人教版高中数学选修4-5《3.2 一般形式的柯西不等式》

一般形式的柯西不等式

教学目标：

1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；

2.通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法

教学重点：一般形式柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式。

教学难点：应用一般形式柯西不等式证明不等式。

教学过程：

一、复习引入：

定理1：（柯西不等式的代数形式）设dcba,,,均为实数，则

22222)())((bdacdcba，其中等号当且仅当bcad时成立。

定理2：（柯西不等式的向量形式）设，为平面上的两个向量，则||||||，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。

定理3：（三角形不等式）设332211,,,,,yxyxyx为任意实数，则：

231231232232221221)()()()()()(yyxxyyxxyyxx

二、讲授新课：

类似的，从空间向量的几何背景业能得到|α.β|≤|α|| β| .将空间向量的坐标代入，可得到成立.1,2,3)时，等号(b使得a，或存在一个实数k， 0β 即共线时， β ， α 当且仅当)babab(a)bb)(baa(a2332211232221232221iiik这就是三维形式的柯西不等式.

对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？

定理4：（一般形式的柯西不等式）：设n为大于1的自然数，iiba,（i1，2，…，n）为任意实数，则：22222212121122()()()nnnnaaabbbababab

即

211212)(niiiniiniibaba，其中等号当且仅当nnababab2211时成立（当0ia时，约定0ib，i1，2，…，n）。

证明：构造二次函数：2222211)()()()(nnbxabxabxaxf

word 1 / 6 二 一般形式的柯西不等式

,[学生用书P45])

[A 基础达标]

1．设a，b，c为正数，且a＋b＋4c＝1，则a＋b＋2c的最大值为(

)

A．102 B．10

C．210 D．310

解析：选A.由柯西不等式，得(a＋b＋2c)2

≤12＋12＋222[(a)2＋(b)2＋(4c)2]

＝52×1＝52，

所以a＋b＋2c≤52＝102，当且仅当a＝b＝22c时，等号成立．故选A.

2．已知a21＋a22＋…＋a2n＝1，x21＋x22＋…＋x2n＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值为( )

A．1 B．2

C．－1 D．不确定

解析：选A.因为(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2≤(a21＋a22＋…＋a2n)(x21＋x22＋…＋x2n)＝1×1＝1，

当且仅当ai＝kxi(i＝1，2，…，n)时，等号成立，

所以a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是1.故选A.

3．已知x2＋3y2＋4z2＝2，则|x＋3y＋4z|的最大值为( )

A．2 B．4

C．6 D．8

解析：选B.由柯西不等式知(x2＋3y2＋4z2)(1＋3＋4)≥(x＋3y＋4z)2，

又x2＋3y2＋4z2＝2所以2×8≥(x＋3y＋4z)2.

所以|x＋3y＋4z|≤4.

当且仅当x＝3y3＝2z2，即x＝y＝z＝12时取等号． word

2 / 6 4．设a，b，c∈R＋，a＋b＋c＝6，则1a＋4b＋9c的最小值为( )

A．1 B．4

C．6 D．9

解析：选C.由柯西不等式得

(a＋b＋c)1a＋4b＋9c

＝[(a)2＋(b)2＋(c)2]

·1a2＋4b2＋9c2

≥a·1a＋b·2b＋c·3c2＝36.

即61a＋4b＋9c≥36.

共 18 页，第 1 页 一般形式的柯西不等式（全部）

1、设,,,,,是正数，且++="10," ++="40," ++=20,则=（ ）

A． B． C． D．

2、已知x, y, R，且，则的最小值是

A．20 B．25 C．36 D．47

3、（2012•九江一模）设变量x，y满足|x﹣2|+|y﹣2|≤1，则的最大值为（ ）

A． B． C．﹣ D．

4、（2013•湖北一模）已知a，b，c∈R，则2a2+3b2+6c2=1是a+b+c∈[﹣1，1]的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5、（2012•湖北）设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，则=（ ）

A． B． C． D．

6、函数（ ）

A．6 B．2 C．5 D．2

7、已知a，b，c∈R，且a+b+c=0，abc＞0，则++的值（ ）

A．小于0 B．大于0 C．可能是0 D．正负不能确定 共 18 页，第 2 页 8、若，则的最小值为_________．

9、已知

（1）求的最小值及取最小值时的值。

（2）若，求的取值范围。

10、（2014•辽宁）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+b2﹣c=0且使|2a+b|最大时，++的最小值为 ．

河北省唐山市开滦第二中学高中数学3.2一般形式的柯西不等式学

案新人教A版选修4-5

【学习目标】

1、掌握三维形式和多维形式的柯西不等式。

2、通过运用一般形式的柯西不等式分析解决一些简单问题。

【重点难点】一般形式的柯西不等式

【学习过程】一、问题情景导入平面上向量的坐标（x,y）是二维形式的，空间向量的坐标（x,y,z）是三维形式的

二、自学探究：（阅读课本第37-40页，完成下面知识点的梳理）

定理：设123123,,,,,,,,

nnaaaabbbb是实数，则＿＿＿＿＿＿＿＿当且仅当＿＿＿＿＿＿或存在一个实数k，使得＿＿＿＿＿＿时，等号成立。

三、例题演练：

例1、已知123,,,,,

naaaa都是实数，求证：

2

121()

naaa

n≤222

12naaa

例2、已知a,b,c,d是不全相等的正数，证明;

2222abcd＞abbccdda例3、已知231xyz，求222xyz的最小值

【课堂小结与反思】【课后作业与练习】

1、设,,abc∈R，且1abc，则abc的最大值是

2、设x,y,z∈R，2x+2y+z+8=0,则222(1)(2)(3)xyz的最小值是多少

3、设123,,,,

nxxxx都是正实数，且123nxxxxS求证：222

12

121n

nxxxS

SxSxSxn



4、设12(1)lgxxxxnanfx

n

，若0≤a≤1，n∈N且n≥2，求证：

22fxfx

45、若实数x+y+z=1,则求22223xyz的最小值6、已知实数,,,abcd满足3abcd,

22222365abcd,求a的最大值

7、已知1abc，且,,abc∈R，求

222

abbcca

的最小值