平面图形的平移

中考数学知识点：平移定义知识点
中考数学知识点：平移定义知识点
(1)平移的定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移，平移前后互相重合的点叫做对应点。

(2)平移的性质：
①对应点的连线平行(或共线)且相等
②对应线段平行(或共线)且相等，平移前后的两条对应线段的四个端点所围成的四边形为平行四边形(四个端点共线除外)
③对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。

(3)用坐标表示平移：如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，纵坐标不变，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长；如果把一个图形各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，横坐标不变，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长。

(4)平移的条件：图形的原来位置、方向、距离
(5)平移作图的步骤和方法：将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形，方法有如下三种：平行线法、对应点连线法、全等图形法。

第十五章图形的平移与旋转一、平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。

一个图形经过平移后得到一个新图形，这个新图形与原图形是互相重合的，互相重合的点称为，互相重合的角称为，互相重合的线段称为。

注意：1.平移有两个要素：（1）沿某一方向移动；（2）移动一定的距离；2.平移的方向就是原图上的点指向它的对应点的方向；图像上每点都沿同一方向移动距离，这个距离是指对应点之间的长度；3.平移前后两图形是全等的。

平移的特征：平移不改变图形和，只改变了图形的位置；经过平移，对应点所连的线段（或 )且相等；对应线段（或）且相等，对应角。

二、1、旋转：在平面内，将一个图形绕一个沿某个方向转动一定，这样的图形运动称为旋转。

这个定点称为，转动的角称为。

任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是 .注意：1.旋转中心在旋转过程中保持不动；2.图形的旋转是由，和所决定的；3.作平移图与旋转图。

（确定关键点，将关键点沿一定的方向移动相同的距离，连接关键点）旋转的特征：图形中每一点都绕着旋转中心按同一旋转方向旋转了同样大小的；对应点到旋转中心的距离；对应线段，对应角；图形的形状与大小都没有发生变化。

图形的变换包括、和旋转，这三种图形变换的共同点是：只改变图的，不改变图形的和。

2、旋转对称图形：在平面内，一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身，这样的图形称为旋转对称图形。

3、中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转角度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。

这个点叫做对称中心。

中心对称图形是旋转角度为°的特殊旋转对称图形，但旋转对称图形不一定是中心对称图形。

4、成中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180º，如果它能够和另一个图形重合，就称这两个图形成中心对称。

这个点叫做对称中心；这两个图形中的对应点，叫做关于中心的。

在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过，并且被对称中心。

DCFE CBA第四讲 图形的平移与旋转【基础知识精讲】一、平移：1.平移的定义——在平面内，把一个图形沿某一个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫图形的平移。

说明：（1）平移是图形的一种运动（变换）（2）平移的要素：①平移方向；②平移距离。

2.平移的性质:①平移前后图形的大小、形状都不改变。

即：平移前后的图形全等形。

②平移前后对应点的连线段平行（或在同一直线上）且相等；对应线段平行（或在同一直线上）且相等；对应角相等。

二、旋转1.旋转的定义——在平面内，把一个图形绕一个定点沿着某一个方向转动一个角度，这样的图形运动叫图形的旋转。

说明：（1）旋转是图形的一种运动（变换）（2）旋转的要素： ①旋转中心 ②旋转方向 ③旋转角2.旋转的性质①旋转前后图形的大小、形状都不改变。

即：旋转前后的图形全等形。

②图形上任意点都绕中心沿相同方向转动相同的角度（旋转角）； ③对应点到旋转中心的距离相等。

【重难点高效突破】例1.如图，经过平移△ABC 的边AB 移到了EF ，作出平移后的三角形．例2.如图，△ABC 绕C 点旋转后，B 转到了D 处，作出旋转后的三角形。

例3.如图，在长32m 宽20m 的土地上要修筑同样宽的两条“之”字路，路宽2m ，则剩余耕地的面积为 . 例4、如图，E 为正方形ABCD 的边AB 上一点，AE=3,BE=1，P 为AC 上的动点，则PB+PE 的最小值是_________.例5、如图，△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF ，若BC=12，CF=5，则△DEF 的面积为______________。

例6、如图，在△ABC 中，AB 2=32，∠BAC=45°, ∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，求BM+MN 的最小值。

例7、如图，设P 为等边△ABC 内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，能否确定∠APB 的大小？请说明理由。

7.3 图形的平移知识点一、平移的概念1、平移的定义：在平面内，把一个图形沿着一定的方向平行移动而达到另一个位置，这种图形的平行移动简称为平移。

2、平移的两个要素：（1）平移方向；（2）平移距离。

3、对应点、对应线段、对应角一个图形经过平移后得到一个新的图形，这个新图形与原图形是能够互相重合的全等形，我们把互相重合的点称为对应点，互相重合的线段称为对应线段，互相重合的角称为对应角。

4、平移方向和距离的确定（1）要对一个图形进行平移，在平移前必须弄清它的平移方向和平移距离，否则将无法实现平移，那么怎样确定这两点呢？A.若给出带箭头的线段：从箭尾到箭头的方向表示平移方向，而带箭头的线段的长度，表示平移距离，也有时另给平移距离的长度。

B.若给出由小正方形组成的方格纸：在方格中的平移，从方向上看往往是要求用横纵两次平移来完成（有特殊要求例外），而移动距离是由最终要达到的位置确定的。

C.具体给出从某点P到另一点P’的方向为平移方向，线段PP’的长度为平移距离。

D.给出具体方位（如向东或者西北等）和移动长度（如10cm）（2）图形平移后，平移方向与平移距离的确定。

图形平移后，原图形与新图形中的任意一对前后对应点的射线方向就是原平移方向，这对对应点间的线段长度就是原平移距离。

例：如图为一只小兔，将图进行平移，得到的图形可能是下列选项中的（）A．B．C．D．【分析】根据平移的性质，图形只是位置变化，其形状与方向不发生变化，进而得出即可．【解答】解：如图为一只小兔，将图进行平移，得到的图形可能是下列选项中的C．故选：C．【点评】此题主要考查了生活中的平移现象，正确根据平移的性质得出是解题关键．知识点二、平移的性质图形平移的实质是图形上的每一点都沿着同一个方向移动了相同的距离。

平移后的图形与原图形①对应线段平行（或在同条一直线上）且相等；②对应点连线平行（或在同一条直线上）且相等；③图形的形状与大小都不变（全等）；④图形的顶点字母的排列顺序的方向不变。

23.1 平移基础知识点1：平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．“一定的方向”称为平移方向，“一定的距离”称为平移距离．平移特征：图形平移时，图形中的每一点的平移方向都相同，平移距离都相等．例：1.填空（1）在平面内，将一个图形沿某个 移动一定的 ，这样的图形运动称为平移。

（2）平移是由移动的 和 所决定。

（3）平移后的图形与原图形的对应线段 且 或 上，对应角 ，对应点所连的线段 且 或在同一条直线上，图形的形状与大小都 。

多次平移相当与 平移。

经过两次翻折（对称轴互相平行）后所得到的图形，可以看成是原图形经过 得到的。

4．如图3-1-3，小狗拖着箱子跑：(1)如果小狗向左移动了50米，那么拖着的箱子向什么方向移动？移动了多少距离？(2)如果小狗向左跑了80米，那么箱子向 移动了 ．小结：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移．平移只改变图形的 ，不改变图形的 和 ．2．如图3-1-4，△ABE 沿射线XY 的方向平移一定距离后成为△CDF ．(1)图中，对应点的连线AC ，BD ，EF 有怎样的位置关系？(2)图中每对对应线段之间有怎样的位置关系？(3)图中有哪些相等的线段、相等的角练习：1．下列五种运动中，属于平移运动的是( )①温度计中液柱的上升或下降②自行车轮子的运动③时钟的秒针的运动④高层建筑内的电梯的运动⑤小球从高处做自由落体运动A ．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①④⑤2.在下面的六幅图中，(2) (3) (4) (5) (6)中的图案_________可以通过平移图案（1）得到的．3．△ABC 沿正南方向平移3cm ，得到△C B A '''，为了使△C B A '''恢复到原来的位置，应将△C B A '''向________方向平移________cm ．4.在5×5方格纸中将如图3（1）中的图形N 平移后的位置如图3（2）中所示，那么正确的平移方法是（ ）A.先向下移动1格，再向左移动1格B.先向下移动1格，再向左移动2格C.先向下移动2格，再向左移动1格D.先向下移动2格，再向左移动2格 图3-1-3 图3-1-4知识点2:平移的图形1.平移方格纸中的图形(如图)，使点A 平移到A ′处，画出平移后的图形。

第三章图形的平移与旋转一、平移定义和规律1平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.关键：a. 平移不改变图形的形状和大小(也不会改变图形的方向，但改变图形的位置)。

b. 图形平移三要素：原位置、平移方向、平移距离。

2平移的规律（性质）：经过平移,对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等、对应角相等。

注意：平移后，原图形与平移后的图形全等。

3简单的平移作图：平移作图要注意：①方向；②距离。

整个平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动。

二、旋转的定义和规律1旋转的定义：在平面内，将一个图形饶一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。

这个定点称为旋转中心；转动的角称为旋转角.关键：a。

旋转不改变图形的形状和大小（但会改变图形的方向，也改变图形的位置）。

b。

图形旋转四要素：原位置、旋转中心、旋转方向、旋转角。

2旋转的规律（性质）：经过旋转,图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角,对应点到旋转中心的距离相等.(旋转前后两个图形的对应线段相等、对应角相等。

）注意:旋转后,原图形与旋转后的图形全等.3简单的旋转作图：旋转作图要注意：①旋转方向;②旋转角度。

整个旋转作图，就是把整个图案的每一个特征点绕旋转中心按一定的旋转方向和一定的旋转角度旋转移动。

三、中心对称1．中心对称的有关概念：中心对称、对称中心、对称点把一个图形绕着某一点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做对称点。

2．中心对称的基本性质：（1)．成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。

（2)．成中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分。

3．中心对称图形的有关概念:中心对称图形、对称中心把一个平面图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形.这个点就是它的对称中心。

图形的平移和旋转【图形的平移】(1) 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．注意:①平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换．②图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据．③图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．（2）平移的基本性质：由平移的基本概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．注意：①要正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征．②“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．（3）简单的平移作图平移作图：确定一个图形平移后的位置所需条件为：①图形原来的位置；②平移的方向；③平移的距离．1， 【典型例题】例 1．如图，△ABC 绕 C 点旋转后，顶点 A 的对应点为点 D ，试确定顶点 B 对应点的位置，以及旋转后的三角形．分析：绕 C 点旋转，A 点的对应点是 D 点，那么旋转角就是∠ACD ，根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角即∠BCB′=ACD， 又由对应点到旋转中心的距离相等，即CB=CB ′，就可确定 B′的位置，如图所示．解：（1）连结 CD（2） 以 CB 为一边作∠BCE，使得∠BCE=∠ACD（3） 在射线 CE 上截取 CB′=CB则 B′即为所求的 B 的对应点．（4） 连结 DB′则△DB′C 就是△ABC 绕 C 点旋转后的图形．例 2．如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，且 DE= 1 ，4△ABF 是△ADE 的旋转图形．（1） 旋转中心是哪一点？（2） 旋转了多少度？（3） AF 的长度是多少？（4） 如果连结 EF ，那么△AEF 是怎样的三角形？分析：由△ABF 是△ADE 的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角，要求AF 的长度，根据旋转前后的对应线段相等，只要求 AE 的长度，由勾股定理很容易得到． △ABF 与△ADE 是完全重合的，所以它是直角三角形．解：（1）旋转中心是 A 点．（2）∵△ABF 是由△ADE 旋转而成的∴B 是 D 的对应点∴∠DAB=90°就是旋转角（3）∵AD=1，DE= 1412 (1)2 4∴AE= = 4∵对应点到旋转中心的距离相等且 F 是 E 的对应点∴AF= 174（4）∵∠EAF=90°（与旋转角相等）且 AF=AE ∴△EAF 是等腰直角三角形．【图形的旋转】（1） 旋转的概念：图形绕着某一点（固定）转动的过程，称为旋转，这一固定点叫做旋转中心。

平面形的旋转和平移平面形的旋转和平移是几何学中重要的概念和操作。

旋转是指将平面上的图形绕着一个固定点进行旋转，而平移则是指保持图形形状不变，将其沿着平行于原来位置的路径平移到新的位置。

这两种操作在几何学、计算机图形学以及日常生活中都有广泛的应用。

本文将详细探讨平面形的旋转和平移以及其相关的数学原理和应用。

1. 平面形的旋转旋转是指将平面图形绕着一个固定点旋转一定角度的操作。

在平面几何中，旋转可以通过旋转矩阵来表达。

旋转矩阵的元素根据旋转的角度而确定。

图形绕着原点旋转的旋转矩阵为：[R] = |cosθ -sinθ||sinθ cosθ|其中θ为旋转的角度。

通过旋转矩阵，我们可以将平面上的任意图形进行旋转。

旋转后的图形与原图形形状相同，只是在平面上发生了位置的变化。

2. 平面形的平移平移是指将平面上的图形沿着平行于原来位置的路径平移一定距离的操作。

平移可以通过平移向量来表示。

平移向量由平移的水平和垂直位移确定。

对于一个平移向量(Tx, Ty)，我们可以将平面上的任意点(x, y)进行平移得到新的点(x+Tx, y+Ty)。

通过平移操作，图形在平面上整体向某个方向进行了位置的移动。

3. 旋转和平移的组合操作在实际应用中，常常需要对平面上的图形进行旋转和平移的组合操作。

通过组合旋转和平移，可以使图形在平面上发生旋转和移动，从而实现更加复杂的变换。

例如，将一个图形先旋转一定角度，再将其平移到指定的位置。

这种组合操作可以通过先进行平移后进行旋转的顺序来实现。

4. 旋转和平移的应用旋转和平移作为几何学的基本操作，在很多领域中都有重要的应用。

在计算机图形学中，通过旋转和平移可以实现三维物体的平面投影和视角转换。

在建筑设计、工程制图和艺术设计等领域中，旋转和平移是进行布局、样式调整和空间变换的常用手段。

此外，旋转和平移也在日常生活中广泛存在，例如地球的自转和公转、钟表的指针转动等。

总结：平面形的旋转和平移是几何学中重要的概念和操作，通过旋转和平移可以实现平面上图形的变换和移动。

第三章图像的平移与旋转第一节图形的平移1.在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。

2.一个图形经过平移后得到一个新的图形，这个图形能与原图形相互重合，只是位置发生了变化。

我们把能够相互重合的点称为对应点，能够相互重合的角称为对应角，能够相互重合的线段称为对应线段。

3.平移的条件：确定一个图形平移后的位置，除需要原来的位置外，还需要一一对应的点的位置或平移的方向和距离，平移的方向为原图上的点指向它的对应点的方向，这一对对应点连接的线段的长是平移的距离。

注：（1）图形的平移有两个基本的条件：方向（任意方向）；距离（2）平移改变了图形的位置，但不改变图形的形状和大小。

4.平移的性质：（1）平移后的图形与原图形对应点所连线段平行或在一条直线上且相等；（2）平移后的图形与原图形对应线段平行（或在一条直线上）且相等；（3）平移后的图形与原图形对应角相等。

5.平移作图常见形式及作法：第二节图形的旋转1.旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。

这个定点被称为旋转中心，转动的角称为旋转角。

旋转不改变图形的形状和大小。

注：旋转是在平面内，而不是在空间内；旋转后的图形与原图形的形状、大小都相同，但形状、大小都相同的两个图形不一定可以通过旋转得到；旋转的角度一般小于360度。

2.旋转的三要素：图形的旋转由旋转中心、旋转的角度和旋转的方向所决定。

3.旋转的性质：一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等。

4.简单的旋转作图：旋转、平移、轴对称的异同：（1）三者的相同点：都是在平面内的图形变换不涉及立体图形的变换；三中变换都是只改变图形的位置，不改变形状和大小，其对应边相等，对应角相等。

（2）不同点：旋转、平移及轴对称的运动方式不同，旋转的运动方式是将一个图形旋转一定角度；而平移的运动方式则是将一个图形沿一条直线对折；旋转、平移及轴对称的对应线段、对应角之间的关系不同。

图形的平移知识点一、图形的平移图形的平移概念：在平面内，将一个图形 叫图形的平移，它由移动的 和 所决定.注意：1、图形的平移是由移动的方向和距离决定的。

2、图形上各点沿同一方向移动相同的距离。

3、平移不改变图形的大小与形状，它只改变图形在平面中的位置。

知识点二、平移的性质平移的性质: 1、图形经过平移，连接各组对应点所得的线段互相平行(或在同一条直线上)，并且相等。

2、平移前后图形的对应线段相等，对应角相等。

平行线之间的距离：如果两条直线互相平行,那么其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，这个距离称为平行线之间的距离.(平行线之间的距离处处相等.)一、对平移概念的理解例1、如图所示，将（1）中的正方形分成4个等腰直角三角形，那么图（1）中的三角形能否经过平移得到图（2）？若能，请在图中标出平移的方法；若不能，请说明理由.（1） （2）二、运用平移的性质对面积线段的求解 例2、 如图，面积为212cm 的ABC ∆沿BC 方向平移至DEF ∆的位置，平移的距离是边BC 的两倍，则四边形ACED的面积为【 】（A ）224cm （B ）236cm （C ）248cm （D ）无法确定例3、 如图，四边形ABCD 中，BC AD //，且4=AD ，ABC ∆的周长为14 ,将ABC ∆平移到DEF ∆的位置．（1）指出平移的方向和平移的距离；（2）求梯形ABFD 的周长.例4、如图，原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC 方向平移BE 的距离，就得到此图形，求阴影部分面积(单位：厘米).变式练习1：如图，原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC 方向平移BE 的距离，连接AD 就得到此图形，其中10=AB cm,6=BE cm ，如果ADF ∆的面积比'EFC ∆的面积小10cm 2,求'EC 的长.变式练习2：如图，先将两个直角梯形重叠在一起，再将其中一个直角梯形沿AD 的方向平移，平移距离为AE 长.求阴影部分面积(单位：厘米).变式练习3：如图所示，直角梯形ABCD 的底边BC 的长为20，将它向下平移4个单位得到直角梯形EFGH ，测得2=PC ，求阴影部分的面积.三、要正确利用图形平移，巧妙求出阴影部分面积例5、如图所示，在长方形ABCD 中，AD =2AB ，E 、F 分别为AD 及BC 的中点，扇形BFE 、FCD 的半径FB 与CF的长度均为1cm ，求阴影部分的面积.变式练习1：如图，ABCD 是一个长方形，E 、F 、G 、H 分别是边AD 及BC 边上的三等分点，图中矩形内的两条曲线都是图示的四分之一圆周.求阴影部分面积(单位：厘米).变式练习2：如图是一块长方形ABCD的场地，长102=AB m，宽51=AD m，从A、B两处入口的中路宽都为1 m，两小路汇合处路宽为2 m，其余部分种植草坪，求草坪的面积？变式练习3、如图所示，一块蓝色正方形板，边长18cm, 上面横竖各两道红条，红条宽都是2cm，问蓝色部分面积是多少？例5、如图，用10枚棋子摆成正三角形，并且方向向上，请你只移动3枚棋子，使正三角形的方向向下．变式练习：如图是一个用21根火柴棒组成的算式.（1）请你平移1根火柴棒组成新的算式并使等式成立，写出则平移后得到的等式；（2）请你平移2根火柴棒组成新的算式并使等式成立，写出则平移后得到的等式.拓展：1、如图（单位：m），直角三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合.设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为y2m.（1）写出y与x的关系式；（2）当重叠部分的面积是正方形面积与ADE∆的面积相等时，三角形移动了多长时间？图1 图22、如图，A和B两地在一条小河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥要造在何处才能使从A到B的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平行线，桥要与河垂直）练习：1.如图所示，在长为32米宽20米的长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分作为耕地，当道路宽为2米时耕地面积为平方米.2.如图，是一块电脑主板，每一个转角处都是直角，数据如图所示(单位是mm)，则该主板的周长为mm .3. 一位美术老师在课堂上进行立体模型素描教学时，把14个棱长为1分米的正方体摆在课桌上成如图的形式，然后他把露出的表面都涂上不同的颜色，则被他涂上颜色部分的面积为【】（A）33平方分米（B）24平方分米（C）21平方分米（D）42平方分米4.如图，用橡皮泥做一个棱长为4cm的立方体，从顶面的中心位置处从上到下打一个边长为1cm的正方形通孔，打孔后的橡皮泥块的表面积为cm2.。