom etr y,a brid g e from One-dim ensional Pro2 j ective G eom etr y to T w o-dim ensional Pro j ective G eom etr y.Based on it,amn y theorems of H i g her Pro j ective G eom etr y have inferred a series of p ro j ective g eom etr y p ro p ositions,Also it is one of the m ost im p ortant basos of P lane(tw o-dim ension)G eom etr y.flecible in solvin g the s p ecific p roblems as w ell as p rovidin g a new m odel and related back g round know led g e to the relevant p ro p ositions of the m iddle-school G eom etr y.K e y w ords:Desar g ues theorem;T he comm on s p ecial cases;A pp l y高等几何不仅是对初等几何理论的提高,同时也是对初等几何的延伸与拓广。

高等几何与初等几何有密切的关系,学习高等几何的目的之一,就是用高等几何中的一些原理,方法分析,讨论初等几何中的有关问题,使得高等几何“居高临下”,以便深入理解高等几何对初等几何的指导意义。

下面介绍Desar g ues定理及其在初等几何中的应用。

1Desar g ues定理若两个三角形的对应顶点连线共点,则其对应边的交点共线。

如图(1):设两个三角形△ABC,△A′B′C′,若S= AA′×BB′×CC′,则对应边的交点P=BC×B′C′,Q= CA×C′A′,R=AB×A′B′三点共线。

(简记之,若三线共点,则三点共线)1.1Desur g ues图形的特点该图形有10条直线,10个顶点,其中每三点共线,每三线共点。

点与直线处于平等地位,每一点可为透视中心,相应地有一条透视轴。

如S为透视中心,则P、Q、R直线为透视轴。

△ABC和△A′B′C′两个三角形称为基础三角形或者奠基三角形,具有如此性质的图形,称为Desar g ues构图。

记为:点线103 310即Desar g ues图形为10点10线形。

1.2Desar g ues定理的对偶定理(或逆定理)若两个三角形的对应边的交点共线,则其对应顶点的连线共点。

设两个△ABC和△A′B′C′,若P=BC×B′C′,Q=CA×C′A′,R=AB×A′B′且P、Q、R三点共线,则证明AA′,BB′,CC′,三线共点。

证明:如图1,我们以既表示点,又表示这些点的坐标矢量。

P=BC×B′C′,于是P、B、C三点共线,P、B′、C′三点共线,P点可用B、C或B′、C′表示P=αB+α′C=αB′+αC′①同理Q=βC+β′A=βC′+β′A′②R=γA+γ′B=γA+γ′B′③又∵P、Q、R三点共线,于是有P=γQ+μR即αB+α′C=λ(BC+β′A)+μ(γA+γ′B)αB′+α′C′=λ(BC′+β′A′)+μ(γA′+γ′B′)∴λ(BC+β′A)+μ(γA+γ′B)=λ(BC′+β′A′)+μ(γA′+γ′B′)移项:有λβ(C-C′)=λβ′(A′-A)+μγ(A′-A)+μγ′(B′-B)]λβC′C=(λβ′+μγ)(A′-A)+μγ′(B′-B)=((λβ′+μγ)(A′A)+μγ′(B′B)即说明三直线AA’、BB’、CC’三线共点(∵a、b、c三直线共点Ζϖλ、μ∈R、ϖα=λb+μc)2常见Desar g ues定理的特殊情况2.1设给定的两个三点形(或三线形)ABC,A′B′C′中对应的顶点都重合。

实际上就是只给出一个三角形,此时,对应顶点的一条线和对应边的交点都是不确定的,可以认为定理成立。

Desar g ues定理构图为32 232.2两个三角形有两对对应点重合。

如B=B’、C=C’的情形,此时有AB×A’B’=R=B=B’AC×A’C’=Q=C=C’B C×B’C’=P不确定但P必在BC上,故P、Q、R三点共线。

即P、Q、R共线就是BC Desar g ues定理构图也可说为43 262.3两个三角形中有一对对应点重合的情形。

如图4第2期邢妍,李祥:Desar g ues定理及其应用17A =A ’,则AB ×A ′B ′=R =A =A ′A C ×A ′C ′=Q =A =A ′B C ×B ′C ′=P 则P 、Q 、R 三点在直线A P 上。

2.4有一双对应点重合的情形。

如B C 边重合与B ′C ′边,但B ≠B ′,C ≠C ′如图5AA ′×BB ′×CC ′=SAB ×A ′B ′=RAC ×A ′C ′=QBC ×B ′C ′=P 不确定。

但只须令P =RQ ×BC 即可。

即P 、Q 、R 三点共线。

以上是在初中几何中常见的几种Desar g ues 定理的特殊情形,由于在Desar g ues 定理,强调在两个三角形中,若三线共点,则三点共线。

或若三点共线,则三线共点。

所以此定理在证明三线共点,或三点共线中提供了一个有力的工具,且是一个灵活性较强的工具。

3Desar g ues 定理在初等几何的应用3.1证明三点共线例1已知三角形ABC 的三条高线AD 、B E 、CF 交于垂心H ,且BC ×FE =L ,AC ×FD =M ,AB ×DE =N ,求证:L 、M 、N 三点共线。

证明:如图6:取△ABC 与△DEF 为奠基三角形,由已知知它们的三双对应点AD 、B E 、CF 交于一点H (即垂心),由Desar g ues 定理知,它们的三双对应边的交点L =BC ×EF 、M =AC ×DF 、N =AB ×DE 共线。

例2求证:△ABC 的外心O 、垂心E 、重心D 三点共线。

证明:如图7:设F 、G 分别为BC 、CA 边上的中点,连结OF 、FG 、G O 、AE 、E B 取△AB E 与△FG O 为两个奠基三角形,三双对应边AE ∥OF (同垂直于一直线的两直线平行)B E ∥OG (同垂直于一直线的两直线平行)AB ∥FG (三角形的中位线平行于第三边)即△AB E 与△FG O 的三双对应边的交点都是无穷远点,故它们以无穷远直线为透视轴,所以由Desar g ues 定理的对偶定理知:两个三角形的对应顶点连线AF 、B G 、EO共点。

∴AF ×B G =D 与E 、O 三点共线。

3.2证明三线共点例3试证任意四边形各对对应边中点的联线与二对18保山师专学报第23卷角线中点的联线相交于一点。

证明:如图(8)设E 、F 、G 、H 依次是四边形ABCD 的四边AB 、BC 、CD 、DA 的中点,M 、N 分别是对角线BD 及AC 的中点。

取△EFN 与△CHM 为两个奠基三角形,它们的三双对应边分别为:∵EF ∥GH ∥AC ;FN ∥HM ∥AB ;EN ∥MG ∥BC ;即EF 与GH ;FN 与HM ;EN 与MG 的交点均为无穷远点∴它们以无穷远直线为透视轴由Desar g ues 定理的对偶定理知△EFN 与△GHM 的三双对应点的联线EG 、FH 、MN 共点。

例4证明三角形三中线共点证:如图9:△ABC 的三边中点分别为D 、E 、F ,取△ABC与△DEF 为两个奠基三角形,由Desar g ues 的对偶定理得证。

3.3在实际生活中的应用:栽树问题例5现有树棵9棵,把它们栽成三行,要求每行恰好为4棵,给出你的尽可能多的栽法。

分析:由Desar g ues 定理构图,关键是找奠基三角形,将9棵树看成9个点,栽成三行,看成三条直线,按要求,一条直线上有4个点。

解:由题设,Desar g ues 构图为9243即9点3线形,每两线共点,每4点共线,则栽法有:等。

只要根据9243这个规律,随自己的想法及所喜爱的图形栽成各种形状的树。

第2期邢妍李祥:Desar g ues 定理及其应用19变式1:如果把9棵树栽成三行,要求各行分别有3棵,有哪些栽法?9033变式2:如果把6棵树栽成4行,要求各行分别有3棵的栽法。

9233栽法有参考文献:[1]朱德祥.高等几何[M].北京:高等教育出版社.[2]梅向明,等.高等几何[M].北京:高等教育出版社.[3]戴再明.初中数学开放题集[M].上海:上海教育出版社.20保山师专学报第23卷。

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Desargues笛沙格定理

Desargues笛沙格定理


代沙格对合定理：
定理3：完全四点形的三双对边，被不通过任一顶点的一直线所截,
所得三个点偶,是一个对合对应中的三个点偶. 代沙格对合定理的对偶定理: 定理4： 完全四线形的三双对顶，与不在任一边上的一点相连,所得 三个线偶,是一个对合对应中的三个线偶.
作业:
• 课本66页第6,7,8题.
分析：因为R是动点，作R的另一个位置R'. 得到P', Q', 设P'Q', PQ交于C.只要证明A, B, C 三点共线. 由OX, OY, OZ共点于O, 只要找到一对对应三点形，其三对对 应顶点分别在OX, OY, OZ上, 且三双对应边交点恰为A, B, C即可. 如图，PQR, P'Q'R'正是所需. 思考: 条件“AB经过O ”对于本题结论纯属多余！
A' OA B' C 'ZY X 透视中心A' A' B' Z OB' C ' AZY C ' O YA C 三点共线 . A' C ' Y OB' AZ B
二、应用举例
1、证明共线点与共点线问题 例1 在欧氏平面上, 设ΔABC的高线分 别为AD, BE, CF. 而BC×EF=X, CA×FD=Y, AB×DE=Z. 求证：X, Y, Z三 点共线. 分析：为证X, Y, Z三点共线, 试在图中找 出一对对应三点形, 具有透视中心，且对应 边的交点恰为X, Y, Z即可. 证明:由题给, X, Y, Z分别为三对直线的交点, 此三直线涉及到 六个字母A,B,C,D,E,F.由代沙格定理有:
问题 存在透视中心 存在透视轴？
画图过程演示
浅谈笛沙格定理

浅谈笛沙格定理

浅谈笛沙格定理
笛沙格定理是一个重要的数学定理，它是由英国数学家约翰·笛沙格在1823年提出的。

它指出，任何一个多项式的根都可以表示为一个复数的线性组合，其中每个复数的指数是多项式的次数减一。

笛沙格定理的公式表达为：设多项式P(x)的次数为n，则P(x)的根可以表示为：
x1，x2，x3，…，xn=a1+a2x+a3x2+…+an-1xn-1
其中a1，a2，a3，…，an-1是复数系数。

笛沙格定理的最重要的特点是它可以将多项式的根表示为复数的线性组合，这使得多项式的根可以用简单的方法求解。

笛沙格定理的应用非常广泛，它可以用来解决多项式的根，也可以用来求解复数方程的根。

此外，它还可以用来求解多项式的极值，以及求解复数函数的极值。

笛沙格定理的另一个重要应用是用来求解复数系统的解。

复数系统是指一组复数方程，它们的解可以用笛沙格定理来求解。

笛沙格定理的另一个重要应用是用来求解复数矩阵的特征值和特征向量。

复数矩阵是指一个复数矩阵，它的特征值和特征向量可以用笛沙格定理来求解。

笛沙格定理是一个重要的数学定理，它的应用非常广泛，可以用来求解多项式的根，复数方程的根，多项式的极值，复数函数的极值，复数系统的解，以及复数矩阵的特征值和特征向量。

笛沙格定理的发现为数学的发展做出了重要贡献，它为解决复杂的数学问题提供了有效的方法。

德沙格定理证明

德沙格定理证明

德沙格定理证明摘要：1.德沙格定理的概述2.德沙格定理的证明方法3.德沙格定理的应用领域4.德沙格定理的意义和影响正文：1.德沙格定理的概述德沙格定理，又称德沙格- 高斯定理，是图论中的一个著名定理。

它由法国数学家德沙格于1956 年首次提出，主要描述了在一个简单连通图中，通过将边染色成k 种颜色，可以得到一个k 色定理。

这个定理在图论的研究中具有重要的地位，被广泛应用于计算机科学、信息理论等领域。

2.德沙格定理的证明方法德沙格定理的证明方法基于图论的基本概念，如简单连通图、顶点着色、边着色等。

证明过程相对简单，主要采用数学归纳法。

具体证明如下：（1）当图G 只有一个顶点时，显然成立；（2）当图G 只有两个顶点时，也显然成立；（3）假设当图G 有n-1 个顶点时，德沙格定理成立，即通过将边染色成k 种颜色，可以得到一个k 色定理；（4）当图G 有n 个顶点时，我们可以将其中一个顶点与n-1 个顶点的子图相连，此时子图的顶点数为n-1，根据归纳假设，子图可以通过将边染色成k 种颜色得到一个k 色定理；（5）将子图的k 色定理应用到原图G 上，由于新增的顶点与子图的顶点颜色不同，所以原图G 也可以通过将边染色成k 种颜色得到一个k 色定理。

根据数学归纳法，德沙格定理成立。

3.德沙格定理的应用领域德沙格定理在图论的研究中具有广泛的应用，尤其在计算机科学、信息理论等领域具有重要意义。

以下是德沙格定理在几个领域的应用实例：（1）网络设计：在计算机网络设计中，德沙格定理可以帮助我们确定网络的拓扑结构，以实现高效的数据传输；（2）数据存储：在数据存储系统中，德沙格定理可以帮助我们优化磁盘空间的分配，提高存储效率；（3）运筹学：在运筹学中，德沙格定理可以用于解决一些组合优化问题，如旅行商问题、装载问题等。

4.德沙格定理的意义和影响德沙格定理在图论领域的地位举足轻重，它为图论的研究和发展奠定了基础。

同时，德沙格定理在计算机科学、信息理论等领域的应用也产生了深远的影响，推动了相关领域的技术进步。

笛沙格定理在初等数学中的简单应用

笛沙格定理在初等数学中的简单应用

笛沙格定理在初等数学中的简单应用1 序言17世纪法国数学家笛沙格，他是射影几何的奠基人，在射影几何方面的工作具有创造性成 就．他年轻时不仅做过工程师还做过建筑师，在学术研究方面他也不赞成为理论而搞理论，更注重于将理论应用于实际．但由于笛沙格当时的手稿写作手法晦涩难懂并且当时正值欧洲文艺复兴后，解析几何、微积分等学科的产生和发展，使得人们热衷于新兴领域，而传统数学几何学发展相对滞后，基于各种原因在很长一段时期内笛沙格的研究被人们所忽略，直到200多年后笛沙格的射影几何学术思想才引起人们的普遍重视，他的重要理论才得以被人们所认知．2 预备知识2.1 笛沙格定理内容及特例[1](P58-59)笛沙格定理两个三角形ABC 和'''C B A 中,若对应顶点的连线'AA ,'BB ,'CC 共点,则对应边的交点'','',''B A AB R A C CA Q C B BC P ⨯=⨯=⨯=共线.(图1) 笛沙格定理的逆定理设两个三角形中三对对应边的交点共线，则三对对应顶点的连线共点. 常见笛沙格定理的特殊情况 1 有一对对应点重合 见图2 2 有两对对应顶点重合 见图３(图2) (图3) 定理拓展在平面几何中适用笛沙格定理，拓展到空间几何学，他同样适用.如图（4）,（5）所示:(图4) (图5)2.2 笛沙格定理的证明 定理的证明有若干种方法，而且方法涉及面很广，在此选取较容易理解的两种方法和大家一起来分享.1 线性代方法证明[1](P59)2 应用梅涅劳定理证明 证明 （如图1）对于''C OB ∆及截线BCP1''''-=⋅⋅CO CC PC P B BB OB 对于''B OA ∆及截线BAR1''''-=⋅⋅BOBB RB R A AA OA对于''C OA ∆及截线ACQ1''''-=⋅⋅C C COQ A QC OA AA 三式相乘得1''''''-=⋅⋅QA QC RB R A PC P B 对于'''C B A ∆用梅涅劳定理可得PQR 三点共线.3 笛沙格定理的重要地位3.1 笛沙格定理在高等几何中的重要性笛沙格定理是《高等几何》中的重要定理，它是平面（二维）射影几何的重要基础之一，高等几何的许多定理都是以它为基础，他也是许多初等数学中定理和命题的理论依据,由此还可以推出一系列几何命题．而且定理在空间几何中也有部分的应用.3.2 高等几何与初等几何的联系高等几何不仅是对初等几何理论的提高，同时也是对初等几何的延伸与拓广。