立体几何中的向量方法----利用向量方法求距离

§ 立体几何中的向量方法(三)

—— 利用向量方法求距离

知识点一 求两点间的距离

已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，沿对角线AC折叠，使面ABC与面ADC垂直，求BD间的距离．

解 方法一

过D和B分别作DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，

则由已知条件可知AC＝5，

∴DE＝3×45＝125，BF＝3×45＝125.

∵AE＝AD2AC＝95＝CF，

∴EF＝5－2×95＝75，

∴DBuuur＝DE→＋EFuuur＋FB→.

|DBuuur|2＝ (DE→＋B1E→＋FB→)2＝DE→2＋EFuuur 2＋FB→2＋2DE→·EFuuur＋2DE→·FB→＋2EFuuur·FB→.

∵面ADC⊥面ABC，而DE⊥AC，

∴DE⊥面ABC，

∴ DE⊥BF, DE→ ⊥FB→,

|DBuuur|2＝DE→2＋B1E→2＋FB→2＝14425＋4925＋14425＝33725，

∴|DBuuur|＝3375.

故B、D间距离是3375.

方法二

同方法一．过E作FB的平行线EP，以E为坐标原点，以EP，EC，ED所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图．

则由方法一知DE＝FB＝125，

EF＝75，∴D0，0，125，B125，75，0，

∴BDuuur＝125，75，－125，

| BDuuur|＝ 1252＋752＋－1252＝3375.

【反思感悟】 求两点间的距离或某线段的长度的方法：

(1)把此线段用向量表示，然后用|a|2＝a·a通过向量运算去求|a|.(2)建立空间坐标系，利用空间两点间的距离公式d＝x1－x22＋y1－y22＋z1－z22求解．

如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0＜a＜ 2)．

(1)求MN的长；

(2)当a为何值时，MN的长最小．

解 (1)

建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，F(1,1,0)，C(0,0,1)

∵CM＝BN＝a(0

且四边形ABCD、ABEF为正方形，

∴M(22a,0,1－22a)，N(22a，22a,0)，

∴|MN→＝(0，22a，22a－1)，∴|MN→|＝a2－2a＋1.

(2)由(1)知MN＝a－222＋12，

所以，当a＝22时，MN＝22.

即M、N分别移到AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为22.

知识点二 求异面直线间的距离

如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EA⊥EB1，已知AB＝2，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝π3，求异面直线AB与EB1的距离．

解.以B为原点，BA→、BA→所在直线分别为y、z轴，如图建立空间直角坐标系． 由于BC＝1，BB1＝2，

AB＝2，∠BCC1＝π3，

在三棱柱ABC—A1B1C1中有B(0,0,0)，A(0,0，2)，B1(0,2,0)，

设 E (3,,02a)，由EA⊥EB1，得EAuuur·1EBuuur=0，

即－32，－a，2·－32，2－a，0＝0，

得a－12a－32＝0，即a＝12或a＝32(舍去)，

故E32，12，0.

设n为异面直线AB与EB1公垂线的方向向量，

由题意可设n＝(x，y,0)，

则有n·1EBuuur=0.

易得n＝(3，1,0)，

∴两异面直线的距离d＝BEnnuuur ＝32，12，0·3，1，03＋1＝1.

【反思感悟】 求异面直线的距离，一般不要求作公垂线，若公垂线存在，则直接求解即可；若不存在，可利用两异面直线的法向量求解．

如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，M、N分别为DC、BB1的中点，求异面直线MN与A1B的距离． 解 以A为原点，AD、AB、AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则A1(0,0,2)，B(0,4,0)，M(3,2,0)，N(0,4,1)．

∴|MN→＝(－3,2,1)，1ABuuuur＝(0,4，－2)．

设MN、A1B公垂线的方向向量为

n＝(x，y，z)，

则10,0,nMNnABuuuuruuuur 即 －3x＋2y＋z＝04y－2z＝0.

令y＝1，则z＝2，x＝43，

即n＝43，1，2，|n|＝613. 1MAuuuur＝(－3，－2,2)在n上的射影的长度为

d＝1MAnnuuuur,

故异面直线MN与A1B的距离为66161.

知识点三 求点到平面的距离

在三棱锥B—ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱长AC＝CD＝AD＝AB＝1，且∠BAD＝30°，求点D到平面ABC的距离．

解

如图所示，以AD的中点O为原点，以OD、OC所在直线为x轴、y轴，过O作OM⊥面ACD交AB于M，以直线OM为z轴建立空间直角坐标系，

则A－12，0，0，B3－12，0，12，

C0，32，0，D12，0，0，

∴ACuuur=12，32，0，

ABuuur＝32，0，12，DCuuur＝－12，32，0，

设n＝(x，y，z)为平面ABC的一个法向量， 则31·0,2213·0,22ABxzACxynnuuuruuur，

∴y＝－33x，z＝－3x，可取n＝(－3，1,3)，

代入d＝DCnnuuur，得d＝32＋3213＝3913，

即点D到平面ABC的距离是3913.

【反思感悟】 利用向量法求点面距，只需求出平面的一个法向量和该点与平面内任一点连线表示的向量，代入公式求解即可．

正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为4，M、N、E、F分别为A1D1、A1B1、C1D1、B1C1的中点，求平面AMN平面与EFBD间的距离.

解 如图所示，建立空间直角坐标系D—xyz，则A(4,0,0)，M(2,0,4)，D(0,0,0)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)，N(4,2,4)，

从而EFuuur＝(2,2,0)，MN→＝(2,2,0)，

AMuuuur＝(－2,0,4)，BF→＝(－2,0,4)， ∴EFuuur＝MN→， AMuuuur＝BF→，

∴EF∥MN，AM∥BF，

∴平面AMN∥平面EFBD.

设n＝(x，y，z)是平面AMN的法向量， 从而·220,·240,MNxyAMxznnuuuuruuuur

解得 x＝2zy＝－2z.

取z＝1，得n＝(2，－2,1)，

由于ABuuur在n上的投影为nABnuuur＝－84＋4＋1＝－83.

∴两平行平面间的距离d＝nABnuuur＝83.

课堂小结：

1．求空间中两点A，B的距离时，当不好建系时利用|AB|＝|ABuuur|

＝x1－x22＋y1－y22＋z1－z22来求．

2．两异面直线距离的求法．如图(1)，n为l1与l2的公垂线AB的方向向量，

d＝|ABuuur|＝|CD→·n||n|. 3点B到平面α的距离：|BOuuur

|=ABnnuuur.(如图(2)所示)

4.面与面的距离可转化为点到面的距离.

一、选择题 1.若O为坐标原点，OAuuur =（1，1，

2），OBuuur =（3，2，8）， OCuuur=（0，1，0），则线段AB的中点P到点C的距离为

（ ）

B．214

答案 D

解析 由题意OPuuur＝(1－t)OA→＝12(OA→＋OB→)＝(2，32，3)，

PC→＝OC→－OPuuur＝(1－t)OA→＝(－2，－12，－3)，PC＝|PC→|＝ 4＋14＋9＝532.

2．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是( ) A．12

答案 B

解析 以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则有D1（0，0，1），D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），A1（1，0，1），C1（0，1，1）.因O为A1C1的中点，所以O（12，12,1），1COuuuur =（12， 12，0），设平面ABC1D1的法向量为 n=（x,y,z），则有10,0,nADnABuuuuruuur

即0,0,xzy 则 n = （1，0，1）， ∴O到平面ABC1D1的距离为：1COndnuuuur,

.

3．在直角坐标系中，设A(－2,3)，B(3，－2)，沿x轴把直角坐标平面折成120°的二面角后，则A、B两点间的距离为( )

A．211

D．311

答案 A

解析 ABAEEFuuuruuuruuur＋FB→

ABuuur2＝AEuuur2＋EFuuur2＋FB→2＋2AEuuur·EFuuur＋2AEuuur·FB→＋2EFuuur·FB→

＝9＋25＋4＋2×3×2×12＝44.

∴|ABuuur|＝211.