高中数学技巧之仿射变换

解析几何中的仿射与相似变换解析几何是数学中一个重要的分支，研究的是平面和空间中的几何图形，其中涉及到各种各样的变换。

在解析几何中，仿射变换和相似变换是两个常见的变换类型，它们在几何图形的研究和应用中发挥着重要的作用。

一、仿射变换仿射变换是指保持直线平行性和直线上的点的比例关系的变换。

形式上，对于平面上的点P(x, y)，经过仿射变换得到的新点P'(x', y')满足以下关系：x' = a1x + a2y + a3y' = b1x + b2y + b3其中a1、a2、a3、b1、b2、b3是常数，且a1b2 - a2b1 ≠ 0。

对于仿射变换，我们可以将其分解成平移、旋转、缩放和剪切四个基本变换的组合。

具体而言：1. 平移变换：平移变换将点P(x, y)移动到新的位置P'(x', y')，其中新位置与原位置的坐标之差为一个常量向量(v1, v2)。

对于平面上的点P(x, y)，经过平移变换得到的新点P'(x', y')满足以下关系：x' = x + v1y' = y + v22. 旋转变换：旋转变换将点P(x, y)绕一个固定的点O(x0, y0)逆时针旋转θ弧度。

对于平面上的点P(x, y)，经过旋转变换得到的新点P'(x', y')满足以下关系：x' = (x - x0)cosθ - (y - y0)sinθ + x0y' = (x - x0)sinθ + (y - y0)cosθ + y03. 缩放变换：缩放变换将点P(x, y)绕一个固定的点O(x0, y0)按照比例因子k进行缩放。

对于平面上的点P(x, y)，经过缩放变换得到的新点P'(x', y')满足以下关系：x' = k(x - x0) + x0y' = k(y - y0) + y04. 剪切变换：剪切变换通过把点P(x, y)沿着某个方向按照比例因子k进行剪切。

高中数学仿射变换一、引言仿射变换是高中数学中的重要概念之一，它在几何变换和线性代数中有着广泛的应用。

本文将介绍仿射变换的基本概念、性质以及应用，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

二、基本概念1. 定义：仿射变换是指保持直线平行性质的变换。

简单来说，它是由平移、旋转、缩放和投影四种基本变换组成的变换。

2. 仿射变换的代数表示：设二维平面上有一个点P(x, y)，经过仿射变换后得到点P'(x', y')，则有如下代数表示：x' = a*x + b*y + cy' = d*x + e*y + f其中a、b、c、d、e、f为常数。

三、性质1. 保直线性质：仿射变换保持直线的性质，即直线经过仿射变换后仍然是直线。

例如，一条直线上的三个点经过仿射变换后仍然共线。

2. 保平行性质：仿射变换保持平行线的性质，即平行线经过仿射变换后仍然平行。

例如，两条平行线经过仿射变换后仍然平行。

3. 保比例性质：仿射变换保持线段的比例关系。

例如，一条线段上的两个点经过仿射变换后线段上的其他点的比例关系仍然成立。

四、应用1. 几何变换：仿射变换在几何变换中有着广泛的应用，可以用来描述平面上的旋转、缩放、平移等操作。

例如，我们可以利用仿射变换来实现图片的旋转、缩放和平移。

2. 图像处理：仿射变换在图像处理中也有着重要的应用，可以用来进行图像的扭曲、校正和纠正等操作。

例如，我们可以利用仿射变换来对图像进行透视校正，使得图像中的平行线在处理后仍然保持平行关系。

3. 计算机图形学：仿射变换在计算机图形学中扮演着重要的角色，可以用来进行三维物体的平面投影、旋转和缩放等操作。

例如，我们可以利用仿射变换来实现计算机图形学中的三维模型的投影效果。

五、总结通过本文的介绍，我们了解了高中数学中的仿射变换的基本概念、性质以及应用。

仿射变换作为一种保持直线平行性质的变换，在几何变换、图像处理和计算机图形学等领域都有着广泛的应用。

空间直角坐标转换之仿射变换一、仿射变换仿射变换是空间直角坐标变换的一种，它是一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换，保持二维图形的“平直线”和“平行性”，其可以通过一系列的原子变换的复合来实现，包括平移(Translation)、缩放（Scale）、翻转（Flip）、旋转（Rotation）和剪切(Shear)。

此类变换可以用一个3×3的矩阵来表示，其最后一行为(0, 0, 1)。

该变换矩阵将原坐标(x, y)变换为新坐标(x', y')，这里原坐标和新坐标皆视为最末一行为(1)的三维列向量，原列向量左乘变换矩阵得到新的列向量：[x'] [m00 m01 m02] [x] [m00*x+m01*y+m02][y'] = [m10 m11 m12] [y] = [m10*x+m11*y+m12][1 ] [ 0 0 1 ] [1] [ 1 ]如果将它写成按旋转、缩放、平移三个分量的复合形式，则其代数式如下：x’= m00*x+m01*y+m02；y’= m10*x+m11*y+m12；其示意图如下：几种典型的仿射变换：1.public static AffineTransform getTranslateInstance(double tx, double ty)平移变换，将每一点移动到(x+tx, y+ty)，变换矩阵为：[ 1 0 tx ][ 0 1 ty ][ 0 0 1 ]（译注：平移变换是一种“刚体变换”，rigid-body transformation，中学学过的物理，都知道啥叫“刚体”吧，就是不会产生形变的理想物体，平移当然不会改变二维图形的形状。

同理，下面的“旋转变换”也是刚体变换，而“缩放”、“错切”都是会改变图形形状的。

）2.public static AffineTransform getScaleInstance(double sx, double sy)缩放变换，将每一点的横坐标放大（缩小）至sx倍，纵坐标放大（缩小）至sy倍，变换矩阵为：[ sx 0 0 ][ 0 sy 0 ][ 0 0 1 ]3.public static AffineTransform getShearInstance(double shx, double shy)剪切变换，变换矩阵为：[ 1 shx 0 ][ shy 1 0 ][ 0 0 1 ]相当于一个横向剪切与一个纵向剪切的复合[ 1 0 0 ][ 1 shx 0 ][ shy 1 0 ][ 0 1 0 ][ 0 0 1 ][ 0 0 1 ]（译注：“剪切变换”又称“错切变换”，指的是类似于四边形不稳定性那种性质，街边小商店那种铁拉门都见过吧？想象一下上面铁条构成的菱形拉动的过程，那就是“错切”的过程。

仿射变换例子（实用版）目录1.引言2.仿射变换的定义和基本概念3.仿射变换的例子4.仿射变换的性质和应用5.总结正文1.引言在数学中，仿射变换是一种在向量空间中进行的变换，它可以保持向量的线性关系，即保持向量的平行四边形形状不变。

仿射变换广泛应用于各种学科领域，如物理学、工程学、计算机图形学等。

本文将通过一些例子来介绍仿射变换的性质和应用。

2.仿射变换的定义和基本概念仿射变换是指在向量空间中，将一个点或者一个向量变换为另一个点或向量的过程。

仿射变换保持向量的线性关系，即保持向量的平行四边形形状不变。

仿射变换可以用矩阵来表示，这个矩阵称为仿射矩阵。

3.仿射变换的例子假设有一个平面直角坐标系，原点为 O(0, 0)，点 A(1, 0)，点 B(0, 1)，点 C(2, 1)。

现在我们考虑将这个坐标系进行仿射变换，变换后的坐标系中原点为 O"(a, b)，点 A"的坐标为 (x, y)。

根据仿射变换的定义，可以列出以下方程组：(x - a, y - b) = m(1 - a, 0 - b)(0 - a, 0 - b) = n(0 - a, 1 - b)(2 - a, 1 - b) = p(2 - a, 1 - b)其中，m、n、p 分别为仿射矩阵的三个元素。

解这个方程组，可以得到变换后的点 A"的坐标。

4.仿射变换的性质和应用仿射变换具有以下性质：1) 仿射变换保持向量的线性关系，即保持向量的平行四边形形状不变。

2) 仿射变换具有平滑性，即经过连续的仿射变换，可以得到任意的变换结果。

3) 仿射变换可以用矩阵表示，从而可以利用矩阵的运算法则进行计算。

仿射变换在实际应用中有很多，如在计算机图形学中，仿射变换可以用来实现图形的平移、旋转、缩放等操作；在物理学中，仿射变换可以用来描述物体在空间中的运动等。

5.总结仿射变换是一种在向量空间中进行的变换，它可以保持向量的线性关系，即保持向量的平行四边形形状不变。

仿射变换和等距变换一、仿射变换1. 概念仿射变换是指在几何空间中，保持直线的平行性和比例关系的变换。

它可以由线性变换和平移变换组合而成，具有保持平行性、保持比例、保持共线性等性质。

2. 性质仿射变换具有以下性质：（1）保持直线的平行性：在仿射变换中，任意两个平行直线经过变换后仍然保持平行。

（2）保持比例关系：在仿射变换中，直线上的任意两点与其对应点的连线与直线上其他点与其对应点的连线的比值保持不变。

（3）保持共线性：在仿射变换中，直线上的任意三点经过变换后仍然共线。

3. 应用仿射变换在计算机图形学、计算机视觉、图像处理等领域有广泛应用。

例如，在图像处理中，可以利用仿射变换对图像进行旋转、平移、缩放和剪切等操作，实现图像的变形、校正和配准等功能。

二、等距变换1. 概念等距变换是指在几何空间中，保持距离不变的变换。

它可以由旋转变换、平移变换和翻转变换组合而成，具有保持距离、保持角度、保持面积等性质。

2. 性质等距变换具有以下性质：（1）保持距离不变：在等距变换中，任意两点之间的距离经过变换后仍然保持不变。

（2）保持角度不变：在等距变换中，任意两线段之间的夹角经过变换后仍然保持不变。

（3）保持面积不变：在等距变换中，平行四边形的面积经过变换后仍然保持不变。

3. 应用等距变换在几何学、物理学、计算机图形学等领域有重要应用。

例如，在地图投影中，可以利用等距变换将地球表面上的经纬度坐标转换为平面上的坐标，实现地图的绘制和测量。

此外，在计算机图形学中，等距变换常用于三维模型的变换和变形，实现真实感的渲染和动画效果。

仿射变换和等距变换是两种常见的几何变换方法。

它们分别具有保持直线的平行性和比例关系、保持距离的性质，并在不同领域中得到广泛应用。

了解和掌握这些变换的概念、性质以及应用，对于理解几何学和计算机图形学的基本原理和方法具有重要意义。

在实际应用中，可以根据具体需求选择合适的变换方法，实现几何形状的变换、校正和配准等功能，提高图像处理和计算机模拟的效果。

仿射变换原理仿射变换是一种将图像进行几何变换的方法，它可以在不改变图像形状的情况下对其进行平移、旋转、缩放和倾斜等变换。

仿射变换的原理是通过对图像进行线性变换和平移变换来实现图像的变换。

线性变换是指将图像中的每一个像素点都进行一定的数学运算，从而对图像进行变换。

常见的线性变换有平移、旋转、缩放和剪切等。

平移变换是指将图像沿着某一方向平移一定的距离，旋转变换是指将图像绕着某一点旋转一定的角度，缩放变换是指将图像按比例缩小或放大，剪切变换是指将图像进行斜切变换。

平移变换可以通过对图像的坐标进行平移来实现。

例如，将图像沿着x轴平移dx个单位，y轴平移dy个单位，可以通过对每一个像素点的坐标进行修改来实现。

具体地，对于一个坐标为(x, y)的像素点，进行平移变换后的坐标为(x+dx, y+dy)。

旋转变换可以通过对图像的坐标进行旋转来实现。

例如，将图像绕着某一点(x0, y0)旋转θ度，可以通过先将图像沿着(x0, y0)平移，然后对每一个像素点的坐标进行旋转，最后再将图像沿着(-x0, -y0)平移回原来的位置来实现。

具体地，对于一个坐标为(x, y)的像素点，进行旋转变换后的坐标为：x' = (x - x0)cosθ - (y - y0)sinθ + x0y' = (x - x0)sinθ + (y - y0)cosθ + y0缩放变换可以通过对图像的坐标进行缩放来实现。

例如，将图像按照x轴和y轴分别缩放sx和sy倍，可以通过对每一个像素点的坐标进行修改来实现。

具体地，对于一个坐标为(x, y)的像素点，进行缩放变换后的坐标为(sx*x, sy*y)。

剪切变换可以通过对图像的坐标进行剪切来实现。

例如，将图像在x轴和y轴方向上分别剪切tx和ty个单位，可以通过对每一个像素点的坐标进行修改来实现。

具体地，对于一个坐标为(x, y)的像素点，进行剪切变换后的坐标为(x+tx*y, y+ty*x)。

大招7仿射变换 大招总结仿射变换,通俗来讲,就是将一个空间内的图形按照一定法则变换,就会在另一个空间内得到与之对应的新图形.在高考数学解析几何题目中,我们可以利用仿射变换将一部分有关椭圆的问题转化为圆的问题,这样就可以借助圆中的特有的一些性质解决问题,从而使问题的解决过程大大简化.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>,经过仿射变换x xa y yb '=⎧⎪⎨'=⎪⎩,则椭圆变为了圆222x y a ''+=,并且变换过程有如下对应关系：(1)点()00,P x y 变为00,a P x y b ⎛⎫' ⎪⎝⎭(2)直线斜率k 变为ak k b '=(3)图形面积S 变为aS S b''=(4)点、线、面位置不变(中点依然是中点,相切依然是相切)(5)弦长关系满足||A B AB ''=因此同一条直线上线段比值不变. 仿射变换一般而言主要应用于选填中快速得出结果,对于大题可以利用仿射变换快速得出结果但是容易丟掉步骤分,因此还是用正常方法写出过程.当出现以下几个场景的时候就可以联想仿射变换去处理:(1)面积问题(尤其是有一个顶点是坐标原点的时候);(2)斜率之积出现22b a-之类;(3)同一条线段的比例问题;(4)其他与之相关联的问题.典型例题例1.(2014-新课标)I 已知点(0,2)A -,椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为2F 是椭圆的右焦点,直线AFO 为坐标原点.+ (I)求E 的方程;(II)设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点,当OPQ ∆的面积最大时,求l 的方程. 分析:这里第二问出现OPQ ∆面积最大,因此可以联想仿射变换化椭为圆去做..解(I)设(,0)F c ,由条件知2c =得c =,又2c a =,所以2222,1a b a c ==-=,故E 的方程2214x y +=.(II)方法1:依题意当l x ⊥轴不合题意,故设直线:2l y kx =-,设()()1122,,,P x y Q x y 将2y kx =-代入2214x y +=,得()221416120k x kx +-+=,当()216430k ∆=->,即234k >时,21,22824314k k x k ±-=+ 从而2221224143||114k k PQ k x x k+⋅-=+-=+ 又点O 到直线PQ 的距离221d k =+,所以OPQ ∆的面积221443||214OPQk S d PQ k∆-==+,设243k t -=,则2440,144OPQt t S t t t∆>==++,当且仅当72,2t k ==±等号成立,且满足0∆>, 所以当OPQ ∆的面积最大时,l 的方程为:722y x =-或722y x =--. 方法2:作变换2x xy y'=⎧⎨'=⎩,椭圆E 变为圆:224x y ''+=,,此时P Q ''过点(0,4)A '-,此时,2OPQ OPQ S S ∆'∆+=因此OPQ S ∆最大时,OP Q S ∆''同样最大.1sin 2sin 22OP Q S OP OQ P OQ P OQ ∆''='⋅'∠''=∠''当且仅当2P OQ π∠''=时最大 设直线P Q ''方程为4y k x '=''-,那么O 到直线P Q ''距离2421d k '==+17722PQ k k k ⇒'=±⇒='=± ∴直线l 的方程为722y x =±- 总结思考:当过椭圆外一个定点P 作一条直线与椭圆交于,A B 两点时,AOB ∆面积最大值2ab,当且仅当经过仿射变换之后的A B ''与原点O 所构成的三角形为直角三角形时取到最大值.如果定点P 是圆内点,则有两种情况:(1)如果作仿射变换之后P '到圆心距离大于等于22a ,那么面积最大值仍然是;(2)2ab如果作仿射变换之后P '到圆心距离小于22a ,那么当OP A B '⊥''时面积取到最大值.例2.设1F 、2F 分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点.(1)若P 是该椭圆上的一个动点,求12PF PF ⋅的取值范围;(2)设(2,0),(0,1)A B 是它的两个顶点,直线(0)y kx k =>与AB 相交于点D ,与椭圆相交于E 、F 两点.求四边形AEBF 面积的最大值. 解(1)由题意可知2,1a b ==,∵c ==∴12(F F 设 (,)P x y∴2212(,),)3,PF PF x y x y x y ⋅=-⋅=+-+()2221133844x x x =+--=-由椭圆的性质可知,2228384x x -⇒--*()212138[2,1]4PF PF x ∴⋅=-∈- (2)方法1:设()()1122,,,E x kx F x kx ,联立2214y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理可得()22144k x+=12x x ∴==(2,0),(0,1)A B∴直线AB 的方程为:220x y +-=根据点到直线的距离公式可知,点,E F 到直线AB 的距离分别为1212k h ++==2212k h +==∴12h h+=∴||AB ==∴四边形的面积为()1211||22S AB h h =+===4212214k k=++(当且仅当14k k =即12k =时,上式取等号,所以S 的最大值为22. 方法2:作变换2x xy y'=⎧⎨'=⎩之后椭圆变为圆,方程为224x y ''+=+此时(0,2),22,4B A B E F '''=''=当且仅当E F A B ''⊥''时面积取到最大此时1222ABBF AE B F S S '''==四边形四边形例 3.(2017-肇庆三模)已知圆221:(1)16F x y ++=,定点2(1,0),F A 是圆1F 上的一动点,线段24F A的垂直平分线交半径1F A 于P 点.(I)求P 点的轨迹C 的方程;(II)四边形EFGH 的四个顶点都在曲线C 上,且对角线,EG FH过原点O ,若34BG FH k k ⋅=-,求证:四边形EFGH 的面积为定值,并求出此定值.解(1)解:因为P 在线段2F A 的中垂线上,所以2||PF PA =. 所以211112||4PF PF PA PF AF F F +=+==>所以轨迹C 是以12,F F 为焦点的椭圆,且1,2c a ==,所以3b =。