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单自由度阻尼强迫振动

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实验11：单自由度系统强迫振动的幅频特性、固有频率及阻尼比的测定

实验11：单自由度系统强迫振动的幅频特性、固有频率及阻尼比的测定

2.5kg，上下都可以放，由于速度传感器不能倒置，只能把
质量块放到梁的下面，传感器安装在简支梁的中部。
2、 开机进入 DASP2000 标准版软件的主界面，选择单通道按
钮。进入单通道示波状态进行波形和波谱同时示波。
3、 把 ZJ-601A 型振动教学试验仪的频率按钮用手动搜索一下
梁当前的共振频率，调节放大倍数到“1”档，不要让共振
无量纲的加速度响应，将上式对时间 t 再微分一次，
������0���⁄���̈������=- ������������2 sin(������������ − ������)=- β∝ sin(������������ − ������)
振动幅度最大的频率叫共振频率������������、������������，有阻尼时共振频 率为
������������=������√1 − ������2 或������������ = ������√1 − ������2 ω、f— —固有频率； D——阻尼比。 由于阻尼比较小，所以一般认为：������������ = ω 根据幅频特性曲线：
在
D<1
时，共振处的动力放大系数|������������������������ |=2������√11−������2
有阻尼的强迫振动，当经过一定时间后，只剩下强迫振动部分，
有阻尼强迫振动的振幅特性：������
=
√(1−������2
1 )2+4������2
������2=������������������������
当干扰力确定后，由力产生的静态位移������������������就可随之确定，而强迫
振动的动态位移与频率比 u 和阻尼比 D 有关，这种关系即表现为幅

3单自由度系统强迫振动(4)

3单自由度系统强迫振动(4)

因为振动系统是线性的，由激振力的各个分量所引起的稳态振动可以迭加， 所以单自由度振系在周期激振力作用下的稳态响应可以表示为：
a cos( jpt ) b sin( jpt ) a0 j j j j x 2k j 1 jp 2 2 jp 2 k [1 ( ) ] ( 2 )
密码：jixiezhendong2011
第一章 单自由度系统的振动
1.1 无阻尼自由振动 1.2 有阻尼自由振动 1.3 简谐激振力引起的强迫振动 1.4 系统对周期激振力的响应 1.5 系统对任意激振力的响应
1.4 系统对周期激振力的响应
前面讨论的强迫振动，都假设了系统受到的激励为简谐激励，但实际 工程问题中遇到的大多是周期激励或一般激励而很少为简谐激励。 一般情况下一个周期性函数都可以展成付氏级数，因此一个周期激振 函数（激振力）总可以分解为一系列不同频率的简谐函数来处理。 假定粘滞阻尼系统受到的周期激振力 F ( t ) F ( t T ) T为周期
2
)cos(2pt 2 )
1 tan 2
1
p

/[ 1 (
p

)2 ]
2 tan 4
1
p

/[ 1 4(
p

)2 ]
1.5 系统对任意激振力的响应
在许多实际问题中，对振动系统的激励往往不是周期的，而是任意的 时间函数，或者只是持续时间很短（相对于振动系统固有周期）的冲击。
振系的微分方程：
T 1s , p 2π s -1
2 1 x1(t) 1 sinjpt π j 1 j
cx kx k1(x x1 ) m x
2k1 1 cx (k k1 )x k1 m x sinjpt π j 1 j

第二章3-单自由度系统强迫振动

第二章3-单自由度系统强迫振动

积分常数的确定

x x Acosnt ， 代入微分方程：
2 n 2 n
2Bn sin nt cos cosnt sin Acosnt
2 n

从而：
cos 0

2
2 n A cos nt n A B 2n cos nt 2

方程解可以写成：
A x x0 cos nt sin nt cos t cos nt 2 n 1 x0
解的讨论

从上式可以清楚地看到，前两项是由初始条件引起 的自由振动，频率为系统的无阻尼自由振动的固有 频率 n 。
A cos t 2 1
表示系统在简谐激励下的强迫振动，与
激扰力的频率相同，振幅和初始条件无关。


A cos nt 2 1
表示激扰力引起的自由振动。
对扰力引起自由振动的讨论

令初始条件：x 0, x 0 ，微分方程的解简化为： 0 0
A x cos t cos nt 2 1

可见，激扰力不但引起强迫振动，同时还要引起自 由振动，二者都是简谐振动，但频率不相等的两个
齐次解的讨论

当 1 时，由前面的单自由度阻尼自由振 动可得： x1 e t B1 cos d t B2 sin d t
n
，
2 1 n 其中：d
，称为衰减振动的圆频率。
特解的讨论
由于激励为简谐的，根据微分方程的理论， x2 X cos t 上述微分方程有如下形式的特解： x2 X2 cos t x2 X sin t ， 将 x2 X cos t ， 2 2 代入 x 2n x n x n Acos t 可得：

第六讲—单自由度阻尼强迫振动

第六讲—单自由度阻尼强迫振动

注意: 惯性力方向与位移一致，回复力方向与位移反向。阻力垂直于回复 力。
稳态响应解的向量表示
kX
F0
c X
t
t
Reference
m 2 X
X F0
1
k m c
2 2
2
c , tan k m 2
X
2 X 0n
（14）
求解微分方程
因此，对应于该初始条件的解为
x0 n x0 nt xe sin d t x0 cos d t 自由振动（简谐激励） d n sin cos nt Xe sin d t sin cos d t d （15） X sin t 稳态强迫振动
（5）
将式（5）代入运动方程（2）得
2 n 2 X sin t 2n X cos t 2 X 0n sin t
（6）
求解微分方程
经三角函数运算将式（6）写为
2 n 2 X cos 2n X sin sin t
方程（2）的通解包含两部分：齐次通解（F=0）和特解
x x1 x2
在亚临界阻尼情形下（
（3）
1 ），齐次通解为
（4）
x1 ent A cos d t B sin d t
其中，
d 1 2 n 。 特解可表示为
x2 X sin t
由牛顿第二定律，可知运动微分方程
mx cx kx F0 sin t
引入记号 n
F k c c , , X0 0 m 2mn 2 mk k
（1）
运动微分方程可改写为

203单自由度体系强迫振动(力学)

203单自由度体系强迫振动(力学)
d y (t ) = v0 (τ )
ω
FP (τ ) d τ sin ω ( t − τ ) = sin ω ( t − τ ) mω
（3）将时刻 t 之前的每一个瞬时冲量的反应进行叠加 ） 1 t y (t ) = ∫0 FP (τ ) sin ω ( t − τ ) d τ mω
1 t y (t ) = ∫0 FP (τ ) sin ω ( t − τ ) dτ mω
动位移、 ※动位移、动内力幅值计算
计算步骤: 计算步骤: 1. 计算荷载幅值作为静荷载所引起的位移、内力； 计算荷载幅值作为静荷载所引起的位移、内力； 2. 计算动力系数； 计算动力系数； 3. 将得到的位移、内力乘以动力系数即得动位移幅值、 将得到的位移、内力乘以动力系数即得动位移幅值、 动内力幅值。 动内力幅值。
y (t ) = − F θ F sin ω t + sin θ t 2 2 2 2 m (ω − θ ) ω m (ω − θ )
伴生自由振动
稳态受迫振动
（2）※稳态受迫振动分析 ） 稳态受迫振动分析
y ( t ) = A sin θ t
y (t ) = µy st sin θt
动位移一定比 静位移大吗？ 静位移大吗？
F =µ sin θt 2 mω = µδ 11 F sin θt F =µ sin θt k11
F F y st = = = Fδ 11 2 k11 mω
动力系数 µ 的讨论
重要的特性： 重要的特性：
1 θ µ= , β = 2 ω 1− β
1. 当θ/ω→0时, µ →1，荷载变化 时 ， 如何减小 得很慢，可当作静荷载处理。 得很慢，可当作静荷载处理。 3 振幅？ 振幅？ 2. 当0< θ/ω <1时, µ >1，并且随 时 ， 2 θ/ω的增大而增大。 的增大而增大。 的增大而增大 。 3. 当θ/ω →1时, µ →∞。即当荷载 时 1 θ 频率接近于自振频率时， 频率接近于自振频率时，振幅会 ω 无限增大。称为“共振” 无限增大。称为“共振”。通常 0 1 2 3 称为共振区。 把0.75< θ/ω <1.25称为共振区。 称为共振区 4. 当θ/ω >1时, µ 的绝对值随 时 的绝对值随θ/ω 的增大而减小。 很大时， 的增大而减小。当θ很大时，荷载变化很快，结构来不及反应。 很大时 荷载变化很快，结构来不及反应。

单自由度系统强迫振动

单自由度系统强迫振动

1.2单自由度系统强迫振动一、实验目的1． 理解与掌握单自由度系统强迫振动的基本知识2． 测定带有集中荷重的悬臂梁系统，在自由端部位移激励下引起的强迫振动的振幅频率特性曲线；借助幅频特性曲线，求出系统的固有频率n ω及阻尼常数ζ 3． 初步了解振动测试的仪器设备和工程实验建模方法二、实验内容1． 调节信号源和功率放大器，使系统产生共振 2． 测量系统对应的频率和振幅3． 绘制幅频曲线，得出系统的频率、阻尼等参数三、实验装置和设备单层框架系统实验装置（可视为悬臂梁），如图1所示。

扫频信号源（含功率放大器）DH-1301，激振器JZQ-2 力传感器F.Sen ，加速度传感器A.Sen ，电荷放大器DLF-3 数字式示波器TDS-210图1TDS-210DH-1301DLF-3JZQ-2F.SenA.Sen四、实验原理 1．理论知识单自由度系统在有持续激励时的振动，这类振动称为强迫振动，强迫振动是工程中常见的现象。

激励的来源可分为两类，一类是力激励，它可以是直接作用于机械运动部件上的惯性力，也可以是旋转机械或往复运动机械中不平衡量引起的惯性力，另一类是由于支撑运动而导致的位移激励/速度激励以及加速度激励。

如图2所示的弹簧质量系统为对象，以静平衡位置为坐标原点，根据力系平衡原理，建立动力学方程如下：t F kx x c xm ωsin 0+−−=&&& （2.1） t F kx x c xm ωsin 0=++&&& （2.2） t F x m k x m cxωsin 0=++&&& （2.3）令m k n =2ω，mcn =2 （2.4） nnωζ=（2.5）得到t mF x x n xn ωωsin 202=++&&& （2.6）式（2.6）的稳定解为)sin(φω−=t B x（2.7）将式（2.7）带入式（2.6），求出待定系数B ，得到2222204)(ωδωω+−=n m F B （2.8） 利用共振法得到系统的固有频率n ωn m f f B →→max（2.9） n n f πω2=（2.10）通过幅频特性曲线，如图3所示，利用半功率带宽原理得到系统的阻尼系数ζ 半功率带宽：12f f f −=Δ（2.12）阻尼比ζ：nn f ff f f 2212Δ=−=ζ （2.13）10 36B /B mf (Hz) 10.707n f 1f 2f图32． 实验方法一个单层框架结构组成的悬臂梁系统，固定端固定在底板上，自由端与激振器连接，测试系统，如图3所示，扫频信号发生器（含功率放大器）可调节激振器的激振力的频率和幅值，激振频率由扫频信号发生器直接读得，悬臂梁端部的振幅利用压电加速度传感器（压电加速度传感器是利用振动对压电晶体产生压电效应来测量振动的），经电荷放大器转化并放大，由数字式示波器读得。

单自由度系统强迫振动汇总

称为稳态振动。
x2(t) Bsin( pt )
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
x2(t) Bsin( pt ) 代入 x 2nx 2 x hsin pt
h B
( 2 p2 )2 4n2 p2
tan
2np 2 p2
特解：
x2(t)
h
sin( pt )
( 2 p2 )2 4n2 p2
全解：
稳态响应： x2(t) Bsin( pt )
B
h ( 2 p2 )2 4n2 p2
简谐激振力引起的振动的全解：
tan
2np 2 p2
右端第一项是齐次解，代表衰减的自由振动；由于瞬态振动会很快衰 减而停止，我们在研究强迫振动问题时主要关心它的稳态振动解。
第二项是特解，代表由激振力引起的稳态强迫振动，位移响应是一简谐 运动，其频率与激振力的频率相同，但稳态响应的相位滞后于激励相位。
讨论影响振幅、相位差的因素：
mx cx kx H sin pt
x 2nx 2 x hsin pt x2(t) Bsin( pt )
B
( 2
h p2 )2
4n2 p2
h
2
1
1
p
2
2
2
n
p
2
B0
1 2 2 22
静力偏移 相对阻尼系数 频率比
激振力的幅 值引起的静
变形
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
（单自由度系统）
1.1 无阻尼自由振动—简谐运动 1.2 有阻尼自由振动—衰减运动 强迫振动：系统在持续的外界激励作用下产生的振动。
强迫振动从外界不断获取能量来补偿阻尼所消耗的能 量，使系统维持持续的振动。
外界激励周期激励简F (谐t 激T )励

36机械振动专题第三十六讲 机械振动-强迫振动

专题一机械振动基础1. 单自由度系统无阻尼自由振动2. 求系统固有频率的方法3. 单自由度系统的有阻尼自由振动4. 单自由度系统的无阻尼强迫振动5. 单自由度系统的有阻尼强迫振动4. 单自由度系统的无阻尼强迫振动4.1 强迫振动的概念4.2 无阻尼强迫振动微分方程及其解4.3 稳态强迫振动的主要特性4. 单自由度系统的无阻尼强迫振动4.1 强迫振动的概念4.2 无阻尼强迫振动微分方程及其解4.3 稳态强迫振动的主要特性)sin(ϕω+=t H F 强迫振动：在外加激振力作用下的振动。

简谐激振力：φ—激振力的初相位H —力幅ω—激振力的圆频率4.1 强迫振动的概念无阻尼强迫振动微分方程的标准形式，二阶常系数非齐次线性微分方程。

)sin(ϕω++−=t H kx x m 则令 , 2m Hh m k n ==ω)sin(2ϕωω+=+t h x x n 4.2 无阻尼强迫振动微分方程及其解全解为：稳态强迫振动21x x x +=)sin(1θω+=t A x n )sin(2ϕω+=t b x 为对应齐次方程的通解为特解)sin(22222ϕωωωωω+−=−=t h x h b n n ,)sin()sin(22ϕωωωθω+−++=t h t A x n n(3) 强迫振动的振幅大小与运动初始条件无关，而与振动系统的固有频率、激振力的频率及激振力的力幅有关。

(1) 在简谐激振力下，单自由度系统强迫振动亦为简谐振动。

(2) 强迫振动的频率等于简谐激振力的频率，与振动系统的质量及刚度系数无关。

4.3 稳态强迫振动的主要特性)sin(222ϕωωω+−=t h x n 稳态响应(1) ω=0时(2) 时，振幅b 随ω增大而增大；当时，n ωω<(3)时，振动相位与激振力相位反相，相差。

n ωω>b 随ω增大而减小；kHh b n ==20ωn ωω →∞→b rad π22ωω−=n hb β：振幅比或动力系数λ：频率比β−λ曲线：幅频响应曲线（幅频特性曲线）10 ; , 20→∞→==b b b n 时时ωωω)sin(222ϕωωω+−=t hx n(4)共振现象，这种现象称为共振，无稳态解。

第三章单自由度系统的强迫振动


简谐激励下的的强迫振动（稳态阶段）
简谐激励是激励形式中最简单的一种，是理解 系统对其他激励的基础
如图所示的弹簧质量系 统中，质量块上作用有 简谐激振力 P=P0sinω t
m x
r
k m P=P0sinω t x
rx
kx
P
2、运动微分方程： 按牛顿第二定律： m cx kx P sin t x 0 按达朗伯原理（动静法）： m cx kx P sin t 0 x 0 最后都得到： m cx kx P sin t （1） x 0
得到： 1, 0 ,这时：
P0 1 x sin t 2 k 1
这样，我们就完全确定了特解x2 。
x (B )
P0 Ф
m 2 B t cB
x2 B sin(t )
B P0 (k m ) (c )
2 2
1
x (B)
2
t0
kB
c tg k m 2
得到： 1, ,这时：
2 ( B) x
无阻尼系统对简谐振动的稳态响应，当 w wn 时
P0 1 x sin(t ) 2 k 1
x x1 x2 我们知道，x的前一项代表有阻尼自由振动，
随时间t增加而衰减至消失，称为瞬态振动。而第 二项则代表有阻尼强迫稳态振动。在简谐激振力下， 它是简谐振动，它与激振力有相同频率，其振幅B， 相位差φ 只与系统本身性质、激振力大小、频率有 关，与初始条件无关。初始条件只影响瞬态振动。
〔注1：达朗伯原理：当一个力学 系统运动时，它的任何位置都可 以看作是平衡位置，只要我们在 原动力上再加上惯性力。这样就 可以把任何动力学问题按相当的 静力学问题来处理。〕

机械振动第2章-单自由度系统强迫振动


画出相位差随激振力频率的变化曲线（相频曲线）
tan
2 1 2
相频曲线
tan
2 1 2
0.1
0
0.2
0.5
1.0
4.0 2.0
4.0 1.0 0.5 0.2
0.1
相频曲线可看到：相位差总是在0°至180°区间变化，是一单 调上升的曲线。共振时：ω=ωn ε=90 °，阻尼值不同的曲线都 交于这一点。越过共振区之后，随着频率ω的增加，相位差 趋近180°，这时激振力与位移反相。
2 n
h sin(t
)
二阶常系数非齐次线性微分方程
解由两部分组成： x x1 x2 齐次方程的通解为: x1 Asin(nt )
设特解为： x2 bsin(t ) b为待定常数
将x2代入无阻尼受迫振动微分方程，得：
b
2
sin(t
)
b
2 n
s
in(t
)
h
s
in(t
)
解得：
b h
2 n
2
得无阻尼受迫振动微分方程的全解：
b 2 sin(t ) 2nb cos(t ) n2b sin(t ) h sint
将右端改写为：
kc
Fk
Fc
m
F
x
hsint hsin[t ) ]
hcos sin(t ) hsin cos(t )
可整理为：
[b(
2 n
2)
h cos ]sin(t
)
[2nb
mx kx kesint
x s
可见物块的运动微分方程为 无阻尼受迫振动的微分方程。
mx kx kesint
物块的受迫振动形式：
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&& − mx = − mω 2 X sin (ωt − φ + π )
− kx = −kX sin (ωt − φ ) & −cx = −cω X sin (ωt − φ + π 2 )
注意: 惯性力方向与位移一致，回复力方向与位移反向。 注意 惯性力方向与位移一致，回复力方向与位移反向。阻力垂直于回复 力。 10
24
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能量平衡
由于： 由于：
F0 sin φ = kX 0 =
2ζωnω
(ω
2 n
2 n
−ω
2 2
2 2
) + ( 2ζω ω )
n 2 n
2
2 mωn 2ζωnω X 0
(ω
−ω
) + ( 2ζω ω ) (ω
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第六讲 单自由度线性阻尼系统强迫振动
机械与运载工程学院
引言
x t
无阻尼系统： 无阻尼系统： 共振振幅随时间无限增大
无阻尼系统共振建立过程
x
0
t
0 10 20 30 40 t (s) 50 60 70 80
阻尼系统： 阻尼系统： 共振振幅随时间有限增大
x
阻尼系统共振建立过程
2
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运动微分方程
Newton’s Law
&& mx = ∑ F && & mx = F0 sin ωt − kx − cx
由牛顿第二定律， 由牛顿第二定律，可知运动微分方程
&& & mx + cx + kx = F0 sin ωt
引入记号 ωn =
F k c c ,ζ = = , X0 = 0 m 2mωn 2 mk k
（6） ） 4
2 = X 0ωn sin ωt
机械与运载工程学院
求解微分方程
经三角函数运算将式（ ） 经三角函数运算将式（6）写为
2 (ωn − ω 2 ) X cos φ + 2ζωnω X sin φ sin ωt 2 + − (ωn − ω 2 ) X sin φ + 2ζωn ω X cos φ cos ωt 2 = X 0ωn sin ωt
（14） ）
7
机械与运载工程学院
求解微分方程
因此， 因此，对应于该初始条件的解为
& x0 + ζωn x0 −ζωnt sin ωd t x=e x0 cos ωd t + ωd
−ζωnt
自由振动（初始条件） 自由振动（初始条件） 自由振动（简谐激励） 自由振动（简谐激励）
mω 2 X
ωt
Reference

φ
（2）当 Ω = 1 时 ）
φ=
π
，外力用于克服阻尼力，惯性力与弹簧回复力平衡。 外力用于克服阻尼力，惯性力与弹簧回复力平衡。
2
13
机械与运载工程学院
稳态响应解的向量表示
cω X
mω X
2
kX
F0
ωt
Reference
φ
（3）当 Ω ）
1时
φ → π ，惯性力比较大，外力主要克服惯性力。 惯性力比较大，外力主要克服惯性力。
（3） ）
x1 = e −ζωnt ( A cos ωd t + B sin ωd t )
其中， 其中， ωd = 1 − ζ
2
（4） ）
ωn
。 特解可表示为 （5） ）
x2 = X sin (ωt − φ )
将式（ ）代入运动方程（ ） 将式（5）代入运动方程（2）得
(ω
2 n
− ω 2 ) X sin (ωt − φ ) + 2ξωnω X cos (ωt − φ )
(
)
0
x
0
10
20
30
40 t (s)
50
60
70
80
23
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能量平衡
激励力在稳态强迫振动一个周期内做功： 激励力在稳态强迫振动一个周期内做功：
∆E1 =
∫ Fdx = ∫
2π ω
0
F0 sin ωtX ω cos (ωt − φ ) dt
1 2π ω = F0 X ω ∫ sin ( 2ωt − φ ) + sin φ dt 0 2 = π F0 X sin φ
解方程（ ） 解方程（8）得
2 2ζωnω X 0ωn X sin φ = 2 2 2 2 (ωn − ω ) + ( 2ζωnω ) (ωn2 − ω 2 ) X 0ωn2 2 X cos φ = 2 2 2 (ωn − ω ) + ( 2ζωnω ) 2 X 0ωn 2ζωn ω X= , φ = arctan 2 2 2 ωn − ω 2 2 2 ωn − ω + 2ζωn ω
11
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稳态响应解的向量表示
kX
F0
cω X
mω 2 X
（1）当 Ω ）
ωt
ωt − φ
Reference
1时
阻尼力和惯性力较小，主要是弹簧回复力与外力平衡。 φ → 0 ，阻尼力和惯性力较小，主要是弹簧回复力与外力平衡。
12
机械与运载工程学院
稳态响应解的向量表示
cω X kX
F0
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共振
当
ω = ωd = ω n 1 − ζ
2
对应于初始条件
2 & & x ( 0 ) = x0 , x ( 0 ) = x0
时，有
φ≈
π
X≈
X0 2ζ
由式（ ）可见，这时运动方程（ ） 由式（15）可见，这时运动方程（1）的近似解为 X X ζ x ≈ − 0 1 − e −ζωn t cos ωt + 0 e−ζωn t sin ωt 2ζ 2ζ 1 − ζ 2
ζωn sin φ − ω cos φ + Xe sin ωd t sin φ cos ωd t + ωd （15） ） + X sin (ωt − φ ) 稳态强迫振动
8
机械与运载工程学院
稳态响应解的向量表示
9
机械与运载工程学院
稳态响应解的向量表示
稳态响应： 稳态响应： 速度： 速度： 加速度： 加速度：
5 4
β
ξ
0
0.1
（4）当 Ω ≈ 1 时（ω ≈ ω n ） ） 对应于较小 ξ 值， β 迅速增大 当 ξ =0 结论： 结论：共振
3 2 1 0 0 1
0.25 0.375 0.5 1
β →∞
振幅无穷大
Ω
2 3
但共振对于来自阻尼的影响很敏感， 但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在 Ω =1 附近的区域内 ，增加阻尼使振幅明显下降
（7） ）
要使式（ ）恒成立， 要使式（7）恒成立，则有
2 2 (ωn − ω 2 ) X cos φ + 2ζωn ω X sin φ = X 0ωn 2 − (ωn − ω 2 ) X sin φ + 2ζωn ω X cos φ = 0
（8） ）
5
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求解微分方程
1 时（ ω
5
β
ξ
0
0.1
（2）当 Ω ）
ωn）
4 3 2 1 0 0 1
0.25 0.375 0.5 1
激振频率相对于系统固有 频率很高
β ≈0
结论： 结论：响应的振幅很小
Ω
2 3
x = X sin(ωt −φ) = β X0 sin(ωt −φ)
17
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稳态响应的特性
β=
1 (1 − Ω 2 ) 2 + (2ξΩ) 2
19
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稳态响应的特性
β=
1 (1 − Ω 2 ) 2 + (2ξΩ) 2
5 4
β
ξ
0
0.1
1 （4）当 ξ > ） 时 2
振幅无极值
β max =
1
β <1
3 2 1 0 0 1
0.25 0.375 0.5 1
Ω
2 3
2ζ 1 − ζ 2
20
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品质因子
β=
1 (1 − Ω 2 ) 2 + (2ξΩ) 2
21
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相频曲线
相位差
180
φ
φ = arctan
2ζΩ 1 − Ω2
90
（1）当 Ω ） 相位差 （2）当 Ω ）
1 时（ ω
ω n）
φ ≈ 0 位移与激振力在相位上几乎相同
1 时（ ω
0 0
Ω
1 2 3
ωn ）
π
φ ≈ π 位移与激振力反相
（3）当 Ω ≈ 1 时（ ω ≈ ωn ） ） 共振时的相位差为 ，与阻尼无关 2 22
14
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幅频曲线
放大因子
β=
X = X0
1
(1 − Ω ) + ( 2ζΩ )
2 2
2
（16） ）
β
5 4 3 2 1 0 0 1
ξ
0 0 .1
由 dβ = 0，可求放大因子 dΩ 取极大值时对应的频率比
0.25 0.375
0.5 1
Ω = 1 − 2ζ 2 1 β max = 2ζ 1 − ζ 2