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Sard定理及其应用

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Sard定理证明及其应用

摘 要

本文以Sard定理为中心来展开。首先给出了一些关于正则值的预备知识，接着证明了Sard定理，最后应用该定理证明了紧致情形的Whitney定理。

关键词：Sard定理，正则值，Whitney定理

Abstract

In this paper, we regard Sard Theorem as the main idea to expand. At first, we provide some

preliminary knowledge about the regular values. Secondly, we prove the Sard Theorem. In the end, we use

this theorem to prove Whitney Theorem in the compact case.

Key words: Sard Theorem, regular values, Whitney Theorem

目 录

第一章 绪论 …………………………………………………………………………………………….1

第二章 预备知识 ……………………………………………………………………………………….1

第三章 Sard定理的证明………………………………………………………………………………..4

第四章 Sard定理的应用………………………………………………………………………………..10

参考文献 ………………………………………………………………………………………………….12

1 一、绪论

随着近代科学的飞速发展，正则值和Sard定理等较深的知识不仅成为数学本身的最基础、最重要、最活跃的研究领域，而且在数学的其它分支中已有越来越广泛、深刻而富有成效的应用。而Sard定理的证明和应用显得尤为重要。

二、预备知识

自从坐标法问世以来，人们热衷于研究各种方程式所表示的曲线或曲面。设U是nR中的开集，nRUf:是rC映射。对这样一般的f和任意的nRb，方程

bxf

的解集合bf1可能相当复杂，与通常曲线或曲面的几何直观大相径庭。因此有必要考察：哪些nRb能保证bf1成为rC流形？这就引出了正则值得概念。

定义1.1 设M和N是微分流形，N的维数nNdim。又设NMf:是可微映射。

（1）如果Mp使得

nfrankp，

那么我们就称p为f的临界点。f的全体临界点的集合记为fC或者fC。

如果Mp使得

nfrankp，

那么我们就称p为f的正则点。f的全体正则点的集合是fCMCMf\\。

（2）如果Nq使得

fCqf1，

那么我们就称q为f的临界值。

如果Nq使得

fCqf1， 2 那么我们就称q为f的正则值。

注 f的全体临界值的集合是fCf。f的全体正则值得集合是fCfN\（请注意：不是fCMf\）。在正则值的定义中，包括qf1的情形，即：“不是值”的Nq也属正则值之列。

下面的定理显示了正则值概念的重要性。

定理1.2（正则值原像定理） 设M和N是rC流形（1r），NMf:是rC映射，Nq是f的正则值，qf1。则qfS1是M的rC正则子流形，并且

NMSdimdimdim。

（显然S是M的闭子集，因而是闭子流形。）

证明 我们利用淹没映射的典范局部表示。对任意的qfSp10，存在0p点邻近的M的局部坐标图卡,U和q点邻近的N的局部坐标图卡,V，使得

VUfqp,0,00，

并且使得

Uff|~1，

其中nnnmmRRRR:是从乘积空间nnmRR到第二个因子空间nR的投射。因为

0~11fUpqfUp，

所以

00~11nmRUfUqfU。

（请注意：对于nm的情形，结论仍成立。）□

下面的“唱片引理”是正则值原像定理得重要特殊情形。

引理1.3（唱片引理） 设M和N是rC流形（1r），M是紧致的，NMdimdim。又设NMf:是rC映射。如果Nq是f的正则值并且qf1，那么

（1）Mqf1是有限点集：

kppqf,,11； 3 （2）存在q在N中的开邻域V，使得

kUUVf11，

其中kUU,,1是M中两两不相交的开集，iiUp，并且

VUUfii:|

是rC同胚ki,,1。

证明 根据定理1.2（正则值原像定理），qf1是M的0维子流形，也就是由一些孤立点组成的子集。但qf1作为紧空间M的闭子集也是紧致的，所以qf1是有限点集kpp,,1，这证明了（1）。

因为

NMfrankipdimdim，

所以f在ip点邻近是局部rC同胚，即存在ip在M中的开邻域iW和q点在N中的开邻域iV，使得iiiVWWf:|是rC同胚ki,,1。必要时适当缩小各iW，可设这些iW是两两不相交的：

jiWWji,。

显然iMfWki1\是N中的紧致集并且不包含q点，所以

iMfiVWVkiki11\\

是q点的开邻域。因为ikiW1以外的点不可能经f映入V中，所以

kiiWVf11。

我们记

kiVfWUii,,1,1。

则有 4 ,,,1,,11111kiVVVVWfVfWfUfVfVfWUiiiikiikii

并且

VUUfii:|

是rC同胚。我们证明了（2）。□

在上面的讨论中，我们又一次用到集合与映射的一个关系式：设X和Y是集合，YXf:是映射，YBXA,,则

BAfBfAf1。

既然正则值具有如上面定理1.2所述的良好性质，人们自然关心这样的正则值是否有足够多？下面的Sard定理肯定地回答了这个问题。

三、Sard定理的证明

引理2.1 如果闭区间baI,被一族长度都不超过的开区间J所覆盖，那么存在J中有限个开区间kJJ,,1，使得

IJJIkiikii2,11。

证明 首先，不妨设J由有限个开区间组成。其次，有公共点的三个开区间当中，必有其中两个区间覆盖了第三个区间（有最小左端点的区间和有最大右端点的区间必定覆盖第三个区间）。我们可以从J中删除多余的开区间，使得任意一点Ix至多属于J中的两个开区间，并且I的端点a和b各自只属于J中的一个开区间。

删除了多余的开区间之后，剩下的有限个开区间kJJ,,1必定满足要求

IJJIkiikii2,11。□ 5 引理2.2 设K是nR中的紧致集。如果集合

1ntRtKK

包含在1nRt的开集tWt之中，那么存在实数0，使得

tnWttRttK,,1。

（参看图18）

证明 连续函数

txxxfxfn11,,

在紧致集tWRK\上恒取正值，因而有正的下界，对这有

tnWttRttK,,1。□

定理2.3（Fubini定理的特殊情形） 设nRS是至多可数个紧致集的并集。如果对任意的Rt，截集

1ntRtSS

都是1nRt中的零测集，那么S也是nR中的零测集。

证明 只须对KS是紧致集的情形作出证明。设R的闭区间I使得

1nRIK。

对任意的It，截集1ntRtKK是1nRt中的零测集。因而对任意的0，存6 在1nR中的有限个开方体之并集tW，使得

tttWWtK,。

根据引理2.2，存在开区间1,0,ttttttJ，使得

ttntWJRJK1。

根据引理2.1，从IttJ之中可选择有限个itJ，使得

22,11IJJIkitkitii。

于是

22,1111111IJWJWJWJRJKRIKKkittkitkittkikittntniiiiiiii。□

引理2.4 设V，W和N是微分流形，NVf:是可微映射，WVh:是微分同胚，并设1hfg，则有

（1）gCxhfCx；

（2）gCgfCf。

定理2.5（Sard定理） 设M和N是C流形，NMf:是C映射，则fCf是N中的零测集。因而几乎所有的Nq都是f的正则值。

证明 设mMdim，nNdim。对于nm的情形，我们知道Mf是N中的零测集，其子集fCf当然也是N中的零测集。下面对M的维数m作归纳，以完成定理得证明。因为任何（满足第二可数公理的）流形都可以表示成可数个局部坐标域的并集，所以不妨设UM是mR中的开集，nRN。

记fCC。并以jC表示U中使得f的不超过j阶的所有偏导数都取0值得那些点x的集合。显然有

（2.1）kCCCC21；

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代数基本定理的几种证明

代数基本定理的几种证明

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代数基本定理的几种证明

作者：李志国 邵泽玲 李志新

来源：《科技风》2020年第13期 龙源期刊网 龙源期刊网

摘;要：代数基本定理是数学中最重要最基本的定理之一，不仅仅在代数学中起着重要的基础作用，乃至整个数学研究都有着广泛的应用基础。本文通过利用拓扑、不动点、代数等理论给出了代数学基本定理的五种不同的证明。

关键词：代数基本定理;不动点定理;同伦;分裂域

代数基本定理在代数乃至整个数学中起着基础作用。最早该定理由德国数学家罗特于1608年提出。据说，关于代数学基本定理的证明，现有200多种证法。迄今为止，该定理尚无纯代数方法的证明。大数学家J.P.塞尔曾经指出：代数基本定理的所有证明本质上都是拓扑的。美国数学家John Willard Milnor在数学名著《从微分观点看拓扑》一书中给了一个几何直观的证明，但是其中用到了和临界点测度有关的sard定理。复变函数论中，对代数基本定理的证明是相当优美的，其中用到了很多经典的复变函数的理论结果。

代数基本定理，一般高等代数的教材中都没有给出证明，这是因为它的纯代数方法的种种证明都很复杂。大多数参考文献中都是利用维尔定理和儒歇定理等复变函数理论来证明代数基本定理。本文从拓扑学，不动点理论，代数理论等角度分别列举了五种不同的证明方法。

1 代数学基本定理

任何一个n次多项式f（z）=anzn+an-1zn-1+…+a1z1+a0，ai∈C，an≠0在复数域C中至少有一个根。

证法一：（代数拓扑方法）

视S2=C∪{SymboleB@

}，f（z）可以延拓为一个连续映射：

F：S2=C∪{SymboleB@

}→S2=C∪{SymboleB@

};

欧拉线定理的证明及其应用

欧拉线定理的证明及其应用

欧撞线　理　证　萁　◇江苏　陶　冶　北京　童嘉森　（特级教师）　１　问题的提出　问题　如图１，△ＡＢＣ中，０、Ｇ、Ｈ分别为外心、　重心、垂心．试探究：０、Ｇ、Ｈ　是否共线？并求０Ｇ：ＧＨ　的值．　分析　由外心和重心联　想３边的中点，由垂心和外心　联想高和垂直．根据需要可以　图１　Ｃ　适当地添加辅助线，例如设Ｄ、Ｆ分别为ＢＣ、ＡＢ的中　点，连接０Ｄ、０Ｆ，则有０Ｄ上ＢＣ，０Ｆ上ＡＢ．连接ＡＨ、　ＣＨ并延长，分别交ＢＣ、ＡＢ于Ｅ、Ｍ，则有ＡＥ＿上＿ＢＣ，　甄以ＡＨ／／ｏＤ，ＣＨ　７ｏＦ．　１　注意到中位线ＦＤ一＋ＡＣ，且ＦＤ∥Ａｃ，△ＡＢＣ　１　的中线ＡＤ经过重心Ｇ，并且ＤＧ一÷ＧＡ．显然这些　厶　平行关系和等量关系可以用共线向量来表示，从而可　以考虑用向量的方法加以解决．　解　如图２所示，设　Ｄ、Ｆ分别为ＢＣ、ＡＢ的中　点，连接０Ｄ、ＯＦ，则０Ｄ上　ＢＣ，且０Ｆ　ｊ＿ＡＢ．连接　ＡＨ、ＣＨ并延长，分别交　Ｂ　ＢＣ、ＡＢ于Ｅ、Ｍ，则ＡＥ＿上＿　Ｄ　Ｅ　圈２　Ｃ　ＢＣ，ＣＭ上ＡＢ，所以ＡＨ∥　ＯＤ，ＣＨ／／ＯＦ，所以ＡＨ／／ＯＤ，ＣＨ／／ＯＦ，所以ＡＨ—　ＯＤ，ＣＨ—ｔ２ＯＦ，￣ＩｌＡＣ＋ＣＨ—　（０Ｆ＋ＦＤ）．　因为Ｄ、Ｆ为中点，故ＡＣ一２　ＦＤ，所以２　ＦＤ＋　ＯＦ—　ＯＦ＋　ＦＤ，且ｐ　（２一　）ＦＤ＋（“一　）０Ｆ一０．　因为ＦＤ、ＯＦ不共线，由平面向量基本定理得　』２一　＿。’所以　一　一２，即　：：：２　，商一２　．　１　－－２—０，　’　——　１———＋———　———＋　因为Ｇ为重心，于是ＤＧ＝÷ＧＡ，所以０Ｇ—ＯＤ＋　ＤＧ＝寺ＡＮ＋寺ＧＡ一音（ＧＡ＋ＡＨ）一寺ＧＨ．因为　ＯＧ、ＧＨ有公共点Ｇ，所以０、Ｇ、Ｈ　３点共线，且　０Ｇ：ＧＨ一１：２．　舞　莞　耋　麓　这个结论被称为欧拉线定理．定理的证明方法有多　种，但用向量法证明３点共线，思路清晰、表述简洁，　有独特之处．这个定理的证明中，除了定理的结论重　要之外，ＡＨ一２　ＯＤ也是一个很好的结论．　２定理的应用　例１△ＡＢＣ的外接圆的圆心为０，２条边上的　高的交点为Ｈ，０Ｈ—ｍ（ＯＡ＋０Ｂ＋ＯＣ），则实数　——．　分析作为填空题，淡化过程，关注结果，考试时　因为时间关系可以通过特殊情形获得答案．但作为学　习过程中的思考题，不仅要求得结果，更要追究为什　么是这个结果．联想欧拉线定理以及重心定理，易证　结论．本题我们可以用特殊值法．　当Ｂ＝９０。时，０为ＡＣ的中点，Ｈ与Ｂ重合，　０Ａ＋０Ｂ＋ＯＣ＝０Ｂ一０Ｈ，所以ｍ一１．　证明　如图３所示，因为Ｇ为　重心，所以ＡＧ＋ＢＧ＋ＣＧ＝＝＝０，即　０Ｇ一０Ａ＋ｏＧ一０Ｂ＋０Ｇ一０Ｃ一　———　１———　———　———　０，亦即０Ｇ一÷（ＯＡ＋０Ｂ＋０ｃ）．　．）　｝　１———一　根据欧拉线定理，ＯＧ＝÷Ｏｉｌ，　图３　所以０Ｈ—ＯＡ＋０Ｂ＋０Ｃ，所以ｍ一１．　．　●　例２已知△ＡＢＣ中，Ｄ、Ｆ、Ｓ分别为ＢＣ、ＡＢ、　ＣＡ的中点，ＡＥ上ＢＣ，ＣＭ上ＡＢ，ＢＴ上ＡＣ，Ｅ、Ｍ、Ｔ分　别为垂足，ＡＥ与ＣＭ交于Ｈ，０、Ｇ分别为三角形的　外心和为重心．Ｎ、Ｋ、Ｐ为ＡＨ、ＢＨ、ＣＨ的中点．连　接０Ｄ并延长到　，连接ｏＦ并延长到Ｕ，连接ＯＳ并　延长到Ｖ，使ＤＷ一０Ｄ，ＦＵ一０Ｆ，Ｓ　一０Ｓ．　（１）求证：０Ｈ、ＤＮ、ＦＰ、ＫＳ、Ａｗ、ＢＶ、ＣＵ　７线　共点；（２）求证：Ｄ、Ｆ、Ｓ、Ｅ、Ｍ、Ｔ、Ｎ、Ｐ、Ｋ（３个中点、　３个垂足、３个中点）９点共圆．　分析根据中点条件以及ＡＨ一２　ＯＤ，以ＯＨ为　对角线，可以获得多个相关的平行四边形．各相关线　段均以０Ｈ的中点为中点．不妨以ＮＤ和Ａｗ作为２　类线段的代表，分别证明．　证明　（１）如图４，由外心和垂心知，ＮＨ∥ｏＤ，　ＮＨ一０Ｄ，四边形ＮｏＤＨ为平行四边形，从而ＤＮ、　困难是欺软怕硬的．你愈畏惧它，它愈威吓你．你愈不将它放在眼里，　它愈对你表示恭顺．　一一宣永光　，

角动量守恒定理及其应用

角动量守恒定理及其应用

1 角动量守恒定理及其应用

摘 要:角动量这一概念是经典物理学里面的重要组成部分，角动量的研究主要是对于物体的转动方面，并且可以延伸到量子力学以、原子物理及天体物理等方面。角动量这一概念范畴系统的介绍的力矩、角速度、角加速度的概念，并且统筹的联系到质点系、质心系、对称性等概念。

关键词:角动量；力矩；角动量守恒；矢量；转动；应用

Angular momentum conservation theorems and their

application

Abstract:Angular momentum to the concept of classical physics there is an important

component of angular momentum of research mainly for the rotation, and may extend to

the quantum mechanics and physical and in the astrophysical. angular momentum in the

categorical system of the present moment, the angular velocity, the concepts of angular

acceleration and co-ordination of the particle, the quality of heart, symmetry, and concepts.

Key words:Angular momentum;Torque; Conservation of angular momentum; Vector;

Turn; application.

引言

在研究物体运动时,人们经常可以遇到质点或质点系绕某一定点或轴线运动的情况。例如太阳系中行星绕太阳的公转、月球绕地球的运转、物体绕某一定轴的转动等,在这类运动中,运动物体速度的大小和方向都在不断变化,因而其动量也在不断变化。在行星绕日运动中,行星受指向太阳的向心力作用,其运动满足角动量守恒。我们很难用动量和动量守恒定律揭示这类运动的规律,但是引入角动量和角动量守恒定律后,则可较为简单地描述这类运动。

sar指标原理和详解

sar指标原理和详解

sar指标原理和详解

SAR指标原理和详解。

SAR指标（Stop and Reverse）是一种技术分析指标，主要用于确定市场趋势的转折点。它的原理是基于价格和时间的关系，通过计算极值点来确定趋势的转折。在本文中，我们将详细介绍SAR指标的原理和应用。

SAR指标的原理主要基于价格和时间的关系。它通过计算极值点来确定趋势的转折。在上升趋势中，SAR指标会位于价格下方，而在下降趋势中，SAR指标会位于价格上方。当价格突破SAR指标时，趋势就会发生转折。这一原理使得SAR指标成为了一个重要的技术分析工具，被广泛用于股票、期货、外汇等市场。

SAR指标的计算方法相对简单，主要依赖于前一周期的极值点和加速因子。在上升趋势中，SAR指标的计算公式为，SAR = EP + AF (EP SAR)，其中EP代表极值点，AF代表加速因子。在下降趋势中，SAR指标的计算公式为，SAR = EP AF

(SAR EP)。通过这样的计算方法，SAR指标可以快速反应市场的变化，帮助投资者及时把握市场趋势。

SAR指标的应用主要包括两个方面，一是确定趋势的转折点，二是制定止损和止盈策略。在确定趋势的转折点时，投资者可以通过观察SAR指标和价格的关系来判断市场的走势，及时调整交易策略。在制定止损和止盈策略时，SAR指标可以作为一个重要的参考指标，帮助投资者控制风险，保护资金。

总的来说，SAR指标是一个简单而有效的技术分析工具，可以帮助投资者及时把握市场的走势，制定有效的交易策略。然而，投资者在使用SAR指标时也需要注意，它并不能完全预测市场的走势，只能作为一个参考工具来帮助投资决策。因此，在实际操作中，投资者需要结合其他技术分析工具，形成完整的交易系统，提高交易的成功率。 综上所述，SAR指标的原理基于价格和时间的关系，通过计算极值点来确定趋势的转折。它在市场分析和交易决策中发挥着重要作用，但投资者在使用时也需要谨慎对待，结合其他技术分析工具，形成完整的交易系统。希望本文对SAR指标的原理和应用有所帮助，谢谢阅读！