选修4-5学案 §3.1.3柯西不等式(3)

人教版高中选修4-5第三讲柯西不等式与排序不等式教学设计一、教学目标1.理解柯西不等式和排序不等式的概念和基本性质。

2.能够应用柯西不等式和排序不等式解决实际问题。

3.培养学生的数学思维能力、解决问题的能力和团队协作精神。

二、教学内容1.柯西不等式的定义和证明。

2.柯西不等式及其应用。

3.排序不等式的定义和证明。

4.排序不等式及其应用。

三、教学重点和难点1.理解柯西不等式和排序不等式的定义和基本性质。

2.掌握柯西不等式的证明方法，理解其应用。

3.熟练掌握排序不等式的证明方法，能够应用排序不等式解决实际问题。

四、教学方法和手段1.教师引导学生自主发现和探究柯西不等式和排序不等式。

2.采用运用举例的方法，引导学生理解和记忆柯西不等式和排序不等式，提高学生举一反三的能力。

3.推崇探究式学习方法，鼓励学生主动探究，组织学生研究、合作探讨，提升学生的团队合作能力。

五、教学流程1.柯西不等式的引入通过真实生活中的例子，引出两个变量之间的关系，小组探究两正数之积的最大值、两负数之积的最大值、正数与负数之积的最小值。

教授柯西不等式的定义和证明。

2.柯西不等式的应用通过计算题目，引出使用柯西不等式求出积分值最大值的方法，题目的复杂程度逐渐加深，教授柯西不等式在解题中的应用。

3.排序不等式引入介绍排序不等式的定义和证明过程，并从生活中的例子引出排序不等式的应用场景。

4.排序不等式的应用通过计算题目，引导学生掌握人教版高中选修4-5第三讲柯西不等式与排序不等式的解题方法，解决实际问题。

六、教学评价1.通过出题考核，检测学生掌握柯西不等式和排序不等式的基础知识和应用能力。

2.通过实际应用问题，检验学生对柯西不等式和排序不等式的理解和应用能力。

七、小组探究设计在小组合作过程中，让学生组织实验、调查等自主探究柯西不等式和排序不等式。

小组探究产生的报告可作为课后作业，让学生进行总结和讨论。

最后，本课程旨在为学生提供基本数学知识和运用能力，建立实际生活场景与知识的联系。

3.2 一般形式的柯西不等式【学习目标】1. 掌握一般形式的柯西不等式的判别式法证明，并掌握等号成立的充要条件2.基本会使用柯西不等式证明不等式、求最值 【自主学习】1. 三维柯西不等式可以对比二维柯西不等式来记忆和理解，你能写出来吗？2. 一般形式的柯西不等式是对二维、三维的推广，是归纳推理的典范，至少要会用判别式法完成证明，而且要理解等号成立的充要条件3. 结合二维柯西不等式的应用初步的体会一般形式的柯西不等式的应用. 【自主检测】1. 已知,,0a b c > ，且1a b c ++=，则222a b c ++的最小值为＿＿＿＿ A.1 B.4 C. 13 D. 142. 设12,,,,n a a a R ∈，则22212n a a a n+++与12na a a n+++的大小关系为＿＿＿3. 若111,,0,1a b c abc>++=，则a b c ++的最小值是＿＿＿＿ 【典型例题】例1. 已知,,0a b c >，求证：()1. 9b c a a b c a b c b c a ⎛⎫⎛⎫++++≥⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()2222. 9a b c a b c abc ++++≥ ()2222222.b c c a a b abc a b c++≥++例2.(1)已知12,,,n a a a R ∈.求证：2211n ni i i i a n a ==⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑（2）已知1212,,,0,1n n a a a a a a >+++=.求证：2222231121223341112n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a --+++++≥+++++（3）已知1212,,,,,,,0n n a a a R b b b ∈>.求证：()222221231212312n n n na a a a a a ab b b b b b b +++++++≥+++例3.（1）已知22222212121,1n n a a a x x x +++=+++=，求1122n n a x a x a x +++的最大值（2）设,,,1a b c R a b c +∈++=，求222111a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小值（3）若19x y z ++=,求函数2224916u x y z =+++++的最小值【课堂检测】1. 设12,,,,n a a a R ∈，则12naa a P n+++=与12111nnQ a a a =+++的大小关系为( )A. P Q >B. P Q ≥C. P Q <D. P Q ≤2. 设a,b,c ，d R +∈，且()1111P a b c d ab c d ⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭，则P 的最小值为3. 已知491x y z ++=，则222x y z ++的最小值为4. 把一条长为m 的绳子截成四段，各围成一个正方形，怎样截法才能使这四个正方形的面积和最小？【总结提升】1.由二维形式的柯西不等式到一般形式的柯西不等式，是从特殊到一般的认识过程，其中三维形式的柯西不等式是过渡的桥梁，三维形式的柯西不等式可以对比二维形式的柯西不等式来理解和记忆，一般形式的柯西不等式又可以参照三维形式的柯西不等式来理解和推广，对不等式等号成立的条件更要对比来研究.2. 一般形式的柯西不等式注意整体的结构特征，形成一定的思维模式，在解决问题时才能灵活使用.。

柯西不等式的证明及应用柯西（Cauchy ）不等式()22211n n b a b a b a +++Λ()()222221222221nnb b ba a a ++++++≤ΛΛ()n i Rb a ii Λ2,1,=∈等号当且仅当021====n a a a Λ或i i ka b =时成立（k 为常数，n i Λ2,1=）现将它的证明介绍如下：证明1：构造二次函数 ()()()2222211)(n n b x a b x a b x a x f ++++++=Λ=()()()22222121122122n nn n n n a a a x a b a b a b x b b b +++++++++++L L L 22120n n a a a +++≥Q L()0f x ∴≥恒成立()()()2222211*********n n n n n n a b a b a b a a a b b b ∆=+++-++++++≤Q L L L即()()()2222211221212nn n n nn a b a b a b a a a bb b +++≤++++++L L L当且仅当()01,2i i a x b x i n +==L 即1212n na a ab b b ===L 时等号成立 证明（2）数学归纳法（1）当1n =时 左式=()211a b 右式=()211a b 显然 左式=右式 当2n =时， 右式 ()()()()2222222222121211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++()()()2221122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=右式仅当即 2112a b a b = 即1212a ab b =时等号成立 故1,2n =时 不等式成立（2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立 即 ()()()2222211221212kk k k kk a b a b a b a a a bb b +++≤++++++L L L当 i i ka b =，k 为常数，1,2i n =L 或120k a a a ====L 时等号成立设22212k a a a A ====L 22212k b b b B ====L1122k k C a b a b a b =+++L则()()2222211111k k k k k a b ba b +++++A +B +=AB +A +()22221111112k k k k k k C Ca b a b C a b ++++++≥++=+ ()()22222222121121k k k k a a a a bb b b ++∴++++++++L L()2112211k k k k a b a b a b a b ++≥++++L当 i i ka b =，k 为常数，1,2i n =L 或120k a a a ====L 时等号成立即 1n k =+时不等式成立综合（1）（2）可知不等式成立柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，利用柯西不等式可处理以下问题： 1） 证明相关命题例1． 用柯西不等式推导点到直线的距离公式。

学案13柯西不等式形柯西不等式形式优美、结构易记，因此在解题时，根据题目特征灵活运用柯西不等式，可证明一些简单不等式． 已知a ，b ，c 是实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≤4 3.【证明】 因为a ，b ，c 是实数，且a ＋b ＋c ＝1，令m ＝(13a ＋1，有关不等式的问题往往要涉及到对式子或量的范围的限制，柯西不等式、排序不等式为我们通过不等式求最值提供了新的有力工具，但一定要注意取等号的条件能否满足．设a 、b 、c 为正实数，且a ＋2b ＋3c ＝13，求3a ＋2b ＋c 的最大值．]【解】 由于a 、b 、c 为正实数，根据柯西不等式，知(a ＋2b ＋3c )(3＋1＋13)＝[(a )2＋(2b )2＋(3c )2][(3)2＋12＋(13)2] ≥(3·a ＋1·2b ＋13·3c )2 ＝(3a ＋2b ＋c )2，∴(3a ＋2b ＋c )2≤1323， 即3a ＋2b ＋c ≤1333， 当且仅当a 3＝2b 1＝3c 13时取等号． 又a ＋2b ＋3c ＝13，∴当a ＝9，b ＝32，c ＝13时，3a ＋2b ＋c 取得最大值为1333.思想方法解决数学问题时，常遇到一些直接求解较为困难的问题，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题．本章常把要证明的不等式通过换元或配凑等转化手段，转化为柯西不等式或排序不等式的形式加以解决．已知a>b>c，求证：1a－b＋1b－c≥4a－c.【证明】∵a－c＝(a－b)＋(b－c)，∵a>c，∴a－c>0.∴(a－c)(1a－b＋1b－c)＝[(a－b)＋(b－c)](1a－b ＋1b－c)≥(1＋1)2＝4.∴1a－b ＋1b－c≥4a－c.学案14数学归纳法数学归纳法的概念一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：(1)证明当n＝n0时命题成立；(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，证明_n＝k＋1时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法．1．数学归纳法中，n取的第一个值n0是否一定是1?【提示】n0不一定是1，指适合命题的第一个正整数，不是一定从1开始．2．如何理解数学归纳法的两个步骤之间的关系？【提示】第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的桥梁，这两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就作出判断，可能得出不正确的结论，因为单靠步骤(1)无法递推下去，即n 取n 0以后的数时命题是否正确，我们无法判断．同样只有步骤(2)而缺少步骤(1)时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就无意义了．用数学归纳法证明：1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1，n ∈N *)，在验证n ＝1成立时，左边计算的结果是( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3【思路探究】 注意左端特征，共有n ＋2项，首项为1，最后一项为a n ＋1.【自主解答】 实际是由1(即a 0)起，每项指数增加1，到最后一项为a n ＋1，∴n ＝1时，左边的最后一项应为a 2，因此左边计算的结果应为1＋a ＋a 2.【答案】 C1．验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；2．递推是关键：正确分析由n ＝k 到n ＝k ＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障．当f (k )＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k，则f (k ＋1)＝f (k )＋________.【解析】 f (k ＋1)＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12(k ＋1)， ∴f (k ＋1)＝f (k )＋12k ＋1－12(k ＋1). 【答案】 12k ＋1－12k ＋2用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n . 【思路探究】 要证等式的左边共2n 项，右边共n 项，f (k )与f (k ＋1)相比左边增二项，右边增一项，而且左、右两边的首项不同．因此，由“n ＝k ”到“n ＝k ＋1”时要注意项的合并．【自主解答】 ①当n ＝1时，左边＝1－12＝12＝11＋1＝右边，所以等式成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k .则当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1－12k ＋2 ＝1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝右边， 所以，n ＝k ＋1时等式成立．由①②知，等式对任意n ∈N *成立．1．用数学归纳法证明等式的关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关．由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．2．利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述n ＝n 0时命题的形式，二是要准确把握由n ＝k 到n ＝k ＋1时，命题结构的变化特点．并且一定要记住：在证明n ＝k ＋1成立时，必须使用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节．用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(2n －1)2－(2n )2＝－n (2n ＋1)．【证明】(1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，就是12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)．当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时等式也成立，根据(1)和(2)可知，等式对任何n∈N＋都成立．用数学归纳法证明：(3n＋1)·7n－1能被9整除(n∈N*)．【思路探究】先验证n＝1时命题成立，然后再利用归纳假设证明，关键是找清f(k＋1)与f(k)的关系并设法配凑．【自主解答】(1)当n＝1时，原式＝(3×1＋1)×7－1＝27，能被9整除，命题成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时，(3k＋1)·7k－1能被9整除，则当n＝k＋1时，[ 3(k＋1)＋1]·7k＋1－1＝[21(k＋1)＋7]·7k－1＝[(3k＋1)＋(18k＋27)]·7k－1＝[(3k＋1)·7k－1]＋9(2k＋3)·7k.∵[(3k＋1)·7k－1]和9(2k＋3)·7k都能被9整除，∴[ (3k＋1)·7k－1]＋9(2k＋3)·7k能被9整除，即[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1能被9整除，即当n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)可知，对任何n∈N＋，命题都成立，即(3n＋1)·7n－1能被9整除(n∈N＋)．1．证明本题时关键是用归纳假设式子(3k＋1)·7k－1表示n ＝k＋1时的式子．2．用数学归纳法证明整除问题关键是利用增项、减项、拆项、并项、因式分解等恒等变形的方法去凑假设、凑结论，从而利用归纳假设使问题获证．一般地，证明一个与n有关的式子f(n)能被一个数a(或一个代数式g(n)) 整除，主要是找到f(k＋1)与f(k)的关系，设法找到式子f1(k)，f2(k)，使得f(k＋1)＝f(k)·f1(k)＋f2(k)．求证：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除．【证明】(1)当n＝1时，13＋(1＋1)3＋(1＋2)3＝36,36能被9整除，命题成立．(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋k3＋3k2·3＋3k·32＋33＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3)，由归纳假设知，上式中两项都能被9整除，故n＝k＋1时，命题也成立．由(1)和(2)可知，对n∈N*命题成立．例4平面内有n(n≥2，n∈N*)条直线，其中任意两条不平行，任意三条不过同一点，那么这n条直线的交点个数f(n)是多少？并证明你的结论．【思路探究】(1)从特殊入手，求f(2)，f(3)，f(4)，猜想出一般性结论f(n)，(2)利用数学归纳法证明．【自主解答】当n＝2时，f(2)＝1 ；当n＝3时，f(3)＝3，当n＝4时，f(4)＝6，因此猜想f(n)＝n(n－1)2(n≥2，n∈N*)．下面利用数学归纳法证明：(1)当n＝2时，两条相交直线有一个交点，又f(2)＝12×2×(2－1)＝1.∴n＝2时，命题成立．(2)假设当n＝k(k≥2且k∈N＋)时命题成立，就是该平面内满足题设的任何k条直线的交点个数为f(k)＝12k(k－1)，当n＝k＋1时，其中一条直线记为l，剩下的k条直线为l1，l2，…，l k.由归纳假设知，剩下的k条直线之间的交点个数为f(k)＝k(k－1)2.由于l与这k条直线均相交且任意三条不过同一点，所以直线l与l1，l2，l3，…，l k的交点共有k个．∴f(k＋1)＝f(k)＋k＝k(k－1)2＋k＝k2＋k2＝k(k＋1)2＝(k＋1)[(k＋1)－1]2.∴当n＝k＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，命题对一切n∈N*且n≥2时成立．1．从特殊入手，寻找一般性结论，并探索n变化时，交点个数间的关系．2．利用数学归纳法证明几何问题时，关键是正确分析由n ＝k到n＝k＋1时几何图形的变化规律并结合图形直观分析，要讲清原因．在本例中，探究这n条直线互相分割成线段或射线的条数是多少？并加以证明．【解】设分割成线段或射线的条数为f(n)．则f(2)＝4，f(3)＝9，f(4)＝16.猜想n条直线分割成线段或射线的条数f(n)＝n2(n≥2)，下面利用数学归纳法证明．(1)当n＝2时，显然成立．(2)假设当n＝k(k≥2，且k∈N*)时，结论成立，f(k)＝k2，则当n＝k＋1时，设有l1，l2，…，l k，l k＋1共k＋1条直线满足题设条件．不妨取出直线l1，余下的k条直线l2、l3、…、l k、l k＋1互相分割成f(k)＝k2条射线或线段．直线l1与这k条直线恰有k个交点．则直线l1被这k个交点分成k＋1条射线或线段．k条直线l2、l3、…、l k－1中的每一条都与l1恰有一个交点，因此每条直线又被这一个交点多分割出一条射线或线段，共有k条．故f(k＋1)＝f(k)＋k＋1＋k＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2.∴当n ＝k ＋1时，结论正确．由(1)(2)可知，上述结论对一切n ≥2且n ∈N ＋均成立．(教材第50页习题4.1第5题)凸n 边形有多少条对角线？证明你的结论．(2013·南阳模拟)已知如下等式12＝1×2×36，12＋22＝2×3×56，12＋22＋32＝3×4×76.当n ∈N ＋时，试猜想12＋22＋32＋…＋n 2的值，并用数学归纳法给予证明．【命题意图】 本题考查了归纳、猜想和数学归纳法证明等相关知识，考查学生的观察能力、分析解决问题的能力．【解】 由已知猜想：12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6. 下面用数学归纳法给予证明：(1)当n ＝1时，由已知得原式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N ＋)时，原式成立，即12＋22＋32＋…＋k 2＝k (k ＋1)(2k ＋1)6， 则当n ＝k ＋1时，12＋22＋32＋…＋k 2＋(k ＋1)2＝k (k ＋1)(2k ＋1)6＋(k ＋1)2 ＝k (k ＋1)(2k ＋1)＋6(k ＋1)26＝(k ＋1)(2k 2＋7k ＋6)6＝(k ＋1)(k ＋2)(2k ＋3)6＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][2(k ＋1)＋1]6. 故n ＝k ＋1时，原式也成立．由(1)(2)知，当n ∈N ＋时，12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6.1．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)(2n ＋1)时，在验证n ＝1成立时，左边所得的代数式为( )A ．1B ．1＋3C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4【解析】 当n ＝1时左边有2×1＋1＝3项，∴左边所得的代数式为1＋2＋3.【答案】 C2．(2013·安阳检测)某个与正整数n 有关的命题，如果当n ＝k (k ∈N ＋且k ≥1)时命题成立，则一定可推得当n ＝k ＋1时，该命题也成立．现已知n ＝5时，该命题不成立，那么应有( )A ．当n ＝4时该命题成立B ．当n ＝6时该命题成立C ．当n ＝4时该命题不成立D ．当n ＝6时该命题不成立【解析】 若n ＝4时命题成立，由递推关系知n ＝5时命题成立，与题中条件矛盾，∴n ＝4时，该命题不成立．【答案】 C3．用数学归纳法证明等式(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N ＋)时，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”左端需乘以的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1 D ．2k ＋3k ＋1【解析】 当n ＝k 时，等式为(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )＝2k ·1·3·…·(2k －1)．当n ＝k ＋1时，左边＝[(k ＋1)＋1][(k ＋1)＋2]…[(k ＋1)＋k ][(k ＋1)＋(k ＋1)]＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2)．比较n ＝k 和n ＝k ＋1时等式的左边，可知左端需乘以(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2(2k ＋1)．故选B. 【答案】 B4．(2013·焦作检测)用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n －1＝1－a n1－a(a ≠1，n ∈N *)．【证明】(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1－a1－a＝1，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即1＋a＋a2＋…＋a k－1＝1－a k 1－a，那么n＝k＋1时，左边＝1＋a＋a2＋…＋a k－1＋a k＝1－a k1－a＋a k＝1－a k＋a k－a k＋11－a＝1－a k＋11－a＝右边，∴等式也成立．由(1)(2)可知，对任意n∈N*等式均成立。