高考数学异构异模复习第四章三角函数4.4.2解三角形及其综合应用撬题文

2018高考数学异构异模复习考案 第四章 三角函数 4.4.1 正、余弦定理撬题 理1．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定 答案 C解析 由正弦定理可把不等式转化为a 2＋b 2<c 2.又cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0，所以三角形为钝角三角形．2.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.答案 1解析 由sin B ＝12得B ＝π6或5π6，因为C ＝π6，所以B ≠5π6，所以B ＝π6，于是A ＝2π3.由正弦定理，得3sin2π3＝b12，所以b ＝1. 3．在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________． 答案 (6－2，6＋2)解析 如图，作△PBC ，使∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，作直线AD 分别交线段PB 、PC 于A 、D 两点(不与端点重合)，且使∠BAD ＝75°，则四边形ABCD 就是符合题意的四边形．过C 作AD 的平行线交PB 于点Q ，在△PBC 中，过P 作BC 的垂线交BC 于点E ，则PB ＝BEcos75°＝6＋2；在△QBC 中，由余弦定理QB 2＝BC 2＋QC 2－2QC ·BC ·cos30°＝8－43＝(6－2)2，故QB ＝6－2，所以AB 的取值范围是(6－2，6＋2)．4.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．答案 8解析 由cos A ＝－14得sin A ＝154，所以△ABC 的面积为12bc sin A ＝12bc ×154＝315，解得bc ＝24，又b－c ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b －c )2＋2bc －2bc cos A ＝22＋2×24－2×24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝64，故a ＝8.5．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．答案3解析 因为a ＝2，所以(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，由正弦定理可得(a ＋b )·(a －b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，又0<A <π，故A ＝π3，因为cos A ＝12＝b 2＋c 2－42bc ≥2bc －42bc ，所以bc ≤4，当且仅当b ＝c 时取等号．由三角形面积公式知S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝34bc ≤3，故△ABC 面积的最大值为 3.6．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin2Asin C ＝________.答案 1解析 由正弦定理得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝4∶5∶6，又由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝25＋36－162×5×6＝34，所以sin2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2×sin A sin C ×cos A ＝2×46×34＝1.7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a,2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________．答案 －14解析 由2sin B ＝3sin C ，结合正弦定理得2b ＝3c ， 又b －c ＝14a ，所以b ＝32c ，a ＝2c .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a22bc＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32c 2＋c 2－c22×32c ×c ＝－14.8．△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍． (1)求sin ∠B sin ∠C ；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． 解 (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC ， 由正弦定理可得sin ∠B sin ∠C ＝AC AB ＝12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知，AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC .故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6. 由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1.。

2018高考数学异构异模复习考案 第四章 三角函数 4.3 三角函数的化简与求值撬题 理1．sin20°cos10°－cos160°sin10°＝( )A ．－32 B.32 C ．－12 D.12答案 D解析 原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝12.2．化简cos40°cos25°1－sin40°＝( ) A ．1 B. 3C. 2 D ．2答案 C解析 原式＝cos 220°－sin 220°cos25°sin 220°－2sin20°cos20°＋cos 220° ＝cos 220°－sin 220°cos25°cos20°－sin20° ＝2sin65°cos25°＝2cos25°cos25°＝ 2. 3．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝() A ．－34 B ．－14C.34D.14答案 B解析 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋4cos α－ 3＝23sin α＋6cos α－ 3＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－3＝0，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－14. 4.已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________． 答案 3解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan α＋β－tan α1＋tan α＋βtan α＝17＋21－27＝3. 5．sin15°＋sin75°的值是________．答案 62解析 解法一：sin15°＋sin75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)＝2sin45°·cos30°＝62. 解法二：sin15°＋sin75°＝sin15°＋cos15°＝2sin(45°＋15°)＝2sin60°＝62. 6．已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ≤π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．答案 π6解析 显然交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12， 故有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＋φ＝12， ∴23π＋φ＝2k π＋π6，k ∈Z ， 或23π＋φ＝2k π＋56π，k ∈Z ， ∴φ＝2k π－π2或φ＝2k π＋π6，k ∈Z ， 又0≤φ≤π，故φ＝π6.7．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝________. 答案 268 解析 解法一：由2sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝0，得(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＋cos α>0，∴2sin α＝3cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴cos α＝21313，sin α＝31313， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝22sin α＋cos αsin α＋cos α2＋－sin 2α＋cos 2α＝268. 解法二：同解法一得2sin α＝3cos α，即tan α＝32，由三角函数定义令y ＝3，x ＝2，则r ＝13，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故cos α＝21313.(或对式子2sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝0两边同时除去cos 2α得2tan 2α－tan α－3＝0，即(2tan α－3)(tan α＋1)＝0，得tan α＝32或tan α＝－1(舍)．)以下同解法一． 8．化简tan π12－1tan π12＝________. 答案 －2 3解析 原式＝sin π12cos π12－cos π12sin π12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π12－sin 2π12sin π12cos π12＝－cos π612sin π6＝－2 3. 9.如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角．(1)证明：tan A 2＝1－cos A sin A；(2)若A ＋C ＝180°，AB ＝6，BC ＝3，CD ＝4，AD ＝5，求tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D 2的值． 解 (1)证法一：tan A 2＝sin A 2cos A 2＝2sin 2A 22sin A 2cos A 2＝1－cos A sin A . 证法二：1－cos A sin A ＝2sin 2A 22sin A 2cos A 2＝tan A 2. (2)由A ＋C ＝180°，得C ＝180°－A ，D ＝180°－B .由(1)，有 tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D 2＝1－cos A sin A ＋1－cos B sin B ＋1－cos 180°－A sin 180°－A ＋1－cos 180°－B sin 180°－B ＝2sin A ＋2sin B. 连接BD .在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ，在△BCD 中，有BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ，所以AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝BC 2＋CD 2＋2BC ·CD cos A . 则cos A ＝AB 2＋AD 2－BC 2－CD 22AB ·AD ＋BC ·CD ＝62＋52－32－4226×5＋3×4＝37. 于是sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫372＝2107. 连接AC .同理可得 cos B ＝AB 2＋BC 2－AD 2－CD 22AB ·BC ＋AD ·CD＝62＋32－52－4226×3＋5×4＝119， 于是sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1192＝61019. 所以tan A 2＋tan B 2＋tan C2＋tan D 2＝2sin A ＋2sin B ＝2×7210＋2×19610＝4103. 10.已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55.(1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值； (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值． 解 (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－255. 故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋22×55＝－1010. (2)由(1)知sin2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－45， cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝35， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos2α＋sin 5π6sin2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－4＋3310.。

2018高考数学异构异模复习考案 第四章 三角函数 课时撬分练4.2 三角函数的图象变换及应用 理时间：60分钟基础组1.[2016·衡水二中仿真]已知α为锐角，且有2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( )A.355 B.377C.31010D.13答案 C解析 2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0化简为－2tan α＋3sin β＋5＝0，① tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0化简为tan α－6sin β－1＝0.②由①②消去sin β，解得tan α＝3.又α为锐角，根据sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝31010.2．[2016·衡水中学周测]若函数y ＝cos2x 与函数y ＝sin(x ＋φ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性相同，则φ的一个值为( )A.π6 B.π4 C.π3D.π2答案 D解析 易知y ＝cos2x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减，因为y ＝sin(x ＋φ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减，则x ＋φ∈[π2＋2k π，3π2＋2k π ]，k ∈Z ，经验证，得φ＝π2符合题意，故选D.3．[2016·冀州中学期末]为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin2x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度 答案 A解析 ∵y ＝sin(2x ＋1)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，∴需要把y ＝sin2x 图象上所有的点向左平移12个单位长度即得到y ＝sin(2x ＋1)的图象．故选A.4．[2016·衡水中学预测]设函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)(|φ|<π2)，且其图象关于直线x ＝0对称，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数 C ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上为增函数D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上为减函数 答案 B解析 f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π6，∵函数图象关于直线x ＝0对称， ∴函数f (x )为偶函数， ∴φ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )．∵|φ|<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2cos2x ，∴T ＝2π2＝π.∵0<x <π2，∴0<2x <π，∴函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数．故选B.5．[2016·枣强中学热身]函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向左平移π6个单位后关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－32B ．－12C.12D.32答案 A解析 函数f (x )＝sin(2x ＋φ)向左平移π6个单位得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin(2x ＋π3＋φ) ，又其为奇函数，则π3＋φ＝k π，k ∈Z ，解得φ＝k π－π3，k ∈Z .又|φ|<π2，令k ＝0，得φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.又∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，6．[2016·衡水中学猜题]已知函数f (x )＝sin2x 向左平移π6个单位后，得到函数y ＝g (x )，下列关于y ＝g (x )的说法正确的是( )A ．图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0中心对称 B ．图象关于x ＝－π6轴对称C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，－π6上单调递增D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减答案 C解析 函数f (x )＝sin2x 向左平移π6个单位后，得到函数f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令x ＝－π3，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－sin π3≠0，A 不正确； 令x ＝－π6，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝sin0＝0≠±1，B 不正确；由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，即函数的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z ，减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，－π6⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12，故选C.7．[2016·衡水中学一轮检测]将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增 答案 B解析 设平移后的函数为f (x )，则f (x )＝3sin ⎣⎢⎡2⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＋⎦⎥⎤π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－π＝－3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得f (x )的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z ，同理得递增区间为[ k π＋π12，k π＋⎦⎥⎤7π12，k ∈Z .从而可判断得B 正确． 8．[2016·冀州中学模拟]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)( ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的部分图象如图所示，则函数的表达式为( )A ．y ＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －π4B ．y ＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4C ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －π4D ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4 答案 B解析 由图象的最高点为4，最低点为－4，可确定|A |＝4.结合正弦型函数的特征可知A ＝－4，T ＝2πω＝16，ω＝π8，又f (6)＝0，|φ|<π2，可得φ＝π4，故选B.9．[2016·衡水二中周测]函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．答案 π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤38π＋k π，78π＋k π(k ∈Z )解析 由题意知，f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32，所以最小正周期T ＝π.令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )，故单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z )．10．[2016·枣强中学仿真]设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．答案 π解析 由f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6知，f (x )有对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π知f (x )有对称轴x ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋23π＝712π.记f (x )的最小正周期为T ，则12T ≥π2－π6，即T ≥23π.故712π－π3＝π4＝T4，解得T ＝π. 11．[2016·衡水二中月考]已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的最大值和最小值及相应的x 的值．解 (1)因为f (x )＝32sin2x －12cos2x －12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－12，所以T ＝2πω＝π，故f (x )的最小正周期为π.2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，所以k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，则函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .(2)因为0≤x ≤π2，所以－π6≤2x －π6≤5π6，所以当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )有最大值12；当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )有最小值－1.12．[2016·武邑中学热身]已知向量a ＝(sin x,2cos x )，b ＝(2sin x ，sin x )，设函数f (x )＝a ·b . (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若将f (x )的图象向左平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上的最大值和最小值．解 (1)f (x )＝a ·b ＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝2×1－cos2x2＋sin2x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1， 由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z )．(2)由题意g (x )＝2sin ⎣⎢⎡ 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－⎦⎥⎤π4＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π12＋1， 由π12≤x ≤7π12得π4≤2x ＋π12≤5π4， ∴0≤g (x )≤2＋1，即g (x )的最大值为2＋1，最小值为0.能力组13.[2016·衡水二中热身]已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2在一个周期内的图象如图所示．若方程f (x )＝m 在区间[0，π]上有两个不同的实数解x 1，x 2，则x 1＋x 2的值为( )A.π3B.23πC.43π D.π3或43π 答案 D解析 要使方程f (x )＝m 在区间[0，π]上有两个不同的实数解，只需函数y ＝f (x )与函数y ＝m 的图象在区间[0，π]上有两个不同的交点，由图象知，两个交点关于直线x ＝π6或关于直线x ＝2π3对称，因此x 1＋x 2＝2×π6＝π3或x 1＋x 2＝2×2π3＝4π3. 14.[2016·武邑中学期末]把函数y ＝sin2x 的图象沿x 轴向左平移π6个单位，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y ＝f (x )的图象，对于函数y ＝f (x )有以下四个判断：①该函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6；②该函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称；③该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是增函数；④函数y ＝f (x )＋a 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为3，则a ＝2 3.其中，正确判断的序号是________． 答案 ②④解析 将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π6得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，所以①不正确．y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋π3＝2sin π＝0，所以函数图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π3，0对称，所以②正确．由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，即函数的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12，所以③不正确．y ＝f (x )＋a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋a ，当0≤x ≤π2时，π3≤2x ＋π3≤4π3，所以当2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2时，函数取得最小值，y min ＝2sin 4π3＋a ＝－3＋a ＝3，所以a ＝2 3.所以④正确．所以正确的判断为②④.15.[2016·衡水二中预测]已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．解 解法一：(1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝22.所以f (α)＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋22－12＝12.(2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin2x ＋1＋cos2x 2－12 ＝12sin2x ＋12cos2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .解法二：f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin2x ＋1＋cos2x 2－12 ＝12sin2x ＋12cos2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以α＝π4，从而f (α)＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22sin 3π4＝12.(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .16.[2016·冀州中学期末]已知向量m ＝(a sin x ，cos x )，n ＝(sin x ，b sin x )，其中a ，b ，x ∈R .若f (x )＝m ·n 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2，且f (x )的导函数f ′(x )的图象关于直线x ＝π12对称．点击观看解答视频(1)求a ，b 的值；(2)若关于x 的方程f (x )＋log 2k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上总有实数解，求实数k 的取值范围．解 (1)f (x )＝m ·n ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＝a 2(1－cos2x )＋b2sin2x . 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2，得a ＋3b ＝8.①∵f ′(x )＝a sin2x ＋b cos2x ，又f ′(x )的图象关于直线x ＝π12对称，∴f ′(0)＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6， ∴b ＝32a ＋12b ，即b ＝3a .② 由①②得，a ＝2，b ＝2 3.(2)由(1)得f (x )＝1－cos2x ＋3sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6， ∴－1≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤2，f (x )∈[0,3]．又f (x )＋log 2k ＝0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有解，即f (x )＝－log 2k 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有解，∴－3≤log 2k ≤0，解得18≤k ≤1，即k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，1.。

2019高考数学异构异模复习 第四章 三角函数 4.2.2 三角函数的性质及应用撬题 文1.函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 答案 D解析 由图象可知ω4＋φ＝π2＋2m π，5ω4＋φ＝3π2＋2m π，m ∈Z ，所以ω＝π，φ＝π4＋2m π，m ∈Z ，所以函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4＋2m π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4的单调递减区间为2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，即2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，故选D. 2．函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．答案 1解析 ∵f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ＋cos(x ＋φ)sin φ－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ＝sin[(x ＋φ)－φ]＝sin x .∴f (x )max ＝1.3．已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值． 解 (1)由已知，有f (x )＝1－cos2x 2－1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos2x ＋32sin2x －12cos2x ＝34sin2x －14cos2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)解法一：因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34.所以，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12. 解法二：由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4得2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，π3，故当2x －π6＝－π2，x ＝－π6时，f (x )取得最小值为－12，当2x －π6＝π3，x ＝π4时，f (x )取最大值为34. 4．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<α<2π3，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值． 解 (1)因f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2. 又因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称， 所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，…. 因－π2≤φ<π2得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6. (2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·α2－π6＝34，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝14. 由π6<α<2π3得0<α－π6<π2， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154. 因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6 ＝14×32＋154×12＝3＋158. 5．已知向量a ＝(m ，cos2x )，b ＝(sin2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2. (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．解 (1)由题意知f (x )＝a ·b ＝m sin2x ＋n cos2x .因为y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即 ⎩⎪⎨⎪⎧ 3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 由题意知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6. 设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2)，由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)．将其代入y ＝g (x )得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2φ＋π6＝1， 因为0<φ<π，所以φ＝π6. 因此g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos2x ， 由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z ，得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ， 所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z .。

2018高考数学异构异模复习考案 第四章 三角函数 课时撬分练4.3 三角函数的化简与求值 理时间：60分钟基础组1.[2016·衡水二中猜题]若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝25，则sin2α等于( )A ．－825B.825 C ．－1725D.1725答案 C解析 sin2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝2sin 2(π4＋α )－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫252－1＝－1725，故选C.2．[2016·衡水二中一轮检测]若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝( )A ．－78B ．－14C. 14D. 78答案 A解析 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，得sin ⎣⎢⎡ π2－⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝14，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝14， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142－1＝－78.3．[2016·冀州中学周测]在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝513，则cos C ＝( )A.365 B.3665C.1665D.3365 答案 C解析 在△ABC 中，0<A <π，0<B <π，从而sin A ＝35，sin B ＝1213，所以cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A＋B )＝sin A ·sin B －cos A ·cos B ＝35×1213－45×513＝1665.4．[2016·衡水二中月考]已知π2<α<π，3sin2α＝2cos α，则cos(α－π)等于( )A.23B.64答案 C解析 由3sin2α＝2cos α得sin α＝13.因为π2<α<π，所以cos(α－π)＝－cos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223.故选C.5．[2016·枣强中学周测]函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos2x ⎝⎛⎭⎪⎫π4≤x ≤π2的最大值为( )A ．2B ．3C ．2＋ 3D ．2－ 3答案 B解析 依题意，f (x )＝1－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos2x ＝sin2x －3cos2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，当π4≤x ≤π2时，π6≤2x －π3≤2π3，12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，此时f (x )的最大值是3，选B.6.[2016·冀州中学预测]若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( )A.33B ．－33 C.539D ．－69答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2，而π4＋α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，π4－β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，因此sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝13×33＋223×63＝539. 7．[2016·枣强中学一轮检测]若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于( )A.22B.33C. 2D. 3答案 D解析 由二倍角公式可得sin 2α＋1－2sin 2α＝14，即sin 2α＝34，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＝32，即α＝π3，所以tan α＝tan π3＝3，故选D.8．[2016·冀州中学月考]关于函数f (x )＝2(sin x －cos x )·cos x 的四个结论：p 2：把函数g (x )＝2sin2x －1的图象向右平移π4个单位后可得到函数f (x )＝2(sin x －cos x )cos x 的图象； p 3：单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋7π8，k π＋11π8，k ∈Z ； p 4：图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2π＋π8，－1，k ∈Z .其中正确的结论有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案 B解析 因为f (x )＝2sin x cos x －2cos 2x ＝sin2x －cos2x －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－1，所以最大值为2－1，所以p 1错误．将g (x )＝2sin2x －1的图象向右平移π4个单位后得到h (x )＝2·sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2－1的图象，所以p 2错误．由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π，k ∈Z ，即增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8＋k π，3π8＋k π，k ∈Z ，所以p 3正确．由2x －π4＝k π，k ∈Z ，得x ＝k 2π＋π8，k ∈Z ，所以图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2π＋π8，－1，k ∈Z ，所以p 4正确，所以选B.9.[2016·衡水中学月考]如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，－513，∠AOC ＝α.若|BC |＝1，则3cos 2α2－sin α2cos α2－32的值为________．答案513解析 由题意得|OB |＝|BC |＝1，从而△OBC 为等边三角形，∴sin ∠AOB ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513，又∵3cos2α2－sin α2cos α2－32＝3·1＋cos α2－sin α2－32＝－12sin α＋32cos α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513. 10．[2016·衡水中学期中]已知13sin α＋5cos β＝9,13cos α＋5sin β＝15，那么sin(α＋β)的值为________．答案5665解析 将两等式的两边分别平方再相加，得169＋130sin(α＋β)＋25＝306，所以sin(α＋β)＝5665.11.[2016·武邑中学期中]已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2.点击观看解答视频(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．解 (1)f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin2ωx ＋cos2ωx ＋12－12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6.由题意知f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2.所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝⎛⎭⎪⎫x －π8＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3.g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－32≤－k <32或－k ＝1，所以－32<k ≤32或k ＝－1. 12．[2016·衡水中学期末]已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，求：(1)sin2α； (2)tan α－1tan α.解 (1)cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin (2α＋π3 ) ＝－14， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12，注意到α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，故2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3，从而cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32， ∴sin2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin( 2α＋π3 ) cos π3－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝－12×12＋32×32＝12. (2)∵2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π，sin2α＝12，∴cos2α＝－32，∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos2αsin2α＝－2×－3212＝2 3.⎝⎛或者由知2α＋π3＝7π6，∴α＝5π12，∴sin2α＝sin 5π6＝12，cos2α＝cos 5π6＝－32，∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－cos2α12sin2α＝⎭⎫ 2 3. 能力组13.[2016·冀州中学猜题]设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝13，则sin2θ＝( )A ．－79B ．－19C.19D.79答案 A解析 sin2θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2θ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.14．[2016·衡水中学模拟]已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝2425，则cos θ2的值为________．答案 ±35解析 ∵θ为第二象限角，∴θ2为第一、三象限角．∴cos θ2的值有两个．由sin(π－θ)＝2425，可知sin θ＝2425，∴cos θ＝－725，∴2cos 2θ2＝1825.∴cos θ2＝±35.15．[2016·衡水中学仿真]已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin2x .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8的值；(2)设α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin α＝255，证明：5f ⎝⎛⎭⎪⎫α－7π24＝122tan4α.解 (1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin2x ＝cos2x cos π6－sin2x sin π6＋sin2x ＝32cos2x －12sin2x ＋sin2x ＝32cos2x ＋12sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π3 ＝sin π4cos π3＋cos π4sin π3＝2＋64.(2)证明：由(1)，知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π24＝sin ⎣⎢⎡ 2⎝⎛⎭⎪⎫α－7π24＋⎦⎥⎤π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π4＝22sin2α－22cos2α. 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin α＝255，所以cos α＝1－sin 2α＝55.所以sin2α＝2sin αcos α＝45，cos2α＝1－2sin 2α＝－35，tan2α＝sin2αcos2α＝－43.所以tan4α＝2tan2α1－tan 22α＝247. 所以5f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π24＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin2α－22cos2α＝5⎣⎢⎡⎦⎥⎤22×45－22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝722， 又122tan4α＝122247＝722，所以5f ⎝⎛⎭⎪⎫α－7π24＝122tan4α. 16.[2016·冀州中学一轮检测]已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos2α，求cos α－sin α的值．解 (1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z . 由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z .所以，函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)，所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎪⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，知cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.。

2018高考数学异构异模复习考案 第四章 三角函数 4.3 三角函数的化简与求值撬题 理1．sin20°cos10°－cos160°sin10°＝( ) A ．－32B.32C ．－12D.12答案 D解析 原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝12.2．化简cos40°cos25°1－sin40°＝( )A ．1 B. 3 C. 2 D ．2答案 C 解析 原式 ＝cos 220°－sin 220°cos25°sin 220°－2sin20°cos20°＋cos 220°＝cos 220°－sin 220°－＝2sin65°cos25°＝2cos25°cos25°＝ 2.3．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝( )A ．－34B ．－14C.34D.14答案 B 解析 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋4cos α－ 3 ＝23sin α＋6cos α－ 3 ＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－3＝0， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－14. 4.已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．答案 3解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝α＋β－tan α1＋α＋βα＝17＋21－27＝3.5．sin15°＋sin75°的值是________． 答案62解析 解法一：sin15°＋sin75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)＝2sin45°·cos30°＝62. 解法二：sin15°＋sin75°＝sin15°＋cos15° ＝2sin(45°＋15°)＝2sin60°＝62. 6．已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ≤π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．答案π6解析 显然交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12， 故有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＋φ＝12，∴23π＋φ＝2k π＋π6，k ∈Z ， 或23π＋φ＝2k π＋56π，k ∈Z ， ∴φ＝2k π－π2或φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，又0≤φ≤π，故φ＝π6.7．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝________.答案268解析 解法一：由2sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝0，得(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＋cos α>0，∴2sin α＝3cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝21313，sin α＝31313，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝22α＋cos αα＋cos α2＋－sin 2α＋cos 2α＝268. 解法二：同解法一得2sin α＝3cos α，即tan α＝32，由三角函数定义令y ＝3，x ＝2，则r ＝13，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故cos α＝21313.(或对式子2sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝0两边同时除去cos 2α得2tan 2α－tan α－3＝0，即(2tan α－3)(tan α＋1)＝0，得tan α＝32或tan α＝－1(舍)．)以下同解法一． 8．化简tan π12－1tanπ12＝________.答案 －2 3解析 原式＝sin π12cos π12－cos π12sin π12＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos 2π12－sin 2π12sin π12cos π12＝－cos π612sin π6＝－2 3.9.如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角．(1)证明：tan A 2＝1－cos Asin A；(2)若A ＋C ＝180°，AB ＝6，BC ＝3，CD ＝4，AD ＝5，求tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D2的值．解 (1)证法一：tan A 2＝sin A2cos A 2＝2sin2A22sin A 2cos A 2＝1－cos Asin A .证法二：1－cos Asin A＝2sin2A22sin A 2cosA 2＝tan A2. (2)由A ＋C ＝180°，得C ＝180°－A ，D ＝180°－B . 由(1)，有tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D2 ＝1－cos A sin A ＋1－cos B sin B＋1－－A －A ＋1－－B －B ＝2sin A ＋2sin B.连接BD .在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ， 在△BCD 中，有BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ， 所以AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝BC 2＋CD 2＋2BC ·CD cos A .则cos A ＝AB 2＋AD 2－BC 2－CD 2AB ·AD ＋BC ·CD ＝62＋52－32－42＋＝37.于是sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫372＝2107.连接AC .同理可得cos B ＝AB 2＋BC 2－AD 2－CD 2AB ·BC ＋AD ·CD＝62＋32－52－42＋＝119，于是sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1192＝61019.所以tan A 2＋tan B 2＋tan C2＋tan D2＝2sin A ＋2sin B ＝2×7210＋2×19610＝4103. 10.已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55.(1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值．解 (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.故sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋22×55＝－1010.(2)由(1)知sin2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－45， cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝35， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos2α＋sin 5π6sin2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－4＋3310.。