勾股定理的逆定理(1)

要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长a b c ，，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1） 首先确定最大边（如c ）.（2） 验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+，则△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形；若222c a b ≠+，则△ABC 不是直角三角形.要点诠释：当222a b c +<时，此三角形为钝角三角形；当222a b c +>时，此三角形为锐角三角形，其中c 为三角形的最大边.要点三、互逆命题如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.要点诠释：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.要点四、勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：① 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果a b c 、、是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 要点诠释：（1）22121n n n -+，，（1,n n >是自然数）是直角三角形的三条边长； （2）2222,21,221n n n n n ++++（n 是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）2222,,2m n m n mn -+ （,m n m n >、是自然数）是直角三角形的三条边长；。

18.2 勾股定理的逆定理1学习目标掌握勾股定理的逆定理，并会用来判断一个三角形是不是直角三角形；熟记一些勾股数学习重点勾股定理的逆定理及其应用学习过程一、复习引入1．直角三角形有哪些性质？2．你有哪些方法说明一个三角形是直角三角形？二、探究新知1．将勾股定理的题设与结论互换，得到的命题是：．2．这个命题是真命题吗？（1）我们用几组符合222+=的三条线段a，b，c来围成三角形，看看它们是否是直角三角a b c形？（3，4，5）；（2.5，6，6.5）．（2）你会证明这个命题吗？已知：求证：证明：3．将一个命题的题设和结论互换，得到一个新命题，新命题与原命题互为逆命题．练习：写出下列命题的逆命题，并判断原命题和其逆命题的真假：（1）原命题：两直线平行，同位角相等．（）逆命题：．（）（2）原命题：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角互补．（）逆命题：．（）（3）原命题：如果AC=BC，那么点C是线段AB的中点．（）逆命题：．（）（4）原命题：对顶角相等．（）逆命题：．（）4．通过刚才的练习可知，原命题的真假与其逆命题的真假之间没有关联．当一个定理的逆命题也是真命题时，它也是一个定理，我们称这两个定理为互逆定理．练习：举出一些我们学过的互逆定理的例子三、巩固提高1．判断下面的三条线段能不能组成直角三角形：（1）15，8，17；（2）13，14，15；（3）n2-1，2n，n2+1．小结：能够构成直角三角形三条边长的三个正整数，成为勾股数．请你写出几组常见的勾股数：练习：书本77页 62．一个三角形的三边长分别为15，20，25，求这个三角形最长边上的高．练习：如果三角形的三边分别为2，2，2，那么这个三角形的三个角的度数分别为；如果三角形的三边分别为1，2的度数之比为．3．如果一个三角形的三边a，b，c满足4422220a b b c a c-+-=，试判断这个三角形的形状．4．正方形网格中，小格的顶点叫做格点。

勾股定理的逆定理1. 引言勾股定理是数学中最基本且重要的定理之一，它描述了直角三角形中三条边的关系。

而勾股定理的逆定理则是根据已知两条边的长度，判断这两条边是否能构成一个直角三角形。

在本文中，我们将详细介绍勾股定理的逆定理的定义、证明以及应用。

2. 定义勾股定理的逆定理可以简单表述为：如果给定一个三角形，其中两条边长分别为a和b，那么当且仅当a、b满足以下条件时，该三角形为直角三角形：•a和b是正数；•a、b存在一个整数m使得a=m^2；•a、b存在一个整数n使得b=n^2；•m和n互质（即最大公约数为1）。

3. 证明下面我们将对勾股定理的逆定理进行证明。

步骤1：假设给定一个符合条件的三角形假设给定一个三角形ABC，其中AB=c为斜边，AC=a为一条直角边，BC=b为另一条直角边。

步骤2：根据已知条件推导首先，我们可以根据已知条件得出以下结论：•根据直角三角形的定义，我们知道角C为直角。

•根据勾股定理，我们有c^2 = a^2 + b^2。

步骤3：证明a、b满足逆定理的条件接下来，我们将分两步证明a、b满足逆定理的条件。

步骤3.1：证明a和b是正数根据已知条件，我们可以得出a、b都是正数。

步骤3.2：证明存在整数m和n使得a=m2和b=n2，并且m和n互质假设m和n不互质，则存在一个正整数d能够同时整除m和n。

那么我们可以将m 表示为dm’，n表示为dn’，其中m’和n’是互质的。

由已知条件可得：• a = m^2 = (dm’)^2 = d2(m’)2；• b = n^2 = (dn’)^2 = d2(n’)2。

由此可见，a和b都能被d^2整除。

但是根据勾股定理可知c不可能被d整除（因为c是斜边），这与已知矛盾。

因此，假设不成立。

即m和n一定是互质的。

步骤4：得出结论根据步骤3的证明，我们可以得出结论：当且仅当a、b满足逆定理的条件时，三角形ABC为直角三角形。

即勾股定理的逆定理成立。

4. 应用勾股定理的逆定理在实际问题中有广泛的应用。

勾股定理的逆定理（1）知识领航1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形． 2. 满足a 2 +b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用的勾股数有3、4、5、；6、8、10；5、12、13等.3. 应用勾股定理的逆定理时，先计算较小两边的平方和再把它和最大边的平方比较.4. 判定一个直角三角形，除了可根据定义去证明它有一个直角外，还可以采用勾股定理的逆定理，即去证明三角形两条较短边的平方和等于较长边的平方，这是代数方法在几何中的应用.e 线聚焦【例】如图，已知四边形ABCD 中，∠B =90°，AB =3，BC =4，CD =12，AD =13，求四边形ABCD的面积.分析：根据题目所给数据特征，联想勾股数，连接AC ，可实现四边形向三角形转化，并运用勾股定理的逆定理可判定△ACD 是直角三角形.解：连接AC ，在Rt △ABC 中，AC 2=AB 2＋BC 2=32＋42=25， ∴ AC =5. 在△ACD 中，∵ AC 2＋CD 2=25＋122=169， 而 AB 2=132=169，∴ AC 2＋CD 2=AB 2，∴ ∠ACD =90°．故S 四边形ABCD =S △ABC ＋S △ACD =21AB ·BC ＋21AC ·CD =21×3×4＋21×5×12=6＋30=36.双基淘宝仔细读题，一定要选择最佳答案哟！1. 分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）8，15，17；（4）4，5，6.其中能构成直角三角形的有（ ）A .4组B .3组C .2组D .1组2. 三角形的三边长分别为 a 2＋b 2、2ab 、a 2－b 2（a 、b 都是正整数），则这个三角形是（）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定3．如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )A .1倍B . 2倍C . 3倍D . 4倍 4. 下列各命题的逆命题不成立的是( )A .两直线平行,同旁内角互补B .若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等C .对顶角相等D .如果a =b ,那么a 2=b 2 5．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)A B C D综合运用认真解答，一定要细心哟！6. 如图所示的一块地，已知AD =4m ，CD =3m ， AD ⊥DC ，AB =13m ，BC =12m ，求这块地的面积.7. 一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角．工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？ABCDA B CD5312138. 如图，E 、F 分别是正方形ABCD 中BC 和CD 边上的点，且AB =4，CE =41BC ，F 为CD 的中点，连接AF 、AE ，问△AEF 是什么三角形？请说明理由.AA D C B拓广创新试一试，你一定能成功哟！9. 勾股数又称商高数，它有无数组，是有一定规律的.比如有一组求勾股数的式子：a =m 2-n 2,b =2mn ,c =m 2+n 2（其中m ，n 为正整数，且m ＞n ）.你能验证它吗？利用这组式子，完成下.123456 (2)3 4 5 6 …… … … … … ……勾股定理的逆定理（2）知识领航1．应用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题，建立数学模型．2．体会从“形”到“数”和从“数”到“形”的转化，培养转化、推理的能力.e 线聚焦【例】如图，南北向MN 为我国领域，即MN 以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A 艇发现正东方向有一走私艇C 以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B .已知A 、C 两艇的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C 艇的距离是12海里.若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？分析：为减小思考问题的“跨度”，可将原问题分解成下述“子问题”：（1）△ABC 是什么类型的三角形？（2）走私艇C 进入我领海的最近距离是多少？（3）走私艇C 最早会在什么时间进入？这样问题就可迎刃而解.解：设MN 交AC 于E ，则∠BEC =900.又AB 2+BC 2=52+122=169=132=AC 2， ∴△ABC 是直角三角形，∠ABC =900.又∵MN ⊥CE ，∴走私艇C 进入我领海的最近距离是CE ， 则CE 2+BE 2=144，（13-CE ）2+BE 2=25，得26CE =288， ∴CE =13144. 13144÷169144≈0.85（小时）， 0.85×60=51（分）. 勾股 数n m A ME NB9时50分+51分=10时41分.答：走私艇最早在10时41分进入我国领海.双基淘宝◆ 仔细读题，一定要选择最佳答案哟！1. 如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( )A .7,24,25B .321,421,521 C .3,4,5 D .4,721,821 2．在下列说法中是错误的（ ）A ．在△ABC 中，∠C ＝∠A 一∠B ，则△ABC 为直角三角形.B ．在△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C ＝5：2：3，则△ABC 为直角三角形.C ．在△ABC 中，若a ＝53c ，b ＝54c ，则△ABC 为直角三角形. D ．在△ABC 中，若a ：b ：c ＝2：2：4，则△ABC 为直角三角形.3. 有六根细木棒，它们的长度分别为2，4，6，8，10，12（单位：cm ），从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这根木棒的长度分别为（ ）A ．2，4，8B .4,8,10C .6,8,10D .8,10,124．将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数 , , .5．若三角形的两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三边的长为 . 6．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm ，则它的面积为 .综合运用◆ 认真解答，一定要细心哟！7．如图，已知等腰△ABC 的底边BC =20cm ，D 是腰AB 上一点，且CD =16cm ，BD =12cm ，求△ABC 的周长.8．如图，三个村庄A 、B 、C 之间的距离分别为AB =5km ,BC =12km ,AC =13km .要从B 修一条公路BD 直达AC .已知公路的造价为26000元/km ，求修这条公路的最低造价是多少？D B C AB12 59．如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D 处滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经路程都是15m，求树高AB.拓广创新试一试，你一定能成功哟！10．如图，在△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，P A=3，求∠BPC的度数．BACD.ACPB18.2 勾股定理的逆定理（1）参考答案1.B2.A3.B4.C5.C6.24m 27.符合 8.由勾股定理得AE 2=25，EF 2=5，AF 2=20，∵AE 2= EF 2 +AF 2，∴△AEF 是直角三角形 . 9.略18.2 勾股定理的逆定理（2）参考答案1.B2.D3.C4.5，12，13; 8，15，17; 11，60，61（此题答案不唯一）5.3或416.120cm 27.由BD 2+DC 2=122+162=202=BC 2得CD ⊥AB 又AC =AB =BD +AD =12+AD ，在Rt△ADC 中，AC 2=AD 2+DC 2，即(12+AD )2=AD 2+162，解得AD =314，故 △ABC 的周长为2AB +BC =3153cm 8.由勾股定理的逆定理可判定△ABC 是直角三角形，由面积关系可求出公路的最短距离BD =1360km ， ∴最低造价为120000元 9.设AD =x 米，则AB 为（10+x ）米，AC 为（15-x ）米，BC 为5米，∴(x +10)2+52=(15-x )2，解得x =2，∴10+x =12（米） 10．如图，将△APC 绕点C 旋转，使CA 与CB 重合，即△APC ≌△BEC ,∴△PCE 为等腰Rt △，∴∠CPE =45°，PE 2=PC 2+CE 2=8. 又∵PB 2=1，BE 2=9，∴PE 2+ PB 2= BE 2,则∠BPE =90°，∴∠BPC =135°.第10题图。

勾股定理的逆定理1知识点1.勾股定理的逆定理 考点1.直角三角形的判别方法例1.判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形：（1）在△ABC 中，∠A=25°，∠C=65°； （2）在△ABC 中，AC=12，AB=20，BC=16； （3）一个三角形的三边长a 、b 、c 满足222c a b =-.练习：判断下列下列三角形的形状.（1）在△ABC 中，AC=5，AB=12， BC =13;（2）一个三角形三边长之比为1:1：.2考点2.利用三角形三边关系判定直角三角形.1.三边组成直角三角形的条件.例2.下面给出几组数：①7,8,9；②12,9,15；③均为正整数，n m mn n m n m ,(2,,2222-+ m>n);④2,1,222++a a a .以它们为边长的三角形一定是直角三角形的是（ ）.练习：在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a,b,c,且,))((2c b a b a =-+则（ ）. A.∠A 为直角 B.∠C 为直角 C.∠B 为直角D.△ABC 不是直角三角形2.从三边满足的关系式中判断三角形的形状.例3.已知a,b,c 为△ＡＢＣ的三边长，且满足.ABC ,442222的形状试判断△b a c b c a -=-练习：已知ａ、ｂ、ｃ是△ＡＢＣ的三边长，且满足关系式：.ABC ,0222的形状试判断△=-+--b a b a c３．通过求三角形三边长判断三角形的形状例４．如图，Ｅ、Ｆ分别是正方形ＡＢＣＤ中ＢＣ和ＣＤ边上的点，且ＡＢ＝４，ＣＥ＝BC41，Ｆ为ＣＤ的中点，连接ＡＦ、ＡＥ，问：△ＡＥＦ是什么三角形？请说明理由．练习：如图，在四边形ＡＢＣＤ中，∠C是直角，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD⊥BD.考点3.勾股定理及其逆定理的综合应用例5.如图，在△ABC中，AB=17，BC=16，BC边上的中线AD等于15，证明：AB=AC. 练习：如图，在四边形ABCD中，已知AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠B=90°，求：∠DAB的度数.考点4.勾股定理及其逆定理的实际应用某校把一块三角形的废地开辟为植物园，如图，测得AC=80m，BC=60m，ＡＢ＝１００ｍ．（１）若入口Ｅ在边ＡＢ上，且与Ａ，Ｂ的距离相等．求从入口Ｅ到出口Ｃ的最短路线的长（提示：直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半）；（２）若线段ＣＤ是一条小渠，且点Ｄ在边ＡＢ上，点Ｄ距点Ａ多远时，水渠的距离最短？。