湘教版七年级下期末复习试卷(三)因式分解(含答案)

期末复习(三) 因式分解

01各个击破

命题点1 因式分解的概念

【例1】 (济宁中考)下列式子变形是因式分解的是( )

A．x2－5x＋6＝x(x－5)＋6

B．x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)

C．(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6

D．x2－5x＋6＝(x＋2)(x＋3)

【方法归纳】 因式分解是把一个多项式由和差形式化为乘积形式的恒等变形，因式分解的结果应与原多项式相等．

1．下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是( )

A．x2＋5x－1＝x(x＋5)－1

B．x2－4＋3x＝(x＋2)(x－2)＋3x

C．x2－9＝(x＋3)(x－3)

D．(x＋2)(x－2)＝x2－4

2．若多项式x2－x＋a可分解为(x＋1)(x－2)，则a的值为________．

命题点2 直接用提公因式法因式分解

【例2】 因式分解：(7a－8b)(a－2b)－(a－8b)·(2b－a)．

【思路点拨】 注意到(a－2b)与(2b－a)互为相反数，可把(2b－a)化为－(a－2b)，再提取公因式(a－2b)．

【解答】

【方法归纳】 提公因式时，不能只看形式，而要看实质．对于互为相反数的项可通过提取一个“－”号后再提取公因式．

3．因式分解：

(1)2x2y2－4y3z；

(2)3(x＋y)(x－y)－(x－y)2；

(3)x(x－y)3＋2x2(y－x)2－2xy(x－y)2.

命题点3 直接用公式法因式分解

【例3】 因式分解：－(x＋2y)2＋(2x＋3y)2.

【思路点拨】 把原式中的两项交换位置，把两个多项式看作一个整体，用平方差公式因式分解．

【解答】

【方法归纳】 用平方差公式因式分解时，如果其中的一项或两项是多项式，可把这个多项式看作一个整体用括号括起来，这样能减少符号出错．

4．因式分解：

(1)x2－25；

(2)(x＋y)2－6(x＋y)＋9.

命题点4 综合运用提公因式法与公式法因式分解

【例4】 因式分解：12a2－3(a2＋1)2.

【思路点拨】 先提取公因式3，再用平方差公式，然后用完全平方公式因式分解．

【解答】

【方法归纳】 因式分解的一般步骤：

(1)不管是几项式，都先看它有没有公因式．如果有公因式，就先提取公因式．

(2)看项数．如果是二项式，考虑能否用平方差公式；如果是三项式，考虑能否用完全平方公式．

(3)检查结果．看分解后的每一个因式能不能继续分解，直到每一个因式不能再分解为止．

5．因式分解：

(1)3ax2＋6axy＋3ay2；

(2)a3(x＋y)－ab2(x＋y)；

(3)9(a－b)2－(a＋b)2.

命题点5 因式分解的运用

【例5】 先因式分解，再求值：(2x＋1)2(3x－2)－(2x＋1)(3x－2)2－x(2x＋1)(2－3x)，其中x＝32.

【思路点拨】 首先把(2－3x)变为－(3x－2)，然后提取公因式即可将多项式因式分解，再代入数值计算即可求出结果．

【解答】

【方法归纳】 此题考查的是整式的化简求值，化简是利用了因式分解，这样计算比较简便，遇到这类题目时主要利用因式分解简化计算．

6．已知a2＋a＋1＝0，求1＋a＋a2＋…＋a8的值．

7．用简便方法计算：

(1)123 456 7892－123 456 788×123 456 790；

(2)102－92＋82－72＋…＋42－32＋22－12.

02整合集训

一、选择题(每小题3分，共24分)

1．从左到右的变形，是因式分解的为( )

A．(3－x)(3＋x)＝9－x2

B．(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3

C．a2－4ab＋4b2－1＝a(a－4b)＋(2b＋1)(2b－1)

D．4x2－25y2＝(2x＋5y)(2x－5y)

2．(临沂中考)多项式mx2－m和多项式x2－2x＋1的公因式是( )

A．x－1 B．x＋1 C．x2－1 D．(x－1)2

3．下列四个多项式，能因式分解的是( )

A．a－1 B．a2＋1 C．x2－4y D．x2－6x＋9

4．(北海中考)下列因式分解正确的是( )

A．x2－4＝(x＋4)(x－4)

B．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1

C．3mx－6my＝3m(x－6y)

D．2x＋4＝2(x＋2)

5．把－8(x－y)2－4y(y－x)2因式分解，结果是( )

A．－4(x－y)2(2＋y) B．－(x－y)2(8－4y)

C．4(x－y)2(y＋2) D．4(x－y)2(y－2)

6．若多项式x2＋mx＋4能用完全平方公式因式分解，则m的值可以是( )

A．4 B．－4 C．±2 D．±4

7．已知a＋b＝3，ab＝2，则a2b＋ab2等于( )

A．5 B．6 C．9 D．1

8．已知(19x－31)(13x－17)－(13x－17)(11x－23)可因式分解成8(ax＋b)(x＋c)，其中a，b，c均为整数，则a＋b＋c的值为( )

A．－5 B．－12 C．38 D．72

二、填空题(每小题4分，共16分)

9．多项式2(a＋b)2－4a(a＋b)中的公因式是________．

10．(珠海中考)填空：x2＋10x＋________＝(x＋________)2.

11．(枣庄中考)若a2－b2＝16，a－b＝13，则a＋b的值为________．

12．(北京中考)因式分解：5x3－10x2＋5x＝________．

三、解答题(共60分)

13．(16分)因式分解：

(1)12a2b－18ab2－24a3b3；

(2)a3－9a；

(3)8(x2－2y2)－x(7x＋y)＋xy；

(4)16(a－b)2＋24(b2－a2)＋9(a＋b)2.

14．(6分)利用因式分解说明3200－4×3199＋10×3198能被7整除．

15．(8分)先因式分解，再求值：已知a＋b＝2，ab＝2，求12a3b＋a2b2＋12ab3的值．

16．(10分)利用因式分解计算：

(1)9992＋999；

(2)6852－3152.

17．(10分)已知多项式a2＋ka＋25－b2，在给定k的值的条件下可以因式分解．

(1)写出常数k可能给定的值；

(2)针对其中一个给定的k值，写出因式分解的过程．

18．(10分)试说明：不论a，b，c取什么有理数，a2＋b2＋c2－ab－ac－bc一定是非负数．

参考答案

各个击破

【例1】 B

【例2】 原式＝(7a－8b)(a－2b)＋(a－8b)(a－2b)＝(a－2b)(7a－8b＋a－8b)＝(a－2b)(8a－16b)＝8(a－2b)2.

【例3】 原式＝(2x＋3y)2－(x＋2y)2＝[(2x＋3y)＋(x＋2y)][(2x＋3y)－(x＋2y)]＝(3x＋5y)(x＋y)．

【例4】 原式＝3[4a2－(a2＋1)2]＝3[(2a)2－(a2＋1)2]＝3[2a＋(a2＋1)][2a－(a2＋1)]＝－3(a＋1)2(a－1)2.

【例5】 原式＝(2x＋1)2(3x－2)－(2x＋1)(3x－2)2＋x(2x＋1)(3x－2)

＝(2x＋1)(3x－2)(2x＋1－3x＋2＋x)

＝3(2x＋1)(3x－2)，

当x＝32时，原式＝3×(3＋1)×(92－2)＝30.

题组训练

1．C 2.－2

3.(1)原式＝2y2(x2－2yz)．

(2)原式＝(x－y)[3(x＋y)－(x－y)]＝(x－y)(2x＋4y)＝2(x－y)(x＋2y)．

(3)原式＝x(x－y)2[(x－y)＋2x－2y]＝3x(x－y)3.

4.(1)原式＝(x－5)(x＋5)．

(2)原式＝(x＋y－3)2.

5.(1)原式＝3a(x2＋2xy＋y2)＝3a(x＋y)2.

(2)原式＝a(x＋y)(a2－b2)＝a(x＋y)(a＋b)(a－b)．

(3)原式＝(3a－3b＋a＋b)(3a－3b－a－b)＝(4a－2b)(2a－4b)＝4(2a－b)(a－2b)．

6.原式＝(1＋a＋a2)＋a3(1＋a＋a2)＋a6(1＋a＋a2)＝(1＋a＋a2)(1＋a3＋a6)，因为a2＋a＋1＝0，所以原式＝0×(1＋a3＋a6)＝0.

7.(1)原式＝123 456 7892－(123 456 789－1)×(123 456 789＋1)＝123 456 7892－(123 456 7892－12)＝123 456

7892－123 456 7892＋12＝1.

(2)原式＝(10－9)(10＋9)＋(8－7)(8＋7)＋…＋(4－3)(4＋3)＋(2－1)(2＋1)＝10＋9＋8＋7＋…＋2＋1＝55.

整合集训

1．D 2.A 3.D 4.D 5.A 6.D 7.B 8.A 9.2(a＋b) 10.25 5 11.12 12.5x(x－1)2

13.(1)原式＝6ab(2a－3b－4a2b2)．

(2)原式＝a(a2－9)＝a(a＋3)(a－3)．

(3)原式＝8x2－16y2－7x2－xy＋xy＝x2－16y2＝(x＋4y)(x－4y)．

(4)原式＝16(a－b)2－24(a－b)(a＋b)＋9(a＋b)2＝[4(a－b)－3(a＋b)]2＝(a－7b)2.

14.原式＝3198×32－4×3×3198＋10×3198＝3198×(9－12＋10)＝3198×7.所以3200－4×3199＋10×3198能被7整除．

15．原式＝12ab(a2＋2ab＋b2)＝12ab(a＋b)2.当a＋b＝2，ab＝2时，原式＝12×2×4＝4.

16.(1)原式＝999×(999＋1)＝999×1 000＝999 000.

(2)原式＝(685－315)×(685＋315)＝370×1 000＝370 000.

17.(1)由已知得(a2＋ka＋25)为一个平方项，则k可能取的值有±10.

(2)令k＝10，则原多项式可化为(a＋5)2－b2，则因式分解得(a＋5＋b)(a＋5－b)．

18.a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝12(2a2＋2b2＋2c2－2ab－2ac－2bc)＝12[(a2－2ab＋b2)＋(b2－2bc＋c2)＋(a2－2ac＋c2)]＝12[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]≥0.

所以a2＋b2＋c2－ab－ac－bc一定是非负数．