教学案：3.5柯西不等式

1 柯西不等式

教学目标:

1．掌握二维柯西不等式的代数形式、向量形式和三角不等式．

2．掌握柯西不等式的一般形式．

3．能利用柯西不等式解决不等式证明和最值问题．

教学重点:

理解并掌握柯西不等式及其推广形式．

教学难点:

柯西不等式在证明不等式和求最值中的应用．

教学过程:

一、课堂探究

探究1：证明不等式：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2

分析一：比较法证明；

分析二：分析法证明．

设计意图：通过课前自主预习，复习回顾不等式的证明方法，让学生初步认识柯西不等式的代数形式.

定理1 柯西不等式：

若a，b，c，d为实数，则 (a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2 ，当且仅当 ad＝bc 时，等号成立．

问题1：在柯西不等式中，取等号的条件可以写成ab＝cd吗？

分析：不可以．当b·d＝0时，柯西不等式成立，但ab＝cd不成立．

设计意图：体会柯西不等式的广泛性和一般性.

探究2：（1）已知122ba，122yx，求证：byax≤1．

分析：直接使用柯西不等式证明．

设计意图：熟悉柯西不等式的结构特征及简单应用.

（2）设在平面直角坐标系xOy中有向量),(),,(dcba，|α||β|与|α·β|的大小关系如何.

设计意图：找到柯西不等式的几何意义.

定理2 柯西不等式的向量形式：

设α，β为平面上的两个向量，则 |α||β|≥|α·β| ，当且仅当 α和β共线(平行) 时，等号成立.

探究3：设Rdcba,,,，求证：2222dcba≥22)()(dbca，等号当且仅当ad＝bc时成立．

分析：两边平方后用分析法证明

设计意图：进一步体会柯西不等式的应用，为引入三角形不等式做铺垫. 2

定理3 三角形不等式：

设x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，那么

（x1－x3）2＋（y1－y3）2＋（x2－x3）2＋（y2－y3）2≥（x1－x2）2＋（y1－y2）2.

问题2：三角形不等式的几何意义是什么？

分析：三角形的两边之和大于第三边，等号成立时三点共线．

探究4：柯西不等式能否推广到n个元素的一般形式．

定理4 柯西不等式的一般形式：

设n为大于1的自然数，iiba,（ni,,2,1）为实数，则

(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，

等号当且仅当nnababab2211时成立（当0ia时，约定0ib，ni,,2,1）.

二、例题选讲

例题1．（1）已知ba,为实数，证明))((2244baba≥233)(ba．

（2）已知Ryx,，2yx，求证：yx11≥2.

设计意图：熟悉柯西不等式在证明不等式中的应用.

（1）分析：根据形式直接使用柯西不等式．

证明：由柯西不等式得

)]()()[())((2222222244babababa≥222)(bbaa233)(ba

（2）分析：将yx11与yx相乘，再利用柯西不等式．

证明：))(11(2111yxyxyx≥2)11(212yyxx

例题2．（1）已知12yx，求22yx的最小值.

（2）求函数xxy6453的最大值.

设计意图：熟悉柯西不等式在求最值中的应用.

（1）分析：由题意配凑出柯西不等式的形式．

证明：由柯西不等式得)21)((2222yx≥1)2(2yx

所以22yx≥51.当且仅当21yx，即52,51yx时，22yx取最小值51.

（2）分析：由柯西不等式配凑出常数． 3 证明：由柯西不等式得26453xx≤2565432222xx

所以xx6453≤5

当且仅当5463xx，即25134x时，函数xxy6453取最大值5.

例题3．（1）若cba,,为正数，且1cba，求证：cba111≥9.

（2）已知5432dcba，求2222dcba的最小值.

设计意图：熟悉柯西不等式一般形式在不等式的证明与求最值中的应用.

（1）分析：将cba111与cba相乘，再利用柯西不等式的一般形式．

证明：由柯西不等式得cbacba111≥91112ccbbaa

又因为1cba，所以cba111≥9.

（2）分析：根据柯西不等式的一般形式的结构特点，配凑出柯西不等式.

证明：由柯西不等式得

222222224321dcba≥254322dcba

所以2222dcba≥65

当且仅当4321dcba，即32,21,31,61dcba时，2222dcba取最小值65.

三、课堂小结

1．二维柯西不等式的代数形式，向量形式，三角形式的结构特征．

2．应用柯西不等式证明不等式和求最值时注意等号成立的条件．

3．使用柯西不等式时的转化与化归思想．

四、当堂检测

1．设Rba,，1ba，求证ba11≥4.

证明：由柯西不等式得bababa1111≥4112bbaa

2．已知122ba，求证sincosba≤1.

证明：由柯西不等式得2sincosba≤1sincos2222ba

所以sincosba1≤1 4 3．设ba,为正数，求)212)(1(abba的最小值.

解：由柯西不等式得)212)(1(abba≥2921212bbaa

当且仅当abba2112，即21ab时，)212)(1(abba取最小值29.

4．已知123yx，求22yx的最小值.

解：由柯西不等式得222223yx≥1232yx

所以22yx≥131

当且仅当yx32，即132,133yx时，22yx取最小值131.

五、课后作业

1．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a＋b的取值范围是( )

A．[－25，25] B．[－210，210]

C．[－10，10] D．(－5，5]

解析：∵a2＋b2＝10，

∴(a2＋b2)(12＋12)≥(a＋b)2，

即20≥(a＋b)2，

∴－25≤a＋b≤25.

答案：A

2．已知x，y∈R＋，且xy＝1，则)11)(11(yx的最小值为( )

A．4 B．2

C．1 D．14

解析：)11)(11(yx≥2)11(xy＝4，故选A.

答案：A

3．已知4x2＋5y2＝1，则2x＋5y的最大值是( )

A.2 B．1

C．3 D．9

解析：∵2x＋5y＝2x·1＋5y·1≤4x2＋5y2·12＋12＝1·2＝2. 5 ∴2x＋5y的最大值为2.

答案：A

4．设a1，a2，…，an为实数，P＝a21＋a22＋…＋a2nn，Q＝a1＋a2＋…＋ann，则P与Q的大小关系为( )

A．P>Q B．P≥Q

C．P

解析：由柯西不等式知

(a21＋a22＋…＋a2n)12·111n＋＋＋个 12

≥a1＋a2＋…＋an，

∴ a21＋a22＋…＋a2n·n≥a1＋a2＋…＋an.

即得 a21＋a22＋…＋a2nn≥a1＋a2＋…＋ann，∴P≥Q.

答案：B

5．设a，b，c，d，m，n都是正实数，P＝ab＋cd，Q＝ma＋nc·bm＋dn，则P与Q的大小________．

解析：由柯西不等式，得

P＝am·bm＋nc×dn≤am2＋nc2×bm2＋dn2＝am＋nc× bm＋dn＝Q.

答案：P≤Q

6．函数f(x)＝x－6＋12－x的最大值为________．

解析：由柯西不等式得

(x－6＋12－x)2≤(12＋12)·[(x－6)2＋(12－x)2]＝12，

∴x－6＋12－x≤23(当x＝9时，“＝”成立)．

答案：23

7．设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则 m2＋n2的最小值为________．

解析：由柯西不等式得(ma＋nb)2≤(m2＋n2)(a2＋b2)，即m2＋n2≥5，当且仅当ma＝nb时等号成 6 立，∴m2＋n2≥5，∴所求最小值为5.

答案：5

8．函数y＝2cos x＋31－cos 2x的最大值为________．

解析：y＝2cos x＋31－cos 2x＝2cos x＋32sin2x≤cos2x＋sin2x[22＋322]＝22.

当且仅当cos xsin2x＝232，即tan x＝±322时，函数有最大值22.

答案：22

9．已知x，y，z均为正实数，且x＋y＋z＝1，则1x＋4y＋9z的最小值为________．

解析：利用柯西不等式．

由于(x＋y＋z)1x＋4y＋9z≥

 x·1x＋y·2y＋ z·3z2＝36，

所以1x＋4y＋9z≥36.

当且仅当x2＝14y2＝19z2，即x＝16，y＝13，z＝12时，等号成立．∴1x＋4y＋9z的最小值为36.

答案：36

10．已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．

解析：由柯西不等式，得(a2＋4b2＋9c2)·(12＋12＋12)≥(a·1＋2b·1＋3c·1)2＝36，故a2＋4b2＋9c2≥12，从而a2＋4b2＋9c2的最小值为12.

答案：12

11．设x，y，z∈R，且满足：x2＋y2＋z2＝1，x＋2y＋3z＝14，则x＋y＋z＝________.

解析：根据柯西不等式可得，(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3z)2＝14，所以要取到等号，必须满足x1＝y2＝z3，结合x＋2y＋3z＝14，可得x＋y＋z＝3147.

答案：3147

12．已知实数a、b、c满足a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1.

求证：－23≤c≤1.

证明：因为a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，