积分变换 第6讲拉氏变换的性质及应用

f(t)
f(t-t)
O
t
t
18
0 t t 的拉氏变换. 例7 求函数 u (t - t ) 1 t t 1 已知L [u (t )] , 根据延迟性质 s
L [u (t - t )] 1 s e
- st
u(t-t)
1 O
t
t
19
例8 求如图所示的阶梯函数f(t)的拉氏变换. 利用单位阶跃函数u(t)可将f(t)表示为
2
T T t - u t - 2 2
T 2 s
2 2 s T
(1 - e
),
2 T

24
例10 求如下图所示的半波正弦函数fT(t)的拉 氏变换
fT(t)
E
O
T 2
T
3T 2
2T
5T 2
t
25
由例9可得从t=0开始的单个半正弦波的拉氏 变换为
s

s


f (t ) e

- st
dt d s
0


0
- 1 - st f (t ) e t
s
dt


f (t ) t
e
- st
dt
0
f (t ) L t
f (t ) 即 L t


F ( s) d s
F ( s) E s
2 2
(1 e
-
T 2
s
), 其中
2 T
从而
L [ fT (t )] F (s) 1- e
- sT

E s
2 2

1 1- e
-s T 2
26
这是一个求周期函数拉氏变换的简单方法, 即设fT(t) (t>0)是周期为T的周期函数, 如果
fT (t ) f (t ) 0 0t T 其他
而 所以 L [m!] m!L [1] L [t ]
m
m! s (Re( s ) 0).
7
m! s
m 1
此外, 由拉氏变换存在定理, 还可以得到象函 数的微分性质: 若L [f(t)]=F(s), 则 F '(s)=L [-tf(t)], Re(s)>c. (2.6) 和 F(n)(s)=L [(-t)nf(t)], Re(s)>c. (2.7) 这是因为对于一致绝对收敛的积分的积分和 求导可以调换次序
L [ f ( t - t )]


f (t - t ) e

- st
dt
- st
0

t
f (t - t ) e
- st
0
dt
t
f (t - t ) e
dt
令t - t u, t u t , d t d u 上式


f ( u) e
- s ( u t )
du e
(m 1)
s
m 1
, 利用位移性质, 可得
L [e t ]
(m 1)
( s - a)
m 1
例6 求L [e-atsin kt]
已知L [sin kt]
at
k s k
2 2
,由位移性质得 k
L [e sin kt]
( s a) k
2
2
16
5. 延迟性质 若L [f(t)]=F(s), 又t<0时f(t)=0, 则 对于任一非负数t0, 有 L [f(t-t)]=e-stF(s) (2.13) 证 根据(2.1)式, 有
21
一般地, 若L [f(t)]=F(s), 则对于任何t>0, 有
L f (t - kt ) L [ f (t - kt )] k 0 k 0 F (s) e
k 0 - kst
F (s)
1 1- e
- st
(Re( s ) c)
0


e
- st
d f (t )
0

f (t )
0
-

f (t ) de
- st
0
- f (0) s
f (t ) e
d t sL [ f (t )] - f (0)
0
ห้องสมุดไป่ตู้
即L [ f (t )] sF ( s ) - f (0) (Re( s ) c)
4
推论 若L [f(t)]=F(s), 则 L [f ''(t)]=sL [f'(t)]-f '(0) =s{sL [f(t)]-f(0)}-f '(0) =s2L [f(t)]-sf(0)-f '(0) ... L [f(n)(t)]=sL [f(n-1)(t)]-f(n-1)(0) =snF(s)-sn-1f(0)-sn-2f '(0)-...-f(n-1)(0) (2.4) 特别, 当初值f(0)=f '(0)=...=f(n-1)(0)=0时, 有 L [f '(t)]=sF(s), L [f ''(t)]=s2F(s), ..., L [f(n)(t)]=snF(s) (2.5) 此性质可以使我们有可能将f(t)的微分方程转 化为F(s)的代数方程.
d ds F (s)
ds
d

f (t ) e
- st
- st
dt

0


d ds
f (t ) e
0
d t -
tf (t ) e
- st
dt
8
0
例3 求函数f(t)=t sin kt的拉氏变换.
因为L [sin kt] k s k
2 2
根据上述微分性质可知 d k 2ks L [t sin kt] 2 2 2 d s s k (s k 2 )2 同理可得 d s L [t cos kt] 2 2 d s s k 2s
积分变换
第6讲
1
拉氏变换的性质
本讲介绍拉氏变换的几个性质, 它们在 拉氏变换的实际应用中都是很有用的. 为方便起见, 假定在这些性质中, 凡是要 求拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在 定理中的条件, 并且把这些函数的增长 指数都统一地取为c. 在证明性质时不再 重述这些条件
2
1. 线性性质 若a,b是常数 L [f1(t)]=F1(s), L [f2(t)]=F2(s), 则有 L [af1(t)+bf2(t)]=aF1(s)+bF2(s) L -1[aF1(s)+bF2(s)]=af1(t)+bf2(t) 此线性性质根据拉氏变换的定义就可得出.
5
例1 利用微分性质求函数f(t)=cos kt的拉氏变 换. 由于f(0)=1, f '(0)=0, f ''(t)=-k2cos kt, 则 L [-k2cos kt]=L [f ''(t)]=s2L [f(t)]-sf(0)-f '(0). 即 -k2L [cos kt]=s2L [cos kt]-s 移项化简得
- st
0


f ( u) e
- su
du
17
0
e
- st
F ( s ) (Re( s ) c )
函数f(t-t)与f(t)相比, f(t)从t=0开始有非零数值. 而f(t-t)是从t=t开始才有非零数值. 即延迟了 一个时间t. 从它的图象讲, f(t-t)是由f(t)沿t轴 向右平移t而得, 其拉氏变换也多一个因子e-st.
且L [f(t)]=F(s), 则
L [ fT (t )]
F ( s) 1- e
- sT
27
初值定理与终值定理
(1)初值定理 若L [ f (t )] F ( s ), 且 lim sF ( s ) 存在, 则
s
或写为
lim f (t ) lim sF ( s ) t 0 s f (0) lim sF ( s ) s
1 s
F (s)
10
重复应用(2.8)式, 就可得到:
L
{ d t d t f (t ) d t} s
0 0 0
t
t
t
1
n
F ( s)
(2.9)
n次
11
由拉氏变换存在定理, 还可得象函数积分性质: 若L [f(t)]=F(s), 则


F (s) d s
f (t ) A[u (t ) u (t - t ) u (t - 2t ) ] Au(t - kt )
k 0
f(t)
4A 3A 2A
1A O
t
2t
3t
t
20
利用拉氏变换的线性性质及延迟性质, 可得
1 1 - st 1 - 2 st 1 -3 st L [ f (t )] A e e e s s s s
当Re(s)>0时, 有|e-st|<1, 所以, 上式右端圆括号 中为一公比的模小于1的等比级数, 从而
L [ f (t )] A 1
- st
s 1- e

A
st s 1 - e 2
1
1 e 2 st

A st 1 coth 2s 2

t
f (t ) d t , 则有
0
h(t ) f (t ), 且h(0) 0 由上述微分性质, 有 L [ h(t )] sL [ h(t )] - h(0) sL [ h(t )], 即 f (t ) d t 1 L L 0 s
t
f (t )
s
f (t ) 一般地, 有L n d s d s F ( s ) d s s s s t n次
12
例4 求函数 f (t )
因L [sinh t ] sinh t L t 1
2
sinh t t
2 2 2 2
(s k )
-
1 s k
2 2

2s - s - k
2 2
2
(s k )
2 2
2

s -k
2 2
2 2
9
(s k )
2
3. 积分性质 若L [f(t)]=F(s)
t f (t ) d t 1 F ( s ) 则 L 0 s 证 设h(t ) ( 2.8)
的拉氏变换.
s -1

(习题一,1(5)),由积分性质

1 s -1
2
ds

s


s
1 1 1 1 s -1 s - 1 - s 1 d s 2 ln s 1 2 s 1 2 ln s 1 s -1

13
如果积分 则有

f (t ) t
d t存在, 按(2.10)式, 取s 0
L [e
at
f (t )]
0

e
at
f (t ) e dt
- st
dt
0 -( s - a )t
f (t ) e
上式右方只是在F(s)中将s换为s-a, 因此
L [eatf(t)]=F(s-a) (Re(s-a)>c)
15
例5 求L [eattm].
已知L [t ]
m at m
=>函数的周期拓展
22
例9 求如图所示的单个半正弦波f(t)的拉氏变 换 f1(t) E f(t) E
O T 2
f2(t)
T
t
O
T t 2
E
O
T 2
T
t
23
由前图可知, f(t)=f1(t)+f2(t), 所以
L [ f (t )] L [ f1 (t )] L [ f 2 (t )] 2 EL sin t u (t ) T 2 EL sin T E 2 T

0


f (t ) t
0
d t F ( s ) d s,
0
其中F(s)=L [f(t)]. 此公式常用来计算某些积 分. 例如,
L [sin t ] 1 s 1
2 2
, 则有 1 d s arctan s |
0


sin t t
dt
0


2
14
0
s 1
4.位移性质 若L [f(t)]=F(s), 则有 L [eatf(t)]=F(s-a) (Re(s-a)>c). (2.12) 证 根据拉氏变换式, 有
L [cos kt]
s s k
2 2
(Re( s ) 0)
6
例2 利用微分性质, 求函数f(t)=tm的拉氏变换, 其中m是正整数. 由于f(0)=f '(0)=...=f(m-1)(0)=0, 而f(m)(t)=m! 所以L [m!]=L [f(m)(t)]=smL [f(t)]-sm-1f0)sm-2f '(0)-...-f(m-1)(0) 即 L [m!]=smL [tm]
3
2.微分性质 若L [f(t)]=F(s), 则有 L [f '(t)=sF(s)-f(0) (2.3) 证 根据分部积分公式和拉氏变换公式

b
a
u d v uv | - v d u
b a a
b
L [ f (t )] e
- st


f (t ) e

- st
dt
- st