高中数学立体几何中的向量方法求距离

班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）

1.已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为( )

A.1010 B.15

C.31010 D.35

2.已知直二面角α­l­β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1， 则CD＝( )．

A．2 B.3 C.2 D．1

3.如图，在四面体ABCD中，AB＝1，AD＝23，BC＝3，CD＝2.∠ABC＝∠DCB＝π2，则二面角A－BC－D的大小为 (

)．

A.π6 B.π3 C.5π3

D.5π6

4.直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为（ ）

A. 110 B. 25 C. 3010 D. 22

5.已知正四棱柱1111ABCDABCD中，12AAAB，则CD与平面1BDC所成角的正弦值等于（ ）

A．23 B．33 C．23 D．13 6.已知三棱柱111ABCABC的侧棱与底面垂直，体积为49，底面是边长为3的正三角形，若P为底面111ABC的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为

A.125 B.3 C.4 D.6

7.已知二面角l为60，AB，ABl，A为垂足，CD，Cl，135ACD，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为 （ ）

立体几何点到直线的距离公式空间向量

在我们学习立体几何的时候，那个点到直线的距离公式和空间向量可真是让人又爱又恨。就像在一个神秘的三维世界里探险，充满了未知和挑战。

记得我当年上高中的时候，立体几何这一块可把我折磨得够呛。特别是那个点到直线的距离公式，每次做题都感觉像是在走迷宫，一不小心就迷路了。有一次数学考试，最后一道大题就是关于点到直线距离的。我看着题目，心里那叫一个慌啊！题目说在一个空间坐标系里，有一个点 P(x₁, y₁, z₁)，还有一条直线，用向量的形式表示出来是 (a,

b, c) ，并且直线上有一个点 Q(x₂, y₂, z₂) ，让求点 P 到这条直线的距离。

我当时就想，这可咋整啊？我先试着按照老师讲的方法，设出直线上一点 M(x, y, z) ，然后表示出向量 PM ，再让它和直线的方向向量垂直，列出方程。可是算着算着，我就发现自己越来越乱，式子越来越复杂，脑袋都快炸了！到最后，考试时间快结束了，我还是没算出来，那个着急啊，手心都出汗了。

等试卷发下来，看着那道题的大红叉，心里别提多难受了。从那以后，我就下定决心，一定要把这个点到直线的距离公式给搞明白。

咱们先来说说这个点到直线的距离公式到底是啥。简单来说，如果在空间直角坐标系中，点 P(x₁, y₁, z₁) ，直线 L 的方向向量为 s = (m, n, p) ，直线上一点 Q(x₂, y₂, z₂) ，那么点 P 到直线 L 的距离 d 就可以表示为：

\[d = \frac{\vert \overrightarrow{PQ} \times s \vert}{\vert s \vert}\]

这里的“×”表示向量的叉乘。这个公式看起来有点复杂，但是只要咱们理解了其中的原理，用起来还是挺顺手的。

再来说说空间向量。空间向量就像是我们在三维世界里的导航仪，能帮助我们解决很多立体几何的问题。比如说，通过空间向量可以很方便地求两条直线的夹角、两个平面的夹角等等。

2017寒假复习：用空间向量方法求点到直线距离的解题思路_题型归纳

导读：高中的假期不是用来休息的，是用来反超的。学如逆水行舟，不进则退，很多人赢在了假期，也很很多人输在了假期，特别是数学，放松一刻你都会觉得自己错过了好几个剧情。

在立体几何中，空间点、直线、平面之间的关系是学习的重点，点和直线的位置关系包括两种：点在直线上，点在直线外.当点在直线外时，点到直线距离的计算随之出现.关于解决点到直线距离的问题，现在在立体几何的高考中似乎很少考到了，但空间的点P到直线AB的距离的求法，(在竞赛中)还是应该理解和掌握的。

具体地说，就是过点P作直线AB的垂线PM，且与直线AB相交于点M.那么线段PM的长度，就是我们所要求的距离.但在实际操作中，有时我们往往很难找出我们所做的AB的垂线时的垂足具体在什么地方?既然所要求解的距离(线段)都难以作出来，那么求解就更加困难了。所以，查字典数学网小编来给大家介绍一下：立体几何中，“用空间向量方法求点到直线的距离公式”。

【公式推导过程】求点P到直线a的距离。

很多时候一个人的领先不是因为他比别人多长了个脑子，而是因为他与别人早已不在一条起跑线上，寒假还是学习起来吧。更多数学寒假复习资讯，尽在查字典数学网。

末宝带你游数学：

高考状元成才路：攻克数学很简单

2017高等数学的寒假复习计划安排

2017年“迎春杯”小中年纪组决赛试卷C

学必求其心得，业必贵于专精

1 点到平面的距离若干求法

1 定义法求点到平面距离（直接法）

定义法求点到平面距离是根据点到平面的定义直接作出或者寻找出点与平面间的垂线段，进而根据平面几何的知识计算垂线段长度而求得点与平面距离的一种常用方法.定义法求点到平面距离的关键在于找出或作出垂线段，而垂线段是由所给点及其在平面射影间线段，应而这种方法往往在很多时候需要找出或作出点在平面的射影。

以下几条结论常常作为寻找射影点的依据：

（1)两平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们交线的直线垂直于另一个平面。

（2） 如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这个点在该平面内的射影在这个角的角平分线所在的直线上。

（3）经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线。设斜线和已知两边的夹角为锐角且相等，则这条斜线在这个平面的射影是这个角的角平分线.

（4)若三棱锥的三条棱长相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心。

例 如图4所示，所示的正方体ABCDABCD 棱长为a,求点A到平面ABD的距离。(注：本文所有解法均使用本例） 学必求其心得，业必贵于专精

2

图4

解法一（定义法):如图5所示，连结交BD于点E，再连结AE，过点A作AH垂直于AE,垂足为H,下面证明AH平面ABD。

图5

AA平面ABCD

BDAA

又在正方形ABCD中,对角线BDAC，且AAACA

AA平面AAE， AC平面AAE

由线面垂直的判定定理知道BD平面AAE

AH平面AAE

AHBD

又由AH的作法知道AHAE，且有BDAEE，

BD平面ABD，AE平面ABD

由线面垂直的判定定理知道AH平面ABD 学必求其心得，业必贵于专精