奥数讲义-数论--综合-第2讲stu

千里之行，始于足下。

202X年小学奥数知识点梳理数论202X年小学奥数知识点梳理数论数论是数学中的一个重要分支，研究整数的性质与关系。

在小学奥数竞赛中，数论常常是一个重要的考点。

下面是202X年小学奥数的数论知识点梳理。

1. 基本概念- 整数：正整数、负整数和零的总称。

- 偶数与奇数：能被2整除的整数称为偶数，不能被2整除的整数称为奇数。

- 素数与合数：除了1和自身外，没有其他因数的整数称为素数，否则称为合数。

- 因数与倍数：如果a能够整除b，那么称a是b的因数，b是a的倍数。

2. 最大公约数与最小公倍数- 最大公约数（GCD）：两个数公有的最大因数称为最大公约数。

- 最小公倍数（LCM）：两个数公有的最小倍数称为最小公倍数。

3. 质因数分解- 质因数：一个整数如果除了1和它本身外没有其他因数，那么它是一个质数，否则它是合数。

将一个合数分解成质因数的乘积的形式，称为质因数分解。

- 质因数分解算法：从最小的质数2开始，依次判断是否为这个数的因数，如果是，则除以这个数，继续判断剩下的数是否能被这个质数整除，直到无法整除为止。

第1页/共3页锲而不舍，金石可镂。

4. 奇数数列与偶数数列- 一个数列中，从第一个数开始，每个数都比前一个数大2，这个数列称为奇数数列- 一个数列中，从第一个数开始，每个数都比前一个数大2，这个数列称为偶数数列5. 数组与数列- 数组是有序数的集合。

- 数列是数按一定顺序排列起来的表现形式。

6. 公式与规律- 两个偶数的和是偶数，两个奇数的和是偶数，一个偶数和一个奇数的和是奇数。

- 奇数个奇数的积是奇数，偶数个奇数的积是偶数。

- 一组数的和与这组数里所有的数的奇偶性有关。

- 奇数个奇数的和与这组奇数的个数的奇偶性有关，偶数个奇数的和与所有奇数的奇偶性有关。

- 相邻两个数之间的差是固定的。

7. 排列组合- 排列：从n个不同元素中取r个元素（r≤n）按一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取r个元素的一个排列。

第二讲数列求和知识导航德国有一位世界著名的数学家叫高斯（公元1777年-1855年）。

他上小学的时候,老师出了一个题目,1+2+…+99+100＝？小高斯看了看,又想了想,很快说出结果是5050。

同学们,你们知道他是怎么算出来的吗？原来小高斯在认真审题的基础上,发现题目的特点。

像高斯的老师所出的题目那样,按一定次序排列的一列数叫做数列。

数列中的数称为项,第一个数叫第一项,又叫首项;第二个数叫第二项;……,最后一个数叫末项。

如果一个数列从第二项开始,每一项与它前一项的差都相等,就称这个数列为等差数列。

后项与前项的差叫做这个数列的公差。

如：1,2,3,4,…是等差数列,公差为1;2,4,6,8,…是等差数列,公差为2;5,10,15,20,…是等差数列,公差为5。

进一步,小高斯发现了这样的关系：1+100＝101,2＋99＝101,3＋98＝101,…,50＋51＝101。

一共有多少个101呢？100个数,每两个数是一对,共有50个101。

所以：1＋2＋3＋…＋98+99+100＝101×50即, 和= (100＋1)×(100÷2)＝101×50＝5050这道题目,我们还可以这样理解：即,和= (100＋1)×100÷2＝101×50＝5050由高斯的巧算可得出等差数列的求和公式：总和＝(首项+末项)×项数÷2这样,由于高斯发现了巧算的方法,所以他最先得出了正确的答案。

因此,同学们要想算得正确、迅速,方法合理、灵活,不仅要掌握数与运算的定律、性质,而且要善于观察,认真审题,注意发现题目的特点。

例题精讲【例1】找找下面的数列有多少项？（1）2、4、6、8、……、86、98、100（2）3、4、5、6、……、76、77、78（3）4、7、10、13、……、40、43、46（4）2、6、10、14、18、……、82、86分析：（1）我们都知道：1、2、3、4、5、6、7、8、……、95、96、97、98、99、100 这个数列是100项,现在不妨这样去看：（1、2）、（3、4）、（5、6）、（7、8）、……、（95、96）、（97、98）、（99、100）,让它们两两一结合,奇数在每一组的第1位,偶数在第2位,而且每组里偶数比奇数大,小朋友们一看就知道,共有100÷2=50组,每组把偶数找出来,那么原数列就有50项了。

学科培优数学“数论综合”学生姓名授课日期教师姓名授课时长数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。

数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。

因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。

任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。

”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。

涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题．【题目】己知五个数依次是13，12， 15， 25，20它们每相邻的两个数相乘得四个数，这四个数每相邻的两个数相乘得三个数，这三个数每相邻的两个数相乘得两个数，这两个数相乘得一个数。

请问最后这个数从个位起向左数、可以连续地数到几个0？【题目】有4个不同的自然数，它们当中任意2个数的和是2的倍数，任意3个数的和是3的倍数．为了使得这4个数的和尽可能地小，这4个数分别是多少?【题目】将数字4,5,6,7,8,9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，这个6位数除以667的结果是．【题目】在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个?【题目】从1,2,3,……n中，任取57个数，使这57个数必有两个数的差为13，则n的最大值为_______。

【题目】一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数。

已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7。

如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数。

【题目】4个不同的真分数的分子都是1，它们的分母有2个是奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等．这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的2个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少?【题目】有一电话号码是 ABC-DEF-GHIJ ，其中每个字母代表一个不同的数字。

中环小机灵初赛冲刺讲义第二讲数论（一）第一部分：知识点概述1.本讲涉及整除、质数与合数两部分内容。

整除是五年级数论部分考查重点；质数与合数考查不多，但短除法、分解质因数是解决几乎所有数论问题的基本功，因而也应加以重视。

2.熟练掌握并应用2n、5n、3、9、33、99、7、11、13等数的整除特性，会利用位值原理加以证明。

事实上很多较难的数论问题的解答均离不开位值原理的应用。

3.一部分整除特性只适用于判定，另一部分既适用于判定也适用于构造，在解题时应注意选择的顺序。

如求解被45整除的问题，一般先考虑被5整除，因为只有末尾0或5两种情况，若先考虑被9整除，则一般而言很难进行下去。

4.2是唯一的偶质数，这一点往往是解答很多问题的突破口，同时，忽视这一点有时可能造成漏解。

5.计算乘积末尾零的个数的问题分为两类。

一类是离散型，解决这类问题时先分别统计因子2和5的个数，较少的那个个数即为末尾零的个数。

一类是连续型，不断地（以商）除以5，将得到的一系列商相加，即为末尾零的个数（注意：必须从1开始）。

6.分解质因数时不考虑“1”，但若将一个数写成若干个数的乘积时，根据需要可以乘任意个“1”。

7.完成前19个例题的教学是必要的，最后两道例题供选用。

第二部分：例题精讲1. 下面有9个自然数：14,35,84,152,650,434,4375,9064,24125。

在这些自然数中，请问：（1）有哪些能被2整除？哪些能被4整除？哪些能被8整除？（2）有哪些能被5整除？哪些能被25整除？哪些能被125整除？1.14，84，152，650，434，9064；84，152，9064；152，9064；35，650，4375，24125；650，4375，24125；4375，241252. 有如下9个三位数：452,387,228,975,525,882,715,775,837。

这些数中哪些能被3整除？哪些能被9整除？哪些能同时被2和3整除？387，228，975，525，882，837；387，882，837；228，8823. 一个三位数64a的十位数字未知。

数论知识点整除定义及特征判断1、数的整除性：整数a除以整数b（b≠0），所得的商是整数而没有余数，则称a能被b整除，或b整除a，记作：b｜a．2、整除的性质：性质1. 如果c｜a，c｜b，则c｜（a±b）性质2. 如果bc｜a，则b｜a，c｜a性质3. 如果c｜b，b｜a，则c｜a3、整除问题的解决方法：整除特征法；补9、补0试除法。

4、涉及极值的整除问题：贪心法、弃倍法、逐步调整法。

5、数的整除特征：a.一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；b.一个数各位数字之和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数字之和能被9整除，这个数就能被9整除；c.如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除；d.一个数从个位到高位，每三位进行分段，将形成的奇位之和与偶位之和以大减小，如果差可以被7、11、13整除，则此数也可被7、11、13整除；如果一个整数的末三位与末三位之前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除；e.如果逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除，那么这个数能被7整除；如果逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除，那么这个数能被11整除；如果逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除，那么这个数能被13整除；f.一个数从个位到高位，每两位分成一段，将每段上的数相加。

如果相加的和能被99所整除，那么这个数就能被99所整除。

奇数、偶数与奇偶性的应用一、奇数和偶数的概念：1)整数可以分成奇数和偶数两大类。

2)能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。

3)因为偶数是2的倍数，所以通常用2k这个式子来表示偶数(这里k是整数)，因为任何奇数除以2其余数总是1，所以通常用式子2k＋1来表示奇数(这里k是整数)。

中环小机灵初赛冲刺讲义第二讲数论（一）第一部分：知识点概述1.本讲涉及整除、质数与合数两部分内容。

整除是五年级数论部分考查重点；质数与合数考查不多，但短除法、分解质因数是解决几乎所有数论问题的基本功，因而也应加以重视。

2.熟练掌握并应用2n、5n、3、9、33、99、7、11、13等数的整除特性，会利用位值原理加以证明。

事实上很多较难的数论问题的解答均离不开位值原理的应用。

3.一部分整除特性只适用于判定，另一部分既适用于判定也适用于构造，在解题时应注意选择的顺序。

如求解被45整除的问题，一般先考虑被5整除，因为只有末尾0或5两种情况，若先考虑被9整除，则一般而言很难进行下去。

4.2是唯一的偶质数，这一点往往是解答很多问题的突破口，同时，忽视这一点有时可能造成漏解。

5.计算乘积末尾零的个数的问题分为两类。

一类是离散型，解决这类问题时先分别统计因子2和5的个数，较少的那个个数即为末尾零的个数。

一类是连续型，不断地（以商）除以5，将得到的一系列商相加，即为末尾零的个数（注意：必须从1开始）。

6.分解质因数时不考虑“1”，但若将一个数写成若干个数的乘积时，根据需要可以乘任意个“1”。

7.完成前19个例题的教学是必要的，最后两道例题供选用。

第二部分：例题精讲1. 下面有9个自然数：14,35,84,152,650,434,4375,9064,24125。

在这些自然数中，请问：（1）有哪些能被2整除？哪些能被4整除？哪些能被8整除？（2）有哪些能被5整除？哪些能被25整除？哪些能被125整除？1.14，84，152，650，434，9064；84，152，9064；152，9064；35，650，4375，24125；650，4375，24125；4375，241252. 有如下9个三位数：452,387,228,975,525,882,715,775,837。

这些数中哪些能被3整除？哪些能被9整除？哪些能同时被2和3整除？387，228，975，525，882，837；387，882，837；228，8823. 一个三位数64a的十位数字未知。

第二讲数的整除特性讲义（一）整除的定义：所谓“一个自然数a能被另一个自然数b整数”就是说“商a/b是一个整数”；或者换句话说：存在这第三个自然数c，使得a=b×c，这时候我们就说“b整除a”或者“a能被b整除”，其中b叫a的约数，a是b的倍数，记做“b︱a”（二）整除的性质：（传递性）若c︱b，b︱a，则c︱a（可加性）若c︱a，c︱b，则c︱（a+b）（可乘性）若c︱a，d︱b，则cd︱ab（三）常见的整除特征：尾数系：一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；数字和系：一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；分段做差系：如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.课后习题基础篇：【闯关1】493至少增加（）才是3的倍数，至少减少（）才有因数5，至少增加（）才是2的倍数，至少增加（）才是7的倍数。

【闯关2】如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少？提高篇：【闯关3】如果四位数x=6□□8能被236整除，那x除以236所得的商为________。

【闯关4】从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？巅峰篇：【闯关5】试说明一个4位数，原序数与反序数的和一定是11的倍数(如：1236为原序数，那么它对应的反序数为6321，它们的和7557是11的倍数．)第二讲数的整除特性课后习题：基础篇：【闯关1】493至少增加（）才是3的倍数，至少减少（）才有因数5，至少增加（）才是2的倍数，至少增加（）才是7的倍数。

解析：一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；4+9+3=16，所以至少增加2就是3的倍数。

1. 掌握质数合数、完全平方数、位值原理、进制问题的常见题型；2. 重点理解和掌握余数部分的相关问题，理解“将不熟悉转化成熟悉”的数学思想例题精讲模块一：质数合数I 有二张卡片，它们上面各写着数字 1， 2， 3，从中抽出一张、二张、二张，按任:意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数 ；都写出来.■ ■ 1 ■ _1 ■ =.用1, 2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并 :且只能用一次，那么这 9个数字最多能组成多少个质数？第12讲 数论综合（二）例题1 例题2;三个质数的乘积恰好等于它们和的 11倍，求这三个质数. 例题3— ■ — — ■ r^v_i -^^_1 — — — n — -i r"B_i — ■ r — — — — —«-!— — ■- — -1 r^^_i — — — — — r i:有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数 :字相同的三位数.求这两个整数分别是多少？ （2003年全国小学数学奥林匹克试题 ）有两个自然数相除，商是 17,余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为 2113，则被除数是多少？；已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是 10，那么这样的自然数共有多少 :个？.（2005年全国小学数学奥林匹克试题）有一个整数，用它去除 70，110，160所得到 :的3个余数之和是50，那么这个整数是 .【巩固】（2002年全国小学数学奥林匹克试题 ）用自然数n 去除63，91，129得到的三个余数之和为25,那么n= _________ . .一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除:220后所得的余数，则这个自然数是多少？~' ■-1_I-"-■—I ―>—1_I ~~■~~1—I _I~~>—I _!—■~~|_|~~■~~I_1—1~~I I ―>—I _I ―I I ―I_I —!■—1 ―I ~~―I_I —u —I _I —■~~~~■~~~~■~~I_1—1~~I_I~~■—1_I ~~>—1_I ―■~~1—1―■~~I_1—1~~I _I —u —I _I ――I _B —■—I _I 1_1—11—1_I 1—1~~■―I _■—1―I _1—11—1_I ~~■例题7 ■有一个整数，除39, 51, 147所得的余数都是3，求这个数.板块二余数问题例题5例题6例题8甲、乙、丙三数分别为603，939，393 .某数A除甲数所得余数是A除乙数所得10 余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍.求A等于多少？11（2003年南京市少年数学智力冬令营试题）22003与20032的和除以7的余数是【巩固】2200820082除以7的余数是多少?Z例题12 .（2009年走美初赛六年级）有一串数：1, 1 , 2, 3, 5, 8,……，从第三个数起, !每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个是5的倍数？■■—.1—I I k —-—II I I -------- - ——LI I I ■ ■fl I--I L -1™I—- —■——I M-—.1 I ■•—■—I I II. —■ ---------- —■—■ I I ■ I I—LI—LJ-'--------------------- ■ I I II——”_・ I ■——【巩固】著名的裴波那契数列是这样的: 3所得的余数为多少？1、1、2、 3、5、8、13、21这串数列当中第2008个数除以i （1997年全国小学数学奥林匹克试题）将12345678910111213.…依次写到第1997；个数字，组成一个1997位数，那么此数除以9的余数是_________ .例题13 !【巩固】能否找到这么一个数，它加上 24,和减去30所得的两个数都是完全平方数?z 厂…一 _________________________________________________________________- 例题18 '有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个 :数中最小数的最小值为 ________________________ .例题 :有2个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是 1031，第一个数各个位的数 14 :字之和是10，第二个数的各个位数字之和是 8,求两个三位数的和.例题 15 '设20092009的各位数字之和为 A ， A 的各位数字之和为 B ， B 的各位数字之和为 1 \ C ，C 的各位数字之和为 D ，那么D ? 板块三完全平方数 :从1到2008的所有自然数中，乘以 72后是完全平方数的数共有多少个? 例题16 : 例题17 : 一个数减去100是一个平方数，减去 63也是一个平方数，问这个数是多少?板块四位值原理49] _________°F「例题19（美国小学数学奥林匹克）把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一~一例」题I9个新的两位数.如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45,试求这样的两位数中最大的是多少？【巩固】将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数数大8802 .求原来的四位数. （这个数也叫原数的反序数），新数比原（第五届希望杯培训试题）有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如例题20果这6个三位数的和是1554,那么这3个数字分别是多少？【巩固】（迎春杯决赛）有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6 个三位数中最小的三位数.【巩固】板块五a, b, c分别是0 9中不同的数码，用a, b, c共可组成六个三位数，如果其中五个三位数之和是2234，那么另一个三位数是几？进制冋题在几进制中有4 13 100?【巩固】算式1534 25 43214是几进制数的乘法?例题22 在6进制中有三位数abc,化为9进制为cba ,求这个三位数在十进制中为多少？练习:有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数:三个质数的乘积恰好等于它们的和的7倍，求这三个质数.!将1至2008这2008个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数:I:12345678910111213L 20072008，试求这个多位数除以9的余数.练习练习i在7进制中有三位数abc,化为9进制为cba，求这个三位数在十进制中为多少?。