高斯定理的应用

高斯定理在引力场的应用　

潘　龙　

（青岛黄海学院，山东青岛　２６６４２７）　

摘　要：本文通过比较分析静电场和万有引力场，类比　得到万有引力场的高斯定理，并通过例题给出了用引力场高　

斯定理的应用过程。　

关键词：静电场　引力场　高斯定理　

引言　

静电场与万有引力场均为矢量场，比较库仑定律Ｆ＝　４＇ｒｒｅ０　

＿ｑ　．ｅ　和万有引力定律　一Ｇ　ｍ　ｌｍ一２．．，　，不难发现，两者有着　

ｒ　ｒ　极其相似的特点。它们都服从平方反比定律．库仑定律中的ｑ　

和万有引力定律中的ｍ相当，库仑定律中的一　与万有引力　４１ｒｅ０　

定律中的Ｇ相当。因此我们可以将静电场中高斯定理及有关概　念引入到引力场中。　

１．万有引力场中的引力场强度矢量　

静电场中静电场强度定义为　：一Ｆ，其中ｑ为试探电荷。同　

ｑ　样。在引力场巾可以把场中每点的引力与质点质量的比值定　

义为引力场强度。即　

：…Ｐ　

［ＩＩ　

其中ｍ为引力场中试探质点质量，ｐ为试探质点在某点收　

到的引力。　

根据此定义，可得到质量为Ｍ的质点在引力场中某点产　生的引力场强度为　

：一Ｇ　Ｍ　Ａ　

ｒ　＾　其中ｒ是从Ｍ到场点矢径的单位矢量。　

对质点系和质量连续分布的物体产生的引力场强度，可　

分别根据叠加原理和积分求得。　

２．引力场中的高斯定理　

定义中　＝　ｇ・ｄｓ为引力场通量。其中中　为引力场强度对曲　

面Ｓ的引力场通量．ｄｓ为曲面Ｓ上的矢量面元。　

有了引力场通量的概念，就可以讨论穿过闭合曲面引力　

场通量的问题。　

（１）包围点质量Ｍ的闭合曲面Ｓ的引力场通量　

：　；．ｄ—ｓ：　Ｇ　Ｍ，＾．ｎ　ｄｓ：一ＧＭ　ｄＱ一４订ＧＭ　

ｒ　（２）不包点质量Ｍ的闭合曲面Ｓ的质通量　从图中可以看出．闭合曲面Ｓ上的每个面元ｄｓ对应一个面元　

ｄｓ　，它们相对于点质量Ｍ有相同的立体角，不　

＾　过ｄｓ的位矢的单位矢量ｒ与其外法线方向的　＾　夹角大于　，而ｄｓ　的位矢的单位矢量ｒ　与其　

外法线ｎ　方向的夹角小于　．故有　ｌ＾　，　１＾　’，　行　ｒ・ｎｄｓ＝ｄＱ＝ｄＱ　＝一．　ｒ　・ｎ　ｄｓ　２　ｒ，　ｒ　ｒ　

第２８卷第２期　２　０　ｌ　１年６月　经　济　数　学　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＱＵＡＮＴＩＴＡＴＩＶＥ　ＥＣ０ＮＯＭＩＣＳ　Ｖｏ１．２８，Ｎｏ．２　Ｊｕｎ．２　０　１　１　高斯过程函数的中心极限定理与应用　孙琳　（广东工业大学应用数学学院，广东广州　５１００９０）　摘　要　采用Ｗｉｅｎｅｒ空间的两个算予以及相关的恒等式，提出了新的方法证明了关于高斯过程函数　的中心极限定理，并给出了该中心极限定理的应用实例．　关键词　导数算子；Ｍａｌｌｉａｖｉｎ随机变分；中心极限定理；高斯过程　中图分类号０２１１　文献标识码Ａ　Ｃｅｎｔｒａｌ　Ｌｉｍｉｔ　Ｔｈｅｏｒｅｍ　ｆｏｒ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｇａｕｓｓｉａｎ　Ｐｒｏｃｅｓｓ　ａｎｄ　Ｉｔｓ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ　ＳＵＮ　Ｌｉ“　（Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ－Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ。Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ　５１００９０。Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ　Ｕｓｉｎｇ　ｔｗｏ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｒｅｌａｔｉｖｅ　ｉｄｅｎｔｉｔｙ　ｏｆ　Ｗｉｅｎｅｒ　ｓｐａｃｅ，ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ　ａ　ｎｅｗ　ｍｅｔｈｏｄ　ｔＯ　ｐｒｏｖｅ　ｔｈｅ　ｃｅｎｔｒａｌ　ｌｉｍｉｔ　ｔｈｅｏｒｅｍ　ｆｏｒ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｇａｕｓｓｉａｎ　ｐｒｏｃｅｓｓ．Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ，ｔｈｅ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｉｓ　ｃｅｎｔｒａｌ　ｌｉｍｉｔ　ｔｈｅｏｒｅｍ　ｗｅｒｅ　ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ．　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　ｏｐｅｒａｔｏｒ；Ｍａｌｌｉａｖｉｎ　ｃａｌｃｕｌｕｓ；ｃｅｎｔｒａｌ　ｌｉｍｉｔ　ｔｈｅｏｒｅｍ；Ｇａｕｓｓｉａｎ　ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ　１　引　言　前苏联著名概率论学者Ｇｎｅｄｅｎｋｏ和Ｋｏｌｍｏ—　ｇｒｏｖ曾说过“概率论的认识论的价值只有通过极限　定理才能被揭示，没有极限定理就不可能去理解概　率论的基本概念的真正含义”［１］．因此研究统计量　或者随机变量的统计特性，最重要的就是研究其极　限理论．而实际问题中所获得的很多数据都可以认　为来自高斯过程函数总体，比如来自正态随机变量　就可以看成来自关于高斯过程恒等映射的总体．从　而自上世纪３Ｏ年代起，概率极限理论已获得完善的　发展．近年来关于高斯过程函数的统计特性成为研　收稿日期：２０１０—１２－２３　基金项目：广东省自然科学基金资助项目（８４５１０６４１　０１０００３５８）　作者简介：孙琳（１９７１－－），女，湖南益阳人，讲师，硕士　Ｅ—ｍａｉｌ：１ｉｎｓｕｎ一２００６＠ｈｏｔｍａｉｌ．ＣＯＩＩＩ　究中的热门方向之一，大量学者研究了关于高斯过　程函数的极限定理，如Ｎｕａｌａｒｔ和Ｐｅｃｃａｔｉ　（２００５）［　，Ｎｕａｌａｒｔ和０ｒｔｉｚ—Ｌａｔｏｒｒｅ（２００８）［　，　Ｐｅｃｃａｔｉ（２００７）Ｌ　，Ｈｕ和Ｎｕａｌａｒｔ（２００５）Ｌ　，Ｐｅｃｃａｔｉ　和Ｔａｑｑｕ（２００８）　以及Ｐｅｃｃａｔｉ和Ｔａｑｑｕ　（２００７）［７］．大量的文献如Ｄｅｈｅｕｖｅｌｓ、Ｐｅｃｃａｔｉ与Ｙｏｒ　（２００６）ｌ８］，Ｈｕ和Ｎｕａｌａｒｔ（２００９）ｌ＿ｇ　应用了该定理．　本文首先利用Ｍａｌｌｉａｖｉｎ随机变分法，通过导数　算子和散度型算子，并利用恒等式构造了证明高斯　过程函数的中心极限定理的新方法，该证明避免了　采用Ｄａｍｂｉｓ－Ｄｕｂｉｎｓ—Ｓｃｈｗａｒｚ以及Ｃｌａｒｋ—Ｏｃｏｎｅ公　式．进一步结合具体实例，给出了该中心极限定理的　应用．

第２４卷第１期　２Ｏ１１年２月　高等函授学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈｉｇｈｅｒ　Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ）　Ｖｏ１．２４　ＮＯ．１　２Ｏｌｌ　・大学教学・　对高斯定理特性与应用的认识　张清泽　陶宗明　陈　宇　（炮兵学院物理教研室，合肥２３００３１）　摘要：阐述了高斯定理的意义，指出了场强、通量、及电荷代数和及相关概念，并对高斯定理　的普遍性及应用高斯定理求解场强的条件作了说明。　关键词：库仑定律；高斯定理；电通量　中图分类号：Ｏ４４１　文献标识码：Ａ　文章编号：１００６—７３５３（２０１１）Ｏｌ－－００２９－－０２　高斯定理是电磁学基本定理，数学表达式为　一　『ｌ—＇　＋　／ｔＵ，　（廿）Ｅ・ｄａ＝　；即通过任一闭合曲面（高斯面）　ＪＪ　￡０　的电通量等于该闭合曲面包围电荷的代数和除以　ｅ。；穿过高斯面的电通量，只与该电荷系电荷代数　和相关，与高斯面形状无关，也与该电荷系的电荷　分布无关。关于高斯定理的基本概念和具体应用，　一般教科书都有较为详细的叙述，本文仅谈谈对　高斯定理的普遍性及应用高斯定理求解场强条件　的认识。　１高斯定理反映了静电场的有源性　ｒｒ—　当高斯面包围的净电荷为零时，即⑩　・　ＪＪ　一０，说明通过高斯面的电通量为零，穿出、穿人　高斯面的电场线数目相等，电场线不会在无净电　荷的空间终止与产生；如果高斯面内有净的正电　荷ｑ，则穿出高斯面的电场线会多旦根；如果高斯　￡０　面内有净的负电荷ｑ，则穿入高斯面的电场线多　旦根，即面内负电荷一定会终止掉从外面进来的　ｅ０　旦根电场线。因此，发出电场线的地方一定有正　ｅＯ　电荷，终止电场线的地方一定有负电荷，静电场是　有源场，电荷是静电场的源。　２高斯定理和库仑定律的关系　２．１高斯定理是库仑定律的必然结果　如果库仑定律　＝＝：＿　；，中，ｒ的指数不是　７ｒＥｏｒ　２，而是２＋△，则点电荷ｑ的场强应为Ｅ一　ｒ。以ｑ为中心，作半径为ｒ的球形高斯　ｒｒ　～　面，则有　Ｅ・ｄｓ＝　，与半径ｒ有关。美国威廉　ＪＪ　￡０厂　士等人的实验证明，△＜１０　，说明高斯定理在可　测量范围内严格成立。　２．２高斯定理适用条件更广泛　库仑定律仅适用于静电场。由于变化磁场产　生的感生电场其电场线闭合，穿过高斯面的通量　必定为零，故高斯定理不仅适用于静电场，也适用　于变化的感生电场，是电磁场基本方程之一。　３高斯定理　３．１高斯定理不反映场强和电荷的对应关系　高斯面上的场强是空间所有电荷所激发的，　高斯面是数学上的几何面，没有厚薄之分，只有内　外差别。点电荷是作为物理上的实物存在的，不存　在高斯面正好穿过点电荷中间的情况。点电荷要　么在高斯面内，要么在高斯面外。　（１）面外电荷对高斯面上通量没有影响，但　对高斯面上电场有影响；　（２）面内电荷位置的改变对高斯面上通量没　有影响，对高斯面上电场也有影响。　收稿日期：２０１０—１１—０１．　作者简介：张清泽（１９６Ｏ一），男，安徽省庐江县人，硕士，副教授，研究方向：光电子等　

高斯定理的推导与应用

在物理学的众多定理中，高斯定理无疑是一颗璀璨的明珠。它不仅在电磁学领域有着广泛而深刻的应用，还为我们理解和解决许多物理问题提供了强有力的工具。

要理解高斯定理，首先得从电场的基本概念说起。电场是由电荷产生的，电荷周围存在着一种特殊的物质，它能够对置于其中的其他电荷产生力的作用，这就是电场。我们用电场强度 E 来描述电场的强弱和方向。

那么，高斯定理到底是什么呢？简单来说，高斯定理指出：通过任意闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的净电荷除以真空中的介电常数。

接下来，让我们一步步来推导高斯定理。

考虑一个点电荷 q 处于真空中，以点电荷为球心，作一个半径为 r

的球面。根据库仑定律，球面上任意一点的电场强度 E 的大小为 E ＝

kq ／ r²，其中 k 是库仑常数。

电通量的定义是电场强度 E 与面积元 dS 的点积在整个曲面上的积分。对于这个球面，由于电场强度 E 处处与球面垂直，所以电通量 Φ

就等于 E 乘以球面积 4πr²，即 Φ ＝ E×4πr² ＝ kq ／ r² × 4πr² ＝ 4πkq 。 可以发现，这个电通量只与点电荷 q 的电荷量有关，而与球面的半径无关。

现在考虑一个由多个点电荷组成的带电体系。假设这些点电荷分别为 q₁、q₂、q₃……qn 。对于一个任意闭合曲面，我们可以把每个点电荷产生的电场对这个闭合曲面的电通量分别计算出来，然后相加。由于电场强度满足叠加原理，所以总的电通量等于各个点电荷产生的电通量之和。

如果闭合曲面内的净电荷为 Q，则总电通量 Φ ＝ 4πkQ 。又因为真空中的介电常数 ε₀ ＝ 1 ／ （4πk) ，所以可以得到高斯定理的表达式：Φ ＝ Q ／ ε₀ 。

高斯定理有着极其广泛的应用。

在计算具有对称性的带电体的电场强度时，高斯定理往往能发挥巨大的作用。比如，对于一个均匀带电的无限长直圆柱体，由于其具有轴对称性，我们可以选取一个与圆柱体同轴的圆柱形闭合高斯面。通过合理的分析和计算，可以简便地得出电场强度的分布。