湖南省长郡中学高一数学上学期期末试卷(含解析)

1 湖南省长沙市长郡中学2014-2015学年高一上学期期末数学试卷

一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（3分）已知全集U={﹣1，0，1，2，3，4}，A={﹣1，0，2，4}，则∁UA=（）

A． φ B． {0，2，4} C． {1，3} D． {﹣1，1，3}

2．（3分）函数f（x）=的定义域为（）

A． [1，2）∪（2，+∞） B． （1，+∞） C． [1，2） D． [1，+∞）

3．（3分）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）

A． 圆柱 B． 圆锥 C． 四面体 D． 三棱柱

4．（3分）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）

A． B． C． ﹣ D． ﹣

5．（3分）下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的是（）

A． f（x）= B． f（x）=x2+1 C． f（x）=x3 D． f（x）=2﹣x

6．（3分）函数y=lg（﹣x2+2x+8）的增区间为（）

A． （﹣∞，1] B． [1，+∞） C． （﹣2，1] D． [1，4）

7．（3分）下列各式中值等于的是（）

A． sin15°cos15° B．

C． cos2﹣sin2 D．

8．（3分）下列向量中，可以作为基底的是（）

A． =（0，0），=（1，﹣2） B． =（2，﹣3），=（﹣，）

C． =（3，5），=（6，10） D． =（1，﹣2），=（5，7）

2 9．（3分）函数的零点所在的大致区间是（）

A． （1，2） B． （2，3） C． （3，4） D． （e，+∞）

10．（3分）把函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位得到函数f（x）的图象，则下列说法正确的是（）

A． f（x）的图象关于y轴对称 B． f（x）的图象关于原点对称

C． f（x）的图象关于直线x=对称 D． f（x）的图象关于点（，0）对称

11．（3分）函数f（x）=loga（2x+b﹣1）（a＞0，a≠1）的图象如图所示，则a，b满足的关系是（）

A． 0＜a﹣1＜b﹣1＜1 B． 0＜b﹣1＜a＜1 C． 0＜b＜a﹣1＜1 D． 0＜a﹣1＜b＜1

12．（3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（）

A． 4π B． C． 4π D．

13．（3分）已知sinx+cosx=，则x的取值范围是（）

A． [﹣+kπ，+kπ]（k∈Z） B． [+kπ，+kπ]（k∈Z）

C． [﹣+2kπ，+2kπ]（k∈Z） D． [+2kπ，+2kπ]（k∈Z）

14．（3分）现有某种细胞1000个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过（）小时，细胞总数可以超过1010个？（参考数据：lg3=0.4771，lg2=0.3010）

A． 39 B． 40 C． 41 D． 43 3

15．（3分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（）

A． [﹣，] B． [﹣，] C． [﹣，] D． [﹣，]

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案填写在题中的横线上．

16．（3分）求值：tan40°+tan20°+tan40°•tan20°=．

17．（3分）如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积为．

18．（3分）如图，OA为圆C的直径，有向线段OB与圆C交点P，且=．若||=，则•=．

19．（3分）已知函数f（x）=+loga（a＞0且a≠1），且f（m）=7（m≠0），则f（﹣m）=．

20．（3分）函数y=f（x）的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在[a，b]上的面积，已知函数y=sinnx在上的面积为，则函数y=sin（3x﹣π）+1在上的面积为．

三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 4 21．（8分）已知函数f（x）=3sin（2x+）（x∈R）．

（1）求函数f（x）的最小正周期和初相；

（2）若f（）=，α∈（，），求cosα的值．

22．（8分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中=（2，1）．

（1）若||=3，且∥，求的坐标；

（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ．

23．（8分）如图（1），等腰梯形OABC的上、下底边长分别为1、3，底角为∠COA=60°．记该梯形内部位于直线x=t（t＞0）左侧部分的面积为f（t）．试求f（t）的解析式，并在如图（2）给出的坐标系中画出函数y=f（t）的图象．

24．（8分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）求函数g（x）=f（﹣）•f（+）的单调递增区间．

25．（8分）设函数f（x）=ax﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．

（1）若f（1）＞0，试判断函数f（x）的单调性，并求使不等式f（sin2θ+cos2θ）+f（1﹣tcosθ）＜0对所有的θ∈（0，）均成立的t的取值范围； 5 （2）若f（1）=，g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x），且g（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣1，求m的值．

湖南省长沙市长郡中学2014-2015学年高一上学期期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（3分）已知全集U={﹣1，0，1，2，3，4}，A={﹣1，0，2，4}，则∁UA=（）

A． φ B． {0，2，4} C． {1，3} D． {﹣1，1，3}

考点： 补集及其运算．

专题： 集合．

分析： 由全集U及A，求出A的补集即可．

解答： 解：∵全集U={﹣1，0，1，2，3，4}，A={﹣1，0，2，4}，

∴∁UA={1，3}．

故选：C．

点评： 此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．

2．（3分）函数f（x）=的定义域为（）

A． [1，2）∪（2，+∞） B． （1，+∞） C． [1，2） D． [1，+∞）

考点： 函数的定义域及其求法．

专题： 计算题．

分析： 利用分式分母不为零，偶次方根非负，得到不等式组，求解即可．

解答： 解：由题意 解得x∈[1，2）∪（2，+∝）

故选A

点评： 本题是基础题，考查函数定义域的求法，注意分母不为零，偶次方根非负，是解题的关键．

3．（3分）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）

A． 圆柱 B． 圆锥 C． 四面体 D． 三棱柱

考点： 由三视图还原实物图．

专题： 计算题；空间位置关系与距离．

分析： 直接从几何体的三视图：正视图和侧视图或俯视图判断几何体的形状，即可． 6 解答： 解：圆柱的正视图为矩形，

故选：A

点评： 本题考查简单几何体的三视图，考查逻辑推理能力和空间想象力，是基础题．

4．（3分）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）

A． B． C． ﹣ D． ﹣

考点： 任意角的三角函数的定义．

专题： 三角函数的求值．

分析： 由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．

解答： 解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x=﹣4，y=3，r==5．

∴cosα===﹣，

故选：D．

点评： 本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．

5．（3分）下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的是（）

A． f（x）= B． f（x）=x2+1 C． f（x）=x3 D． f（x）=2﹣x

考点： 奇偶性与单调性的综合．

专题： 函数的性质及应用．

分析： 本题利用函数的奇偶性和单调性的定义或者利用图象的特征加以判断，判断函数是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增，得到本题结论．

解答： 解：选项A，，∵f（﹣x）==f（x），∴f（x）是偶函数，图象关于y轴对称．

∵f（x）=x﹣2，﹣2＜0，∴f（x）在（0，+∞）单调递减，

∴根据对称性知，f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递增； 适合题意．

选项B，f（x）=x2+1，是偶函数，在（0，+∞）上单调递增，在区间（﹣∞，0）上单调递减，不合题意．

选项C，f（x）=x3是奇函数，不是偶函数，不合题意．

选项D，f（x）=2﹣x在（﹣∞，+∞）单调递减，不是奇函数，也不是偶函数，不合题意．

故选A．

点评： 本题考查了函数的奇偶性和单调性、函数图象与性质，本题难度不大，属于基础题．

6．（3分）函数y=lg（﹣x2+2x+8）的增区间为（）

A． （﹣∞，1] B． [1，+∞） C． （﹣2，1] D． [1，4）

考点： 复合函数的单调性．

专题： 函数的性质及应用．