澳门大学2011-2012入学考试数学A卷

4. Let {an } be an arithmetic progression. a a2 an , n 1,2, . Show that {bn } is an arithmetic (a) Let bn 1 n progression. (3 marks)
(4 marks)
A N
D
M C
F E
B
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P a s t E x a m i n a t i o n P a p e r s 2 0 1 0 / 2 0 11 , 2 0 11 / 2 0 1 2
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如圖 I，直三棱柱 ABC DEF 的側棱長為 2， ABC 是等邊三角形，其邊長 為 1。設 M 為 AB 的中點，N 為 AE 上一點，且 MN AE 。
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(b) Deduce that for any positive integer n, n(n 1)(n 2)(3n 1) is divisible by
2011/2012 ADMISSION EXAMINATION PAPER
24.
(2 marks)
6. In ABC , a, b, c are the opposite sides of the angles A, B, C. Section I. Answer all 7 questions. 2 x y 16 . 1. Solve the system of equations log 2 x log 2 y 5 (6 marks) Suppose sin B (2 sin A sin C ) . cos B cos C (4 marks)
2011/2012 學年 入學考試試題
6. 在 ABC 中，a，b，c
分別是角 A，B，C 對應的邊。設
第一部分: 七題全部作答。
2 x y 16 1. 解方程組 log 2 x log 2 y 5
sin B (2 sin A sin C ) 。 cos B cos C
r 3. (a) Let n and r be integers, 0 r n , and Cn be the coefficient of x r in the
(a) One ball is drawn randomly each time for three times. (i) If balls are drawn without replacement, what is the probability that,
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(b) 推導出對任意正整數 n， n(n 1)(n 2)(3n 1) 可被 24 整除。 (2 分)
(a) 證明 CM AE 。 (b) 證明 AMN 和 AEB 是相似三角形。從而求 | MN | 。 (c) 求三棱錐 C AMN 的體積。 (3 分) (4 分) (4 分)
(b) 求由曲線 y 5 x 2 與直線 y x 1 所包圍的區域的面積。(6 分)
a b b 11. (a) 因式分解行列式 b a b 。 b b a (b) 設 a 為實數。已知以 x, y, z 為未知量的方程組:
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Section II. Answer any 3 questions. Each carries 16 marks.
(3 分) (ii) 以代換 x tan 及 (i) 的結果，證明方程 x 5 5 x 4 10 x 3 10 x 2 5 x 1 0
可變換成 tan 5 1 。
(*) (3 分)
(iii) 繪出曲線 y S ( x) 。在圖中(如有的話)把局部極大點、局部極小點
r 1 r r 1 r 1 expansion of (1 x) n . Show that for 1 r n 1 , Cn 2Cn Cn Cn 2 .
among the three balls drawn, there is exactly 1 red ball?
(iii) 由此，或用其他方法，求方程 (*) 的五個根，答案以 tan 表示。 (3 分)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
和拐點標出來。
(iv) 若 1 x 6 ，求 S ( x) 的最大值。
(5 分)
(1 分)
全卷完
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P a s t E x a m i n a t i o n P a p e r s 2 0 1 0 / 2 0 11 , 2 0 11 / 2 0 1 2
2 2 2 2
ax y z 1 ( E ) x ay z a 。 2 x y az a
求 a 的各值使得方程組 (E)
(1 分) (3 分) (4 分)
(i) 有唯一解 ; (ii) 有無限多解 ; (iii) 無解。 (c) 設 a 2 。解方程組 (E) 。 (6 分) (5 分)
(a) 現隨機抽球三次，每次一個球。 (i) 若 3 個球是以取後不放回方式抽出，恰有 1 個紅球的概率是多少? (2 分)
r 1 r r 1 r 1 2Cn Cn Cn 數。證明對於 1 r n 1 ， Cn 2 。
(3 分) (b) 在 (1 ax) n 的展開式中， x 和 x 2 的係數分別為 24 及 252，求 a 和 n 的值。 (5 分)
(b) If a1 a2 a20 320 and a2 a3 a22 399 , find the general term of {an } . (5 marks)
5. (a) Prove by mathematical induction that for any positive integer n, 12 2 22 3 n 2 (n 1) 1 n(n 1)(n 2)(3n 1) . 12 (5 marks)
(ii) 若 3 個球是以取後放回方式抽出，恰有 1 個紅球的概率是多少? (2 分) (b) 若以取後放回方式隨機抽球兩次，每次兩個球，4 個球中恰有 2 個紅球
的概率是多少?
4. 設 {an } 為等差數列。 (a) 設 bn
a1 a2 an ， n 1,2, 。證明 n
(1 i )102 以 a ib 形式表示。 (1 3i ) 2011
(7 分) 5 tan 10 tan 3 tan 5 。 1 10 tan 2 5 tan 4
(b) (i) 用棣美弗定理，或其他方法，證明 tan 5
10. (a) 一底半徑為 x 的正圓柱，其體積為 54 。設該圓柱的表面面積 (包括上、下兩底)為 S ( x) 。 54 (i) 證明 S ( x) 2 x 2 ， x 0 。 x (ii) 求 d 2S dS 及 。 dx dx 2 (2 分) (2 分)
(d) Show that | AB |2 (e) Let m
16(1 m 2 )(1 m 2 ) . m4
(3 marks)
8. Fig. I A N D
1 . If C is the point on the x-axis such that the area of ABC is 12, 2 (5 marks)
find the point C.
10. (a) A right circular cylinder has base radius x and volume 54 . Let S ( x) be the M C E B In Figure I, ABC DEF is a right triangular prism with | AD | 2 . ABC is an equilateral triangle with side length 1. Let M be the midpoint of AB, N be the point on AE such that MN AE . (a) Show that CM AE . (3 marks) F surface area (including the two bases) of the cylinder. 54 (i) Show that S ( x) 2 x 2 , x 0 . x (ii) Find d 2S dS . and dx 2 dx (2 marks) (2 marks)
。
(6 分)
(a)
1 證明 cos B 。 2
(4 分)
(4 分)
(b) 若 b 19 ， a c 5 及 a c ，求 a 和 c 的值。
2. 解不等式 ( x 1) | x 3 | 21 。
(7 分)
7. 一袋中有紅球 3 個和白球 7 個。
r 是在 (1 x) n 的展開式中 x r 的係 3. (a) 設 n 和 r 為整數， 0 r n ，及 Cn
2
are 24 and 252, (5 marks)
respectively. Find the values of a and n.
(b) Two balls are drawn randomly each time for two times with replacement. What is the probability that, among the 4 balls drawn, there are exactly 2 red balls?
1 (a) Show that cos B . 2
(b) If b 19 , a c 5 and a c , find the values of a and c. (4 marks) 2. Solve the inequality ( x 1) | x 3 | 21 . (7 marks) 7. There are 3 red balls and 7 white balls in a bag.
(5 分)
(d) 求面 ACE 與面 ABE 所成的二面角，答案以 arctan 表示。 (5 分)
9. 設 L 為過點 P(1,0) 的一條直線，其斜率為 m (m 0) 。直線 L 與拋物線
y 2 4 x 相交於兩不同的點 A( x1 , y1 ) 和 B( x2 , y2 ) 。
(a) 證明 x1 和 x2 為方程 m x (2m 4) x m 0 的根。
(4 分)
{bn } 是等差數列。 (3 分)
第二部分:任擇三題作答，每題十六分。
(b) 若 a1 a2 a20 320 及 a2 a3 a22 399 ，求數列 {an } 的通項公
8.
式。
(5 分)
圖I
5. (a) 用數學歸納法，證明對任意正整數 n，
12 2 2 2 3 n 2 (n 1) 1 n(n 1)(n 2)(3n 1) 。 (5 分) 12
(b) 求 m 的取值範圍。 (c) 以 m 表 ( x1 x2 ) 2 。
16(1 m 2 )(1 m 2 ) (d) 證明 | AB | 。 m4
2
(3 分)
(e) 設 m
1 。若 C 是 x-軸上一點，使得 ABC 的面積為 12，求點 C。 2 (5 分)
12. (a) 把複數
(2 marks)
(3 marks) (b) In the expansion of (1 ax) , the coefficients of x and x
n
(ii) If balls are drawn with replacement, what is the probability that, among the three balls drawn, there is exactly 1 red ball? (2 marks)