湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)
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2017-2018学年湖南省长沙市天心区长郡中学高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共15小题，共45.0分）
1. 设集合A={1，3}，集合B={1，2，4，5}，则集合A∪B=（ ）
A. 3，1，2，4， B.
C. 2，3，4， D. 3，4，
2. 已知tan ，
＜ ＜ ，则sinα的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
3. 已知| |=4，| |=3，且 与 不共线，若向量 与 互相垂直，则k的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 如果奇函数f（x）在区间[2，8]上是减函数且最小值为6，则f（x）在区间[-8，-2]上是（ ）
A. 增函数且最小值为 B. 增函数且最大值为
C. 减函数且最小值为 D. 减函数且最大值为
5. 函数f（x）=2x+3x-7的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
6. △ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2-c2+b2=ab，则C=（ ）
A. B. C. D. 或
7. 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若
，则△ABC的形状是（ ）
A. 等腰三角形 B. 钝角三角形
C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
8. 已知集合
＜ ， ＜ ，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9. 设α是第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，且cosα=
x，则tanα=（ ）
A.
B.
C.
D.
10. 化简
的结果是（ ）
A. 1 B. C. D.
11. 先把函数f（x）=sin（x-
）的图象上各点的横坐标变为原来的
（纵坐标不变），再把新得到的图象向右平移
个单位，得到y=g（x）的图象．当x∈[
，
]时，函数g（x）的值域为（ ）
A.
B.
C.
D. 00 12. 设f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，已知x∈[2，3]时，f（x）=x，则x∈[-2，0]时，f（x）的解析式为f（x）=（ ）
A. B. C. D.
13. 若函数 ，ω＞0，x∈R，又f（x1）=2，f（x2）=0，且|x1-x2|的最小值为
，则ω的值为（ ）
A.
B.
C.
D. 2
14. 如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量 在 =（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（ ）
A.
B.
C.
D.
15. 已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）= ， ＜
， ＞ 则关于x的方程6[f（x）]2-f（x）-1=0的实数根个数为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
16. lg2+lg5+π0=______．
17. 已知tanα=3，则
=______．
18. 已知向量 ， 满足| |=2， 与 的夹角为60°，则 在 上的投影是______．
19. 若函数f（x）=2x2-kx-3在区间[-2，4]上具有单调性，则实数k的取值范围是______． 20. 在△ABC中，已知 ， ， △ ，P为线段AB上的一点，且
，则
的最小值为______．
三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
21. 已知集合A={x|（x+3）（x-2）≤0}，B={x|1≤x≤4}．
（1）求A∩B；
（2）求（∁RA）∪B．
22. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．
（1）求角B的大小；
（2）若b=2 ，sinC=2sinA，求a，c的值．
23. 已知函数f（x）= sinxcox-cos2x+
．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若角α，β的终边不共线，且f（α）=f（β），求tan（α+β）的值．
24. 已知向量 =（cosα，sinα）， =（cosβ，sinβ），| - |=
．
（1）求cos（α-β）的值；
（2）若0＜α＜
，-
＜β＜0，且sinβ=-
，求sinα．
25. 已知二次函数f（x）=x2+x，若不等式f（-x）+f（x）≤2|x|的解集为C．
（1）求集合C；
（2）若函数g（x）=f（ax）-ax+1-11（a＞0且a≠1）在集合C上存在零点，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
解：∵集合A={1，3}，集合B={1，2，4，5}，
∴集合A∪B={1，2，3，4，5}．
故选C．
集合A的所有元素和集合B的所有元素合并到一起，构成集合A∪B，由此利用集合A={1，3}，集合B={1，2，4，5}，能求出集合A∪B．
本题考查集合的并集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
2.【答案】B
【解析】
解：∵tan，
∴，解得或．
∵，∴sinα=．
故选：B．
由已知结合同角三角函数基本关系式求解．
本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
3.【答案】A
【解析】
解：∵||=4，||=3，且与不共线，
向量与互相垂直，
∴（）（）==16-9k2=0，
解得k=±．
故选：A．
由向量与互相垂直，得（）（）==16-9k2=0，由此能求出k．
本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 4.【答案】D
【解析】
解：根据题意，f（x）在区间[2，8]上是减函数，且最小值为6，即f（8）=6，且f（x）≥6，
又由f（x）为奇函数，
则f（x）在区间[-8，-2]上是减函数，且f（-8）=-6，则有f（x）≤-6，
故选：D．
由奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，分析可得答案．
本题考查函数的奇偶性、单调性的性质以及应用，注意运用奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】
解：函数f（x）=2x+3x-7，因为y=2x是增函数，y=3x-7是增函数，
所以函数f（x）=2x+3x-7是增函数．
f（-1）=＜0．
f（0）=1-7＜0．
f（1）=2+3-7＜0．
f（2）=4+6-7＞0．
函数f（x）=2x+3x-7的零点所在的区间是：（1，2）．
故选：C．
判断求解端点的函数值，利用零点判定定理求解即可．
本题考查零点判定定理的应用，是基础题．
6.【答案】C
【解析】
解：在△ABC中，由a2-c2+b2=ab，
可得cosC=，
∵0°＜C＜180°，
∴C=120°．
故选：C． 直接由已知结合余弦定理求解．
本题考查余弦定理的应用，是基础的计算题．
7.【答案】D
【解析】
解：在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，
可得，
可得sin2A=sin2B．
可得2A=2B或2A+2B=π，
即：A=B或A+B=；
故选：D．
利用正弦定理转化求解三角形的角的关系，判断三角形的形状即可．
本题考查正弦定理的应用，三角形的形状的判断，考查计算能力．
8.【答案】B
【解析】
解：由=，可得x2-x-6＞0，解得 x＞3，或x＜-2，故A=（-∞，-2）∪（3，+∞）．
由log4（x+a）＜1=log44，可得 0＜x+a＜4，解得-a＜x＜4-a，∴B=（-a，4-a）．
若A∩B=∅，则有，解得1≤a≤2，
故选：B．
解指数不等式求得A，解对数不等式求得B，再根据A∩B=∅，求得实数a的取值范围．
本题主要考查指数不等式、对数不等式的解法，两个集合的交集的定义和运算，属于中档题．
9.【答案】D
【解析】
解：由题意可得x＜0，r=|OP|=，故cosα==．
再由 可得x=-3，∴tanα==-，
故选：D．
